VII CONGRESSO INTERNACIONAL DE ENSINO DA MATEMÁTICA

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1 VII CONGRESSO INTERNACIONAL DE ENSINO DA MATEMÁTICA ULBRA Canoas Rio Grand do Sul Brasil. 04, 05, d outubro d 2017 Comunicação Cintífica REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS MOBILIZADAS NO CONTEÚDO DE SUPERFÍCIES QUÁDRICAS EM ALGUMAS PUBLICAÇÕES DESDE A DÉCADA DE 40 Educação Matmática no Ensino Suprior Nandyn Londro 1 Inês Farias Frrira 2 Rsumo: Est trabalho é um rcort d uma psquisa qu stá sndo dsnvolvida m nívl d mstrado s propõ a dscrvr uma anális ralizada m alguns livros d gomtria analítica m nívl suprior publicados originalmnt dsd a década d 40, dtndo-s no studo d suprfícis quádricas. Ests rsultados buscam subsidiar a laboração d um matrial didático qu contnha atividads qu possam mobilizar difrnts rgistros d rprsntação smiótica no studo d quádricas tndo-s como fundamntação tórica DUVAL (2011). Dss modo, foi considrado como rfrncial mtodológico as orintaçõs da psquisa qualitativa orintada plos princípios da psquisa bibliográfica d GIL (2002). Nss sntido, são aprsntados nst trabalho a dscrição d cinco livros ond pod-s prcbr m su tor uma prdominância acntuada do rgistro algébrico, tanto m trmos d rgistro d partida (65,4%) como d chgada (65,16%). Assim, com a idntificação d qu o rgistro algébrico fora priorizado nas obras, busca-s na laboração do matrial didático, através da utilização d rcursos tcnológicos, vidnciar outras rprsntaçõs m trmos d rgistros d partida chgada, bm como, rlacioná-los ao longo das atividads. Palavras-chav: Rgistros d Rprsntação Smiótica. Suprfícis Quádricas. Ensino Suprior. 1. INTRODUÇÃO O prsnt artigo é um rcort d uma psquisa, m nívl d mstrado, qu stá sndo dsnvolvida no Programa d Pós-Graduação m Educação Matmática Ensino d Física da Univrsidad Fdral d Santa Maria (UFSM), intitulada Explorando rcursos do GoGbraBook no studo d quádricas a partir d difrnts rprsntaçõs. Nss sntido, busca-s aqui dscrvr como alguns livros d gomtria analítica publicados originalmnt dsd a década d 40 até os dias atuais, abordam o studo d suprfícis quádricas. Essa invstigação mbasa-s nos rgistros d rprsntação smiótica (DUVAL, 2003, 2009, 2011) qu aprsnta uma anális cognitiva da aprndizagm 1 Graduada m Licnciatura m Matmática. Univrsidad Fdral d Santa Maria. nandynlondro@gmail.com 2 Doutora m Engnharia Mcânica. Univrsidad Fdral d Santa Maria (UFSM). insffrrira10@gmail.com

2 matmática, consquntmnt, das capacidads d raciocínio, d anális d visualização por mio da mobilização coordnação das rprsntaçõs da língua natural, algébrica, simbólica, gráfica, numérica, ntr outras. Conform afirma Duval (2011), na Matmática é grand a varidad d rprsntaçõs smióticas, além dos sistmas d numração, xistm as figuras gométricas, as scritas algébricas formais, as rprsntaçõs gráficas a língua natural, msmo s la é utilizada d outra manira qu não a da linguagm corrnt. 2. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS Inicialmnt, a fim d idntificar como os livros d gomtria analítica slcionados abordam o studo d suprfícis quádricas valu-s da psquisa qualitativa (LÜDKE; ANDRÉ, 1986). Sndo qu, tal psquisa srá dsnvolvida obsrvando alguns princípios da psquisa bibliográfica (GIL, 2002), pois sgundo st autor: Os studos qu mprgam uma mtodologia qualitativa podm dscrvr a complxidad d dtrminado problma, analisar a intração d crtas variávis, comprndr classificar procssos dinâmicos vividos por grupos sociais, contribuir no procsso d mudança dtrminando grupos possibilitar m maior nívl d profundidad o ntndimnto das particularidads do comportamnto dos indivíduos. (GIL, 2002, p. 46). A ncssidad d tornar a abordagm do contúdo mais vidnt mais dinamizada caractriza a psquisa como sndo qualitativa, pois s buscou invstigar através dsta anális bibliográfica, qu stá sndo um dos instrumntos d colta d dados, subsídios satisfatórios a fim d sr laborado um matrial digital virtual constituído a partir d difrnts rprsntaçõs qu possam star rlacionadas ntr si. Para tanto, foram analisados dtalhadamnt cinco livros d gomtria analítica, no qu tang o contúdo d suprfícis quádricas. 3. BREVE DESCRIÇÃO DOS LIVROS DE GEOMETRIA ANALÍTICA ANALISADOS Nst itm, xpõ-s uma brv dscrição da anális ralizada m cada livro, idntificando-s como stá xposto o assunto, m trmos d contúdo xrcícios,

