APOIO ÀS AULAS PRÁTICAS DE FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL

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1 UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA TEXTO DE APOIO ÀS AULAS PRÁTICAS DE FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL Rui Lança, Eq. Pofesso Adjunto David Peeia, Eq. Pofesso Adjunto SETEMBRO DE 008

2 Índice de matéias 1 Intodução... 1 Questões teóicas... 1 Poblemas páticos... Cinemática... 4 Questões teóicas Cinemática - movimentos... 8 Questões teóicas... 8 Poblemas páticos Estática das patículas no plano Questões teóicas Poblemas páticos Dinâmica de uma patícula Questões teóicas Poblemas páticos Quantidade de movimento de um sistema de patículas... 1 Questões teóicas... 1 Poblemas páticos... 7 Tabalho e enegia... 4 Questões teóicas... 4 Poblemas páticos Mecânica dos fluidos... 8 Questões teóicas... 8 Poblemas páticos Centos de gavidade, momentos estáticos e estudo de foças distibuídas... 3 Questões teóicas... 3 Poblemas páticos Eixos pincipais de inécia, inécias máximas e mínimas Questões teóicas Poblemas páticos Podutos de inécia e Cículo de Moh Questões teóicas Poblemas páticos i

3 1 Intodução Questões teóicas QT 1.1 Explique como pocedeia paa detemina o ângulo fomado ente dois vectoes num espaço tidimensional. Apesente a espectiva fomulação. Pela definição de poduto inteno de dois vectoes a b = a b cos( α) [ ] a b = a b + a b + a b ( ) cos α = x x y y z z a b + a b + a b a b x x y y z z QT 1. Num modelo à escala 1/10, faz-se uma expeiência, em que um cainho com massa m A se desloca com velocidade v A. Como calcula a enegia cinética do potótipo? QT 1.3 Considee um modelo eduzido à escala [L x ]=[L y ]=[L z ]=1:0; [M]=1:50;[T]=1:1 de um cubo com d (m) de aesta e Fg (N) de peso imeso em água. Detemine o peso, massa volúmico, peso apaente e impulsão do cubo na ealidade. Justifique todos os cálculos. QT 1.4 Explique como são definidas as unidades das gandezas físicas fundamentais. Indique tês exemplos difeentes. As unidades das gandezas físicas fundamentais são convencionadas. Ex: meto (m); segundo (s); quilogama (kg). QT 1.5 Qual é a difeença ente uma gandeza física fundamental e uma gandeza física deivada? Indique tês exemplos paa cada tipo de gandeza física. As unidades de medição das gandezas físicas fundamentais são convencionadas. As deivadas são obtidas com base nas anteioes. QT 1.6 Deduza o facto de escala K paa a gandeza física deivada enegia cinética medida num modelo eduzido 10 vezes. UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 1

4 Ec = 1 m v Como a enegia cinética foi Medina num modelo em que os compimentos e a massa estão eduzidas 10 vezes, logo: E c Ec = eal 1 ( 10 m) ( 10 v) = 500 Ec mod elo QT 1.7 Quais são as gandezas físicas fundamentais envolvidas nas seguintes vaiáveis e espectivas unidades no sistema (S.I.): foça; velocidade; posição; aceleação. Foça [MLT - ] Velocidade [LT -1 ] Posição [L] Aceleação [LT - ] Poblemas páticos PP 1.1 Num efeencial otonomado OXYZ as coodenadas de posição de um vecto são: (-1;;3) e (7;-5;-.6). PP Detemine o módulo desse vecto. PP 1. Com base na seguinte figua, detemine: PP 1..1 As componentes escalaes e o módulo do vecto v. PP 1.. O co-seno, o seno, a tangente e a co-tangente do ângulo α. PP 1.3 Um vecto de módulo 15 é a soma de dois vectoes, cada um dos quais faz com ele ângulos de 45º. UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009

5 PP Detemine os módulos dos vectoes componentes. PP 1.4 Detemine as componentes escalaes de vecto com módulo de 10 unidades que foma um ângulo de 50º com o semi-eixo positivo x. PP 1.5 Dois vectoes são dados po: a = 4 iˆ 3 ˆj + 1 kˆ PP Detemine a + b. PP 1.5. Detemine a b. PP Detemine um vecto c tal que a b + c = 0. b = 1 iˆ + ˆj + 4 kˆ PP 1.6 Dois vectoes e s estão no plano XY, os seus módulos são espectivamente 4,5 e 7,3 unidades e as suas diecções são de 30º e 85º medidos no sentido anti-hoáio a pati do semi-eixo positivo dos x. PP Detemine as componentes escalaes. PP 1.6. Qual o valo de s. PP 1.7 Considee os vectoes F 1, F, 1 e : F 4 iˆ ˆj 1 kˆ 1 = + iˆ 1 ˆ 1 = + j F 3 iˆ 1 ˆj 1 kˆ = + ˆj 1 kˆ = + Sendo o vecto M dado po 1 F1 + F e F po F 1 + F, veifique se M F. PP 1.8 Considee os seguintes vectoes: a = iˆ + 3 ˆj b = 0 iˆ + ˆj PP Calcule o ângulo fomado pelo vecto a e o semi-eixo positivo do x. PP 1.8. Calcule o ângulo fomado pelo vecto b e o semi-eixo positivo do x. PP Calcule o ângulo fomado ente os vectoes a e b. PP Sendo o vecto J = a b, detemine o módulo deste vecto. UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 3

6 Cinemática Questões teóicas QT.1 Pove que o vecto velocidade instantânea é sempe tangente à tajectóia. O vecto velocidade média é a azão ente o vecto deslocamento e o intevalo de tempo em que esse deslocamento ocoe, ou seja: v = m t O vecto velocidade instantânea é dado pelo vecto sobe o intevalo t quando este tende paa zeo. v = lim t 0 t v d v = dt A diecção de consideado. v é tangente à tajectóia no ponto onde se enconta a patícula no instante y v x UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 4

