Propriedades Magnéticas de Elétrons Itinerantes em Redes Triangulares

Transcrição

1 SCINTIA PLNA VOL, NUM 5 wwwscintiaplnaorgbr Propridads Magnéticas d létrons Itinrants m Rds Triangulars (Magntic Proprtis of Itinrant lctrons in Triangular Lattics André N Ribiro Cláudio A Macdo Dpartamnto d Física, Univrsidad Fdral d Srgip 9- São Cristóvão, S, Brasil aribiro@fisicaufsbr (Rcbido m d março d 5; acito m 5 d março d 5 A invstigação das propridads magnéticas d sistmas d létrons itinrants tm sido objto d norm intrss da física statística dsd o surgimnto da toria quântica Durant todo ss tmpo houv importants progrssos na comprnsão d divrsos sistmas, mas pouco sforço foi mprgado na lucidação das propridads spcíficas d sistmas m rds com struturas triangulars qu aprsntam frustração nas corrlaçõs antifrromagnéticas Visando contribuir para o ntndimnto dsss sistmas, aplicamos o método da quação d movimnto da função d Grn ao modlo d Hubbard para calcular a dnsidad d stados as propridads trmodinâmicas magnéticas d um sistma paramagnético com banda mio-chia nos casos d rd triangular d rd cúbica d fac cntrada (fcc Dtrminamos a nrgia intrna a suscptibilidad magnética m função da tmpratura (T da intração coulombiana intra-sítio (U Os rsultados mostram a fort dpndência das grandzas xaminadas com T com o U Particularmnt, xplicitamos a dpndência da tmpratura crítica (T c com U na transição frromagnética-paramagnética, o valor crítico da intração (U c a partir do qual o sistma pod aprsntar frromagntismo Palavras-chav: propridads magnéticas, modlo d Hubbard, rds triangulars Th invstigation of th magntic proprtis of itinrant lctron systms has bn objct of normous intrst of statistical physics sinc th bginning of quantum thory During all this tim it has important progrss in th undrstanding of divrs systms, but littl ffort was usd in th lucidation of th spcific proprtis of systms in lattics with triangular structurs that prsnt frustration in antifrromagntic corrlations In ordr to contribut to a bttr undrstanding of ths systms w us th mthod of th quation of motion of th Grn function on th Hubbard modl to calculat th dnsity of stats and th magntic thrmodynamic proprtis of a paramagntic systm with half-filld-band in th cass of triangular and fac cntrd cubic (fcc lattics W dtrmin th intrnal nrgy and th magntic suscptibility in function of th tmpratur (T and th on-sit Coulomb rpulsion (U Th rsults show th strong dpndnc of th xamind quantitis with T and U Particularly, w xplicit th dpndnc of th critical tmpratur (Tc with U in th frromagntic-paramagntic transition, and th critical valu of th intraction (Uc from which th systm can prsnt frromagntism Kywords: magntic proprtis, Hubbard modl, triangular lattics INTRODUÇÃO A invstigação das propridads trmodinâmicas d sistmas magnéticos d létrons itinrants tm sido objto d norm intrss da física statística dsd o surgimnto da toria quântica Durant todo ss tmpo houv importants progrssos na comprnsão d divrsos sistmas, mas pouco sforço foi mprgado na lucidação das propridads spcíficas d sistmas m rds com struturas triangulars qu aprsntam frustraçõs antifrromagnéticas Visando contribuir para o ntndimnto dsss sistmas, aplicamos o método da quação d movimnto da função d Grn ao modlo d Hubbard para calcular a dnsidad d stados as propridads trmodinâmicas magnéticas para um paramagnto com banda mio-chia, nos casos d rd triangular d rd cúbica d fac cntrada (fcc O método da quação d movimnto da função d Grn para aplicação m sistmas magnéticos d létrons itinrants foi originalmnt mprgado por Hubbard m 96,

