Eletromagnetismo. Paramagnetismo dos Materiais

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1 Eltromagntismo Paramagntismo dos Matriais

2 Eltromagntismo» Paramagntismo dos Matriais 1 Matriais Paramagnéticos Os matriais rspondm a campos magnéticos aplicados sobr ls d três formas distintas. S ls xibm uma magntização m carátr prmannt, como ocorr com os matriais frromagnéticos, o fito do campo srá o d aumntar sua magntização. Há um rforço na magntização do matrial. S sus constituints xibm um momnto d dipolo magnético, mas não xibm uma magntização prmannt, podrmos constatar dois fnômnos qu, d crta manira, comptm ntr si. D um lado, ocorr uma tndência para o alinhamnto dos momntos d dipolo d acordo com a orintação do campo magnético. D outro, tmos uma altração dos momntos d dipolo magnético dos constituints. Os matriais paramagnéticos são aquls m qu a ação do campo magnético xtrno a ls aplicado é o d alinhar os momntos magnéticos dos sus átomos (quando xistirm) ou moléculas com o campo xtrno. Els xibm uma magntização líquida, ou sja, difrnt d zro, apnas nquanto stão sob a ação d um campo magnético xtrno. Quando o campo magnético é rtirado, ssas substâncias prdm suas propridads magnéticas. Alumínio, Bário, Cálcio, Oxigênio Sódio, por xmplo, são lmntos paramagnéticos. Por causa do alinhamnto com o campo xtrno, como no caso dos matriais frromagnéticos, os matriais são atraídos por ímãs. Intragm, portanto, com outros objtos qu produzm campos magnéticos. o ntanto, a força d atração xrcida por sss matriais é bm mais débil qu as forças xrcidas plos ímãs. Às vzs, são milhars d vzs mais débis qu aqulas xrcidas plos matriais frromagnéticos. Em última anális, o paramagntismo dos matriais tm rlação com o momnto d dipolo magnético dos sus constituints. Assim, uma substância srá paramagnética s os átomos tivrm létrons não mparlhados. Substâncias cujos átomos ou moléculas têm um momnto d dipolo magnético prmannt são paramagnéticas. Os átomos ou moléculas com um númro ímpar d létrons rcam nssa catgoria, pois, nssas circunstâncias, não há como s obtr um momnto angular nulo para ls. Consquntmnt, o momnto d dipolo magnético d cada um dos constituints da matéria não é nulo. Átomos livrs ou íons qu contêm camadas intrnas não prnchidas xibm, igualmnt, o frromagntismo. ssa catgoria stão, por xmplo, os lmntos d transição. Substâncias paramagnéticas são atraídas por um ímã.

3 Eltromagntismo» Paramagntismo dos Matriais Mtais são, por outro lado, igualmnt, matriais paramagnéticos isso porqu tais matriais têm létrons livrs, os quais têm um momnto d dipolo magnético prmannt. S os constituints d um matrial tivrm momntos d dipolo magnético prmannt, isso não implica ncssariamnt o surgimnto d uma magntização macroscópica no matrial. D fato, podr-s-ia imaginar uma situação m qu a orintação dos momntos d dipolo sja ao acaso. Isso acarrtaria uma magntização nula. ss caso, a soma dos momntos d dipolo srá nula: µ = µ = 0 i= 1 i O fito da tmpratura (fito térmico) é o d provocar uma situação caótica, rsultando daí qu a magntização é nula. Para qu o matrial s magntiz é important qu haja a orintação dos momntos d dipolo. o caso dos matriais paramagnéticos, ssa qustão dv sr analisada à luz d considraçõs sobr a nrgia d um sistma qu contnha dipolos magnéticos. ( 1 ) A tndência dos momntos d dipolo magnético é s orintarm alatoriamnt. O Efito do Campo Magnético Extrno Considrmos o caso m qu um matrial fiqu sujito a um campo xtrno B. ssas circunstâncias, cada constituint dotado d um momnto d dipolo prmannt s orintará prfrncialmnt na dirção do campo magnético xtrno. Os momntos d dipolo tndrão a s orintar na dirção do campo magnético aplicado. Tal prvisão é basada m considração sobr a nrgia adicional qu um dipolo magnético adquir. Essa nrgia é dada por: a busca d uma situação mais stávl, sistmas físicos procuram ficar no stado fundamntal, qu é o stado d nrgia mínima. Para um dipolo magnético apnas, tal configuração é aqula m qu µ é parallo no msmo sntido d B. E = µ. B ( ) Mdiant a aplicação d um campo magnético xtrno, a tndência do momnto d dipolo é ficar orintado na dirção sntido do msmo.

