Capítulo VI Ondas Acústicas e Piezoeletricidade 6.1 INTRODUÇÃO

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1 Cpítulo VI Onds Aústis Pioltriidd 6. INROUÇÃO No pítulo 5, rfrnt o fito ltroóptio, studou-s propgção d onds óptis m mios us propridds rlnts ( μ, ε rm indpndnts do tmpo. No so d intrção ústio-ópti, sr studd no próximo pítulo, prmissiidd é ontrold por um ond lásti, tornndo-s um função do tmpo do spço []. A fim d dsnolr o modlo d intrção ústio-ópti é importnt s studr, primirmnt, s propridds d propgção d um ond lásti no mio ond oorr st intrção. As rtrístis d ond lásti, qu são d intrss pr ústio-ópti, são: polrição, loidd d fs, omprimnto d ond, frqüêni, potêni impdâni ústi []. Onds d ntur mâni podm s propgr om loidd polrição bm dfinids, m um fix d frquênis bstnt mpl ntr dns d H ntns d GH. ss loidd d fs m um mio ilimitdo é, tipimnt, infrior m/s. Portnto, ond d ntur mâni é minntmnt um ond lnt qundo omprd om um ond ltromgnéti propgndo-s no msmo mio. m dorrêni dst fto, m frquênis d miroonds signifitimnt bixs (lguns MH, o omprimnto d ond d ond ústi é d lgums dns d μm. Por xmplo, s num ddo mtril ond s propg om loidd d fs p m/s om frquêni f MH, ntão, o omprimnto d ond srá igul Λ p /f μm. Por outro ldo, s st foss um ond ltromgnéti om f MH propgndo-s no msmo mio, su omprimnto d ond sri d ordm d λ /f ~ m. Um onsttdo qu Λ é bixo, pod-s infrir qu miori dos dispositios à ond ústi xib dimnsõs rduids. 69

2 6. ONA ÁICA M ÓIO NÃO-PIZOÉRICO Qur sm onds sonors, onds n suprfíi d águ, onds ltromgnétis, t., tods têm m omum o fto d onstituir um distúrbio m moimnto d onduir nrgi d um lol pr outro. Um rro omum no ntndimnto d onds é supor qu ls stão ssoids o moimnto do mio físio qu s suportm, por xmplo, qundo s intrprt rronmnt qu um ond propgndo-s n suprfíi d águ tmbém nol o trnsport d águ. Contudo, st não é o so, sndo qu ond o distúrbio é qum s mo trés d águ. Ao ontrário ds onds ltromgnétis, s onds lástis podm prsntr polrição trnsrsl ou longitudinl. N ond trnsrsl o distúrbio é prpndiulr à dirção d propgção, omo no so d ond propgndo-s num ord, omo mostrdo n Fig.6.. Obsr-s qu o moimnto d mão d qum proo o distúrbio oorr n dirção rtil, pr im pr bixo, porém, ond s propg n dirção horiontl. Figur 6. Propgção d ond num ord. Onds trnsrsis tmbém oorrm qundo s lnç um pdr n suprfíi d um lgo, omo mostrdo n Fig.6.. As prtíuls d águ osilm, pr im pr bixo, m torno ds sus posiçõs d quilíbrio. A osilção d um bói, omo mostrdo n Fig.6. b, é similr o d um mss fixd n xtrmidd d um mol rtil. 7

3 ( (b Figur 6. Ond s propgndo n suprfíi d águ. O rrmsso d um pdr proporion nrgi pr grr ond. b Moimnto trnsrsl d um bói. No so d ond longitudinl, o distúrbio oorr prllmnt à dirção d propgção d ond, omo n Fig.6., qu ilustr um ond propgndo-s num mol, ou, n Fig.6. b, rlti um ond sonor. ( (b Figur 6. Onds longitudinis. Ond num mol. b Ond sonor. Como s obsr n Fig.6. b, s prtíuls d r não s dslom om ond sonor, ms simplsmnt osilm qundo st s trssm. As prtíuls d r simplsmnt osilm, pr frnt pr trás, m torno d sus posiçõs d quilíbrio. Considr-s sguir um mio mtril rbitrário trés do qul s propg um ond lásti. m grl, os mios onsidrdos m dispositios ústio-óptios são sólidos ou líquidos, om mior ênfs pr os do primiro tipo. Nst pítulo, é dd ênfs à distribuição d forçs d ontto, isto é, forçs qu s prtíuls dnts um dd mostr lmntr grm sobr mostr. Formlmnt, polrição d ond lásti rfr-s à orintção do 7

4 dslomnto ds prtíuls, m torno d posição d quilíbrio, m rlção à dirção d propgção. u dnotr o dslomnto d prtíul m rlção su posição d quilíbrio, tm-s: Ond lásti longitudinl N ond lásti longitudinl s prtíuls osilm (ibrçõs mirosópis n msm dirção d propgção d ond. N Fig. 6.4 ilustr-s ss prosso, ond K rfr-s o tor d ond d ond lásti ond u // K ou ˆ u // K x. Prtíul u X K u (x, t // K X X b Ond lásti trnsrsl Figur 6.4 Ond lásti longitudinl. No so d ond trnsrsl, s prtíuls osilm n dirção prpndiulr à dirção d propgção d ond lásti. Ns Figs b ilustrm-s ss prosso, ns quis u // xˆ u // xˆ, rsptimnt. Prtíul Prtíul x K x K x x u // xˆ ( (b Figur 6.5 Propgção d ond lásti trnsrsl. Polrição n dirção x. b Polrição n dirção x. x x u // xˆ Ants d prossguir om nális, é importnt dfinir lgums grnds físis rlnts pr omprnsão ds onds lástis. 7

