Integrais triplas AULA

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1 Intgris tripls META: Aprsntr intgris tripls d funçõs d vlors ris domínio m 3. OBJETIVOS: Ao fim d ul os lunos dvrão sr pzs d: finir intgrl tripl lulr lgums intgris tripls d funçõs d vlors ris domínio m 3. PÉ-EQUISITOS Os onhimntos d intgris d funçõs d vlors ris om domínio m, d disiplin Cálulo I.

2 Intgris tripls.1 Introdução Cros lunos qurt ul do nosso urso d Cálulo III om o tm Intgris Tripls. Bm omo intgrl dupl, vist n noss primir ul, intgrção tripl, m ssêni, é um xtnsão nturl d intgrl simpls vist m Cálulo I dfinid omo HISTÓIA A primir téni sistmáti doumntd pr o álulo d intgris tripls no álulo d volum foi o método d xustão d Eudoxus r d 370AC. O mior vnço no álulo d intgris tripls vio do Irqu, no séulo 11, n figur d Ibn AL-Hythn (onhido n Europ por Alhzn ). Enqunto rsolvi o qu fiou onhido omo Problm d Alhzn (um problm d óti) l lulou o volum d um prbolsóid usndo um método d indução. Wikipédi. limit d soms d imnn. N práti, intgrção tripl é dd por três intgrçõs simpls, d um ftud sobr um vriávl onsidrndo s dmis omo onstnts. É o qu dnominmos d intgris intrds. As rtrístis dtlhs próprios ds intgris tripls srão vists o longo do nosso urso, ns próxims três uls..2 Intgrção Tripl: omínios Prllpípdis Comçmos por onsidrr um função φ dfinid m um domínio prllpipdl = {(x, y, z) 3 x b y d z f}. Formlmnt φ : [, b] [, d] [, f]. Usndo imginção, pnsmos m rtlhd por um rd d plnos prllos os plnos oordndos qu dividm m pqunos prllpípdos. Ofiilmnt, onsidrrmos três prtiçõs P [, b] ={x 0 =, x 1,...,x i,x i+1,..., x l = b}, P [, d] = {y 0 =, y 1,...,y j,y j+1,...,y m = d} P [, f] = {z 0 =, z 1,...,z k,z k+1,...,z n = f} ond omo visto m Cálulo I tmos: x 0 <x 1 < <x i <x i+1 < <x l, y 0 <y 1 < <y j < y j+1 < <y m z 0 <z 1 < <z k <z k+1 < <z n. st form d um dos pqunos subintrvlos I i =[x i 1,x i ], J j = 62

3 Cálulo III [y j 1,y j ] K k =[z k 1,z k ] têm omprimntos Δx i = x i x i 1, Δy j = y j y j 1 Δz k = z k z k 1, rsptivmnt. finimos, gor, um prtição pr o prllpípdo por P = P [] = P [, b] P [, d] P [, f], o produto rtsino ds prtiçõs P [, b], P [, d] P [, f]. Os plnos rtlhm rgião m um séri d pqunos prllpípdos V ijk =[x i 1,x i ] [y j 1,y j ] [z k 1,z k ], 1 i l, 1 j m, 1 k n. O volum d d pquno prllpípdo é ddo por ΔV ijk =Δx i Δy j Δz k. Como tnto Δx i qunto Δy j qunto Δz k são difrnts d zro, o volum d d pquno prllpípdo é tmbém difrnt d zro. Podmos ntão dfinir norm d prtição por: P = mx (ΔV ijk ), qu orrspond 1 i l 1 j m 1 k n o mior volum ntr todos os pqunos prllpípdos. Pus pr rspirr qu já vmos dfinir intgrl tripl sobr domínios prllpípdis. Pr isto tommos um ponto (ξ i,ζ j,η k ) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] [z k 1,z k ] m d pquno prllpípdo dfinimos sguint som d imnn: S lmn = l m n φ(ξ i,ζ j,η k )ΔV ijk i=1 j=1 k=1 A intgrl tripl d função φ(x, y, z) sobr o prllpípdo, dnotd φ(x, y, z)dxdydz srá ntão dfinid omo o sguint limit: φ(x, y, z)dxdydz df = lim P 0 S lmn 63

