O MÉTODO DOS OPERADORES NA EQUAÇÃO DE LEGENDRE (The operators method for Legendre equation)

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1 O MÉTODO DOS OPERADORES NA EQUAÇÃO DE LEGENDRE (Th oprators mthod for Lgndr quation) Mario Goto Dpartamnto d Física Cntro d Ciências Exatas Univrsidad Estaal d Londrina Londrina - PR Publicado na Rv. Bras. d Ens. d Física v16, (1994) Abstract W show that th factorization mthod can b applid to solv Lgndr quation, introcing raising and lowring oprators which act on orbital angular momntum ignstats (Lgndr polynomials). Using th factorization mthod, w can rc a scond ordr diffrntial quation to a pair of first ordr ons, that ar mor asily intgratd. Rsumo Mostra-s qu o método d fatoração pod sr aplicado com vantagm à quação d Lgndr, obtndo-s opradors d lvantamnto abaixamnto d índic qu atuam sobr auto-stados d momnto angular orbital (polinômios d Lgndr). O método d fatoração prmit rzir uma quação difrncial d sgunda ordm a um par d quaçõs difrnciais d primira ordm, d intgração mais fácil. 1 Introção No quacionamnto d um problma físico nvolvndo sistmas contínuos, tanto m nívl clássico como quântico, o rsultado é um sistma d quaçõs 1

2 difrnciais parciais, m gral d sgunda ordm. Equaçõs difrnciais parciais ligadas a alguns modlos spcíficos, sob crtas condiçõs d contorno d simtria, podm sr submtidas a sparação d variávis, rzindo-s a conjuntos d quaçõs difrnciais ordinárias. Como stas quaçõs são comuns a uma variada gama d sistmas físicos difrnts, o studo a obtnção das suas soluçõs são fitos xaustivamnt m física-matmática [1, 2, 3, 4]. A quação d Lgndr é um dos principais xmplos d quaçõs difrnciais d intrss m física-matmática, muitas vzs usada como modlo para a introção das chamadas funçõs spciais, soluçõs dssas quaçõs, obtidas a partir da xpansão m séri d potências conhcida como o Método d Frobnius. Os polinômios d Lgndr dfinm a primira solução da quação d Lgndr [4]. Em mcânica quântica, algumas dstas quaçõs são rsolvidas usando-s um método altrnativo simpls ficaz, através da fatoração da quação, tndo frquntmnt como modlo o oscilador harmônico simpls unidimnsional [5, 6]. Nst caso, a fatoração prmit introzir opradors d lvantamnto abaixamnto d índic (similars aos d criação dstruição da Toria Quântica d Campos muitas vzs assim dnominados), qu prmitmoacssoatodasassoluçõsapartirdasoluçãocorrspondnt ao stado fundamntal, por xmplo, cuja quação pod sr rzida a uma quação difrncial d primira ordm, d intgração imdiata. Mostramos qu o método dos opradors, nos msmos molds, é ficaz também no tratamnto da quação d Lgndr. Motiva-nos, inclusiv, a possibilidad d s obtr com o su concurso, uma fatoração mais complta da hamiltoniana quântica d sistmas como o átomo d hidrogênio [7, 8] ou o oscilador harmônicoisotrópicoatrêsdimnsõs[9, 10], ond a quação d Lgndr associada surg como a part angular da quação qu dscrv o sistma. Nos casos acima citados, consgu-s introzir opradors d criação, por xmplo, tais qu (osciladors harmônicos), (átomo d hidrogênio), ou A + R n, R n+1, (1) A + n R n, R n+1, (2) A + R n, R n, +1 (3) L + Y,m Y,m+1, (4) 2

3 sndo a solução complta dada por Ψ n m (r) =R n (r)y m (θ, ϕ). (5) Os opradors qu prmitm a fatoração da quação d Lgndr, como vrmos adiant, atuam m transformaçõs do tipo Q + Y m(θ, ϕ) Y +1,m (θ,ϕ), (6) Q Y m (θ, ϕ) Y 1,m (θ,ϕ), (7) compltando, portanto, o conjunto d opradors ncssários para prcorrr todos os auto-stados d nrgia momnto angular. Um brv rsumo dos rsultados é aprsntado plo autor na rf [9]. Opradors class T [10], T + Ψ j,j Ψ j+1,j+1 (8) também dsmpnham st papl. Opradors do tipo Q Q + acima dfinidos atuam sobr auto-stados do momnto angular orbital L 2, o qu sugr a gnralização a opradors qu atum sobr auto-stados do momnto angular total J 2 mparticular, a opradors qu atum sobr auto-stados d spin S 2,vistoqu Opradors do tipo J = L + S. (9) Q + s =0i s = 1 2 i (10) Q s = 1 i s =0i (11) 2 são conhcidos como opradors suprsimétricos, transformam auto-stados d spin intiro m auto-stados d spin smi-intiro, ou sja, bósons m férmions vic-vrsa [11, 12]. Apsar dstas indicaçõs, sndo o nosso objtivo d caráctr prático, não tmos a prtnsão d abordar, por xmplo, a álgbra obdcida por sts opradors, ou sua rlação com os gradors das transformaçõs suprsimétricas, d modo qu tratarmos do assunto do ponto d vista minntmnt opracional. 3

