Operadores-escada generalizados para sistemas quânticos Ladder operators for quantum systems

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1 Rvista Brasilira d Ensino d Física, vol. 40, nº 2, ) Artigos Grais cb Licnça Crativ Commons Opradors-scada gnralizados para sistmas quânticos Laddr oprators for quantum systms Hugo d Olivira Batal 1, Josimar Frnando da Silva 1, Alxandr Noguira da Silva 1, Saiara Fabiana Mnzs dos Santos 1, Elso Drigo Filho 1 1 Univrsidad Estadual Paulista, Instituto d Biociências, Ltras Ciências Exatas, Câmpus São José do Rio Prto, São José do Rio Prto, SP, Brasil. Rcbido m 14 d Junho, Rvisado m 16 d Agosto, Acito m 19 d Agosto, A suprálgbra vm sndo aplicada na rsolução d divrsos problmas quânticos. Ela prmit, por xmplo, obtr soluçõs para potnciais xatamnt solúvis ampliar a construção d opradors d criação dstruição. Nst trabalho, o método d construção dos opradors-scada gnralizados é rvisado usado para obtr os autovalors d nrgia as autofunçõs d dois potnciais, a partícula m uma caixa unidimnsional o potncial d Rosn-Mors unidimnsional. Palavras-chav: suprsimtria; mcânica quântica; shap invarianc; opradors-scada gnralizados; partícula m uma caixa; potncial d Rosn-Mors. Suprsymmtry has bn applid to obtain th solution of svral kinds of quantum problms. For xampl, it allows us to solv th Schrödingr quation and to introduc th cration and annihilation oprators. In this work, th mthod to obtain th gnralizd laddr oprators is rvisd and it is usd to dtrmin th nrgy ignvalus and th ignfunctions for two potntials, a particl in a box and th on-dimnsional Rosn-Mors potntial. Kywords: suprsymmtry; quantum mchanics; shap invarianc; laddr oprators; particl in a box; Rosn- Mors potntial. 1. Introdução Em studos nvolvndo sistmas dscritos pla Mcânica Quântica, podmos fazr uso do formalismo da suprsimtria para a rsolução da quação d Schrödingr 1,2]. Em comparação à rsolução dirta da quação d Schrödingr indpndnt do tmpo, st formalismo prmit, por xmplo, uma simplificação dos cálculos atacar outros tipos d problmas, como aquls nvolvndo potnciais parcialmnt solúvis 3 6]. Assim, ssa abordagm tm motivado muitos studos stndido a comprnsão sobr divrsos sistmas quânticos vid, por xmplo, Rf. 3 20]). O tratamnto nvolvndo a suprsimtria m Mcânica Quântica pod sr visto como gnralização do método d fatorização 1, 2]. Nst sntido, são introduzidos os opradors qu fatorizam a quação d Schrödingr. Assim, ao invés d rsolvr uma quação difrncial d sgunda ordm, é prciso rsolvr uma quação difrncial d primira ordm, conhcida como quação d Riccati 21]. O formalismo da Mcânica Quântica Suprsimétrica pod sr aplicado m divrsos contxtos. Em spcial, l é útil para studar potnciais xatamnt solúvis 1 3,7 16] parcialmnt solúvis 1 6,18]. Em potnciais xatamnt solúvis, o formalismo ofrc duas vias d solução: através da Hirarquia d Hamiltonianos 1 3, 7, Endrço d corrspondência: josimarfsilva@sjrp.unsp.br. 11] usando a chamada Shap Invarianc do potncial 1, 2, 9, 10, 12 16]. Em potnciais para os quais não é possívl dtrminar soluçõs analíticas xatas, a suprálgbra ainda é útil como suport nos métodos aproximativos, tais como prturbativo 1], aproximação WKB 13] variacional 2, 3, 18]. Rcntmnt, a suprálgbra tm sido mprgada para auxiliar a solução da quação d Fokkr-Planck 18,20] para a obtnção d funçõs d onda tst ansatz) para o studo d intraçõs intrmolculars 17, 19]. Problmas qu nvolvm sistmas quânticos m qu os potnciais tratados são invariants na sua forma funcional por transformaçõs d suprsimtria shap invariant) podm sr rsolvidos via suprálgbra usando os opradors-scada gnralizados 9, 12] qu atuam simultanamnt na coordnada spacial no parâmtro da shap invarianc. É oportuno lmbrar qu a construção d opradorsscada prmit dtrminar stados cornts 22 25] para os sistmas studados. Em trmos didáticos, os stados cornts são discutidos na rfrência 26], nquanto a aplicação dst formalismo pod sr vista, por xmplo, nas rfrências 27] 28]. Esss stados ncontram aplicação m difrnts contxtos, sndo particularmnt importants m óptica quântica 29, 30]. Nst trabalho é fito uma rvisão do formalismo qu lva a construção dos opradors d criação ds- Copyright by Socidad Brasilira d Física. Printd in Brazil.

