Métodos Não-Paramétricos

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1 Programa Métodos Não-Paramétricos Isabel Fraga Alves Departameto de Estatística e Ivestigação Operacioal Itrodução Aálise de Dados Categorizados Teste do Qui-Quadrado Teste de Ajustameto Tabelas de Cotigêcia Teste de Idepedêcia Teste de Homogeeidade Estatística Não-Paramétrica Itrodução: O problema geral da localização relativo a amostras Amostras emparelhadas Teste dos Siais (pequeas e grades amostras) Teste de Wilcoxo (pequeas e grades amostras) Uso das Ordes para Comparar Populações: Amostras Idepedetes Populações: O Teste de Ma-Whitey (pequeas e grades amostras) Mais de Populações: O Teste de Kruskal-Wallis (pequeas e grades amostras) Teste de Friedma (pequeas e grades amostras) Uso das Ordes para Testar Idepedêcia e Aleatoriedade Teste de Spearma (pequeas e grades amostras) Teste dos Rus para Aleatoriedade (pequeas e grades amostras) Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) Bibliografia CONOVER, W. J. (1999) - Practical Noparametric Statistics, 3rd ed. Wiley. DANIEL, W. W. (1990) - Applied Noparametric Statistics, d ed. PWS-Ket. Graça Martis, M. E. (005) Itrodução à Probabilidade e à Estatística Com complemetos de Excel, SPE. DeGroot, Morris H. - Probability ad statistics (1986 ) - d ed Massachusetts Addiso- Wesley. Pestaa e Velosa (006) - Itrodução à Probabilidade e à Estatística, I, Fudação Gulbekia. ª ed. SIEGEL, S. ad Castella, N. Y. (1988) - Noparametric Statistics for the Behavioral Scieces. McGraw-Hill. * Wackerly, D., Medehall, W. ad Scheaffer, L. (007) Mathematical Statistics with Applicatios. Duxbury Press; 7th ed. * Maual Recomedado para cosulta das Tabelas ao logo dos slides. Itrodução O que é a Estatística? Estudo da Icerteza Como a quatificar? Que podemos fazer com ela? As experiêcias repetidas sob o que pesamos serem as codições ão resultam sempre da mesma forma! Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 3 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 4 Tipos de Experiêcias Causais ou Determiísticas Ex: Deixar cair uma pedra o rio Aleatória ou Estocástica Ex: O Tempo que vou Esperar pelo Autocarro Como posso prever o resultado? Com Estatística quatificamos e medimos o imprevisível! Estatística: produz afirmações uméricas relativamete a situações sujeitas a INCERTEZA. Exemplos: Quem irá gahar as próximas eleições? Estarão os clietes da PT satisfeitos com o serviço prestado? Qual das duas pastas detífricas é mais eficiete que a outra para preveir as cáries? Qual a previsão da quatidade de precipitação para o próximo ivero? Após a moitorização de pacietes com doeças cardíacas, como decidir acerca dos factores que afectam a sua saúde? Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 5 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 6 1

2 Como e Que Respostas? Para respoder a estas pergutas frequetemete usamos modelos probabilísticos, que são modelos matemáticos para lidar com icerteza. Tipos de Variáveis São recolhidos Dados para explorar uma População, o objectivo de osso estudo. AMOSTRA VARIÁVEL Quado é recolhida uma amostra grade é ecessário produzir resumos das iformações ela cotidas. Existem ferrametas gráficas e uméricas que são ormalmete utilizadas pelos estatísticos Estatística Descritiva Iferêcia Estatística - faz geeralizações válidas para a População, a partir de Amostras. (equato a Previsão - é apresetada uma afirmação sobre o Futuro.) Dados - observações de determiadas quatidades de iteresse. Variáveis - icerteza acerca dos seus verdadeiros valores. DISCRETA QUANTITATIVA CONTÍNUA ORDINAL QUALITATIVA NOMINAL Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 7 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 8 Tipos de Variáveis (cot.) QUANTITATIVA vs. QUALITATIVA : variáveis com / sem represetação umérica e ordeação atural úica (por exemplo, a pressão arterial versus religião). DISCRETA vs. CONTÍNUA: variáveis quatitativas com / sem lacuas coceptuais etre os seus valores (por exemplo, úmero de criaças uma família versus pressão arterial). ORDINAL vs. NOMINAL: variáveis qualitativas com / sem ordeação (evetualmete ão úica) dos seus valores (a satisfação do cliete versus religião). Tipos de Variáveis (cot.) De modo geral, as variáveis qualitativas estão mais ligadas aos modelos ão-paramétricos equato que as variáveis quatitativas aos modelos paramétricos. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 9 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 10 Tipos de Variáveis (cot.) As variáveis qualitativas podem aida ser classificadas de acordo com: VARIÁVEL CATEGORIZADA (Categórica, Nomial ou de Classe) omes das pessoas ou coisas; as letras do alfabeto; o sexo, masculio ou femiio, macho ou fêmea; o estado civil, solteiro, casado, divorciado, viúvo; o curso, primário, secudário, colegial, uiversitário, pós-graduação, etc. Represeta o ível mais simples e mais elemetar de medição. Os idivíduos de uma população ou amostra são medidos mediate uma certa característica que pode ser categoria, ome ou classe. Características biárias ou dicotomizadas: presete ou ausete, 1 ou 0, positivo ou egativo, vivo ou morto, sim ou ão, beigo ou maligo, etc. Essas características são mutuamete exclusivas, isto é, cada idivíduo só pode se equadrar em um úico ome, categoria ou classe, e também são exaustivas, pois devem atigir todos os idivíduos da população ou amostra em estudo, sem excepção. A variável categórica é qualitativa e ão se presta aos cálculos aritméticos comus: soma, subtracção, multiplicação e divisão. Apreseta as seguites propriedades de equivalêcia (=): reflexiva (x=x); simétrica (x=y etão y=x); trasitiva (x=y e y=z etão x=z). Tipos de Variáveis (cot.) VARIÁVEL ORDINAL o alfabeto, A,B,C,D ou D,C,B,A; em úmeros de ordem, 1,,3 ou 3,,1; o sexo, F,M ou M,F; o curso, primário- secudário-superior ou superiorsecudário-primário; em uma quatificação, leve-moderado-iteso ou itesomoderado-leve; em cruzes, +,++,+++,++++ ou ++++,+++,++,+; a ordeação de dados uméricos, 11,18,3,9,35 ou 35,9,3,18,11; etc. Os idivíduos de uma população ou amostra são classificados de acordo com as diversas categorias de uma determiada característica e em seguida são ordeados. Esta ordeação pode ser crescete ou decrescete, ou igualmete, ascedete ou descedete. A variável ordial também é qualitativa. Sabe-se que um idivíduo ou coisa é maior ou meor do que outro, porém ão se sabe o quato é maior em o quato é meor. São comus as expressões comparativas: maior, meor; superior, iferior; primeiro, último; mais iteso, meos iteso; mais alto, mais baixo; preferível; etc. Na escala ordial utilizam-se as comparações maior do que (>) e meor do que (<). As operações aritméticas comus (adição, subtracção, multiplicação e divisão) ão são aplicáveis. Na ordeação, a relação maior do que (>) apreseta a propriedade trasitiva (se x>y e y>z etão x>z). Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 11 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 1