5 6.. nsão Mâni ou trss ( N/m Com o uxílio d Fig.6.6, srão dfinids s omponnts do tnsor dnomindo tnsão mâni ou strss, i, u dimnsão é d forç por unidd d ár, N/m. x F i ΔA x xˆ x Figur 6.6 Grnds pr dfinição d strss. N Fig. 6.6, omponnt d forç F i, qu tu n dirção x i, é plid sobr ár do lmnto difrnil d olum, ΔA, u norml stá n dirção x. st form, dfin-s omponnt d strss i omo (, : forç f i lim F ΔA i ΔA (6. ou s, um tnsão mâni plid sobr um lmnto d ár ( Δ u norml é xˆ, qu é grd por um forç ( F i qu oorr o longo d dirção xˆ i. No xmplo d Fig. 6.6, tm-s um forç d islhmnto. Pod-s dmonstrr qu i é um tnsor d sgund ordm,, qundo o mio stá m quilíbrio d rotção, isto é, qundo o torqu xtrno é nulo, tm-s []: ou s, é simétrio. i i (6. xmplo 6.: Mostrr qu m quilíbrio d rotção oorr. olução: A omponnt d strss rfr-s à forç plid n dirção x, dnomind d Δ F, sobr f u norml é x, isto é, ˆn, omo mostrdo n Fig Portnto A 7

6 Δ F ( Δx Δ, sndo Δ x Δ ár m qustão. Obimnt, st é um forç d x ( x islhmnto. form nálog, pod-s onsidrr omponnt d forç plid n f u norml é ( ˆn, posiiond m x (não mostrd n figur. x τ τ Δx ΔF ΔF nˆ x nˆ Δx Δx x Figur 6.7 lmnto difrnil d olum m quilíbrio d rotção. Por outro ldo, stá rliond à forç plid n dirção x, dnomind d Δ F, sobr f u norml é x, isto é, ˆn. Assim, Δ F ( ΔxΔx é forç d islhmnto tundo sobr ár Δ x Δ. form nálog, pod-s onsidrr omponnt d forç ( x plid n f u norml é ( ˆn, posiiond m x (não mostrd n figur. Como, m quilíbrio d rotção, o torqu rsultnt é nulo, ntão, o torqu luldo m torno do ixo x srá tl qu τ ( x x x x x Δx τ Δ Δ Δ ( Δ Δ (ond τ τ são torqus, Nm o qul impli m qu. 6.. formção Mâni ou trin A dformção mâni ou strin é um mdid do dslomnto rltio d prtíuls num mio mtril. Com isso, é um grnd dimnsionl (ou porntul. A omponnt d strin kl é dfinid omo []: u kl x k u x k (6. sndo qu u k (k,,, rfrm-s às omponnts do tor dslomnto mânio ds prtíuls, x k x stão ssoidos às oordnds rtsins do sistm d rfrêni. 74

7 Além d sr um grnd dimnsionl, o strin é um tnsor d sgund ordm simétrio, no qul k k (6.4 qul dorr d onsidrçõs trmodinâmis [-]. É possíl dmonstrr qu, n situção k, oorr longção do mtril, nqunto qu, pr k, oorr rotção ou torção do mtril. A título d ilustrção, onsidrm-s os sos ond k,, ond k, rltios às omponnts d strin, rsptimnt: u x u x u x (6.5 u x u x (6.5 b Conform squmtido n Fig.6.8, pr um lmnto d ár no plno x x (for d sl, pois, n rlidd, s dformçõs são mirosópis, o primiro so (k orrspond um rição ds posiçõs ds prtíuls (m torno do ponto d quilíbrio m rlção à oordnd x. N figur, Δu orrspond à dformção n dirção x, m um lmnto linr d omprimnto Δx. Conform s rifi, hou longção do orpo sólido. Figur 6.8 Componnt d dformção longitudinl. Por outro ldo, n situção ond k, rifi-s prsnç d forçs d islhmnto dformçõs onform s mostrds ns Figs. 6.9, b. 75

8 x Δu x φ Δu φ Δx Δx ( x u φ x Δx (b x u φ x tgφ, φ, Δu Δx,, φ φ u u x x ( Figur 6.9 Componnts d dformção por islhmnto. Cislhmnto n dirção x. b Cislhmnto n dirção x. orção do orpo. N Fig. 6.9, por xmplo, obsr-s qu Δu ri (umnt d ordo om o omprimnto Δx do orpo. Obsr-s, tmbém, qu Δ u / Δx orrspond proximdmnt o ângulo φ ssoido om dformção n dirção x. Por su, Δ u / Δx (Fig. 6.9 b orrspond proximdmnt o ângulo φ ssoido om dformção n dirção x. Finlmnt, pr ângulos φ φ muito pqunos, dfin-s qu é proximdmnt igul à médi ritméti ntr sts ângulos, ou s, mtd do ângulo totl ssoido om dformção trnsrsl qu oorr no plno x x. 6.. i d Hook nsoril b-s, d físi lmntr, qu li d Hook stbl rlção ntr forç longção m um mio mtril. No prsnt studo, onsidrr-s-á qu os mtriis nolidos possum nisotropi mâni rbitrári, portnto, d-s rorrr à li d Hook n form tnsoril. Nst studo prliminr, o fito piolétrio srá dsonsidrdo n li d Hook, dixndo-s pr disuti-lo n sção 6.. N Fig. 6. ilustr-s um hst dlgd submtid um forç F qu sofr um dformção Δ n dirção longitudinl. gundo 76

