MODELAGEM MATEMÁTICA E PROJETO DE CONTROLE DE SISTEMAS MECÂNICOS - O PÊNDULO INVERTIDO

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1 MODEAGEM MATEMÁTICA E PROJETO DE CONTROE DE SISTEMAS MECÂNICOS - O PÊNDUO INVERTIDO Rodrigo Cost d Olivir Robrto Firmnto d Noronh José Andrés Sntistbn rr onrdo Tdu Grci im bortório d Automção Robótic, PGMEC, Univrsidd Fdrl Fluminns ru Psso d Pátri 156, Nitrói/RJ rodrigongnhri@hotmil.com; rnoronh@mc.uff.br; jsl@mc.uff.br; lonrdo.lim@i.org Rsumo. Os vnços tcnológicos ocorridos nos últimos nos colocm novos dsfios oportunidds os ngnhiros, rqurndo o domínio d um conhcimnto intrdisciplinr m árs tis como tudors, snsors control d movimnto, lvndo o dsnvolvimnto do concito d mctrônic, qul tnt unir o conhcimnto rqurido nsss plicçõs. Nss sntido, disciplins d tori d control bm como d ltrônic têm s torndo bstnt comuns no currículo do tul ngnhiro mcânico trmos como lugr ds rízs, control PID digrms d Bod comçm intgrr o vocbulário dst. Com o objtivo d bordr d um mnir bstnt prátic ss gm d conhcimntos ncssários o modrno ngnhiro mcânico, o trblho m qustão mostr psso psso o qu dv sr fito pr lcnçr-s o quilíbrio d um sistm instávl, utilizndo pr tnto um protótipo do pêndulo invrtido. Est consist m um crrinho qu nd sobr trilhos, tndo um hst com um pso m su xtrmidd, nxd l trvés d um rótul. Um motor ciondor trvés d um sistm d polis mov o crrinho n horizontl. Est sistm pod sr stbilizdo controlndo-s o torqu no motor ciondor. Est rtigo prsnt modlgm mtmátic bm como o procdimnto d projto implmntção físic do control m mlh fchd sr utilizdo no protótipo sndo dsnvolvido n UFF. Plvrs-chv: modlgm mtmátic, lugr ds rízs, control d sistms mcânicos, pêndulo invrtido. 1. INTRODUÇÃO: No Brsil, nos últimos nos, tm hvido um crscnt incorporção d novos conhcimntos dntro d ngnhri mcânic, o qu lvou o surgimnto d um importntíssim ár dntro dst modlidd d ngnhri; mctrônic qu fz fusão d conhcimntos nts somnt d ngnhri létric ltrônic os já xistnts conhcimntos d ngnhri mcânic. Com o surgimnto dst nov promissor ár torn-s ncssário ss profissionl o domínio d tori d control tmbém um rzoávl bs d ltrônic. Ambos são borddos nss trblho d cunho didático ms d grnd complxidd, trvés do projto d um sistm d control pr um pêndulo invrtido. O pêndulo invrtido é um quipmnto clássico pr o nsino d tori d control plicd sistms mcânicos. Consist m um crrinho o qul é fixd um hst qu pod s dslocr ngulrmnt à mdid qu o crrinho s mov n horizontl. Tm-s ntão um sistm d dois grus d librdd, sndo um o dslocmnto do crrinho o outro o dslocmnto ngulr d hst. Como hst tnd cir sob influênci d grvidd, pod-s dizr qu st é um sistm

2 instávl. Entrtnto, st sistm pod sr stbilizdo plicndo um forç horizontl o crrinho, fzndo hst ficr n vrticl. Foi construído um protótipo pr o pêndulo invrtido, sobr o qul foi rlizdo todo um studo projto d control. Est protótipo consist m um crrinho qu s mov sobr dois trilhos prllos ntr si. Ao crrinho, trvés d um rótul, foi nxd um hst com um pso m su xtrmidd, conform mostrdo n Fig. (1). Figur 1. Protótipo do pêndulo invrtido O dslocmnto horizontl do crrinho srá rlizdo trvés d um sistm d polis m qu um ds polis é ciond plo motor. Dss modo, forç horizontl qu frá o crrinho s dslocr stá dirtmnt rlciond o torqu plicdo plo motor, qu é rguldo trvés d su tnsão d limntção.. MODEAGEM MATEMÁTICA A modlgm do pêndulo invrtido é ncontrd m livros txtos d tori d control, tis como os d Ogt (199) Bélngr (1995)..1. Equçõs Mcânics pr o Sistm Conform mostrdo n Fig.(), s coordnds gnrlizds são o dslocmnto horizontl do crrinho, x, o dslocmnto ngulr d hst, θ. Figur. Dsnho squmático com s coordnds gnrlizds