3 Tipos de Variáveis (cot.) VARIÁVEL INTERVALAR os valores de idade, altura, peso, pressão arterial, frequêcia cardíaca, exames laboratoriais, medidas diversas, etc. A escala itervalar é verdadeiramete quatitativa. A medição é feita directamete em úmeros reais, obtidos mediate a comparação com um determiado valor fixo, deomiado uidade. O ome itervalar está ligado aos itervalos etre as categorias da variável e aqui se sabe exactamete o quato uma categoria é meor ou maior que outra, ou aida se há igualdade etre elas. As operações aritméticas comus (soma, subtracção, multiplicação e divisão) são aplicáveis. ESTATÍSTICA NÃO PARAMÉTRICA Extremamete iteressate para aálises de dados qualitativos. A variável itervalar reúe todas as propriedades dos dois tipos ateriores de mesuração: as de equivalêcia (=), reflexiva (x=x), simétrica (x=y etão y=x) e trasitiva (x=y e y=z etão x=z) e a de ordeação (>), trasitiva (x>y e y>z etão x>z). Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 13 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - Localização Média Mediaa Moda Média Amostral - é a soma de todos os valores de uma amostra dividida pelo º de elemetos da amostra (dimesão). amostra aleatoria ( a. a.) - X1, X,, X amostra observada - x1, x,, x X 1 Xi i 1 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - Localização Mediaa Amostral - É o valor da amostra que ocupa a posição cetral, quado todos os valores estão ordeados em ordem crescete ou decrescete. Se for ímpar, a mediaa ( Med ) será o valor que ocupa a posição cetral a amostra ordeada. Esta posição pode ser calculada por (+1)/. amostra ordeada observada - x x x 1: : : É aplicada em variáveis quatitativas. A média amostral é a cotrapartida empírica do Valor Médio da População ou da Variável, m. x 1 xi i 1 Se for par, a Med será calculada pela média aritmética dos dois valores cetrais a amostra ordeada da amostra. A posição de cada um desses dois valores cetrais pode ser calculada por / e /+1. A Mediaa é muito utilizada os cálculos ão-paramétricos. x 1 impar : Med 1 x x par : 1: Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 15 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 16 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL - Localização Moda - É o valor da variável que correspode à frequêcia máxima. A moda pode ter um ou mais valores, uimodal, bimodal,..., multimodal, coforme existam uma, duas, ou mais frequêcias iguais, dos valores da variável. Dados: 5,, 8, 3, 35, 55, 83, 83, 98, 99, 43, 46, 51 (=13) amostra observada - ( x, x,, x ) média mediaa moda x 53.9 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 17 1 (5,, 8, 3, 35, 55, 83, 83, 98, 99, 43, 46, 51 ) amostra ordeada observada - x x x 1: : : (, 5, 8, 3, 35, 43, 46, 51, 55, 83, 83, 98, 99) Med 46 Mo 83 Localização: Mediaa vs. Média Razões para usar a mediaa: É meos iflueciada por valores extremos Se as distribuições são simétricas, a média e a mediaa populacioal coicidem Média vs. Mediaa Média = 7 Med = Média = 8.43 Med = 7 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 18 3

