Fluxo Sangüíneo: Uma Aplicação da Integral de Riemann

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1 Fluxo Sagüíeo: Uma Aplicação da Itegral de Riema Uiversidade Federal de Uberlâdia Faculdade de Matemática Mariaa Ferades dos Satos Villela Patrícia Borges dos Satos Rosaa Sueli da Motta Jafelice Itrodução Neste trabalho o fluxo sagüíeo será apresetado como uma aplicação da itegral de Riema. Iiciamos com uma breve biografia de Riema, e, em seguida com as oções ecessárias para a defiição de itegral através das somas de Riema. A seguir, é dada uma explicação do fucioameto do sistema circulatório, e a partir daí, apresetaremos a Lei de Poiseuille. Esta lei foi descoberta por Jea Louis Poiseuille ( ), fisiologista e físico fracês, e os dá a partir da expressão da velocidade do sague a fórmula do fluxo sagüíeo [2]. O objetivo deste trabalho é ecotrar uma expressão matemática que os permita calcular o fluxo sagüíeo de uma artéria obstruída, pelo acúmulo de colesterol, utilizado duas aproximações geométricas diferetes desta obstrução. A História de Riema Georg Friedrich Berhard Riema, filho de um pastor luterao, foi educado em codições modestas. Era uma pessoa tímida e fisicamete frágil. Com boa istrução em Berlim e depois em Göttige, obteve seu doutorameto com uma tese sobre teoria das fuções de variáveis complexas, ode aparecem as equações deomiadas de Cauchy- Riema, embora lá fossem cohecidas por Euler e D'Alembert. Neste trabalho já estabelece o coceito de superfície de Riema que desempeharia papel fudametal em Aálise. Riema foi omeado professor a Uiversidade de Göttige em 1854, apresetou um trabalho perate o corpo docete e que resultou a mais célebre coferêcia da história da Matemática. Nele estava uma ampla e profuda visão da Geometria e seus fudametos que até etão permaecia margializada.

2 Ao cotrário de Euclides e em setido mais amplo do que Lobachevsky, observou que seria ecessário tratar-se de potos, ou de retas, ou do espaço ão o setido comum, mas como uma coleção de -uplas que são combiadas segudo certas regras, uma das quais, a de achar distâcia etre dois potos ifiitamete próximos. Para Riema, o plao é uma superfície de uma esfera e reta, o círculo máximo sobre a esfera. Com os estudos de espaços métricos em geral com curvatura, torou-se possível a teoria da relatividade, cotribuido assim para o desevolvimeto da Física. Riema coseguiu muitos teoremas em Teoria dos Números, relacioado-os com Aálise, ode ecotramos também a equação de Cauchy-Riera que é uma cocepção ituitiva e geométrica da Aálise, em cotraste com a aritmetização de Weierstrass. Por volta de 1854, realizou um estudo bem mais aprofudado sobre a itegral e em sua homeagem a itegral estudada por ele passou a receber o ome de Itegral de Riema. Tal ome serve para distiguir essa itegral de outras que foram itroduzidas mais tarde, como por exemplo, a Itegral de Lebesgue. A forma usada para itroduzir o coceito de Itegral de Riema os cursos de Cálculo é a versão devida a Cauchy. O que justifica isto é que, ela é simples e bastate acessível aos aluos de um curso de iicial de Cálculo, além de ateder aos propósitos de um curso desta atureza. Nos cursos de Aálise Matemática apreseta-se uma versão mais refiada, a Itegral de Darboux-Riema, usado os coceitos de soma iferior, soma superior, itegral iferior e itegral superior, que correspodem ao método de exaustão usado, respectivamete, polígoos iscritos e polígoos circuscritos. Mas, para que iguém alimete idéias equivocadas, observamos que as diversas defiições da Itegral de Riema mecioadas são equivaletes e a difereça etre elas se situa a adequação das defiições para a obteção das propriedades da referida Itegral. Em 1859, Riema foi omeado sucessor de Dirichlet a cadeira de Göttige já ocupada por Euler. Com seu estado de saúde sempre precário, acabou por morrer em 1866 em coseqüêcia de uma tuberculose. Itegral de Riema

