Pós Graduação em Educação Matemática UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA. Parte 2: Matemática Comercial e Financeira. Prof. Ilydio Pereira de Sá

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1 Pós Graduação em Educação Matemática UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA Parte 2: Matemática Comercial e Fiaceira Prof. Ilydio Pereira de Sá

2 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 70 1) A MATEMÁTICA E O DINHEIRO A Matemática Comercial e Fiaceira e os Fatores de Correção Itrodução Em primeiro lugar gostaríamos de registrar que a melhor fote de cosulta e pesquisa para a ossa ação docete a Escola Básica, com a Matemática Comercial e Fiaceira, são os jorais diários e as revistas de circulação semaal As págias dos jorais e revistas estão repletas de assutos vivos e que estão presetes o cotidiao de todas as pessoas. Assim sedo, um estudo sobre porcetages e juros, por exemplo, pode e deve ser iiciado de uma forma provocativa e cotextualizada a partir de um texto, gráfico ou machete de um desses meios joralísticos. Acreditamos que o coceito de fatores de correção (aumeto ou redução) se costitui a mais importate oção da Matemática Comercial e Fiaceira e que ele pode (como já fazemos há vários aos) ser iiciado já as classes de 5ª ou 6ª série do Esio Fudametal, devedo sempre ser retomado e ampliado (esio em espiral) as séries posteriores. No presete capítulo, vamos iiciar da forma que propusemos ateriormete, a partir de uma otícia de joral e, após as discussões, provocações e questões que forem geradas em classe, o coceito de fator de correção poderá ser sistematizado. A liguagem e exemplos que usaremos o capítulo são adequadas às séries citadas ateriormete (5ª e 6ª) ou mesmo para um curso iicial da Educação de Joves e Adultos. Ao logo dos capítulos desevolveremos diálogos, como se você estivesse coversado, questioado ou apresetado o tema a seus aluos. Se você quer vecer a vida é muito simples: coheça o que faz; ame o que faz; e acredite o que faz. (Will Rogers)

3 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 71 Vejamos uma otícia extraída do Joral do Brasil. Joral do Brasil 30 de abril de 2004 O MÍNIMO DO MÍNIMO Piso acioal passa para R$ 260 e represeta gaho real de apeas 1,2% sobre a iflação registrada em um ao BRASÍLIA - Em meio ao idisfarçável costragimeto e a uma saraivada de críticas da oposição, o govero decidiu otem, após um mês iteiro de discussões, elevar o valor do salário míimo de R$ 240 para R$ 260. O reajuste - que passará a vigorar a partir de 1º de maio - sigifica gaho real de apeas 1,2% sobre a iflação de 7,02% registrada pelo Ídice Nacioal de Preços ao Cosumidor (INPC) ao logo de um ao. Podemos verificar que a reportagem apresetada coloca uma série de questões e efoca coceitos importates da Matemática Fiaceira. Será importate que o professor leia o texto com a turma e, após reforçar as questões surgidas, voltar ao texto após o estudo dos fatores de correção e cofirmar (ou ão) todos os dados evolvidos a reportagem.

4 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 72 Diz o texto que o salário míimo teve um aumeto de 8,33% e que isto represeta um gaho real de apeas 1,2%. O que sigifica etão gaho real? Como se obtém esse aumeto de 8,33% e esse gaho real de 1,2%? O que tem a iflação a ver com tudo isso? O que é iflação? Esperamos que, ao térmio do capítulo, você já esteja em codições de respoder a todas essas pergutas. Os Fatores de Correção: Devemos ressaltar a ossos aluos que, sem a Matemática, ão coseguiríamos escolher a melhor opção etre dois produtos (com embalages diferetes) oferecidos em um Supermercado, eteder descotos ou aumetos de salários (dos pais deles ou deles mesmos), idetificar os produtos que aumetaram demasiadamete de preço, costatar e criticar as propagadas egaosas, reividicar direitos trabalhistas, perdas salariais, etc. Nossa abordagem iicial será, como já dissemos ates, através do mais importate segredo da Matemática do diheiro os fatores de correção. Você irá costatar rapidamete que, este coceito, é a base de quase tudo o que se estuda a Matemática Comercial e Fiaceira e, com o auxílio de uma calculadora simples, poderemos resolver ou mostrar a ossos aluos como se resolve diversos problemas importates em ossa vida. Todos sabemos que todo úmero fracioário possui uma represetação decimal, e viceversa. Por exemplo a fração 3/4 represeta 0,75 (o que você obtém ao dividir 3 por 4). Esta fração é aida equivalete a 75/100 que é a razão de 75 para 100 ou 75%. Sabemos também que o úmero decimal multiplicado por 100 assume a sua represetação percetual. Vejamos algus exemplos iiciais. a) 0,45 (. 100) correspode a 45% b)1,45 (.100) correspode a 145% c) 0,7896 (.100) correspode a 78,96 % d) 3,567 (.100) correspode a 356,7 %. Vamos imagiar agora que uma mercadoria será aumetada em 23%. Você poderá descobrir o ovo preço de vários modos distitos: 1) Multiplicado o preço atigo por 23 e dividido por 100, somado o resultado com o preço atigo. 2) Multiplicado o preço atigo por 0,23 e somado o resultado com o preço atigo. 3) Simplesmete multiplicado o preço atigo por 1,23. O úmero 1,23 do exemplo é deomiado fator de correção para um acréscimo de 23% e foi obtido a partir de 100 % (preço atigo) mais 23 % (aumeto) em seguida dividimos por 100 para obter a forma de úmero decimal. Se, o exemplo apresetado o preço fosse dimiuído em 23 %, o fator seria 0,77, pois 100% meos 23% é igual a 77%. Cocluímos que os fatores que represetam aumetos são maiores que 1 e os que represetam redução são meores que 1. F = (100 + k ) :100 (Fator de Aumeto de k%) F = (100 - k ):100

5 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 73 (Fator de Redução de k%) Vejamos mais algus exemplos: 1) O sehor Ekre Kado, gerete de um supermercado, tem que aumetar os preços de todos os produtos de um setor em 32,5 %. Qual o fator de aumeto? Quato passará a custar uma mercadoria do setor, que custava R$ 60,00? SOLUÇÃO : Fator de aumeto : 1,325 [(100 % + 32,5 %) : 100] Novo preço : R$ 79,50 (60 x 1,325 ) 2) Mauriho, em Setembro, obteve uma correção salarial de 35%, sobre o salário de Agosto, passado a receber R$ 337,50. Quato recebia em Agosto? SOLUÇÃO: A x 1,35 = 337,50 A = 337,50 :1,35 = 250,00. Logo, em agosto Mauriho recebia R$ 250,00 3) Um remédio estava custado R$ 34,00, e passou a custar R$ 47,00. Qual o fator e qual o percetual de aumeto? SOLUÇÃO : 34 x F = 47 F = 47 : 3440 = 1,3824 (Fator de correção) 1,3824 x = 38,24 % (Aumeto) 4) Vamos supor que, o exemplo aterior, o remédio custasse R$ 47,00 e sofresse uma redução de preço para R$ 34,00. Qual seria o fator de redução e o percetual de redução correspodete? SOLUÇÃO: 47 x F = 34 F = 34 : 47 = 0,7234 (Fator de Redução) 0,7234 x 100 = 72,34 % (Valor Fial) 100 % - 72,34 % = 27,66 % (Redução Percetual) 5) Uma loja está vededo um produto com um descoto à vista de 30%, ou etão com pagameto ormal, sem descoto, com um cheque pré-datado para 30 dias. Quato estará pagado de juros, em um mês, o cliete que optar pela seguda forma de pagameto? SOLUÇÃO : Vamos supor que o produto custe 100 dólares. Para quem pagar à vista ele custará 70 dólares (30% de descoto). Para quem escolher o cheque pré-datado, estará, a realidade pagado 100 dólares por algo que custa 70 dólares. Logo o fator de correção iserido este aumeto é : 100 : 70 = 1,4286, o que correspode ao pagameto de 42,86% de juros em um mês. Aumetos ou Reduções Sucessivos

