Métodos de identificação de efeitos na dispersão em experimentos fatoriais não replicados

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1 Métodos de dentfcação de efetos na dspersão em expermentos fatoras não replcados Resumo Antono Fernando de Castro Vera Eugeno Kahn Epprecht A dentfcação de fatores que afetam a méda e a dspersão de característcas de qualdade é essencal para a otmzação de produtos e processos produtvos. Para tal dentfcação, costuma-se utlzar expermentos fatoras. A análse de efetos sobre a dspersão, contudo, usualmente demanda repetções do expermento sob as mesmas condções (replcações), que podem ser caras. Assm, város métodos têm sdo propostos na lteratura para a dentfcação de efetos na dspersão a partr de expermentos fatoras não replcados. Neste artgo, analsamos alguns desses métodos, lustrados com um exemplo de um processo produtvo, conclundo pela superordade de um método teratvo baseado em modelos lneares generalzados. Fnalmente, utlzando os modelos para a méda e para a dspersão, fornecdos pelo método teratvo, procedemos à otmzação do processo descrto no exemplo. Palavras-chave: Expermentos fatoras. Modelos lneares generalzados. Otmzação de processos. Introdução Técncas estatístcas e matemátcas são útes para o desenvolvmento, melhora e otmzação de processos produtvos. Essas técncas são gualmente útes para o projeto e desenvolvmento de novos produtos, bem como para a melhora de produtos exstentes. Nesse contexto, é partcularmente mportante aplcar essas técncas na dentfcação de fatores que nfluencam característcas de qualdade de processos ou produtos. Na otmzação de processos produtvos e de projetos de produtos, os métodos ncalmente utlzados tnham como foco prncpal a dentfcação de fatores que afetam a méda da característca de qualdade (resposta). Os efetos transmtdos por esses fatores são denomnados efetos na méda (locaton effects). Seu conhecmento possblta um ajuste nos fatores que propca um valor desejado para a méda da resposta. Com a modernzação dos concetos de qualdade - quando então varânca mínma passou a ser snônmo de qualdade -, a análse dos fatores que afetam a varânca da resposta tornou-se alvo de nteresse. Os efetos transmtdos por esses fatores são denomnados efetos na dspersão (dsperson effects). O conhecmento desses efetos possblta um ajuste nos fatores que propca a mnmzação da varânca da resposta. Para uma descrção abrangente do mpacto de tas efetos na qualdade dos produtos, ver Myers e Montgomery (00). Para a dentfcação dos fatores que afetam a dspersão, é desejável utlzar expermentos replcados, porque, com replcações, pode-se construr um modelo para a dspersão, através da varânca das observações replcadas, ndependentemente do modelo utlzado para a méda. Entretanto, expermentos replcados podem ter alto custo ou longo tempo de expermentação. Daí o nteresse em expermentos sem replcações. Para uma abordagem de expermentos com replcações, ver McCullagh e Nelder (989), Grego (993) e Myers e Montgomery (00). Neste artgo descrevemos três métodos de dentfcação de efetos na dspersão aplcados a expermentos sem replcações e lustrados com um exemplo real provenente da lteratura. Nosso objetvo é exemplfcar e comparar os três métodos e fornecer uma revsão bblográfca dos trabalhos relevantes sobre o tema. Embora tratemos aqu de métodos de dentfcação de efetos na dspersão, é mportante construr um modelo adequado para a méda. Isto porque, não havendo replcações, o modelo para a dspersão é obtdo através dos resíduos provenentes do modelo da méda. Erros na dentfcação dos fatores nfluentes sobre a méda afetam tas Gest. Prod., São Carlos, v. 6, n., p. 99-0, jan.-mar. 009

2 00 Vera e Epprecht resíduos e podem levar à dentfcação de efetos espúros na dspersão ou à não-dentfcação de efetos reas. Na Seção, apresentamos uma revsão bblográfca comentada dos prncpas artgos sobre a dentfcação de efetos na dspersão em expermentos não replcados. Apesar de haver mutos trabalhos sobre o assunto, não encontramos uma descrção detalhada dos métodos reunda em um únco artgo, com uma lustração, como fazemos aqu. Na Seção 3, apresentamos três métodos para dentfcar efetos na dspersão. Os métodos são lustrados com um exemplo. Na Seção 4, fazemos comentáros adconas comparando a efcáca e a ampltude de aplcabldade dos métodos descrtos na Seção 3. Na Seção 5, apresentamos as conclusões e recomendações, bem como ndcações para trabalhos futuros. Revsão da lteratura Nesta seção, apresentamos um apanhado do estado da arte para modelagem da dspersão em expermentos fatoras não replcados. Aqu fornecemos as referêncas que descrevem os métodos que consderamos relevantes sobre o assunto. Quanto a métodos de dentfcação de modelos para a méda, para revsão e comparação, recomendamos Hamada e Balakrshnan (998). O prmero artgo para dentfcação de efetos na dspersão em expermentos não