Operadores de Fatorização na Física Matemática

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1 Opradors d Fatorização na Física Matmática Mario Goto Dpartamnto d Física Cntro d Ciências Exatas Univrsidad Estadual d Londrina CEP Londrina - PR 06 d maio d 1994 Rvisto m 26 d agosto d 1994 Abstract Tl. (ramal) : 4256/4266 Catgoria : artigo Ára : Ciências Exatas Tcnologia Classificação CNPq : = Matmática Aplicada 1

2 GOTO, M. Opradors d Fatorização na Física Matmática. RESUMO : Aprsnta-s a aplicação dos opradors d fatorização para a rsolução das principais quaçõs difrnciais linars d sgunda ordm da Física Matmática como altrnativa para o método d Frobnius. Em quaçõs mais simpls, a fatoração rduz a quação difrncial d sgunda ordm a um par d quaçõs difrnciais d primira ordm, cada qual forncndo uma das soluçõs linarmnt indpndnts. Em outras, gralmnt quaçõs d auto-valors, os opradors d fatorização são idntificados como opradors d lvantamnto d abaixamnto d índics, d modo qu basta rsolvr a quação difrncial corrspondnt ao auto-valor d nívl mais baixo, ond uma simpls intgração é suficint. Vrifica-s qu a maioria das quaçõs difrnciais comumnt studadas na Física Matmática podm sr fatoradas. PALAVRAS CHAVES : Equaçõs difrnciais linars; Opradors difrnciais; Opradors d fatorização. 2

3 GOTO, M. Factorization Oprators in Mathmatical Physics. ABSTRACT : W prsnt applications of factorization oprators to solv linar scond ordr diffrntial quations as an altrnativ to th Frobnius mthod in Mathmatical Physics. In som simpl xampls, th factorization rducs a scond ordr diffrntial quation to a pair of first ordr diffrntial quations, ach on giving on of th linarly indpndnt solutions. In othr, gnrally ignvalu quations, th factorization oprators ar idntifid with th ignfunctions indx raising and lowring oprators; in ths cass, on just nd to solv th lowst ignvalu diffrntial quations, whr a simpl intgration is nough. W can also confirm that th majority of Mathmatical Physics diffrntial quations can b factord. KEY-WORDS : Linar diffrntial quations; Diffrntial oprators; Factorization oprators. 3

4 OPERADORES DE FATORIZAÇÃO NA FÍSICA MATEMÁTICA (Factorization Oprators in Mathmatical Physics) Mario Goto 1 1 INTRODUÇÃO As lis da Física, quando possívis, são prfrncialmnt formuladas através d quaçõs matmáticas, m gral, sistmas d quaçõs difrnciais parciais d sgunda ordm. Em muitas aplicaçõs, as variávis podm sr sparadas, originando um conjunto d quaçõs difrnciais ordinárias [TIJONOV & SAMARSKY, 1972; BOYCE & DiPRIMA, 1965]. Uma class muito spcial, uma das principais matérias d studo da Física-Matmática, são as quaçõs difrnciais ordinárias, linars, d sgunda ordm, cuja forma gral é ou, dsd qu A(x) 6= 0, A(x)y 00 (x)+b(x)y 0 (x)+c(x)y(x) =D(x), (1) y 00 (x)+p (x)y 0 (x)+q(x)y(x) =R(x), (2) ond y 0 (x) = dy dx, y00 (x) = d2 y, tc.. dx 2 Exctuando alguns casos mais simpls, a técnica usual aplicada na rsolução dstas quaçõs difrnciais é o método d Frobnius. As soluçõs dfinm as funçõs spciais da Física-Matmática [ARFKEN, 1966; BUTKOV, 1968]. Uma altrnativa muito lgant simpls, qu nm smpr tm mrcido a dvida atnção, é o método da fatoração, ou fatorização. Em casos mais simpls, a fatoração d uma quação dfrncial d sgunda ordm rsulta num par d quaçõs difrnciais d primira ordm, cujas soluçõs 1 Dpartamnto d Física/CCE - Univrsidad Estadual d Londrina, PR, Brasil, Caixa Postal 6001, CEP