2 Opradors-scada gnralizados para sistmas quânticos truição para potnciais shap invariant, incluindo dtalhs algébricos normalmnt omitidos nos txtos técnicos qu tratam do assunto. Dpois, são usados os opradorsscada gnralizados para obtr os autovalors d nrgia as autofunçõs para dois xmplos particulars, a partícula m uma caixa unidimnsional o potncial d Rosn-Mors unidimnsional. A partícula m uma caixa constitui um xmplo pculiar, pois não xib uma invariância xplícita, sndo ncssária uma discussão mais aprofundada dss caso. O potncial d Rosn-Mors, por su turno, mbora tnha solução conhcida, não conta ainda com a dscrição dos opradors-scada indicada aqui. Embora o formalismo aprsntado aqui s concntr m problmas unidimnsionais, l pod sr dirtamnt stndido para sistmas com mais dimnsõs. Na próxima sção, a mtodologia adotada é aprsntada. Em sguida, a mtodologia é aplicada ao problma da partícula m uma caixa 2, 12, 31]. Dpois, um caso particular do potncial d Rosn-Mors unidimnsional V x) sch 2 x)) 7,10] é studado. Por fim, na última sção, são indicadas as conclusõs a crca do formalismo adotado. 2. Mtodologia Considrmos um sistma quântico dscrito por um potncial cujo Hamiltoniano associado pod sr fatorizado m trmos d dois opradors d primira ordm 2]: H = d2 dx 2 + V x) = A+ A + E 0, 1) nssa xprssão H é o Hamiltoniano do sistma, A + A são chamados d opradors bosônicos E 0 é o autovalor do nívl mais baixo d nrgia do Hamiltoniano H. Por simplificação adotamos = 2m = 1. Os opradors bosônicos são dfinidos como: A + = d + W x, a) 2) dx A = d + W x, a), 3) dx sndo W x, a) chamado d suprpotncial, dado m função da variávl d posição d um conjunto d parâmtros a) prsnts no potncial. Por razõs didáticas d aprsntação, os xmplos tratados nss trabalho possui apnas um parâmtro,a. Substituindo as quaçõs 2) 3) na quação1), obtmos uma quação d Ricatti 21] para o suprpotncial W x, a): W 2 x, a) dw x, a) dx = V x) E 0. 4) Conhcndo o suprpotncial, os companhiros suprsimétricos são construídos através dos opradors bosônicos dfinidos nas quaçõs 2) 3): H 0 = A + A = d2 dx 2 + W 2 dw dx = d2 dx 2 + V 0x) = H E 0 5) H 1 = A A + = d2 dx 2 +W 2 + dw dx = d2 dx 2 +V 1x). 6) Os Hamiltonianos H 0 H 1 possum o msmo spctro d nrgia, com xcção do stado fundamntal d H 0, para o qual não há corrspondência no spctro d H 1 2]. Notamos na quação 5) qu H 0 é dfinido como Hamiltoniano original H) subtraído da nrgia do stado fundamntal E 0 ). Dss modo, a função d onda para o stado fundamntal, ψ 0, é obtida pla quação d autovalor, dada por: H 0 ψ 0 x, a 0 ) = H E 0 )ψ 0 x, a 0 ) = A + A ψ 0 x, a 0 ) = 0. 7) Para qu a xprssão 7) sja satisfita é suficint qu o oprador d dstruição aplicado à autofunção sja igual à zro, ou sja, A ψ 0 x, a 0 ) = 0. Dssa forma, a função d onda para o stado fundamntal, a mnos da constant d normalização, é dada por: ) ψ 0 x, a 0 ) xp W x, a 0 )d x. 8) Sguindo na construção dos opradors-scada ou d criação dstruição é ncssário qu o potncial a sr studado sja shap invariant 1, 2], ou sja, satisfaça a sguint condição: x Ra 0 ) = H 1 H 0 = V 1 x, a 0 ) V 0 x, a 1 ). 