Introdução ao Magnetismo

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1 Introdução ao Magntismo Albrto Passos Guimarãs Cntro rasiliro d Psquisas Físicas IV Escola rasilira d Magntismo São Carlos, 4//003 apguima@cbpf.br -

2 Rotiro Part I. O fnômno do magntismo. Momnto angular magntização 3. Momntos magnéticos localizados Part II 4. Magntismo m mtais 5. A curva d magntização 6. Mcânica statística magntismo 7. Magntismo dimnsionalidad 8. Unidads -

3 Part I -3

4 Jornal Nacional //003 Cintistas dizm qu fim d smana srá d muitas altraçõs na atmosfra Mtorologistas finlandss anunciaram qu a Trra foi atingida ontm à noit por novas tmpstads solars. O fnômno confundiu satélits provocou auroras borais até o sul dos Estados Unidos. A prvisão dos cintistas é d qu o fim d smana srá d muitas altraçõs na atmosfra. As tmpstads solars são causadas plo ncontro d partículas ltricamnt carrgadas do sol com o campo magnético da Trra. Suspita-s qu, m outubro, las triam sido rsponsávis por um blcaut qu prjudicou 50 mil pssoas na Suécia. -4

5 Manchas solars campos magnéticos Imagns do Sol m 0//03: ) Imagm com 6 nm, ) Campos magnéticos -5

6 Escalas dos fnômnos magnéticos Sistmas físicos com dimnsõs muito difrnts aprsntam propridads magnéticas Elétron Galáxia M5: as barras indicam dirção intnsidad do campo magnético -6

7 Escala dos campos magnéticos Campo magnético (T) -7 cérbro galáxia coração Trra ímãs prmannts campo no núclo do F maior campo xprimntal strlas d nêutrons Os campos magnéticos obsrvados no Univrso variam numa ampla scala

8 Magntismo corrnt létrica Linhas d força do campo dvido a fios transportando corrnt, visualizadas com limalha d frro (M. Faraday (Phil. Trans. (85)) -8

9 Gravação magnética A gravação magnética é uma das mais importants aplicaçõs práticas do magntismo Dnsidad dobrou a cada anos dsd os 950s! -9

10 Magntismo srs vivos actérias magntotáticas aprsntam pqunos cristais magnéticos Tipos d cristais ncontrados m bactérias -0

11 Portadors intração no magntismo O magntismo da matéria surg ssncialmnt dos létrons, qu contribum com dois trmos: orbital d spin. Os sistmas rlvants para o magntismo são aquls nos quais xistm a) átomos com camadas ltrônicas incompltas, b) létrons d condução. A ordm magnética surg da intração d troca (ou intrcâmbio), intração d origm ltrostática. -

12 . O fnômno do magntismo Um campo magnético xist quando um objto com carga létrica q vlocidad v sofr a ação d uma força (Força d Lorntz) dada por: F qv A Li d Ampèr rlaciona a dnsidad total d corrnts J t com o campo : rot µ 0J t Uma corrnt i qu circula num circuito d ára A produz um dipolo magnético d momnto m: m ianˆ n é o vtor unitário da dirção prpndicular à ára A. -

13 A magntização M é dada pla soma d momntos d dipolo, dividida plo volum V: M i m i / V O momnto d um lmnto d volum é dm M dx dy dz Podmos associar uma corrnt i a m m i' A ; dm i'dxdy dm Mdv i' Mdz A corrnt i (figura) por unidad d ára: i' dydz i' da' J' M dy -3

14 A componnt x da dnsidad d corrnt fica Como M M J' x + dy dy M M( y ); M M( y + dy ) M( y ) M( y + J' x + dy dy dy ) J' x M y M y z Rptindo o procdimnto para a componnt M y obtmos outro trmo: J' x M y z M z y -4

15 Juntando as componnts x, y, z, rsulta J ' rot M O campo rsulta das corrnts usuais i das corrnts i (amprianas) Aplicando a Li d Ampèr: Eliminando J rot µ ( J + 0 J' ) J rot M µ 0 Finalmnt, a rlação ntr, H M ( H M ) µ + 0 (µ 0 4π 0-7 H m - ) -5

16 S M é proporcional a H num dado mio, µh µ é a prmabilidad do mio. A prmabilidad rlativa µ r é dfinida m rlação à prmabilidad do vácuo µ 0 µ r µ / µ 0 A susctibilidad é dfinida por χ M / H Com µ / H µ + χ r -6