5 podm sr obtidas por intgração dirta. Em quaçõs d auto-valors, a fatoração dfin opradors qu atuam no lvantamnto no abaixamnto d índics das auto-funçõs, bastando, portanto, rsolvr a quação para o nívl fundamntal, por xmplo. Est procdimnto é aplicado, principalmnt, na Mcânica Quântica [DICKE & WITTKE, 1960; POWEL & CRASEMANN, 1961], srvindo como modlo o oscilador harmônico simpls, assim como os opradors d momnto angular[gasiorowicz, 1974], m aplicaçõs mais rcnts, na rsolução d alguns sistmas quânticos mais complxos [KIMEL, 1982; GOTO, 1993], indicando também implicaçõs tóricas mais profundas da Física tórica m modlos fatorizávis [ALVES & DRIGO FILHO, 1988]. Possivlmnt, nm todas as quaçõs difrnciais d sgunda ordm podm sr fatoradas, nm s conhcm rgras prcisas ou as condiçõs ncssárias para qu as msmas sjam fatorávis, apsar d a idéia sr antiga aparntmnt simpls, d crta manira lmbrando o método utilizado para a obtnção das raízs da quação algébrica d sgundo grau.a quação dfrncial linar homogêna d sgunda ordm, quação [1], caso D(x) =0, com os opradors difrnciais vidnciados, fica A(x) d2 dx + B(x) d 2 dx + C(x) y(x) =0, (3) qu tm uma forma similar à quação algébrica d sgundo grau, ax 2 + bx + c =0. (4) Equaçõs difrnciais, no ntanto, são muito mais complxas qu as quaçõs algébricas, pois as variávis nvolvidas são opradors difrnciais funçõs atuando sobr uma outra função, a sr dtrminada. Entrtanto, o procdimnto usado na rsolução da quação algébrica d sgundo grau pod srvir como um guia important no tratamnto dstinado às quaçõs difrnciais. Por xmplo, uma manira simpls d rsolvr a quação [4] é colocar na forma µ x + b 2 b2 2a 4a + c =0. (5) 2 a S dsjarmos prossguir na fatoração, podmos considrar Dsnvolvndo, µ x + b 2a + α µ x + b 2a + β 5 =0.

6 µ x + b 2 µ +(α + β) x + b + αβ =0 2a 2a comparando com a quação [5], tmos µ b 2 α = β = 4a c, 2 a rsultando na forma fatorada à x + b r!ã b 2a 2 4a c x + b r! b 2 a 2a + 2 4a c =0. (6) 2 a Esta quação é satisfita s à x 1 + b r! b 2a 2 4a c =0 (7) 2 a ou à x 2 + b r! b 2a + 2 4a c =0. (8) 2 a Nst sntido, a quação algébrica d sgundo grau [4] foi transformada m duas quaçõs algébricas d primiro grau, cujas soluçõs são imdiatamnt idntificadas. Ao contrário d uma quação algébrica d sgundo grau, não há procdimnto gral conhcido para transformar uma quação difrncial linar d sgunda ordm m duas quaçõs difrnciais d primira ordm, qu idntificariam d forma mais simpls as duas soluçõs linarmnt indpndnts. Evidntmnt, isto podria sr fito s foss possívl fatorar a quação difrncial, quação [3]. Nst sntido, os primiros trabalhos foram dsnvolvidos por [INFELD & HULL, 1951], com o stablcimnto d algumas rgras procdimntos a srm sguidos. Como, d qualqur manira, não s trata d uma rgra gral d fatoração, cada caso dv sr analisado m função das suas pculiaridads qu, às vzs, indicam uma rgra simpls d fatoração. É o qu s prtnd mostrar nos xmplos aprsntados, inicialmnt para quaçõs difrnciais a coficints constants. Est é um dos trabalhos qu vm sndo usado junto aos alunos bolsistas do CursodFísicadaUELquintgramoGrupoPET/Capscomoumguia 6

