Mecânica e Ondas. Capítulo I Interacção mecânica. Lei da atracção gravitacional de Newton

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1 ecânica e Ondas aguspak Cusos EI e EE Capítulo I Inteacção mecânica ei da atacção gavitacional de Newton Se consideamos duas massas pontuais m1 e m, a uma distância ente si, vai have uma foça de atacção gavitacional ente elas dada po: m1m =. F G e O sinal significa que é atactiva. É uma foça adial vaiando o seu módulo com o inveso do quadado da distância ente si. A constante de gavitação G vale, no sistema intenacional, 11 G = 6.67 *10 Nm Kg. Na figua usou-se um efeencial qualque paa localiza as duas massas. 1 e Repesentam o vecto de posição das massas 1 e espectivamente. Note-se F = F significando que,1 1, que a foça com que atai 1 é simética da foça com que 1 atai. O módulo de epesenta a distância ente as duas massas. Neste efeencial a foça de atacção 1, esceve-se: m m F = G 1 1, 3 1, 1,. Se pelo menos uma das massas não fo pontual à que altea a fómula anteio de modo a epesenta apenas a contibuição de uma massa elementa e depois intega paa todo o copo: dm m m df = G F = G dm 1 1, 3 1, 1, 3 1, 1 copo1 1, 1, Duma maneia geal a expessão anteio pode se de difícil aplicação a copos com geometias complicadas. Alguns casos têm no entanto soluções matemáticas fáceis de esolve. É o exemplo da geometia esféica.

2 Quando o copo tive simetia esféica e estivemos a calcula a foça sobe uma massa pontual no seu exteio podemos coloca toda a massa no cento da esfea e calcula a foça ente o cento da esfea e o copo exteio. É o caso da se a consideamos edonda. Ao colocamos um objecto pontual de massa m a uma altua h da supefície podemos coloca toda a massa da no seu cento e calcula a atacção sobe a massa m que está à distância = R + h. F = G e ( R + h) O módulo desta foça epesenta o peso do copo m em elação à. Se a altua h fo pequena compaada com o aio da R podemos dize que a soma se simplifica R + h R e um peso simplificado: m P = G G m ( R + h) R Nota que, nestas cicunstâncias, o peso de um objecto póximo da supefície só depende da sua massa e da massa e aio da que são constantes. Conhecendo os 4 dados da ea 5.97 *10 Kg e Rea 6371 Km e a constante univesal G podemos calcula o facto constante, que denominamos g, e tem as dimensões de uma aceleação (deivada da velocidade): : P g G m s = 9.8 /. R Obtém-se assim a conhecida expessão paa o peso de um copo à supefície da. = mg. É esta expessão que usaemos extensivamente na 1ª pate do cuso. Outos casos, de inteesse apenas didáctico, podem se esolvidos. É o caso de uma baa unifome com o copo pontual colocado no seu eixo longitudinal ou tansvesal Exemplos de cálculo da foça gavitacional (voltaemos a estes poblemas num capítulo mais à fente dedicado ao estudo da gavitação) Poblema: Calcula a foça gavitacional execida po uma vaa unifome de compimento e massa sobe uma massa pontual m colocada sobe o eixo da vaa e a uma distância d de uma das extemidades. m.