3 A mss m d xtrmidd d hst tm dus componnts d posição: um componnt horizontl, xprss por x m = x + l. sn θ um componnt vrticl xprss por y m = l. cosθ. Aplicndo-s i d Nwton pr mss m d xtrmidd d hst pr mss M do crrinho, pod-s obtr o conjunto d quçõs Eq.(1). (M + m)x && + ml cosθθ && ml sn θ& && xcosθ + lθ&& gsn θ = = F (1).. Equçõs Elétrics pr o Motor Aciondor: Considrndo-s um cix d rdução copld o motor, como mostr Fig.(3), pod-s obtr o conjunto d quçõs Eq.() pr o motor ciondor. Figur 3. Motor ciondor com cix d rdução i& = θ&& Ri knθ& Nkti Tl = J J + v () Ond i - corrnt létric pssndo plo motor v - tnsão létric plicd o motor k - constnt d forç contr-ltromotriz do motor N - rzão d rdução d cix θ - ângulo d rotção do ixo d síd d cix d rdução R - rsistênci do circuito d rmdur do motor - indutânci do circuito d rmdur do motor k t - constnt d torqu do motor T l - torqu útil forncido plo conjunto motor - cix d rdução J - momnto d inérci polr ftivo m rlção o ixo d síd d cix..3. Obtnção ds Equçõs d Estdo: As quçõs () (3) podm sr corrlcionds ntr si trvés ds Eqs. (3), ond r é o rio d poli qu stá fixd o ixo d síd do motor: T = F.r l x = θ.r (3)

4 Juntndo-s s quçõs (1), () (3) linrizndo-s m torno d posição d quilíbrio pods obtr s quçõs d stdo pr o modlo linr d plnt, dds pl Eq.(4): d dt x θ x& = θ& i mgr Mr + J (Mr + mr + J )g l(mr + J ) x θ y = + θ& i [ 1 ] x& [ ]v 1 Nk r 1 Nk r Mr + J Nk tr l(mr + J R t x θ x + & ) θ& i 1 v (4) 3. PROJETO DE CONTROE: 3.1. Slção do Motor Aciondor: A prtir ds Eqs.(4), os zros pólos do modlo d plnt s controlr form dtrmindos utilizndo s spcificçõs d difrnts tipos d motors dscritos no ctálogo do forncdor Pittmn Motors (). Foi montd um strtégi d control bsd n introdução d pólos zros como dscrit linhs bixo. N simulção foi impost como rstrição um tnsão máxim d rmdur igul 4V, tnsão disponívl no lbortório. Após rlizção d divrss simulçõs com difrnts motors, foi slciondo o GM1494S1 (Pittmn Motors, 1) d 4 V com cix rdutor d 5,9:1, cujos prâmtros são R = 1,1 Ω; = 1,6 mh; k t = k = 61x1-3 N.m/A (ou V.s/rd) J = 9,5x1-4 kg.m. Com sss prâmtros, função d trnsfrênci d plnt, G p (s), é dd pl Eq. (5), qul possui cinco pólos (-4; -11; -3; ; 3) qutro zros (-,73x1 8 ;,73x1 8 dois zros n origm): 13 9,95x1 s = 5 s + 631,s 1 3,38x1 s + 6,83x ,814x1 s 3,4x1 s s,35x1 4,84x1 s 4 4 G p ( s) s (5) Pr stbilizr o sistm form diciondos três pólos (dois n origm um m 1) três zros: -1; -5 pr nulr o fito do pólo m 3 d plnt pr nulr o fito do pólo m 11 d plnt. Foi scolhido um gnho crítico, k c, d 51, o qu fornc um sistm d fs nãomínim com um zro no smiplno dirito do plno s. A prtir dos pólos zros diciondos pr stbilizr o sistm do gnho crítico slciondo, chgou-s à função d trnsfrênci pr o controldor, G c (s), dd pl Eq. (6): ( s) 51 (s + 5)(s + )(s + 1) = (6) s (s + 1) Gc O lugr ds rízs pr o sistm m mlh fchd é prsntdo n Fig. (4).

