TI-Ciências. education.ti.com/portugal. Editorial. Índice. TI-Ciências Fevereiro Editorial O Meteoro Modelação geométrica...

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1 TI-Cêncas TI-Cêncas Feverero 003 Edtoral Sempre que os professores, os formadores ou os nvestgadores pretendem elaborar ou reformular os programas de Matemátca, com o objectvo de promover e fazer evolur o ensno desta dscplna, colocam-se-lhes duas questões: por um lado, qual o lugar da Matemátca no ensno? por outro quas as áreas da Matemátca a ensnar, como as lecconar e quas as ajudas e que tpo de acompanhamento deve ser dado aos professores? Como o ensno tem dversas fnaldades, não apenas a formação profssonal, ele promove a cultura da socedade em cada época, assm a mportânca da Matemátca é analsada em relatvamente a uma dupla sgnfcação: a nível nterno (no sentdo da sua própra dentdade que precsa os seus objectvos, os seus métodos e a sua dversdade) e em lgação com outros domínos do saber. Esta relação entre a Matemátca e outros tpos de conhecmento deve ser multlateral. Por exemplo, entre a Matemátca e a Físca as nteracções são frutuosas nos dos sentdos e mutas vezes permtem conhecer melhor, compreender melhor, explcar e algumas vezes prever certas stuações ou determnados fenómenos. O ensno da Matemátca, desde o ensno secundáro, deve mostrar a pertnênca desta dscplna, bem como a sua partcpação na resolução de problemas físcos. Neste contexto torna-se necessáro ensnar ao aluno, que a matematzação dum fenómeno deve ser acompanhada do reconhecmento do seu domíno de valdade e dos seus lmtes. Inversamente, também se deverá explcar ao aluno como os problemas relaconados com o conhecmento do mundo actual desempenham um mportante papel no desenvolvmento dos concetos, das teoras e dos métodos. È gualmente desejável ensnar-se -lhes que, bem mas do que um smples nstrumento técnco de resolução de problemas, a Matemátca e os seus métodos partcpam na formulação de numerosos problemas. Índce Edtoral O Meteoro Modelação geométrca Amortzação de um Empréstmo Programa Educaconal Texas Instruments Em mensos países, quando se pretendem fazer reformas no ensno, constata-se que a Matemátca aparece na lnha da frente, no conjunto de dscplnas cujos programas têm de ser reformulados. Esta constatação parece-nos de certa forma evdente, pos um pouco por todo o lado, a Matemátca é consderada como base de toda a formação que envolva a cênca e a técnca. Para promover uma evolução soco-económca de competênca centífca e tecnológca nos jovens, é necessáro colocar a Matemátca no centro de um ensno moderno, pos ela é por excelênca uma dscplna de formação que promove o racocíno e o espírto crítco e centífco. Isabel Cleto dos Santos / José Alberto Rodrgues educaton.t.com/portugal

2 O Meteoro Helena Rocha A proposta de trabalho que aqu se apresenta, ncde sobre o tema de Funções ao nível do ensno secundáro e, embora não exclusvamente, fundamentalmente ao nível do 10º ano de escolardade. A tarefa é seguda de comentáros, ao longo dos quas se procura apresentar algumas das possíves respostas às questões colocadas, bem como sugerr algumas hpoteses de exploração das potêncaldades dsponblzadas pela calculadora e que poderão, eventualmente, não ser do conhecmento de alguns letores, menos famlarzados com esta tecnologa. Comentáros Esta pode ser uma tarefa nteressante para propor a alunos durante o estudo das funções polnomas ou mesmo durante o estudo da função quadrátca. Na prmera questão pedem-nos que encontremos a expressão de uma função que passssa por cnco pontos dados. Assm, o melhor é começarmos por crar uma representação gráfca desses pontos, que posterormente nos faclte a procura da referda função. Para