7 QT. Explique poque azão dois objectos em queda live no vácuo, com massas e volumes difeentes, patindo do epouso, pecoem a mesma distância no mesmo intevalo de tempo? Apesente a equação que taduz o fenómeno. A equação do movimento ectilíneo unifomemente vaiado, y = y 0 + v y t + 1 a y t não enta com a massa do objecto. Como não existe esistência ao movimento devido à expeiência se desenvolve no vácuo, a foma do objecto também não influencia. Logo desde que os dois objectos estejam sujeitos à mesma aceleação (campo gavítico da tea), pecoem a mesma distância no mesmo intevalo de tempo. QT.3 Explique poque azão o vecto aceleação nomal é sempe diigido paa o inteio da cuvatua? Utilize um esquema paa justifica a sua esposta. O vecto aceleação média é dado po: v a = m t A aceleação média tem a diecção e o sentido do vecto v. y A v i v f v B v f x O vecto aceleação instantânea é o limite paa que tende o vecto aceleação média quando o intevalo de tempo tende paa zeo. UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 5

8 v a = lim am = lim t 0 t 0 t dv d a = = dt dt Da figua anteio, pode-se constata que o vecto tajectóia. v é sempe diigido paa o inteio da QT.4 Considee uma patícula que pate do epouso de uma altua H e cai em queda live. Estabeleça as equações paa o cálculo da velocidade que a patícula tem quando atinge o solo, atavés dos pincípios da dinâmica e em paalelo com os pincípios do tabalho e enegia. No final compae as expessões obtidas atavés dos dois métodos. Pincípio do tabalho e enegia. A enegia potencial gavítica tansfoma-se em enegia cinética, Ep g = m g h E c = 1 m v Ec v = m po substituição m g h v = m v = g h Pincípio da dinâmica v = v 0 g t 0 v gt h 1 = 0 = v0 t g t v0 = g t h = g t 1 g t v 0 = g h g h 1 = g t v0 = g h h t = g UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 6

9 QT.5 Refia a definição e a expessão que pemite detemina as seguintes gandezas físicas: aceleação nomal, aceleação tangencial, velocidade média, velocidade instantânea, aceleação angula, peíodo, fequência. UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 7

10 3 Cinemática - movimentos Questões teóicas QT 3.1 Deduza a equação da tajectóia de um pojéctil. Apesente todos os cálculos justificativos. Considea-se que o movimento de um pojéctil tem uma componente vetical sujeita à aceleação da gavidade (MRUV) e uma componente hoizontal sem aceleação (MRU). Logo as equações das posições são: x = x 0 y = y + v o t 0 + v0 t g t Po simplificação considea-se que o pojéctil pate da posição (0,0) x = v o y = v 0 t t 1 g t t = x v 0 y = v 0 x v 0 1 g x v 0 QT 3. "A tajectóia de um pojéctil é paabólica." Diga se a afimação é vedadeia ou falsa. Justifique, com base na equação da tajectóia, a sua afimação. Na equação da tajectóia deduzida na equação anteio, pode-se veifica que se tata de uma paábola. QT 3.3 Repesente num gáfico a posição, velocidade e aceleação em função do tempo paa um movimento ectilíneo unifomemente vaiado. Considee um intevalo de tempo em que ocoe uma invesão do sentido da patícula. UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 8

11 , v, a a v t QT 3.4 Deduza a expessão paa o cálculo da aceleação num movimento hamónico simples em função da massa, da igidez da mola e da elongação. A foça F seá dada po: F F = k x = m a k x = m a logo, explicitando a aceleação: a = k m x QT 3.5 Elaboe um gáfico onde epesenta a aceleação angula, velocidade angula e posição angula em função do tempo paa um movimento cicula unifomemente vaiado (aceleado). QT 3.6 Deduza as equações da aceleação, velocidade e posição paa o movimento cicula unifomemente vaiado. QT 3.7 Como caacteiza o movimento hamónico simples? Explique com base nas vaiáveis cinemáticas e dinâmicas. UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 9

12 QT 3.8 Explique poque se diz que um movimento cicula unifome é um movimento peiódico. QT 3.9 Deduza a equação das velocidades do movimento ectilíneo unifome? QT 3.10 Estabeleça os gáficos da posição, velocidade e aceleação em função do tempo paa um movimento ectilíneo unifomemente aceleado e paa um movimento ectilíneo unifomemente etadado. QT 3.11 Estabeleça a equação da aceleação a que uma massa (m) ligada a uma mola com igidez (k) e a oscila na hoizontal sobe um plano sem atito está sujeita. QT 3.1 Pove que a tajectóia de um pojéctil é paabólica. QT 3.13 Quais os tipos de movimentos que estudou? Relacione cada um destes movimentos com a componente nomal e tangencial da aceleação. QT 3.14 Como caacteiza o movimento hamónico simples? QT 3.15 Estabeleça a equação da posição angula paa um movimento cicula unifome. QT 3.16 Quais foam os movimentos que estudou? Indique a diecção e sentido das componentes nomal e tangencial do vecto aceleação paa cada um deles. QT 3.17 Deduza a equação da posição angula paa o movimento cicula unifome (M.C.U.). Poblemas páticos PP 3.1 Uma patícula com movimento ectilíneo desloca-se segundo a seguinte equação: PP Desenhe o gáfico da função (t), no intevalo t=[0;5]s PP 3.1. Calcule as velocidades médias nos intevalos de t=[0;5]s; t=[0;]s e t=[0;1]s. PP Detemine a velocidade instantânea. x = 0,5 t PP 3. Um móvel inicialmente em epouso desloca-se com aceleação constante a= m/s. PP 3..1 Quanto tempo leva a pecoe 100m. UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 10