5 Figur 4. ugr ds rízs do sistm m mlh fchd Com o objtivo d s tstr o controldor pr um situção qu rprsntss mlhor rlidd, foi rlizd um simulção m SIMUINK (Mthworks, 1997) pr o modlo não-linr, ddo pls Eqs. (7): (ml snθ) θ& mg snθcos θ + (Nk ti / r) && x = M + msn θ + (J / r ) (M + m + (J / r ))gsn θ (ml sn θcosθ) θ& θ && = l(m + m sn θ + (J / r )) Nk i& = r x& R i + v (Nk icosθ)/ r t (7) Utilizndo-s um ângulo inicil pr o pêndulo d o mlh fchd mostrd n Fig.(5), obtv-s os rsultdos d simulção qunto tnsão létric plicd corrnt no motor, prsntds n Fig. (6), qunto posição ngulr d hst dslocmnto do crrinho, sts últimos prsntdos n Fig. (7). Figur 5. Digrm d blocos d plnt m mlh fchd

6 tnsão(v) 15 1 corrnt (A) tmpo(s) tmpo (s) Figur 6. Simulção não-linr tnsão létric plicd corrnt no motor 5.5. dslocmnto ngulr (grus) dslocmnto (m) tmpo (s) tmpo (s) Figur 7. Simulção não-linr posição ngulr d hst dslocmnto do crrinho Anlisndo-s os gráficos d Fig.(6), pod-s consttr qu é possívl s stbilizr o pêndulo sm ultrpssr o vlor d tnsão nominl do motor nqunto qu invrsão d corrnt mostr qu o motor, pós clrr o crrinho, ncssit frá-lo. As curvs d Fig. (7), por su vz, mostrm qu, psr do controldor stbilizr hst m pouco mis d, sgundos, o qu implic m um dslocmnto do crrinho d mnos d 1 cm, o conjunto continu s movimntr com vlocidd uniform. Ou sj, prtir dos gráficos cim, pod-s concluir qu função d trnsfrênci obtid pr o controldor n nális linr funcion tmbém pr stbilizr hst n vrticl, conform dsjdo, no modlo não-linr. Tndo m vist st rsultdo, dcidiu-s prtir pr implmntção do controldor vrificr, xprimntlmnt, como s comport o sistm, tndo m vist qu houvrm fitos não modldos, tis como os tritos rrst do r sobr hst. 3.. Implmntção do Controldor: A função d trnsfrênci pr o controldor, obtid n tp ntrior, pod sr rprsntd fisicmnt trvés d um circuito bsdo m mplificdors oprcionis. Como no projto m qustão tnsão do motor srá justd com o objtivo d forncr um torqu qu stbiliz o sistm, tm-s qu igulndo-s função d trnsfrênci do controldor à função d trnsfrênci d um circuito ltrônico (rlção ntr tnsão d síd tnsão d ntrd do circuito ltrônico) obtém-s rprsntção físic pr o controldor. Dpois d obtids s funçõs d

7 trnsfrênci pr vários filtros, foi rlizd um combinção d 4 filtros m séri d modo qu su função d trnsfrênci forncss um númro d pólos zros igul o d função d trnsfrênci do controldor (três zros três pólos, sndo dois zros n origm). O digrm dst circuito é prsntdo n Fig. (8): Figur 8. Digrm do circuito ltrônico do controldor A função d trnsfrênci pr o circuito cim é dd plo produto ds funçõs d trnsfrênci dos 4 filtros m csct. O qu fornc função d trnsfrênci dd pl Eq.(8): V V o i R.R 3.(1 + scr 3).(1 + scr 4).(1 + scr 5) = (8) 3 s C R R (1 + scr ) 1 Supondo-s cpcitors d,1 µ F, com o objtivo d s vitr ionizção, igulndo-s s Eqs.(6) (8), obtém-s os sguints vlors pr s rsistêncis do circuito: R 1 = 4,779 kω R = 1 kω R 3 = 4 kω R 4 = 45,45 kω R 5 = 1 MΩ Ests vlors trão futurmnt qu sr justdos pr podr compnsr o gnho do snsor ótico, o qul srá discutido mis dint. 4. PROJETO DO SENSOR ÓTICO: Pr o snsorimnto d posição d hst, dcidiu-s utilizr um sistm ótico composto d um pr d foto-trnsistors, ond um ED funcion como font luminos, cuj intnsidd pod sr considrd constnt. Pod-s tmbém considrr qu corrnt no coltor do foto-trnsistor srá proporcionl à intnsidd d luz incidnt sobr l. Form lvntds divrss curvs d ár ilumind plo ED vrsus dslocmnto ngulr d hst, considrndo-s foto-trnsistors d 5mm d diâmtro, com o objtivo d s dcidir qul sri o mlhor posicionmnto dos msmos m rlção o ixo d rotção d hst (ond srá fixdo o ntpro), conform prsntdo n Fig. (9). Nst figur R é distânci ntr o cntro dos foto-trnsitors o ixo d rotção d hst.