3 bm como, são aprsntados os difrnts rgistros d rprsntação smiótica. Por uma qustão d organização os livros nst artigo são aprsntados m ordm cronológica crscnt d sua primira dição cada um dls srá idntificado pla ltra L su rspctivo título. Sndo qu, para cada obra foi laborado um quadro rsumo ond constam um quantitativo d xmplos xrcícios, com sus rspctivos rgistros d rprsntaçõs smióticas d partida d chgada. Para isso, foi usada a sguint simbologia: rgistro algébrico (RAl), rgistro figural (RFg), rgistro gráfico (RGr), língua natural () rgistro simbólico (RSb). L1: Gomtria Analítica Esta obra, d autoria d Charls H. Lhmann, tv a sua 1ª dição datada d 1942, com sucssivas rimprssõs até o final d 1985, tndo como título original Gomtria Analítica. No capítulo qu s rfr a suprfícis quádricas o autor aprsnta a quação analítica do spaço tridimnsional a dfinição d suprfíci, nst xpõ a idia d como srá fita a discussão das suprfícis, incluindo xmplos d construção d suprfícis inúmros xrcícios. Postriormnt, aprsnta a quação gral do sgundo grau m três variávis, ntão, dscrv as suprfícis quádricas cntradas: lipsóid, hiprbolóid d uma folha hiprbolóid d duas folhas. Sndo qu todas são abordadas através d suas quaçõs canônicas ralizada a classificação a partir dos sinais dos coficints. Da msma manira, são aprsntadas as quádricas não cntradas. E, por fim, são propostos quarnta xrcícios. A partir dssa disposição, no quadro 01 spcifica-s, por colunas, os rgistros d partida d chgada nvolvidos: rgistro algébrico (RAl), rgistro figural (RFg), rgistro gráfico (RGr), língua natural (), rgistro simbólico (RSb),, por fim, o quantitativo su rspctivo prcntual. Quadro 01 - Rsumo do livro L1 m trmos dos rgistros d partida chgada ncontrados nos xmplos xrcícios. continua Rgistros Chgada Tipo Tipo Quantidad RAlg RAlg 17

4 RSb 3 conclusão Rgistros Chgada Tipo Tipo Quantidad RNm 2 RAlg RSb 4 RAlg 1 RAlg RAlg RGr 40 RGr 47 RAlg, RGr 8 RAlg, RSb 1 RAlg 2 RSb 1 RSb 5 RAlg RSb 1 RAlg 1 RSb RAlg 6 RAlg 4 RAlg RGr 1 RAlg RGr 1 RAlg, RSb RGr 1 RAlg RSb RSb RAlg RAlg, RSb RAlg, RSb, RNm RAlg 5 RNm 2 1 RAlg RGr 28 RAlg RSb 3 RAlg 2 RAlg 7 RGr 1 RAlg RGr 3 RAlg RSb 1 RAlg, RGr 1 RAlg 1 RAlg RSb 1 RAlg 12 RAlg RGr 5 RAlg 1 RAlg RSb 1 TOTAL 221 Font: Elaborado plas autoras, basando-s m (LEHMANN, 1985).