4 2 Os Opradors A quação d Lgndr, m física-matmática, é frquntmnt aprsntada na forma (1 u 2 ) d2 P (u) 2u dp (u) + ( +1)P 2 (u) =0, (12) para valors d intiros ( =0, 1, 2, 3,...) surg da part angular da xpansão do d Alambrtiano 2 m coordnadas sféricas (r, θ, φ), coma introção da variávl auxiliar u = cosθ. Considrmosasrlaçõsdrcor- rência [4] (1 u 2 ) dp (u) = P 1 (u) up (u) (13) (1 u 2 ) dp (u) =( +1)uP (u) ( +1)P +1 (u). (14) A primira dlas pod sr scrita na forma P 1 (u) = (1 u 2 ) d + u P (u) (15) a sgunda, ( +1)P +1 (u) = (1 u 2 ) d ( +1)u P (u). (16) As quaçõs acima são típicas dfiniçõs d opradors d criação, Q + +1 = (1 u 2 ) d ( +1)u (17) d aniquilação, Q = (1 u 2 ) d + u, (18) nos molds dos usados m mcânica quântica, conzindo a ( +1)P +1 (u) =Q + +1 P (u) (19) P 1 (u) =Q P (u). (20) 4

5 Estas quaçõs mostram qu ( +1)P (u) =Q +1 P +1 (u) = Q +1Q + +1 ( +1) P (u) (21) P (u) =Q + P 1(u) = Q+ Q P (u), (22) d modo qu os opradors Q Q + dvm satisfazr as rlaçõs Q +1 Q + +1 P (u) =( +1) 2 P (u) (23) Q + Q P (u) = 2 P (u), (24) indicando qu P (u) é auto-função d Q + Q dq +1 Q + +1, com auto-valors 2 ( +1) 2, rspctivamnt. Em spcial, para =0, Q o P o (u) =(1 u 2 ) d P o(u) =0, (25) d modo qu P o dv sr uma constant, podndo sr convnintmnt fixada no valor P o =1. (26) A partir da função inicial P o, é possívl dtrminar as dmais auto-funçõs P (u) pla aplicação sucssiva dos opradors d criação Q +.Assim,tmos P 1 (u) =Q + 1 P o (u) = (1 u 2 ) d 1u 1=u, (27) P 2 (u) = 1 2 (1 u 2 ) d 2u u = 1 2 (1 u2 )+u 2 = 1 2 (3u2 1) (28), d forma gnérica, para um intiro positivo, P (u) = 1 Q+ P 1(u) = 1 Q+ 1 1 Q+ 1...Q+ 1 P o (u) = 1! Q+ Q+ 1 Q+ 2...Q+ 1 P o(u), (29) podndo-s vrificar, com algum sforço, qu pod sr rzida à fórmula d Rodrigus [4] 5

6 P (u) = 1 µ d (u 2 1), (30) 2! qu dfinospolinômiosdlgndrdordm. Os polinômios d Lgndr são auto-funçõs do oprador d momnto angular L 2, L 2 P (u) = h 2 ( +1)P (u), (31) o qu, comparado à quação (24), lva à rlação L 2 P (u) = h 2 (Q + Q + )P (u). (32) A xprssão acima somnt tm significado para as auto-funçõs P (u) xplicitadas, uma vz qu os opradors Q Q + têm dpndência xplícita m. A partir das quaçõs acima, pod-s vrificar qu [L 2,Q + ]P 1 =2 h 2 Q + P 1, (33) [L 2,Q + +1 ]P =2 h 2 ( +1)Q + +1 P, (34) [L 2,Q ]P = 2 h 2 Q P, (35) caractrizando os opradors Q + +1 Q como opradors d lvantamnto abaixamnto do índic para ( +1) ( 1), rspctivamnt, das autofunçõs P (u). A part angular da xpansão do oprador d Alambrtiano 2 m coordnadas sféricas é a quação associada d Lgndr (1 u 2 ) d2 2u d 2 m2 + ( +1) P (1 u 2 m (u) =0, (36) ) sndo P lm (u) os polinômios associados d Lgndr. Pod-s vrificar qu sts polinômios satisfazm a quação d auto-valors Q + Q P m (u) =( 2 m 2 )P m (u). (37) Val rssaltar qu as auto-funçõs P m podm sr obtidas a partir das auto-funçõs P (caso m =0), pla aplicação sucssiva do oprador dgrau d momnto angular L +, L + P,m P,m+1. (38) 6