4 Objectivos do Curso Distiguir Metodologias Paramétricas & Metodologias Não-Paramétricas Explicar uma Variedade de Testes Não-Paramétricos Resolver Problemas de Testes de Hipóteses usado Testes Não- Paramétricos Quadro Geral Até este poto, todos os testes que têm utilizado estão sujeitos a suposições sobre a distribuição subjacete aos dados. Especificamete, é assumido que os dados são ormais para usar o teste-t, por exemplo. Poder-se-ia usar a teoria de grades amostras e o Teorema do Limite Cetral, mas isso aida apeas se verifica Assitoticamete O que é que acotece se ão estamos dispostos ou ão é sesato fazer as suposições de ormalidade sobre a distribuição subjacete e temos uma amostra de dimesão pequea? Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 19 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 0 Testes de Hipóteses - Metodologias TESTE DE HIPÓTESES Teste de Hipóteses - metodologias Paramétricas Não-Paramétricas Trata-se de uma técica para se fazer a iferêcia estatística sobre uma população a partir de uma amostra Teste - z Teste - t etc ANOVA Teste Wilcoxo etc Teste Kruskal-Wallis E muitos mais! Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) Testes de Hipóteses - Metodologias Estatística Não-Paramétrica Muitos dos testes estatísticos ão-paramétricos respodem à mesma série de questões tal como os testes paramétricos. Com testes ão-paramétricos as hipóteses podem ser flexibilizadas cosideravelmete. Teste-t emparelhado Amostra emparelhada Por coseguite, são utilizados métodos ão-paramétricos para situações que violem os pressupostos de procedimetos paramétricos. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 4 4

5 Testes Paramétricos Testes Paramétricos Icidem explicitamete sobre um ou mais parâmetros de uma ou mais populações; A distribuição de probabilidades da estatística de teste pressupõe uma forma particular das distribuições populacioais; As variâcias são homogéeas; Os erros ou resíduos são aleatórios e idepedetes e têm distribuição ormal com variâcia fiita e costate. Testes Não-Paramétricos Testes Não Paramétricos Requerem meos pressupostos em relação à população; Não exigem ormalidade; Não se baseiam em parâmetros da distribuição (logo, ão ecessitam variâcias homogéeas); Ligeiramete meos eficietes que os testes paramétricos; Baseiam-se as estatísticas ordiais (e ão os valores das observações); Mais fáceis de aplicar. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 5 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 6 Testes Não-Paramétricos Vatages Poucos Pressupostos Relativos à População Facilidade de implemetação Maior Perceptibilidade Aplicável em Situações Não Abragidas Pela Normal Mais Eficietes quado as Populações ão têm Distribuição Normal Os resultados podem ser tão exactos como os procedimetos paramétricos Desvatages As hipóteses testadas por testes ão-paramétricos tedem a ser meos específicas; Não têm Parâmetros, Dificultado Comparações Quatitativas etre Populações Escasso Aproveitameto de Iformação da Amostra Pode ser de Difícil Cálculo à mão para Grades Amostras Tabelas ão amplamete dispoíveis Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 7 Estatística Não-Paramétrica - Distribuição Livre Não icorpora as suposições restritivas, características dos testes paramétricos. Os dados ão precisam estar ormalmete distribuídos (Distributio-Free). É ecessário, apeas, que eles sejam ordeáveis. Muitas vezes, são baseados as ordes das observações e ão os seus valores, como o caso paramétrico. Podem ser aplicados para variáveis quatitativas e qualitativas. Meos sesíveis aos erros de medida e rápidos para pequeas amostras. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 8 PRINCIPAIS CONCEITOS TESTE DE HIPÓTESES Trata-se de uma técica para se fazer a iferêcia estatística sobre uma população a partir de uma amostra HIPÓTESE ESTATÍSTICA Trata-se de uma suposição quato ao valor de um parâmetro populacioal, ou quato à atureza da distribuição de probabilidade de uma variável populacioal. TESTE DE HIPÓTESES É uma regra de decisão para rejeitar ou ão rejeitar uma hipótese estatística com base os elemetos amostrais Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 30 5

6 TEORIA POPPERIANA - Falseabilidade (ou refutabilidade) Sciece ca't prove aythig. It ca oly disprove thigs. A ciêcia ão pode provar ada. Só pode refutar coisas. Cosidere o exemplo do famoso Cise Negro (black swa): Um cietista gasta sua vida observado cises. Observa que todos os cises que jamais viu são bracos. Com base esta evidêcia empírica, ele postula uma teoria de que todos os cises são bracos. Um dia viaja para a Austrália e vê - UPS! - um Cise Negro. A sua teoria é refutada. Mas isso ão sigifica que ão era ciêcia quado a estabeleceu. Agora, pode estabelecer uma teoria ova: Os cises podem ser bracos ou pretos. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 31 Karl Popper( ) - UM FILÓSOFO INOVADOR Sir Karl Raimud Popper foi filósofo da ciêcia austríaco aturalizado britâico e um professor da Lodo School of Ecoomics. Formou-se em matemática, física e filosofia da ciêcia britâica. Uma das pessoas mais ifluetes da filosofia da Ciêcia durate o século XX. POPPER E A REFUTAÇÃO Uma hipótese só é cietífica se puder ser colocada em questão ( refutada ). Isto sigifica que deve ser sempre possível realizar uma observação que prove que a hipótese é falsa Uma teoria cietífica ão poderá em ehuma circustâcia ser declarada verdadeira A teoria cietífica mais ão é do que uma hipótese; uma cojectura, que um dia será refutada e substituída por uma outra. What really makes sciece grow is ew ideas, icludig false ideas. Karl Popper SÓ APRENDEMOS QUANDO ERRAMOS. OS ESTATÍSTICOS NÃO PERGUNTAM QUAL É A PROBABILIDADE DE ESTAREM CERTOS, MAS A PROBABILIDADE DE ESTAREM ERRADOS. Para fazerem isso estabelecem uma hipótese ula. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 3 Data Aalysis ad Research for Sport ad Exercise Sciece: A Studet Guide By Craig Williams, Chris Wragg, Routledge ed., 003. pag 6 PRINCIPAIS CONCEITOS TIPOS DE HIPÓTESES H 0, hipótese ula, a hipótese estatística a ser testada H 1, hipótese alterativa A HIPÓTESE NULA É UMA AFIRMAÇÃO DE COMO O MUNDO DEVERIA SER, SE NOSSA SUPOSIÇÃO ESTIVESSE ERRADA. Ex: A hipótese ula expressa uma igualdade, equato a hipótese alterativa é dada por uma desigualdade. H : m 1.5 m vs. H : m 1.5 m 0 1 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 33 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 34 Testes de Hipóteses Erros EXISTEM DOIS TIPOS DE ERRO: Erro tipo 1 - rejeição de uma hipótese ula verdadeira Erro tipo II ão rejeição de uma hipótese ula falsa ão rejeiçao ão rejeição A probabilidade do erro tipo I é deomiada ível de sigificâcia do teste. Testes de Hipóteses Erros ET:= Estatística de Teste RR:= Região de Rejeição RA:= Região de Não Rejeição Decisão Realidade Não rejeitar H 0 Rejeitar H 0 H 0 verdadeira Decisão correcta Erro tipo I = P( erro tipo I ) = P(rejeitar H 0 H 0 verdadeira) = P(ET RR H 0 verd.) ível de sigificâcia ou tamaho do teste REGRA de TESTE: ET RR etão Rejeitar H 0 H 0 falsa Erro tipo II Decisão correcta = P(erro tipo II)= P(ão rejeitar H 0 H 0 falsa) = P(ET RA H 0 falsa) Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) = potêcia do teste Probabilidade de ão cometermos um erro do tipo II Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 36 6