6 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 74 Você sabe que em osso dia-a-dia é bastate comum ecotrarmos situações de aumetos ou reduções sucessivas, como a cadereta de poupaça, as liquidações, os reajustes de impostos ou mesmo de salários (meos comum, ifelizmete). O que será que ocorre com os fatores de correção esses casos? Vejamos um exemplo: Uma mercadoria sofreu dois reajustes cosecutivos, de 3% e de 4%, respectivamete. Qual o aumeto percetual correspodete a essas duas correções? Você poderia usar um recurso, bastate válido, de supor um preço iicial para essa mercadoria (ormalmete usamos o valor de 100 reais, pois facilita ossos cálculos). Em seguida, aumetar esse preço em 3% e depois em mais 4% sobre a primeira correção. Comparado o preço fial com os 100 reais, teremos a variação percetual procurada. Vejamos esse tipo de solução. Preço iicial = 100 reais primeira correção (3%) = 103 reais seguda correção, 4% sobre 103 reais, ou seja, 0,04 x 103 = 4,12 reais, logo, o preço fial será de 103 reais + 4,12 reais = 107,12 reais. Se compararmos o preço fial de 107,12 reais, com o preço iicial de 100 reais, temos que o aumeto foi de 7,12 reais e, como esse acréscimo é sobre 100 reais, temos também que o aumeto percetual foi de 7,12%. Gostaríamos de alertá-lo ovamete sobre a agilidade que você pode adquirir, usado para esse tipo de questões os fatores de correção, como já vimos ateriormete. Vejamos essa outra possível solução. Vamos chamar o primeiro preço da mercadoria de P. Você já deve estar sabedo que, com um aumeto de 3%, usado os fatores de correção, esse preço passará a ser de P x 1,03 (certo?). Com o segudo aumeto de 4%, o preço passará a ser de P x 1,03 x 1,04 o que correspode a P x 1,0712, já que a multiplicação é associativa. Isto vai sigificar que, idepedetemete do preço iicial ele está, após os dois aumetos sucessivos, sedo multiplicado pelo fator 1,0712, o que correspode a uma variação percetual de 7,12%, a mesma resposta que achamos a primeira solução cometada. Gostaríamos que você observasse esse importate fato as trasações comerciais e a Matemática Fiaceira. Aumetos sucessivos (muito comus em países como o Brasil) geram um aumeto acumulado que pode ser obtido através do PRODUTO dos fatores de aumeto correspodetes às taxas desses aumetos. Um raciocíio parecido com esse seria feito para o caso de reduções sucessivas de preços ou salários. Reduções sucessivas podem ser também calculadas através do PRODUTO dos fatores de redução correspodetes às taxas dessas reduções. Uma crítica que fazemos à maioria dos livros didáticos do Esio Fudametal é que eles ormalmete só abordam os chamados juros simples e, esse caso, dado ao aluo a falsa impressão de que os dois aumetos desse exemplo gerariam um aumeto total de 7%. Tal fato só estaria correto se os dois aumetos fossem sobre o valor iicial da mercadoria, ou seja, se eles ão fossem acumulativos, ou sucessivos o que caracteriza uma situação deomiada juros compostos. Você, professor ou estudate de matemática, saberia me dizer o porque de tal assuto ão ser ormalmete abordado os livros da Escola Básica? Será que um

7 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 75 aluo de 6ª série, por exemplo, ão teria capacidade de eteder como fucioa o cálculo de juros sobre juros, usado os fatores de correção? Exemplo: Qual a variação percetual acumulada, gerada por dois aumetos sucessivos de 30%? Solução: Aplicado direto o coceito de fatores de correção, teremos: 1,3 x 1,3 = 1,69. Logo houve um aumeto acumulado de 69%. Verifique que, se usássemos valores moetários, formado uma seqüêcia, como se trata de taxa fixa de correção, teríamos uma situação muito particular e já cohecida ossa, vejamos: Supodo um valor iicial de 100 reais. Com um primeiro aumeto de 30%, teremos um segudo valor de 100 x 1,3 = 130 reais. Com um segudo aumeto de 30%, teremos um terceiro valor de 130 x 1,3 = 169 reais. Logo, temos a seqüêcia (100, 130, 169), que é uma PROGRESSÃO GEOMÉTRICA de razão igual a 1,3 (ou 1,30) o que correspode a uma variação percetual fixa de 30% de aumeto. O Fato que verificamos acima irá sempre acotecer quado as taxas de variação forem costates e aumetos ou reduções sucessivas. Teremos sempre a formação de progressões geométricas. Dessa forma, temos aqui uma outra excelete oportuidade de trabalhar coceitos da matemática fiaceira (agora o esio médio). Quado trabalhamos progressões geométricas podemos (e devemos) procurar exemplos de aplicação de juros compostos. Podemos resumir através dos exemplos dados que, quado temos o fator de aumeto e queremos obter o percetual de aumeto correspodete. Dado um fator de aumeto, devemos subtrair 1 dele, para cohecer o aumeto havido. Exemplos: Fator de aumeto Aumeto gerado Percetual de aumeto 1,45 1,45 1 = 0,45 45% 1,953 1,953 1 = 0,953 95,3% 1,065 1,065 1 = 0,065 6,5% 2, 86 2,86 1 = 1,86 186% Aalogamete, quado temos o fator de redução e queremos obter o percetual de redução correspodete: Dado um fator de redução, devemos subtraí-lo de 1 para cohecer a redução ou descoto havido.