4 Eltromagntismo» Paramagntismo dos Matriais 3 Como rsultado tmos, ntão, qu um campo magnético provoca o alinhamnto dos momntos d dipolo dos constituints do matrial. o ntanto, conquanto haja uma tndência d provocar uma orintação dos dipolos magnéticos, ss fito compt com o fito térmico, o qual provoca o fito oposto. Assim, o problma básico do paramagntismo consist m prvr o valor médio da orintação dos momntos d dipolo. Dfinimos o vtor magntização como o vtor qu dá a dnsidad d momntos d dipolo magnético num dtrminado ponto do spaço. Ou sja, considrando-s o lmnto d volum infinitsimal localizado num ponto cujo vtor é r, o su momnto magnético é: d r µ( ) = M( r) dv ( 3 ) A dtrminação do vtor magntização sria possívl s soubéssmos quantos dls xibm uma particular orintação. Gralmnt, dfinimos a magntização como a grandza física dada pla média da componnt do momnto angular na dirção do campo magnético vzs a dnsidad dos constituints do matrial. Admitindo-s qu xistm /V átomos por unidad d volum, um tratamnto statístico nos lvaria a scrvr a componnt z da magntização como: ond µ é o valor médio do momnto magnético dos constituints do matrial. Como o valor médio dpnd da intnsidad do campo magnético xtrno da tmprartura, podmos prvr qu a magntização é dpndnt da tmpratura do campo d intnsidad magnética aplicado ao matrial. Portanto, podmos prvr qu a magntização srá função do campo d intnsidad létrica da tmpratura: M = µ V M = M ( HT, ) ( 4 ) ( 5 ) Mdiant a aplicação d um campo xtrno, é possívl orintar os momntos d dipolo. O grau dssa orintação dpnd, no ntanto, da tmpratura. Admais, quando a tmpratura tnd a zro, a magntização ating o valor máximo, isto é: lim M ( H, T) M T 0 ( 6 )

5 Eltromagntismo» Paramagntismo dos Matriais 4 Finalmnt, é d s sprar qu no limit d altas tmpraturas a magntização tnda a zro: lim M ( H, T ) 0 T ( 7 ) Para dtrminarmos o grau d alinhamnto dos dipolos magnéticos dvmos, no ntanto, rcorrr à Mcânica Estatística. O fato é qu, quando analisamos médias d grandzas físicas para sistmas qu contêm um númro muito grand d átomos, por xmplo, fazmos uso d concitos statísticos. Valors médios, como a média da do momnto d dipolo, podm sr obtidos a partir d uma função d distribuição. Função d Distribuição o contxto da mcânica statística clássica, a função d distribuição mais important é aqula qu spcifica a probabilidad, P(E), d ncontrarmos um sistma macroscópico à tmpratura T dotado d uma nrgia E. Essa função é dada por: E PE ( ) = T ( ) ( 8 ) ond k é a constant d Boltzmann é um fator d normalização. Isto é, l é introduzido na xprssão acima para assgurar qu a soma sobr todas as probabilidads sja igual a 1. Da xprssão acima rsulta qu: E PE ( ) = 1 T ( ) = A partir da função d distribuição, podmos dtrminar valors médios. Por xmplo, o valor médio da nrgia srá: E E ( 9 ) E = E PE ( ) E ( 10 ) D (...) tmos qu a configuração corrspondnt ao valor mínimo da nrgia é a qu ocorr com maior probabilidad, ou sja, é a prfrida do sistma físico.