9) Nss caso, a difrnça ntr os potnciais V 1 x, a 0 ) V 0 x, a 1 ) não dpnd da coordnada spacial, ou sja, o rsíduo Ra 0 ) dpnd apnas do parâmtro a 0. A invariância na forma funcional shap invarianc) pod nvolvr difrnts transformaçõs nos parâmtros 32], ntr las, a translação, cujos parâmtros são rlacionados da sguint forma: a n = a 0 + ηn, 10) ond η é o parâmtro d translação o parâmtro a n é obtido transladando a 0 n vzs. Para os potnciais qu são shap invariant cujos parâmtros stão rlacionados por translação é possívl dfinir os opradors-scada 2, 12] como: B + a 0 ) = A + a 0 )T + a 0 ) = A + xp η ) a 0 11) B a 0 ) = T a 0 )A a 0 ) = xp η ) A, 12) a 0 Rvista Brasilira d Ensino d Física, vol. 40, nº 2, 2305, 2018

3 Batal cols ond A + A são os opradors bosônicos, quaçõs 2) 3), T + a 0 ) T a 0 ) são os opradors d translação no parâmtro. Os opradors-scada B ±, corrspondm a uma gnralização dos opradors criação dstruição 2]. Nst sntido, a função d onda para o stado fundamntal ψ 0 é obtida aplicando o oprador dstruição ao stado fundamntal: B a 0 )ψ 0 x, a 0 ) = T a 0 )A a 0 )ψ 0 x, a 0 ) = 0. 13) Dssa forma, é suficint qu A a 0 )ψ 0 x, a 0 ) = 0 o qu conduz a um rsultado similar ao obtido na quação 8): ) ψ 0 x, a 0 ) xp W x, a 0 )d x. 14) x Na squência, é important idntificar a sguint rlação ntr os rsíduos Ra n ) os opradors d translação 2]: ou ainda, Ra n ) = T + a 0 )Ra n 1 )T a 0 ), 15) Ra n )B + a 0 ) = B + a 0 )Ra n 1 ). 16) A rlação da quação 16) é vrificada dvido à indpndência d Ra n ) m rlação à variávl spacial, o qu implica qu os opradors bosônicos Ra n ) comutm ntr si. O próximo passo do procsso é a obtnção da rlação d comutação ntr H 0 o oprador B n +a 0 ), para isso inicialmnt tmos, H0, B n +a 0 ) ] = B + a 0 )B a 0 ), B n +a 0 ) ] = B + a 0 )B a 0 )B n +a 0 ) 17) B n +a 0 )B + a 0 )B a 0 ). Lmbrando qu o Hamiltoniano da quação 7) pod sr scrito m trmos dos opradors B + a 0 ) B a 0 ) da sguint manira: H 0 = B + a 0 )B a 0 ) = A + a 0 )T + a 0 )T a 0 )A a 0 ) 18) = A + a 0 )A a 0 ), a rlação d comutação da quação 17) pod sr rscrita por: H0, B+a n 0 ) ] = B + a 0 ) B a 0 )B + a 0 )B+ n 1 a 0 ) B+ n 1 a 0 )B + a 0 )B a 0 )] 19) = B + a 0 ) H 1 B+ n 1 a 0 ) B+ n 1 ] a 0 )H 0. Usando a dfinição: H0, B n 1 + a 0 ) ] = H 0 B n 1 + a 0 ) B n 1 + a 0 )H 0, 20) a quação 19) pod sr scrita como H0, B+a n 0 ) ] = B + a 0 ) H 1 B+ n 1 a 0 ) H 0 B+ n 1 a 0 ) + H 0, B+ n 1 a 0 ) ]]. 21) No lado dirito da quação 21) os trmos H 1 B+ n 1 a 0 ) H 0 B+ n 1 a 0 ) rmtm a rlação ntr os Hamiltonianos ncontrada na quação 9), dst modo, obtmos: H0, B n +a 0 ) ] = B + a 0 )Ra 0 )B n 1 + a 0 ) + H 0, B n 1 + a 0 ) ] ]. 22) A partir da quação 16), a quação 22) pod sr scrita da sguint manira H0, B+a n 0 ) ] = Ra 1 )B+a n 0 )+B + a 0 ) H 0, B+ n 1 a 0 ) ]. 