4 Intgris tripls.3 Intgrção Tripl: omínios Não Prllpípdis Limitdos Pr dfinir intgrl tripl d um função φ : 3 ond é não prllpipdl limitdo, omçmos por onsidrr um função Φ dfinid m um domínio prllpipdl = {(x, y, z) 3 x b y d z f} tl φ(x, y, z), (x, y, z) qu Φ(x, y, z) =. Formlmnt Φ:[, b] [, d] [, f] é um xtnsão d 0, (x, y, z) / função φ(x, y, z). Usndo imginção, pnsmos m obrt por um rd d plnos prllos os plnos oordndos qu dividm m pqunos prllpípdos prodmos omo n intgrl tripl sobr domínios prllpípdis, onsidrndo um prtição pr o prllpípdo por P = P [] =P [, b] P [, d] [, f], o produto rtsino ds prtiçõs P [, b], P [, d] P [, f] ond P [, b] ={x 0 =, x 1,...,x i,x i+1,..., x l = b}, P [, d] ={y 0 =, y 1,...,y j,y j+1,...,y m = d} P [, d] ={z 0 =, z 1,...,z k,z k+1,...,z n = f}. o msmo modo dfinimos norm d prtição por: P = mx (ΔV ijk ) ond ΔV ijk =Δx i Δy j Δz k, Δx i = x i x i 1, Δy j = 1 i l 1 j m 1 k n y j y j 1 Δz k = z k z k 1. Tommos um ponto (ξ i,ζ j,η k ) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] [z k 1,z k ] m d pquno prllpípdo dfinimos sguint som d imnn pr função stndid Φ(x, y, z): S lmn = l m n Φ(ξ i,ζ j,η k )ΔV ijk i=1 j=1 k=1 6

5 A intgrl tripl d função φ(x, y, z) sobr o domínio 3, dnotd φ(x, y, z)dxdydz srá ntão dfinid omo o sguint limit: Cálulo III φ(x, y, z)dxdydz df = lim P 0 S lmn. Obsrvm qu, smlhnt o so ds intgris dupls, pns os pqunos prllpípdos ujo ponto solhido prtn o domínio 3, ontribum pr som d imnn os dmis têm ontribuição nul visto qu o ponto solhido dntro dsts stão for d 2 portnto Φ(ξ i,ζ j,η k )=0.. Intrprtção Gométri Qundo função φ : 3 é onstnt igul um (φ(x, y, z) =1, (x, y, z) ) rgião domínio é limitd, vmos qu som d imnn proxim o volum d rgião qunto mior for o rfinmnto d prtição d 3 mlhor srá proximção. Podmos ntão, intrprtr intgrl tripl dxdydz omo o volum d rgião 3..5 Intgris Itrds d um função φ : ond =[, b] [, d] [, f], do msmo modo qu n intgrl dupl, vlm s intgris intrds: b b [ d [ f [ f [ d φ(x, y, z)dz dy dx φ(x, y, z)dy dz dx 65

6 Intgris tripls d d f f [ b [ f [ f [ b [ d [ b [ b [ d φ(x, y, z)dz dx dy φ(x, y, z)dx dz dy φ(x, y, z)dx dy dz φ(x, y, z)dy dx dz Em outrs plvrs, qundo o domínio d intgrl tripl é prllpipdl ordm d intgrção não import..6 Propridds ds Intgris Tripls Como nosso urso é d Cálulo, pns listrmos, sm dmonstrção, lgum ds propridds ds intgris tripls. Cso dsjm onhr dmonstrção d lgums dsts propridds, romndo livros d Cálulo Avnçdo omo os itdos n bibliogrfi bixo. Propridd.6. Sjm f : 3 um função d vlors ris intgrávl m, ntão vl: f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z)dxdydz Propridd.7. Sjm f,g : 3 dus funçõs d vlors ris intgrávis m, ntão vl: (f + g)(x, y, z)dxdydz = + f(x, y, z)dxdydz g(x, y, z)dxdydz 66