17 Campo d dsmagntização É o campo qu surg da dscontinuidad d M. O campo H total é H H 0 H d H 0 N d M Forma Dirção N d No caso gral, H d varia d ponto a ponto N d é um tnsor. No caso d amostra lipsoidal isotrópica, N d é o fator d dsmagntização Plano Plano Cilindro(l/d) Cilindro(l/d5) Cilindro longo Esfra z - 0 0,7 0,04 0 /3-7

18 . Momnto angular magntização Uma carga prcorrndo um ωπr círculo com frqüência angular µ Iπr ω tm momnto magnético µ: ωr π O momnto angular (nss caso, orbital) é L r m v A rlação ntr momnto angular magnético é portanto µ m L -8

19 S scrvrmos o momnto m função do momnto angular total JL+S, trmos µ γhj (γ - razão giromagnética) γ / m momnto angular orbital puro ou fator g γh / µ γ / m momnto angular d spin puro ou fator g γh / µ h 4 - µ µ 9, 7 0 J T (magnton d ohr) m Um létron qu só tnha momnto angular d spin (γ-/m ) tm um momnto magnético igual a magnton d ohr -9

20 Classificação gral dos matriais quanto ao magntismo Diamagnéticos: rplidos por uma rgião d campo mais intnso Paramagnéticos: atraídos por uma rgião d campo mais intnso Frromagnéticos: fortmnt atraídos por uma rgião d campo mais intnso Diamagnéticos: χ< 0: tipicamnt χ ~-0-6 µ r < Paramagnéticos: χ > 0: tipicamnt χ ~ 0-5 µ r > Frromagnéticos:χ>> 0: tipicamnt χ ~ 0 4 µ r >> -0

21 - Um létron num campo magnético tm nrgia dada por m g E s M µ µ m s ±/ A hamiltoniana d um átomo com Z létrons é dada por + Z i i i V m p 0 H Na prsnça d um campo S A p µ Z i i i g V m ] [ H

22 - Com o campo ligado ao potncial vtor A por r ; rot A A Usando L p r r p h i i Z i i Z i i Rsulta ( ) µ + Z i Z i i i m ) g ( V m p r L S H

23 3. Momntos magnéticos Diamagntismo localizados O diamagntismo é um fito obsrvado m qualqur amostra. Nos casos m qu não há paramagntismo ou frromagntismo, l é prdominant. O diamagntismo pod sr ilustrado classicamnt mprgando a Li d Lnz, mas d fato é um fito quântico. O diamagntismo rsulta do último trmo da hamiltoniana acima. Com o campo parallo a z, ( x r)(-y, x, 0) ( r ) ( xi + yi A variação da nrgia com a prsnça do campo é ) Z E < 0 ( xi + yi ) 0 > 8m i -3

24 Z E < 0 ri 0 > m A magntização pod sr calculada da nrgia livr F (vid Part II) i M F N V E N 6m Z < ri > i A susctibilidad diamagnética fica portanto χ M / H N µ 6m 0 Z < ri > i -4

25 Diamagntismo: xmplo Diamagntismo: lvitação d uma rã (Gim 996) -5

26 Momnto atômico total Dois trmos do momnto magnético z m z µ L µ L µ S S µ m J m Como os fators g são difrnts, o momnto magnético total não tm a dirção do momnto angular total µ, qu pod sr scrito: m L m S µ µ J + ' µ L A part paralla a J é scrita J µ J J gµ S -6

27 Da figura, pod s obtr µ L J µ J J µ S J J Usando L J ( J + L S ) S J ( J + S L ) Rsulta Com g + J ( J g - fator d Landé + ) + S( S + ) J ( J + ) µ J gµ J L( L + ) µ J µ J ( J + ) g -7

28 Paramagntismo A intração d um momnto µ J com um campo é dada por H µ J Com nrgias E g M µ M J As probabilidads d ocupação dos stados rotulados por J são P( M J ) xp( E M xp( E J M / J kt ) / kt ) M J -8

29 N N Para o caso J/, as nrgias são E E +µ µ As fraçõs d létrons com spin -/ +/ são µ / kt µ / kt + µ A magntização é M V Ou, substituindo x: / kt ( N µ N N N µ µ ) / kt µ V + µ / kt µ ( N / kt N x µ / kt N N + N ) M V µ N µ µ / kt / kt + µ µ / kt / kt V µ N x x + x x -9