6 Eltromagntismo» Paramagntismo dos Matriais 5 Dada a função d distribuição, tmos agora lmntos para dtrminar o valor médio do momnto magnético µ. Tal valor é dado por: µ = µ PE ( ) ( 11 ) Uma aplicação intrssant da Mcânica statística clássica é conhcida como torma d Bohr-van Luwn. O nunciado dss torma aprsntado por Bohr m sua ts d doutorado, m 1911, pod sr traduzido da sguint forma: S o momnto angular total d um sistma for nulo, a aplicação da statística clássica lva à prvisão d qu tais sistmas não xibm nm o diamagntismo nm o paramagntismo. Exist um canclamnto, no nívl clássico, dos dois fitos. Como rsultado, a toria clássica não é capaz d xplicar o magntismo da matéria. Para mlhor prcbr ond a toria clássica falha m dscrvr o magntismo, basta considrar a função d distribuição d um sistma quando nl aplicamos um campo magnético. Considrando-s qu o campo magnético não raliza trabalho, as nrgias do sistma ants d introduzirmos o campo são as msmas: E = E B ( 1 ) Uma função d distribuição típica dpnd da tmpratura. o xmplo, considramos a distribuição d vlocidads num gás como função da tmpratura., portanto, P(E) = P(E B ) ( 13 ) Ou sja, a dscrição statística num ou noutro caso lva ao msmo rsultado. ão há dpndência m rlação ao campo magnético xtrno. Considrmos a sguir dois limits importants. Quando a tmpratura tnd a zro, a magntização ating o valor máximo possívl. ss limit, obtmos: lim MT ( ) = µ 0 M T 0 V Ou sja, no limit d tmpratura baixa, todos os momntos d dipolo stão alinhados na dirção do campo magnético. O sgundo limit important é aqul d altas tmpraturas quando ntão a magntização tnd a zro. sat ( 14 )

7 Eltromagntismo» Paramagntismo dos Matriais 6 A Toria d Langvin A toria clássica do Paramagntismo foi dsnvolvida por Langvin. la fazmos uso da statística clássica d Maxwll-Boltzmann para a dtrminação do valor médio da componnt z dos momntos magnéticos. Adotamos o ixo z como aqul dtrminado pla dirção do campo magnético. Em função do ângulo θ formado plo dipolo magnético o ixo z, scrvmos: µ = µ cos 0 θ ( 15 ) D acordo com (000) (000), a probabilidad d ncontrarmos um dipolo com uma dtrminada orintação é dada por: E 1 PE T ( ) = ( ) Tnto m vista qu a nrgia dpnd da dirção, podmos considrar qu a xprssão acima stablc a probabilidad d ncontrar dipolos com uma dtrminada orintação no spaço. D (000), infrimos qu a probabilidad d ncontrarmos a orintação dos dipolos dntro d um ângulo sólido dω é dada por: ( 16 ) O momnto d dipolo magnético sua componnt z. µ B cosθ dp = 1 dω T ( ) ( 17 ) Obsrv-s qu, statisticamnt, ncontrarmos mais dipolos alinhados com o campo do qu m qualqur outra dirção. Para lvarmos m conta as possívis dirçõs no spaço, fazmos uso do concito d ângulo sólido, utilizando coordnadas sféricas, scrvmos: dω = sn θ dθ dϕ dω = 4π Tndo m vista qu a nrgia dpnd apnas da dirção considrada, a soma sobr as nrgias possívis é quivalnt a uma soma sobr as dirçõs dlimitadas por um ângulo sólido infinitsimal. Escrvmos, primiramnt, qu: ( 18 ) Rprsntação d um lmnto d ângulo sólido infinitsimal. dµ = µ dp ( 19 )

8 Eltromagntismo» Paramagntismo dos Matriais 7 Consquntmnt, o valor médio do momnto d dipolo é dado por: o qu nos lva ao rsultado: Bcos 1 1 µ = µ d = µ θ T Ω T 0 cos ( ) ( ) µ 0 θ µ 0Bcosθ dω ( 0 ) ond, por dfinição: π π 1 βcosθ µ = θ dθ dϕ µ θ z sn 0 cos 0 0 ( 1 ) nquanto a função d partição é dada por: Eftuando a intgral acima, obtmos: π π β µ = 0B β T ( ) d d cos θ = sn θ θ ϕ = π d(cos θ) 0 1 π 0 βcosθ ( ) ( 3 ) D (...) squ-s qu: Portanto, d (...) (...) rsulta qu: T ( )= β β β µ T d( In) ( ) = µ 0 dβ ( 4 ) ( 5 ) ond L(β) é a função d Langvin: µ ( T) = µ L( β ) 0 ( 6 ) 1 L( β) = cotanhβ β ( 7 ) Comportamnto da função d Langvin