7 inicial no studo d divrsos aspctos das quaçõs difrnciais da Física- Matmática, com ênfas nos opradors, suas propridads algébricas as possívis aplicaçõs na Física. 2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM A COEFICIENTES CONSTANTES Uma quação difrncial linar d sgunda ordm a coficints constants tm a forma gral A d2 dt + B d 2 dt + C x(t) =0. (9) Um xmplo familiar é a quação clássica do oscilador harmônico simpls unidimnsional [SYMON, 1972], d 2 x dt + 2 ω2 x =0. (10) Éimdiatovrificar qu pod sr fatorada como µ µ d d dt + iω dt iω x =0 (11) ou µ µ d d dt iω dt + iω x =0, (12) as duas soluçõs linarmnt indpndnts x 1 (t) x 2 (t) satisfazndo às quaçõs difrnciais d primira ordm, µ d dt iω x 1 (t) =0 (13) µ d dt + iω x 2 (t) =0, (14) rspctivamnt, para 7

8 x 1 (t) = iωt x 2 (t) = iωt. (15) A quação na forma gral pod sr xmplificada pla quação do oscilador harmônico simpls, unidimnsional, com amortcimnto, d 2 x dx +2γ dt2 dt + ω2 x =0. (16) Usando o caso sm sm amortcimnto como xmplo, pod-s tntar a fatoração µ µ d d dt + Ω dt + Ω x =0, (17) ou sja, µ d 2 dt +(Ω + 2 Ω ) d dt + ΩΩ x =0, d modo qu, para rsulta ou sja, Ω = a + ib, (18) (Ω + Ω )=2a =2γ ΩΩ = a 2 + b 2 = ω 2, Ω = γ + i(ω 2 γ 2 ) 1/2. (19) As soluçõs procuradas são obtidas das quaçõs d primira ordm, µ µ d d dt + Ω x 1 (t) =0 dt + Ω x 2 (t) =0, (20) rsultando x 1 (t) = Ω t = x 2 (t) = Ωt, (21) qu corrspondm, vidntmnt, às conhcidas soluçõs para os três casos possívis d um oscilador harmônico simpls com amortcimnto. 8

9 3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM A COEFICIENTES VARIÁVEIS A fatoração d uma quação difrncial linar d sgunda ordm a coficints variávis é uma tarfa um pouco mais complxa qu no caso dos coficints constants. O método dos opradors d fatorização é pouco utilizado na rsolução d quaçõs difrnciais, por sr d difícil aplicação, a sua vantagm aparc m poucas situaçõs mais simpls da Mcânica Quântica, quando a sua lgância simplicidad s tornam visívis. Prtnds mostrar, nst trabalho qu o método é muito mais abrangnt, podndo sr aplicado para a maioria das quaçõs difrnciais usuais da Física Matmática, apsar d não ofrcr nnhum formalismo d aplicabilidad gral ao propósito da fatoração, muitas vzs valndo-s da intuição, através da aprsntação d alguns xmplos simpls, stndndo o procdimnto para as quaçõs tradicionais da Física Matmática, como as quaçõs d Lgndr, d Bssl, tc EXEMPLOS DE FATORAÇÃO IMEDIATA Aprsnta-s nsta subscção algumas quaçõs difrnciais cuja fatoração é rlativamnt simpls qu podm srvir d guia para os casos mais complxos. Considr d 2 y dx 6 y =0. (22) 2 x2 Pod-s tntar a fatoração na forma d produto d dois opradors difrnciais, µ µ d d dx + f dx f y =0, (23) ond f(x) é uma função arbitrária. Rsulta m µ d 2 dx f 0 f 2 y =0, 2 qu rsulta na quação original s 9

10 f 0 + f 2 = 6 x 2. Supondo, para um parâmtro α constant, f = α x = f 0 = α f 2 = α2 x 2 x, (24) 2 chga-s a uma quação algébrica d sgundo grau m α, cujas raízs são α 2 α 6=0, {α} = { 2, 3}, corrspondnts às duas soluçõs para f(x), ½ = 2/x f(x) = =3/x. (25) Para α = 2, a fatoração fica µ d dx 2 µ d x dx + 2 y =0, x (26) paraα =3, µ d dx + 3 µ d x dx 3 y =0, x (27) d modo qu uma das soluçõs dv satisfazr à quação difrncial d primira ordm µ d dx + 2 y =0, x (28) a outra, µ d dx 3 y =0, x (29) cujas soluçõs bas são, rspctivamnt, y 1 =1/x 2 y 2 = x 3. (30) Uma outra quação difrncial d fácil fatoração é 10