7 Cálulo III Propridd.8. Sjm f : 3 um função d vlors ris intgrávl m tl qu f(x, y, z) 0, (x, y, z), ntão vl: f(x, y, z)dxdydz 0 Propridd.9. Sjm f,g : 3 dus funçõs d vlors ris intgrávis m tis qu f(x, y, z) g(x, y, z), (x, y, z), ntão vl: f(x, y, z)dxdydz g(x, y, z)dxdydz Propridd.10. Sj f : 3 um função d vlors ris intgrávl m ond = A B A B é união d um númro finito d suprfíis m 3, ntão vl: f(x, y, z)dxdydz = + A B f(x, y, z)dxdydz f(x, y, z)dxdydz OBS.1. As dus primirs propridds diz rspito à linridd do oprdor intgrl tripl. As trir qurt propridds são dnominds dominção nqunto qu quint propridd é dnomind ditividd..7 Exmplos Nd mis nturl qu ilustrr um novo onito om xmplos, vmos qui fzr xtmnt isto. Ilustrr o onito d intgrl tripl om dois xmplos. Ants porém, vl obsrvr 67

8 Intgris tripls qu n práti um intgrl tripl quivl três intgris simpls nst so um prgunt fi no r. Qul ds dus vriávis x, y ou z intgrrmos primiro? Muito bm, rspost é dd pl propri xprssão d intgrl tripl. Isto é, n intgrl f(x, y, z)dxdydz primirmnt intgrmos n vriávl x, dpois n vriávl y por último n vriávl z. Já n intgrl f(x, y, z)dzdydx primirmnt intgrmos n vriávl z, dpois n vriávl y por último n vriávl x. Exmplo.1. Considr função f :[0, 1] [0, 1] [0, 1] dd por f(x, y) = x 2 + y 2 + z 2 dtrmin intgrl tripl f(x, y, z)dxdydz sobr rgião = {(x, y, z) 3 0 x 1 0 y 1 0 z 1}. SOLUÇÃO: Psso 1 olormos os limits d intgrção qu rprsntm rgião dd, sgundo ordm d intgrção: (x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz Psso 2 intgrrmos n vriávl x onsidrndo s vriávis y z omo onstnts: 1 1 ( ) x y2 x + z 2 x dydz Substituindo os limits d intgrção tmos: 1 1 ( ) y2 (1 0) + z 2 (1 0) dydz Eftundo os álulos tmos: 1 1 ( ) y2 + z 2 dy 0 0 Psso 3 omo onstnt: intgrrmos n vriávl y onsidrndo vriávl x 68

9 1 ( ) y + y z2 y dz 0 Substituindo os limits d intgrção tmos: 1 ( ) 1 13 (1 0) z2 (1 0) dz Eftundo os álulos tmos: 1 ( ) 3 + z2 dz Psso ( último psso, intgrrmos n vriávl z: 1 3 z + 1 ) 3 z + z Substituindo ( os limits d intgrção tmos: 1 3 (1 0) + 1 ) 13 (1 0) Eftundo os álulos tmos: =1 Cálulo III OBS.2. rmos qui um método prátio pr dtrminr os limits d intgrção m um intgrl tripl sobr domínio não rtngulr d form:. Psso 1 Fzr um dsnho d rgião. (Fig..1) idntifindo s suprfíis infrior (x, y) suprior b(x, y) qu limitm rgião, bm omo sombr projtd no plno xy por, dnotd idntifir s urvs limits d rgião (x) urv infrior b(x) urv suprior, omo n 01. Psso 2 Atrvssr tod rgião o ixo x om um sgmnto d rt prllo orintdo n dirção positiv o ixo y (sgmnto r n Fig..1) Psso 3 slor o sgmnto d rt r prllo o ixo y n dirção ngtiv do ixo x té tor o ponto mis à squrd d 69