9 físi lmntr tm-s F k.δ, ond k é onstnt lásti do mtril. Contudo, obsr-s qu lém d dformção dido à forç d longção, tmbém oorrm forçs d islhmnto ns dirçõs trnsrsis, o qu não é pristo nst qução simpls. Δ F F Figur 6. formção m um hst dlgd. rá onsidrdo n nális, qu o mio mtril s linr sob o ponto d ist lástio. Nst situção, li d Hook tnsoril, qul stbl qu rlção ntr os tnsors strss strin (rlção onstituti, é dd por [4]: i ikl kl (6.6 ond ikl [N/m ] é um tnsor d qurt ordm orrspondnt s onstnts lástis d rigid (ou simplsmnt onstnts lástis, ou ind, stiffnss do mio mtril. m prinípio, o tnsor ikl prsnt 4 8 lmntos, ontudo, omo os tnsors strss strin são simétrios, isto é, i i i i, ntão ikl ikl ilk (6.7 ssim, o númro d lmntos d ikl rdu-s 6. Considrçõs d simtri ristlin stblm quntos lmntos srão nulos qul rlção ntr os rmnsnts. O tnsor ds onstnts lástis do mtril, m notção d índis rduidos (,,, 4, 5, 6, torn-s []: mn, i,, k, l,, m, n,,..., 6 (6.8 ikl, om isso, o tnsor ds onstnts lástis pod sr rprsntdo por um mtri d ordm 6 6. No so d mio sólido lstimnt isotrópio, [] é tl qu: [] (6.9 77

10 sndo,,, 4, 5, 6,,,, 4,, 5 6 (ANÇÃO!, ond 44 ( / []. Por xmplo, pr sólidos isotrópios omo o qurto fundido (dnsidd ρ, kg/m, tm-s 78,5 9 N/m, 6, 9 N/m 44, 9 N/m. Rltimnt às mtris ds onstnts lástis pr mios om nisotropi mâni omo, por xmplo: G, GAs, PIn (simtri úbi, Cd, ZnO (simtri hxgonl, qurto ristlino, inbo io (simtri trigononl, sugr-s qu o litor onsult o liro do Yri [] i d Nwton nsoril Como s sb, orrspond à omponnt d strss n f u norml é ˆx, dido omponnt forç plid sgundo dirção x l. st omponnt é rsponsál por um longção do orpo n dirção x. Um rioínio smlhnt s pli às dmis omponnts do tnsor strss. N Fig.6. ilustrm-s s omponnts d strss tundo sobr f u norml é ˆx. Pl figur, obsr-s qu é um omponnt d longção, nqunto qu são dus omponnts d islhmnto. A omponnt ontribui pr forç totl F plid nst f pontd n dirção x. N f opost tm-s um situção smlhnt, om um forç totl n dirção ( x. Figur 6. Componnts d strss n f prpndiulr x. O blnço d forçs n dirção x stbl qu difrnç ntr forçs ntgônis é: 78

11 Δ F ( Δx Δ ( x Δ x ABC x FGH Δ (6. Porém, plindo-s séri d ylor m torno d x, obtém-s ( x Δx ( x Δx Δx... (6. x x sndo qu pns s dus primirs prls são sufiints pr o so d um lmnto difrnil d olum m sólidos. Além disso, por inspção d Fig.6., onlui-s qu ( x Δ x, (6. ABC ( x (6. b FGH s quis, substituíds m (6.,, om o uxílio d (6., ondum Δ F x Δ x (6. Δx Δx Prodndo-s d form similr om rlção às tnsõs ns outrs fs, us normis são ˆx ˆx, dtrminm-s s dmis prls d forç sgundo dirção ˆx (forçs d islhmnto, ssim, rsultnt d forç totl sgundo x srá ΔF totl x x x Δx Δx Δx (6.4 ΔV Δ V for o lmnto difrnil d olum, su mss srá obtid trés d m ρ Δ V, ond ρ é dnsidd d mss [kg/m ]. Assim, plindo-s li d Nwton (forç mss lrção, sndo lrção u / t, m: ΔF totl x x x Δ V ρ V u t Δ (6.5 qul onstitui li d Nwton n form pontul. Pod-s mostrr qu, pr um dirção "i" rbitrári, (6.5 torn-s 79

12 ou ntão, x i x i x u i ui ρ (6.6 t i i i i ρ x t x t u ρ,,, (6.7 sndo um índi rptido. xmplo 6.: slomnto longitudinl Considr-s um ond lásti propgndo-s m mio isotrópio n dirção x polrid nst msm dirção, tl qu o tor dslomnto d prtíuls s (notção d fsor girnt: u U t K x ˆx ( x ˆ, t x u (longitudinl! ond U é mplitud, é frquêni ngulr K é onstnt d fs d ond. As omponnts d strin são lulds omo u t K x KU Ku x (rifir isto! st form, li d Nwton ondu (pr i, dirção ˆx : u ρ x x x t Por outro ldo, d li d Hook (6.6 [ou (6.9], ddu-s qu 4 5 ond, não intrssm no momnto. Além disso,, ssim, obtém-s 6 u ρ t ρ ( t Kx ( U ρu ubstituindo-s s informçõs im n xprssão d / x..., obtém-s ( 8