2 A N Ribiro, C A Macdo, Scintia Plna (: -5, 5 basando-s no trabalho d Zubarv Trata-s d um método sguro qu tm sido mprgado rgularmnt na invstigação d propridads trmodinâmicas d sistmas magnéticos d létrons itinrants -5 O modlo d Hubbard m sua vrsão mais simpls dscrv os fitos d corrlação dos létrons m uma rd cristalina considrando-s uma banda s como hipotticamnt strita O hamiltoniano do modlo ( consist d duas parts: o trmo qu xprssa a dinâmica ltrônica intrsítios ( hopping, caractrizado pla intgral d transfrência ltrônica t ntr sítios vizinhos o trmo d rpulsão coulombiana intra-sítio, rprsntado pla nrgia U H t c c U n n ( i j < i, j>, i i i m qu c i, c i, são os opradors d criação dstruição, rspctivamnt; ±, ou, indica o spin; n i é o oprador númro d ocupação das partículas com spin no sítio i é xprsso por ni ci ci ss trabalho stá organizado da sguint forma: na sção é dscrito o método da quação d movimnto da função d Grn, as grandzas calculadas os rsultados obtidos são aprsntados na sção Nós ncrramos com a conclusão na sção O MÉTODO DA QUAÇÃO D MOVIMNTO DA FUNÇÃO D GRN O método da quação d movimnto qu mprgamos no dsnvolvimnto dst trabalho é basado na técnica d funçõs d Grn dscrita por Hubbard Zubarv, As funçõs d Grn rtardada ( avançada (- são dfinidas por ( ± << A( t; >> miθ[ ± ( t ] < [ A( t, ] η >, ( m qu [A,B]η AB - ηba, η ±, θ(x é a função tta d Havisid θ(x s x > θ(x nos outros casos stas funçõs d Grn satisfazm a quação d movimnto d ± i << A( t; >> δ ( t < [ A( t, t] η > << [ A( t, H ]; >> dt ( ( ± ( Como <<A(t;>>(± são funçõs d t - apnas, nós podmos dfinir as transformadas d Fourir ( ± ( it A; B A( t; dt ± << >> << >> π ( A partir d ( ( pod sr mostrado qu << A; B >> < [ A, B] > << [ A, H ]; B >>, (5 η π i( t t A( t i lim [ A; B A; B ] < > << >> iε << >> iε ε β ( µ d η Rsolvndo o problma d corrlação como dscrito por Hubbard, usando G ij ( << ci ; c j >> (η- fazndo a aproximação dscrita por Zubarv ncontra-s através da transformação d Fourir G ij ( N G (, xp[ i ( R i R j ], T U ( n G (, (7 πn ( ( T U n U ( T m qu N é o númro d sítios, é a nrgia d létrons corrspondnt ao stado d Bloch (, é o vtor d onda Os valors d para uma rd triangular 6 uma rd fcc 7 são dados, rspctivamnt, por x ( (8 ( t cos x cos cos y (6

3 A N Ribiro, C A Macdo, Scintia Plna (: -5, 5 y x y z x t cos cos cos cos cos cos z ( (9 A xprssão (7 é uma função racional pod sr rsolvida mdiant fraçõs parciais Dss modo ( ( A A, ( ( ( m qu < são as duas raízs d para A G (, ( ( πl ( ( T U n U ( T, T U ( ( ( ( ( n A ( ( T U( n ( ( DNSIDAD D STADOS PROPRIDADS TRMODINÂMICAS MAGNÉTICAS Calculamos a dnsidad d stados as propridads trmodinâmicas magnéticas para o modlo d Hubbard no caso mio-chio paramagnético, isto é, n n A nrgia intrna a suscptibilidad magnética foram calculadas m função da tmpratura (T da intração coulombiana intra-sítio (U, com o númro d sítios NL d, m qu L é igual a d é a dimnsão da rd A dnsidad d stados, foi dtrminada com L para a rd triangular L para a fcc A DNSIDAD D STADOS A dnsidad d stados é dfinida como { ( i lim G (, iε G (, ε } i ε m qu a soma m é fita sobr a primira zona d Brillouin Substituindo ( nssa xprssão, tmos ( ( ( ( ( N { A [ ] A [ ]} δ δ A figura mostra a dnsidad d stados com para U U para as rds triangular fcc Obsrvando-s as curvas obtidas, pod-s concluir qu ssas rds não possum simtria partícula-buraco, uma caractrística d rds qu possum frustraçõs, portanto µ U (µ potncial químico dos létrons, situação qu difrncia ssas rds m rlação às rds quadrada cúbica, qu no caso mio-chio, µ U/ Dpndndo do valor d U tanto a rd triangular quanto a fcc aprsntam uma sparação (gap da banda d nrgia ltrônica m duas sub-bandas, indicando uma transição mtal-isolant 5 TRIANGULAR U/t U/t U/t /t,, U/t,8,6 U/t U/t,,, /t Figura : Dnsidad d stados