9 Eltromagntismo» Paramagntismo dos Matriais 8 A magntização rsultant é dada por: M µ B 0 = µ = µ 0L( β ) = µ 0 cotan V V V µ 0B Podmos fazr uma xpansão d Taylor da função L(β). Para valors pqunos d β, podmos scrvr, dntro d uma boa aproximação: ( 8 ) L( β) β 3 ( 9 ) Assim, para tmpraturas tais qu µ T k o comportamnto da magntização com a tmpratura é tal qu 0 B ( 30 ), portanto, para altas tmpraturas, a magntização cai com o invrso da tmpratura. Tal comportamnto é dnominado Li d Curi. Como sprado, para altas tmpraturas a substância prd sua magntização. Isto é: MT ( )= V µ 0 B 3 ( 31 ) lim MT ( ) = 0 T ( 3 ) A toria clássica d Langvin part do prssuposto d qu os constituints xibm um momnto d dipolo magnético, consquntmnt, possum um momnto angular. A Li d Curi s torna válida para altas tmpraturas.

10 Eltromagntismo» Paramagntismo dos Matriais 9 Momnto angular na toria qûantica Aprndmos, no príodo d transição ntr os séculos XIX XX, qu uma nova manira d dscrvr os fnômnos naturais s impunha. Essa nova manira rcbu o nom d toria quântica. Ela é ssncial no nívl atômico subatômico. A toria quântica foi introduzida como uma ncssidad visando a lvar m conta a naturza dualística da matéria. Ou sja, dvmos incorporar à dscrição dos fnômnos a naturza ondulatória da matéria. a toria quântica vmos qu grandzas físicas têm um spctro discrto. Ess é o caso da nrgia d um sistma físico como o átomo. Além da nrgia, o momnto angular é quantizado. Assim, o momnto angular total d um létron num átomo é tal qu L L L = h ll ( +1) ( 33 ) ond l é um outro númro quântico h é a constant d Planck dividida plo valor π. Ess númro quântico assum um valor intiro, não ngativo. l = númro quântico azimutal l = 0, 1,,... ( 34 ) Os possívis valors d l são dados pla rlação 0 l n 1 ( 35 ) Outra coisa curiosa sobr o momnto angular é a sua componnt z também sr quantizada, isto é, assum valors dados pla rlação: L = h m l ( 36 ) ond m l é um novo númro quântico. m l = númro quântico magnético ( 37 )

11 Eltromagntismo» Paramagntismo dos Matriais 10 Ess é um númro quântico intiro, mas qu pod assumir valors ngativos. Su valor stá rstrito ao intrvalo d valors: l m l l. ( 38 ) Tmos assim l + 1 valors possívis para o númro quântico magnético. Finalmnt, lmbramos qu o létron tm spin. O spin (s) é uma grandza vtorial. Trata-s d um momnto angular intrínsco. O módulo dssa grandza vtorial no caso do spin do ltron é: 1 S h h = + = 4 nquanto a componnt dss vtor ao longo d um ixo, o qual dnominamos z, pod assumir apnas dois valors: ( 39 ) h S =± / ( 40 ) A constant /h é a constant d Planck dividida por π. Valors possívis da componnt z do momnto angular l = 3. A componnt z do spin o valor do módulo dssa grandza física só podm assumir alguns valors. São quantizados. Tmos, assim, apnas duas possibilidads para a componnt z do momnto angular d spin. Por ssa razão, dizmos qu o spin do létron é 1/.

12 Eltromagntismo» Paramagntismo dos Matriais 11 Assim, o momnto angular total d um létron num átomo, qu, d acordo com a xprssão (000), é a soma dos momntos angulars orbital d spin, assum valors dados pla xprssão: J J J = h j( j+1) ( 41 ) ond j é um númro quântico h é a constant d Planck dividida plo valor π. j = númro quântico associado ao momnto angular total. ( 4 ) Os possívis valors d J são, por xmplo, dados plos valors: J = h/ j =, J = h/ j = 1, J h j 4 4 ( ) = / = 3... Outra coisa curiosa sobr o momnto angular é a sua componnt z também sr quantizada, isto é, assum valors dados pla rlação: ( 43 ) J = hm j ( 44 ) ond m l é um novo númro quântico. Ess é um númro quântico qu pod assumir valors intiros, smi-intiros, bm como pod assumir valors ngativos. Su valor stá rstrito ao intrvalo d valors: j m j j ( 45 ) Tmos, assim, j + 1 valors possívis para o númro quântico magnético. Por xmplo, no caso d j = 1/, os valors da componnt z do momnto angular total são dados por: 1 1 J = h/, J = h/, o caso m qu j = 3 (vja figura), a componnt z do momnto angular total pod assumir apnas um dos 7 valors dados a sguir: ( 46 ) J = 3h/, J = h/, J = h/, J = 0, J = h/, J = h/, J = 3h/, ( 47 ) O momnto angular total é também quantizado.