8 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 76 Exemplos: Fator de redução Redução gerada Percetual de redução 0,45 1 0,45 = 0,55 55% 0,95 1 0,95 = 0,05 5% 0,76 1 0,76 = 0,24 24% 0, ,86 = 0,14 14% Vejamos mais dois exemplos importates: 1) Esta historiha ocorreu (ou melhor, ão chegou a ocorrer) a loja do Sr. Maoel, meu viziho, há muitos aos atrás. Sr. Maoel pretedia usar uma estratégia para tetar movimetar sua loja aumetaria o preço de tabela de todas as mercadorias em 20% e depois, auciado uma grade liquidação, daria descotos de 20% para todos os artigos que vedia. Achava ele que, agido dessa forma, vederia pelos mesmos preços de ates, com a vatagem de estar auciado uma liquidação. Ates de cotiuar a leitura dessa história, será importate saber de ossos aluos qual a opiião deles sobre a estratégia do Sr. Maoel? Quado começou a efetuar os cálculos para compor a tabela fictícia que usaria como referêcia, teve o susto de verificar que ão ocorria como havia plaejado e que seria obrigado a veder por um preço iferior ao que cobrava ateriormete. Chamou-me para pergutar o que estava ocorredo, ode estava o erro de sua estratégia e, desistiu do artifício após miha explicação. Vejamos o que ocorreu... Vamos supor que uma mercadoria custasse 100 reais, o Sr. Maoel, para compor a tabela, teria de colocar o preço de 120 reais e quado fosse a tal liquidação, teria que dar um descoto de 20% sobre os 120 reais, que correspoderia a um descoto de 24 reais. Logo, teria de veder a mercadoria por = 96 reais, gerado para ele uma perda de 4 %. O fato é simples de ser etedido se você lembrar que o aumeto iicial e o descoto posterior foram ambos de 20%, só que sobre valores diferetes. Equato o aumeto foi sobre os 100 reais, o descoto teria de ocorrer sobre os 120 reais e, é óbvio que 20% sobre 120 é maior que 20% sobre 100. Gostaria de lembrar que essa questão é também um caso de correções sucessivas (aumeto, seguido de redução) e, como já vimos ateriormete, podemos usar mais uma vez os fatores de correção. 1,2 represeta o fator de correção ou multiplicador para um acréscimo de 20%, certo? e 0,80 (ou 0,8) represeta o fator de correção para um descoto de 20%. O produto 1,2 por 0,8 (aumeto e redução sucessivos) gera um resultado 0,96, que é um fator de redução. Qual o percetual dessa redução (que para o Sr. Maoel seria uma perda)? Acertou se pesou em 4%. (lembra que temos de calcular 1 0,96 = 0,04 ou 4%).

9 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 77 2) Vamos apresetar agora uma história bastate comum a vida de todas as pessoas. Uma loja aucia a veda de um aparelho de som, com duas possibilidades de pagameto. A vista por R$ 1500,00 ou com uma etrada de 50% e uma seguda parcela de R$ 900,00, paga 30 dias depois. Quato está pagado de juros a pessoa que escolher a seguda opção de pagameto? Um aluo meu apresetou a seguite solução: Preço a vista = R$ 1500,00 Preço pago em duas parcelas = R$ 750,00 + R$ 900,00 = R$ 1650,00 Valor pago a mais (juros) = R$ 1650,00 R$ 1500,00 = R$ 150,00 Percetual pago como juros (taxa) = 150 : 1500 = 0,10 = 10% Você cocorda com essa solução de meu aluo? Em caso egativo, apresete uma outra e compare em seguida com o cometário que faremos. Verifique comigo que esta solução (que aparetemete ão tem ada de errada) ão está correta já que, quado o cliete paga a etrada de 50% (R$ 750,00), ele assume uma dívida de R$ 750,00 e é sobre esse valor que ossos cálculos devem ser efetuados (é o que deomiamos de saldo devedor). Logo, os juros cobrados devem ser calculados verificado-se o aumeto de R$ 750,00 para R$ 900,00. Devemos determiar o percetual de juros comparado-se os R$ 150,00 cobrados a mais, com R$ 750,00, ou seja, 150 : 750 = 0,20 ou 20%. Se formos usar os fatores de correção, teremos que, este caso, o fator de aumeto correspode a 900 : 750 = 1,20. O fator 1,20 correspode a um acréscimo de 1,20-1 = 0,20 = 20%. Verifique que é uma resposta bem diferete da que meu aluo calculou e ós, por descohecimeto ou falta de ateção, muitas vezes somos levados a calcular erradamete os juros que estão iseridos as compras que fazemos. Podemos assim resumir, os pricipais coceitos que apredemos as historihas que apresetamos: Você apredeu que: Todo fator de aumeto é um úmero superior a 1. O fator de aumeto pode ser obtido pela soma (100% + taxa de aumeto percetual) cujo resultado deve ser posto a forma decimal? Exemplo: fator de aumeto para um acréscimo de 24% = 100% + 24% = 124% = 124 /100 = 1,24. Todo fator de redução é um úmero iferior a 1. O fator de redução pode ser obtido pela subtração (100% - taxa de aumeto percetual) cujo resultado deve ser posto a forma decimal? Exemplo: fator de redução para uma perda de 24% = 100% - 24% = 76% = 76 /100 = 0,76.

10 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 78 Aumetos ou reduções (ou mistura dos dois) cosecutivos, devem ser calculados pelo PRODUTO DOS FATORES DE CORREÇÃO, e ão pela soma das taxas a eles correspodetes. OBSERVAÇÃO: Todos os coceitos mostrados esta itrodução podem (e devem) ser efocados as séries iiciais do Esio Fudametal - 2º Segmeto (5ª e 6ª séries). Sugiro iclusive, que os professores aproveitem essas aulas sobre fatores de correção para icitar aos aluos o uso das calculadoras, sem esquecer, é claro, de um trabalho prévio sobre o uso correto das máquias de calcular. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) A população de um país era de de pessoas em Sabe-se que essa população cresceu a uma taxa costate de 2% ao ao. Que população o país atigiu em 2002? 2) Uma bomba de vácuo retira, em cada sucção, 2% do gás existete em certo recipiete. Depois de 6 sucções, quato restará do gás iicialmete existete? 3) Qual a variação da área de um retâgulo cuja base sofre um aumeto de 10% e a altura sofre uma redução de 10% do seu valor? 4) (Escola Naval) Ações de certa compahia valorizaram-se 10% ao mês, durate cico meses cosecutivos. Quem ivestiu essas ações obteve, durate esses cico meses, um lucro aproximado igual a: a) 40% b) 50% c) 55% d) 60% e) 70% 5) (UFRJ) Certa população de bactérias dobra a cada hora. Num certo dia, às 8 horas da mahã, a população é de 1000 bactérias. A que horas a população será de bactérias? 6) Qual a redução acumulada, gerada por dois descotos cosecutivos de 30%? 7) Uma loja vede seus artigos com pagameto em duas prestações, "sem juros". A primeira prestação é paga o ato da compra e a seguda, um mês após. Etretato, um descoto de 25 % é cocedido se o cliete pagar à vista. Na realidade, essa loja cobra, as vedas a prazo, juros mesais de taxa igual a: 8) (TRT ) Certa categoria de trabalhadores obteve em juho um reajuste salarial de 50 % sobre os salários de abril, descotadas as atecipações. Como ela havia recebido em maio uma atecipação de 20 % (sobre o salário de abril), a percetagem do aumeto obtido em juho, sobre o salário de maio, é de: 9) Uma mercadoria teve seu preço aumetado em 20 %. Em seguida, o ovo preço foi rebaixado em 20 %. O preço fial da mercadoria, em relação ao preço iicial é: 10) A iflação acumulada de um bimestre está em 13,5% e o mês seguite acusou uma taxa de 5,6%. Qual a iflação acumulada o trimestre em questão?