8 Figur 9. Curvs d ár ilumind plo ED x posição ngulr d hst Anlisndo-s s curvs cim s dimnsõs do pêndulo invrtido foi confcciondo um suport pr o pr ED - foto-trnsistor, o qul foi copldo à ltrl do crrinho n qul srá fixdo um ntpro opco qu s dslocrá juntmnt com hst do pêndulo, fzndo vrir corrnt no coltor do foto-trnsistor. Est suport, cujo dsnho é mostrdo n Fig. (1), foi copldo o crrinho d modo qu distânci ntr o snsor o ixo d rotção d hst foss d 1,7 mm. Figur 1. Dsnho do suport pr os foto-trnsistors Ds curvs d Fig. (9) pod-s concluir qu o ntpro dv sr tl qu ár ilumind plo ED qundo hst stivr n vrticl dvrá sr igul à mtd d ár dos foto-trnsistors. Dcidiu-s ntão por um ntpro d formto tringulr, conform mostrdo n Fig. (11).

9 Figur 11. Antpro pr o snsor Aind flt dtrminr xprimntlmnt curv d corrnt no coltor do foto-trnsistor x posição ngulr d hst, o qu forncrá um dtrmindo gnho qu dvrá sr compnsdo no circuito ltrônico do controldor trvés do just dos vlors d sus rsistêncis, conform mnciondo no itm CONCUSÕES: Foi prsntdo o dsnvolvimnto d um protótipo d pêndulo invrtido, dsnvolvimnto ss rlizdo não só pr s tr um quipmnto didático bstnt útil pr o nsino d tori d control, como tmbém pr s rlizr um tividd d prndr fzndo. Soluçõs bstnt inovdors form dotds no dcorrr do projto, ntr s quis cb dstcr: i. Dsnvolvimnto d um protótipo d bixo custo d fácil trnsport, fcilitndo utilizção do msmo pr tividds didátics; ii. Slção do motor trvés d simulçõs d control m mlh fchd. iii. Dsnvolvimnto d um dispositivo ótico d snsorimnto; N vlição do spcto didático d tividd, é inqustionávl qu o luno orintdo tv um prndizdo bstnt intnso, tnto d conhcimnto tcnológico qunto d titud m rlção nfrntr novos problms. 6. AGRADECIMENTOS: Os utors gostrim d grdcr o CNPq pl concssão d bolss qu tornrm possívl st projto. 7. REFERÊNCIAS: Bélngr, P.R., 1995, Control Enginring - A Modrn Approch, Sundrs Collg Pub, EUA. Mthworks, 1997, Mtlb, Vrsão do Estudnt Gui do Usuário, Vrsão 4, Mkron Books do Brsil, São Pulo - SP. Ogt, K., 199, Modrn Control Enginring, ªd., Prntic-Hll Int., Nov Iorqu. Pittmn Motors,, Pittmn Exprss Ctlog, http// Pittmn Motors, 1, GM1494S1 Grmotor Dt Sht", http// 8. DIREITOS AUTORAIS: Os utors são os únicos rsponsávis plo contúdo do mtril imprsso incluído nst trblho.

10 MATHEMATICA MODEING AND CONTRO DESIGN OF MECHANICA SYSTEMS THE INVERTED PENDUUM Rodrigo Cost d Olivir Robrto Firmnto d Noronh José Andrés Sntistbn rr onrdo Tdu Grci im bortório d Automção Robótic, PGMEC, Univrsidd Fdrl Fluminns ru Psso d Pátri 156, Nitrói/RJ, BRASI rodrigongnhri@hotmil.com; rnoronh@mc.uff.br; jsl@mc.uff.br; lonrdo.lim@i.org Abstrct. Tchnologicl dvncs pos nw chllngs nd opportunitis to nginrs nd th nd for intrdisciplinr knowldg is vidnt in rs such s ctutors, snsors nd movmnt control. Applictions in robotics nd prcision positioning, for instnc, rquir th mstring of topics rnging from mchnicl nginring to lctricl nd lctronic nginring with lrg componnt of control nginring. This nd hs ld to th mchtronics concpt, which tris to bring togthr ll th rquird knowldg for such pplictions. In this sns, control thory nd lctronics hv bcom commonplc in th curriculum of modrn mchnicl nginring courss nd trms such s root loci, PID control nd Bod digrms prmt th vocbulry of up-to-dt mchnicl nginrs. With th objctiv of tckling this rng of knowldg in hndson wy, this work shows, stp by stp, th dvlopmnt of prototyp of clssicl unstbl mchnicl systm, th invrtd pndulum. This consists of crt crrying rod with wight on its nd nd ttchd to th crt but fr to rott in on xis. Through st of pullys, n lctric motor drivs th crt horizontlly on pir of trcks. This systm my b stbilizd controlling th torqu of th motor. Th ppr prsnts th mthmticl modling s wll s th procdur for dsigning nd physiclly implmnting th closd loop controllr to b usd on th prototyp dvlopd t UFF. Kywords. mthmticl modling, root loci, control of mchnicl systms, invrtd pndulum