São possíveis ladrilhamentos com um único molde na forma de qualquer quadrilátero, de alguns tipos de pentágonos irregulares, etc.

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1 LADRILHAMENTOS Elvi Mureb Sllum Mtemtec-IME-USP A rte do ldrilhmento consiste no preenchimento do plno, por moldes, sem superposição ou burcos. El existe desde que o homem começou usr pedrs pr cobrir o chão e s predes de su cs e continuou com plicção de cores, desenhos ou figurs pr deixr os ldrilhos mis grdáveis. As mis ntigs peçs de ldrilhos conhecids dtm de 5000 nos.c. e form encontrds no Egito. Romnos e outros povos mediterrâneos retrtvm pessos e cens nturis; mouros e árbes usvm figurs geométrics complexs e entrelçds, como se constt n Alhmbr, um complexo de plácios de Grnd (Espnh) construído, por mouros e cristãos, entre os séculos 3 e 5 e declrdo, pel UNESCO, ptrimônio d humnidde. O estudo geométrico que presentmos neste trblho explic por que ldrilhmentos com motivos semelhntes precerm em lugres distntes no tempo e no espço. Apesr d rte ser bem ntig e bem desenvolvid, ciênci é recente, de proximdmente 00 nos, tendo spectos que ind não form desenvolvidos. O homem us ess técnic em um grnde vriedde de plicções: ppel de prede, pisos decortivos com cerâmics ou pedrs, pisos e forros de mdeir, estmpri de tecidos, mlhris e crochês, no empcotmento ou empilhmento de objetos iguis, etc. N nturez são encontrdos em céluls de tecidos biológicos, ns colméis, no rrnjo ds escms de peixes, ns pinhs ds conífers, nos rrnjos dos cristis, ns bolhs de sbão, ns trincs ds cerâmics, etc. Veremos que há pens tipos de ldrilhmentos do plno euclidino (no plno hiperbólico há mis, vle pen estudr!), que usm pens polígonos regulres e mntêm mesm distribuição ds peçs nos vértices; é interessnte observr que nenhum deles permite o uso de pentágonos regulres. São possíveis ldrilhmentos com um único molde n form de qulquer qudrilátero, de lguns tipos de pentágonos irregulres, etc. Recentemente, em , o físico-mtemático inglês Roger Penrose descobriu três conjuntos de mosicos especiis, chmdos periódicos, um deles com dus pe;s denominds por ppgio e flech. Em 989 ele demonstrou que, sob certs regrs simples de composição, esse conjunto cobre o plno de um infinidde não enumerável de mneirs de modo que o ldrilhmento não é repetição de nenhum pdrão. Mostrremos que existem pens tipos de mosicos do plno que obedecem s seguintes condições: ) os ldrilhos são polígonos regulres b) intersecção de dois polígonos é sempre um ldo ou um vértice ou vzi c) o tipo de cd vértice é sempre o mesmo, isto é, distribuição o redor de cd vértice é sempre mesm.

2 Dentre esses, os mosicos em que todos os ldrilhos são congruentes são chmdos de regulres; os outros, que podem conter 2 ou 3 tipos de ldrilhos, são chmdos de quse regulres. Mostrremos que existem, no plo euclidino, pens 3 tipos de mosicos regulres e mis 8 tipos de quse regulres (Figur 6). Veremos tmbém lguns mosicos determindos por polígonos regulres com distribuições diferentes nos vértices, isto é, que obedecem ) e b) ms não obedecem c) (Figur 7), mosicos determindos por um qudrilátero qulquer e fremos lgums considerções sobre os mosicos não periódicos de Penrose. Vle pen estudr os ldrilhmentos de Andreini, por poliedros, do espço tridimensionl. Mosicos regulres Mosicos regulres são os que obedecem ), b) e c) de modo que os ldrilhos de cd mosico sejm congruentes. Neste tipo de mosico existem pens três tipos possíveis de vértices, sber: 6 triângulos eqüiláteros, que indicremos por ou qudrdos, ou hexágonos ou Figur Um polígono regulr de n ldos tem ângulos internos iguis 80( 2 ). Então, pr n existir ldrilhmento regulr com m polígonos regulres de n ldos em cd vértice, devemos ter: m80( 2 n ) = 360 n + m = 2 m = 2n n 2 m 2 = 4 n 2. Como m-2 é inteiro, então, n-2 é divisor de 4 e s únics possibiliddes são: m=nº políg / vértice n=nº ldos do políg Tbel 2