13 PP 3.. Se o móvel tivesse uma velocidade inicial de 5 m/s, quanto tempo seia necessáio paa pecoe 100m. PP 3.3 Uma patícula tem o seguinte movimento: = ( 30 t t ) i PP Quais as velocidades nos instantes t 1 =10s e t =0s. PP 3.3. Qual o instante em que a patícula mais se afasta da oigem. ˆ PP 3.4 Um ponto mateial pate da posição movimento unifomemente etadado de aceleação de módulo 6,0 m/s. PP Esceva a equação de movimento. PP 3.4. Esceva a equação da velocidade. PP Veifique se o ponto páa em algum instante e em que posição. x0 = 5 m, com velocidade inicial v = 0 4 m / s, com PP 3.5 Um gave é lançado veticalmente e o seu movimento é taduzido pela seguinte equação: = 30 t 5 t ˆ ( ) j PP Esceva a equação da velocidade. PP 3.5. Indique o valo da velocidade inicial PP Indique o valo da aceleação. PP Em que intevalo de tempo o movimento é etadado e em que intevalo de tempo é aceleado? PP De que movimento se tata? PP Desenhe o gáfico de, v e a paa t=[0;6]s. PP 3.6 Uma patícula move-se em linha ecta segundo a seguinte equação: = t 3 6 t + 9 t + 5 ˆ ( ) i PP Qual o intevalo de tempo em que a patícula se move no sentido negativo? PP 3.6. Em que intevalos de tempo o movimento da patícula é aceleado e em que intevalos de tempo o movimento da patícula é etadado? PP 3.7 Um cao telecomandado desloca-se numa supefície plana de acodo com: UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 11

14 x = 0,5 t y = 1 t + 0,05 t PP Detemine as coodenadas do cao no instante t=s e a distância do opeado nesse mesmo instante, sabendo que este está na oigem. PP 3.7. Calcule o deslocamento e a velocidade média duante o intevalo de tempo t=[0;]s. PP Detemine a expessão geal da velocidade instantânea do cao em foma de vecto e em temos de módulo e diecção paa t=s. PP Detemine a expessão geal da aceleação e calcule o módulo e a diecção paa t=s. PP Detemine a componente tangencial e nomal da aceleação no instante t=s. 3 PP 3.8 O movimento de uma patícula segue a seguinte tajectóia: = 1 ( t t ) iˆ t t ˆj PP Detemine a equação geal da velocidade. PP 3.8. Detemine a equação geal da aceleação. PP No instante t=3s, calcule os módulos da componente nomal e tangencial da aceleação. PP 3.9 Uma patícula desceve uma tajectóia dada pela seguinte equação: = ( t) iˆ 3 ( t ) ˆ + 5 j + 0,05 t kˆ PP Calcule os vectoes velocidade, aceleação e detemine os módulos dos vectoes aceleação nomal e aceleação tangencial paa t=s. 1 PP 3.10 Um automóvel viaja paa leste numa estada plana po 3 km. Ele via paa note e viaja 47 km antes de paa. Detemine o deslocamento esultante e o espaço pecoido. PP 3.11 Um automóvel viaja paa leste numa estada com declive constante de 5% até atingi uma altitude de 500m. Via paa note po uma estada com declive constante de -8% até à altitude de 00m. Qual o deslocamento esultante e o espaço pecoido? UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 1

15 PP 3.1 Uma patícula move-se em linha ecta, segundo a seguinte equação: 3 = (t 1t + 18t + 10) iˆ PP Qual o intevalo de tempo em que a patícula se move no sentido negativo? PP 3.1. Em que instante o movimento da patícula é aceleado e em que instante é etadado? PP 3.13 Um jogado de golfe está a 50 m do buaco 18, medidos em linha ecta. Quando executa a tacada o compotamento da bola pode se compaado aos seguintes dados, velocidade inicial v 0 = 50m / s, ângulo com a hoizontal α = 30º. PP Detemine a posição e o instante em que a bola atinge o ponto mais alto da tajectóia. PP Veifique se a tacada é suficiente paa chega ao buaco. PP 3.14 Uma bola é lançada com uma velocidade inicial ( v 0 ), fazendo um ângulo de 60º com a hoizontal. PP Detemine a velocidade inicial ( v 0 ), paa a situação descita, de modo que a bola lançada atinja o cento de um alvo colocado numa paede, que dista 45,00m do local onde a bola é lançada e a uma altua igual a 3,75m. PP 3.15 Uma patícula move-se, ao longo do eixo dos xx, de tal modo que a sua posição, em qualque instante, é dada po: x = 5 t + 1 (m) PP Calcule a sua velocidade média nos intevalos de tempo seguintes: PP s a 3 s; PP s a,1 s; PP s a,00001 s. PP Calcule a velocidade instantânea paa t = s. UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 13