23) Rptindo um procdimnto similar ao adotado para chgar a quação 23), a rlação d comutação H0, B+ n 1 a 0 ) ] é dada por: H0, B n 1 + a 0 ) ] = Ra 1 )B n 1 + a 0 ) +B + a 0 ) H 0, B n 2 + a 0 ) ]. 24) Substituindo a quação 24) na quação 23), tmos: H0, B n +a 0 ) ] = Ra 1 )B n +a 0 ) +Ra 2 )B n +a 0 ) + B 2 +a 0 ) H 0, B n 2 + a 0 ) ]. 25) Est procdimnto pod sr rptido n vzs até qu o comutador do lado dirito da quação 25) sja igual à zro, isto é, H 0, B+ n n a 0 ) ] = 0. Sndo assim, obtmos: H0, B+a n 0 ) ] n ] = Ra i ) B+a n 0 ). 26) i=0 Aplicando o comutador na função d onda para o stado fundamntal notando qu para ss stado H 0 ψ 0 a 0, x) = 0, tmos: n ] H 0 B+a n 0 )ψ 0 a 0, x) = Ra i ) B+a n 0 )ψ 0 a 0, x). i=0 27) Prcb-s qu a quação 27) é uma quação d autovalor para o oprador H 0, ond B n +a 0 )ψ 0 a 0, x) n i=0 Ra i) são as autofunçõs os autovalors d nrgia, rspctivamnt. Dss modo, tmos qu as autofunçõs os autovalors d nrgia do Hamiltoniano original são dados por: Rvista Brasilira d Ensino d Física, vol. 40, nº 2, 2305, 2018

4 Opradors-scada gnralizados para sistmas quânticos E n = E 0 + n Ra i ) 28) i=0 ψ n a 0, x) = B n +a 0 )ψ 0 a 0, x), 29) ond E 0 é a constant subtraída do Hamiltoniano original para dfinir H 0 quação 5)) corrspond ao autovalor do stado fundamntal do problma tratado. 3. Partícula numa caixa unidimnsional O formalismo dsnvolvido na sção antrior pod sr aplicado a qualqur potncial quântico qu sja shap invariant. Um caso trivial é o oscilador harmônico ond o parâmtro d translação é nulo 12]. Um xmplo mais laborado do uso do método dos opradors-scada para dtrminar as soluçõs da quação d Schrödingr é o sistma composto por uma partícula confinada numa caixa unidimnsional 12]. O potncial qu dscrv ss sistma é dado por:, x < π 2 V P C x) = 0, π 2 < x < π 2, 30), x > π 2 sndo qu os xtrmos do poço d potncial stão localizados m π 2 π 2. Esss valors foram scolhidos por simplicidad d cálculo. Para ss sistma, o Hamiltoniano dntro da caixa é dado por: H P C = d2 dx 2, 31) ond H P C é o Hamiltoniano original. Para a construção da hirarquia d Hamiltonianos, é ncssária a fatorização do Hamiltoniano original 11]. Assim, obtmos o primiro trmo constituint da hirarquia, H 0 = H P C E 0 = d2 dx 2 + V 0x), 32) sndo E 0 o autovalor do stado fundamntal do problma. Nst caso, o suprpotncial obtido d modo à fatorizar o Hamiltoniano H 0 é conhcido 11, 12] dado por: W x) = tgx). 33) Com st suprpotncial, os opradors bosônicos são A ± = d + tgx). 34) dx A partir das quaçõs 33) 34) a fatorização do Hamiltoniano é scrita como: H 0 = H P C E 0 = d2 dx 2 + tg2 x) sc 2 x). 