3 Seja f: [a,b] R limitada ão egativa, isto é, f(x) > 0 ou f(x) = 0 para todo x em [a,b] e tomemos uma partição: x 0 = a < x 1 <... < x = b, do itervalo [a,b] que teha todos os ( ) b a subitervalos com o mesmo comprimeto dx =. Tomaremos apeas os primeiros potos da partição e faremos uma aálise geométrica da curva o subitervalo [x o,x 1 ] (veja Figura 1). Para os outros subitervalos ocorre uma situação similar. A área sob a curva o itervalo [x o,x 1 ] pode ser obtida através da área S 1 do retâgulo cuja base mede dx = x 1 -x o e a altura é a liha tracejada cuja medida é dada por f(c 1 ) ode c 1 é um poto em [x o,x 1 ]. Figura 1: Represetação da soma das áreas dos retâgulos sob a curva. Existe uma compesação da área "braca" que fica acima da curva e detro do retâgulo que fica abaixo da curva e fora do retâgulo. Em cada subitervalo I j =[x j,x j+1 ] desta partição tomamos um poto geérico qualquer c j e formamos retâgulos, todos com as bases de medida dx e alturas dadas por: f(c 1 ), f(c 2 ),..., f(c ). Se a partição tem subitervalos, deotamos por S a soma das áreas dos retâgulos: ( ) S = f ( c ) dx + f ( c ) dx f ( c ) dx = f c dx 1 2 j j= 1 sedo a soma realizada sobre todos os j=1,...,. Se essas somas forem calculadas para todos os valores de, formaremos uma seqüêcia: {S 1, S 2,..., S,...}. Se esta seqüêcia umérica {S } é covergete para um úmero real bem defiido, diz-se que f é itegrável o itervalo [a,b], e o valor do limite desta seqüêcia é deotado por: a ( ) lim ( j ) b f x dx = f c dx (1) x j = 1 A expressão da esquerda é a itegral de f etre os limitates de itegração a e b e a expressão da direita é o limite da seqüêcia de somas parciais S.

4 A itegral defiida por (1) é deomiada Itegral de Riema e as somas S = j= 1 ( j ) f c dx são chamadas de somas de Riema. Temos esta defiição uma partição muito particular do itervalo [a,b], subdividido-o em partes iguais, podemos refazer o processo com itervalos de comprimetos diferetes, sedo cada itervalo da forma [x j,x j+1 ] e comprimetos dx j =x j+1 -x j. Assim, as somas de Riema S tomam a forma ( ) S = f ( c ) dx + f ( c ) dx f ( c ) dx = f c dx j j j= 1 Ao proceder desta forma temos que tomar uma precaução adicioal, ou seja, ão basta tomar o limite de S quado, mas temos que acrescetar a codição que o maior dos comprimetos dx 1,..., dx deve covergir para zero. Com isto, temos a otação: b a ( ) lim ( j ) f x dx = f c dx p 0 j = 1 ode P =max{dx 1,...,dx }, isto é, é a orma da partição P, [4]. j O sistema circulatório Os aimais têm de realizar, iterruptamete, trocas de substâcias com o ambiete, pois todas as suas células precisam receber utrietes e oxigêio, e elimiar gás carbôico e outros resíduos tóxicos produzidos o metabolismo, e isso, o homem se dá pelo o sistema circulatório fechado. O sistema circulatório possui diversas fuções, as quais são: o trasporte de utrietes, o trasporte de oxigêio, a remoção do gás carbôico, a remoção das excreções, o trasporte de hormôios e o trasporte de células e de aticorpos do sistema imuológico. Os compoetes desse sistema são: sague, vasos sagüíeos e o coração. Sague O sague humao é costituído por um líquido amarelado, o plasma, e por três tipos de elemetos celulares, as hemácias, os leucócitos e as plaquetas (veja Figura 2). No plasma 92% de seu peso é água, sedo o restate devido à preseça de proteías, sais e substâcias diversas, tais como utrietes, gases, excreções e hormôios. As hemácias,