16 PP 3.16 Considee as seguintes equações paaméticas de um movimento: x = t 3 t y = 3 t + 4 t PP Esceva a equação do vecto posição. PP Detemine o vecto velocidade instantânea. PP Detemine o vecto aceleação instantânea. PP Sabendo que a patícula que desceve este movimento tem 3,0kg de massa, detemine o vecto foça (incluindo módulo e diecção) que lhe induz esse movimento. PP 3.17 A equação da tajectóia que uma patícula desceve é dada po: t iˆ 3 = 0,5 + t + 0,05 t ˆ ( ) ( ) j PP Repesente a tajectóia num gáfico XY. PP Detemine o vecto velocidade paa t=0s, t=1s e t=s. Repesente no gáfico. PP Detemine o vecto aceleação paa t=0s, t=1s e t=s. Repesente no gáfico. PP Calcule o módulo da aceleação nomal e o módulo da aceleação tangencial paa os instantes t=0s, t=1s e t=s. PP 3.18 Uma bola de basebol é atiada com: v0 = 37 m s α ; g = ( 9,81 m s ) j ; = 53,1 º PP Detemine a posição e o instante em que a bola atinge o ponto mais alto da tajectóia. PP Detemine a posição e o instante em que a bola atinge o chão. ˆ PP 3.19 Um cao foi concebido paa supota uma aceleação lateal de 0,87 g. A uma velocidade de 10 km/h qual o aio da cuva mais apetada que podeá faze? PP 3.0 Um móvel pate do epouso paa pecoe com movimento cicula unifomemente vaiado uma cicunfeência de 5cm de aio. Paa efectua a pimeia volta demoa s. Calcule o valo da aceleação total do móvel ao fim de 3s. PP 3.1 Sabendo que um gave, lançado na vetical, ao passa na cota 15m/s, detemine: PP A cota máxima atingida pelo gave. Y máx 5 tem uma velocidade de UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 14

17 PP 3.1. A velocidade máxima atingida pelo gave. PP 3. Considee uma bala que é dispaada com uma velocidade v fazendo um ângulo de tio θ acima do plano hoizontal. PP 3..1 Deduza a fómula que pemite calcula o alcance máximo. Sugestão:.senθ.cosθ = senθ PP 3.. Detemine o ângulo de tio θ e altua máxima de uma bala que é dispaada com uma velocidade de gandeza 10 m/s e alcança um alvo no mesmo nível do dispao, mas à distância de 1300m. PP 3.3 Uma deteminada patícula desceve a tajectóia dada pela seguinte expessão: 3 (t) = t î + (1 t ) ĵ (m) PP Detemine o vecto das velocidades e o valo da velocidade paa t=s. PP 3.3. Detemine o vecto das aceleações e o valo da aceleação paa t=s. PP Calcule o módulo da aceleação nomal e tangencial paa t= s. PP 3.4 Uma patícula desceve uma tajectóia dada pela seguinte equação: 3 =,0 + 3t î + 1,5 t ĵ ( ) ( ) (m) PP Detemine a velocidade média paa o intevalo de tempo ente 0s e s.(indique o módulo, sentido e diecção do vecto) PP 3.4. Detemine a equação geal da velocidade. PP Detemine a equação geal da aceleação. PP No instante t=s, calcule os módulos da componente nomal e tangencial da aceleação. PP 3.5 Uma patícula desceve uma tajectóia de acodo com: x = 3 0,40 t y = t + 0, 050 t 3 ( m) PP Detemine a expessão geal da velocidade instantânea da patícula em foma de vecto, indicando o módulo e diecção paa t = 3s. PP 3.5. Detemine a expessão geal da aceleação da patícula em foma de vecto paa t=3s (indicando o módulo e diecção). UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 15

18 PP Detemine a componente nomal e tangencial da aceleação em foma de vecto paa t=3s (indicando o módulo e diecção). UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 16

19 4 Estática das patículas no plano Questões teóicas QT 4.1 Deduza a expessão da aceleação tangencial num pêndulo gavítico. QT 4. Em que situação os vectoes foça e aceleação não têm exactamente o mesmo sentido e diecção? Pove com base na difeença ente foma geal e a foma paticula da ª lei de Newton. Quando existe vaiação da massa ao longo da tajectóia. QT 4.3 Explique o que entende po diagama de copo live e efia as egas paa o elaboa. Diagama de copo live é uma epesentação gáfica do poblema a esolve com a indicação das foças de ligação aplicadas a todos os copos. QT 4.4 Enuncie a segunda lei de Newton na foma paticula e na foma geal. Indique a aplicabilidade de cada uma dessas equações. Foma geal dp d F = = dt ( m v ) dt = dm dv v + m dt dt Foma paticula, válida quando a massa é constante. F = m a Poblemas páticos PP 4.1 Com base na figua 4.1, detemine a tacção em cada cabo paa que o sistema esteja em equilíbio. PP 4. Com base na figua 4., detemine as tacções em AC e BC paa que o sistema se enconte em equilíbio. PP 4.3 Um cabo de telefone está peso em A ao masto AB (ve figua 4.3). Sabendo que a foça de tacção instalada na pate esqueda do cabo é T 1 =4,00kN, detemine: UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 17

20 PP A foça de tacção T necessáia na pate dieita do cabo, se se petende que a foça esultante R das foças execidas no cabo em A seja vetical. PP 4.3. A intensidade da foça esultante R. Figua 4.1 Figua 4. Figua 4.3 PP 4.4 Sabendo que o ponto C está em equilíbio (ve figua 4.4), calcule: PP A foça no cabo AC e o valo de F. PP 4.5 Duas codas estão unidas no ponto B (ve figua 4.5). Sabendo que a tacção máxima pemitida em cada coda é de 3,0kN, calcule a máxima foça F que pode se aplicada e o ângulo α indicado na figua. PP 4.6 Dois cabos sujeitos a tacções conhecidas estão pesos ao ponto B (ve figua 4.6). Um teceio cabo BC, é usado paa sustentação. Detemine a tacção em BC sabendo que a esultante das tês foças aplicadas em B deve se vetical. 5º kn B 15º 8kN 15m A C Figua 4.4 Figua 4.5 Figua m UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 18