11 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 79 GABARITO 01) ) 88,6% 03) redução de 1% 04) D 05) 17 h 06) 51% 07) 100% 08) 25% 09) redução de 4% 10) 19,86% 1.2) INFLAÇÃO, DEFLAÇÃO E DESINFLAÇÃO: TAXA NOMINAL E TAXA REAL CÁLCULO DE ÍNDICES. Na maioria dos países do mudo especialmete o Brasil ão é preciso ser ecoomista para se ter uma correta oção ituitiva do que é a iflação: é um aumeto geeralizado e persistete dos preços ou, vedo por outro âgulo, uma dimiuição persistete do poder aquisitivo do diheiro. A determiação da taxa de iflação é feita mediate determiados cálculos que evolvem médias poderadas e sobre uma lista de produtos que compõe o que chamamos de cesta básica. O que determia a iflação e a deflação é a média geral de preços e ão de um produto isolado. Se apeas o preço do arroz sobe ou desce durate um período, isso ão pode ser chamado de iflação ou deflação. Houve apeas uma redução ou aumeto o valor do produto. Deflação é o cotrário de iflação. Sigifica queda do ível geral dos preços e ão de um ou outro produto isolado. Não se deve cofudir deflação com desiflação, que é a redução do ritmo de alta de preços um processo iflacioário. Quado a iflação cai do patamar de 5% ao mês para o de 2%, por exemplo, pode-se dizer que houve desiflação. Deflação é quado os preços médios recuam, ou seja, a taxa torase egativa. Taxas de deflação podem ser esporádicas, o que pode ser registrado quado a iflação é muito baixa. Os preços ficam estáveis e um ou outro mometo a taxa tora-se egativa. Mas a deflação como um processo mais cotíuo está em geral associada à recessão, ou seja, à queda da atividade ecoômica. As vedas caem com a perda do poder aquisitivo dos

12 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 80 cosumidores. As empresas reduzem preços como úica alterativa de veda e podem ir à falêcia devido às perdas que têm vededo abaixo do custo. Exemplo: Joral do Brasil 9 de julho de 2005 Juho fecha com deflação de 0,02% Preços admiistrados respodem por um terço da iflação o primeiro semestre, em alta de 3,16% Pela primeira vez em dois aos, o Ídice de Preços ao Cosumidor Amplo (IPCA), que baliza as metas de iflação do govero, registrou deflação em juho. A taxa ficou em 0,02%, após alta de 0,49% em maio. A iformação é do Istituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). A última vez que o idicador oficial ficou abaixo de zero foi em juho de 2003 (- 0,15%). O resultado, porém, ão foi decorrete do aperto moetário implemetado pelo Baco Cetral, que elevou em ove meses a taxa básica de juros de 16% para os atuais 19,75% mas da taxa de câmbio em queda e da ormalização da safra. No ao, o IPCA acumula alta de 3,16%. Os maiores culpados da iflação o semestre são os preços admiistrados - tarifas e combustíveis -, que respoderam por um terço da elevação dos preços o período. Em juho, porém, vários ites ivestigados apresetaram deflação em juho. Gasolia (-1,51%) e álcool (-8,79%) ficaram mais baratos devido à redução da cotação da caa-de-açúcar e da cocorrêcia etre postos de combustíveis. No grupo alimetação e bebidas houve queda de 0,67% graças ao aumeto a oferta de várias lavouras. Os destaques foram a batata-iglesa (- 18,74%), a ceoura (-16,89%) e o tomate (-10,79%). Determie os seguites fatores de correção, de acordo com a otícia acima: a) da deflação registrada em juho de 2005 b) da variação do preço da gasolia c) da variação do preço do álcool d) da variação do preço da batata-iglesa e) da variação do preço da ceoura f) da variação do preço do tomate g) da variação do IPCA acumulado o ao (até a data da otícia) Os ídices / taxas de iflação Istitutos de pesquisa aalisam quato as famílias de diversas faixas de reda gastam com alimetação, roupas, aluguel, trasportes, saúde, educação, lazer, comuicação e despesas em geral. Com base essa cesta básica, mostram a variação dos preços. A exceção é o IGP-M da Fudação Getúlio Vargas, o qual esses gastos respodem por apeas 30% do ídice. É por isso que há vários úmeros de iflação o país, ormalmete diferetes, que vão depeder da fórmula e dos critérios aplicados por cada um desses Istitutos. Histórico O Brasil detém o recorde de ser o país que durate mais tempo viveu com preços descotrolados. A iflação chegou a 1630% em 1989 e bateu em 2490% em Seis plaos ecoômicos e cico trocas de moeda em sete aos tetaram domar o mostro, que teve seu crescimeto acelerado os aos 1970, com o "milagre ecoômico". A meta era crescer a qualquer custo. O poder público era o grade gerador de empregos, costruido

13 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 81 estradas e hidrelétricas, gastos que ão geravam riqueza. Para cobrir suas despesas, o govero emitia papel-moeda. Mais diheiro em circulação dava sesação de alto poder aquisitivo, mas ão havia bes para ateder à demada por cosumo. Com isso os preços subiam. "Os salários se esfacelaram e a ecoomia quase etrou em colapso", recorda-se o ecoomista José Dutra Sobriho. Idústrias ão ivestiam em produção, pois o mercado fiaceiro dava mais retoro. O Plao Real, em 1993, quebrou esse círculo vicioso e fez com que a iflação fosse matida em patamares razoáveis. A Lei de Resposabilidade Fiscal, aprovada em 2000, prevê puições para os goverates que gastarem mais do que o arrecadado, o que iibe a volta da iflação causada pelo aumeto dos gastos públicos. Valores omiais x valores reais Em estudos e aplicações práticas evolvedo aálise e comparação de valores moetários em períodos de tempo distitos, é ecessário que esses valores, ates da aálise, sejam corrigidos do efeito da iflação. É o que costumamos deomiar de trasformação de valores omiais em reais. No cálculo desses valores reais de gahos ou perdas, poderemos usar os fatores de correção que estudamos ateriormete, como mostraremos a seguir. Dessa forma, podemos dizer que uma taxa de correção omial é a que tem iserida o seu cálculo a iflação do período. Uma taxa real de correção é aquela em que a iflação do período foi desecaixada, ou seja, represeta a variação (gaho ou perda) sobre a iflação. Vejamos algus exemplos: 1) No ao de 2003 o salário de um trabalhador era de R$ 450,00 e em 2004 passou a receber R$ 549,00. a) Qual a correção omial que este salário recebeu? b) Qual a correção real, supodo que a iflação acumulada do período teha sido de 18%? SOLUÇÃO: a) Usado os fatores de correção, temos que a taxa omial de correção foi de (549 : = 0,22 ou 22%). b) O salário corrigido pela iflação seria de 450 x 1,18, ou seja, R$ 531,00. Logo, o gaho real foi o que trasformou 531 reais em 549 reais, ou seja, o que se estabeleceu acima da iflação. Dessa forma, a taxa real de correção foi de (549 : 531) 1 = 0,034 (aproximadamete) ou 3,4%. Verifique que tal taxa (gaho ou perda real) pode ser obtida diretamete dos fatores de correção (omial e de iflação), mediate a seguite relação: No osso exemplo, teríamos: i r = (1 + 1 (1 + i i ) ) 1 i r 1,22 = 1 0,034 1,18 Ou seja, um gaho real de 3,4%