10 Intgris tripls Figur.1: trminção práti dos limits pr mrndo o limit infrior d x (ponto n Fig..1). Psso slor o sgmnto d rt r prllo o ixo y n dirção positiv do ixo x té tor o ponto mis à dirit d mrndo o limit suprior d x (ponto b n Fig..1). Psso 5 Tomndo um ponto qulqur x (, b) pssmos o sgmnto d rt r trvés d rgião prllo o ixo y n dirção positiv do ixo x. O limit infrior pr vriávl y srá função (x), ponto d urv ond o sgmnto ntr n rgião o limit suprior pr vriávl y srá b(x), ponto d urv ond o sgmnto d rt si d rgião. Psso 6 Tomndo um ponto qulqur (x, y) pssmos o sgmnto d rt s trvés d rgião, prllo o ixo z orintdo n dirção positiv d z. O limit infrior pr vriávl z srá função (x, y), ponto d suprfíi ond o sgmnto ntr n rgião o limit suprior pr vriávl z srá b(x, y), ponto d suprfíi ond o sgmnto d rt si d rgião. Noss intgrl srá ftud ssim: 70

11 f(x, y)dxdy = Cálulo III b b(x) b(x,y) (x) (x,y) f(x, y, z)dzdydx Vmos dirtmnt pr um sgundo xmplo d intgrl dupl sobr domínios não rtngulrs. A sbr: Exmplo.2. Considr função f : 3 dd por f(x, y) =xyz dtrmin intgrl dupl f(x, y, z)dxdydz sobr rgião = {(x, y, z) 3 0 x 1 0 y x 2 0 z 1}, (Fig..2). Figur.2: omínio pr o xmplo 2 SOLUÇÃO: Psso 1 frmos o dsnho ds suprfíis qu dtrminm os limits pr rgião. A sbr x =0, x =1, y = x 2, x =0 z =1(Fig..1). Usndo o prosso prátio xposto im dtrminmos os limits d intgrção. A sbr: =0, b =1, (x) =0, b(x) =x 2, (x, y) =0 b(x, y) =1. 71

12 Intgris tripls 1 x xyzdzdydx Psso 2 intgrrmos n vriávl z onsidrndo vriávl y x omo um onstnt: 1 x 2 ) (xy z2 1 dydx Substituindo os limits d intgrção tmos: 1 x 2 ) (xy xy ) dydx Eftundo os álulos tmos: x xydydx Psso 3 intgrrmos n vriávl y onsidrndo vriávl x onstnt tmos: 1 x y2 x2 0 2 dx 0 Substituindo os limits d intgrção tmos: 1 1 (x (x2 ) 2 ) x 02 dx Eftundo os álulos tmos: 1 1 x 5 dx 0 Intgrndo, finlmnt, n vriávl x tmos: 1 ( x 6 ) Substituindo os limits d intgrção tmos: 1 ( ) Eftundo os álulos tmos: Conlusão N ul d hoj, vimos qu intgrl tripl é um xtnsão nturl do onito d intgrl simpls visto m Cálulo I tmbém 72

13 Cálulo III um xtnsão nturl do onito d intgrl dupl, vist m noss primir ul do urso d Cálulo III. E s por um ldo intgrl simpls pod sr intrprtd omo ár sob urv dsrit por função positiv f(x) m um domínio [, b] intgrl dupl pod sr vist omo o volum d um prism rto limitdo supriormnt pl suprfíi dsrit por um função positiv f(x, y) limitdo infriormnt plo domínio [, b] [, d], intgrl tripl só tm intrprtção gométri no so simpls m qu f(x, y, z) =1. Nst so intgrl tripl rprsnt o volum d rgião limitd 3. ESUMO Intgrção Tripl: omínios Prllpipdis Considrndo um função φ dfinid m um domínio prllpipdl = {(x, y, z) 3 x b y d z f}. Podmos dividir m pqunos prllpípdos onsidrndo os plnos prllos o plnos rtsinos grdos pl prtição P = P [] =P [, b] P [, d] [, f], o produto rtsino ds prtiçõs P [, b], P [, d] P [, f] ond P [, b] ={x 0 =, x 1,...,x i,x i+1,..., x l = b}, P [, d] ={y 0 =, y 1,...,y j,y j+1,...,y m = d} P [, d] = {z 0 =, z 1,...,z k,z k+1,...,z n = f}. Os plnos rtlhm rgião m um séri d pqunos prllpípdos V ijk =[x i 1,x i ] [y j 1,y j ] [z k 1,z k ], 1 i l, 1 j m, 1 k n. O volum d d pquno prllpípdo é ddo por ΔV ijk =Δx i Δy j Δz k. A norm d prtição fi stblid omo: P = mx (ΔV ijk ). 1 i l 1 j m 1 k n Tom-s um ponto (ξ i,ζ j,η k ) [x i 1,x i ] [y j 1,y j ] [z k 1,z k ] m d pquno prllpípdo dfinimos sguint som d 73