21 5 Dinâmica de uma patícula Questões teóicas QT 5.1 Quais são as difeenças ente a foma paticula e geal da º Lei de Newton? QT 5. Estabeleça a equação da aceleação a que uma massa (m) suspensa numa mola com igidez (k) e a oscila na vetical está sujeita. QT 5.3 O que são foças de ligação? Refia tês exemplos. São foças que taduzem a inteacção de um copo sobe outo. Como exemplo pode-se indica a eacção nomal de um plano, eacção tangencial de um plano (foça de atito) e a acção de um cabo sobe um copo. Poblemas páticos PP 5.1 Considee um pêndulo cónico com uma massa m 1 suspensa po um cabo de compimento igual a,5 metos. PP Detemine a velocidade angula po foma que o cabo faça um ângulo de 34º com a vetical e deduza a expessão que pemite calcula a foça de tacção no cabo PP 5. Um pêndulo gavítico é constituído po um cabo com 50 centímetos de compimento e na sua extemidade está uma esfea com 500 gamas de massa. Sabendo que a enegia mecânica do sistema é de 0,981J, detemine: PP 5..1 A amplitude máxima (θ máx ) atingida pela massa. PP 5.. A velocidade da massa paa θ = 0º. PP 5..3 A enegia cinética e enegia potencial paa θ = 30º. PP 5.3 Um bloco sobe uma ampa com V 0 =5,5m/s. A ampa faz um ângulo de 0º com a hoizontal. Os coeficientes de atito cinético e estático são espectivamente 0,0 e 0,5. PP Que distância pecoe o bloco até paa? PP 5.3. Veifique se o bloco após paa escoega ou pemanece imóvel? Caso inicie o movimento em sentido inveso, calcule a aceleação. UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 19

22 PP 5.4 Considee dois blocos com massas m A =1,5kg e m B =,35kg colocados sobe um plano hoizontal cujos coeficientes de atito estático e cinético são espectivamente 0,0 e 0,16. PP Repesente todas as foças execidas sobe os blocos. PP 5.4. Sendo a foça F=0N, detemine as foças de contacto ente os blocos. PP 5.5 Um camião com uma massa de 3000 kg que sobe uma estada com uma inclinação de 5% com uma velocidade inicial de 70 km/h, sabendo que a ampa tem uma extensão de 1 km, e que o atito tansmitido às odas do camião podeá se epesentado po um coeficiente de atito cinético de Veifique se a velocidade inicial seá suficiente paa efectua a subida. PP 5.6 Um bloco de massa 00 gamas ligado a uma mola, cuja constante elástica é de 5,00N/m, oscila livemente numa supefície sem atito. O bloco é deslocado da sua posição de equilíbio de 5cm e libetado. Detemine: PP O peíodo do movimento. PP 5.6. A velocidade máxima do bloco. PP A aceleação máxima do bloco. PP Esceva as equações da posição, velocidade e aceleação em função do tempo. UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 0

23 6 Quantidade de movimento de um sistema de patículas Questões teóicas QT 6.1 Qual a elação ente impulso e vaiação do momento linea. Justifique com base numa demonstação. Definição de impulso J F dt = Definição de momento linea ou quantidade de movimento p = m v De acodo com a foma geal da ª Lei de Newton dp F = dt dp = F dt p p = F 0 dt p = J QT 6. Pove que o impulso de uma foça é igual à vaiação do momento linea. QT 6.3 Numa bincadeia dois gupos de cianças atiam sacos cheios de água. Alguns sacos estão otos e pedem água duante a sua tajectóia. Desceva qualitativamente a tajectóia de um saco que se manteve cheio até ao impacto e de um saco que pedeu água ao longo da sua tajectóia. Explique com base na foma geal da ª Lei de Newton a azão desta difeença. QT 6.4 Em que situação ou situações ocoe consevação do momento linea num sistema de patículas? Justifique. Sempe que não existem foças exteioes. QT 6.5 Elaboe um esquema e explique o funcionamento de um pêndulo balístico. Estabeleça a fomulação paa calcula a velocidade da bala antes do impacto em função das caacteísticas do pêndulo e da medição do ângulo de desvio máximo dos cabos com a vetical. UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 1

24 QT 6.6 Numa guea medieval utilizam-se catapultas paa lança sacos de aeia poque na egião não existem pedas. Alguns sacos estão otos e pedem aeia duante a sua tajectóia. Desceva qualitativamente a tajectóia de um saco que se manteve cheio até ao impacto e de um saco que pedeu aeia ao longo da sua tajectóia. Explique com base na Física a azão desta difeença. QT 6.7 Qual é a difeença ente uma colisão pefeitamente elástica e uma colisão pefeitamente inelástica. Apesente um esquema ilustando a colisão de duas patículas com massas difeentes paa cada uma das situações. QT 6.8 Demonste que a vaiação do momento linea numa patícula é igual ao poduto da esultante das foças exteioes que nela actuam, pelo tempo de actuação da mesma. QT 6.9Demonste com base nas leis da dinâmica que o impulso é igual à vaiação da quantidade de movimento. QT 6.10 Qual é a difeença ente uma colisão elástica e uma colisão inelástica? Refia o ou os pessupostos e fomulações paa o cálculo das velocidades de duas patículas antes e após a colisão nas duas situações. Em ambas existe consevação do momento linea. Na colisão elástica existe consevação da enegia cinética e na colisão inelástica ocoe dissipação da enegia cinética. QT 6.11 Em que situação os vectoes foça e aceleação não têm exactamente o mesmo sentido e diecção? Refia um exemplo. Quando existe vaiação da massa. O caso típico apesentado é o lançamento de um foguete com popoção a jacto. O combustível é consumido muito apidamente e como consequência a massa vai diminuindo. Poblemas páticos PP 6.1 Dois discos de metal (A e B) deslocam-se sobe uma pista plana sem atito. O disco A tem uma massa de,5kg e uma velocidade de 3,5m/s (paalelamente ao eixo x). O disco B tem uma massa de 1,5kg e enconta-se em epouso. O disco A colide com o disco B, apesentando o disco B, após a colisão, uma velocidade de 4,0m/s numa diecção que faz 0º com a diecção inicial. PP Qual a velocidade final do disco A? UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009

