TURMA ITA/IME/AFA. APROVAÇÕES Ingresso em 2006

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2 IME 7 (9) 5- CONHEÇA O PROCESSO SELETIVO IME 7 O IME é conhecido por ter um dos exmes mis desfintes do pís. O ingresso é fruto de muito esforço dos cndidtos, ms não é um missão impossível. O gru de complexidde dos conteúdos cordos e ds questões é propositlmente elevdo pr selecionr pens queles cndidtos melhor preprdos e que estão decididos entrr em um instituição reconhecid como um ds melhores engenhris do pís, o ldo do ITA. Nos propomos com este mteril pssr lgums dics pr o melhor rendimento neste exme que está por vir, lhe compnhndo di di com resumos de tópicos não tão enftizdos (e té mesmo não vistos) no ensino médio. Estes tópicos fzem prte d filosofi do vestiulr: corr cd vez ssuntos mis específicos, pr vlorizr quele cndidto que se preprou exclusivmente pr este vestiulr. Pr judá-lo, nlismos os nos nteriores e fizemos nosss posts. A cd di, você gnhrá um resumo, que irá lhe judr em lgums questões que possuem lt proilidde de serem cords. Estes resumos estrão tmém disponíveis em nosso site (), em como resolução ds provs que você relizou. DICAS IMPORTANTES De mneir gerl, pr s questões disserttivs do vestiulr do IME, o cndidto deve necessrimente esclrecer como chegou à respost. N correção é ddo ponto prcil, ou sej, ele pode conseguir lgum ponto por resolver pens prte d questão. Por isso, é importnte não deixr nenhum questão em rnco Um om plno de prov é fundmentl. Pr dministrr em o tempo, cndidto deve começr prov pels questões mis fáceis. Els tem o mesmo vlor ds difíceis e por isso, não perc tempo em questões muito complexs, deixndo pouco tempo (e eventulmente nenhum) pr s mis simples. É importnte ressltr que o IME está com um nov propost neste no, pr minimizr o trlho com correção: um prov ojetiv foi inserid no clendário. Somente serão corrigids s provs dos cndidtos que tiverem not superior 5% no primeiro di. Outro critério de desclssificção do cndidto é não otenção de 4% em qulquer prov, ou se médi totl ficr inferior 5%. Pr o cálculo d médi, lev-se em cont pesos diferencidos pr cd prov: Mtéri Peso Prov ojetiv de Mtemátic, Físic e Químic, Prov discursiv de Mtemátic, Prov discursiv de Físic, Prov discursiv de Químic, Prov discursiv de Português, Prov discursiv de Inglês, (9) 5 Ru Antônio Lp, 78 - Cmuí TURMA ITA/IME/AFA Pr grntir um preprção dequd os concorridíssimos vestiulres do ITA, do IME e d AFA, est turm possui profundmento ns disciplins de exts fortíssimo! O nível de complexidde ds questões ordds não possui precedentes em Cmpins e região. Isto permite o nosso luno tingir o elevdo nível de domínio necessário pr enfrentr com sucesso s provs destes vestiulres. APROVAÇÕES Ingresso em 6 ALUNOS DO ELITE APROVADOS NACIONALMENTE AFA lunos provdos ITA lunos provdos IME 7 lunos provdos Conheç um pouco mis ds turms direcionds, do ELITE PRÉ-VESTIBULAR tmém em Apesr dests informções, só se preocupe com su not pós os exmes. Mesmo se você ch que não tingiu os critérios mínimos em um prov, não ndone o concurso. Primeiro porque você não tem certez: questões podem ser nulds, correções podem ser rnds. Segundo porque, mesmo se você não pssr este no, não existe melhor treino pr o vestiulr que o próprio vestiulr. No mínimo você estrá gnhndo experiênci, diminuindo o nervosismo e té prendendo! Você deve se concentrr ns prov di di. As provs nteriores já form e você não tem como mudr sus resposts. As posteriores, encre qundo vier. Se su preprção foi o, não import o nível de dificuldde: você se mtéri! Tenh o mesmo pensmento o resolver s questões. Cd um é um desfio que será superdo por você. Você está preprdo pr encrr este desfio. Pr uxiliá-lo, segue seguir um resumo teórico do que tem mior proilidde de ser cordo n prov de mnhã do IME de 7. Bons estudos!