13 x K x u x K u t K K U u ρ t x ρ u ( K ρ u ( K ρ u ( K ρ u ( K t K x U Pr qu st qução possu solução não triil ( u, o trmo ntr prêntss d sr nulo. í, obtém-s K ρ orrspondnt à loidd d fs d ond longitudinl (não onfundir om loidd d prtíuls. xmplo 6.: Ond trnsrsl guindo um prodimnto similr o do xmplo ntrior, gor pr um ond trnsrsl pod-s mostrr qu loidd d fs srá t K x u U ˆx K ρ (dix-s rgo do litor, omo xríio, trf d dmonstrr st qução. Comprndo-s s xprssõs rsultnts pr s loidds ds onds longitudinl trnsrsl, obsr-s qu < pr um msmo mtril msm dirção d propgção. N bl 6. prsntm-s lguns lors d loidds d onds lástis longitudinis trnsrsis. sr lmbrdo qu m mios líquidos inísidos (sm isosidd só xist possibilidd d propgção d onds longitudinis, um qu não suportm forçs d islhmnto. 8

14 bl 6. Propridds mânis d mtriis. Mtril λ(μm n ρ (g/m (km/s (km/s Qurto-fundido,6,46, 5,95,76 H,6,,,5 - inbo, longitudinl,6, (n 4,7 6,57 [-] - inbo 6 Y - - 4,7 7,6 - inbo Y-ut - - 4,44 inbo X-ut - - 4,8 io, longitudinl,6,8 (n 7,54 6,9 [ ] Rlçõs d imilridd Nst sção disut-s similridd ntr ond ústi ond ltromgnéti. Considr-s o so unidimnsionl, d um ond ústi longitudinl qu s propg n dirção x, onform mostrdo n Fig. 6.. x K x x Figur 6. Ond ústi pln, ilimitd longitudinl. As sguints rlçõs dm sr obdids (m pns um dimnsão: u u t u (6.8 d t t (6.8 b x (6.8 x u u ρ ρ ρ t t x t x ρ ρ (6.8 t t ( / ond, onstnt lásti do mio, não d sr onfundid om loidd d lu no áuo. Um rlção similr pod sr obtid pr loidd d prtíuls,. Assim, 8

15 x x ρ t ρ t (6.9 (6.9 O litor d omprr s quçõs d ond (6.9 -b om s quçõs d Hlmholt do ltromgntismo, m trmos d mpos (, H ou d potniis (tnsão V, orrnt I [5]: V V με ou C x t x t H H I I με ou C x t x t (6. (6. Isto idni qu s grnds mânis stisfm quçõs formlmnt quilnts àquls obdids pls grnds ltromgnétis (, H [ou (V, I, no so d linh d trnsmissão, sndo VV(x,t II(x,t s onds d tnsão d orrnt, rsptimnt]. Além disso, obsr-s um nlogi ntr μ (ou om ρ,, ntr ε (ou C om /. st nlogi, ontudo, não é omplt pois um ond ltromgnéti não pod sr longitudinl. Por similridd om impdâni intríns (.6, ou s, η/h (m so d mpos, ou impdâni rtrísti, Z V/I (m so d [5], dos sos ltromgnétios, pod-s dfinir um rlção mtmáti quilnt dnomind d impdâni ústi: Z (6. ond u / t é loidd ds prtíuls u unidd é [kg/m s ou ryls]. A nssidd do sinl lgébrio ( d fir mis idnt prtir do xmplo sguir. xmplo 6.4: Considr-s um ond ústi longitudinl dd por (fsor girnt u U xp[ ( t K ˆ x] x ond / K / ρ qu s propg num mio isotrópio. Clulr impdâni ústi Z. b trminr xprssão do omprimnto d ond ústio Λ. 8

16 olução: A úni omponnt d strss não nul é u / x K U t K x K u xp[ ( ] (surgiu um sinl ngtio no strss. Por outro ldo, loidd ds prtíuls é dd por: u ] U xp[ ( t Kx t u Assim, sndo K / / / / ρ pr, lul-s impdâni ústi (6.: Z K ρ ρ / ρ ρ ond / ρ é loidd d ond trnsrsl. Not-s qu, s não foss usdo o sinl ( m (6., Z rsultri ngti, o qu não é possíl (por dfinição. O litor d omprr o rsultdo im om qul do so létrio no qul ημ. p (ou ntão, Z p, pr o so d, ond p é loidd d fs d ond ltromgnéti [5]. b Pr o álulo do omprimnto d ond, lul-s primirmnt loidd d fs d ond ústi, prtir d fs instntân totl do mpo ústio (frnt d ond φ i t K x onstnt. rindo st rlção m rlção o tmpo, tm-s x x K p t t K Por su, drindo fs instntân m rlção x : φi ( t K x x x K Δφ K Δx i O omprimnto d ond ústio (Λ é dfinido omo o spço ssoido um difrnç d fs instntân igul π rd (ou ntão, π rd, indifrntmnt: K π π π π Λ Λ Λ K / π f / p f um rlção similr o obtido no so ltromgnétio ( λ p / f. 84