replcados é o de Box e Meyer (986). Eles propuseram um método baseado na varabldade dos resíduos provenentes do modelo ajustado para a méda por mínmos quadrados. Este método é descrto e lustrado na Seção 3. Bergman e Hynén (997) também propuseram um método baseado na varabldade dos resíduos provenentes do modelo ajustado para a méda, provendo então uma estatístca de teste baseada na dstrbução F. Pan (999) e McGrath e Ln (00) analsaram a nfluênca do modelo elaborado para a méda na dentfcação dos efetos na dspersão, aplcando os métodos de Box e Meyer (986) e de Bergman e Hynén (997) a casos reas. Segundo Pan (999), nclur, no modelo da méda, fatores (ou nterações) que realmente não afetam a méda dmnu a efcênca do método usado para dentfcar os efetos na dspersão, mas não afeta a sua valdade. Isto quer dzer que o método anda dentfca efetos reas na dspersão, embora esteja mas sujeto a erros na dentfcação. Por outro lado, não nclur, no modelo da méda, fatores (ou nterações) que realmente afetam a méda pode, cumulatvamente, nvaldar o método usado para dentfcar os efetos na dspersão. Pan afrma que os efetos na méda não dentfcados podem causar um grande mpacto no poder e na probabldade de erro do método de dentfcação de efetos na dspersão, e que a ntensdade desse mpacto é mprevsível se o verdadero modelo da méda é desconhecdo. As conclusões de McGrath e Ln (00) são smlares às de Pan (999). Eles também mostram que, em certos casos, não se pode determnar o que é real: um efeto na dspersão ou dos efetos na méda. Na seção 3, lustramos, com um exemplo, os problemas detectados por estes autores. Montgomery (00) descreve um método gráfco muto smples para dentfcar efetos na dspersão. Este método é descrto e lustrado na Seção 3. Entretanto, como será vsto seu caráter subjetvo, eventualmente, leva a dúvdas sobre quas fatores devem afetar a dspersão. Métodos teratvos para dentfcação de efetos na méda e na dspersão foram desenvolvdos por McCullagh e Nelder (989), Engel e Huele (996) e Lee e Nelder (998). Em tas métodos, são utlzados os modelos lneares generalzados (MLG), sendo que McCullagh e Nelder (989) e Lee e Nelder (998) aplcam MLG para modelar explctamente tanto a méda quanto a dspersão, enquanto Engel e Huele (999) aplcam MLG somente para modelar a dspersão. Para a modelagem da méda, estes últmos assumem um modelo para a méda cuja função de lgação é a dentdade, o que consttu um caso partcular dos modelos MLG propostos por McCullagh e Nelder (989) e Lee e Nelder (998). Ademas, Engel e Huele não consderam o uso da técnca de quase-verossmlhança estendda (QVE) (extended quase-lkelhood), utlzada por McCullagh e Nelder (989) e Lee e Nelder (998). Dentre os três métodos, o método de Lee e Nelder (998) é o únco que usa a técnca de máxma verossmlhança restrta (MVR) (restrcted maxmum lkelhood), que é um ajuste feto no modelo da méda, necessáro em expermentos fatoras altamente fraconados. 3 Métodos de dentfcação de efetos na dspersão Nesta seção, apresentamos três métodos para dentfcar efetos na dspersão em expermentos fatoras não replcados: o método gráfco descrto por Montgomery (00), o método de Box e Meyer (986) e o método teratvo de Lee e Nelder (998), lustrando o uso e analsando o desempenho de cada um deles pela aplcação de todos a um mesmo conjunto de dados. 3. Método gráfco O gráfco Resíduos versus Fator é útl para uma prmera nspeção do efeto de um fator sobre a dspersão. Em alguns casos, pode fornecer ndcações conclusvas. A análse é feta observando se há mudanças no espalhamento dos resíduos quando o nível do fator é mudado. Quando a mudança é vsível, sto é ndíco de que a varabldade é sensível ao fator em questão. Vejamos o método com um exemplo. Gest. Prod., São Carlos, v. 6, n., p. 99-0, jan.-mar. 009

3 Métodos de dentfcação de efetos na dspersão em expermentos fatoras não replcados 0 Exemplo Myers e Montgomery (00) analsaram um expermento de moldagem cuja resposta é a contração do molde. São estudados sete fatores (A-G). Trata-se de um expermento fatoral 7 3 com resolução IV. Os geradores são I = ABCE, I = BCDF e G = ACDG. Os dados são apresentados na Tabela. Com base no gráfco de probabldade normal dos efetos de cada fator e nteração entre fatores, mostrado na Fgura, Myers e Montgomery (00) consderaram A, B e AB como efetos mportantes. Usando-se o método mínmos quadrados, ajusta-se o segunte modelo (Equação ): Modelo M : yˆ = 7, 3+ 6, 94A + 7,8B + 5, 94AB () McGrath e Ln (00) também analsaram este exemplo e, com base no gráfco de probabldade normal dos efetos (Fgura ), propuseram adconar os efetos G e CG. Cabe regstrar que, devdo à estrutura do expermento, a nteração AB está confundda com CE e FG, e a nteração CG está confundda com AD e EF. Caso não haja conhecmentos prátcos sobre a exstênca ou não dessas nterações, há necessdade de um expermento complementar para elmnar as