5 também cohecida como glóbulo vermelho, são células especializadas o trasporte de oxigêio, e já os leucócitos ou glóbulos bracos são células resposáveis pela defesa do orgaismo. E, por fim, as plaquetas são pequeas células ovais, as quais participam ativamete do processo de coagulação do sague. Figura 2: Composição do sague. Artérias, veias e capilares sagüíeos As artérias são vasos que levam sague do coração para os órgãos e tecidos do corpo, sua parede é espessa e cotém três camadas de tecidos, o edotélio, tecido muscular liso e o tecido cojutivo. Os capilares sagüíeos são vasos muito fios que ligam as arteríolas (artérias fiíssimas, que se ecotra os órgãos e tecidos) às vêulas (vasos muito fios que se coectam, o lado oposto às arteríolas, aos capilares sagüíeos, que se uem para formar veias progressivamete maiores). As veias são vasos que levam o sague dos órgãos e tecidos de volta ao coração. A parede das veias é formada por três camadas, equivaletes às da artéria. Etretato, as camadas mediaas e exteras das veias são meos espessas. Nas veias ecotram-se válvulas que impedem o refluxo do sague, o que garate a circulação em um úico setido (Figura 3).

6 Figura 3: Esquema ilustrado difereças etre artérias, veias e capilares. Coração O coração é um órgão musculoso, do tamaho aproximado de um puho fechado e com peso aproximadamete de 400g. Ele apreseta quatro cavidades iteras, deomiadas câmaras cardíacas, duas superiores que são os átrios e duas iferiores, os vetrículos (veja Figura 4). O átrio direito se comuica com o vetrículo direito por meio da válvula tricúspide e o átrio esquerdo comuica com o vetrículo esquerdo pela válvula bicúspide, os quais têm como fuções garatir a circulação do sague o coração em um úico setido, dos átrios para os vetrículos. As câmaras do coração cotraem-se e dilatam-se alteradamete, em média, 70 vezes por miuto. A cotração de uma câmara cardíaca é deomiada sístole e seu relaxameto diástole. A freqüêcia cardíaca varia de acordo com o grau de atividades e situação emocioal em que se ecotra uma pessoa, e este cotrole da freqüêcia é feito pelo ódulo sio-atrial. Figura 4: Represetação do coração.

7 Fisiologia da circulação sagüíea A circulação saguíea pode ser descrita de uma forma simples do seguite modo: o sague, após ser oxigeado os pulmões dirige-se para a aurícula esquerda do coração passado pelas veias pulmoares. Em seguida, é trasferido para o vetrículo esquerdo através da válvula mitral e deste é bombeado para todo o corpo. À saída do vetrículo esquerdo, passa pela válvula aórtica, que dá passagem para a artéria aorta e é coduzido através de uma rede complexa de artérias cada vez meores, ido alimetar todas as células. Após as trocas gasosas, de utrietes e de detritos existetes ao ível celular, o sague regressa ao coração através de veias cada vez de maior dimesão, até etrarem o coração através da veia cava em direção à aurícula direita. A passagem da aurícula direita para o vetrículo direito é feita através da válvula tricúspide e, a partir do vetrículo direito, o sague passa aida a válvula pulmoar que dá acesso à artéria pulmoar que o coduz o setido dos pulmões ode será oxigeado [1]. A biofísica da circulação sagüíea A hidrodiâmica é a área da mecâica dos fluidos que estuda o seu movimeto. Existem essecialmete dois tipos de fluidos, um que é cosiderado ideal, ou seja, que ão tem viscosidade e os fluidos viscosos, aqueles que apresetam viscosidade. A viscosidade é a gradeza que mede a fricção existete etre camadas adjacetes de um fluido ou, de um poto de vista prático, é a dificuldade ou facilidade com que um fluido escorre. A maioria dos fluidos apreseta viscosidade, em particular, a grade parte dos fluidos biológicos, cujo exemplo que os iteressa é o sague. Estes são caracterizados por uma viscosidade ão desprezível. A coseqüêcia mais visível de se cosiderar a viscosidade de um fluido um escoameto é o seu perfil de velocidade. Também relacioado com a viscosidade do fluido está o tipo de escoameto que este apreseta. Na verdade, em fluidos reais, com viscosidade ão ula, verifica-se que para valores de velocidade do fluido abaixo de certo valor, o escoameto é cosiderado lamiar, isto é, todas as partículas do líquido se movem paralelamete ao tubo e a velocidade aumeta uiformemete a partir de zero a parede, em direção ao cetro. No etato, quado esse valor é ultrapassado, o escoameto passa a ser turbuleto.