14 Intgris tripls imnn: S lmn = l m i=1 j=1 k=1 n φ(ξ i,ζ j,η k )ΔV ijk A intgrl tripl d função φ(x, y, z) sobr o prllpípdo, dnotd φ(x, y, z)dxdydz srá ntão dfinid omo o sguint limit: φ(x, y, z)dxdydz df = lim P 0 S lmn Intgrção Tripl: omínios Não Prllpípdis Limitdos Pr dfinir intgrl tripl d um função φ : 3 ond é não prllpipdl limitdo, omçmos por onsidrr um função Φ dfinid m um domínio prllpipdl = {(x, y, z) 3 x b y d z f} tl qu φ(x, y, z), (x, y, z) Φ(x, y, z) =. Formlmnt 0, (x, y, z) / Φ:[, b] [, d] [, f] é um xtnsão d função φ(x, y, z). A prtir dqui todo o prodimnto é smlhnt o d dfinição d intgrl tripl m domínios prllpipdis. Podmos dfinir intgrl tripl d um função φ(x, y, z) m um domínio não rtngulr por: φ(x, y, z)dxdydz df = lim P 0 S lmn. ond S lmn = l m n i=1 j=1 k=1 Φ(ξ i,ζ j,η k )ΔV ijk é som d imnn pr Φ(x, y, z. Intgris Itrds As intgris itrds dizm qu m um domínio rtngulr = [, b] [, d] [, f] ordm d xução ds intgris simpls não 7

15 Cálulo III ltrm o vlor d intgrl tripl, qu pod sr rprsntd por: b b d d f f [ d [ f [ f [ d [ b [ f [ f [ b [ d [ b [ b [ d φ(x, y, z)dz dy dx φ(x, y, z)dy dz dx φ(x, y, z)dz dx dy φ(x, y, z)dx dz dy φ(x, y, z)dx dy dz φ(x, y, z)dy dx dz. Propridds ds Intgris tripls As intgris tripls são d rto modo smlhnts às propridds ds intgris simpls qu vimos m Cálulo I sndo qus qu um xtnsão nturl dsts. As intgris tripls têm, ntr outrs, s sguints propridds: Propridd 1 Sjm f : 3 um função d vlors ris intgrávl m, ntão vl: f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z)dxdydz Propridd 2 Sjm f,g : 3 dus funçõs d vlors ris intgrávis m, ntão vl: (f + g)(x, y, z)dxdydz = + f(x, y, z)dxdydz g(x, y, z)dxdydz 75

16 Intgris tripls Propridd 3 Sjm f : 3 um função d vlors ris intgrávl m tl qu f(x, y, z) 0, (x, y, z), ntão vl: f(x, y, z)dxdydz 0 Propridd Sjm f,g : 3 dus funçõs d vlors ris intgrávis m tis qu f(x, y, z) g(x, y, z), (x, y, z), ntão vl: f(x, y, z)dxdydz g(x, y, z)dxdydz Propridd 5 Sj f : 3 um função d vlors ris intgrávl m ond = A B A B é união d um númro finito d suprfíis m 3, ntão vl: f(x, y, z)dxdydz = + A B f(x, y, z)dxdydz f(x, y, z)dxdydz trminção dos Limits d Intgrção pr Intgris Tripls rmos qui um método prátio pr dtrminr os limits d intgrção m um intgrl tripl sobr domínio não rtngulr d form:. Psso 1 Fzr um dsnho d rgião. (Fig..1) idntifindo s suprfíis infrior (x, y) suprior b(x, y) qu limitm rgião, bm omo sombr projtd no plno xy por, dnotd 76