5 Est livro aprsnta uma gama xtnsa d xrcícios o qu possibilita uma maior transição ntr os rgistros d partida d chgada. Porém, não é difrnt dos dmais, o rgistro algébrico prdomina no rgistro d partida. L2: Gomtria Analítica Esta obra foi laborada por Josph H. Kindl sua primira dição é amricana, datada d 1950, a obra analisada é uma rimprssão d 1979, da 1ª dição m português d O capítulo d suprfícis inicia com a dfinição d suprfícis quádricas, vidnciando m trmos algébricos suas quaçõs na forma gral rduzida. Após, dfin sfra; lipsóid; hiprbolóid d uma folha, hiprbolóid d duas folhas paraboloid líptico, paraboloid hiprbólico, con circular rto suprfíci cilíndrica. Assim, o autor faz brvs dscriçõs fazndo uso d rprsntaçõs algébricas gráficas para idntificação d cada uma dlas, postriormnt, aprsnta 27 problmas rsolvidos 58 problmas propostos, ond m sua maioria possum a rsposta. A partir da anális ralizada m cada xmplo xrcício aprsntado nvolvndo o assunto, compilou-s um quadro rsumo (Quadro 02) ond foram classificados a partir dos rgistros d partida d chgada nvolvidos, idntificando o tipo d transformação d rgistros d rprsntação smiótica. Quadro 02 - Rsumo do livro L2 m trmos dos rgistros d partida chgada ncontrados nos xmplos xrcícios. Rgistros Chgada Tipo Tipo Quantidad RAlg RSb 4 RAlg 25 RNm 25 RSb RSb 14 RGr 3 RAlg 7 RSb RNm RAlg 1 RSb 6

6 TOTAL 85 Font: Elaborado plas autoras basando-s m (KINDLE, 1979). Pod-s obsrvar qu nst livro o autor priorizou atividads qu partiam do rgistro simbólico, difrntmnt d outras obras analisadas. Além disso, houv a prdominância d convrsão, ond o rgistro d partida foi o rgistro simbólico (RSb) os rgistros d chgada foram o algébrico (RAlg) o numérico (RNm). L3: Gomtria Analítica Esta obra foi laborada por Prcy F. Smith, Arthur S. Gal John H. Nly, tv sua primira dição m francês m 1957, sndo qu a dição analisada é a 2ª rimprssão d 1964 da 2ª dição. No capítulo dstinado a quádricas aborda, inicialmnt, a quação d uma suprfíci ond mnciona qu para sua dtrminação podm sr idntificadas algumas propridads, cita-s: quanto às coordnadas na origm do sistma d rfrência; os traços nos planos coordnados; a simtria as sçõs obtidas por planos parallos aos planos coordnados. Postriormnt, aprsnta uma dfinição idntificando, m trmos algébricos, as quaçõs na forma rduzida d quádricas cntradas não cntradas ao um sistma d rfrência. Nos itns subsqunts aborda cada uma das suprfícis quádricas do tipo cntradas, idntificando a sua rprsntação algébrica na forma d quação rduzida a rprsntação gométrica corrspondnt. Nst capítulo são intrcaladas squências d xrcícios, sndo qu no final do msmo são incluídos alguns problmas, dnominados complmntars. No capítulo sguint é abordada a translação rotação d ixos para, após, abordar o studo d suprfícis não cntradas no sistma d rfrência, sguido d problmas d idntificação das quádricas, bm como, d dmonstração d alguns rsultados nvolvidos com a toria aprsntada. Com bas nssa struturação, no quadro 03 spcifica-s, por colunas, os rgistros d partida d chgada nvolvidos: rgistro algébrico (RAl), língua natural (), rgistro simbólico (RSb),, por fim, o quantitativo su rspctivo prcntual. Quadro 03 - Rsumo do livro L3 m trmos dos rgistros d partida chgada ncontrados nos xmplos xrcícios.

7 Rgistros Chgada Tipo Tipo Quantidad RAlg 12 RGr 1 RAlg 1 RAlg RGr 8 RAlg 4 RGr 2 RAlg 7 1 RAlg 1 RSb RAlg 1 RAlg 1 RAlg RSb RAlg 3 RAlg RGr 1 RAlg RAlg 1 TOTAL 44 Font: Elaborado plas autoras, basando-s m (SMITH; GALE; NEELEY, 1964). Na anális dst livro pod-s obsrvar qu há um númro lvado d atividads nvolvndo o rgistro algébrico (RAlg) como rgistro d partida. Em particular, o tratamnto, do RAlg para RAlg é o qu s dstaca nas atividads aprsntadas. L4: Gomtria Analítica Esta obra, criada por Alfrdo Stinbruch, tv a sua 1ª dição datada d 1972, tm como título original Álgbra Linar Gomtria Analítica. Postriormnt foi dsmmbrada m duas obras, sparando-s m Álgbra Linar (1987) Gomtria Analítica (1987) sndo convidado a participar dssas novas publicaçõs o profssor Paulo Wintrl. No capítulo d suprfícis quádricas os autors aprsntam inicialmnt a rprsntação algébrica gral d uma suprfíci quádrica, dscrvndo algumas caractrísticas nvolvndo planos coordnados planos parallos aos msmos. Cab rssaltar qu, smpr s rportando m trmos algébricos. Postriormnt, são aprsntadas as suprfícis cntradas no sistma d rfrência: lipsóid, hiprbolóid d uma folha, hiprbolóid d duas folhas; após são dscritas as