35) Utilizando na xprssão 35) a rlação trigonométrica tg 2 x) sc 2 x) = 1, obtmos qu: H 0 = d2 1, 36) dx2 o qu prmit a obtnção do autovalor d nrgia do stado fundamntal do sistma,e 0 = 1. A fim d vrificar s ss potncial é shap invariant obtmos o companhiro suprsimétrico d H 0 qu é dado por: H 1 = d2 dx 2 V 1x) = d2 dx cos ) x) Est problma é spcialmnt intrssant, pois, m uma primira anális, as formas obtidas para os companhiros suprsimétricos, H 0 H 1, indicam qu st potncial não é shap invariant, uma vz qu V 0 = 1 V 1 = 2 cos 2 x) 1. Entrtanto, uma anális mais profunda prmit idntificar uma invariância scondida 12] nst caso. Construindo a forma gral do suprpotncial na hirarquia d hamiltonianos 11, 12] obtmos: W n x) = n tgx), 38) ond n é um númro natural difrnt d zro, n = 1, 2, 3, ). A hirarquia fornc o nésimo trmo da suprfamília d potncias qu E 1 n = n 2, V n E n) nn 1) 0 = cos 2 x) n2. 39) Para idntificar a shap invarianc scondida nst problma é ncssário xplicitar a dpndência dos potnciais com os parâmtros dos problmas. Assim, rscrvndo a hirarquia m trmos d um parâmtro a 0, obtmos um caso particular do potncial d Infld-Hull do tipo E como discutido nas rfrências 12, 33]: W x, a 0 ) = a 0 tgx). 40) A fatorização com o suprpotncial da quação 40) lva ao Hamiltoniano: H 0 = d2 dx 2 V 0x) = d2 dx 2 + a 0a 0 1) cos 2 a 2 x) 0. 41) O companhiro suprsimétrico d H 0, é scrito ntão: H 1 = d2 dx 2 V 1x) = d2 dx 2 + a 0a 0 + 1) cos 2 a 2 x) 0. 42) É important notar qu fazndo a 0 = 1 no hamiltoniano da xprssão 41), o hamiltoniano original quação 36)) é rcuprado. Após a obtnção dos companhiros suprsimétricos, o próximo passo é usar a xprssão 9) para vrificar a shap invarianc do potncial. Nss caso, tmos qu: Rvista Brasilira d Ensino d Física, vol. 40, nº 2, 2305, 2018

5 Batal cols Ra 1 ) = a0 a 0 + 1) cos 2 x) a 2 0 ] ] a1 a 1 1) cos 2 a ) x) Para qu Ra 1 ) sja indpndnt d x, a sguint rlação prcisa sr obsrvada, a 1 = a ) Assim, da rlação 10) obtmos qu η = 1. Dst modo, o rsíduo obtido val: Ra 1 ) = a 2 1 a 2 0 = 2a ) Gnralizando o rsíduo quação 45)), fazndo a k = a 0 + ηk, ncontramos: Ra k ) = a 2 k a 2 k 1 = a 0 + k) 2 a 0 + k 1)] 2 46) = 2a 0 + 2k 1, ond η = 1. Em sguida, podmos dtrminar os nívis d nrgia usando a quação 28): n n E n = E 0 + Ra k ) = 1+ 2a 0 +2k 1) = n 2 +2a 0 n+1, k=1 k=1 47) com a 0 = 1 como idntificado antriormnt. Esss autovalors são os msmos obtidos por outros métodos 2]. Na squência, obtmos os opradors-scada d acordo como foi aprsntado nas quaçõs 11) 12): B + a 0 ) = d ] dx + tgx) xp η ) a 0 48) B a 0 ) = xp η ) ] d a 0 dx + tgx), 49) as autofunçõs para st potncial podm sr obtidas usando os opradors das quaçõs 48) 49). Utilizando o oprador B a 0 ) quação 49)) na função do stado fundamntal, obtmos: B a 0 )ψ P C0 x, a 0 ) = 0, 50) o qu prmit ncontrar a autofunção para o stado fundamntal d uma partícula confinada m uma caixa unidimnsional ψ P C0 x, a 0 )): ] ψ P C0 x, a 0 ) = N 0 xp a 0 tg x)d x = N 0 cos a0 x), x 51) sndo N 0 a constant d normalização. Para o caso m qu a 0 = 1, tmos: ψ P C0 x) = N 0 cosx). 