13 Eltromagntismo» Paramagntismo dos Matriais 1 Enrgia Magnética d Elétrons, Prótons Átomos Um átomo adquir um momnto d dipolo dado pla xprssão: µ= g q m ond g é um fator conhcido como fator d Landé, é a carga létrica do létron m é a sua massa. Tal fator é muito próximo é uma caractrística d um particular stado atômico. J, m (000), é o momnto angular total do átomo. Tal grandza é dada pla soma do momnto angular total d cada um dos létrons. J ( 48 ) J = L+ S ( 49 ) Assim, quando sob a ação d um campo magnético xtrno, cuja orintação adotarmos como aqula ao longo da dirção z, o átomo trá uma nrgia, associada à sua intração com o campo magnético xtrno dada pla xprssão: E = B = g m J B g m J B mag = µ D (000), sgu-s qu os valors possívis da nrgia magnética são aquls dados pla xprssão: ( 50 ) Cada átomo s comporta como um pquno ímã. ond µ B é o mágnton d Bohr: E = g hb / m m g Bm mag = µ J B J ( 51 ) qh/ = m µ B = Am E m J é um dos valors possívis para tal númro quântico. Por xmplo, no caso d j = 5 tmos 6 valors possívis para a nrgia magnética (vja Figura XX). O dsdobramnto d nívis m J + 1 nívis, quando um átomo s ncontra sob o fito d um campo magnético xtrno, tm o nom d Efito man. ( 5 )

14 Eltromagntismo» Paramagntismo dos Matriais 13 Sob a ação d um campo magnético xtrno, os nívis d nrgia s dsdobram m J + 1 nívis d nrgia. Est é o fito man. O fator g d Landé pod sr scrito m trmos dos númros quânticos S, l J isso porqu ( J S) = J + S S J = L S J = Analogamnt, ( J S) = J + L L J = S L J = E, portanto, o fator g é dado por: j( j+ 1) + ss ( + 1) ll ( + 1) j( j+1) j( j+ 1) + ll ( + 1) ss ( + 1) j( j+1) ( 53 ) ( 54 ) g = g j j( j+ 1) + ll ( + 1) ss ( + 1) j j ss ll gs j j+ + ( + 1) + ( + 1) ( + 1) ( 1) j( j+ 1) Consquências aplicaçõs do magntismo das partículas Além do fito man, podmos citar outra consquência do magntismo dos constituints do átomo. Trata-s d ntndr a xpriência d Strn-Grlach. Essa xpriência é uma consquência do magntismo do létron, isto é, a nrgia d um létron sob a ação d um campo magnético pod ( 55 )

15 Eltromagntismo» Paramagntismo dos Matriais 14 assumir apnas dois valors, os quais dpndm do momnto magnético do létron. Lmbramos primiramnt qu, admitindo o campo magnético ao longo do ixo z, a nrgia magnética é dada por: q Ur m SB r ( ) ( ) 3 a qual pod assumir apnas dois valors: ( 56 ) U + qh / r m B r = B r ( ) ( ) = ωb ( ) qh / U ( r) = m B ( r) = ω B B ( r ) ond U + é a nrgia dos létrons com a componnt z do spin com sinal ngativo (dizmos com o spin para baixo) U é a nrgia dos létrons com a componnt z do spin com sinal positivo (aquls com o spin para cima). A força sobr um létron sujita a um campo magnético não uniform é dada por: ( 57 ) F = U ( 58 ) Assim, a componnt z da força é dada pla xprssão: F g qm S B = z Consquntmnt, um fix d létrons quando m movimnto, numa rgião m qu xist um campo magnético não uniform, s dividiria m dois isso porqu alguns átomos xprimntarão uma força tal qu: F = ω z B Tais létrons, aquls cujo spin stá para cima, s movrão no sntido contrário àqul para o qual o gradint do campo magnético crsc ( B > 0 ), nquanto os dotados d spin para cima, z xprimntarão uma força d msmo módulo, mas d sntido oposto aos d spin para cima. B z ( r ) ( 59 ) ( 60 )