8 suprfícis não cntradas: parabolóid líptico parabolóid hiprbólico. Sndo qu todas são abordadas aprsntando-s dirtamnt a quação na forma rduzida, uma rprsntação gráfica discussão dos traços com sua rprsntação algébrica gral. Adiant, são dscritas as suprfícis cônica cilíndrica, fazndo uma anális análoga. No final do capítulo constam divrsos xrcícios propostos. Diant do xposto, obtv-s o quantitativo das atividads contidas no livro, runindo-s inicialmnt as qustõs propostas na sção problmas propostos. Após a catgorização das atividads passou-s a classificá-las a partir dos rgistros d partida d chgada nvolvidos, idntificando o tipo d transformação d rgistros d rprsntação smiótica. O rsultado dsta anális é aprsntado no quadro 04. Quadro 04 - Rsumo do livro L4 m trmos dos rgistros d partida chgada ncontrados nos xmplos xrcícios. Rgistros Chgada Tipo Tipo Quantidad RAlg 2 RAlg RGr 1 RAlg RGr 1 TOTAL 4 Font: Elaborado plas autoras, basando-s m (STEINBRUCH, 1987). Nsta obra pod-s obsrvar qu o rgistro algébrico (RAlg) é o único rgistro qu aparc no rgistro d partida. Além disso, o quantitativo d xrcícios nvolvndo tratamnto do rgistro algébrico (RAlg) mantndo-o como rgistro d chgada é o qu s dstaca nas atividads dss livro. L5: Vtors Gomtria Analítica A obra original foi scrita por Paulo Wintrl m 2000, o livro analisado nst trabalho foi a publicação d 2009, a qual é uma rimprssão dsta obra. No último capítulo, ncontra-s o contúdo rfrnt a suprfícis quádricas, ond é aprsntado inicialmnt a quação gral do 2º grau associada às msmas. A partir disso, aborda o qu rprsnta a intrscção da suprfíci com um plano, dfinindo o traço d uma suprfíci. Em outro itm dscrv as quádricas. Em cada uma dlas, aprsnta inicialmnt a cônica sua quação na forma rduzida a sua

9 rprsntação figural. Indicando lmntos da suprfíci, traços associados a rprsntação algébrica quando s considra uma translação d ixos. Em alguns momntos da dscrição das quádricas são aprsntados xmplos ilustrativos como último subitm são indicados 12 problmas propostos. A partir dssa invstigação, no quadro 05 spcifica-s, por colunas, os rgistros d partida d chgada nvolvidos: rgistro algébrico (RAl), rgistro gráfico (RGr), língua natural (), rgistro simbólico (RSb),, por fim, o quantitativo su rspctivo prcntual. Quadro 05 - Rsumo do livro L5 m trmos dos rgistros d partida chgada ncontrados nos xmplos xrcícios. Rgistros Chgada Tipo Tipo Quantidad RAlg 8 RAlg 2 RGr 2 RAlg, RGr 1 RGr RAlg 1 RSb RAlg 1 RSb RAlg 1 TOTAL 16 Font: Elaborado plas autoras, basando-s m (WINTERLE, 2009). Nst livro também o rgistro algébrico (RAlg) foi o rgistro d partida prdominant. Além disso, prcbu-s também qu o tratamnto do RAlg para RAlg é o qu s dstacou nos problmas aprsntados. No ntanto, cab rssaltar qu, ncontra-s nss livro o rgistro gráfico (RGr) como rgistro d partida, difrnciando-o dos outros livros. 4. RESULTADO DA PESQUISA Mdiant a anális dos livros aqui dscritos, prcbu-s um nfoqu ainda mais rstrito no studo d suprfícis quádricas m trmos d xploração dst assunto m difrnts rgistros d rprsntação. Uma vz qu, constatou-s, m gral, na strutura das obras, qu na toria fora aprsntado o concito d suprfíci