ambgudades. Tendo em vsta a contnudade do exemplo, vamos supor que a nteração atva seja CG. Entretanto, devemos aplcar o prncípo da herarqua. Montgomery (00), descreve este prncípo: se um modelo contém uma nteração, deve conter também todos os fatores que a compõem. Ele afrma que sto promove uma consstênca nterna no modelo e que mutos estatístcos seguem este prncípo. Com base nsto, ncluímos o fator C. Usando-se o método de mínmos quadrados ajusta-se o segunte modelo (Equação ). Modelo M: yˆ = 7,3+ 6, 94A+ 7,8B+ + 5, 94AB 0, 44C, 44G,69CG () Observando os gráfcos, é dfícl dzer quem tem razão. Com efeto, o caráter subjetvo deste método eventualmente leva a dúvdas sobre quas fatores devem ser ncluídos no modelo. Para avalar o efeto do fator sobre a dspersão, Montgomery (00) propõe o uso do gráfco resíduos versus fator. Consderando o modelo M, na Fgura 3, apresentamos este gráfco para o fator C. (Os números A: A B: B C: C D: D E: E F: F G: G Probabldade normal % A AB 5,38 4,88 5,3 5,38 35,63 Efeto Fgura. Gráfco de probabldade normal dos efetos (reta ajustada por Myers e Montgomery, 00). B Tabela. Dados do expermento de moldagem. A B C D E = ABC F = BCD G = ACD Y A: A B: B C: C D: D E: E F: F G: G Probabldade normal % G CG A AB 5,37 4,88 5,3 5,38 35,63 Efeto Fgura. Gráfco de probabldade normal dos efetos (reta ajustada por McGrath e Ln, 00). B Gest. Prod., São Carlos, v. 6, n., p. 99-0, jan.-mar. 009

4 0 Vera e Epprecht que aparecem no gráfco ndcam as ocorrêncas de dos resíduos com um mesmo valor). Observamos que o espalhamento dos resíduos fca vsvelmente maor com a mudança do nível. Isto ndca que o fator C afeta a dspersão: a varabldade aumenta quando mudamos C de - para +. Na Fgura 4, apresentamos o gráfco equvalente para o Modelo M. Neste gráfco, observamos que o espalhamento dos resíduos não muda sgnfcatvamente com a mudança do nível. Isto é um ndíco de que a varabldade não muda quando o fator C muda de - para +. Portanto, temos evdêncas de que a não-nclusão de C, G e CG no modelo para a méda resulta em dentfcar um efeto espúro do fator C sobre a dspersão. Entretanto, analsando os gráfcos do Modelo M para os outros fatores, encontramos ndcação de que os fatores F e G afetam a dspersão. Os gráfcos referentes a estes fatores estão na Fgura 5. Observamos que, em ambos os gráfcos, o espalhamento dos resíduos fca menor com a mudança do nível. Isto é um ndíco de que a varabldade dmnu quando os fatores F e G mudam do nível - para +. Com o Modelo M, dentfcou-se C como fator que afeta a dspersão. Com o Modelo M, dentfcou-se F como fator que afeta a dspersão. Portanto, com a análse do Exemplo, constatamos que dferentes modelos para a méda podem levar à dentfcação de dferentes efetos na dspersão. Evdentemente, este método gráfco não é um teste formal. Mas ele pode, em mutos casos, fornecer alguma evdênca dos fatores que afetam a dspersão. 3. Método de Box e Meyer Box e Meyer (986) propuseram um método baseado na varabldade dos resíduos provenentes do modelo ajustado para a méda por mínmos quadrados. Este método só é aplcável a expermentos fatoras com dos níves, completos ou fraconados. Portanto, as varáves x j são geralmente codfcadas em dos níves: - e +. Seja o modelo lnear (Equação 3) sendo (Equação 4) y = Xβ+ε y x x.. xk y x x.. x k y =. X = y n xn xn.. x nk β ε 0 β ε β=. e ε=... βk εk (3) (4) e, por sua vez, k corresponde ao número de varáves regressoras e n, ao número de respostas. A varável que aparece em cada coluna da matrz X pode representar tanto um fator prncpal quanto uma nteração entre fatores. Defnem-se então, para cada varável, os seguntes conjuntos M j e P j (Equação 5): M j = {: x j = } P j = {: x j = +} (5) 7,5000 3,0 4,065,5 Resíduos 0,650,85 Resíduos 0,0,5 6,500 3,0 0 Fator C Fgura 3. Gráfco dos Resíduos versus Fator C - Modelo M. Obs.: os números ndcam que o ponto corresponde a dos resíduos de gual valor. 0 Fator C Fgura 4. Gráfco dos Resíduos versus Fator C - Modelo M. Obs.: os números ndcam que o ponto corresponde a dos resíduos de gual valor. Gest. Prod., São Carlos, v. 6, n., p. 99-0, jan.-mar. 009

5 Métodos de dentfcação de efetos na dspersão em expermentos fatoras não replcados 03 3,0 3,0,5,5 Resíduos 0,0 Resíduos 0,0,5,5 3,0 3,0 0 Fator F 0 Fator G Fgura 5. Gráfcos dos Resíduos versus Fatores F e G - Modelo M. Obs.: os números ndcam que o ponto corresponde a dos resíduos de gual valor. Para estmatva dos parâmetros, é aplcado o método dos mínmos quadrados. Sejam e = ( y yˆ ) os resíduos, =,,..., n, do modelo ajustado. Para cada coluna (varável j), defne-se: s j ( ej) = var a varânca amostral dos resíduos e j tas Pj que M s j+ j ( ej) = var a varânca amostral dos resíduos e j tas Mj que P j Se os valores dos desvos-padrão s j+ e s j não são muto dferentes, tem-se a ndcação de que, quando o fator j muda de um nível para outro, a varânca dos resíduos não