16 Eltromagntismo» Paramagntismo dos Matriais 15 F + z = ω B B z Um fix d létrons s dividirá, portanto, m dois. Isto xplica o rsultado da xpriência d Strn-Grlach. Obsrv-s qu é ssncial qu o campo magnético não sja uniform. Uma das aplicaçõs do magntismo do próton é conhcida como Rssonância uclar Magnética, qu é utilizada para fito d diagnóstico médico. Ela foi dscrita, rapidamnt, no tma carga létrica spin. Aqui aprsntamos sua bas m trmos mais prcisos. Para um átomo, ou uma partícula como o próton, dotado d nrgia magnética, é possívl fazê-lo passar d uma nrgia para um nívl d nrgia mais alto. Para tanto, dv-s transfrir a l uma quantidad d nrgia dada pla difrnça d nívis. Para o caso d um próton, ssa nrgia é dada por: ( 61 ) Expriência d Strn-Grlach. U = gµ ( J ) B gµ ( J 1) B= gµ B B B B ( 6 ) ond é o mágnton d Bohr do próton: qh/ = m µ B P Ao obsrvar um fóton da radiação ltromagnética, constatamos qu o fóton foi dotado d frquência ω dada por: P ( 63 ) ω = U = gµ B B ( 64 ) Assim, a uma frquência dita d rssonância dada por: gpµ BB q ω = = g m B P um próton ftua uma transição d um nívl d nrgia mais baixo para um nívl d nrgia mais alto. Um arranjo simpls d um aparlho d rssonância nuclar é aqul no qual colocamos uma substância como a água numa rgião, ond uma bobina produz uma corrnt altrnada qu oscila com uma dtrminada frquência (vja figura a sguir). Os prótons qu compõm os átomos d hidrogênio d cada molécula da água podm absorvr a nrgia provida pla bobina, na mdida P ( 65 )

17 Eltromagntismo» Paramagntismo dos Matriais 16 m qu, na frquência d rssonância, ls xprimntam uma transição d su nívl d nrgia mais baixa para o nívl d nrgia mais alta. ss procsso, a água contndo muitos prótons, à mdida qu mais mais prótons são promovidos para nívis d nrgia mais alta, absorvrá a nrgia da bobina a uma dtrminada taxa. Essa absorção srá máxima na frquência d rssonância. Um osciloscópio prmit dtrminar a qu frquência isso ocorrrá, ou sja, é possívl obsrvar quando ocorrrá a absorção d nrgia ncssária para ftuar as mudanças d nívl. o caso, a vantagm d s utilizar o próton no núclo d átomo d hidrogênio, stá m qu l s comporta como s fora uma partícula livr. Isto é, tmos apnas dois nívis d nrgia associados aos valors do spin: S = h / / S h = / /. Outra aplicação do magntismo dos constituints s rfr à possibilidad d rsfriar uma substância mdiant o procsso invrso daqul dscrito antriormnt. Trata-s do rsfriamnto por dsmagntização adiabática. ss caso, a nrgia não é bombada para o sistma, mas subtraída. Esquma básico d um aparlho d rssonância magnética. Paramagntismo Quântico o contxto quântico fazmos uso, como no caso clássico, d métodos statísticos. Em particular, lvando-s m conta agora qu a nrgia é quantizada, podmos prvr qu a probabilidad d ncontrarmos o sistma num nívl d nrgia E n é dada por: PE ( n)= = En Considrmos primiramnt o caso d um sistma d dois nívis: En n= 0 En ( 66 ) E E ( + ) ( ) = µ 0 B = µ 0 B ( 67 ) Como vimos ants, ss sistma dscrv um létron d momnto magnético µ sob a ação do campo B. Mdiant um campo magnético xtrno, os nívis d nrgia d um sistma d dois nívis s bifurcam.