7 3 Funçõs d Lgndr d sgunda spéci A técnica dos opradors d fatoração é útil também para a obtnção das sgundas soluçõs das quaçõs d Lgndr. Uma forma altrnativa para a quação d Lgndr (12) é d (1 u 2 ) d y + ( +1)y =0. (39) Esta quação, para =0, fica ou sja, d (1 u 2 ) d y 0 =0, (40) (1 u 2 ) d y 0 = C, (41) ond C é uma constant arbitrária. A quação (41), para C =0, lvaà quação (25), com y 0 = P 0, rsultando nas soluçõs polinomiais d Lgndr; s C for uma constant arbitrária não nula (C 6= 0), a quação fica dy 0 = C (1 u 2 ), (42) cuja solução é, assumindo u < 1 C =1, y 0 (u) = 1 (1 + u) ln 2 (1 u). (43) Esta função é xatamnt a sgunda solução da quação d Lgndr, caso =0. As funçõs d Lgndr d sgunda spéci d qualqur ordm podm sr obtidas por aplicaçõs sucssivas dos opradors d criação Q +, dfinidas pla quação (17), sobr a função (43). Por xmplo, y 1 (u) =Q 1 y 0(u) = (1 u 2 ) d u y 0 (u) = u 2 (1 + u) ln 1. (44) (1 u) 7

8 4 Conclusõs O método dos opradors, aplicado ao tratamnto da quação d Lgndr, aprsnta algumas vantagns m rlação ao tratamnto tradicional, sobrtudo m trmos d simplicidad, rssalta, d crta manira, a origm física da quação d Lgndr, principalmnt m mcânica quântica, ond os opradors d lvantamnto d abaixamnto d índic assumm plno significado. Outras quaçõs difrnciais d sgunda ordm d intrss na Física são fatorávis o su studo pod contribuir para uma mlhor comprnsão do método dos opradors. Outro ponto a sr dstacado é a importância d, uma vz conhcidos os opradors nvolvidos na fatoração qu atuam m crto spaço vtorial, tntar stablcr, quando cabívl, a álgbra dsts opradors, um passo ssncial na abstração dst spaço. Finalmnt, na situação aqui tratada, torna-s intrssant o studo d uma possívl xtnsão ao spin. Rfrncs [1] W. E. Boyc R.C. DiPrima, Elmntary Diffrntial Equations and Boundary Valu Problms, John Wily & Sons (1965) [2] D. H. Mnzl, Mathmatical Physics, Dovr Publications (1961). [3] A.N.TijonovA.A.Samarsky, Equacions d la Fisica Matmatica, MIR (1972), Moscow. [4] G. Arfkn, Mathmatical Mthods for Physicists, Acadmic Prss (1966); E. Butkov, Mathmatical Physics, Addison-Wsly (1968). [5] L. Infld T. E. Hull, Th Factorization Mthod, Rv. Mod. Phys., v.23, n. 1 (1951) [6] S. Gasiorowicz, Quantum Physics, John Wily & Sons (1974); E. Mrzbachr, Quantum Mchanics, John Wily & Sons (1961); J. L. Powll B. Crasmann, Quantum Mchanics, Addison-Wsly, (1961); A. Mssiah, Quantum Mchanics, North-Holland (1970). [7] L. Harris and A. L. Lob, Introction to Wav Mchanics, Mc- Graw -Hill (1963). 8

9 [8] I. Kiml, A Simpl Way of Solving th Hydrogn Atom Problm, Rv. Bras. d Fśica, v.12, n.4 (1982) [9] M. Goto, O Método dos Opradors d Fatorização m Sistmas Quânticos Tridimnsionais, a sair na Rv. Bras. Ensino d Física, v. 15 (1993). [10] R.H.DickJ.P.Wittk, Introction to Quantum Mchanics, Addison-Wsly (1960). [11] N. A. Alvs E. Drigo Filho, Th Factorisation Mthod and Suprsymmtry, J. Phy. A: Math. Gn. 21 (1988) [12] M.F. Sohnius, Introcing Suprsymmtry, Phys. Rports128 (1985) (Obs.: Esta rfrência não é ssncial para o ntndimnto dst txto.) 9