3 IME 7 (9) 5- A MATEMÁTICA NO IME Só um plvr define prov de Mtemátic do IME: el. Ess prov possui exercícios que exigem grnde conhecimento e domínio d mtéri por prte dos cndidtos, e normlmente present lguns prolems que conseguem desfir té mesmo s mentes mis em preprds Clro que isso não signific que prov é impossível de ser resolvid, ms com certez é um desfio tentdor. A prtir de um nálise rápid dos últimos nos, notmos que certos tems estão sempre fddos precer. A prov é stnte vrid, ms notmos que tems como polinômios, logritmos (normlmente misturdos com outros tems tis como determinntes, sistems lineres, etc.), teori dos números e seqüêncis (principlmente progressão ritmétic) precem com um freqüênci ssustdor. Isso porque nem sequer citmos s questões de geometri pln e trigonometri que com certez estrão presentes n prov. Ms provvelmente você já estudou cd um desses tems, e se que existem vários livros muito ons sore cd um desses ssuntos. Entretnto, existem lguns detlhes que cem ns provs que exigem determindos cuiddos por prte do cndidto, detlhes que não precem em vários livros. Como exemplo, st oservr que nos últimos 6 nos, plvrs como demonstre, prove e mostre form citds proximdmente vezes, um médi de quse 4 itens por no. Proporcionlmente, é mis fácil precer um item com plvr demonstre do que um item com um polinômio! A últim prov do IME não presentou nenhum questão de demonstrção, o que fortlece ind mis s chnces de que este no esss questões preçm. Por isso, o leitur! Além d prte de demonstrções, este mteril tmém trz formulários de trigonometri, logritmos e cônics (ssuntos que são orddos em prticmente tods s provs do IME), lém d relção de Stewrt, que é extremmente prátic em lguns prolems de geometri pln. COMO É QUE EU PROVO ISSO??? Bom, todos nós um di nos deprmos com lgum exercício do tipo prove que ou demonstre que. E, provvelmente, pergunt como é que eu provo isso? com certez já foi feit em lgum desss situções. Exercícios de demonstrção têm dus prtes fundmentis: um hipótese e um tese. A tese é o que queremos provr, por isso, enqunto não for provd, jmis pode ser encrd como verddeir. Já noss hipótese normlmente é lgo que o exercício nos fornece como verddeiro, e é o ponto de prtid que temos pr noss demonstrção. Em resumo: Hipótese se d noss demonstrção (pode ser encrdo como verddeiro no exercício). Tese é o que queremos provr. Assim, se prtir d su hipótese você conseguir, trvés de um série de processos lógicos, mostrr que su tese é verddeir, então você conseguiu demonstrr ess tese. Em resumo, o processo de demonstrção está sedo n seguinte seqüênci: hipótese processos lógicos tese Os: nem sempre o exercício fornecerá um hipótese. Nesses csos podemos utilizr como hipótese qulquer fto reconhecidmente verddeiro sore o ssunto. Normlmente, trlhmos com hipóteses que são, mtemticmente flndo, rzoáveis. No entnto, no processo de demonstrção, podemos nos deprr com teses totlmente surds. Nem sempre será necessário demonstrr, às vezes, podemos encontrr lgo que chmmos contr-exemplo, ou sej, podemos, trvés de exemplificção, mostrr que noss tese é surd. Exemplos:. Prove ou dê um contr-exemplo: ( + ) = +. Hipótese: não foi fornecid Tese: ( + ) = + Oserve que nesse exercício não temos um hipótese pr o início d demonstrção. Dess form, qul seri então um hipótese rzoável pr inicirmos noss demonstrção? Como sugestão, lemre-se que sempre é verdde que ( + ) = Vmos utilizr esse fto como hipótese. A prtir dess hipótese, perce que, cso noss tese sej verddeir então = +. Porém, se isso for verdde, temos então que.. =.Bem, em momento lgum foi dito que isso teri que contecer! Assim, provvelmente