17 N bl 6. prsntm-s lguns lors d impdânis ústis pr mios normlmnt usdos m dispositios ústio-óptios. bl 6. Propridds ústis d mtriis. Mtril irção d ρ [Kg/m ] [m/s] Z -6 [kg/m.s] propgção Qurto X , inbo Z inbo 47 d Y Qurto fundido isotrópio 597, Aton ( C líquido 79 58,96 Ar ( C gás, 4 4,4x -6 Um rlção diionl, obtid por similridd om o tor d Poynting ltromgnétio * ( H /, m módulo, rfr-s o tor d Poynting ústio, Π [W/m ], u mplitud é dfinid (n form slr omo: * Π (6. ond u / t é loidd ds prtíuls. A nssidd do sinl lgébrio ( s d à similridd om o so ltromgnétio (rifir isto!. ido o omplxo onugdo m (6., o lor d Π rsult smpr rl, omo d sr o lor médio d um dd grnd. No so grl, onsidrndo-s ntur tnsoril do strss, s omponnts do tor d Poynting ústio são obtids por []: * Π i i (6. ssoido um somtório no índi rptido. Por su, potêni ústi P pod sr dtrmind multiplindo-s Π pl ár, A, trés d qul oorr o fluxo d nrgi. No domínio físio, P é luld omo: P Π A A (6.4 m módulo (pr rsultr m lor positio. Rordndo-s qu loidd d prtíuls d ond ústi é, é luld por u u p (6.5 t t 85

18 ond é omponnt d strin ftio, ssoido o strss ftio, onlui-s qu (6.4 torn-s P Π A A p A ρ A (6.6 ond (6.5 / ρ form usdos. Portnto, o tor d Poynting ústio tm mplitud P Π ρ (6.7 A 6. FIO PIZOÉRICO O fito piolétrio linr é um propridd xibid por rtos mtriis, qu s mnifst trés d um polrição létri (grção d dipolos létrios qundo o msmo é submtido um distribuição d tnsão mâni, ou inrsmnt, n form d dformção mâni, qundo é submtido um distribuição d mpo létrio. A prtir d modlos unidimnsionis pod-s mostrr qu o fito piolétrio dorr d intrção d forçs d Coulomb om forçs d ntur lásti (rsturdors. omnt s lsss ristlins qu não xibm ntro d simtri prsntm o fito piolétrio []. N Fig.6. ilustr-s o fito piolétrio m ristis d qurto (io, u strutur tômi é onstituíd por um héli qu s stnd o longo d dirção Z (prpndiulr à págin, om dois átomos d oxigênio (rgs ngtis um d silíio (rg positi. X Y ( (b ( (d Figur 6. fito piolétrio no qurto pr forçs plids n dirção X. strutur molulr. b stdo nturl. fito d omprssão. d fito d trção. No plno XY os átomos formm um hxágono qu, no stdo nturl, isto é, n usêni d strss, tm rg totl nul. Com isso, nnhum mpo létrio xtrno stá prsnt. Por outro 86

19 ldo, plindo-s um forç d omprssão/trção n dirção X do ristl, dsf-s o blnço d rgs élul torn-s polrid, grndo-s rgs létris xtrns ns fs dos ltrodos mostrdos n figur. O msmo oorr pr forçs plids n dirção Y, porém, nd oorr pr forçs plids n dirção Z. st modlo tmbém pod sr utilido pr xplir o fito piolétrio inrso, no qul oorr dformção do ristl qundo mpos létrios xtrnos são plidos ns dirçõs X ou Y. Nst txto, ênfs spil é ddid o fito inrso, pr grção d onds ústis m substrtos trnsprnts. A mgnitud dss dformção é proporionl à intnsidd do mpo létrio plido. As rlçõs onstitutis m mtriis piolétrios rlionm grnds létris ( mânis (. É usul solhr omo grnds indpndnts, ssim, dnots qu (, (,. Qundo o intrss é no fito piolétrio linr, tis rlçõs podm sr dduids prtir d séri d ylor pr dus riáis: (6.8 ons tn t onstn t (6.8 b onstnt onstnt sts rlçõs podm sr srits d form mis ompt s form dfinidos os sguints ofiints: (6.9 onstnt (6.9 b onstnt (6.9 onstnt ε (6.9 d onstnt Contudo, trés d onsidrçõs trmodinâmis, é possíl mostrr qu, ssim, onlui-s qu []: i i (6. ikl ik kl k ik i k ε (6. b 87

20 ond ikl rfr-s às onstnts lástis om mpo létrio onstnt ou nulo, à prmissiidd om dformção onstnt ou nul ik é o tnsor piolétrio. ε i orrspond O tnsor piolétrio ik é d trir ordm, ssim, somnt mtriis não ntrosimétrios xibm tl fito. Pr um ddo mtril piolétrio, somnt lgums ds 7 omponnts dst tnsor são não nuls. ogo, pns mpos létrios plidos sgundo orintçõs spífis xitm tnsõs mânis, i-rs. Mtris d ofiints piolétrios pr ários tipos d ristis nontrm-s listds no liro do Yri []. Por xmplo, pr o inbo tm-s (m notção d índis rduidos: [ ] ( ond 5,7 C/m,, C/m,,5 C/m, C/m. Pr xitr onds lástis m dispositios do tipo olumétrio (bulk utilim-s trnsdutors plnrs, n form d pls dlgds d mtril piolétrio, onform squmtido n Fig.6.4, s quis são m sguid olds no substrto. Cidd d Ond státi Rd/Csmnto R F âmin d mtril piolétrio Film mtálio Figur 6.4 rnsdutor pilétrio thiknss. Nst rrno, um grdor d RF limnt o trnsdutor piolétrio, i rd d smnto d impdânis, fim d itr rflxõs d potêni d olt pr font. Qundo 88