é afetada por esse fator, ou seja, a varânca da resposta não se altera com o nível do fator j. Por outro lado, se um valor é muto maor do que o outro, tem-se a ndcação de que a varânca da resposta é afetada por esse fator. Vejamos o método aplcado ao Exemplo. Exemplo (contnuação) Consderando o Modelo M, na Tabela apresentamos o cálculo dos desvos-padrão s j+ e s j assocados aos fatores B e C. Para o fator B, temos s B+ = 4,0 e s B = 4,4 valores que dferem em dez por cento, enquanto que, para o fator C, temos s C+ = 5,70 e s C =,63 uma dferença muto maor. Entretanto, não sabemos se esta dferença é sgnfcatva. Para uma melhor verfcação da magntude relatva dos efetos sobre a dspersão, Box e Meyer (986) defnram a estatístca (Equação 6), s j+ j j j s j ( + ) ( ) F = ln = ln s ln s j =,,, r (6) em que r é o número de varáves (fatores e nterações). Montgomery (00) assegura que, se os erros forem normalmente dstrbuídos e se a varânca dos resíduos para as respostas em que o nível do fator j é (-) for gual à varânca dos resíduos para as respostas em que o nível do fator j é (+), então F j segue aproxmadamente a dstrbução normal. Assm sendo, um gráfco de probabldade normal dos valores de F j pode ndcar os fatores j que afetam a dspersão. Consderando o Modelo M, na tabela abaxo apresentamos os valores da estatístca F j (Tabela ). Na Fgura 6, apresentamos o gráfco de probabldade normal de F j, em que, efetvamente, o ponto correspondente ao fator C está afastado da reta em torno da qual se alnham os demas pontos. Isto ndca que o fator C afeta a dspersão. Consderando o Modelo M, na tabela abaxo apresentamos os valores da estatístca F j (Tabela 3). Verfcamos que o valor de F j para o fator C dmnuu. Na Fgura 7, apresentamos o gráfco de probabldade A B AB C AC BC E -0,38-0,8 0,,5-0,4-0,4-0,03 D AD BD ABD CD G F DE 0,5 0,4-0,8 0,5 0,5 0,3-0,3 0,7 Tabela. Valores da estatístca F j Modelo M. Gest. Prod., São Carlos, v. 6, n., p. 99-0, jan.-mar. 009

6 04 Vera e Epprecht F G B AD BD ABD A -,5 -,3-0,38-0,38-0,36-0,3-0, D C AC CD BC DE E AB -0, -0,06-0,0 0,3 0,5 0,33 0,39,8 Tabela 3. Valores da estatístca F j Modelo M. normal de F j para o Modelo M. Observando o gráfco, não temos mas ndcação de que a dspersão seja afetada pelo fator C (o que confrma a ndcação do gráfco da Fgura 4), mas sm pelos fatores F e G (o que confrma a ndcação dos gráfcos da Fgura 5) e pela nteração AB. Agora temos um dlema. Temos um modelo smples para a méda (M) com um fator de dspersão (C) ou modelo mas complexo para a méda (M), com dos fatores (F e G) e uma nteração (AB) que afetam a dspersão. Na Fgura 8, apresentamos o gráfco dos resíduos versus nível da nteração AB. Esse gráfco também ndca que a nteração AB afeta a dspersão. Os expermentos fraconados (como no exemplo) são usados nos estágos ncas da nvestgação. Se optarmos pelo modelo mas smples (M), estaremos elmnando fatores potencalmente mportantes, que poderam ser dentfcados em expermentos posterores. Então, uma estratéga recomendável, neste caso, é segur com o modelo mas complexo (M), pelo menos até ter confrmação ou não em estágos posterores. 3.3 Método teratvo de Lee e Nelder A segur, descrevemos o método de Lee e Nelder (998). O método envolve um modelo para a méda e um modelo para a dspersão, que se almentam mutuamente (cada um usa o outro) de manera teratva. A descrção a segur se dvde, para maor clareza, em subseções que tratam de cada um dos modelos e do procedmento teratvo. Uma subseção própra descreve também o método de máxma verossmlhança restrta, que é usado no caso em que o número de dados é pequeno em relação ao número de parâmetros do modelo para a méda Modelo para a méda O modelo proposto para a méda é (Equação 7), ( ) x' η = g µ = β (7) í A méda e a varânca de y são E(y ) = m e var(y ) = φ V(m ) em que φ é o parâmetro de dspersão (que não depende da méda) e V(m ) é a função de varânca, que depende da méda. Observe que o parâmetro de dspersão, que é constante para os membros da famíla exponencal, é agora consderado dferente para cada combnação dos níves dos fatores. Sendo o parâmetro de dspersão dferente para cada resposta (y ), Lee e Nelder (998) propõem então a função de quase-verossmlhança estendda (extended quas-lkelhood; vde McCullagh; Nelder, 989) (Equação 8): Tabela. Cálculo dos Desvos-padrão s j+ e s j assocados aos fatores B e C. Fator B Fator C y ŷ Resíduos Nível P j e j M j Nível P j e j M 6 8,50 -,50 - -,50 - -,50 0 0,50-0, , ,50 3 3,5-0,5-0,5 - -0, ,00,00,00 -,00 4 8,50-4, ,50-4,50 5 0,50 4,50-4,50 4,50 6 3,5-6,5-6,5-6, ,00,00,00,00 8 8,50-0, , ,50 0,50,50 -,50 -, ,5,75,75 -, ,00,00,00 -,00 6 8,50 7,50-7,50 7,50 5 0,50-5, ,50-5, ,5 4,75 4,75 4, ,00-6,00-6,00-6,00 Varânca 6, 9,43 Varânca 3,44,66 Desvo-padrão 4,0 4,4 Desvo-padrão 5,70,63 j Gest. Prod., São Carlos, v. 6, n., p. 99-0, jan.-mar. 009