sso podemos optar por dos camnhos lgeramente dferentes. Podemos começar por crar duas lstas, que podemos desgnar por L1 e L (também podemos escolher nomes mas sugestvos, uma vez que a TI-83 Plus nos permte escolher nomes para as lstas), contendo a prmera os valores da velocdade e a segunda os da temperatura máxma alcançada pelo meteoro (proceda como ndcado na fgura, utlze a tecla STO para obter a seta e não se esqueça de carregar ENTER no fnal). Em alternatva podemos aceder à estatísca (STAT), selecconar EDIT e ntroduzr os dados na tabela, como se pode ver ao lado. A calculadora utlzada fo a TI-83 Plus. No entanto a proposta de trabalho não é exclusva para este modelo. Em cada ano há mlhares de meteoros que penetram na atmosfera terreste. Quando o meteoro entra na atmosfera sofre um aquecmento rápdo e adqure o aspecto de uma estrela cadente. O grau a que o meteoro é aquecdo depende da sua velocdade, ou seja, a temperatura máxma alcançada pelo meteoro é função da velocdade a que este penetra na atmosfera. Na tabela que se segue encontram-se alguns valores aproxmados desta função. Velocdade (m/s) Temperatura Máxma (ºC) Procure descobrr a expressão da função. Consderando a função que encontrou como modelo da stuação, qual será a máxma temperatura alcançada por um meteoro que penetre na atmosfera a uma velocdade de 10 m/s? E se for a 0 m/s? 3. E se da tabela apenas conhecesse os dos prmeros valores, havera outras funções possíves? Uma vez cradas as lstas vamos pedr à calculadora que as use na construção de um gráfco. Para sso vamos pressonar nd Y= (para aceder a Stat Plot) e carregar ENTER para defnr o prmero gráfco (a máquna permte que sejam defndos até três gráfcos: Plot1, Plot e Plot3). Vsualzamos então um écran como o apresentado, devendo os sombreados ser colocados tal como na fgura, para que a calculadora trace um gráfco de pontos, utlzando os valores de L1 no exo dos xx e os de L no exo dos yy. Basta agora traçar o gráfco (pressonando GRAPH) e provavelmente reajustar os valores de wndow. TI-Cêncas

3 O Meteoro contnuação Uma vez obtda uma representação gráfca dos dados podemos prossegur, por tentatvas e utlzando os conhecmentos até então adqurdos sobre os gráfcos de funções polnomas, até encontrar uma expressão para esta função. A últma questão procura levar os alunos a aperceberem-se da multplcdade de funções que é possível encontrar a passar por um reduzdo número de pontos. Uma possível abordagem sera permtr a lvre procura de outras funções nas condções ndcadas. No entanto, também é possível utlzar a calculadora para, recorrendo a uma regressão quadrátca, encontrar a expressão duma função que consttua uma boa aproxmação da que pretendemos (pressonando e selecconando sucessvamente STAT, Calc e QuadReg), o que, neste caso concreto, até nos permte encontrar mesmo a expressão pretendda. A resposta à segunda questão pode ser obtda por város processos. Podemos recorrer à tabela (pressonando nd GRAPH). Neste caso convém ter o cudado de defnr o ncremento da tabela (pressonando nd TBLSET), por exemplo para 5, de forma a que nos seja possível vsualzar os valores da função para x 5 10 e x 5 0. Também é possível defnr a tabela de modo a que nos seja permtdo colocar na coluna dos varores de x apenas os números que desejamos. Para sso temos de colocar, em TBLSET, a varável ndependente em As. Esta opção permte-nos vsualsar uma tabela em branco, onde podemos preencher os valores de x e vsualzar o correspondente valor de y carregando apenas em ENTER. Uma outra possbldade é centrarmo-nos no gráfco e recorrer, por exemplo, à opção value do menu CALC. Neste caso é no entanto necessáro que o valor de x que vamos ntroduzr, se encontre entre os valores Xmn e Xmax no Wndow. A calculadora apresenta então o valor corrrespondente ao y e coloca uma cruz no repectvo ponto do gráfco. TI-Cêncas 3