7 p -Value O resultado foi sigificativo? Quão pequeo tem de ser o p-value, para se rejeitar a hipótese ula? Se p-value < 5 % estatisticamete sigificativo. Se p-value < 1 % altamete sigificativo. Os ivestigadores devem resumir os dados, dizer qual o teste usado e reportar o p-value (em vez de apeas o comparar com os valores de 1 % ou 5 % ) No caso de se estabelecer à partida o ível de sigificâcia e se o TESTE idicar a aceitação de H 0, diz-se que TIPOS DE TESTE Qui-Quadrado Teste dos Siais Teste de Wilcoxo Teste de Ma-Whitey Teste de Kruskal-Wallis Teste de Spearma Ao ível de sigificâcia ão se pode rejeitar H 0. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 37 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 38 TESTE DO QUI-QUADRADO - Teste de Idepedêcia Testes ão paramétricos que medem o grau de depedêcia etre duas variáveis aleatórias. Não assumem ehum tipo de distribuição. Assume observações de frequêcia de variáveis categóricas. As variáveis da amostra estão divididas em categorias. As observações das duas variáveis são agrupadas em classes idepedetes (disjutas). Tipicamete, os dados do teste estão represetados em tabelas de cotigêcia x. No etato podemos ter mais do que dimesões. Testes a estudar Teste do Χ (qui-quadrado) Teste exacto de Fisher TESTE DO QUI-QUADRADO - Teste de Idepedêcia Dados bivariados (X i, Y i ), i=1,...,, tedo (X, Y) f.d. cojuta F(x,y) com margiais F 1 (x) = F(x,+ ) e F (y)=f(+,y). Pretedemos testar H 0 : F(x,y)=F 1 (x) F (y) (x,y)r vs. H 1 : F(x,y) F 1 (x) F (y) para algum (x,y)r Isto é, face a uma amostra aleatória (X i, Y i ), i=1,...,, pretedemos testar a idepedêcia do par (X,Y). Para obter a estatística de teste começamos por dividir o suporte da variável aleatória X em L classes A 1, A,..., A L, disjutas e o suporte da variável aleatória Y em C classes B 1, B,..., B C, disjutas. Represetemos por N ij = # { (X k, Y k ): X k A i ; Y k B j },i=1,,l; j=1,,c. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 39 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 40 TESTE DO QUI-QUADRADO - Teste de Idepedêcia TESTE DO QUI-QUADRADO - Teste de Idepedêcia C Ni N j1 i1 pij P[ X Ai ; Y Bj ] pi. [ X Ai] p. j [ Y Bj] ij N j L N ij X\Y B 1 B B j B C A 1 N 11 N 1 N 1j N 1C N 1. A N 1 N N N C N. A i N i1 N i N ij N ic N i. A L N L1 N L N L N LC N L. N.1 N. N. j N.C N.. = pij P[ X Ai ; Y Bj ] pi. [ X Ai ] p. j [ Y Bj ] ij ij i.. j ( Nij eij ), sob H0 tem uma distribuição assitótica de um ( LC eij. L C 1) 1 1 i j Com as frequêcias esperadas e ij descohecidas, utiliza-se Estatística de Teste (ET): X Regra de Decisão: e p p p ˆ ˆ ˆ ˆ i.. j i.. j eij pij pi. p. j N N N N ( N eˆ ), tem uma distribuição assitótica de um. L C ij ij sob H0 ( L 1)( C 1) i 1 j 1 eˆ ij H : p p p, ( i, j) vs. H : ( i, j), p p p 0 ij i.. j 1 ij i.. j Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 41 Ao ível, Rejeitar a hipótese ula de Idepedêcia se o valor da ET 1 ( L1)( C1) (quatil da qui-quadrado com (L-1) x (C-1) graus de liberdade) Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 4 7