7 Métodos de dentfcação de efetos na dspersão em expermentos fatoras não replcados 05 + d Q = + ln πϕv y ϕ n = em que d é o quase-devance, dado por d ( ) µ ( ) (8) y y µ = dt e V t V(t) é a função de varânca para um valor t da méda de y. Para estmar o vetor β dos coefcentes do modelo, procede-se à maxmzação da função de quase-verossmlhança estendda (QVE), obtendo-se as equações-escore (Equação 9): n = y µ µ x = 0 ϕ V µ η ( ) (9) 3.3. Máxma verossmlhança restrta Em expermentos altamente fraconados (como no exemplo), nos quas o número de dados é pequeno em relação ao número de parâmetros do modelo para a méda, os estmadores dos parâmetros do modelo de dspersão podem ter veses acentuados, devdo à escassez de graus de lberdade para modelagem da dspersão (Lee; Nelder, 998). Neste caso, procedmentos de ajuste devem ser adotados para o modelo da méda. Os autores ctados propõem uso da técnca de máxma verossmlhança restrta (MVR) com a maxmzação da segunte função (Equação 0), F j Fgura 6. Gráfco de Probabldade Normal de F j Modelo M. F j F G Quartl normal 0 Quartl normal Fgura 7. Gráfco de Probabldade Normal de F j Modelo M. C AB n * d B V y = ϕ Q = + ln πϕ * em que d d ( h) ( ) (0) = e, por sua vez, h, =,,..., n, são os elementos da dagonal da matrz chapéu H, que é a matrz de projeção dos valores ajustados sobre os valores observados para a méda. Então, ŷ = Hy. A matrz H é dada por (McCullagh; Nelder, 989) Equação, ( ) H = W X X'WX X'W () em que a matrz W é dagonal, com os elementos dados por (Equação ), dµ w = var µ dη ( ) () Em síntese, o ajuste ndcado consste apenas em substtur d por d *, na função de quase-verossmlhança estendda, ou seja, substtur a expressão (3) por (5) Modelo para a dspersão O modelo proposto para a dspersão é (Equação 3), ( ) z' x = h ϕ = g (3) Neste modelo, a varável de resposta é o resíduo quase-devance d. Para representar d, Lee e Nelder (998) recomendam a dstrbução gama, com parâmetro de dspersão gual a. Portanto, supõe-se que E(d ) = φ e var(d ) = φ. Os vetores x, do modelo da méda, e z podem ter elementos comuns. Ou seja, fatores que afetam a méda podem afetar ou não a dspersão e vce-versa. Lee e Nelder (998) afrmam que a escolha usual da função de lgação é h(φ ) = ln(φ ), ou seja, eles consderam que os efetos dos fatores sobre a dspersão são multplcatvos. Na Tabela 3, é apresentado um resumo dos elementos dos modelos para a méda e para a dspersão. Resíduo Fgura 8. Gráfco dos Resíduos versus o Nível da Interação AB. Obs.: os números ndcam que o ponto corresponde a dos resíduos de gual valor. AB Gest. Prod., São Carlos, v. 6, n., p. 99-0, jan.-mar. 009

8 06 Vera e Epprecht Procedmento teratvo Para a modelagem da méda e da dspersão, temos os seguntes passos: a) Ajuste do modelo da méda. Escolher a função de lgação, a função de varânca e seleconar os coefcentes sgnfcatvos. Os graus de lberdade restantes serão usados para o ajuste do modelo da dspersão. Para a prmera teração, o parâmetro de dspersão φ é consderado constante. Nas terações seguntes, usa-se l/φ, provenente do modelo da dspersão, para estmar os coefcentes com as equações de quase-verossmlhança estendda. O desvo * d = d /(l - h ) resultante do ajuste do modelo será a resposta do modelo da dspersão. * b) Ajuste do modelo da dspersão. Com d como resposta, a escolha comum é a dstrbução gama com função de lgação logarítmca e parâmetro de dspersão gual a. Podem-se usar os métodos já descrtos para dentfcar os fatores que podem afetar a dspersão. O valor ajustado φ resultante será usado no modelo da méda. c) O processo teratvo termna quando os parâmetros do modelo da dspersão são guas em duas terações consecutvas, a menos de uma tolerânca. Exemplo (contnuação) Neste exemplo, fo usado um expermento fatoral 7-3 com sete fatores A-G sem replcações. Se consderarmos o Modelo M como o adequado, os fatores A e B afetam a méda e temos ndcação de que o fator Tabela 3. Modelos para a méda e para a dspersão. Modelo Componente Méda Dspersão Resposta y d * = d/(-h) Valor esperado da resposta μ φ Varânca da resposta φv(μ) φ Função de lgação η = g(μ) ζ = h(μ) = ln φ Predtor lnear h = x b x = z g Devance d {-ln(d * / φ)+(d * -φ)/ φ} Peso /φ -h Tabela 4. Expermento 3 com duas replcações. A B C y y C afeta a dspersão. Tratamos então os outros fatores como sendo nertes, de modo que podemos consderar um expermento 3 com duas replcações. Na Tabela 4, apresentamos este expermento. Vamos consderar os modelos para a méda e para a dspersão (Equação 4), y =β 0 +β A +β B +β 3AB +ε (4) em que E(ε) = 0 e var( ε ) =ϕ= exp( g +g A+g B+g C) 0 3, sendo φ com dstrbução gama. Como agora temos replcações, podemos estmar a varânca de cada resposta e usá-la para fazer o ajuste de um modelo ndependentemente do modelo da méda. Na Tabela 5, apresentamos a estmatva da varânca de cada resposta. Sem nenhuma análse formal, observamos que a varânca de cada resposta entre