21 frquêni do grdor for igul à frquêni d rssonâni do trnsdutor, mplituds lds d ibrção mâni srão stblids. Os trnsdutors piolétrios oprm no modo d ibrção thiknss, ns quis s dimnsõs ds fs ( H são muito supriors à d spssur (t. As lâmins d mtril piolétrio podm sr râmis, omo no so d PZ (itnto Zironto d Chumbo, Pb[Zr (x i (-x ]O, pr oprção sob frquênis bixs (ntr C lgums ntns d kh. Contudo, pr oprção m rádio-frquêni (RF, s lâmins dm sr muito dlgds, tornm-s qubrdiçs no so d PZ. Nsts situçõs, dm sr utilids lâmins ristlins obtids trés d polimnto, omo lâmins d qurto ou d inbo. âmins om t d ordm d pous dns d μm são típis, sndo dquds pr oprr om frquênis ústis qu ão dsd dns d MH té GH. As lâmins piolétris são protds pr xitr tnto onds lástis longitudinis qunto trnsrsis, dpndndo d form qu são ortds durnt o prosso d fbrição. Por xmplo, pr xitr onds longitudinis om inbo, ls dm sr orintds onform Fig.6.5, ond lâmin é lssifid omo X-ut, nqunto qu, pr xitr onds trnsrsis, são orintds onform Fig.6.5 b, om lâmin 6 Y rottd. ( Figur Corts d ristl piolétrio. Pr onds trnsrsis (X ut. b Pr xitr onds lástis longitudinis (6 Y rottd. xmplo 6.5: Considrndo-s propgção d um ond ústi longitudinl m mtril piolétrio sm rgs létris om mpo létrio plido n dirção d propgção ústi, obtr su loidd. olução: u U xp[ ( t K ] ˆ ond ústi longitudinl propgndo-s n dirção (ou x. Como o mio não possui rg létri,, ssim, oorr (b 89

22 / x, ond ε u / x, obtid usndo-s (6. b ( ε ε,. rindo-s m rlção à x u ε x x x u x ε x x dí, x ε K U xp[ ( t K ] ε K u Por outro ldo, prtir d dfinição d strss (6.4 pr ond longitudinl: u U K t K xp[ ( ] x rindo-s m rlção x plindo-s li d Nwton (6.7: x KU xp[ ( t K] ρ K u K u u ρ( x t ε ubstituindo-s u prodndo-s simplifiçõs, obtém-s u ε ρ K Como loidd d fs d um ond pln é dd por / K, onlui-s qu / ρ ε O rsultdo do xmplo ntrior prmit srr loidd d ond ústi longitudinl m mio piolétrio m trmos do onstnt d oplmnto ltromânio k, omo [ k ] / ρ (6. ond k ε [ dimnsionl ] (6. álido pr mtriis piolétrios. o mio for isotrópio,, k ρ, omo sprdo. 9

23 6.. rnsdutors piolétrios Um form d s xitr onds ústis num élul Brgg olumétri é trés d trnsdutors piolétrios, omo o mostrdo n Fig.6.6. ob o ponto d ist iruitl, os trnsdutors são smlhnts trhos d linhs d trnsmissão urto-iruitds, tundo omo idds rssonnts. O trnsdutor piolétrio pod sr nlisdo omo um dispositio d três ssos, omo mostrdo n Fig.6.6 b: os ssos ( ( são ssos ústios, nqunto o sso ( é um sso létrio. Considr-s qu os ltrodos mtálios sm dlgdos o sufiint (film fino pr s omportrm ustimnt omo um urto-iruito. Além disso, supõ-s qu impdâni ústi d md d olgm s proximdmnt igul à do substrto. ltrodos dlgdos md d olgm ond ústi mio ( lâmin piolétri mio (b mtril piolétrio Z, Z b, b sso ( sso ( sinl d RF ( substrto sso ( Figur 6.6 xitção d onds lástis num substrto. N élul Brgg, b Rprsntção por linh d trnsmissão. squmtimnt, o trnsdutor pod sr omprdo o dispositio d três ssos mostrdo n Fig.6.7, ddo m trmos d grnds létris. (b I I V Z V sçãoa ( ( sso ( ( ( sso ( F F V V ( ( V sso ( I I V ( (b Figur 6.7 ispositio d três ssos. Pr iruito létrio. b Pr iruito ltromânio. 9