8 TESTE DO QUI-QUADRADO - Teste de Idepedêcia Regra prática: Como a distribuição da estatística de teste é assitótica, covém que as células ão teham valores esperados muito pequeos. Como regra prática, utiliza-se a seguite: No máximo, 0% das células podem ter frequêcia esperada <5 e ehuma célula deve ter frequêcia esperada <1. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 43 TESTE DO QUI-QUADRADO - Teste de Idepedêcia Exemplo 6: Depedêcia etre bairro e escolha do sabor de pasta de detes Dados: eˆ ij Sabor NN i.. j Bairros A B C Limão Chocolate Hortelã Meta H0: a preferêcia pelo sabor idepedete do bairro; H1: a preferêcia pelo sabor depede do bairro = 5% (L-1)(C-1)= (4-1)(3-1) = (6) Frequêcia esperada = (soma da liha i) x (soma da colua j)/(total de observações) X ( N eˆ ), tem uma distribuição assitótica de um. L C i1 j1 eˆ ij sob H ( L 1)( ij ij C 0 1) Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 44 TESTE DO QUI-QUADRADO - Teste de Idepedêcia Exemplo 6: (cot.) Tabela de frequêcias esperadas SABOR BAIRRO A B C Limão Chocolate Hortelã Meta x = (6)=1.6 x > 0.95(6) Decisão: rejeita-se H0. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 45 Exemplo com tabela de cotigêcia x Em 1956, o úmero de pessoas que morreram de tuberculose em Iglaterra e Gales foi Destas, 3804 foram homes e 1571 eram mulheres; 3534 homes e 1319 mulheres morreram de tuberculose do sistema respiratório, equato o restate morreu de outras formas de tuberculose. Os dados estão a seguite tabela de cotigêcia: Homes Mulheres Total TB o SR Outras TB Total H 0 : tipo de tuberculose (TB) que causa a morte a estes idivíduos é idepedete do seu sexo. e 11 = (4853 x 3804) / 5375 = ; etc. Χ = ( ) / ( ) / (5 15.6) / 15.6 = Para =0.05 temos Χ 0.95(1)(1)=3.84. Rejeitamos H 0 se Χ > 3.84 o que é o caso. Coclusão: Há evidêcia de uma associação etre tipo de TB e sexo. Observação: p-value < Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 46 Correcção de Yates para tabelas x No caso específico de tabelas x devemos usar a Correcção de Yates para cotiuidade. X * ( N eˆ 0.5) i1 j1 ij Para o problema aterior, Yates Χ = ij ij eˆ TESTE DO QUI-QUADRADO - Teste de Idepedêcia No R, temos: x<-matrix(c(3534,1319,70,5),col=,byrow=t) et<-chisq.test(x) ames(et) et et$expected #quatil qchisq(0.05,1, cp=0, lower.tail = F) #p-valor pchisq( ,1, cp=0, lower.tail = F) #desity plot(desity(rchisq(500,df=1))) poits(qchisq(0.05,1, cp=0, lower.tail = F),0,pch=19,col=) Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 47 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 48 8

9 Teste Exacto de Fisher O teste ideal para aplicar com tabelas de cotigêcia de dados pequeos esparsos e ão balaceados. Embora seja aplicável outras situações, vamos sempre usar em tabelas x. É um teste exacto, portato um p-value exacto. A ideia geral é cosiderado a tabela de observações, gerar as tabelas com as mesmas marges, que são mais extremas que a observada, a mesma direcção da ossa observação ie, que a proporção TB do tipo SR as mulheres é meor que proporção TB tipo SR os homes. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 49 Teste Exato de Fisher Característica (sim) Característica (ão) Populatio 1 a A-a A Populatio b B-b B a+b A+B-a-b Total H0: a proporção com a característica de iteresse é a mesma as duas populações Bilateral H1: a proporção com a característica de iteresse ão é a mesma as duas populações (o R: fisher.test(x)) Uilateral H1: a proporção com a característica de iteresse a população 1 é meor que a população (o R: fisher.test(x,alterative= less )) H1: a proporção com a característica de iteresse a população 1 é maior que a população (o R: fisher.test(x,alterative= greater )) Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 50 Teste Exacto de Fisher (cot.) Para o exemplo aterior temos o R: x<-matrix(c(3534,1319,70,5),col=,byrow=t) fisher.test(x) Teste dos Siais Fisher's Exact Test for Cout Data data: x p-value <.e-16 alterative hypothesis: true odds ratio is ot equal to 1 95 percet cofidece iterval: sample estimates: odds ratio.5000 Cotrapartida ão-paramétrica para Teste-t para amostras emparelhadas Amostras Emparelhadas - O Teste dos Siais Amostras Emparelhadas - O Teste dos Siais (pequeas amostras) População X População Y ( X, Y ),( X, Y ),,( X, Y ) 1 1 H : localizaçao de X localizaçao de Y vs. H : localizaçao de X localizaçao de Y 0 1 Difereças: D : X Y ; D : X Y; i i i H : Med ( D) 0 vs. H : Med ( D) sobh0, P D 0 P D 0 1/ ; Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 53 ( > ) ou ( < ) ( > ) ou ( < ) M : =# Di : Di 0 ; sob H0, M Biomial(, p 1/ ), com p : PX Y H0: p 1/ vs. H1: p 1/ (ou p 1/ ou p 1/ ) Região de Rejeição para: Uilateral Uilateral Bilateral H1 : p1/ H1 : p1/ H1 : p1/ Rejeitar para os maiores valores de M (m) p value PBiomial (,1/ ) m, Rejeitar para os meores valores de M (m) p value PBiomial (,1/ ) m, Rejeitar para os meores e maiores valores de M (m) p value PBiomial (,1/ ) mou PBiomial (,1/ ) m, No R: P[Biomial(,1/)<=m]=pbiom(q=m,size=,prob=.5,lower.tail = F) Observação: Sempre que se verificarem ligações, isto e, valores Xi=Yi, esses valores são desprezados, dimiuido-se a dimesão da amostra. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 54 9