52) Para o primiro stado xcitado a 0 = 1, a sguint autofunção é ncontrada: ψ P C1 x) = N 1 cos2x), 53) ond N 1 é a constant d normalização para st stado. Por fim, usando as quaçõs 29), 48) 51) obtmos a função d onda para o nésimo stado xcitado: ψ P Cn x, a 0 ) d ) dx + tgx) xp η )] n cos a0 x) a, 54) a0=1 0 os autovalors d nrgia são dados pla quação 47), E n = n 2 + 2a 0 n + 1) a0=1. 55) 4. Potncial d Rosn-Mors Usando o formalismo dscrito antriormnt é possívl dtrminar os opradors-scada para qualqur potncial shap invariant. Outro xmplo ilustrativo do formalismo introduzido ainda não xplorado na litratura é o potncial d Rosn-Mors 34]: V RM αy) = V a sch 2 αy) + V b tanhαy), 56) ond α, V a V b são constants. O potncial unidimnsional d Rosn-Mors studado aqui, s rstring a um caso particular m qu: V b = 0 αy = x. Dssa manira, rscrvmos a quação 56) como: V RM x) = V a sch 2 x). 57) O Hamiltoniano para st caso pod sr scrito d forma convnint como: H RM = d2 dx 2 + V RM x) = d2 dx 2 V asch 2 x) 58) Fatorizando o Hamiltoniano quação 58)) da msma manira fita na quação 1) tmos qu dfinir os opradors bosônicos, ou sja, obtr um suprpotncial W 0 x) qu fatoriz H 0. Um suprpotncial viávl é: W 0 x) = β 0 tanhx), 59) ond β 0 é uma constant. Assim, os opradors bosônicos para st caso são dfinidos como: A ± = d dx + β 0tanhx). 60) A fatorização dst caso é scrita como: H RM E 0 = A + A = d2 dx 2 +β2 0tanh 2 x) β 2 0sch 2 x). 61) Rvista Brasilira d Ensino d Física, vol. 40, nº 2, 2305, 2018

6 Opradors-scada gnralizados para sistmas quânticos Usando a rlação sch 2 x) + tanh 2 x) = 1, a quação 61 pod sr xprssa d uma manira convnint por: H 0 = H RM E 0 = d2 dx 2 +β2 01 sch 2 x)) β0sch 2 2 x). 62) Para dtrminar a constant é prciso igualar a quação 62) com o Hamiltoniano original quação 58)), isto é, d2 dx 2 V asch 2 x) E 0 = d2 dx 2 + β2 01 sch 2 x)) A quação 63) é vrdadira quando: β 0 = V a 2 β 2 0sch 2 x). 63) ond V a > 0 64) E 0 = β ) É oportuno obsrvar qu β 0 foi scolhido d forma qu β 0 > 0 para todo V a > 0. Essa condição é important, pois possibilita a xistência d stados ligados qu as funçõs d onda obtidas adiant sjam normalizávis. Obsrva-s qu o potncial V 0 x) nss caso, é dfinido como: V 0 x) = β 2 01 sch 2 x)) β 0 sch 2 x). 66) Sguindo a mtodologia aprsntada, é ncssário vrificar s ss potncial é shap invariant. Assim, usando a quação 6) dtrminamos o companhiro suprsimétrico d H 0 : H 1 = A A + = d2 dx 2 + β2 1tanh 2 x) + β 2 1sch 2 x) 67) = d2 dx 2 + β2 11 sch 2 x)) + β 2 1sch 2 x). Comparando a quação 66) com a quação 67) prcbs qu o suprpotncial associado com H 1 pod sr scrito como: W 1 x) = β 1 tanhx), 68) ond β 1 é uma constant a sr dtrminada. Usando ssa função, o potncial V 1 x) é dfinido como: V 1 x) = β 2 11 sch 2 x)] + β 1 sch 2 x). 