deve existir lgum CONTRA-EXEMPLO. Tomndo =, temos que ( + ) = (+ ) = 4, enqunto que + + =, ou sej, encontrmos um exemplo no qul noss tese não é verddeir.. Prove que se ( + ) = + então = ou =. Hipótese: ( + ) = + Tese: = ou = Em nosso exercício, ess hipótese é um VERDADE ABSOLUTA. Mesmo com um hipótese prentemente estrnh, s regrs mtemátics continum válids. Assim, ind é verdde que ( + ) = Dess form, temos então que: ( + ) = = =.. = A prtir de processos lógicos encontrmos então que, cso ( + ) = + então.. =. Bem, multiplicção de dois números só é nul qundo um deles for zero, logo, se.. = então = ou =. Considerndo cdei de implicções ( + ) = +.. = = ou =, temos então que necessrimente ( + ) = + = ou =, e noss tese está provd. REDUÇÃO AO ABSURDO Um modo extremmente conhecido de demonstrção é chmdo de redução o surdo. Esse processo é sedo ns seguintes etps:. nlismos noss hipótese e noss tese;. supomos que noss tese é FALSA;. prtir de processos lógicos, cmos por oter lgum resultdo que é surdo. Se isso ocorre, ou sej, se prtir do fto de trnsformrmos noss tese em um cois supostmente fls encontrmos um resultdo que é surdo, então noss tese deve ser verddeir, e então el está provd. Exemplo: prove que existem infinitos números primos. Tese: existem infinitos números primos. Suponh justmente o contrário, ou sej, suponh que existe um número finito de números primos. Assim, sej {,,5,7,...p} o conjunto de todos os números primos existentes. Dess form, sej então N o número formdo pelo produto de todos esses números, ou sej, N =... p Bom, esse número é composto e é divisível por todos os números primos. Porém, e o número N +? O que podemos flr sore ele? Or, o número N +, qundo dividido por, dá resto. D mesm form, qundo for dividido por, dá resto. Além disso, qundo esse número for dividido por p, tmém teremos resto. Assim, N + não é divisível por nenhum número lém dele mesmo e do número, logo, N + é um número primo. Porém nós prtimos do princípio de que p er o nosso último número primo, e isso nos ger um ABSURDO. Assim, devem existir então infinitos números primos.

4 IME 7 (9) 5- PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA O processo de indução finit é, provvelmente, o modo mis interessnte de se provr exercícios normlmente relciondos com proprieddes de números inteiros. Ele é um método simples, porém muito eficz de prov, sedo em etps:. mostr-se que tese é válid pr lgum número qulquer;. supõe-se que pr o vlor k noss tese é verddeir (ess será noss nov hipótese);. se propriedde continur válid pr k+ então el é válid pr qulquer número nturl. n(n + ) Exemplo: mostre que n = Vmos seguir cd etp: ( + ) ) Se n, temos que =. k(k + ) ) Vmos supor que k =. k(k + ) Como k =, temos, somndo (k+) em mos os ldos: k(k + ) ( k) + (k + ) = + (k + ) k(k + ) + (k + ) (k + )(k + ) k + (k + ) = = Lemrndo que k + = (k + ) +, temos então: (k + )[(k + ) + ] k + (k + ) = Isso comprov que fórmul continu válid pr k+. Assim, el é válid pr qulquer que sej n nturl. IME 4 - EXEMPLO DE DEMONSTRAÇÃO A prov de 4 presentou um questão interessnte, de dificuldde médi, cujo enuncido é o seguinte: QUESTÃO: Considere o polinômio P(x) = x + x + de coeficientes reis, com. Sendo que sus rízes são reis, demonstre que <. SOLUÇÃO Aqui, temos: Hipótese: s rízes de P(x) são reis Tese: < Como regr gerl, nós nunc dmitimos inicilmente que noss tese é verddeir. Com isso em mente, sejm então r, s e t s rízes de P(x), que por hipótese são números reis. Atrvés ds relções de Girrd, temos: r + s + t = r.s + t.t + s.t = r.s.t = Como, temos que r.s.t, e ssim r, s e t são diferentes de zero. Elevndo gor mos os memros d primeir equção o qudrdo, temos: (r + s + t) = r + s + t +.