11 y x y0 a2 y =0, (31) x2 qu, através d procdimntos análogos ao caso antrior, rsulta m µ x d µ dx ± a x d dx a y =0, (32) as soluçõs bass y 1 = x a y 2 = x a (33) obtidas a partir das quaçõs difrnciais d primira ordm µ x d dx a y =0. (34) A quação difrncial sguint, y 00 ( +1) y =0 (35) x 2 surg como a part radial da quação d Laplac 2 Φ =0 m coordnadas polars sféricas. Pod sr fatorada como µ d dx µ d x dx + y =0 (36) x ou µ µ d +1 d + dx x dx 1 y =0, (37) x as soluçõs podndo sr procuradas através das quaçõs difrnciais d primira ordm µ d dx + y =0 (38) x rspctivamnt µ d dx +1 y =0, (39) x y 1 = x y 2 = x +1. (40) 11

12 3.2 EQUAÇÃO DE LEGENDRE A quação d Lgndr, (1 x 2 )y 00 2xy 0 + λy =0, (41) é uma das principais quaçõs difrnciais da Física-Matmática, part angular do dsnvolvimnto o oprador laplaciano m coordnadas sféricas. A sua fatoração pod sr tntada, multiplicando inicialmnt por (1 x 2 ), (1 x 2 ) d dx (1 x2 ) d dx +(1 x2 )λ y =0, (42) através d (1 x 2 ) d dx + f (1 x 2 ) d d dx f =(1 x 2 ) dx (1 x2 ) d dx f 0 f 2. Considr, para α constant, d modo qu a quação acima fica f 0 = α = f = αx, (1 x 2 ) d dx αx (1 x 2 ) d d dx + αx =(1 x 2 ) dx (1 x2 ) d + α(α +1) α 2. dx Dfinindo os opradors L α = d dx (1 x2 ) d + α(α +1), (43) dx vrifica-s qu Q α =(1 x 2 ) d + αx (44) dx Q + α = (1 x 2 ) d + αx, (45) dx 12

13 Q α Q + α = (1 x2 )L α 1 + α 2 (46) Como Q + α Q α = (1 x 2 )L α + α 2. (47) L α y α =0 (48) éaquaçãodlgndrparaλ = α(α +1),rsultam Q + α Q α y α = α 2 y α, (49) Q α Q + α y α 1 = α 2 y α 1. (50) Multiplicando, plo lado squrdo, a primira quação por Q α a sgunda por Q + α,rsultam Q α (Q + α Q α ) y α =(Q α Q + α )Q α y α = α 2 Q α y α (51) Q + α (Q αq + α ) y α 1 =(Q + α Q α)q + α y α 1 = α 2 Q + α y α 1. (52) A quação [51], combinada com a quação [46], rsulta (Q α Q + α )Q α y α = (1 x 2 )L α 1 + α 2 Q α y α = α 2 Q α y α, ou sja, L α 1 (Q α y α )=0. (53) Do msmo modo, combinando as quaçõs [52] [47], rsulta (Q + α Q α )Q + α y α 1 = (1 x 2 )L α + α 2 Q + α y α 1 = α 2 Q + α y α 1, portanto L α (Q + α y α 1 )=0. (54) Dsts rsultados, pod-s concluir qu Q α y α = Cy α 1 Q + α y α 1 = C 0 y α, 13

14 para C C 0 constants. Estas contants podm sr dtrminadas substituindos a primira rlação na sgunda, por xmplo, rsultando Q + α Q α y α = CC 0 y α, qu, comparado com a quação [49], implica S considrar C = C 0 = α,rsultam CC 0 = α 2. y α 1 = 1 α Q α y α (55) Para α =0,pod-simpor y α = 1 α Q+ α y α 1. (56) Q 0 y 0 =(1 x 2 ) d dx y 0 =0, (57) cuja solução, convnintmnt normalizada, é o polinômio d Lgndr d ordm zro, y 0 = P 0 =1. (58) Para α = intiro positivo, a quação [56] fornc os polinômios d Lgndrdordm, P (x), pla aplicação sucssiva dos opradors d lvantamntdíndicq +, P (x) = 1 Q+ P 1. (59) D uma manira gral, a condição Q + 0 Q 0 y 0 =(1 x 2 ) d dx (1 x2 ) d dx y 0 =0, (60) fornc também a sgunda solução da quação d Lgndr, através da intgração d (1 x 2 ) d dx y 0 = ct. = C,. qu rsulta, para x < 1, por xmplo, na função 14