69) Usando as quaçõs 66) 69) vrificamos qu o potncial original é shap invariant quação 9)) s: Rβ 1 ) = β 2 01 sch 2 x)] + β 0 sch 2 x) β 2 11 sch 2 x)] β 1 sch 2 x), 70) para Rβ 1 ) sr indpndnt da variávl spacial o parâmtro β 1 tm qu sr scrito como: β 1 = β ) Fazndo uma rlação ntr a quação 10) a quação 71) nota-s qu o parâmtro d translação η é 1. Portanto, o rsíduo Rβ 1 ) é: Ra 1 ) = β 2 0 β 2 1 = 2β ) No gral, o rsíduo quação 72)) é gnralizado d manira análoga a quação 10) o qu implica m β k = β 0 + ηk, ond η = 1. Assim, Rβ k ) pod sr rdfinido: Rβ k ) = β 2 k 1 β 2 k = β 0 k 1)] 2 β 0 k) 2 = 2β 0 k) + 1, 73) Usando as quaçõs 28), 65) 73), calculamos os nívis d nrgia para o potncial d Rosn-Mors studado: E n = β n 2β 0 k) + 1] k=1 = β β 0 + 1)n nn + 1) 74) = β 0 n) 2, ond β 0 é dfinido pla quação 64). Esss autovalors d nrgia são os msmos ncontrados por outros métodos 7, 8]. Em sguida, s obtém os opradors d criação d dstruição das dfiniçõs dadas plas quaçõs 11) 12), rspctivamnt, com o suprpotncial indicado pla quação 59). Para o prsnt problma sss opradors são dados por: B + β 0 ) = d ] dx + β 0tanhx) xp η ) β 0 75) B β 0 ) = xp η ) ] d β 0 dx + β 0tanhx), 76) As autofunçõs para o potncial original, quação 57), podm sr ncontrados usando os opradors d criação quação 75)) dstruição quação 76)). Utilizando o oprador B β 0 ) aplicado à autofunção do stado fundamntal, dv-s obsrvar qu: B β 0 )ψ RM0 x, β 0 ) = 0, 77) o qu prmit dtrminar a autofunção para o stado fundamntal do potncial d Rosn-Mors, ψ RM0 x, β 0 )): ψ RM0 x, β 0 ) = N 0 cosh β0 x), 78) Rvista Brasilira d Ensino d Física, vol. 40, nº 2, 2305, 2018

7 Batal cols ond N 0 é a constant d normalização β 0 é dado na quação 64). ψ RM1 x, β 0 ) = N 1 snhx)cosh β0+2) x), 79) ond N 1 é a constant d normalização para st stado. Por fim, usando as quaçõs 29), 75) 78) obtmos a função d onda para o nésimo stado xcitado: ψ RMn x, β 0 ) xp η β 0 d ) dx + β 0tanhx) )] n cosh β0 x) β 1+, 80) 1+4Va 0= 2 ond V a > 0 os autovalors d nrgia quação 74)) são dados por: 5. Conclusõs E n = β 0 n) 2 β 0= Va 2. 81) Nst trabalho foram introduzidos os opradors-scada gnralizados, originários da aplicação do formalismo da Suprsimtria m Mcânica Quântica. O formalismo foi introduzido com dtalhs algébricos usado para obtnção das autofunçõs dos autovalors d nrgia, para a partícula m uma caixa um caso particular do potncial d Rosn-Mors. Para os dois casos studados a shap invarianc foi idntificada, o qu viabilizou a construção dos opradors-scada gnralizados. No caso da partícula numa caixa, difrntmnt do qu ocorr para o potncial d Rosn-Mors, a shap invarianc não s du d forma dirta. Ela só pod sr idntificada após a introdução d um parâmtro fixado a postriori, o qu foi indicado com uma invariância scondida. Os rsultados aprsntados mostram uma manira altrnativa d construção dos opradors-scada m Mcânica Quântica. Uma vz qu quas todos os potnciais xatamnt solúvis são shap invariant a abordagm proposta gnraliza o tratamnto via opradors-scada para um númro maior d problmas. Alguns dsss problmas já foram tratados na litratura 2, 12], como o caso da partícula m uma caixa. Entrtanto, até ond podmos prcbr, o caso particular do potncial d Rosn-Mors studado aqui ainda não havia sido discutido através dssa abordagm até