os valores de y é muto menor no nível - do fator C. Isto confrma as ndcações dos métodos descrtos nas seções 3 e 4, de que C tem um efeto consderável na dspersão. Na Tabela 5, temos que a estmatva da varânca da resposta 4 é zero. Para este valor da resposta, o valor da função de log-verossmlhança da dstrbução gama é nfnto, o que torna nvável a estmatva dos coefcentes do modelo. Entretanto podemos atrbur um valor muto pequeno para esta resposta, dgamos 0,0, para contornar este problema e poder ajustar o modelo. Na Tabela 6, apresentamos as estmatvas dos coefcentes para o modelo da dspersão, fornecdos pelo software ARC. Tabela 5. Estmatva da varânca da resposta. A B C S Tabela 6. Coefcentes e erro-padrão do modelo para a dspersão. Estmatva Erro-padrão Est./Erro-padrão Constante,093 0, ,46664 A -0,488 0, ,8955 B -0, , ,80843 C, , ,0636 Gest. Prod., São Carlos, v. 6, n., p. 99-0, jan.-mar. 009

9 Métodos de dentfcação de efetos na dspersão em expermentos fatoras não replcados 07 Observando a tabela, vemos que apenas C é sgnfcatvo. Ajustando o modelo apenas com C, obtemos o resultado, fornecdo pelo software ARC (Equação 5): φ= ˆ exp(,9 +, 79C) (5) Com este modelo, podemos estmar os valores de φ para cada resposta e utlzar ϕ ˆ como peso para ajustar o modelo da méda. O modelo ajustado, fornecdo pelo software ARC, fo (Equação 6), yˆ = 7,73 + 7,7A + 8,70B + 5,76AB (6) Entretanto, podemos aplcar o método de Lee e Nelder (998) para modelar a méda e a varânca, obtendo modelos smlares aos das Equações (8) e (9). Para dar níco ao procedmento teratvo, ajusta-se o modelo da méda sem consderar as replcações. Para os cálculos do modelo da méda, usamos a planlha Excel (apenas as operações com matrzes) e, para o modelo da dspersão, usamos o software Arc. Adotamos a técnca de máxma verossmlhança restrta, uma vez que temos 6 coefcentes para estmar e apenas 6 observações. Houve convergênca após 4 terações. Na Tabela 7, apresentamos as estmatvas dos coefcentes para o modelo da méda. Na Tabela 8, apresentamos as estmatvas dos coefcentes para o modelo da dspersão. Os modelos para a méda e para a dspersão são, portanto (Equações 7 e 8): yˆ = 7,7+ 7,68A + 8,67B + 5,77AB (7) φ= ˆ exp(,95 +,57C) (8) Observe que as equações (9) e (0) são bem parecdas, bem como as equações (8) e (). Portanto, os modelos da méda e da dspersão obtdos pelos dos procedmentos devem produzr as mesmas estmatvas da resposta. No modelo da dspersão, os resultados obtdos pelos dos procedmentos estão de acordo com a ndcação de que o fator C afeta a dspersão. Pode haver casos em que haja desacordo entre os dos procedmentos na ndcação do fator de dspersão. Nesses casos, uma explcação possível é que as meddas de varabldade dos dos procedmentos medem varabldades de dferentes tpos ou de fontes dferentes (McCullagh; Nelder, 989). Entretanto, para estmar o efeto do fator C sobre a méda e sobre a dspersão, o modelo da dspersão ajustado com a varânca das observações replcadas é mas confável porque o valor esperado da varável de resposta deste modelo é a própra varânca da resposta, enquanto que a estmatva de φ a partr dos resíduos do modelo da méda é uma estmatva com vés, cujo efeto se manfesta prncpalmente sobre o termo constante (Lee; Nelder, 988). Contnuando a análse da méda e da dspersão no Exemplo, vamos agora consderar o Modelo M (Equação 9). y =β 0 +β A +β B +β 3AB +β 4C +β 5G +β 6CG +ε(9) Como fo detectado que F, G e AB afetam a dspersão, o modelo para a dspersão é (Equação 0), ( ) ( ) var ε =φ= exp g +g F +g G +g AB (0) 0 3 Houve convergênca após 6 terações. Na Tabela 9, apresentamos as estmatvas dos coefcentes para o modelo da méda. Na Tabela 0, apresentamos as estmatvas dos coefcentes para o modelo da dspersão. Observamos que o fator G não deve ser consderado sgnfcatvo para a dspersão porque o quocente entre a estmatva e o erro-padrão de seu coefcente tem módulo menor do que. O modelo para a dspersão passa a ser φ= exp( g 0 +g F +gab) Repetndo o processo, após 5 terações, temos os seguntes modelos para a méda e para a dspersão (Equações e ): yˆ = 7,05 + 7,53A+ 7,77B+ + 6,0AB 0,56C,57G,57CG Tabela 7. Coefcentes e erro-padrão do modelo da méda. Estmatva Erro-padrão Est./Erro-padrão Constante 7,739 0,488 66,7 A 7,689 0,488 8,34 B 8,676 0,488 44,58 AB 5,7655 0,488 3,77 Tabela 8. Coefcentes e erro-padrão do modelo da dspersão. Estmatva Erro-padrão Est./Erro-padrão Constante, ,3396 5,75 C,5780 0,3396 4,63 Tabela 9. Coefcentes e erro-padrão do modelo da méda. Estmatva Erro-padrão Est./Erro-padrão Constante 7,4466 0,5366 5,5 A 7,89 0,5337 3,36 B 7,8070 0, ,37 C -0,5567 0,4394 -,7 G -,5765 0,55-5,00 AB 6,046 0,658 9,66 CG -,576 0,4394-5,86 Tabela 0. Coefcentes e erro-padrão do modelo da dspersão. () Coefcente Estmatva Erro-Padrão Est./Erro-padrão Constante,536 0,3505 0,438 F 0,7708 0,3505,99 G 0,876 0,3505-0,535 AB 0,883 0,3505,377 Gest. Prod., São Carlos, v. 6, n., p. 99-0, jan.-mar. 009