14 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 82 2) Vimos, a itrodução do capítulo (reportagem do joral do Brasil), que a iflação acumulada em um ao, calculada pelo INPC, foi de 7,02% e que o salário míimo aumetou de 240 reais para 260 reais. Vamos calcular a taxa omial de reajuste do salário míimo, bem como a taxa de gaho real correspodete à iflação dada e verificarmos se os dados da otícia estão corretos. a) Fator de correção do salário = 260 : 240 = 1, , que correspode a uma taxa de 8,33% (taxa omial)...logo está certa a otícia esse aspecto. 1,0833 b) i r = 1 0,012 1,2% o que cofirma ovamete a otícia. 1,0702 Como é feito o cálculo da iflação? A lei que istituiu o salário míimo o Brasil em 1936, dizia que ele deveria ser suficiete para assegurar a ração essecial de um trabalhador. Foi feito um levatameto do cosumo efetivo em diversas regiões e dois aos depois, um decreto-lei estabeleceu que a ração essecial diária de um trabalhador do Rio de Jaeiro cosistia em 200g de care, 1 copo de leite, 150g de feijão, 100g de arroz, 50g de fariáceos, 200g de batata, 300g de legumes, 4 pães, 20g de café, 3 frutas, 100g de açúcar, 25g de baha de porco e 25g de mateiga, capazes de forecer-lhe calorias diárias (será que com o salário míimo vigete o País o trabalhador cosegue comprar todos esses ites?) A variação de preços de uma cesta como essa poderia ser a base de um ídice de iflação. As cestas hoje efetivamete usadas pela maioria dos istitutos são muito mais complicadas e abragem ceteas de produtos, cujos pesos são estabelecidos segudo levatametos estatísticos cuidadosos. Não para defiir uma "ração essecial" míima, mas sim refletir o que em média, as famílias detro das faixas de reda cosideradas realmete cosomem. Isso pode icluir, por exemplo, cigarros, bebidas alcoólicas e motéis, tato quato a chamada "cesta básica". No caso do Brasil o ídice oficial é hoje o IPCA (Ídice Nacioal de Preços ao Cosumidor Amplo) calculado pelo Istituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), criado em Represeta as ecessidades médias de famílias com reda (salarial ou ão) de 1 a 40 salários míimos em oze capitais brasileiras que cotêm 30% da população do país (Rio de Jaeiro desde jaeiro/1979; Porto Alegre, Belo Horizote e Recife desde julho/1979; São Paulo, Brasília e Belém desde jaeiro/1980; Fortaleza, Salvador e Curitiba desde outubro/1980; e Goiâia desde jaeiro/1991). O IPCA recebeu o adjetivo "amplo" para distigui-lo do Ídice Nacioal de Preços ao Cosumidor (INPC), criado em 1979 para represetar as ecessidades dos cosumidores de famílias com reda de 1 a 8 salários míimos e chefe assalariado. Ou seja, ele as ecessidades e preferêcias da classe média têm um grade peso. Ele reflete o custo de reprodução da vida social, ao passo que o INPC reflete mais estritamete o custo de reprodução da força de trabalho. No Brasil, vale otar, há muitos outros idicadores de custo de vida, calculados por istituições com variáveis graus de autoomia em relação ao Estado, que recebem cotíua ateção da impresa e do mercado fiaceiro. Para citar os mais importates em escala acioal, há o Ídice de Custo de Vida do Departameto Itersidical de Estudos Estatísticos e Socioecoômicos (ICV-DIEESE, que pesquisa famílias com reda de 1 a 30 salários míimos), o Ídice de Preços ao Cosumidor da Fudação Getúlio Vargas (IPC- FGV, famílias de 1 a 33 salários míimos) e o Ídice de Preços ao Cosumidor da Fudação Istituto de Pesquisas Ecoômicas da Uiversidade de São Paulo (IPC-FIPE, famílias de 1 a 20 salários míimos). Além disso, ao cotrário do que ocorre a maioria dos países, grade

15 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 83 parte do mercado prefere cofiar ão um ídice de preços ao cosumidor, mas o Ídice Geral de Preços da Fudação Getúlio Vargas (IGP-FGV) uma média mais ou meos arbitrariamete poderada etre o ídice de preços ao cosumidor (IPC), ídice de preços o atacado (IPA) e ídice acioal de costrução civil (INCC) como pricipal idicador de iflação. Dessa forma, existem diversas fórmulas e metodologias usadas para o cálculo da iflação. A mais usada é a Fórmula de Laspeyres que deriva das ossas médias aritméticas poderadas. Para que possamos melhor eteder esses cálculos vamos estudar um pouco sobre o que chamamos de úmeros ídices. Mostraremos essa fórmula o próximo item de osso estudo. Os úmeros ídices Mede-se a iflação através de idicadores ou ídices que tetam refletir o aumeto de preços de um setor em particular ou de um segmeto de cosumidores. Efetivamete, existem diversos ídices que são calculados para o atedimeto a várias fialidades. Os ídices de preços ao cosumidor tetam medir a iflação média de um cojuto de produtos e serviços que se pressupõe sejam os adquiridos por um cosumidor com determiadas características de reda. Itrodução: Os úmeros ídices são um importate istrumeto para sitetizar modificações em variáveis ecoômicas durate um período de tempo. Esses úmeros idicam a variação relativa o preço, a quatidade, ou o valor (preço x quatidade) etre um poto aterior o tempo (período-base) e, um período qualquer, ormalmete o atual. Por exemplo, se uma pessoa percebe que o preço de um produto atualmete é o quítuplo do que custava há dois aos, está fazedo uso de certo tipo de úmero ídice comparativo. Quado um só produto está em jogo, o ídice é dito ídice simples, equato que uma comparação que evolva um grupo de artigos é chamada de ídice composto. Nos ídices compostos é ecessário ão só icluir as variações de preços, mas também as variações de quatidades, a fim de que possamos ter um quadro mais preciso da variação global. Em resumo, podemos destacar: Um úmero ídice é usado para idicar variações relativas em quatidades, preços, ou valores de um artigo, durate um dado período de tempo. Um úmero ídice é a razão usada para avaliar a variação etre dois períodos de tempo. B) Números Ídices Simples: Um úmero ídice simples avalia a variação relativa de um úico item ou variável ecoômica etre dois períodos de tempo. Ele é calculado como a razão etre preço, quatidade ou valor um dado período para o correspodete preço, quatidade ou valor um período-base.