18 Eltromagntismo» Paramagntismo dos Matriais 17 ss caso, T ( ) = β β + = coshβ ( 68 ) ond β µ = 0B O númro d dipolos alinhados com o campo magnético, nrgia µ 0 B, é: ( 69 ) β = PE ( ) = coshβ ( ) ( ) O númro d dipolos orintados no sntido oposto ao do campo magnético (aqul cuja nrgia é E + = µ 0 B) é: ( 70 ) Pod-s facilmnt vrificar qu: β = PE ( ) = coshβ ( + ) ( + ) ( 71 ) (+) + ( ) = ( 7 ) O fato é qu, para tmpraturas muito altas, o númro d dipolos orintados numa ou noutra dirção é praticamnt o msmo: lim ( + ) ( ) lim ( T = ) ( T) = T T ( 73 ) Ou sja, fitos térmicos dsalinham os dipolos magnéticos. A magntização média é dada por: M = µ µ V V ( ) ( + ) 0 0 ( 74 )

19 Eltromagntismo» Paramagntismo dos Matriais 18 D (...) (...) sgu-s qu: µ 0B MT ( ) = µ 0 tanhβ = µ 0 tan V V Tmos, assim, qu no limit d baixa tmpratura a magntização é alta. Em particular, lim MT ( ) =µ 0 T Para altas tmpraturas, o comportamnto é aqul prvisto pla Li d Curi: MT ( )= V o caso m qu os nívis são (J + 1) vzs dgnrados, scrvmos: V B µ 0 ( 75 ) ( 76 ) ( 77 ) o limit d baixas tmpraturas, havrá maior alinhamnto dos dipolos m maior valor d J. Em particular, à tmpratura zro, trmos: M = V M= J gmµ 0B µ 0gM xp gmµ 0B xp = J Para dtrminarmos o comportamnto para altas tmpraturas, fazmos uso da xpansão da função xponncial para valors pqunos do argumnto. Escrvmos: J J M lim MT ( ) T gmµ 0B = V g µ J 0 gµ 0B = 1+ M + Assim, a magntização pod sr scrita como uma rlação qu nvolv somas simpls, a sabr: ( 78 ) ( 79 ) ( 80 ) M( B, T ) = V µ 0 g j MJ = j j MJ = M M g µ B 0 j 1+ j KT + M g µ B 0 1 j j KT ( 81 )

20 Eltromagntismo» Paramagntismo dos Matriais 19 a xprssão acima rtivmos até trmos linars na xpansão (000). Lmbrando qu: j MJ = j j MJ = j j MJ = j M M j j = 0 = j+ 1 1 M j = j( j+ 1)( j+ 1) 3 [ ] ( 8 ) obtmos, dpois d substituir (...) m (...): M = V J( J + 1) g 3 átomos, para os quais J = 0, não xibm o paramagntismo. Els são, como vrmos dpois, diamagnéticos. µ 0 B ( 83 )

21 Eltromagntismo» Paramagntismo dos Matriais 0 Como usar st book Orintaçõs grais Caro aluno, st book contém rcursos intrativos. Para prvnir problmas na utilização dsss rcursos, por favor acss o arquivo utilizando o Adob Radr (gratuito) vrsão 9.0 ou mais rcnt. Botõs Indica pop-ups com mais informaçõs. Sinaliza um rcurso midiático (animação, áudio tc.) qu pod star incluído no book ou disponívl onlin. Ajuda (rtorna a sta página). Créditos d produção dst book. Indica qu você acssará um outro trcho do matrial. Quando trminar a litura, us o botão corrspondnt ( ) para rtornar ao ponto d origm. Bons studos!

22 Eltromagntismo» Paramagntismo dos Matriais 1 Créditos Est book foi produzido plo Cntro d Ensino Psquisa Aplicada (CEPA), Instituto d Física da Univrsidad d São Paulo (USP). Autoria: Gil da Costa Marqus. Rvisão Técnica Exrcícios Rsolvidos: Paulo Yamamura. Coordnação d Produção: Batriz Borgs Casaro. Rvisão d Txto: Marina Kiko Tokumaru. Projto Gráfico Editoração Eltrônica: Danilla d Romro Pcora, Landro d Olivira Priscila Psc Lops d Olivira. Ilustração: Alxandr Rocha, Alin Antuns, Bnson Chin, Camila Torrano, Clso Robrto Lournço, João Costa, Lidia Yoshino, Maurício Rhinlandr Klin Thiago A. M. S. Animaçõs: Clso Robrto Lournço Maurício Rhinlandr Klin.