17 Cálulo III idntifir s urvs limits d rgião (x) urv infrior b(x) urv suprior, omo n 01. Psso 2 Atrvssr tod rgião o ixo x om um sgmnto d rt prllo orintdo n dirção positiv o ixo y (sgmnto r n Fig..1) Psso 3 slor o sgmnto d rt r prllo o ixo y n dirção ngtiv do ixo x té tor o ponto mis à squrd d mrndo o limit infrior d x (ponto n Fig..1). Psso slor o sgmnto d rt r prllo o ixo y n dirção positiv do ixo x té tor o ponto mis à dirit d mrndo o limit suprior d x (ponto b n Fig..1). Psso 5 Tomndo um ponto qulqur x (, b) pssmos o sgmnto d rt r trvés d rgião prllo o ixo y n dirção positiv do ixo x. O limit infrior pr vriávl y srá função (x), ponto d urv ond o sgmnto ntr n rgião o limit suprior pr vriávl y srá b(x), ponto d urv ond o sgmnto d rt si d rgião. Psso 6 Tomndo um ponto qulqur (x, y) pssmos o sgmnto d rt s trvés d rgião, prllo o ixo z orintdo n dirção positiv d z. O limit infrior pr vriávl z srá função (x, y), ponto d suprfíi ond o sgmnto ntr n rgião o limit suprior pr vriávl z srá b(x, y), ponto d suprfíi ond o sgmnto d rt si d rgião. 77

18 Intgris tripls Noss intgrl srá ftud ssim: f(x, y)dxdy = b b(x) b(x,y) (x) (x,y) PÓXIMA f(x, y, z)dzdydx Em noss próxim ul vrmos mudnç d vriávis n intgrção tripl. O objtivo d mudnç d vriávis m um intgrl tripl srá d filitr st intgrção d um d dus forms. A primir srá tornndo o intgrndo mis simpls. A sgund trnsformndo o domínio do intgrndo m um domínio d form gométri mis simpls. ATIVIAES ixmos omo tividds o álulo d lgums intgris trípls. ATIV..1. Sj f :[ 1, +1] [ 1, +1] [ 1, +1] dd por f(x, y, z) =x 2 +y 2 +z 2. trmin intgrl tripl f(x, y, z)dxdydz. Comntário: Volt o txto rvj om lm tnção o álulo d intgris dupls dos xmplos im, ls lh srvirão d gui. ATIV..2. Sj f : 3 dd por f(x, y, z) =1, ond = {(x, y, z) 3 x 0 0 y 1 x 2 0 z 1 x 2 }. 78

19 Cálulo III trmin os limits d intgrl tripl f(x, y, z)dxdydz, sbo rgião d intgrção lul intgrl dupl f(x, y, z)dxdydz. Comntário: Volt o txto rvj om lm tnção o álulo d intgris dupls dos xmplos im, ls lh srvirão d gui. LEITUA COMPLEMENTA ÁVILA, Grldo, Cálulo 3: Funçõs d Váris Vriávis, Livros Ténios Cintífios Editor, São Pulo, 3 dição, LEITHOL, Louis, O Cálulo om Gomtri Anlíti. Volum 2, Editor Hrbr, 199. STEWAT, Jms,Cálulo. Volum 3, 5 dição, Editor CEN- GAGE Lrning, SWOKOWSKI, Erl E., Cálulo om Gomtri Anlíti, Volum 2, 2 dição, Mkron Books do Brásil SP, 199. THOMAS, Gorg B., Cálulo, Volum 2, 10, Addilson Wsly, KAPLAN, Wilfrd, Cálulo Avnçdo Vol.1 vol.2 Editor Edgrd Blühr 1991.// SPIEGEL, Murry. Cálulo Avnçdo, Editor MGrw-Hill do Brsil, BOUCHAA, Jqus, Cálulo Intgrl Avnçdo, EUSP,