10 Exemplo - Cacro pacreático Quado os pacietes têm Cacro pacreático, muitas vezes a cirurgia é ecessária para remover a parte do pâcreas que tem o cacro. Quado estas cirurgias são cocluídas, o cirurgião tem a opção de fazer uma cirurgia mais complexa para preservar o baço (preservação baço) ou para remover o baço como parte de cirurgia (Espleectomia). Um estudo foi feito para comparar as duas opções cirúrgicas em termos de resultados de saúde, óus de custo e tempo a equipa cirúrgica. Questão Uma perguta para cada técica é determiar o efeito da cirurgia sobre a cotagem de plaquetas em pacietes. As plaquetas estão evolvidas a coagulação dos pacietes; por vezes, aos pacietes em cirurgia são dados medicametos para limitar a quatidade de coagulação durate a cirurgia. Uma grade mudaça o úmero de plaquetas pode ser um sial de que a cirurgia foi particularmete difícil. Para cada técica, os cirurgiões pretediam determiar se há uma difereça sigificativa a pre e post cotagem de plaquetas de cirurgia. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 55 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 56 Exemplo - Cacro pacreático(cot.) Em primeiro lugar, vamos ver o grupo de preservação baço Observe que temos observações emparelhadas para cada um dos pacietes Estamos iteressados a difereça etre duas medições Será que efectivamete há uma difereça? Paciete Pre Post Dif Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 57 Histograma Uma vez que temos dados emparelhados, poderíamos utilizar o teste-t emparelhado. O que se pode dizer sobre a distribuição das difereças? A suposição de ormalidade do t-teste emparelhado parece adequada? A difereça a cotagem de plaquetas pode ser variável e coter outliers Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 58 Exemplo - Cacro pacreático(cot.) A hipótese ula para a ossa ivestigação é que ão há ehuma difereça a cotagem de plaquetas, ates e após a cirurgia. Para o t-teste de duas amostras, isto seria escrito como H 0 : difereça média (pre-post) é igual a zero (d = 0) Neste caso, temos outliers, portato, a média ão é uma boa medida de tedêcia cetral. Que medida se deve usar alterativamete? Como podemos estabelecer e testar a hipótese ula adequada? Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 59 Teste dos Siais O teste ão-paramétrico mais simples é o Teste dos Siais H 0 : mediaa de difereças (pre-post) = 0 H 1 : mediaa de difereças (pre-post) 0 Sob a hipótese ula, seria de esperar o mesmo úmero de siais positivos e egativos. D : X Y ; sobh, P D 0 P D 0 1/ ; i i i 0 i i M : =# Di : Di 0 ; sob H0, M Biomial(, p 1/ ), com p : PX Y Se a maioria ou todas as difereças são positivas, haveria algumas provas cotra a hipótese ula. Até que poto podem ser sigificativas? Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 60 10

11 Teste dos Siais Agora icluímos a colua dos SINAIS Se ão houve realmete ehum efeito da terapia, seria de esperar que iria haver um úmero igual de siais (+, - ) O que se pode ver sobre os siais das difereças? Há uma difereça sigificativa etre os dois grupos? Como se pode calcular o p-value? Paciete Pre Post Dif SINAL Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 61 Teste dos Siais O p-value é a probabilidade de se obter o valor observado ou algo mais extremo sob a hipótese ula (p = 1/). Para o Teste dos Siais, esta é a probabilidade do úmero observado de siais positivos ou mais. Para fazer o teste bilateral, devemos ter em cota também os valores extremos do outro lado. Hipótese ula e alterativa: H : p 1/ vs. H : p 1/ p-value: 0 1 p value P Biomial (,1/) m, 11, m 10 > *pbiom(q=10, size=11, prob=.5, lower.tail = F) [1] Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 6 Exemplo - Cacro pacreático(coclusão) Teste dos Siais Dados Emparelhados, = 5% Hipóteses H 0 : mediaa das difereças = 0 (p = 1/) H 1 : mediaa das difereças 0 (p 1/) M teve o valor observado de m = 10 (# siais +) p-value = Rejeitar a hipótese ula Coclusão: Há uma difereça sigificativa etre os valores de plaquetas pré e pós-cirurgia para pacietes que tiham a cirurgia de preservação baço. Teste dos Siais Grades amostras grade, ie, + M p M / d N(0,1) p(1 p) 1/ Nas aplicações, para 5 M / Z N(0,1) 1/ Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 63 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 64 Teste dos Siais Grades amostras Hipótese ula e alterativa bilateral: H : p 1/ vs. H : p 1/ 0 1 Teste dos Siais Grades amostras Hipótese ula e alterativa uilateral : H : p 1/ vs. H : p 1/ 0 1 p-value: M / m / m / p value P P Z z {1 ( z)}, z 1/ 1/ 1/ M / m / ou P PZ z ( z). 1/ 1/ p-value: M / m / m p value P PZ z 1 ( z), z /. 1/ 1/ 1/ Região de Rejeição, ao ível de sigificâcia : Z z ou Z z z / / z / / /, / : 1 (1 /), quatil da Normal(0,1) z / Região de Rejeição, ao ível de sigificâcia : z 1 M / Z z, z : (1 ), quatil da Normal(0,1), Z : 1/ Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 65 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 66 11