8 No corpo humao a pressão do sague se deve a cotribuição da pressão estática, da pressão diâmica e da pressão mecâica. Em virtude do próprio peso do sague as artérias e veias estão sob a pressão estática, que depederá da altura da colua de sague em relação ao pé. A cotribuição da pressão diâmica é em virtude das diversas velocidades do sague o corpo. O efeito da pressão mecâica é em virtude do coração, que ao bombear o sague para o corpo está lhe exercedo certa pressão. No percurso do sague haverá variações de pressão sagüíea pelo corpo, muito em virtude dos efeitos da viscosidade. Um outro fato iteressate é que a pressão do sague arterial (sague rico em oxigêio) é maior que a do sague veoso (sague rico em gás carbôico). Isto se deve ao fato do sague arterial ter o auxílio do coração para ser bombeado para o resto do corpo, o que ão ocorre com o sague veoso. Para aplicar à circulação saguíea algus dos resultados da hidrodiâmica, é ecessário aalisar as propriedades do sague e assumir algumas aproximações. Ates de tudo, deve ter-se presete que o sague, embora seja cosiderado como um fluido homogêeo, a verdade, é costituído por diversas partículas em suspesão, o que, do poto de vista de aálise do seu escoameto, tora a sua descrição particularmete difícil, omeadamete, quado os vasos que o coduzem são muito estreitos. Um segudo poto, prede-se com a elasticidade dos vasos que coduzem o sague. Apesar de se aceitar, que o sague circula através de tubos rígidos, esta aproximação ão é verdadeira, uma vez que, como se sabe, as paredes dos vasos são extremamete elásticas, sedo, iclusivamete, um fator importate de regulação do fluxo sagüíeo [6]. O cietista fracês Jea Louis Poiseuille ( ) se iteressou bastate por questões relacioadas com a circulação saguíea e determiou experimetalmete como variava a velocidade do sague, o que posteriormete pôde ser deduzido teoricamete. Cosideremos o fluxo de sague em um vaso sagüíeo. Um segmeto de uma artéria ou de uma veia pode ser ecarado como um tubo cilídrico de diâmetro costate. Admitamos que a secção trasversal seja um círculo de raio R. O sague possui viscosidade que é represetado por η (letra grega eta). A viscosidade é medida em poise, a qual é cm -1 g s -1 o sistema CGS (cm = cetímetro, g = grama, s = segudo). Também há atrito as paredes do tubo. A velocidade do sague em cotato com a parede do vaso é zero e a velocidade é máxima ao logo do eixo do cetro do tubo. O fluxo sagüíeo pode ser lamiar, quado os vasos sagüíeos estão em codições ormais, ou turbuleto, por exemplo, em um vaso que é parcialmete obstruído. A palavra poise para a uidade de viscosidade é uma abreviação de Poiseuille, vide bibliografia [5].

9 Agora admitamos um fluxo lamiar. Seja r a distâcia a qualquer poto do líquido a partir do eixo do tubo (veja Figura 5). Etão a velocidade v é uma fução de r. Podemos escrever v = v(r). O domíio da fução é o itervalo 0 r R. Etão a velocidade v (cm s -1 ) é P 4ηL 2 2 v = (R - r ) ode L represeta o comprimeto do tubo (cm), extremos do tubo (cm -1 g s -2 ), R e η foram defiidos ateriormete. P a difereça de pressão etre os dois Figura 5: Represetação da distâcia r a partir do eixo do tubo. Claramete, v = 0 para r = R. Para r =0 a velocidade alcaça o seu máximo. Etão a imagem da fução é 0 v P R 2 4ηL. Para coceituar a lei de Poiseuille, é importate defiir primeiramete fluxo, o qual é a quatidade de fluido que passa por um determiado poto da circulação em um dado período de tempo. Da mesma forma esta defiição serve para o fluxo sagüíeo que é, geralmete, expresso em mililitros, ou litros por miuto e o total da circulação de uma pessoa adulta em repouso é de cerca de ml por miuto. A isto deomia-se débito cardíaco, porque costitui a quatidade de sague bombeada por cada vetrículo do coração um período uitário de tempo. Portato, é claro que essa mesma quatidade de sague deve passar através de ambas as circulações sistêmica e pulmoar. O fluxo sagüíeo varia bastate os diferetes tecidos e em determiados tecidos ecessitam de um fluxo bem maior do que outros. Tecidos como músculos esqueléticos apresetam grades variações o fluxo sagüíeo através dos mesmos em diferetes situações: Durate o repouso o fluxo é relativamete pequeo, mas aumeta sigificativamete durate o trabalho, quado o cosumo de oxigêio e demais utrietes aumeta e a produção de gás carbôico e outros elemetos também aumeta.