16 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 84 Podem-se calcular úmeros ídices, chamados de relativos de preço, quatidade e valor, mediate as seguites fórmulas: p p 0 relativo de preço =. 100 q q 0 relativo de quatidade =. 100 p. q p. relativo de valor = q 0 p o é o preço de um item a data base. q o é a quatidade de um item a data base. p é o preço de um item em determiada data. q é a quatidade de um item em determiada data. Exemplo: A empresa Kobra Karo S.A, em 2002 vedeu 300 uidades do produto "X", cobrado 20 dólares por peça e, em 2003, vedeu 450 uidades do mesmo produto, cobrado 25 dólares por peça. Determiar os relativos de preço, quatidade e valor em 2003, tomado como base Solução: É usual a otação 2002 = 100, para deotar que 2002 é o ao base. 25 Relativo de preço - p =.100 = Relativo de quatidade q 2003 =.100 = Relativo de valor v 2003 =.100 = 187, Obs: Devemos otar que houve um aumeto de 25 % o preço, em relação ao ao base, um aumeto de 50 % a quatidade e um aumeto de 87,5 % o valor. O aumeto do valor é, portato, o aumeto acumulado do aumeto de preço pelo aumeto de quatidade, ou seja, o produto dos ídices de preço e quatidade é o ídice de valor: (1,25 x 1,5 = 1,875). C) Relativos em Cadeia: O relativo em cadeia é o ídice de base fixa, ou seja, todos os relativos são calculados tomado-se por base uma determiada época. Exemplo: Vamos supor um bem de cosumo que apresetou o período 2000/2003 os seguites preços (em dólares): 40, 45, 50, 65. Os relativos em cadeia, tomado como base o ao de 2000, serão:

17 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá p 2001=.100 = 112, p 2002 =.100 = p =.100 = 162,5 40 Poderíamos compor a seguite tabela com os preços os referidos aos e os relativos em cadeia, ao base ANOS PREÇOS RELATIVOS , ,5 D) Elos de Relativos: Vários relativos formam elos quado cada um deles é calculado tomado por base o período aterior, é o que chamamos de base móvel. É usual, esse caso, ão represetarmos o relativo do primeiro período, já que ão existe aterior como referêcia. Exemplo: Vejamos, com os mesmos dados do exemplo aterior, como ficariam os elos de relativos. 45 p 2001=.100 = 112, p 2002 =.100 = 111,11 p 2003 =.100 = Teremos agora a seguite tabela de preços e elos de relativos: ANOS PREÇOS RELATIVOS - 112,5 111, E) Ídices Agregativos: Os ídices que estudamos até agora servem apeas para caracterizar a marcha de preços referetes a um úico bem. No etato a variação de preços ormalmete exige a observação da variação de um cojuto de bes, como o caso do cálculo da variação da cesta básica. Para atigirmos esse objetivo, laçamos mão de um ovo tipo de ídice, deomiado agregativo. O ídice agregativo poderá ser simples (se todos os bes tiverem a mesma importâcia o seu cálculo). Os pricipais ídices agregativos desse grupo são: Médias de relativos (aritmética, geométrica ou harmôica) Idice agregativo simples. O ídice agregativo poderá ser poderado (se os bes tiverem importâcia ou pesos difereciados o cálculo do ídice). Os pricipais ídices agregativos desse grupo são: Médias Poderadas de relativos (aritmética, geométrica ou harmôica) Ídices poderados de Laspeyres, Paasche, ou Fischer,.

18 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 86 Vejamos como podemos calcular os pricipais desses ídices: O ídice agregativo simples é a razão etre a soma dos preços ou quatidades uma época qualquer e a soma dos preços ou quatidades a época base. I as = p p t 0 x100 ou q q t 0 x100 O ídice agregativo simples e as médias simples apresetam a vatagem de um cálculo simplificado e a desvatagem de cosiderarem todos os bes com a mesma importâcia o cálculo do ídice. Exemplo: Calcular o Ídice Agregativo Simples para preços em 2003, tomado como base o ao de 2002, para o cojuto de mercadorias visto a tabela abaixo: Mercadoria (espécie) Preço em 2002 Preço em 2003 A 40,00 50,00 B 50,00 100,00 C 120,00 200,00 Total 210,00 350,00 I as = 350 : 210 = 1,67 ou 167 %. Solução: Ídices agregativos poderados - Fórmulas de Laspeyres, Paasche e Fischer: No cálculo do ídice agregativo simples, todos os ites são colocados com uma mesma importâcia ou peso. Sabemos, porém, que a prática isso ão acotece; há bes de importâcia maior do que outros, o cálculo de um ídice. Evitamos tais distorções atribuido a cada item a importâcia que lhe cabe através de coeficietes de poderação e as médias de ídices passam a ser poderadas. De acordo com o que cosideramos como peso e com o tipo de média utilizada, temos também algumas variates de fórmulas para o cálculo de tais ídices agregativos. "O Ídice de Laspeyres" ou Método da Época Básica É o ídice poderado dos relativos (preços ou quatidades), sedo os pesos da poderação os valores (preço x quatidade) do ao base. Ou seja, é a média aritmética poderada dos relativos de preços, poderados aos valores do ao base. É o ídice mais usado pelos Istitutos e Órgãos que calculam a iflação. A fórmula para o ídice de Laspeyres, referete aos preços será: pt xp0q0 p0 Lp0, t = p q Ou etão, simplificada, os dá: 0 0

19 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 87 L 0, t = p q p t 0 q 0 0 Exemplo: Cosidere a tabela abaixo e calcule o ídice poderado de preços de Laspeyres, tomado 2003 como ao base. BENS preços quatidades preços quatidades A B C Lp = = = 1,625 ou 162,5 Na prática o cálculo desse ídice é feito cosiderado-se as quatidades como fixas. "O Ídice de Paasche" ou Método da Época Atual Este ídice é calculado pela média harmôica poderada dos relativos (preços ou quatidades), poderados aos valores do ao dado. O ídice de Paasche, referete aos preços, com as devidas simplificações, será: Pp 0 t = p q p t 0 q t t Exemplo: Calcule o ídice poderado de preços de Paasche, ao base 2003, usado a mesma tabela do exemplo aterior: Pp 2004 = = = 1,70 ou Observação: Existe aida o importate ídice de Fischer que é a média geométrica dos dois ídices ateriores: Laspeyres e Paasche, ou seja, o ídice de Fischer é igual à raiz quadrada do produto dos ídices de Laspeyres e de Paasche. Para o exemplo apresetado, o ídice de Fischer seria: Fp 2004 = 1,625.1,70 = 1,66 ou OBS: A existêcia de distitos ídices, sigifica que a seleção do ídice mais apropriado para medir a ``iflação'' relevate para uma pessoa ou empresa é em si um problema complicado pois ão ecessariamete os ídices dispoíveis refletem a variação de preços relevate para cada caso em particular. Trabalhado com seus aluos:

20 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 88 A iflação do passado criou um padrão de cosumo irracioal Desde a década de 1970 até a metade da década de 1990, o povo brasileiro coviveu com um mostro impiedoso: a iflação. Ela egolia o salário das pessoas de forma assustadora. Por isso, criou-se o hábito de comprar tudo e estocar. O medo do aumeto de preços fazia com que as pessoas comprassem muito mais do que podiam cosumir. "Esse período que estamos vivedo de estabilidade é o mais logo e úico a história do país. Mas esse costume de estocar aida é cultural, e é por isso que educar as criaças é tão ecessário", argumeta Cássia. Isso sem cotar com o bombardeio de propagada a que criaças e joves estão expostos diariamete. "Eles precisam perceber como fucioa o mercado, a propagada e o cosumo para ter cosciêcia ates de comprar", diz. Lembre-se de que seus aluos mais joves podem ão saber o que é iflação, os moldes do que se viveu há algumas décadas. Por isso, é resposabilidade dos educadores (icluido os pais, é claro) formar um ovo cosumidor, mais ateto. Cofira a evolução da iflação o país desde Você pode usar a tabela abaixo com aluos de 5ª a 8ª séries. Sugira que façam pesquisas sobre como as pessoas viviam, recebiam seus salários, programavam o orçameto e cosumiam. Etrevistas com os próprios pais e avós pode ser uma boa fote de iformações sobre o tema. Em 1939, foi criada a Fudação Istituto de Pesquisas Ecoômicas (Fipe). Ela começou a medir a iflação em 1940, quado era de 9,31% ao ao. Dali pra frete, o ídice ão parou de crescer. Ao Iflação do ao Ao Iflação do ao ,20% ,12% ,46% ,85% ,10% ,91% 1990 (Plao Collor) 1992 (Reúcia de Ferado Collor) 1.639,08 % 1.129,45% ,77% ,53% ,09% ,96% ,56% ,04% ,22% ,79% 1986 (Plao Cruzado) 68,08% ,9% Fote: Nova Escola

21 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 89 LISTA DE EXERCÍCIOS 1) Qual o fator de correção correspodete a um aumeto de 34,5 %? a) 3,45 b) 4,45 c) 1,345 d) 2,345 2) Qual o aumeto gerado pelo fator de 2,4567? a) 245,67% b) 345,67% c) 145% d) 145,67% e) 95,87% 3) Um preço aumetou de 120 para 150 reais. Qual o percetual de aumeto correspodete? a) 47% b) 25% c) 35% d) 45% e) 34% 4) Um preço reduziu de 150 para 120 reais. Qual o fator de redução e qual o percetual de redução correspodete? a) 25% b) 15% c) 10% d) 40% e) 20% 5) Qual o aumeto acumulado, gerado por dois aumetos cosecutivos de 30 %? a) 40% b) 60% c) 69% d) 65% e) 62% 6) Qual a redução acumulada, gerada por dois descotos cosecutivos de 30 %? a) 51% b) 60% c) 54% d) 69% e) 62% 7) Num certo mês, o aumeto das mesalidades escolares foi de 42,7%. Se em uma escola essa mesalidade passou a ser de R$ 927,60, qual era o valor ates do aumeto? a)r$ 531,50 b)r$ 650,00 c) R$ 582,00 d) R$ 499,00 e) R$ 624,00 8) O preço de uma mercadoria subiu 300%. Calcule que porcetagem se deve reduzir do seu preço atual, de modo a retorar ao seu valor de ates do aumeto? a) 25 % b) 75 % c) 300 % d) 400 % e) 20 % 9) Um fucioário teve um reajuste de 34 % um certo mês; o mês seguite um ovo reajuste de 38%, passado a receber R$ 221,90. Quato recebia ates desses dois reajustes (aproximadamete)? a) R$ 120,00 b) R$ 90,80 c) R$ 118,00 d) R$ 124,80 e)r$ 132,00 10) Uma mercadoria sofreu três reduções sucessivas de 12 %; 14 % e 24 %. Qual a redução total acumulada? a) 50 % b) 48 % c) 52 % d) 42,48 % e) 43,89 % 11) (TASA 1993) A iflação de um determiado mês foi de 25% e esse mês o quilo do café subiu de preço em 50%. O aumeto real do preço do café, isto é, o aumeto além da iflação, foi de: a) 50% b) 25% c) 20% d) 16,6% e) 10% 12) (Telerj 1993) Uma mercadoria teve seu preço aumetado em 20%. Em seguida, o ovo preço foi rebaixado em 20%. O preço fial da mercadoria, em relação ao preço iicial é: a) igual b) 4% maior c) 4% meor d) 8% maior e) 8% meor

22 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 90 13) (BACEN 1994) Um ivestimeto redeu 68% em um mês o qual a iflação foi de 40%. O gaho real esse mês foi de: a) 20% b) 22% c) 24% d) 26% e) 28% 14) Cosidere a tabela abaixo, referete a preços e quatidades de um cojuto de artigos, os aos 2004 e Obteha o úmero ídice de variação correspodete ao cálculo pela fórmula de Laspeyres Artigo Preço (R$) Quatidade Preço (R$) Quatidade A B C D a) 117,32 b) 118,45 c) 121,34 d) 116,50 e) 122,45 15) Calcule agora o ídice de variação da tabela aterior, de acordo com a fórmula de Paasche. a) 117,83 b) 118,54 c) 115,58 d) 116,90 e) 119,80 16) Um ivestimeto obteve um gaho omial de 34%, um período de iflação correspodete a 28%. Qual a taxa real dos juros recebidos por esse ivestimeto? a) 6% b) 5,23% c) 4,69% d) 3,98% e) 4,5% A tabela a seguir, se refere às questões, de 17 a 19 e se refere a preços praticados e quatidades produzidas de três artigos, em 2001 e Artigos Preço uitário (dólares) Quatidades (toeladas) Preço uitário (dólares) Quatidades (toeladas) A 3,00 2 4,00 4 B 6,00 5 6,00 6 C 4,00 7 5,00 3 Fote: Dados hipotéticos 17) Calcular o ídice de Laspeyres para os preços de 2002, tomado como base o ao de a) 121,63 % b) 114,06 % c) 128,32 % d) 133,44 % e) 138,28 % 18) O ídice de Paasche para os preços de 2002, tomado como base o ao de a) 121,45 % b) 134,56 % c) 113,78 % d) 109,78 5 e) 111,67 % 19) Calcular o ídice agregativo simples para os preços de 2002, tomado como base o ao de a) 110,26 % b) 120,32 % c) 116,67 % d) 115,38 % e) 121,67 % 20) Calcular o ídice agregativo simples para os preços de 2001, tomado como base o ao de a) 86,67 b) 88,75 c) 98,45 d) 112,45 e) 89,95