30 M nµ tgh( x ) nµ µ tgh kt No caso gral, para J qualqur, a magntização é M ng µ J J ( x ) Ond J (x) é a função d rillouin: ( x ) ( + )cot gh[( + )x ] cot gh( J J J J J x ) Como x para J qualqur é igual a Nas situaçõs m qu x gµ J / kt x gµ J kt << -30

31 ou sja, alta tmpratura ou baixo campo, pod s aproximar x cot gh( x ) x 3 A magntização fica J + J ( x ) x 3J M n < µ z J > ng µ J( J 3kT + ) d z < µ J > gµ J J ( x ) E a susctibilidad M χ µ 0 H M C T Com C dado por C µ ng µ J( J ) 0 + C é constant d Curi -3

32 Paramagntismo: xmplo Momnto magnético d sais d Gd, F Cr, m função d /T α x. -3

33 Frromagntismo Paramagntismo: z < µ > g J ( x ) x gµ J / kt J µ J M n < µ z J > Frromagntismo: além do campo aplicado, tmos um campo médio m dvido aos outros momntos magnéticos. No caso mais simpls (campo molcular) m é proporcional à magntização. x' gµ J( + m ) / kt z λm λn < µ > λng J ( x' ) Eq. - m J µ J Para 0, x fica: x' z gµ Jλn < µ J > / kt Eq

34 Da Eq. - z < µ J > gµ J J ( x' ) Da Eq. - z x' < µ J > Eq. -3 gµ Jλn < µ > / kt z J Para s obtr a curva d momnto vrsus campo é ncssário rsolvr o sistma d quaçõs acima. -34

35 Podmos calcular a tmpratura para a qual a magntização s anula a tmpratura d Curi. Para pqunos valors d x J + J ( x' ) x' 3J com x' z gµ Jλn < µ J > Substituindo na xprssão do momnto magnético < µ Usando a Eq. -3 z J Rsolvndo para T: > gµ gµ J J J ( x' ) J + x' 3J gµ gµ J x' Jλn / J + x' 3J kt / kt T C g µ nλj( J 3k + ) T C é a tmpratura d Curi -35

36 Frromagntismo: xmplo Magntização /susctibilidad do Gd mtálico -36

37 Rsumo Part I. O magntismo stá prsnt m todas as scalas d tamanho m muitos fnômnos naturais. Os matriais dvm suas propridads magnéticas ssncialmnt aos momntos orbital d spin dos létrons. A ordm magnética s dv a uma intração ltrostática (troca). 3. O campo é dvido à soma dos fitos d H d M ( H M ) µ A classificação mais ampla d matriais é: diamagnéticos, paramagnéticos frromagnéticos 5. O paramagntismo pod sr dscrito d forma smi-clássica (rillouin) o frromagntismo pod sr dscrito com modlo d campo molcular (Wiss) -37

38 Part II -38

39 4. Magntismo m mtais Os momntos magnéticos nos mtais não são dados por númros intiros d magntons d ohr F Co Ni Momnto total Momnto 3d Momnto 4s (Wohlfarth 980) -39

40 Formação d bandas ou faixas Enrgias disponívis para os létrons do F mtálico vrsus sparação ntr átomos. -40

41 Paramagntismo do gás d létrons livrs Dnsidad N(E) para 0 0 Elétrons livrs contidos num volum V têm stados disponívis d nrgia E dados pla dnsidad d stados N(E): N( E ) 3 m 4πV E h -4

42 Intgrando sobr todos os stados ocupados até a nrgia máxima (E F ) achamos o númro total d létrons N: N 0 E F N( E )de 8 3 πv m 3 4πV E / F 3 h Númro d létrons por unidad d volum n N / V Númro d létrons com spin para cima para baixo EF n n( E + µ )de µ EF n n( E µ )de µ 0 0 E E F F +µ µ n( n( E )de E )de -4

43 Magntização do gás d létrons Magntização: M µ ( n n ) M µ ( n n ) µ + 0 EF +µ 0 { n( E )de n( E )de } E µ F µ E E F F +µ µ n( E )de Para µ / E F pquno a intgral é igual ao intgrando no ponto E F vzs µ, M fica M µ n( E F ) -43

44 O critério d Stonr Intração ntr a magntização do gás o campo molcular: E ( n n ) ( n n ) ( n n ) m λµ λµ M µ λµ ( n 4n n ) O trmo qu nvolv n n é E Un n com U λµ -44