10 08 Vera e Epprecht ( F AB) φ= exp 0,7 0,80 + 0,83 () 3.4 Otmzação do processo de moldagem Para otmzar o processo, é desejável mnmzar a contração méda ŷ do molde, bem como a sua dspersão. Vamos consderar ncalmente o Modelo M e, em seguda, o Modelo M Consderando o Modelo M Na Seção 5.3, obtvemos os seguntes modelos para a méda e para a dspersão (Equação 3): yˆ = 7,73 + 7,7A + 8,70B + 5,76AB φ= ˆ exp(,9 +, 79C) (3) Podemos mnmzar a méda com A = e B =, e mnmzar a varânca com C =. A estmatva da contração méda será então y ˆ = 7, 73 7, 7 8, , 76 = 7, 08. O efeto de dmnur o fator C de + para é reduzr a varânca em exp (,79) = 5,99 undades Consderando o Modelo M Na Seção 5.3 obtvemos os seguntes modelos para a méda e para a dspersão (Equação 4): yˆ = 7,05 + 7,53A + 7,77B + 6,0AB 0,56C,57G,57CG ( F AB) ϕ= exp 0,7 0,80 + 0,83 (4) O efeto de aumentar o fator F de - para + é reduzr a varânca em exp (-0,80) = 0,45. Se A e B tverem snas contráros, a redução na varânca será exp (-0,83) = 0,44, em relação a quando A e B tverem snas guas. Como já vmos, para otmzar o processo, é desejável mnmzar a contração méda ŷ do molde e mnmzar var(y). Com o modelo acma, podemos mnmzar a méda com A =, B =, G = + e C = +, e mnmzaríamos a varânca com F = + e a nteração AB = (o que só pode ser consegudo com A e B de snas dferentes). Temos então um conflto para atngr os objetvos. Uma manera de analsar esta stuação é mnmzar a dspersão com F = + e a nteração AB =. Como o coefcente de B no modelo da méda é maor do que o de A, com A = + e B = consegumos uma menor contração méda mantendo G = + e C = +. O resultado é uma contração méda estmada em 4,53. Se essa contração méda não for satsfatóra, podemos estabelecer um valor alvo para a méda e, então, resolver o segunte problema: Mnmzar 0,83AB Sujeto a: yˆ = 7, ,5A+ 7, 77B+. + 6, 0AB 0, 56, 57, 57 = um valor alvo. A 3. B 4 Comentáros e recomendações Nesta seção, faremos comentáros e recomendações sobre os métodos descrtos na Seção 3, comparando a sua efcáca e ampltude de aplcabldade. 4. Método gráfco Evdentemente, o método gráfco descrto na Seção 3. não é um teste formal, podendo em mutos casos não ser conclusvo. Entretanto, em mutos casos, ele pode fornecer alguma evdênca dos fatores que afetam a dspersão, que pode ser confrmada pela aplcação do método teratvo descrto na Seção Método Box e Meyer Como fo vsto, o método de Box e Meyer (986) pode levar à dentfcação ncorreta dos efetos sobre a dspersão se o modelo para a méda não for bem ajustado. Brenneman e Nar (00) analsaram, além do método de Box e Meyer (986), város outros métodos não teratvos. Vamos denomnar todos esses métodos de métodos dretos. Eles são aplcáves apenas em expermentos fatoras com dos níves, completos ( k ) ou fraconados ( k-p ), e só admtem, para a modelagem da méda, os modelos lneares, com estmação pelo método de mínmos quadrados. Brenneman e Nar (00), concluíram, com resultados de estudos de smulação, que todos os métodos dretos apresentam algum vés, que depende do modelo ajustado para a méda e do número de efetos atvos na dspersão. Essas smulações evdencaram que, mesmo que o modelo para a méda seja o correto, esses métodos podem dentfcar efetos espúros na dspersão. Entretanto, esses métodos podem fornecer alguma evdênca dos fatores que afetam a dspersão, que pode ser confrmada pela aplcação do método teratvo descrto na Seção Método teratvo de Lee e Nelder Brenneman e Nar (00) analsaram também os métodos teratvos, conclundo pela superordade destes em relação aos métodos dretos. Eles asseguram que o método de Lee e Nelder (998) com máxma verossmlhança restrta (MVR) é superor aos demas. Ademas, enquanto os métodos dretos, como fo vsto, são aplcáves apenas em expermentos fatoras com dos níves e só consderam, para a modelagem da méda, modelos lneares com estmação pelo método dos mínmos quadrados, o método teratvo de Lee e Nelder (998) é aplcável também a expermentos com város níves, e utlza modelos lneares generalzados (MLG), o que Gest. Prod., São Carlos, v. 6, n., p. 99-0, jan.-mar. 009

11 Métodos de dentfcação de efetos na dspersão em expermentos fatoras não replcados 09 permte consderar um número muto maor de possbldades de modelagem. Portanto, recomendamos o método teratvo descrto na Seção Conclusões Neste artgo foram apresentados e analsados os prncpas métodos de dentfcação de fatores que afetam a dspersão da resposta, aplcados a expermentos fatoras sem replcações. A análse permtu conclur pela superordade do método teratvo de Lee e Nelder (998) sobre os métodos dretos e sobre o método gráfco. Isto porque aquele método é aplcável a expermentos com város níves para cada fator e utlza MLG para a modelagem da méda, permtndo, portanto, consderar um número muto maor de possbldades de modelagem. Ele é, portanto, o método geral