10 Com isso, a seguite lei defiida por Poiseuille é que o fluxo ϕ de um tubo cilídrico trasportado um líquido viscoso com o raio R, comprimeto L, pressão P e coeficiete de viscosidade η: 4 R P. π ϕ = 8ηL Esta lei tem extrema importâcia para o estudo do fluxo sagüíeo [3], e será deduzida a próxima secção. Fluxo Sagüíeo: Uma Aplicação da Itegral de Riema Vamos agora calcular o volume de sague que flui através de uma secção da artéria, ou seja, o fluxo sagüíeo. Para tato, dividamos o itervalo 0 < r < R em subitervalos iguais, de comprimeto r, tal que r j seja o iício do j-ésimo subitervalo. Estes subitervalos determiam aéis cocêtricos, coforme Figura 6: Figura 6: Represetação de uma artéria subdividida em aéis cocêtricos. Quado r é pequeo, a área do j-ésimo ael é aproximadamete igual à área de um retâgulo cujo comprimeto é a circuferêcia do meor perímetro do ael e cuja largura é r, isto é, Área do j-ésimo ael 2π r r. A multiplicação da área do j-ésimo ael (cm 2 ) pela velocidade do fluxo sagüíeo através dele forece a razão (cm 3 s -1 ) com que o sague escoa. Como a velocidade do sague através do j-ésimo ael é aproximadamete igual a v(r j ) cm s -1, segue-se que: j

11 Fluxo saguíeo através do j-ésimo ael área do velocidade do sague j-ésimo ael através do j-ésimo ael ( 2π rj r) v( rj ) P 2 2 ( 2π rj r) ( R - rj ) 4ηL P 2 3 2π ( R r j - rj ) r 4ηL O fluxo através da secção iteira é a soma das razões associadas a cada um dos aéis cocêtricos, ou seja, P 2 3 Fluxo 2π ( R r j - rj ) r 4ηL j= 1 Por coseguite, quado cresce ao ifiito, o somatório tede para o valor verdadeiro do fluxo, P 2 3 Fluxo = ϕ = lim 2 ( R r j - rj ) r 4ηL π j = 1 R P 2 3 = 2π ( R r - r ) dr 0 4ηL = 2π r - 4ηL P R 2 r R 0 π R 8ηL 4 3 = P / cm s Esta é a expressão matemática da Lei de Poiseuille. A depedêcia com o iverso da viscosidade e do comprimeto do tubo é atural: quato mais comprido for o tubo, para uma mesma difereça de pressão, meor deverá ser o fluxo. O mesmo se aplica à depedêcia com a viscosidade: quato mais viscoso for o fluido, meor deverá ser o fluxo. Curiosa é a depedêcia do fluxo sagüíeo com o raio da secção reta ser com a quarta potêcia de R, [2] e [3]! Exemplo Para termos uma visão mais ampla da Lei de Poiseuille, e da expressão da velocidade, estudaremos um exemplo umérico, o qual foi escolhido por ser o mais realista possível.

12 Cosideremos o sague arterial com sua maior cocetração de O 2 ligado à hemoglobia. Para o sague humao sua viscosidade é um pouco iferior, à do sague veoso, em média η = 0,027 poise. O sague flui através de uma arteríola (capilar arterial largo) de comprimeto L = 2 cm e raio R = cm. Em uma extremidade, a pressão é maior do que a outra e essa difereça é por: P = cm -1 g s -2. Etão a velocidade é dada P 4 10 v = (R - r ) = ( r ) cm s v = 1,185-1,85 10 r cm s 4ηL 4 0, ( ) ( ) ( ) e a seguir ilustraremos a depedêcia da velocidade com a distâcia a qualquer poto do líquido a partir do eixo do tubo, ou seja, r, com o gráfico da Figura 7: Velocidade (cm/s) Distacia (cm) x 10-3 Figura 7: Gráfico da velocidade x distâcia em relação ao eixo cetral da artéria. E o fluxo é dado por: π R π (8 10 ) π ϕ = P = (4 10 ) = (4 10 ) ϕ = 1, ηL 8 0, , ( cm s )