3 Mosicos quse-regulres ou rquimedinos Mis gerlmente, considerremos mosicos quse-regulres, isto é, ddos por ), b) e c) sendo os polígonos regulres não necessrimente congruentes. Veremos que existem 2 possibiliddes pr distribuição de ldrilhos nos vértices (Tbels 2, 3, 4 e 5 e Figur 4) ms pens s indicds com * ns Tbels citds definem mosicos (Figur 5). Assim, teremos extmente tipos de mosicos quse regulres sendo 3 do tipo regulr. Todos eles são obtidos com, 2 ou, no máximo, 3 tipos de ldrilhos. Nem todos os polígonos regulres podem ser usdos pr fzer ldrilhmentos quse-regulres; ssim, pentágonos, heptágonos, eneágonos e decágonos regulres não compõem ldrilhmentos quse-regulres. Sendo m o número de polígonos regulres incidindo em cd vértice temos m = m + m m k, em que m i é o número de polígonos regulres, com ângulo interno igul α i, em cd vértice e 360 = m α + m 2 α m k α k m 60, pois o ângulo interno de cd polígono é sempre mior ou igul 60º. Logo 3 m 6. Cso m=3: (três polígonos regulres em cd vértice)sendo, n i o número de ldos de cd um dos três polígonos incidindo num vértice, pr cd i =, 2, 3, temos 3 ( ) = = n i n 2 i= Supondo n temos 3 n 6 (senão o ldo esquerdo seri menor ou igul 3/7). Pr n =3, Pr n = 4, + = = 4 2 = 6 = n = 4 = n Pr n = 5 temos 5 6 ; e pr n = 6 temos = 6. Assim, bixo temos s dez possíveis combinções de 3 ldrilhos regulres num vértice (ver Figur 5). Veremos, em seguid, que pens s indicds com * definem mosicos quse-regulres. m=3 n * * * * Tbel 2 3

4 Qundo temos um triângulo, n =3 e só é possível formr mosico se os outros dois polígonos incidentes num vértice forem congruentes de 2 ldos. De fto, é fácil ver, n Figur, à esquerd, que =x, b=y, =b e, portnto, o único cso possível pr n = 3 é (3,2,2), isto é, = =2. b b b b x y b 08 b Figur 2 Se tivéssemos um pentágono, n i =5, como no cso nterior, os outros dois polígonos regulres terim que ser congruentes, como sugere Figur 2, à direit e pel Tbel 2 podemos concluir que não se tem mosico com pentágonos regulres. Os tipos possíveis de mosicos quse-regulres em cujos vértices incidem m=3 polígonos regulres são os qutro mrcdos com * n tbel cim., isto é, 3.2.2, 4.6.2, e (ver Figurs 5 e 6). Cso m = 4: (qutro polígonos regulres em cd vértice) Sendo n i o número de ldos de cd um desses 4 polígonos regulres com n n 4 temos ( ) = 360 n i n n 4 = 4 n 3 n 4 n = = 2 2 n n n = n n = = 3 3 n = n 4 3 = n 3 3 = 4, n 4 =2 ou = 6 =n 4 3 n = 3, = 4 + n 4 = = 4 e n 4 = 6 n = = 4 + n 4 = = 4 = n 4 4