12 Teste dos Siais Grades amostras Hipótese ula e alterativa uilateral : p-value: H : p 1/ vs. H : p 1/ 0 1 M / m / m p value P PZ z ( z), z /. 1/ 1/ 1/ Região de Rejeição, ao ível de sigificâcia : 1 M / Z z, z : (1 ), quatil da Normal(0,1), Z : 1/ Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 67 z Teste dos Siais Grades amostras EXEMPLO - Sesseta aluos matricularam-se um curso de iglês. Na primeira aula aplica-se um teste que mede o cohecimeto da lígua. Após seis meses, aplica-se um segudo teste. Os resultados mostram que 35 aluos apresetaram melhora (35 +), 0 se coduziram melhor o primeiro teste (0 -) e 5 ão apresetaram modificações (5 0 ). Será que o curso melhorou o cohecimeto de iglês? H0: O curso ão alterou o cohecimeto de iglês H1: O curso melhorou o cohecimeto de iglês = 5% Cálculo da variável m - úmero de siais positivos (35); tamaho da amostra descotado os empates (60-5=55) Z = Z 0.95 = 1.64, logo se rejeita Ho, ie, o curso ão melhorou o cohecimeto de iglês No R: > qorm(0.95) M / Z 1/ m / 35 55/ z.0 1/ 1/ 55 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 68 Amostras Emparelhadas - O Teste de Wilcoxo (pequeas amostras) Teste de Wilcoxo População X População Y ( X, Y ),( X, Y ),,( X, Y ) 1 1 H : distribuiçao de X distribuiçao de Y vs. H : localizaçao de X localizaçao de Y (Teste Bilateral) 0 1 ( > ) ou ( < ) (Teste Uilateral) Cotrapartida ão-paramétrica para Teste-t para amostras emparelhadas Difereças Di Xi Yi D X Y 0 1 : ; : ; H : Med ( D) 0 vs. H : Med ( D) 0 ( > ) ou ( < ) (Teste Bilateral) (Teste Uilateral) O Teste de Wilcoxo é uma extesão do Teste de Siais. É mais iteressate pois leva em cosideração a magitude da difereça para cada par. O teste de sial aalisa apeas o sial das difereças, mas o Teste de Wilcoxo usa o sial e ordea as difereças. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 70 Teste de Wilcoxo (Pequeas Amostras Emparelhadas) 1. Obter as difereças, D i = X i - Y i. Obter os Valores Absolutos das difereças, D i 3. Desprezar as difereças de Valor 0 (empates) dimiuido do mesmo úmero de uidades, a dimesão da amostra. 4. Atribuir Ordes, ode a Meor = 1 5. Atribuir Ordes para difereças - e + 6. Somar as Ordes + (T + ) & Ordes - (T - ) Estatística de Teste T - ou T + (Teste Uilateral) Estatística de Teste T:=mi(T -, T + ) (Teste Bilateral) Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 71 Teste de Wilcoxo (Pequeas Amostras Emparelhadas) Motivação para a Região de Rejeição: Sob a validade de H 0, é de esperar que a soma das ordes positivas (T + ) ão difira grademete da soma das ordes egativas (T - ). Uma soma grade para as ordes positivas (T + ) relativamete a soma das ordes egativas (T - ), implica que a Mediaa das Difereças, Med(D), teha uma pequea probabilidade de ser igual a zero. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 7 1

13 Teste de Wilcoxo (Pequeas Amostras Emparelhadas) Teste de Wilcoxo (Pequeas Amostras Emparelhadas) H o : Med(D) =0 (As distribuições de X e de Y são idêticas) H o : Med(D) = 0 (As distribuições de X e de Y são idêticas) Teste Bilateral H 1 : Med(D) 0 (As distribuições de X e de Y diferem a localização) Rejeitar H o se T T0 (Tabela 9), com T:=mi(T -, T + ) No R: wilcox.test(x,y,alterative = c("two.sided"),paired =T) Teste Uilateral H 1 : Med(D) > 0 (A distribuição de X tem localização à direita da localização de Y) Rejeitar H 0 se T - T0 H 1 : Med(D) < 0 (A distribuição de Y tem localização à direita da localização de X) Rejeitar H 0 se T + T0 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 73 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 74 Teste de Wilcoxo (Grades Amostras Emparelhadas) grade, ie, + T ( 1) / 4 d N(0,1) ( 1)( 1) / 4 Nas aplicações, para 5 T ( 1) / 4 Z N(0,1) ( 1)( 1) / 4 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 75 Teste de Wilcoxo (Grades Amostras Emparelhadas) H o : Med(D) = 0 Teste Bilateral (As distribuições de X e de Y são idêticas) H 1 : Med(D) 0 (As distribuições de X e de Y diferem a localização) Z : + T p-value: PZ z {1 ( z)}. ( 1) / 4 ( 1)( 1) / 4 z / z / Região de Rejeição, ao ível de sigificâcia : Z z ou Z z z quatil da N(0,1) 1 / /, / : (1 / ), ie, Rejeitar H o se Z > z / / / Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 76 Teste de Wilcoxo (Grades Amostras Emparelhadas) H o : Med(D) = 0 Teste Uilateral H 1 : Med(D)> 0 (localização de X à direita da localização de Y) p-value: PZ z 1 ( z). Z z 1, z : (1 ) (As distribuições de X e de Y são idêticas) Região de Rejeição, ao ível de sigificâcia : H 1 : Med(D)< 0 (localização de X à esquerda da localização de Y) p-value: Z ( ). P z z Z z 1, z : (1 ) z Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 77 z Exemplo - Cacro pacreático Agora, podemos aalisar o grupo que teve iterveção cirúrgica com Espleectomia Novamete, temos observações emparelhadas sobre cada um dos pacietes, e estamos iteressados a difereça etre duas medições de plaquetas. Será que há uma difereça sigificativa? Patiet Pre Post Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 78 13