45 Variação da nrgia magnética d 0 para 0 E m 4 Un n U n U( n n ) Variação da nrgia cinética E k ( n n ) δe Variação total da nrgia E T E m + E k n ) U( n + ( n n ) δe -45

46 Usando n( E ) δ E F ( n n ) Obtmos E T ( n n ) ( n n ) U Un( E ) Un( E ) [ ] [ Un( E )] F F F Dond S [ Un( E )] > 0 E é mínimo para M F S [ Un( E )] < 0 E é mínimo para M F T T 0 0 Finalmnt Un( E ) < 0 F Critério d Stonr -46

47 -47 Modlo Stonr Campo total agindo sobr os létrons (hipóts d campo molcular) M xt λ + Com xt 0 ) n ( n M λµ λ n ) n ( n ' k µ θ k n ' µ λ θ As nrgias das sub-bandas no campo molcular são n ) n ( n ' k E E k θ n ) n ( n ' k E E k θ +

48 Introduzindo a função d Frmi-Dirac f(e) para dar conta da variação da ocupação dos stados com T, f ( E ) xp[( E µ ) / kt ] + os númros d létrons com spin para cima para baixo ficam n n Escrvndo 0 0 n( n( E ) f E ) f ( ( E E µ + µ 0 0 kθ' ( n kθ' ( n ζ ( n n ) / n M / nµ Obtmos para o númro total d létrons n n ) / ) / n )de n )de n 3 4 kt E F 3/ kθ' ζ + µ F kt + kθ' ζ + µ F kt -48

49 Finalmnt, a partir do númro d létrons com spin para cima para baixo, obtmos a magntização no modlo Stonr M 3 4 nµ kt E F 3/ kθ' ζ + µ F kt kθ' ζ + µ F kt Curvas d M(T/T C ) calculadas numricamnt para difrnts valors do parâmtro d campo molcular λ (ou θ ). -49

50 5. A Curva d Magntização O rgistro da magntização M fazndo variar H d +H max até -H max d volta até +H max, é chamado ciclo d histrs. Grandza SI CGS Corcividad (força corciva) H C OE Am - O Rtntividad (rmanência) M r OD Am - G -50

51 O procsso d magntização Curva d magntização virgm: três rgiõs, caractrizadas por difrnts mcanismos físicos: ) aumnto da magntização por dslocamnto rvrsívl d pards d domínios, ) magntização por dslocamntos irrvrsívis das pards, 3) rotação da magntização (rvrsívl irrvrsívl). -5

52 Matriais Magnéticos d Uso Prático Matriais Magnéticos Matriais Magnéticos Macios aços baixo carbono ligas frro-silício ligas frro-cobalto ligas níqul-frro amorfos nanocristalinos frritas macias Matriais Magnéticos Intrmdiários γ-f O 3 CrO Co-γ-F O 3 frrita d bário Matriais Magnéticos Duros alnico SmCo 5 Sm(CoCuFZr) 7 Nd F 4 R F 7 N 3 frritas duras H c <0 3 Am - H c >0 4 Am - -5

53 Corcividad anisotropia d alguns matriais -53

54 6. Mcânica Estatística Magntismo Enrgia d um spin ½ no campo E E +µ µ + E E mag mag A nrgia total do sistma d N spins é E N E N E ( N N )E ( i i p ) E mag mag mag p N / N O númro total d arranjos dos N spins é dado plo pso statístico Ω( N ) N!( N! N N )! -54

55 Podmos dfinir o grau d dsordm d um sistma pla ntropia S S k ln Ω Substituindo a xprssão d Ω, obtmos para a ntropia S S( N ) k ln N!( N! N N A tmpratura é dfinida pla drivada (E é a nrgia) )! S E V T Podmos xpandir o fatorial usando a fórmula d Stirling ln N! N ln N N -55

56 -56 A ntropia S fica ntão )] N N )ln( N N ( ln N N N ln N k[ ) N ( S Usando a dfinição d tmpratura E mag N N N k ln E N N ) N S( T Dpois d uma manipulação algébrica, obtmos a fração d létrons com spin para cima, o msmo rsultado obtido na Sção 3, usando a função d oltzmann x x x N N p +