5 Resumindo, tbel bixo dá s qutro possíveis combinções pr m=4, isto é, pr qutro polígonos regulres num vértice (ver tmbém Figur 5). Veremos que pens s indicds com (*) n tbel definem mosicos quse-regulres. Note que, gor, ordem dos polígonos em torno do vértice pode ser importnte: é diferente de m=4 n n * * * Tbel 3 Os vértices com escolhs , e não podem se estender pr formr um mosico com s condições ), b) e c), como sugere Figur 3 bixo. Em obrig-se ter outro vértice contendo ; em obrig-se ter um vértice , que é diferente. Em todos os csos condição c) é viold Figur 3 O vértice com escolh estende-se um mosico que não obedece condição c), como se vê n Figur 4 bixo, pois surge um vértice com ( nlogmente o cso ). Figur 4 Os três tipos possíveis de mosicos quse-regulres com m=4 polígonos regulres incidindo em cd vértice são os mrcdos com * n Tbel 3 cim, isto é, os indicdos por , e (Figur 6). 5

6 Cso m=5: (cinco polígonos regulres em cd vértice) Sendo n i o número de ldos de cd um desses polígonos regulres incidindo num vértice, com n n 4 n 5, temos que ter = 3 n n 4 n n = 3, n + + n 4 + n 5 = = = 3, + n 4 + n 5 = = = 3, + = 5 n 4 n = 2 2 n 4 = 3, n 5 = 6 ou n 4 = n 5 = 4. n 4 A Tbel 4 bixo dá tods s escolhs pr m=5, isto é, pr cinco polígonos regulres incidindo num vértice e os tipos de mosicos , e (Figurs 5 e 6). m=5 n n 4 n 5 * * * Tbel 4 Cso m= 6: (seis polígonos regulres em cd vértice) Como nos csos nteriores, n n 4 + n 5 + n 6 = 2 n i = 3, i =,2...,6. E o único tipo possível é m=6 n n 4 n 5 n 6 * Tbel 5 Resumindo, temos três tipos de mosicos regulres e oito tipos quse-regulres conforme Figur 6. Resumo ds combinções de polígonos regulres, possíveis, num vértice N Figur 5 bixo presentmos s possíveis combinções de polígonos regulres num vértice. Porém, como vimos, nem tods definem mosicos quse regulres. 6

7

8 Figur 5 Tbel dos mosicos regulres e quse-regulres Nest Figur 6 temos os tipos possíveis de mosicos quse-regulres sendo 3 deles regulres

9 Figur 6 9

10 Outros mosicos com polígonos regulres Dizemos que dois mosicos são iguis se coincidem por um movimento rígido no plno (inclusive reflexão) composto com um mudnç de escl. Assim, dois mosicos do mesmo tipo são chmdos de iguis. Observmos que só pr o tipo é necessário considerr reflexão pr chmr de iguis s dus imgens por espelho (enntiomórfics). Pode ser obtid um infinidde (não enumerável?) de ldrilhmentos de mosico quseregulr se relxrmos condição c), pedindo que cd vértice tenh os mesmos polígonos ms não necessrimente n mesm ordem. Assim, podemos lterr , cortndo o longo de um zig-zg e juntndo s dus metdes restntes , trnsldndo um fix horizontl independentemente ds outrs , rodndo de 30º um "disco" formdo por um hexágono e seus vizinhos, observndo que "discos" podem ser roddos independentement Figur 7 0

11 Mosicos com qudriláteros Existe ldrilhmento com um qudrilátero ddo qulquer: inicindo com o qudrilátero ABCD, plicndo um reflexão em torno de um ldo seguid de um reflexão em torno d meditriz desse ldo e ssim sucessivmente, ldrilhmos o plno. Figur 8 No cso do ldrilho ser um prlelogrmo, não retângulo, existe um infinidde (não enumerável?) de ldrilhmentos possíveis. Dr exemplos. Mosicos com pentágonos Apesr de não hver pvimentções quse-regulres ou regulres com pentágonos regulres existem com pentágonos não regulres. N Figur 9 bixo temos um pvimentção com pentágonos, não regulres, ms com todos os ldos iguis Figur 9 Outros mosicos podem ser determindos com pentágonos regulres e com losngos de ldos iguis os do pentágono e ângulos de 36 o e 44 o, como n Figur 0 bixo.