24 No proto d um trnsdutor é omum mprgr-s forç mâni m d tnsão mâni. Utilindo-s um nlogi ntr forç mâni tnsão létri,, ntr loidd d prtíuls orrnt létri, pod-s dsnhr o rrno d Fig.6.7 b. Iniilmnt, onsidr-s o so d ond ústi longitudinl (só xist. Comprndo-s s Figs. 6.7 b, rorrndo-s à msm orintção pr loidd nos ssos, obtém-s qu s loidds nos ssos ( ( são: ( (. As forçs mânis ns fs são F F, rsptimnt. As orintçõs ds loidds são tis qu s potênis nos ssos ( ( stm fluindo pr dntro do trnsdutor. Assim ond ( F A (6.4 ( F A (6.4 b ( ( (6.4 ( ( (6.4 d Os sinis ngtios m (6.4 -b dorrm do fto qu é dfinido positio qundo forç tm o msmo sntido do tor unitário norml à suprfíi. Nst txto, srão utilids s notçõs, indistintmnt, o msmo sndo álido pr s dmis grnds. A notção d fsor girnt é mprgd. Como os ltrodos urto-iruitm o mpo létrio tngnil, tm-s qu x y n suprfíi xtrn o mtl. Assim, só xist omponnt, onsquntmnt,, orrspondnt omponnt d dslomnto létrio sgundo o ixo Z n rgião d mtril piolétrio. J for dnsidd d orrnt ns pls ondutors do trnsdutor, ntão, orrnt létri no sso ( srá I J A. Porém, d qução d ontinuidd (. [4]: t J (6.5 O mtril piolétrio sob onsidrção é dilétrio, d form qu I t A A I (6.6 A Porém, no mio piolétrio, pli-s (6. b [ond só xistm, ], ou s 9

25 9 s. ε (6.7 pr, ε ε, : u ( (6.8 Com isso, ] [ s ε (6.9 ubstituindo-s n rlção onstituti pr strss, xprssão (6. (só intrss, rsult: s s ( ε ε (6.4 pr. A sguir, são introduidos os noos prâmtros s h ε (6.4 ( ( k s ε ε (6.4 b [rorrndo-s (6.] ssim, prtir d (6.8 (6.4 obtém-s h h. (6.4, usndo (6.6: A I h (6.4 A plição d li d Nwton (6.7 ondu t u t x ρ ρ (6.44 Porém, d (6.4 h (r sguir (6.45

26 um qu, pr um mio piolétrio sm rgs lirs, oorr (tnção, não s trt dos ltrodos do trnsdutor, ms do mio piolétrio, portnto, /. Assim, omprndo-s (6.44 (6.45, onlui-s qu ρ. ubstituindo-s st rsultdo n drid d no tmpo rorrndo-s dfinição d strin, u /, m u u t t t ( ρ ρ (6.46 ond é loidd d ond longitudinl [r xmplo 6.5: ( ρ k ]. ρ A loidd ds prtíuls d stisfr qução d ond (6.46, ssim, pod sr xprss d sguint form ( [ M sn( β N os( β ] (6.47 sndo M N são onstnts srm dtrminds m função ds ondiçõs d ontorno m, ond β é onstnt d fs, om lor β / (6.48 Pr tm-s ( [r Fig. 6.7b], ssim, N. Por outro ldo, pr tm-s (, ssim, [ M sn( β N os( β ]. Portnto, M sn( β os( β (6.49 Mnipulndo-s qução (6.49, hg-s M oss( β ot g( β (6.5 qul prmit rlionr om. Prtindo-s d (6.4 rorrndo-s xprssão qu foi postuld pr m (6.47, tm-s (pós lgums mnipulçõs lgébris: 94

27 95 β M A I h ( (6.5 β β β N M A I h ] sn( os( [ ( (6.5 b liminndo-s M N m dtrimnto d, trés do uso d (6.5, obtém-s ] ( ot os s( [ ( ( / g A I h β β ρ (6.5 ] ( ot os s( [ ( ( / g A I h β β ρ (6.5 b A tnsão létri V, ntr os ltrodos, é dd por d V (6.5 n qul, substituindo-s ddo m (6.9, usndo-s (6.47 lndo-s m onsidrção s xprssõs d, obtém-s ( h h C I C I V s ε (6.54 usndo (6.4, A C s ε (6.55 é pitâni do trnsdutor não submtido à strss (sm fito moionl. m form mtriil, os rsultdos (6.4 -b, (6.5 (6.54 podm sr sinttidos omo / / / ( ot ~ os s( ~ / os s( ~ ( ot ~ I C h h h g Z Z h Z g Z V F F β β β β (6.56 ond ~ A Z A Z ρ (6.57

28 Z ρ ρ (6.57 b sndo Z impdâni ústi do trnsdutor (r Z do xmplo 6.4, pr mio isotrópio, ( ρ k ] do xmplo 6.5. ρ 6.. Modlo quilnt d Mson Atrés d nális do sistm d quçõs (6.56, Mson (948 propôs rprsntção iruitl mostrd n Fig.6.8, ond rlção d trnsformção é Nh C. stimul-s o litor onfrir st quilêni. Pr isto, rlção otg(x oss(x tg(x/ pod sr útil. Figur 6.8 Ciruito quilnt d Mson No so d mtril não-piolétrio o ofiint piolétrio é nulo, i,, ntão, h, ou s, N. Com isso, o sundário do trnsformdor é trrdo o trnsdutor torn-s indifrnt V I. l dispositio onstitui um simpls linh d rtrdo ústi [6]. Pr o so prtiulr mostrdo n Fig.6.9, ns quis o trnsdutor nontr-s ntr o ~ áuo (F um mio om impdâni ústi Z, ond F Z, mostr-s qu impdâni létri Z é dd por V k ( Z / Z sn( β.( os( β Z I C C( β Z Z sn( β os( sn( os( β β β Z Z (6.58 k ond k (6.59 k 96