o prsnt trabalho. Os rsultados obtidos aqui podm sr usados m difrnts contxtos, m spcial, na construção d stados cornts, o qu amplia o intrss pla abordagm aprsntada. O formalismo discutido também pod sr visto como um método altrnativo d obtnção da solução da quação Schrödingr. Agradcimntos Os autors agradcm a Coordnação d Aprfiçoamnto d Pssoal d Nívl Suprior CAPES) a Fundação d Amparo à Psquisa do Estado d São Paulo FAPESP) plo suport financiro parcial ao projto. Rfrências 1] F. Coopr, A. Khar and U. Sukhatm, Phys. Rp. 251, ). 2] E. Drigo Filho, Suprsimtria Aplicada à Mcânica Quântica: Estudo da Equação d Schrödingr Editora UNESP, São Paulo, 2009). 3] E. Drigo Filho and R.M. Ricotta, Mod. Phys. Ltt. A 10, ). 4] E. Drigo Filho and R.M. Ricotta, Phys. Ltt. A 269, ). 5] D. Mikulski, J. Konarski, K. Edr, M. Molski and S. Kabaciński, J. Math. Chm. 53, ). 6] J.C.B. Araujo, G.R.P. Borgs and E. Drigo Filho, Rv. Bras. Ens. Fis. 28, ). 7] C.V. Sukumar, J. Phys. A: Math. Gn. 18, ). 8] R. Dutt, A. Khar and U.P. Sukhatm, Am. J. Phys. 56, ). 9] N.A. Alvs and E. Drigo Filho, J. Phys. A: Math. Gn. 21, ). 10] G. Lvai, J. Phys. A: Math. Gn. 22, ). 11] E. Drigo Filho, Rv. Bras. Ens. Fis. 20, ). 12] E. Drigo Filho and M.R. Ricotta, J. Phys. A: Math. Gn. 37, ). 13] C.S. Jia, J.Y. Wang, S. H, and L.T. Sun, J. Phys. A: Math. Gn. 33, ). 14] S.W. Qian, B.W. Huang and Z.Y. Gu, Nw J. Phys. 4, ). 15] B. Bagchi, A. Banrj, C. Qusn and V.M. Tkachuk, J. Phys. A: Math. Gn. 38, ). 16] A. Ganguly and L.M. Nito, J. Phys. A: Math. Thor. 40, ). 17] C.S. dos Santos, E. Drigo Filho and R.M. Ricotta, Int. J. Quantum Chm. 115, ). 18] G.R.P. Borgs, E. Drigo Filho and R.M. Ricotta, Physica A 389, ). 19] F.R. Silva and E. Drigo Filho, Chm. Phys. Ltt. 498, ). 20] F. Polotto, M.T. Araujo and E. Drigo Filho, J. Phys. A: Math. Thor. 43, ). 21] S. Bittanti, A.J. Laub and J.C. Willms, Th Riccati Equation Springr - Vrlag, Nw York, 2012). 22] E. Mrzbachr, Quantum Mchanics Wily, Nw York, 1997). 23] R. Dick, Advancd Quantum Mchanics - Matrials and Photons Springr - Vrlag, Nw York, 2012). 24] A.A. Raduta, Nuclar Structur with Cohrnt Stats Springr Intrnational Publishing, Switzrland, 2015). 25] R. Borrlli and M.F. Glin, Chm. Phys. 481, ). 26] I. Silva, Rv. Bras. Ens. Fis. 37, ). 27] M. Novas, Rv. Bras. Ens. Fis. 24, ). 28] C. Valvrd, A.N. Castro, E.P. Santos B. Basia, Rv. Bras. Ens. Fis. 37, ). Rvista Brasilira d Ensino d Física, vol. 40, nº 2, 2305, 2018

8 Opradors-scada gnralizados para sistmas quânticos 29] W.M. Zhang, D.H. Fng and R. Gilmor, Rv. Mod. Phys. 62, ). 30] P.L. Knight and L. Alln, Concpts of Quantum Optics Prgamon, Oxford, 2013). 31] D.J. Griffiths, Introduction to Quantum Mchanics Parson Prntic Hall, Nw Jrsy, 2004). 32] A.B. Balantkin, Phys. Rv. A 57, ). 33] L. Infld and T.E. Hull, Rv. Mod. Phys. 23, ). 34] A.N. Ikot and L.E. Akpabio, App. Phys. Rs. 2, ). Rvista Brasilira d Ensino d Física, vol. 40, nº 2, 2305, 2018