4 A N Ribiro, C A Macdo, Scintia Plna (: -5, 5 B NRGIA INTRNA A nrgia intrna é dada por i > lim G (, iε G (, iε ( f ( d, < ε, { } m qu f ( é a função d Frmi Substituindo (, obtmos para o caso paramagnético d banda smi-chia ( ( ( ( ( ( N ( A f ( ( A f ( { } O gráfico d <> m função da tmpratura para alguns valors d U é mostrado na figura O aumnto da nrgia com U é natural considrando-s qu o trmo d rpulsão coulombiana é positivo no hamiltoniano ( A rgião d valors d T m qu a nrgia para U é maior do qu para U8, no gráfico da rd fcc, xprssa uma situação d mudança d corrlação magnética provocada plo valor d U <>/N t 8 TRIANGULAR B U/t8 U/t U/t5 <>/N t,,9,6,, -, 5 B U/t8 U/t U/t5 Figura : nrgia intrna <> C SUCPTIBILIDAD MAGNÉTICA Na rgião paramagnética a suscptibilidad stática uniform é dada por Ng µ B χ χ, V Uχ m qu β ( µ f ( N χ Un Ng µ /Vχ TRIANGULAR U/t6 U/t8,,,8,,6, B Ng µ / V χ 6 5 U/t U/t8,,5,,5,,5, B T Figura : Invrso da suscptibilidad magnética χ

5 A N Ribiro, C A Macdo, Scintia Plna (: -5, 5 5 A partir dssas xprssõs foram obtidos os gráficos da figura Através da figura é possívl notar qu a partir d um crto valor crítico U c a curva do invrso da suscptibilidad tnd a tr valors ngativos Como a suscptibilidad paramagnética não pod sr ngativa, isso significa qu para tmpraturas mnors qu a tmpratura T c (tmpratura m qu o invrso da suscptibilidad s anula, a rd torna-s frromagnética A figura mostra a rlação ntr T c U Obsrvando o gráfico da figura ncontramos qu o valor U c para a rd triangular é 6 nquanto qu para a fcc é Tc TRIANGULAR U/t Figura : Rlação ntr T c U CONCLUSÕS As curvas d dnsidad d stados calculadas mostram qu dpndndo do valor d U, tanto a rd triangular quanto a fcc aprsntam uma sparação (gap da banda d nrgia ltrônica m duas sub-bandas indicando uma transição mtal-isolant Os rsultados mostram a fort dpndência das grandzas xaminadas com T com o U Particularmnt, xplicitamos a dpndência com U da tmpratura crítica (T c d transição frromagnética-paramagnética, o valor crítico da intração (U c a partir do qual o sistma pod aprsntar frromagntismo 5 AGRADCIMNTOS Os autors agradcm ao PIBIC/CNPq-UFS a FAP-S plo apoio financiro HUBBARD, J lctron Corrlations in Narrow nrgy Bands Proc Roy Soc A 76: 8-57, 96 ZUBARV, D N Doubl-tim Grn functions in statistical physics Sov Phys Usp (: -5, 96 IZUYAMA, T; KIM, D J; KUBO, R Band thortical intrprtation of nutron diffraction phnomna in frromagntic mtals J Phys Soc Japan 8 (7: 5-, 96 KISHOR, R; JOSHI, S K lctron corrlation in frromagntism Phys Rv 86 (: 8-9, L-JAICK, L J; TROPR, A; GOMS, A A Rmars on th frromagntic solutions of th xtndd Hubbard modl Phys Stat Sol (b 99: 97-7, 98 6 HANISCH, T; KLIN, B; RITZL, A; MÜLR-HARTMAN, Frromagntism in th Hubbard modl: instability of th Nagaoa stat on th triangular, honycomb and Kagom lattics Ann Physi : -8, JLITO, R J Th dnsity of stats of som simpl xcitations in solids J Phys Chm Solids : 69-66, 969