3 A baa tem uma densidade linea λ =. Colocando a oigem dos x no cento da baa podemos acha a contibuição de um toço elementa dx, dx + mλdx mλdx df = G F = G d + x d + x + 1 m = Gmλ d + x dx = Gmλ = G d d d + x Poblema: Calcula a foça gavitacional execida po uma vaa unifome de compimento e massa sobe uma massa pontual m colocada sobe um eixo passando pelo seu cento e pependicula à vaa, distando d da vaa. A baa tem uma densidade linea λ =. Colocando a oigem dos y no cento da baa podemos acha a contibuição de um toço elementa dy, ( ) λ = + mλdy df = G d F = Gdmλ d + y dy = G ( ) 3 m 3 1 d + y d d ( + ) A noção de foça gavítica implica a existência de dois copos, acção de um copo sobe o outo copo. Que acontece se etiamos um dos copos? Deixa de have foça mas mantém-se uma ealidade física que é difeente de não have copo nenhum. A essa ealidade chamamos Campo gavítico. Assim a isolada no espaço cia o seu pópio campo gavítico. Quando colocamos um copo na poximidade da este vai sofe uma foça. Paa que ele não caia temos de faze uma foça igual e contáia. Se o deixamos live ele vai desloca-se e apoxima-se da, isto significa que a foça gavítica ealiza sempe um tabalho positivo ou seja o copo passa de um estado de enegia mais alta paa um estado de enegia mais baixa. A esta enegia chamamos enegia potencial gavítica. À noção de Campo gavítico temos de junta a de Potencial gavítico. Quando colocamos um copo na poximidade da este desloca-se de um potencial gavítico mais alto paa outo mais baixo fazendo baixa a sua enegia potencial gavítica. Fomalmente basta multiplica pela massa paa se passa de campo paa foça e de potencial paa enegia potencial. F = me U = mv d m ; F Foça E Campo U Enegia potencial V Potencial A pimeia elação pemite identifica o Campo gavítico, F = me P = mg E = g. O campo gavítico coincide com a aceleação gavítica. 3

4 Paa identifica o potencial temos de ecoe à noção de tabalho da foça dw = F ds. Usemos a, isolada no espaço, como exemplo. No infinito o campo é nulo potanto o potencial também tem de se nulo (não há inteacção). Se desloca um copo de massa m do infinito até um ponto P à distância d do cento da ealizo um tabalho positivo (foça e deslocamento alinhados) W > 0, no entanto a enegia potencial diminui U < 0. Concluímos assim que o tabalho da foça gavítica é simético da vaiação da enegia potencial. du F ds U d G m d G m = = =. Obtém-se a expessão geal, paa d m massas pontuais ou distibuição esféica, da enegia potencial gavítica U = G. Paa a, um copo de massa m a uma altua h da supefície tem uma enegia R potencial U h = G m = mg. Quando cai de h até à supefície passa a te R + h R + h U 0 = mgr. Se fizemos a difeença de enegias: R R h U h U0 = mg ( mgr ) = mgr 1 = mgr. R + h R + h R + h Quando a altua é pequena quando compaada com o aio da a expessão simplifica e h obtemos um fómula bem conhecida do ensino secundáio U h U 0 = mgr mgh. R + h Conclui-se potanto paa a fómula U = mgh fequentemente usada: I. A fómula só é vedadeia paa altuas muito menoes que o aio da. II. Repesenta de facto, não a enegia, mas sim a difeença de enegia potencial de um copo de massa m à altua h e à altua zeo. III. A enegia potencial à supefície da vale: U0 = mgr É po esse facto que usaemos esta expessão extensivamente na 1ª pate do cuso. As eis de Newton A ei da atacção univesal não foi a única contibuição de Newton paa o desenvolvimento da ecânica. Existem tês leis fundamentais que enquadam toda a ecânica newtoneana. A ei fundamental da dinâmica, a ei da inécia e o ei de Relatividade do movimento ou Pincípio da acção eacção. A lei fundamental liga a foça com o movimento. Do ponto de vista da ecânica de Newton esta pode se dividida em tês gandes Capítulos: Estática, Cinemática e Dinâmica. Na Estática só temos Foças, não há movimento. Na Cinemática só há movimento, esquecemos as foças que lhe deam oigem. Na Dinâmica temos em simultâneo o movimento e as foças que o oiginaam. atematicamente a ei é fomalmente simples, diz que a esultante das foças que actuam num copo é popocional à aceleação do copo, sendo a massa a constante de popocionalidade, F = ma. A complexidade advém do facto da aceleação se a segunda deivada do vecto de posição, o que tansfoma a lei numa equação difeencial de segunda odem que tem de se esolvida paa se sabe a equação do movimento do copo. De nota 4