15 Z y 0 (x) = C (1 x 2 ) dx = C 1 + C 2 1 (1 + x) ln 2 (1 x). (61) C 1 =0 C 2 =1corrspond à sgunda solução da quação d Lgndr d ordm zro, as soluçõs corrspondnts a intiros positivos sndo obtidas pla aplicação sucssiva dos opradors d lvantamnto d índics Q FUNÇÕES ESFÉRICAS DE BESSEL Funçõs sféricas d Bssl são as soluçõs da part radial da quação d Hlmholtz 2 Ψ + k 2 Ψ =0, scritas m coordnadas polars sféricas. Considrando Ψ(r, θ, ϕ) =R(r) Θ(θ) Φ(ϕ), a quação radial fica r 2 d2 R dr +2r dr2 dr + k 2 r 2 ( +1) R =0, (62) qupodsrtransformadanaquaçãodbssldordmsmi-intira " r 2 d2 Z dr + r dz µ 2 dr + k 2 r # 2 Z =0 (63) 2 para R(r) = Z(kr). (64) (kr) 1/2 S, ao invés disto, for dfinida a rlação tal qu R(r) = u(kr) kr, (65) dr dr = 1 du kr dr u kr 2 15

16 a quação [62] fica µ d r 2 dr dr dr d 2 u dr + k 2 2 = r 2 d2 R dr +2r dr2 dr = r d 2 u k dr, 2 ou, m forma d uma quação d auto-valors, ( +1) u =0, (66) r 2 d 2 u ( +1) u = k 2 u, (67) dr2 r 2 cujo lado squrdo pod sr fatorado como d dr d r dr + u = k 2 u (68) r ou d ( +1) d ( +1) + u = k 2 u, (69) dr r dr r podndo-s vrificar facilmnt qu para d dr d r dr + r = d ( +1) d ( +1) + = H (70) dr r dr r H = d2 ( +1). (71) dr2 r 2 Dfinindo os opradors d D = dr + (72) r rsultam as rlaçõs D + d = dr, (73) r D + +1 H = H +1 D + +1 (74) 16

17 Usando a quação d auto-valors D +1 H +1 = H D +1. (75) ficam H u = k 2 u (76) D + +1 H u = H +1 D + +1 u = k 2 D+ +1 u sugrindo qu D +1 H +1 u +1 = H D +1 u +1 = k 2 +1D +1 u +1, dsd qu D + +1 u = Cu +1 D +1 u +1 = C 0 u, k 2 +1 = k 2 = k 2. Isto é, os auto-valors são compltamnt dgnrados, os opradors D + D atuando como opradors d lvantamnto d abaixamnto d índics dos auto-stados ou, na nomnclatura da Mcânica Quântica, como opradors d criação d aniquilação, u +1 = 1 k D+ +1 u (77) u 1 = 1 k D u. (78) Os opradors d criação d aniquilação prmitm rlacionar os vários auto-stados, d modo qu, conhcndo-s um dsts auto-stados, pod-s obtr os dmais. Nst caso, pod-s obtr o auto-stado para o caso =0, quando a quação d auto-valors fica cujas duas soluçõs linarmnt indpndnts são H 0 u 0 = d2 u 0 dr 2 = k2 u 0, (79) 17