(r.s + s.t + r.t) = r + s + t +. = = (r + s + t ) Como r, s e t são reis (hipótese) e não-nulos, segue então que: r + s + t > = (r + s + t ) < <. Fórmuls ásics: senx tgx = cot gx = = senx tgx FORMULÁRIO DE TRIGONOMETRIA sec x = cos ecx = Som e sutrção de rcos sen ( + ) = sen.cos + sen.cos senx sen( ) = sen.cos sen.cos cos( + ) = cos.co sen.sen cos( ) = cos.co + sen.sen Arco duplo = sen x =. sen x sen x =.senx. Arco triplo sen x =.sen x 4.sen x cos x = 4. sen x + tg x + = sec x cot g x + = cos ec x tg + tg tg( + ) = tg.tg tg tg tg( ) = + tg.tg Arco metde x sen = ± x + cos = ± x tg = ± + Trnsformção de som em produto (muito importnte) p + q p q sen p + sen q =.sen cos sen(p + q) p q p + q tgp + tgq = sen p sen q =.sen cos cosp.cos q sen(p q) p + q p q tgp tgq = cos p + cos q =.cos cos cos p.cos q p + q p q cos p cos q =.sen sen IME 5 UM EXEMPLO DE TRIGONOMETRIA Pr ilustrr importânci d trigonometri pr o vestiulr do IME, podemos dizer que n últim décd, pelo menos questões ordvm prioritrimente trigonometri. Isto sem levr em cont quels que podim presentr tmém resolução trigonométric (como por exemplo, lgums questões de geometri pln). Pr exemplificr um dests questões, ixo segue um exemplo de 5 QUESTÃO: Resolv equção sen x + cos x + sen x =. SOLUÇÃO: sen x + cos x + sen x =, dividimos mos os termos por.sen x +.cos x +.sen x = sen x + (sen 6 π.cos x + sen x. cos 6 π ) = sen x + sen( 6 π + x) = p + q p q Semos que: sen p + sen q =. sen( ).cos( ), logo: x + x + π x x π. sen 6.cos 6 = π π. sen 7 x +.cos 4x = Logo, temos dus situções pr iguldde ser stisfeit: ) sen 7x π + 7x π π k π x π k π = + = + = ou π π π 7π π ) cos 4x = 4x = + k π x = + k 48 4

5 IME 7 (9) 5- CÔNICAS O tópico de cônics normlmente não é enftizdo no ensino médio. Isto ocorre primeirmente por su complexidde e pel pouc incidênci em vestiulres deste ssunto. Entretnto, no vestiulr do IME, temos 7 questões n últim décd de vestiulres que ordm este ssunto: 997 PARÁBOLA 998 ELÍPSE e e PARÁBOLA ELÍPSE e PARÁBOLA 4 PARÁBOLA 5 ELÍPSE 6 Assim, é importnte pr o cndidto estr preprdo pr resolver questões respeito deste ssunto no vestiulr de 7, pois proilidde dele ser novmente cordo é lt. A seguir um resumo ds principis proprieddes ds cônics: PARÁBOLA DEFINIÇÕES Ddos dos pontos F e F distntes c. Um elipse de focos em F e F é o conjunto dos pontos cuj som ds distâncis F e F é constnte, com > c. Ddos dos pontos F e F distntes c. Um hipérole de focos em F e F é o conjunto dos pontos cujo módulo d diferenç ds distâncis F e F é constnte, com < c. Ddos um ponto F e um ret d (F d) e p distânci entre eles. Práol é o conjunto dos pontos do plno eqüidistntes de F e d. Relções notáveis: PARÁBOLA = + c c = + ( ) dvf = p Equções Reduzids Focos em Ox (-c,) e (c,) Focos em Oy (,-c) e (,c) x y y x + + Focos em Ox (-c,) e (c,) Focos em Oy (,-c) e (,c) x y y x PARÁBOLA Foco em Ox (p,) Foco em Oy (,p) y = 4px x = 4py Equções Reduzids centro em (x o,y o ) ( x - x ) ( y - y ) + ( x - x ) ( y - y ) ( y - y ) ( x - x ) + ( y - y ) ( x - x ) PARÁBOLA - Equção Reduzid vértice em (x o,y o ) (y y ) = 4p.(x x ) (x x ) = 4p.