25 PP 6. Uma bola com 0,40kg é atiada conta uma paede de betão. Atinge a paede a 30m/s e após essalta nesta tem uma velocidade de 0m/s. PP 6..1 Detemina o impulso aplicado na bola duante o contacto desta com a paede. PP 6.. Se o contacto ente a bola e a paede dua 0,010s, detemine a foça que a paede exece na bola duante este intevalo de tempo. PP 6.3 Uma ama de fogo com massa igual a 3kg dispaa uma bala com 5g de massa e uma velocidade de 300m/s. Qual a velocidade da ama, consideando que esta está solta. PP 6.4 Uma bala com 5g de massa atinge um bloco de madeia com kg e fica cavada nele. Imediatamente depois do impacto veificou-se que este se desloca com uma velocidade de 0,767m/s. PP Qual a velocidade da bala antes do impacto? PP 6.5 Dois caos deslocam-se em diecções pependiculaes. O veículo A com massa igual a 1000kg desloca-se com uma velocidade 15m/s. O veículo B com massa igual a 000kg desloca-se com uma velocidade de 10m/s. Num cuzamento colidem. PP Detemine a quantidade de movimento total antes da colisão. PP 6.5. Qual a velocidade dos dois veículos sabendo que estes pemaneceam juntos após o embate. UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 3

26 7 Tabalho e enegia Questões teóicas QT 7.1 Qual é o tabalho ealizado po uma foça constante aplicada numa patícula que desceve uma tajectóia fechada? Justifique com base nas leis da física. QT 7. Deduza a expessão paa o cálculo da enegia cinética de uma patícula com massa m que se desloca com velocidade v. QT 7.3 Deduza a expessão paa o cálculo da enegia potencial gavítica de uma patícula com massa m que se enconta a uma cota h. QT 7.4 Num pêndulo gavítico simples, indique os ponto da tajectóia em que a aceleação atinge os valoes máximo e mínimo. Justifique com base no movimento hamónico. A aceleação é nula no ponto mais baixo da tajectóia, quando o afastamento da posição de equilíbio é nulo e é máxima no ponto mais alto da tajectóia quando o afastamento da posição de equilíbio é máximo. A foça F seá dada po: F F = k x = m a k x = m a logo, explicitando a aceleação: a = k m x QT 7.5 Comente e diga justificando se a seguinte afimação é vedadeia ou falsa "O valo da enegia potencial gavítica é o simético do tabalho ealizado pelo conjunto de foças aplicadas no movimento de ascensão do copo." QT 7.6 Diga, justificando, se a afimação é vedadeia ou falsa. "A vaiação da enegia cinética é igual à vaiação da enegia potencial, num sistema isolado em que só actuam foças consevativas". UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 4

27 QT 7.7 Explique o pincípio de consevação da enegia mecânica. Em que situações se veifica. QT 7.8 Num movimento cicula a foça centípeta ealiza tabalho? Explique. QT 7.9 Deduza a expessão paa o cálculo da enegia potencial elástica amazenada numa mola. QT 7.10 No contexto do tabalho e enegia qual é a difeença ente uma foça consevativa e uma foça não consevativa? QT 7.11 Enuncie o pincípio da consevação da enegia mecânica e indique tês aplicações diectas na física mecânica. QT 7.1 Qual é o tabalho ealizado po uma foça constante aplicada numa patícula que desceve uma tajectóia fechada? Justifique com base nas leis da física. O tabalho é nulo. No final da tajectóia, o vecto deslocamento é nulo. W = F QT 7.13 Como detemina o tabalho ealizado po uma foça vaiável ao longo de uma tajectóia ectilínea? QT 7.14 Deduza a expessão paa o cálculo da enegia potencial elástica. QT 7.15 Poque azão a enegia a enegia cinética de um copo com massa m e velocidade v é igual ao tabalho ealizado pela foça que fez o copo adquii essa velocidade e a enegia potencial é igual ao simético do tabalho da foça associada a essa foma de enegia? QT 7.16 Comente e diga justificando se a seguinte afimação é vedadeia ou falsa "O valo da enegia potencial elástica contida numa mola é o simético do tabalho ealizado pela foça que causou a defomação nessa mesma mola." A afimação está eada. A Foça que causa a defomação da mola ealiza um tabalho positivo, pois a mola defoma no sentido em que a foça é aplicada. Quando a mola defoma, afasta-se da sua posição de equilíbio e a enegia potencial elástica nela contida aumenta. Logo ambas as vaiáveis têm o mesmo sinal. UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 5