18 Como, pla dfinição usada, u 0,1 =coskr u 0,2 = sn kr. (80) u (r) =rr (r), qu dv sr nula na origm,r =0,a solução fisicamnt acitávl é sn kr u 0 (r) =sn kr = R 0 (r) =. (81) kr Os dmais auto-stados podm sr obtidos pla aplicação sucssiva dos opradors d criação. Por xmplo, u 1 (r) = 1 k D+ 1 u 0 = 1 d k dr 1 u 0 = cos kr + 1 sn kr. (82) r kr Do ponto d vista da Física Matmática, as auto-funçõs u (r) são as funçõs sféricas d Bssl. 4 RELAÇÕES DE RECORRÊNCIA E OP- ERADORES Foi visto nas scçõs prcdnts a fatorização d algumas quaçõs difrnciais linars d sgunda ordm, com a introdução d opradors qu, m problmas d auto-valors, funcionam como opradors d lvantamnto d abaixamnto d índics, ou na linguagm da Mcânica Quântica, opradors d criação d aniquilação. Muitas das quaçõs da Física Matmática são quaçõs d auto-valors, discrtos, com as auto-funçõs obdcndo a rlaçõs d rcorrência [AR- FKEN, 1966]. Nsts casos, pod-s mostrar qu os opradors d lvantamnto d abaixamnto d índics podm sr drivados dirtamnt das rlaçõs d rcorrência. Uma aplicação sucssiva do oprador d lvantamnto do oprador d abaixamnto d índics, ou vic-vrsa, qu corrspond a uma transformação idntidad, rsulta m gral na quação difrncial original, mostrando qu os opradors d fatorização coincidm com os opradors d lvantamnto d abaixamnto d índics. No ntanto, como as rlaçõs d 18

19 rcorrência são drivadas a partir da função gratriz, sndo portanto conhcidas as soluçõs da quação difrncial considrada, nsts casos, a fatoração como método d rsolução d quaçõs difrnciais s torna rdundant. Msmo assim, a idntificação dos opradors d lvantamnto d abaixamnto d índics é intrssant, dixando mais claras as rlaçõs ntr as auto-funçõs, além do intrss matmático intrínsco dsts opradors, qu atuam sobr o spaço vtorial dfinido plas msmas; além disso, o conhcimnto da álgbra dsts opradors pod s tornar important no studo das propridads físicas matmáticas d um dtrminado sistma. A sguir, faz-s a idntificação dos opradors d lvantamnto d abaixamnto d índics para divrsas quaçõs difrnciais da Física Matmática, a partir d pars d rlaçõs d rcorrência. Vja qu, com xcção da quação d Bssl, as dmais podm sr rsolvidas, com crta facilidad, para as auto-funçõs d nívl mais baixo (auto-valor nulo), a partir das quais pod-s obtr as dmais pla aplicação sucssiva dos opradors d lvantamnto d índics. 4.1 EQUAÇÃO DE LEGENDRE (1 x 2 )y 00 2xy 0 + ( +1)y =0. (83) As rlaçõs d rcorrência útis são P +1 = xp (1 x2 ) +1 P 0, 0 (84) P 1 = xp + (1 x2 ) P 0, 1, (85) podndo-s d imdiato idntificar os opradors d lvantamnt d abaixamnto d índics, dfinidos por P +1 = 1 (1 x 2 ) d ( +1)x P (86) ( +1) dx P 1 = 1 (1 x 2 ) d dx + x P, (87) 19

20 qu coincidm com os opradors prviamnt dfinidos na scção antrior, quaçõs [44] [45], rspctivamnt. 4.2 EQUAÇÃO DE BESSEL x 2 y 00 + xy 0 +(x 2 n 2 )y =0. (88) Pod-s usar as rlaçõs d rcorrência J n 1 + J n+1 = 2n x J n (89) J n 1 J n+1 =2Jn 0 (90) qu dfinm os opradors d lvantamnto d abaixamnto d índics, rspctivamnt d J n+1 = dx n J n (91) x d J n 1 = dx + n J n. (92) x 4.3 EQUAÇÃO DE HERMITE y 00 2xy 0 +2ny =0. (93) Usa-s as ralaçõs d rcorrência H n+1 =2xH n 2nH n 1 (94) Hn 0 =2nH n 1, (95) corrspondnts aos opradors d lvantamnto d abaixamnto d índics d H n+1 = dx 2x H n (96) 20

21 H n 1 = 1 d 2n dx H n. (97) Pod-s vr qu os opradors d lvantamnto d abaixamnto d índics, nst caso, não são simétricos pla substituição como nos casos antriors. x x, 4.4 EQUAÇÃO DE LAGUERRE xy 00 +(1 x)y 0 + ny =0. (98) Part-s das rlaçõs d rcorrência rsultando L n+1 =(2n +1 x)l n n 2 L n 1 (99) L n+1 = xl 0 n = nl n n 2 L n 1, (100) x d dx + n +1 x L n (101) L n 1 = 1 x d n 2 dx n L n. (102) 4.5 EQUAÇÃO DE CHEBYCHEV, TIPO I (1 x 2 )y 00 xy 0 + n 2 y =0 (103) Tm-s as rlaçõs d rcorrência T n+1 2xT n + T n 1 =0 (104) 21