4 Modelação geométrca Joaqum Antóno Pnto Dado um quadrado de lado, consdere-se um ponto Q, que se desloca ao longo de um dos lados e que va gerando quadrados nscrtos no quadrado dado. com o ponto B veremos que o deslocamento, x, vara entre zero e. Q Q Consderando agora a questão: Observando as fguras, e sem fazer cálculos, faz um esboço de um gráfco que traduza a varação da área em função do deslocamento de Q. Q Entre que valores pode varar o deslocamento? Observando as fguras, e sem fazer cálculos, faz um esboço de um gráfco que traduza a varação da área em função do deslocamento de Q. Defne analtcamente a função e confrma o gráfco que esboçaste. Quando é que a área é mínma? Quando é que é máxma? Qual é o contradomíno? Há deslocamentos dferentes que dêem orgem a quadrados com áreas guas? (n, Geometra para o 10º Ano de Matemátca, DES, 1997) Q Para fazer um esboço do gráfco que traduz a varação da área em função do deslocamento de Q, vamos pensar expermentalmente do segunte modo: com régua e compasso desenhamos sucessvos quadrados correspondentes a deslocamentos dferentes do ponto Q, medmos o deslocamento e calculamos a respectva área., complamos os dados assm recolhdos e armazenamo-los em duas lstas, numa qualquer calculadora gráfca, depos pedmos a nuvem de pontos correspondente ás lstas que acabámos de construr. Com a TI-9 ou com a Voyage 00 podemos pensar da mesma manera mas automatzar toda a stuação. Ou seja, partndo dos écrans anterores vamos pedr para a máquna nos calcular a área de cada um dos quadrados, de seguda defnmos as entradas de valores para a construção de uma tabela, em que a prmera entrada será o deslocamento x, e a segunda a área do quadrado [QPRS]. Proposta de resolução: Pensemos na questão: Entre que valores pode varar o deslocamento? Podemos responder, observando a fgura anterror e atendendo a que medda do lado maor é e que se o ponto Q se desloca ao longo de um dos lados, o deslocamento, que passamos a desgnar por x, varará entre zero e. Isto pode ser faclmente constatado com o Cabr na TI-9 Plus ou na Voyage 00. Vejamos: Utlzando a possbldade de dar anmação a esta construção vamos recolher dados automatcamente e construr a tabela. o segmento de recta [AB] serve para defnr o lado do quadrado maor, ou seja,, o ponto Q va-se deslocando ao longo desse segmento, e x será a dstânca de A a Q. Podemos ver que não perdemos nada em termos de futuras generalzações dado que podemos varar sempre o valor de. Fazendo concdr o ponto Q com o ponto A e posterormente 4 TI-Cêncas

5 Modelação geométrca contnuação Temos então a segunte tabela: Podemos agora trabalhar estatstcamente os dados recolhdos e fazer a nuvem de pontos um esboço correspondente a estes dados. Podemos defnr analtcamente a função se atendermos á fgura segunte: para calcularmos a área do quadrado [QPRS] é sufcente usarmos o teorema de Ptágoras, em relação ao trângulo [AQS]. Sendo assm, QS 5 x 1 ( x) D S R C QS 5 x 1 x 1 x ou seja, a área em função de x, que passo a desgnar por A(x), é dada por A(x) 5 x x 1. -x P Com a calculadora (TI-9 ou Voyage 00) e utlzando a A x Q B tabela obtda anterormente podemos pedr uma regressão quadrátca e tentar encontrar assm a curva que melhor se adapta á nuvem de pontos que construímos. Donde: Como faclmente constatamos, o gráfco que traduz a varação da área em função do deslocamento de Q parece ser uma parábola. Outro processo sera utlzar as potencaldades do Cabr para fazer o esboço do gráfco da função. Para sso vamos proceder do segunte modo: nsermos um sstema de exos coordenados e atrbuímos ao