28 QT7.17 O que são foças não consevativas? Dê dois exemplos. São foças cujo tabalho etia enegia mecânica ao sistema e tansfoma-a nouta foma, po exemplo vibações sonoas ou calo. Como exemplo indica-se a foça de atito desenvolvida po um plano inclinado e foça de esistência aeodinâmica num avião. Poblemas páticos PP 7.1 Um bloco, com 0kg de massa, sobe uma ampa com 10º de inclinação e pecoe 40m até paa. Os coeficientes de atito estático e cinético são espectivamente 0,6 e 0,0. PP Calcule a velocidade inicial do bloco, no instante em que este inicia a subida (esolva segundo as leis do tabalho e enegia). PP 7.1. Veifique se o bloco, após paa, pemanece imóvel ou inicia movimento descendente. 7. Um bloco de 0kg desce um plano inclinado que faz 30º com a hoizontal. A foça de atito tem intensidade de 5N. Qual a velocidade do bloco depois de te pecoido,0m, sabendo que no instante inicial tinha uma velocidade de 10m/s. 7.3 Um pêndulo gavítico tem um cabo com 1,5m de compimento e uma massa de,75kg. Se afastamos a massa da posição de equilíbio como indicada na figua 7.1, detemine: A velocidade no ponto A A velocidade no ponto B O valo da tacção no cabo no ponto B. A Figua 7.1 B C 7.4 Uma esfea maciça, de massa 4kg, está no extemo de uma coda com 1,8 metos de compimento (ve figua 7.). A esfea é abandonada da posição indicada na figua e ao atingi o ponto mais baixo da sua tajectóia, bate num bloco de madeia com 3,8kg de massa que está assente e em epouso sobe a supefície hoizontal. O coeficiente de atito cinético, ente o bloco e a supefície hoizontal é de A B C Figua 7. 0,0. Assumindo que após o impacto a esfea pemanece em epouso, detemine com base no UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 6

29 pincípio da consevação da enegia mecânica e consevação do momento linea o deslocamento sofido pelo bloco. 7.3 Um cainho de massa 1,50kg, passa das posições A e B com velocidade de 6,00m/s e 8,00m/s espectivamente e páa ao chega ao ponto C (ve figua 7.3). Detemine: O tabalho ealizado pelo peso do cainho de A paa B O tabalho ealizado pelas foças esistentes neste mesmo pecuso. Figua A intensidade da foça média esistente no pecuso B paa C sabendo que a distância ente esses dois pontos é de,00m. 7.4 Uma mola de constante elástica 0 N/m está compimida de 4 metos (ve figua 7.4). Após a descompessão de metos, detemine: O valo da enegia cinética da mola O valo da enegia potencial amazenada na mola O valo da foça elástica da mola. Figua Um pêndulo gavítico tem um cabo com 5 centímetos de compimento e na extemidade uma esfea com 300 gamas de massa. Oscila com uma amplitude máxima de 60º Calcule a foça mínima e máxima de tacção que o cabo seá sujeito. UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 7

30 8 Mecânica dos fluidos Questões teóicas QT 8.1 Deduza a expessão paa o cálculo da pessão hidostática em função da pofundidade. QT 8. Deduza a expessão paa o cálculo da foça esultante da acção de um líquido em epouso numa paede vetical com altua H e compimento L. QT 8.3 Deduza a expessão paa o cálculo da foça esultante da acção hidostática de um líquido numa paede plana de um esevatóio que foma um ângulo α com a vetical. Explique poque azão optou po utiliza pessões elativas ou pessões absolutas paa o cálculo da foça. QT 8.4 Deduza a expessão paa o cálculo da impulsão actuante sobe um copo pacialmente imeso num líquido. QT 8.5 Demonste que a pessão num ponto a uma deteminada pofundidade é igual ao peso da coluna de líquido acima do mesmo. QT 8.6 Enuncie o teoema de Aquimedes? Qual é a sua pincipal aplicação? QT 8.7 Deduza a expessão paa o cálculo da distibuição hidostática de pessões. QT 8.8 Na lei de distibuição hidostática de pessões, qual é a difeença ente pessão elativa e pessão absoluta? Refia dois casos de estudos no âmbito da engenhaia civil em que se utilizam estes conceitos de pessão. A difeença ente pessão elativa e pessão absoluta é o valo da pessão atmosféica. No cálculo da acção hidostática na paede de um esevatóio utiliza-se a pessão elativa pois a pessão atmosféica actua no inteio e no exteio. Na veificação da cavitação numa estação elevatóia, utiliza-se a pessão absoluta pois esta analise enta em linha de conta com as passagens de estado da água de liquido paa gás que é função da tempeatua e da pessão absoluta (valo de pessão eal a que as moléculas de H O estão). UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 8

31 QT 8.9 Deduza a equação fundamental da hidostática. QT 8.10 Enuncie po extenso o teoema de Aquimedes? Justifique a citação com base numa fomulação adequada. QT 8.11 Elaboe um esquema do baómeto de mecúio e explique o funcionamento deste apaelho. Justifique com base nos conceitos de mecânica dos fluidos. QT 8.1 Indique como pocedeia paa calcula a massa volúmica de um copo sólido utilizando uma balança dinamómeto e um esevatóio de gandes dimensões cheio de água. QT 8.13 Deduza a expessão paa o cálculo da foça esultante da acção de um líquido em epouso numa paede inclinada com altua H, compimento L e foma um ângulo de 15º com a base do esevatóio. Poblemas páticos PP 8.1 Considee dois copos ligados po um cabo com massa e volume despezáveis que são colocados no inteio de vaso cheio de água e óleo (ve figua 7.1). A massa volúmica do óleo (ρ óleo ) é de 550 kg/m 3. O copo A tem uma massa m A = 3,0 kg e massa volúmica ρ A de 750 kg/m 3. O copo B tem uma massa m B = 1,0 kg e massa volúmica ρ B de 4000 kg/m 3. PP Detemine a pecentagem de volume do copo A que fica imesa na água. m B Figua 8.1 m A PP 8. Com base na figua 8. e tabela 8.1, detemine a altua do copo 1 de modo que o conjunto esteja em equilíbio. UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 9