57 O dnominador é a função d partição Z Z x + x Cuja forma mais gral é Z m E m / kt m βe m com β / kt A nrgia livr F pod sr dfinida a partir d Z F kt ln Z Para um sistma cuja magntização tm valors M m, intragindo com um campo, a função d partição Z é Z m β M ( m ) -57

58 A soma é fita sobr os stados m. A magntização M (média térmica) é calculada usando Z: M M Z m m β( M ) m βz Z kt ln Z Substituindo a xprssão S kt ln Z Chgamos ao rsultado da média térmica d M: M S -58

59 7. Magntismo Dimnsionalidad As propridads magnéticas das amostras dpndm da sua dimnsionalidad, isto é, s stas s aprsntam como um sólido d três dimnsõs, ou s, x., aprsntam-s como um film fino (bidimnsional). Nas amostras não volumosas, uma ou mais das suas dimnsõs podm tr grandza msoscópica ou nanoscópica. A dpndência com dimnsionalidad é spcialmnt important quando as dimnsõs mnors s aproximam das dimnsõs dos domínios, ou mais além, quando são da ordm das dimnsõs atômicas. Sgundo a dimnsionalidad, as amostras são a) granulars (quas zro-dimnsionais); b) nanofios (unidimnsionais); c) films finos (bidimnsionais); d) volumosas ou massivas (tridimnsionais). -59

60 Momntos magnéticos dimnsionalidad Momntos magnéticos d Ni F m µ : D Zro Um Dois Três Ni,0, 0,68 0,56 F 4,0 3,3,96,7 Momntos magnéticos d Ni F m µ para difrnts dimnsõs: zro (átomo livr), um (cadia d átomos), dois (film) três (volum) (Song Kttrson 99). -60

61 T C d films ultra-finos Razão ntr as tmpraturas d ordnamnto magnético (T C ) d films ultra-finos T C dos corrspondnts matriais massivos, m função da spssura, mdida m númro d monocamadas atômicas. (Gradman 993). -6

62 8. Unidads Unidads d bas: mtro (m), quilograma (kg), sgundo (s), ampèr (A), klvin (K), mol (mol) candla (cd). O ampèr é a unidad básica d corrnt létrica. É a corrnt qu ao prcorrr dois condutors parallos d comprimnto infinito sção rta dsprzívl, sparados por uma distância d m no vácuo, produz ntr ls uma força d 0-7 N por mtro d comprimnto. Unidads drivadas d intrss, qu têm um nom spcial: wbr (Wb): fluxo magnético hnry (H): indutância (quivalnt a Wb A-) tsla (T): dnsidad d fluxo magnético (quiv. a Wb m-) -6

63 O campo H (intnsidad d campo magnético) não tm uma unidad com nom spcífico; é mdido m ampèrs por mtro (A m - ). A indução magnética ou dnsidad d fluxo magnético (ou simplsmnt `campo ) é mdida m tsla (T). No vácuo, (tsla) H (ampèr por mtro) s rlacionam por um fator µ 0 4π 0-7 H m - (prmabilidad magnética do vácuo): µ H 0-63

64 Rlação ntr SI CGS Rlação ntr algumas grandzas nos dois sistmas: µ µ r r + χ + SI 4πχ CGS χsi 4πχ CGS µ + 0 ( H M ) (SI) H + 4πM (CGS) Rlação ntr algumas unidads G 0-4 T O mu g A m 4π - - J T kg 80 A m - -64

65 Rsumo Part II. O magntismo dos mtais pod sr dscrito por um modlo d létrons itinrants; no frromagntismo o modlo d Stonr usa um campo molcular. O critério d Stonr dá a condição para xistir frromagntismo Un( E ) < 0 3. A forma da curva d histrs rflt a ação d procssos rvrsívis irrvrsívis. Dssa curva s xtram a corcividad a rtntividad F 4. Da xprssão da ntropia d um sistma podmos xtrair sua magntização S M 5. A dimnsionalidad das amostras afta su magntismo -65

66 Grupos d Magntismo no rasil Grupo d Magntismo do CPF (LAMAG) Armando Y. Takuchi Elis Sinnckr Flavio Garcia Graldo Crnicchiaro Ivan S. Olivira Luiz C. Sampaio Robrto Sarthour Albrto P. Guimarãs (asado m S.M. Rznd (000)) -66

67 Fim ibliografia S. lundll, Magntism in Condnsd Mattr, Oxford (00). A.P. Guimarãs, Magntism and Magntic Rsonanc in Solids, Wily (998). -67