5 nesta lei que foça e aceleação estão no mesmo efeencial e são vectoes com a mesma diecção e sentido. É clao que, dada a dificuldade apesentada pela genealidade dos alunos na esolução matemática destes modelos, pocuaemos enconta exemplos de aplicação de meno complexidade matemática não deixando de se significativos paa apende ecânica. A ei da inécia é uma consequência da lei fundamental. Diz que se não existi foça esultante o copo está em epouso ou em movimento ectilíneo unifome. Da lei F = ma tiamos facilmente: 0 0 te F = a = v = C A ei de Relatividade põe em evidência que, se um copo actua sobe um segundo, esse também actua sobe o pimeio. Ou seja, a toda a foça de acção vai coesponde uma foça de eacção exactamente igual em módulo mas de sentido contáio F = R. uitas vezes designam-se estas duas foças po pa acção eacção. Já no póximo item vamos ve exemplos destes paes acção eacção, foças de tensão e foças de contacto. Este pincípio de elatividade aplicado ao movimento impõe a distinção ente dois tipos de efeenciais, de inécia e aceleados. Se um copo não fo actuado po uma foça pela lei de inécia haveá um conjunto de efeenciais onde está em epouso ou em movimento unifome ectilíneo. Esses são os efeenciais de inécia. Se desceve esse movimento num efeencial aceleado o copo vai adquii uma aceleação e potanto, tendo massa, sofe uma foça dita de foça de inécia, (deveia dize-se foça de não inécia). As difeentes Foças 1. Foça gavítica Como se viu anteiomente póximo da supefície da (altuas muito menoes que o aio da ) podemos esceve P = mg. Esta foça é sempe paa baixo e pode se medida usando uma mola. Que esteja suspenso, alongando a mola ou containdo a mola, o seu valo mantém-se constante.. Foça de tensão a. Foça elástica de uma mola. l 0 y Como se viu na figua anteio, po acção do peso a mola alonga ou contai dando oigem a uma foça de tensão que tende a anula o peso. Esta é a foça elástica da mola. Das duas figuas anteioes podemos conclui que, se o copo está em equilíbio (epouso), N K 0 x F x 5

6 os módulos das duas foças são iguais: Fmola = mg. Na figua ao lado a mola está inicialmente em epouso na hoizontal. Não sofe a acção de qualque foça e po isso dizemos que o seu compimento em epouso é l. 0 Colocámos a sua extemidade live no ponto x = 0. Execemos então a foça F paa a dieita. A mola vai alonga x, que dize que a sua extemidade passou a esta no ponto x. A mola vai eagi a F com uma foça de tensão, exactamente igual em módulo mas de sentido contáio. Se a mola estive em equilíbio a soma vectoial das duas foças é zeo, = F F + = 0. Na extemidade oposta, pesa à paede, apaece uma foça oposta, isto é, se em x está na extemidade da paede está ou seja F. Fica também clao que a paede tem de faze uma foça igual a N = paa não cede. Veemos um pouco à fente que esta é uma foça de contacto nomal. Só não estabelecemos uma elação ente a foça elástica e o alongamento x. Veemos num capítulo mais à fente que esta foça elástica é popocional ao alongamento da mola = Kxex, pemitindo quantifica e pecebe o movimento oscilatóio. A constante K é caacteística da mola. b. Foça de tensão num fio inextensível. al como numa mola se actuamos com uma foça sobe um fio inextensível este vai eagi com uma foça igual e de sentido contáio, a ensão no fio, que o vai mante esticado. Na figua ao lado uma vaa ou coda inextensível tem uma extemidade fixa a um N F copo e na outa extemidade é execida uma foça F. Nessa extemidade apaece uma foça de tensão, exactamente igual em módulo mas de sentido contáio. Em equilíbio a soma vectoial das duas foças é zeo, = F F + = 0. Na extemidade oposta, pesa ao copo, apaece uma foça oposta, isto é, ou seja F. Fica também clao que a paede tem de faze uma foça igual a N = paa não cede. Veemos um pouco à fente que esta é uma foça de contacto nomal. 3. Foças de contacto a. Foça Nomal Quando dois copos estão em contacto, independentemente de have ou não movimento elativo ente si, existe uma foça de contacto ente as duas supefícies. Essa foça é denominada de foça Nomal exactamente poque ela é pependicula à supefície de contacto. Quando estamos de pé no soalho de nossas casa o nosso peso exece-se veticalmente sobe o chão. Poque não entamos pelo chão m dento? Poque o chão exece sobe os nossos pés uma foça vetical paa cima exactamente igual ao nosso peso. Essa é a foça Nomal. Na figua ao lado o copo de massa m está em equilíbio em cima de uma placa fixa. mg N N = mg N 6