32 Massa volúmica Peso lagua compimento [g/cm 3 ] [N] [m] [m] Figua 8. Tabela 8.1 PP 8.3 Um tubo em U contém água e cloofómio cuja massa volúmica é de 1,5 g/cm 3 (ve figua 8.3). A altua h é: a) 1,5cm b) 0,cm c) 0 cm d) 35 cm PP 8.4 Paa testa a esistência de um bail adaptou-se-lhe um tubo. Deitou-se água no tubo até 8,40m de altua (ve figua 8.4). Detemine: PP Qual a pessão absoluta nos pontos A (topo) e B (base)? Figua 8.3 PP 8.4. Qual a pessão elativa nos pontos A (topo) e B (base)? PP Sendo 70cm o diâmeto das bases do bail, qual é a foça total execida no ao supeio e no ao infeio, se eles tiveem a lagua de 1cm? PP 8.5 O muo vetical de um depósito etém água até à altua H numa lagua l. PP Faça o diagama da pessão absoluta e elativa em função da pofundidade. PP 8.5. Detemine a expessão da esultante e identifica o ponto de aplicação. Figua 8.4 UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 30

33 PP 8.6 Considee o seguinte esevatóio (ve figua 8.5). Existe uma compota com 0,75m x,00m e aticulada em A. O líquido contido no esevatóio tem uma densidade elativa igual a 1,10. PP Repesente o diagama de pessões elativas sobe o paamento inteio do esevatóio, indicando o seu valo máximo. PP 8.6. O valo da esultante da acção do líquido sobe a compota. Figua 8.5 UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 31

34 9 Centos de gavidade, momentos estáticos e estudo de foças distibuídas Questões teóicas QT 9.1 Qual é a difeença ente cento de gavidade, cento de massa e cento geomético de um copo qualque? Cento de geomético Cento de massa CM Cento de gavidade CG i = VOL i = m Cg = ( VOL ) ( m ) i i ( i mi gi ) ( mi gi ) i i Se o copo tive uma densidade constante e estive sujeito a um campo gavítico constante, os tês são coincidentes. QT 9. Explique o significado de Momento de uma foça em elação a um ponto. Quais são os factoes que influenciam o seu valo. Momento de uma foça em elação a um ponto, taduz o efeito de otação que esta mesma foça causa em tono do espectivo ponto. QT 9.3 Enuncie os dois teoemas de Pappus-Guldin e efia a sua utilidade na engenhaia civil. Poblemas páticos PP 9.1 Considee a secção epesentada na figua 9.1. Utilizando o teoema de Pappus-Guldinius, calcule o volume geado pela otação de 45º em tono do eixo x. PP 9. Calcule a áea da supefície de evolução indicada na figua 9.a e 9.b, que se obtém pela otação de π de um quato de cicunfeência em tono de um eixo vetical. UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 3

35 9,00mm 1,00mm x Figua 9.1 Figua 9.a Figua 9.b PP 9.3 Utilizando os teoemas de Pappus-Guldinius (ve figua 9.3a e 9.3b), detemine: a) o centóide de um semicículo. b) o centóide de uma semicicunfeência. Nota: Volume e a supefície da esfea são 4 π 3 3 e 4 π, espectivamente. Figua 9.3a Figua 9.3b PP 9.4 Com base na figua detemine: PP O momento estático Sx e Sy PP 9.4. O cento de gavidade X G e Y G. PP 9.5 Considee o sistema de foças epesentado na figua 9.5. PP Substituindo o caegamento apesentado po uma única foça, esta seá igual a: l,75 kn l 1,00 kn l 15,75 kn l 18,75kN l Nenhuma das anteioes PP 9.5. A pati da extemidade esqueda da baa, a foça esultante está localizada a: UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 33

36 l 3,54m l 3,444m l 3,115m l 3,385m l Nenhuma das anteioes y 5 kn/m 8 kn/m O x 1,50m 3,50m Figua 9.4 Figua 9.5 UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 34

37 10 Eixos pincipais de inécia, inécias máximas e mínimas Questões teóicas QT 10.1 Enuncie a extensão do teoema dos eixos paalelos e indique a sua utilidade no cálculo dos eixos pincipais de inécia. QT 10. Pove que numa viga sujeita a um estado de flexão pua, o momento flecto é dado po M = k x I x Poblemas páticos PP 10.1 Considee a figua PP Detemine o momento de inécia da supefície sombeada elativamente aos eixos x e y. PP Detemine os momentos pincipais de inécia da secção em O. PP Detemine a oientação dos eixos pincipais de inécia da secção em O. PP 10. Considee a figua e detemine: PP O momento estático S x e S y. PP 10.. O cento de gavidade X G e Y G. PP O momento de inécia da supefície sombeada elativamente aos eixos x e y indicados Os momentos pincipais de inécia da secção em O. y y 3,00mm 10,00mm 6,00mm 8,00mm 5,00mm O 6,00mm x O 6,00mm x Figua 10.1 Figua 10. UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 35

38 11 Podutos de inécia e Cículo de Moh Questões teóicas QT 11.1 Explique o significado de momento de inécia, momento pola de inécia, aio de giação e poduto de inécia. QT 11. Desenhe qualitativamente o Ciculo de Moh paa a seguinte secção. Identifique apoximadamente os eixos pincipais de inécia na secção e no Cículo de Moh. y x QT 11.3 Explique a utilidade do cículo de Moh. Indique um exemplo pático de utilização na engenhaia civil. Poblemas páticos PP 11.1 Com base na seguinte figua 11.1, detemine: PP As coodenadas do cento de gavidade. PP Os momentos estáticos Sx e Sy. PP Os momentos de inécia axiais Ix e Iy. PP O momento pola de inécia Io. PP O poduto de inécia Ixy. PP Os eixos pincipais de inécia e espectivas inécias máximas e mínimas. PP Os momentos pincipais centais de inécia e espectivos eixos. UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 36

39 PP Repesente o cículo de Moh. y R0,10m 0,40m 0,0m x Figua 11.1 UNIVERSIDADE DO ALGARVE LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 008/009 37