12 Figur 0 Mosicos periódicos de Penrose Se o grupo de simetri de um mosico tem pelo menos dus trnslções não prlels, então, o mosico é chmdo de periódico. Os mosicos regulres, por exemplo, são periódicos. (Respond: entre todos os ldrilhmentos já vistos té qui quis são periódicos e quis são não-periódicos?). Abixo ilustrmos dois ldrilhmentos, um periódico e outro não-periódico, que não obedecem nenhum ds condições ), b) ou c). periódico não periódico Figur Um ds mis notáveis descoberts n teori dos mosicos ocorreu nos últimos nos: existênci de um conjunto finito de ldrilhos com os quis é possível fzer um infinidde de tipos distintos de mosicos do plno e, ind mis, nenhum dos mosicos possíveis é periódico. Diz-se que tl conjunto de ldrilhos tem propriedde de ser periódico. Existem vários conjuntos finitos de ldrilhos com ess propriedde ms não se conhece nenhum com um só peç. Esse é o problem, não resolvido, de einstein (ein=um, stein=ldrilho): É possível ldrilhr o plno euclidino com um únic peç somente de mneir não periódic?. 2

13 Outro problem interessnte, não resolvido, é o chmdo problem do dominó: Existe lgum lgoritmo pr decidir se é possível ldrilhr o plno usndo somente um ddo ldrilho? Existem conjuntos de ldrilhos com os quis é possível fzer pvimentções não periódics ms não são periódicos, pois dmitem tmbém ldrilhmentos periódicos. Por exemplo, com ldrilhos retngulres 2x. (Experimente). Entre os vários exemplos de mosicos periódicos veremos o mis fmoso, com 2 peçs, descoberto por Roger Penrose (físico mtemático inglês) em 974. As peçs, um ppgio e um flech, são obtids de um losngo de ângulo gudo igul 72º e ldo igul o número de ouro = (+ 5) /2 como se vê n figur bixo. Em 984 Penrose mostrou que, colocndo um restrição bem simples como regr de encixe, é possível ldrilhr todo o plno com esss 2 peçs de um infinidde não enumerável de mneirs. vermelho verde verde vermelho =(+ 5)/2 verde vermelho vermelho Figur 2 Os vértices opostos ds peçs são pintdos em 2 cores, como n figur cim, e os encixes pemitidos são, pens, os que mntêm vértices de mesm cor juntos. Observe que, em prticulr, não se pode juntr peçs de modo formr um losngo originl. verde Figur 3 3

14 Apesr de precerem grupos de peçs que se repetem, o ldrilhmento não é repetição de nenhum rrnjo de peçs. Pergunt: Se tirrmos s cores dos vértices e proibirmos pens formção dos losngos originis, pode-se obter um ldrilhmento periódico? Tod pvimentção de um região do plno requer mis ppgios que flechs n proporção de, proximdmente, /. N pvimentção de todo o plno proporção é extmente /. Mis ind, qulquer prte finit de um pvimentção prece um infinidde de vezes em qulquer outr pvimentção. Podem ser feits modificções ns peçs de modo que não sej necessári colorção dos vértices, como vemos bixo. Figur 4 Figur 5 Duis de pvimentções quse-regulres São pvimentções formds prtir de um pvimentção quse-regulr unindo-se os centros dos polígonos. A dul d é e reciprocmente. A dul d é um do mesmo tipo. Vemos bixo pvimentção do Ciro, dul d , formd com pentágonos irregulres e dul de um pvimentção

15 Pvimentção do Ciro Figur 6 Not: As figurs do texto form composts usndo o Sketchpd. Referêncis Bibliográfics:. ALVES, S. Ldrilhndo o plno com qudriláteros, R.P.M. nº 5, São Pulo: SBM, ALVES, S. Mosicos no plno, R.P.M. nº 40, São Pulo:SBM, WELLS, D. Dicionário de geometri curios, Lisbo: Grdiv, 4. CUNDY, H.M.; ROLLET, A.P. Mthemticl models, Oxford, KRAITCHIK, M. Les mthémtiques des jeux, Bruxelles, GRUNBAUM, B.; SHEPARD, G.C. Tilings nd ptterns, New York: Freemn,

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