exo das abcssas o valor do deslocamento do ponto Q e ao exo das ordenadas o valor da área. Para a regressão quadrátca y 5 ax 1 bx 1 c, obtvemos a 5, b 5 4 e c 5 4 ou seja, y 5 x 4x 1 4 o que confrma o resultado obtdo analtcamente, pos, no nosso caso, 5, e substtundo por em A(x) obtemos precsamente esta expressão, sto é, A(x) 5 x x() 1 () A(x) 5 x 4x 1 4. Espretemos, na calculadora, o gráfco de A(x) para 5. Analsemos agora qual é o lugar geométrco que o ponto T percorre quando o ponto Q se desloca ao longo do segmento [AB]. Também aqu, como era de esperar, o ponto T va percorrer uma parábola. Vejamos novamente a nuvem de pontos no écran da esquerda e no écran da dreta os dos gráfcas sobrepostos: Relatvamente à questão: Defne analtcamente a função e confrma o gráfco que esboçaste. Como era de esperar a nuvem de pontos e o gráfco da função A(x) para 5 vão concdr, ou seja, por um lado confrmamos o esboço anterormente obtdo, por outro, encontrámos de dos modos dferentes um analítco e outro estatístco a expressão que defne a função. TI-Cêncas 5

6 Modelação geométrca contnuação Quanto à questão: Quando é que a área é mínma? Quando é que a área é máxma? Qual é o contradomíno? A área será mínma para x 5 } }. Com efeto, A(x) 5 x } } 1 } }, expressão analítca que nos exbe as coordenadas do }, e dado que a parábola tem vértce da parábola, v 5 } }, } concavdade voltada para cma a abcssa do vértce será o mnmzante da função e a ordenada será o mínmo, grafcamente teremos, (para 5 ): Daqu resulta que o contradomíno va ser o ntervalo Por fm, a questão: Há deslocamentos dferentes que dêem orgem a quadrados com áreas guas? } }, Respondemos que sm, pos basta recordar que a parábola é smétrca em relação à recta vertcal que passa pelo vértce e então a deslocamentos gualmente afastados da abcssa do vértce vão corresponder áreas guas. E a tendendo à resposta dada na questão anteror podemos também comfrmar que há deslocamentos dferentes que dão orgem a áres guas. Em termos de Cabr podemos ver: O que vem reforçar o que obtvemos analtcamente. Por outro lado a área será máxma quando o deslocamento for nulo ou for gual a, e então obteremos, nos dos casos, a área gual a. Grafcamente, utlzando o Cabr, constatamos o que acabamos de afrmar: Faclmente reparamos que para x e para x obtemos a mesma área; como abcssa do vértce é 1, com 5, vem então que e , ou seja, o afastamento em relação à abcssa do vértce é o mesmo. Amortzação de um Empréstmo Raul Aparíco Mutas vezes se ouve falar de amortzação de um empréstmo a uma determnada taxa. É natural que o letor já tenha tdo a necessdade de recorrer a um empréstmo e, consequentemente, teve de fazer entregas peródcas para pagar a dívda. Poderá ter recebdo nformação a partr de dferentes smulações, ou mesmo, feto estas smulações pessoalmente. Talvez se tenha preocupado pouco em saber porque razão a folha de cálculo ou outro software geram aqueles valores de orgem aparentemente desconhecda. O que se pretende, é precsamente observar este lado menos vsível dos empréstmos. Na realdade, se queremos amortzar um empréstmo (C) contraído por um período de n anos, a uma taxa de juro (para facltar os cálculos fnanceros vamos consderar para, o valor do mposto em percentagem, dvddo por 100), nas condções referdas anterormente; o valor da prestação mensal é dado pela fórmula, de utldade pedagógca duvdosa, C 3 } } } } 1n 1 p } 1 } 1n Note-se que, pagando prestações mensas, Ao fm da Nª prestação Pago Anda devo 1ª p C 1 1 } 1 } p ª p C 1 1 }}p }}p 1 5 C 1 1 } 1 } p 1 1 }}p 1 3ª p C 1 1 } 1 } 3 p 1 1 } 1 } p 1 1 } 1 } p... p... Nª p C 1 1} } N 1 p 1 1 } } N- 1 p 1 1 } 1 } p No fnal do período de pagamento (N prestações), tem de se verfcar: C 1 1 } } N N-1 1 p 1 1 } } (1) 50} Soma de N termos de uma progressão geométrca 6 TI-Cêncas