13 arteríola. Veja o gráfico da Figura 8 como o fluxo varia de acordo com a variação do raio da 1.2 x Fluxo (cm 3 /s) Raio (cm) x 10-3 Figura 8: Gráfico do fluxo x raio da artéria. Artéria aorta e o fluxo sagüíeo Vamos aalisar o que se passa ao ível da artéria aorta, lembrado que artéria aorta é a mais importate artéria do sistema circulatório do corpo humao. Dela se derivam todas as outras artérias do orgaismo. A aorta se iicia o coração, a base do vetrículo esquerdo, e termia à altura da quarta vértebra lombar, ode se divide as artérias ilíacas comus. O poise (P), como havíamos dito, é a uidade de viscosidade diâmica o sistema CGS de uidades. A uidade aáloga o Sistema Iteracioal de Uidades é o Pascal segudo (Pa s):1 Pa s = 1 kg m 1 s 1 = 10 P (poise) [5]. Assim, tedo em vista que o diâmetro da artéria aorta é cerca de 2 cm, admitido que o seu comprimeto é aproximadamete 40 cm, e que a difereça de pressão é 32.6 Pa, sabedo que a viscosidade do sague é de aproximadamete de η = Pa s, facilmete se calcula a velocidade do sague que ela circula o eixo cetral e o fluxo sagüíeo:

14 P v = (R - r ) = -3 ( 0.01 ) v = 0,51 ( m s ) e 4ηL π R π (10 ) ϕ = P ϕ = (32,6) ϕ = ηL ,4 ( m s ) Ifarto O miocárdio (músculo do coração) recebe alimetos e oxigêio através das artérias coroárias, os primeiros ramos da aorta, ou seja, o coração é o primeiro a usufruir de seu próprio trabalho. Uma das formas de ocorrer um ifarto é pelo acúmulo de colesterol (lipoproteía de alta desidade) que pode se acumular as paredes da aorta, dificultado a utrição do miocárdio, e, isto ocasioa uma redução a área trasversal da aorta e produz uma pressão diâmica maior, ocasioado uma redução a pressão mecâica (veja Figura 9). Com uma redução da pressão mecâica, ocorre um refluxo a coroária e coseqüetemete uma isquemia (suspesão localizada de irrigação saguíea devida à má perfusão circulatória arterial). Sem receber utriete e oxigêio o músculo cardíaco morre, isto é, ocorre o ifarto agudo do miocárdio. Existem outras formas de ocorrer ifarto, como por exemplo, pela aterosclerose (etupimeto) das coroárias em virtude do acúmulo de LP(a) e LDL, dois tipos de colesteróis, chamados de maus colesteróis. Figura 9: Represetação do coração após ocorrer ifarto, e em destaque a artéria obstruída.

15 Com esta defiição, vamos verificar o que acotece com o fluxo sagüíeo caso haja um etupimeto parcial de uma artéria. Supoha que ocorra uma obstrução essa artéria de 25%, assim vamos modelar duas situações de obstrução cujas aproximações serão descritas as Figuras 10 e 11. Para o cálculo do fluxo sagüíeo (ϕ 1 ) da artéria obstruída como a Figura 10, fizemos o mesmo procedimeto, pelo qual deduzimos a Lei de Poiseuille. Dividido o itervalo 0 < r < R em subitervalos iguais, de comprimeto r, tal que r j seja o iício do j- ésimo subitervalo. Assim, a área do j-ésimo ael é aproximadamete igual à área de um retâgulo cujo comprimeto é a circuferêcia do meor perímetro do ael e cuja largura é r. A circuferêcia do meor perímetro do ael que estamos cosiderado agora é dado π 3π 3π por: 2π rj rj rj, e etão a área do j-ésimo ael é rj r Figura 10: Represetação uma artéria com 25% de obstrução a área da secção trasversal. Logo, podemos obter o fluxo sagüíeo: Fluxo saguíeo através do j-ésimo ael área do velocidade do sague j-ésimo ael através do j-ésimo ael 3π r j r v r 2 ( j ) 3π 2 2 r j r k1 ( R - r j ) 2 3π 2 k ( R 2 r - r 3 ) 1 j j r