7 Sobe ele actuam duas foças o peso e a foça Nomal. A sua soma tem de se zeo poque não há movimento na vetical, N + mg = 0 N = mg N = mg. A nomal é igual ao peso. De nota que sobe o chão actua o pa acção eacção, a foça N. O que acontece se houve mais de um copo? O poblema esolve-se de maneia idêntica. Onde existe contacto existe nomal, a condição de equilíbio estático detemina o módulo dessa nomal. Na figua seguinte o copo assenta sobe o copo 1 que Copo po sua vez assenta sobe uma laje. emos de esceve m uma equação paa cada copo: Paa o copo temos: N + m g = 0, obtemos o módulo da m g sua nomal N = mg, que é, tal como no poblema anteio, igual ao seu peso. Paa o copo 1 temos: N1 + m1 g N = 0, aqui a nomal 1 depende não só da sua massa mas também da nomal N = m + m g. A calculada antes. Simplificando obtemos: ( ) 1 1 nomal é igual a soma dos dois pesos, como seia de espea. Nota ainda que sobe a laje actua a nomal N 1. Vejamos um outo exemplo. O que acontece quando a supefície de contacto não é pependicula ao peso? A foça nomal é sempe pependicula à supefície de contacto de modo que é necessáio calcula a componente do peso pependicula à supefície de contacto. Na figua ao lado o copo está assente sobe um plano Copo 1 inclinado de ângulo. Não inteessa po agoa se o copo está ou não em movimento poque, mesmo que o movimento mg cos exista, ele seá sempe ao longo do plano inclinado e nunca afastando-se do plano (diecção nomal ao plano). mgsen mg N A supefície de contacto faz um ângulo com a hoizontal de N modo que é necessáio decompo o peso nas duas componentes, paalela ao plano e pependicula ao plano. igonometia simples pemite esceve mg = mgsen e + mg cose. A componente nomal do peso vale cos mg, pelo que podemos calcula a foça nomal: N + mg cose = 0 N = mg cos. De nota que o plano inclinado sofe também uma foça nomal N, que é o pa acção eacção. b. Foças de Atito ente sólidos. Copo 1 m 1 m g 1 N 1 N 1 N N A foça de contacto anteio existe desde que haja contacto ente dois copos independentemente de have ou não movimento e exece-se sempe na diecção pependicula ao possível deslizamento. odos temos contudo a noção de que quando temos um copo ugoso em contacto com outo é necessáio exece uma foça supeio, paa o faze desloca, do que se os copos foem polidos. ata-se agoa de uma foça de contacto na diecção do movimento 7