7 Amortzação de um Empréstmo Raul Aparíco Escola Secundára de Ermesnde Portugal O método de ndução matemátca é efcaz para demonstrar a afrmação anteror. Resolvendo (1) em ordem a p, surge a fórmula já referda anterormente. Ao utlzar a folha de cálculo na máquna de calcular gráfca TI-83 Plus (CellSheet ), tem de ser ntroduzda a fórmula. Sob este ponto de vsta, poderá ser necessáro o seu aparecmento ao trabalhar com alunos. Poderá ter algum nteresse analsar o que sucede se se estender o período de empréstmo até 40 anos. Podemos conclur que este empréstmo, quando contratado por um período de 40 anos leva a uma redução dos encargos mensas relatvamente a um período de 30 anos de cerca de 50, mas leva também a um aumento do encargo fnal de cerca de Esta aplcação (CellSheet) faz parte do software da calculadora Voyage 00, que permte uma maor versatldade de trabalho. Como exemplo, vamos calcular o valor da prestação mensal, para amortzar um empréstmo relatvo ao crédto à habtação no valor de 85000, por um período de 30 anos, a uma taxa de 4,15%. Bblografa Consultada: CANADAS, N. (1998) MATF, A matemátca de fnancamento e de aplcação de captal, Plátano Ed. GONZÁLEZ, J.L. / LÓPEZ, J. (1998) Matemátcas 4º Opcón B, Oxford Unversty Press España S.A.. t83pcellsheetapp_por.pdf (CellSheet Gude Boo) voyagegudept.html TI-Cêncas 7

8 Programa Educaconal Texas Instruments (Portugal) A TI tem vndo a desempenhar um papel bastante actvo no desenvolvmento do conhecmento matemátco e centífco, pela dvulgação de polítcas de suporte ao ensno: Bblografa relaconada com a utlzação de tecnologa na sala de aula, Programa de Empréstmo de Equpamento TI, Programa de Compra em Volume, Programa VIP, Acções de Formação, e muto mas poderá consultar detalhadamente o unverso Texas Instruments no ste educaton.t.com/portugal Se pretender obter algum esclarecmento pessoal sobre algum assunto lgado à utlzação de tecnologa gráfca com o ensno, não heste em contactar-nos: CSC (Centro de Suporte ao Clente) t-cares@t.com Programa de Empréstmo t-loan@t.com PROGRAMA EDUCACIONAL TEXAS INSTRUMENTS Tel.: Fax: Tlm.: E-mal: x0amaral@t.com ou t-meneses@t.com Dstrbudores DISMEL Rua Coronel Ferrera do Amaral, 9C 1900 Lsboa Tel.: Fax: E-mal: nfo@dsmel.pt Internet: TETRI Estrada da Crcunvalação, Ro Tnto Tel.: Fax: E-mal: tetr@tetr.pt Internet: Peça já o seu CD de Actvdades e assne gratutamente as nossas revstas! Se pretender o CD escreva à frente dos quadrados de opção Matemátca/Físco-Químca CD de Actvdades. Fotocope,recorte e cole num postal! (Fotocope este formuláro e dstrbua-o pelos seus (suas) colegas). Selo 54$90 Nome Matemátca: Físco/Químca: Nível de Ensno Rua Texas Instruments Programa Educaconal Rua 5, Espnho C. Postal/Local. Tel.: E-mal: Escola: Enquanto a Texas Instruments e os seus agentes tentam garantr a valdade dos comentáros e das afrmações escrtos nesta publcação, não será acete qualquer responsabldade em nenhuma crcunstânca por mprecsões de conteúdo, artgos ou reclamações efectuadas pelos colaboradores. As opnões publcadas podem não ser necessaramente as opnões da Texas Instruments. Todas as calculadoras dsponíves na Europa são fabrcadas de acordo com a certfcação ISO Cabr Géomètre II é uma marca comercal da Unversté Joseph Fourer. Todas as outras marcas comercas são propredade dos respectvos propretáros. A Texas Instruments reserva-se o dreto de alterar produtos, especfcações, servços e programas sem avso prévo. Impresso em papel sento de cloro 100% recclável por Thamesdown Colour Lmted, Inglaterra. Composção Cloud 9 Publshng Lmted, Inglaterra. 003 Texas Instruments Incorporated CL003MNL1/P XX/SL/1E4/Q