10 quádrica, sguido d sua rspctiva rprsntação algébrica. Dssa forma, obsrvous qu os msmos prmancm m uma proposta d rforçar a associação da classificação da suprfíci quádrica com a sua rprsntação algébrica corrspondnt. Quadro 06 - Distribuição das atividads contidas nos cinco livros dscritos d acordo com os rgistros totais d partida d chgada. continua Rgistros Chgada Tipo Tipo Quantidad Prcntual RAlg % RSb 7 1.9% 3 0.8% RNm % RGr % RAlg RAlg % RAlg RSb % RGr % RAlg RGr % RAlg, RGr 9 2.4% RAlg, RSb 1 0.3% RAlg 9 2.4% RSb 1 0.3% 1 0.3% RSb % RAlg % RAlg RSb 1 0.3% RAlg % RNm % RSb RSb % RGr 3 0.8% RAlg % RGr RAlg 1 0.3% RAlg % RAlg RGr 1 0.3% RAlg RGr 1 0.3% RAlg, RSb RGr 1 0.3% RAlg RSb RAlg % RNm % 1 0.3% RAlg RGr % RAlg RSb 3 0.8% RAlg %

11 conclusão Rgistros Chgada Tipo Tipo Quantidad Prcntual RAlg % RGr 1 0.3% RAlg RGr 3 0.8% RSb RAlg RSb 1 0.3% RAlg, RGr 1 0.3% RAlg RSb RNm RAlg, RSb RAlg, RSb, RNm RAlg 1 0.3% RAlg 1 0.3% RAlg RSb 1 0.3% RSb % RAlg 1 0.3% RAlg % RAlg RGr % RAlg 1 0.3% RAlg RSb 1 0.3% TOTAL 370 Font: Elaborado plas autoras, basando-s na anális dos livros slcionados. Após a anális dos cinco livros slcionados pod-s constatar qu os xmplos as atividads propostas, m sua maioria, indpndntmnt da sção a qual prtnciam tinham como prdominância o rgistro algébrico (RAlg), tanto d partida, corrspondndo a 65,4%, como d chgada corrspondndo a 65,16%. Dss modo, pod-s concluir qu sts livros privilgiaram o rgistro algébrico tanto na transformação d tratamnto quanto d convrsão, pois st rgistro stá prsnt m todos os livros analisados. Basando-s m Duval (2003), acrdita-s qu o quantitativo d atividads no qu diz rspito ao rgistro algébrico pod colaborar para qu alguns alunos idalizm qu caso saibam rsolvr sss algoritmos o sucsso, consquntmnt, a aprndizagm m matmática ocorra d fato, o qu é um grand quívoco. Esta anális é d grand rlvância para as tapas postriors da psquisa d mstrado qu stá sndo dsnvolvida, pois prmit a laboração d atividads qu contmplm difrnts rgistros d partida d chgada, dssa forma, sm comtmplar d forma dmasiada o rgistro algébrico como fora obsrvado nstas publicaçõs analisadas qu stão rlacionadas com o assunto abordado.

12 5. REFERÊNCIAS DUVAL, R. Rgistros d Rprsntaçõs Smióticas Funcionamnto cognitivo da comprnsão m Matmática. In: MACHADO, Silvia Dias Alcântara Aprndizagm Matmática: Rgistros d Rprsntação Smiótica. Campinas, SP: Papirus, DUVAL, R. Smiósis pnsamnto humano: Rgistros smióticos aprndizagns intlctuais. Trad. Lênio Frnands Lvy Marisa Rosâni Abru da Silvira. São Paulo: Editora Livraria da Física, DUVAL, R. Vr nsinar a matmática d outra forma: ntrar no modo matmático d pnsar: os rgistros d rprsntaçõs smióticas. São Paulo: PROEM, GIL, A. C. Como laborar projtos d psquisa. São Paulo: Atlas, KINDLE, J. H., Gomtria analítica: plana no spaço. São Paulo: McGraw-Hill, p. LEHMANN, C. H. Gomtria analítica. 1. d. Rio d Janiro: Globo, p. LÜDKE, M; ANDRÉ, M. E. D. A. Psquisa m Educação: Abordagns Qualitativas. São Paulo: EPU, SMITH, P. F; GALE, A. S.; NEELEY, J. H. Gomtria Analítica. 2 Ed. Rio d Janiro: Ao Livro Técnico, p. STEINBRUCH, A. Gomtria analítica. 2. d. São Paulo: MacGraw-Hill, p. WINTERLE, P. Vtors gomtria analítica. São Paulo: Parson Makron Books, p.