22 (1 x 2 )T 0 n = nxt n + nt n 1, (105) rsultando nos opradors d lvantamnto d abaixamnto d índics, rspctivamnt (1 x 2 ) d T n+1 = n dx x T n (106) (1 x 2 ) d T n 1 = n dx + x T n. (107) 4.6 EQUAÇÃO DE CHEBYCHEV, TIPO II As rlaçõs d rcorrência (1 x 2 )y 00 3xy 0 + n(n +2)y =0. (108) U n+1 2xU n + U n 1 =0 (109) (1 x 2 )U 0 n = nxu n +(n +1)U n 1 (110) dfinm os opradors d lvantamnto d abaixamnto d índics, rspctivamnt U n+1 = 1 (1 x 2 ) d (n +2)x U n (111) (n +1) dx 1 U n 1 = (1 x 2 ) d (n +1) dx + nx U n. (112) 22

23 5 CONCLUSÕES Aprsntamos, através d xmplos, a fatoração d várias quaçõs difrnciais linars d sgunda ordm, mostrando sr, m alguns casos, uma altrnativa simpls lgant para a rsolução dstas quaçõs difrnciais. Mostramos também qu m quaçõs difrnciais nvolvndo problmas d auto-valors, podmos obtr facilmnt os opradors d fatorização a partir das rlaçõs d rcorrência, sndo idntificados como os opradors d lvantamnto d abaixamnto d índics, qu fazm a conxão ntr as auto-funçõs. Nsts casos, não s dv considrar a fatoração como um método d rsolução dstas quaçõs difrnciais, pois as soluçõs já são conhcidas a partir do momnto m qu são conhcidas as rlaçõs d rcorrência, drivadas a partir das funçõs gratrizs. No ntanto, os opradors d lvantamnto d abaixamnto d índics tm intrsss físicos matmáticos intrínscos, justificando os sforços na sua idntificação, assim como no studo das suas propridads. Do ponto d vista didático, podmos nriqucr muito o studo das quaçõs difrnciais com a introdução do método dos opradors d fatorização, qu fornc uma manira simpls lgant d s rsolvr uma séri d quaçõs difrnciais linars d sgunda ordm da Física Matmática, além da introdução dos rcursos dos opradors d lvantamnto d abaixamnto d índics nos problmas d auto-valors, importants principalmnt no contxto da Mcânica Quântica. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALVES, N. A.; DRIGO FILHO, E. Th Factorisation Mthod and Suprsymmtry, J. Phy. A: Math. Gn. v.21, p , ARFKEN, G. Mathmatical Mthods for Physicists. Nw York: Acadmic Prss, BOYCE,W.E.;DiPRIMA,R.C.Elmntary Diffrntial Equations and Boundary Valu Problms. Nw York: John Wily & Sons, BUTKOV, E. Mathmatical Physics. Nw York: Addison-Wsly, DICKE, R. H.; WITTKE, J. P. Introduction to Quantum Mchanics. Rading, Mass.: Addison-Wsly, GASIOROWICZ, S. Quantum Physics. Nw York: John Wily & Sons,

24 GOTO, M. O Método dos Opradors d Fatorização m Sistmas Quânticos Tridimnsionais, Rv. Bras. d Ensino d Física, v.15, INFELD, L.; HULLl, T. E. Th Factorization Mthod, Rv. of Mod. Phys. v.23, n.1, p , KIMELL, I. A simpl Way of Solving th Hydrogn Atom Problm, Rv.Bras. d Física, v.12, n.4, p , POWELL,L.J.;CRASEMANN,B.Quantum Mchanics. Nw York: Addison-Wsly, SYMON, K. R. Mchanics. Rading, Mass.: Addison-Wsly, TIJONOV, A. N.; SAMARSKY, A. A. Ecuacions d la Fisica Matmatica. Moscou: MIR,