8 mas que se opõe a esse movimento, é a foça de Atito. A foça de atito é potanto pependicula à foça Nomal que acabámos de estuda, sempe paalela à supefície de contacto e de sentido contáio ao possível movimento. No entanto este atito está elacionado com a foça nomal. Quanto maio fo a foça nomal maio é o apeto ente os dois copos e potanto maio a dificuldade em desliza um sobe o outo. A foça de atito é potanto popocional à foça nomal, F at = µ N. À constante de popocionalidade µ ente as duas chamamos coeficiente de atito. À contudo que distingui duas situações físicas distintas, o atito estático e o atito dinâmico. Dizemos que temos atito estático quando se exece foça sobe o copo mas ele não se move. Se fomos aumentando essa foça haveá um momento em que o copo começa a desliza emboa com foça de atito. É exactamente essa foça a pati da qual se inicia o movimento que define o coeficiente de atito estático. Denominando-a F s, podemos esceve Fs = µ s N. omemos de novo o bloco usado no início. Sobe ele vamos faze actua uma foça F m, que se inicia no zeo e vai aumentando gadualmente. Inicialmente o bloco não se move. Poquê? F Apaece uma foça de atito que anula a foça execida, Fat = F. Quando a foça F execida iguala µ N o bloco s mg F N at começa a move-se e a foça de atito é constante e vale F N = mg Fat = µ N. at Este novo coeficiente de atito, denominado de cinético, é N infeio ao estático, significando fisicamente que é mais fácil mante o bloco em movimento do que inicia o movimento. Resumindo: se F µ sn Fa = F não há movimento se F> µ s N Fa = µ k N há movimento com atito Note-se ainda que existe um pa acção eacção paa esta foça de atito, é uma foça igual e de sentido contáio execida sobe o copo debaixo. 4.Foças de Inécia em efeenciais aceleados. a. Foça de Inécia em tanslação. Quando nos deslocamos numa viatua e esta acelea sentimo-nos empuados paa tás, se ela tava sentimo-nos pojectados paa a fente. Consideemos o exemplo da figua. O vagão de massa da figua move-se, po acção da foça F, no efeencial com uma aceleação a. O m a N F a copo de massa m está dento do vagão, i encostado à paede, move-se com este e tem F potanto a mesma aceleação em elação à. Ente o copo e o vagão existe contacto e potanto F uma foça nomal N i = N = ma. Seá que podemos te N = 0? Obviamente não, poque a lei fundamental exige ma = F. Se F = 0 então 8

9 a = 0, o que é falso. Só existe uma solução, N = ma. Isto significa, pelo pincípio da acção eacção, que o copo actua sobe a paede com uma foça N = ma. Esta foça só apaece poque o vagão está aceleado, é a foça de inécia, Fi = ma. Se quisemos a equação do vagão devemos esceve: F a = F + Fi = F ma ( + m) a = F a =. + m A foça F tem de puxa as duas massas. b. Foça Centífuga. Quando um ponto mateial desceve uma tajectóia cuvilínea adquie uma aceleação pependicula à tajectóia diigida dento da concavidade, é a aceleação centípeta. Ve apêndice elativo a coodenadas polaes. Ao colocamos um copo em tajectóia cicula estamos a colocá-lo num efeencial aceleado. Pelo pincípio da acção eacção, como vimos no ponto anteio, ele vai te uma aceleação contáia à do efeencial, centífuga, que multiplicada pela sua massa dá oigem à foça centífuga. Quando descevemos uma cuva na viatua, mesmo em velocidade constante, somos empuados paa o lado de foa da cuva. Em movimento cicula unifome a foça centífuga tem a expessão simples: v v Fcentifuga = macentifuga = m e Fc = m Apêndice Coodenadas Polaes Quando queemos desceve um movimento cuvilíneo num plano é usual utiliza em vez das habituais coodenadas ectangulaes ( x, y ) com vesoes ( e x, e y ), usa as coodenadas polaes (, ) com vesoes ( e, e ). Emboa otonomadas estas coodenadas exigem um cuidado especial poque as deivadas dos seus vesoes não são nulas, os vesoes vaiam de ponto paa ponto. Isto implica que gandezas como a velocidade e aceleação tenham expessões mais complexas. Vejamos o sistema da figua. O sistema que pemite passa de ectangula paa pola esceve-se y e = cos ex + siney E as deivadas ficam: e = sinex + cos e e y de d d = ( sinex + cos ey ) = e e e e x dt dt dt de d d ( cosex siney ) e dt = dt =. e x y dt 9