29 é o ftor d oplmnto ltromânio. Z áuo Z rd d Csmnto (X F F -Z V I V ( (b Figur 6.9 xitção d ond ústi num substrto. strutur físi ústis. b Ciruito quilnt grnds ltromânis. R g ~ V g xmplo 6.6: Considr-s o so d ond longitudinl propgndo-s num substrto d inbo m ort-x, xitd por um trnsdutor do msmo mtril, porém, m 6 Y-rottd. snhr rspost m frquêni do trnsdutor piolétrio olução: Nst so o substrto o trnsdutor stão bm sdos (msmo mtril, onstituindo um rrno bstnt utilido m dispositios ústio-óptios. Pr o trnsdutor oorr ρ 4,6x kg/m 7,4x m/s, o qu ondu à sguint impdâni ústi (r xmplo 6.4: Z ρ,4x 7 kg/(m s (ou Ns/m ryls. Além disso, ε r 4 k,5. Figur 6. Rspost m frquêni do trnsdutor piolétrio. 97

30 Pr o substrto oorr ρ 4,6x kg/m p 6,6x m/s (loidd d fs, o qu ondu Z ρ p x 7 kg/(m s. Pr um trnsdutor om spssur,7 μm ár Amm mm, tl qu C 6x F dsnhou-s, n Fig.6., os gráfios ds prts rl imginári d Z m Ω. Conform s obsr, pr st gomtri d trnsdutor, rssonâni oorr m,7 GH, qul d orrspondr frquêni d oprção d élul Brgg l ssoido. Obsr-s, tmbém, osilção m trir hrmôni do dispositio. ntro d su bnd d oprção, rtâni do trnsdutor prmn piti, omo é rtrístio d struturs ond Z /Z [6]. 6.. fiiêni d trnsdução A qução (6.58 idni qu, sob o ponto d ist sso létrio (, o trnsdutor pod sr modldo por um iruito RC séri, omo mostrdo n Fig.6., ond R g é rsistêni intrn do grdor d RF. I C R g R ( g ~ V X ( Figur 6. Ciruito rssonnt RC séri quilnt do trnsdutor. Com isso, pod-s srr qu ond Z Z ( C (6.6 Z ( R ( X ( (6.6 orrspond à impdâni moionl do trnsdutor. Qundo um trnsdutor é trmindo por um rg ústi sd Z Z, tm Z (ir-bkd, ds-s qu tod potêni létri d 98

31 ntrd prç omo potêni ústi n rg ústi, qul é úni rg rsisti prsnt. N frquêni ntrl o trnsdutor xib um rtâni moionl nul. Contudo, s k <<, rsistêni R R (luld m é muito mnor qu /C, ssim, o trnsdutor tnd prsntr um rg ltmnt rti pr font d ntrd. Isto ustifi o omportmnto rssonnt rldo n Fig.6.. Pr um trnsdutor rrgdo oprndo n frquêni ntrl, oorr um rssonâni prll s Λ/, ou s, qundo β π. ubstituindo st ondição m (6.58, obtém-s rsistêni moionl R 4k π C (6.6 Z Z A máxim potêni médi disponíl, fornid plo grdor d RF mostrdo no iruito d Fig.6., oorr qundo st é trmindo om rg Z g, l: P in Vg (6.6 8R g isto é A potêni médi ntrgu o trnsdutor, orrspond àqul dsnolid trés d R, R P I (6.64 Assim, lulndo-s fiiêni η, rão ntr P P in, rsult P 4R R η (6.65 P ( R R (/ C in g g ifrnindo η m rlção R g igulndo-s o rsultdo ro, pod-s obtr o lor d η máximo: η,mx R (6.66 R Ro (/ C Qundo R <<(/C, tl qul om k <<, ntão η tm máximo om R / C, uo lor é η, MAX R C. 99

32 xmplo 6.7: rnsdutor d ZnO m sfir Considr-s um trnsdutor d ZnO om spssur, μm oprndo m GH, om subtrto ~ d sfir. Pr ond longitudinl tm-s Z (6x 6 A kg/m ~ -s Z (44,x 6 A kg/m -s, ond A é ár do trnsdutor. trnsdutor é protdo pr tr um impdâni rti d 5 Ω tl qu proporion um mlhor fiiêni om um grdor d 5 Ω, su pitâni d sr d C, pf. Com um prmissiidd ε 8,8 ε, ár do trnsdutor é A, mm. do k,8, lul-s R 4 Ω, dí, η,6. A fim d mlhorr η, pod-s rorrr um indutâni séri xtrn, X, pr sintonir o iruito, tl qu P 4R R g η (6.67 P ( R R ( X X / C in g num frquêni rbitrári. A função dss rtâni X é nlr o fito d /C, n frquêni ntrl. Pr miors informçõs sobr trnsdutors piolétrios sus pliçõs, sugr-s onsultr s rfrênis [] [6]. 6.4 RFRÊNCIA BIBIOGRÁFICA [] Yri, A. & Yh, P., Optil Ws in Crystls, Nw York, John Wily & ons, 984. [] Kino, G., Aousti Ws: is, Imging nd Anlog ignl Prossing, nglwood Cliffs, Nw Jrsy, Prnti Hll, In., 987. [] Nlson,.F., ltri, Opti, nd Aousti Intrtion in iltris, John Wily & ons, 979. [4] iulsnt,. & Royr,., lsti Ws in olids, Nw York, John Wily & ons, 98. [5] Collin, R.., Foundtions for Mirow nginring, nd. dition, Wily-I Prss,, 994p. [6] Rosnbum, J.F., Bulk Aousti W hory nd is, Arth Hous, 988.