(y y ) RECONHECIMENTO DE UMA CÔNICA Dd um equção do o gru redutível à form k >, k > e k >k k >, k > e k <k k > e k < k < e k > ( x - x ) ( y - y ) k + k elipse de eixo mior horizontl elipse de eixo mior verticl hipérole de eixo rel horizontl hipérole de eixo rel verticl Elementos principis: F e F focos O centro A A eixo mior () B B eixo menor () c distânci focl c/ excentricidde F e F focos O centro A A eixo rel () B B eixo conjugdo ou trnsverso () c distânci focl c/ excentricidde Práols - p /4 y = x + x + c diretriz horizontl x v = e y v = 4 > conc. p/ cim < conc. p/ ixo x = y + y + c diretriz verticl x v = e y v = 4 > conc. p/ direit < conc. p/ esquerd Rotção de eixos As coordends de um ponto P(x,y) pós rotção de eixos de um ângulo θ são dds por (x`,y`) tis que x = x`.cosθ - y`.senθ y = x`.senθ + y`.cosθ Interpretção de um equção do o gru Dd eq. gerl do o gru: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = é sempre possível eliminr o seu termo retângulo (Bxy) trvés de um rotção de eixos de um ângulo θ tl que A = C θ = π / 4 A C tg θ = B/ (A C) PARÁBOLA F foco d diretriz p prâmetro V vértice 4

6 IME 7 (9) 5- IME 998 UM EXEMPLO DE CÔNICAS Em 998 foi cord um questão stnte interessnte respeito deste tópico pouco enftizdo no ensino médio. Ele relcion práol, hipérole e elipse, necessitndo um certo trquejo mtemático nests três cônics: QUESTÃO: Considere um elipse e um hipérole centrds n origem, O, de um sistem crtesino, com eixo focl coincidente com o eixo OX. Os focos d elipse são vértices d hipérole e os focos d hipérole são vértices d elipse. Ddos os eixos d elipse como cm e cm, determine s equções ds práols, que pssm pels interseções d elipse e d hipérole e são tngentes o eixo OY n origem. SOLUÇÃO: Do enuncido temos: I) Pr elipse Temos = 5; e portnto equção d elipse é: x 9y + 5 Como = + c, temos que c = 5-9 c elipse = 5 5 Note que temos c elipse = hipérole II) Pr hipérole Temos = 5 5 ; c = 5 Como c = +, temos que = x 9y Assim, equção d hipérole é: 5 Pontos de interseção ds Cônics Somndo s equções ds cônics: x 9y E : + 5 4x 5 = x = y = 9x 9y H : 5 As práols tngentes o eixo OY, têm equções d form: y = 4px Logo: = 4p ± 4p = ± 4p = ± Assim, equção ds práols são dds por: P : y =± x 6 GEOMETRIA A RELAÇÃO DE STEWART Um teorem stnte importnte, que pode fcilitr vid do cndidto em geometri é o teorem de Stewrt: x + c y z =.x.y IME 5 UM EXEMPLO DE APLICAÇÃO DE STEWART QUESTÃO: Considere um elipse de focos F e F', e M um ponto qulquer dess curv. Trç-se por M dus secntes MF e MF ', e que interceptm elipse em P e P', respectivmente. Demonstre que som ( MF / FP ) + ( MF ' / F'P' ) é constnte. Sugestão: Clcule inicilmente som (/MF ) + (/FP ). SOLUÇÃO: Considere seguinte representção: M P F n m d c F P Considere eixo mior d elipse: e eixo menor d elipse: e distnci entre focos: c e Pr visulizrmos Relção de Stewrt no triângulo MPF', temos: MP = = m + n FF = d = c f MF = m MF = FP = n PF = c Dí, pel Relção de Stewrt, temos: m.c + n. -.d =.m.n Ds proprieddes d elipse, temos: A) + m = c + n = e (som ds distâncis de um ponto os focos constnte) = e m e c = k n B) d = c e Sustituindo n relção de Stewrt: m.( e n) + n.( e m) = (m + n).4c e + (m + n).m.n m.(4 e 4 e n+n ) + n.(4 e 4 e m+m ) = (m+n).4c e + (m+n).m.n (m + n).4 e 8 e mn + (m + n).m.n = (m + n).4c e + (m + n).m.n (m + n).(4 e 4c e ) = 8 e mn m+ n 8 = e m n 4e 4ce 8 + = e m n 4e 4ce Lemrndo que e = e + c e, temos + = e que é constnte. m n e Assim, tomndo-se e = K = constnte, vem: e + = K (I); nlogmente, + = K (II) PF MF PF ' MF ' Multiplicndo (I) por MF e (II) por MF, cheg-se : MF K MF PF + = (III) e MF ' K MF' PF ' + = (IV) De (III) + (IV) tem se: ' + MF MF K ( MF MF' ) PF + PF ' = + D propriedde d elipse (MF+ MF') = e MF MF ' + = K e = C = constnte PF PF ' Oservção: Cálculo d constnte C: C = e.k = e 4 e = e e + c e e e e e OBSERVAÇÃO FINAL = ( ) Como oservção finl, gostrímos de deixr em clro que, em qulquer exercício de Mtemátic, rgumentção é fundmentl, principlmente em exercícios que envolvem demonstrções. Não st pens chegr um resultdo, tmém é necessário especificr o modo como esse resultdo foi otido. 5