10 O vecto de posição esceve-se Vecto de posição = e. Existem duas velocidades, a angula de módulo Velocidade angula d ω = dt e a linea Velocidade linea d d de d d. Simplificando v = = e + = e + e dt dt dt dt dt Velocidade linea esta obtém-se d. Paa se chega à aceleação devemos deiva novamente v = e + ωe dt Aceleação dv d d de d d d de d d d d d. a = = e + + e + = e + + e dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt Aceleação Reagupando temos: d a e d d ω ω ω e. = + + dt dt dt ovimento cicula de aio R te Se o movimento fo cicula o aio é constante, = R = C. A velocidade linea fica Aceleação Velocidade linea simples v = Rωe e a aceleação vem d ω. A velocidade é a = ( Rω ) e + e dt puamente tangencial enquanto a aceleação pode te componentes adial e tangencial. ovimento cicula unifome Um caso paticula mas usual de movimento cicula é o cicula unifome (velocidade em módulo constante). As duas expessões acima ficam: Velocidade linea v Rωe = e Aceleação a = R e = e ( ω ) v R Concluímos que a velocidade linea é tangencial e vale em módulo v = ωr enquanto a v aceleação é adial e paa dento, centípeta, valendo a = = ω R R

11 5. omento da Foça O que acabámos de apende sobe movimento cuvilineo e foça centífuga leva a outa questão: Seá que o facto da esultante das foça sobe um copo se zeo gaante a não existência de movimento desse copo? A lei da inécia só gaante que existe um efeencial onde não há tanslação. No entanto, se o copo tive um ponto de apoio sobe outo pode não te tanslação mas te otação, o que significa que não está em equilíbio estático. Vejamos um pequeno exemplo com uma vaa apoiada no chão. Se estive pefeitamente na vetical ficaá em equilíbio mas se fize um ângulo com a vetical sabemos que oda e tomba. O que se altea em temos de foças nos dois casos? O peso na vetical paa baixo é o mesmo e a foça nomal do chão sobe a vaa paa cima igualando o peso também. A soma é nula mas num caso há otação. A gandeza física associada à otação não é a foça mas sim o momento da foça. Paa fazemos oda uma pota não basta faze uma foça, é peciso que a diecção da foça não passe pelo eixo da pota. A definição de momento da foça, nalguns livos apelidada de toque, contém tês infomações: a foça, o baço da foça (vecto distância do ponto ou eixo de otação à foça) e o ângulo ente os dois. O momento é dado pelo poduto exteno ente o baço e a foça: τ = F. O módulo vem τ =. Fsen. O esultado de um poduto exteno é um vecto pependicula ao plano dos outos dois e segue a ega da mão dieita. (Se os dedos da mão dieita seguiem o sentido da otação o polega segue o momento da foça). Na figua colocámos uma vaa de compimento apoiada no chão e fazendo um ângulo com ele. Aplica-se uma foça F hoizontal na extemidade supeio da vaa. Esquecendo o atito, existem tês foças a actua. A foça nomal tem momento nulo poque passa pelo ponto de apoio (baço nulo). N F m g O peso actua no cento da vaa e faz com ela um ângulo complementa a. em momento: τ peso = mg cos ez. Rotação segundo os ponteios do elógio. τ F A foça F actua na extemidade, faz um ângulo com a vaa e tem momento: = Fsen e. Rotação no sentido contáio aos ponteios do elógio. z A condição de equilíbio estático é que o momento total seja nulo τ = 0. Neste caso bastava iguala mg Fsen = mg cos F =. tg 11