a recomendar. Além dsso, os demas métodos mostraram que podem levar à dentfcação ncorreta dos efetos sobre a dspersão. Por outro lado, eles podem fornecer alguma evdênca de fatores que afetem a dspersão; de modo que são útes se empregados em conjunto com o método de Lee e Nelder, mas não devem ser utlzados soladamente. Dado o fato de que os métodos de dentfcação de fatores aqu analsados, como grande parte dos métodos de análse estatístca, não podem ser automatzados, e requerem a nteração, o julgamento e a ntervenção humana, torna-se dfícl, senão mpossível, realzar metaexpermentos (expermentos de uso de métodos de análse de expermentos) com um grande número de repetções, para poder fazer afrmações sobre a sgnfcânca das conclusões obtdas. O procedmento usual na lteratura especalzada para a análse de desempenho de um ou mas de tas métodos é o que aqu fo adotado: aplcar o(s) método(s) a um ou dos problemas-exemplo que srva(m) para lustrar ou dagnostcar seu poder e suas lmtações (o exemplo aqu utlzado já fo usado por város autores em seus artgos). Sera então nteressante, e fca aqu ndcado como possbldade para trabalhos futuros, aplcar os métodos a outros conjuntos de dados, reas ou gerados aleatoramente segundo modelos com dstntas característcas, para tornar a análse mas abrangente. Anda que a presente análse tenha evdencado defcêncas de alguns métodos (e, neste aspecto, seja conclusva), a expermentação com um conjunto mas vasto de casos pode ndcar em que stuações tas métodos são mas (ou menos) propensos à falha. Methods for the dentfcaton of dsperson effects n unreplcated factoral experments Abstract The dentfcaton of factors that affect the locaton and dsperson of the probablty dstrbuton of qualty characterstcs s essental n the optmzaton of producton processes and product desgn. For ths purpose, factoral experments are typcally used. The analyss of dsperson effects, however, usually requres replcatons of the experment, whch can be expensve. Therefore, several methods have been proposed for the dentfcaton of the dsperson effects wth unreplcated factoral experments. In ths artcle, we analyze some of these methods concludng by the superorty of an nteractve method based on generalzed lnear models and whch provdes a model for the mean together wth a model for the dsperson of the qualty characterstc. Fnally, the use of the resultng model n an optmzaton process s presented trough an example. Keywords: Factoral experments; Generalzed lnear models; Process optmzaton Referêncas Bblográfcas BERGMAN, B.; HYNÉN, A. Dsperson Effects from Unreplcated Desgns n the k-p Seres. Technometrcs, v. 39, n., p. 9-98, 997. BOX, G. E. P.; MEYER, R. D. Dsperson Effects from Factoral Desgns. Technometrcs, v. 8, n., p. 9-7, 986. BRENNEMAN, W.; NAIR, V. N. Methods for Identfyng Dsperson Effects n Unreplcated Factoral Experments: A Crtcal Analyss and Proposed Strateges. Technometrcs, v. 43, n. 4, p , 00. ENGEL, J. E.; HUELE, A. F. A Generalzed Lnear Modellng Approach to Robust Desgn. Technometrcs, v. 38, n. 4, p , 996. GREGO, J. M. Generalzed Lnear Models and Process Varaton. Journal of Qualty Technology, v. 5, n. 4, p , 993. Gest. Prod., São Carlos, v. 6, n., p. 99-0, jan.-mar. 009

12 0 Vera e Epprecht HAMADA, M. E.; BALAKRISHNAN, N. Analyzng Unreplcated Factoral Experments: A Revew wth Some New Proposals (wth dscusson). Statstca Snca, v. 8, n., p. -38, 998. LEE, Y.; NELDER, J. A. Generalzed Lnear Models for the Analyss of Qualty Improvement Experments. The Canadan Journal of Statstcs, v. 6, n., p , 998. McGRATH, R. N.; LIN, D. K. Confoundng of Locaton and Dsperson Effects n Unreplcated Fractonal Factorals. Journal of Qualty Technology, v. 33, n., p. 9-39, 00. MCCULLAGH, P. E.; NELDER, J. A. Generalzed Lnear Models. London: Chapman-Hall, 989. Montgomery, D. C. Desgn and Analyss of Experments. 5 ed. New York, NY: John Wley & Sons, 00. MYERS, R. H.; MONTGOMERY, D, C. Response Surface Methodology. ed. New York, NY: Wley & Sons, 00. MYERS, R. H.; MONTGOMERY, D. C.; VINING, G. G. Generalzed Lnear Models wth Applcatons n Engneerng and the Scences. New York, NY: John Wley & Sons, 00. PAN, G. The Impact of Undentfed Locaton Effects on Dsperson Effects From Unreplcated Factoral Desgns. Technometrcs, v. 4, n. 4, p , 999. Sobre os autores Antono Fernando de Castro Vera Departamento de Engenhara Industral, Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero (PUC-Ro), Rua Marquês de São Vcente, 5, Gávea, CEP , Ro de Janero, RJ, Brasl e-mal: afcv@puc-ro.br Eugeno Kahn Epprecht Departamento de Engenhara Industral, Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero (PUC-Ro), Rua Marquês de São Vcente, 5, Gávea, CEP , Ro de Janero, RJ, Brasl e-mal: eke@puc-ro.br Agradecmentos: O segundo autor agradece o apoo do CNPq. Recebdo em 3//006 Aceto em 9//008 Gest. Prod., São Carlos, v. 6, n., p. 99-0, jan.-mar. 009