23 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 91 GABARITO - 1ª LISTA DE EXERCÍCIOS 01) C 02) D 03) B 04) E 05) C 06) A 07) B 08) B 09) A 10) D 11) C 12) C 13) A 14) A 15) A 16) C 17) B 18) E 19) D 20) A Há três classes de pessoas ifelizes: a que ão sabe e ão perguta, a que sabe e ão esia, a que esia e ão faz. (V. Beda) PROGRESSÕES ARITMÉTICAS: JUROS E DESCONTOS SIMPLES 1) INTRODUÇÃO Observe as seguites situações, tiradas de situações do cotidiao ou de diversos ramos da própria matemática: 1. Viícius tem, guardados em seu cofriho, 350 reais. Resolveu, a partir desse mometo, fazer uma poupaça de forma que colocaria o cofriho um real o primeiro dia, dois o segudo, três o terceiro...e assim sucessivamete, até o 30º dia. Quato ele terá em seu cofriho, passados os 30 dias? 2. A população de uma cidade cresce 2% a cada ao. Se em 1990 a população era de habitates, quatos serão os habitates dessa cidade, em 2007, matida a mesma taxa de crescimeto aual? Problemas como os que apresetamos acima, que evolvem seqüêcias especiais, são estudados os capítulos das progressões aritméticas e geométricas. Em osso curso, ão faremos um estudo detalhado das progressões pois a ossa maior preocupação é a relação que existe etre as progressões e os juros. Quado escrevemos qualquer quatidade de úmeros, um após o outro, temos o que chamamos de seqüêcias. As seqüêcias são, freqüetemete, resultado da observação de um determiado fato ou feômeo. Imagie, por exemplo, que uma pessoa acompahasse a variação do dólar (compra) os primeiros dez dias (úteis) do mês de abril de Vejamos o resultado de sua pesquisa a tabela a seguir: Dia útil (Abril de 2003) Dólar (Compra) 1 R$ 3,335 2 R$ 3,278 3 R$ 3,255 4 R$ 3,246 5 R$ 3,171 Dia útil (Abril de 2003) Dólar (Compra) 6 R$ 3,164 7 R$ 3,184 8 R$ 3,214 9 R$ 3, R$ 3,181

24 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 92 Verifique que os valores listados, que possuem uma certa ordeação, costituem uma seqüêcia. Você pode usar as seqüêcias para registrar diversas observações, como a produção de uma fábrica em cada mês, o úmero de telefoemas que você dá por dia, a taxa de iflação mesal etc. No exemplo que mostramos, da variação do dólar, ão teríamos como saber, por exemplo, a sua cotação o dia 15, ou o dia 20, já que a seqüêcia é variável e depede de diversos fatores ão previsíveis. Em osso curso vamos estudar umas seqüêcias muito especiais. Por sua regularidade, cohecedo algus termos, podemos calcular qualquer outro. A primeira delas chama-se Progressão Aritmética. Uma progressão aritmética é uma seqüêcia a qual, dado um primeiro termo, obtemos todos os outros acrescetado sempre a mesma quatidade. Por exemplo, vamos partir do úmero 7 e acrescetar 3, diversas vezes: Como a razão é a quatidade que acrescetamos a cada termo para obter o seguite, podemos dizer que: A razão de uma progressão aritmética é a difereça etre qualquer termo e o aterior, a partir do segudo termo. 2) FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A Passemos etão a geeralizar o que vimos os exemplos. Cosidere a seguite progressão aritmética (de agora em diate represetada por PA) de razão R: a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6... a +R + R + R + R + R + R... Supoha que você cohece o primeiro termo (a 1 ), e a razão (R). Como faremos para calcular qualquer outro termo? Observe as igualdades: a 2 = a 1 + R a 3 = a 1 + 2R a 4 = a 1 + 3R a 5 = a 1 + 4R... a10 = a1 + 9R Vemos etão que, para calcular um termo qualquer (a ) é preciso somar ao 1º termo, ( -1) vezes a razão, ou seja: Fórmula do termo geral: a = a 1 + ( - 1).R Para eteder bem o que estamos fazedo, imagie que você está o 1º degrau de uma escada e deseja chegar ao 10º. Quatos degraus deve subir? É claro que são 9. Se você está o 1º degrau e deseja chegar ao 25º, quatos deve subir? Deve subir 24, lógico. Etão, para chegar ao degrau úmero, devemos subir ( -1) degraus. Observe a aplicação dessa fórmula os exemplos seguites. EXEMPLO 1: Escreva a P.A obtida, quado iserimos 5 úmeros etre 1 e 25?

25 Matemática Comercial e Fiaceira para Educadores Matemáticos Prof. Ilydio Pereira de Sá 93 Nesse caso, estamos queredo formar uma P.A, com sete termos, sedo que os extremos são os úmeros 1 e 25. Esse tipo de problema é o que chamamos de INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA. É claro que o que falta obter é a razão desta P.A. (1,,,,,, 25). a = a 1 + ( - 1).R ou a 7 = a R ou 25 = R ou aida 24 = 6. R, o que acarreta R = 4. Logo, a P.A procurada é: ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25) EXEMPLO 2: Em jaeiro, de certo ao, Lídia estava gahado R$ 270,00 por mês. Seu patrão prometeu aumetar seu salário em R$ 8,00 todos os meses. Quato Lídia estará gahado em dezembro do ao seguite? Solução: Se o salário de Lídia aumeta R$ 8,00 todos os meses, etão a seqüêcia dos salários é uma progressão aritmética de razão igual a 8. Vamos Motar uma tabela, para melhor eteder a situação: jaeiro _ a 1 = 270,00 fevereiro _ a 2 = 278, dezembro _ a 12 = jaeiro _ a 13 =... dezembro _ a 24 =? Logo, o que queremos é o valor do 24º termo dessa P.A. Usado a fórmula do termo geral, teremos: a 24 = a R a 24 = a 24 = a24 = 454 Portato, com esses pequeos aumetos mesais, Lídia estará gahado, em dezembro do ao seguite, R$ 454,00. Uma outra maeira (Recorrêcia) Imagie que você se ecotra o 3º adar de uma escada e que deseja atigir o 9º adar. Quatos adares você terá de subir? É claro que a resposta é 6 adares. Isso, em liguagem matemática pode ser represetado por: a 9 = a R. De modo geral, se estamos o degrau de úmero e desejamos chegar ao degrau de úmero m, devemos subir (m ) degraus. No caso da P. A, teremos uma outra maeira mais geral de escrever a fórmula, relacioado dois termos quaisquer e ão obrigatoriamete como primeiro termos. Ë a seguite fórmula: a m = a + (m ). R. Exemplo 6: A mesada de Luciaa aumeta todos os aos de um valor costate de reais, combiado com o seu pai. Sabemos que o 5º ao após o acordo, a mesada estava em R$ 80,00 e que o 8º ao estava em R$ 110,00. Qual era o valor da mesada de Luciaa o iício desse acordo?