12 Exemplos elativos à Estática É peciso gaanti: 1) a esultante das foças que actuam no copo seja zeo: F = F = 0 É peciso gaanti: ) a soma dos momentos das foças seja zeo: τ total = F k = 0 Exemplo 1 k total k k A vaa da figua, de massa despezável, supota uma massa e está ligada à paede vetical po um fio hoizontal. 1) Sabe-se que a tensão máxima que o fio supota é 56 N, qual é o peso máximo que podemos suspende? ) Se suspendemos um peso de 15 N qual deveá se o coeficiente de atito estático mínimo da vaa paa have equilíbio? Resolução: Comecemos po faze o diagama de foças do sistema. emos de satisfaze as duas condições de equilíbio paa a vaa: Soma das foças igual a zeo e soma dos momentos igual a zeo Soma das foças igual a zeo: g Na hoizontal + Fa = 0 = Fa N Na vetical N + g = 0 N = g F Soma dos momentos igual a zeo: a b + b g = 0 Paa esolve a pegunta 1 basta pega na equação paa os momentos. Fio: A foça é a tensão. O baço vale 5 m. O ângulo ente o fio e a vaa pode se 3 calculado po sen =. 5 assa: A foça é o peso g. O baço vale 7 m. O ângulo com a vaa é complementa de 3 4 3, senα = cos = 1 = a vaa pode se calculado po sen = Paa have equilíbio a momento total tem de se zeo = g.7. g = g = =.56 = 30N ( ) max max Paa esolve a pegunta basta i à equação das foças na hoizontal. 8 Fa = = g = 8N. Esta é a foça de atito necessáia paa o equilíbio. 15 g Sabemos que a foça de atito máxima é dada po 8 Concluímos que: 8 = µ sg = 15µ s µ s = 15 F a max = µ N e neste caso N = g. s 1

13 Exemplo O sistema físico da figua está em equilíbio estático. Duas massas distintas, m e, estão suspensas po 3 fios e uma oldana. Conhecem-se os dois ângulos e ϕ, e conhece-se a massa. As peguntas são: 1. Qual a tensão no fio?. Qual a tensão 1 no fio? 3. Qual a tensão 3 no fio? 4. Qual o valo de m? 5. Qual a foça nomal que o fio 3 exece no tecto? 6. Qual a foça nomal que a oldana exece no tecto? ϕ Neste exemplo não há possibilidade de otação. O equilíbio implica que em qualque ponto a soma das foças tem de se zeo. Notamos que o ponto cucial paa esolve o poblema é o ponto O, união simultânea dos 3 fios. Comecemos po faze o diagama de foças do sistema. N Comecemos po esceve as foças no ponto O: = 3 cos ex + 3 sen ey 1 ϕ 1 = 1 cos( ϕ + ) ex + 1 sen( ϕ + ) ey. A soma deve 1 = ge y 3 1 se nula 3 cosex 1 cos( ϕ + ) ex = 0 mg 3 sen ey + 1 sen( ϕ + ) ey gey = 0 cos( ϕ + ) g 3 = g 3 cos = 1 cos( ϕ + ) senϕ A 3 sen + 1 sen ( ϕ + ) = g cos 1 = g sen ϕ esolução pemite esponde às 3 pimeias questões: cos cos( ϕ + ) 1) = g ) 1 = g 3) 3 = g sen ϕ senϕ A oldana apenas seve paa leva o fio 1 do ponto O paa a massa m. Po isso temos: cos cos 4) mg = = 1 g m senϕ = senϕ. Na oldana temos do lado esquedo 1 1 sen ϕ +, ambas paa baixo. A foça nomal tem de equiliba esta soma. cos 5) N = sen( ϕ + ) = ( 1+ sen( ϕ + )) g. sen ϕ Na paede a foça nomal é a componente vetical de 3. 6) ( + ) sen.cos ϕ N paede = 3 sen = g senϕ e do lado dieito ( ) 13

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