16 P ode, k1 =, sedo L o comprimeto da artéria ode ocorreu a obstrução e P 1 a pressão 4ηL este local. Assim como feito ateriormete, itegrado essa expressão obteremos: 3π k R ϕ s Fluxo = 1 = cm / Da mesma maeira, vamos agora calcular o volume de sague que flui através de uma secção da artéria obstruída (ϕ 2 ), ilustrada a Figura 11. Figura 11: Represetação uma artéria com 25% de obstrução a área da secção trasversal. Como a área da secção trasversal da artéria será reduzida de 25% teremos: π 2 R 100% 3 πt 2 75% t = R. 4 Desse modo, a velocidade será dada por: v = k2(t - r ) v = k 2 R - r 4, P2 ode, k2 =, sedo L o comprimeto da artéria ode ocorreu a obstrução e P 2 a pressão 4ηL este local. Etão o fluxo será dado por: Fluxo = ϕ2 = lim 2π k2 R rj - rj r j = R 4 3 = π k2 R r- r dr 0 4

17 r r π k 2 = 2 R R π k2r =. 32 Assim, supodo que os três casos o sague possua a mesma viscosidade (η), e cosiderado o mesmo comprimeto (L) da artéria, temos que: ϕ 4 P = ϕ 3 P 1 1 e ϕ 16 P = ϕ 9 P, 2 2 ou seja, a razão etre ϕ e ϕ 1 é proporcioal à razão etre P e P 1 e a razão etre ϕ e ϕ 2 é proporcioal à razão etre P e P 2. Aemia A aemia é uma aomalia caracterizada pela dimiuição da cocetração da hemoglobia detro das hemácias e pela redução a quatidade de hemácias o sague. Isso resulta em uma redução da capacidade do sague em trasportar o oxigêio aos tecidos, pois a hemoglobia, uma proteía presete as hemácias, é resposável pelo trasporte de oxigêio dos pulmões para os demais órgãos e tecidos e de dióxido de carboo destes para ser elimiado pelo pulmão. Os sitomas da aemia são variáveis, sedo os mais comus fadiga, fraqueza, palidez (pricipalmete ao ível das cojutivas), déficit de cocetração ou vertiges. Nos quadros mais severos podem aparecer taquicardia, palpitações. Afeta também a gegiva (causado, em casos mais graves, o seu sagrameto). Um dos sitomas acima, a taquicardia, se deve ao fato do sague de uma pessoa aêmica apresetar meor viscosidade e, cosequetemete, um maior fluxo através de seus vasos. Desse modo, para verificar esse fato, usamos a equação de fluxo, assim: π R 8ηL 4 3 Fluxo = P / com R o raio da artéria, L o comprimeto da artéria, η a viscosidade do sague e cm s P a variação da pressão. que: Como uma pessoa aêmica tem uma meor viscosidade, pela equação percebemos

18 π R 8ηL 4 3 Fluxo = P / dimiui o valor do deomiador, e etão haverá um aumeto do fluxo. Isto justifica o aumeto dos batimetos cardíacos. cm s Coclusão Neste trabalho estudamos uma aplicação da Itegral de Riema em um feômeo biológico, demostrado a Lei de Poiseuille e a fórmula do Fluxo Sagüíeo. A partir destes cohecimetos modelamos duas represetações geométricas da obstrução de uma artéria e calculamos as razões etre o fluxo sagüíeo de uma artéria ormal e os fluxos destas represetações da artéria obstruída. Referêcias Bibliográficas [1] Amabis & Martho, Biologia do orgaismo 2. Editora Modera, volume úico. [2] Batschelet, E., Itrodução à matemática para biocietistas. São Paulo: EDUSP,1978. [3] Hoffma, L. D.; Bradley, G. L., Cálculo: um curso modero e suas aplicações. Rio de Jaeiro: LTC,2002. [4] [5] [6]