14 Exemplo - Cacro pacreático - Teste de Wilcoxo A hipótese ula para a ossa ivestigação é que ão há ehuma difereça a cotagem de plaquetas, ates e após a cirurgia com Espleectomia. H 0 : Med(D) = 0 H 1 : Med(D) 0 Rejeitar Ho se T T 0 (Tabela 9), com T:=mi(T-, T+) Valor observado de T = 44 T 0 (Tabela 9): =13 Two-sided p=0.10 T 0=1 Etão: T >T 0, ão se rejeita H 0. Coclusão: Não há ehuma evidêcia de uma difereça etre o pré e pós cotagem plaquetas para os pacietes que tiham uma Espleectomia durate sua cirurgia. Paciet e Pre Post Di Di Ordem T+ T No R: x=c(49,97,7,367,06,84,338,1,161,384,4,51,4) y=c(375,38,35,585,181,37,73,43,147,36,14,9,63) wilcox.test(x, y,alterative = c("two.sided"),paired =T) Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 79 Coclusões Os ossos testes de hipóteses mostram que: os doetes a partir do grupo de preservação baço tiham uma mudaça sigificativa a sua cotagem de plaquetas após cirurgia (rej H0) e os pacietes do grupo Espleectomia ão têm uma mudaça sigificativa a sua cotagem de plaquetas após cirurgia (ão rej H0). Estes resultados podem mostrar que a cirurgia de preservação baço é difícil para o paciete e outras medidas devem ser ivestigadas para garatir que esta cirurgia ão é excessivamete agressiva para os de pacietes. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 80 Cometários Quado ós temos dados emparelhados e os pressupostos de um teste-t emparelhado ão forem pressupostos, temos duas maeiras para elaborar o teste de hipóteses sobre a localização: O Teste de Wilcoxo é sempre preferido ao Teste dos Siais já que usa mais iformação cotida os dados (já que usa as ordes). O Teste de Wilcoxo tem muito mais potêcia do que o Teste dos Siais para detectar uma difereça sigificativa. Não há uma grade perda de potêcia o Teste de Wilcoxo comparado a um teste-t quado se matém a suposição de ormalidade. Por outro lado, o Teste de Wilcoxo é muito mais potete do que o teste-t quado ão é válida a suposição de ormalidade. Teste Ma-Whitey Cotrapartida ão-paramétrica para Teste-t para amostras idepedetes Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 81 Teste Ma-Whitey pequeas amostras idepedetes Teste Ma-Whitey pequeas amostras idepedetes 1. Testes para Duas Populações, X e Y, Idepedetes. Correspode ao Teste-t para valores médios 3. Pressupostos Amostras Aleatórias Idepedetes (dimesões 1 e ) Populações Cotíuas 4. Aproximação Normal se i 10 H 0 : X e Y têm distribuição idêtica H 1 : As distribuições de X e Y diferem a Localização T 1 = Soma das Ordes das Observações da amostra 1 a amostra cojuta de dimesão = 1 + T = Soma das Ordes das Observações da amostra a amostra cojuta de dimesão = 1 + Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 83 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 84 14

15 Teste Ma-Whitey pequeas amostras idepedetes 1 ( 1 + 1) U 1 = T 1 ( + 1) U = T Teste Ma-Whitey procedimeto 1. Atribuir Ordes para as = 1 + Observações Amostrais Se 1, cosidera-se o ídice 1 para a meor dimesão ( 1 ) Meor Ordem = 1, Maior Ordem = Valores Iguais (ligações) são subsituídos pela respectiva média das ordes.. Somar as Ordes, T i, i=1,, para cada Amostra A distribuição exacta da ET, U, pode ser calculada Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 85 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 86 Teste Ma-Whitey pequeas amostras idepedetes Procedimeto: 1. Assumir que 1 (iverter as amostras se ecessário). Determiar U 1 e U 3. U := mi (U 1,U ) 4. Usar os valores da Tabela 8 para testar H 0 vs H 1 Teste Bilateral H 1 : As duas populações, X e Y, diferem a localização Rejeitar H 0 ao ível se o valor observado de U, u, for tal que p-value = P[U < u ] Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 87 Teste Ma-Whitey pequeas amostras idepedetes Procedimeto: 1. Assumir que 1 (iverter as amostras se ecessário). Determiar U 1 e U 3. Usar os valores da Tabela 8 para testar H 0 vs H 1 Teste Uilateral H 1 : A população 1 (X) está localizada à direita da população (Y) Rejeitar H 0 ao ível se o valor observado de U 1, u 1, for tal que p-value=p[u < u 1 ], com U = U 1 Teste Uilateral H 1 : A população 1 (X) está localizada à esquerda da população (Y) Rejeitar H 0 ao ível se o valor observado de U, u, for tal que p-value=p[u < u ], com U = U Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 88 Teste Ma-Whitey grades amostras idepedetes Aproximação à Normal µ U = Z := 1 U - µ U U U = 1 ( ) 1 Teste Ma-Whitey grades amostras idepedetes Teste Bilateral H 1 : H 0 : X e Y têm distribuição idêtica ( + 1) Determie U = T As distribuições de X e Y diferem a Localização Rejeitar H o se Z > Z / / / z / Z / := -1 (1- /), (.) f.d. da N(0,1) z / Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 89 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 90 15

16 Teste Ma-Whitey grades amostras idepedetes H 0 : X e Y têm distribuição idêtica ( + 1) Determiar U = T Teste Ma-Whitey Exemplo Supoha que é um gestor de produção e está iteressado em ivestigar se as taxas de produção de fábricas são iguais. Para a fábrica 1, as taxas (% de capacidade) são 71, 8, 77, 9, 88. Para a fábrica, as taxas são 85, 8, 94, 97. Terão as taxas de produção das fábricas a mesma distribução de probabilidade ao ível de.10? Teste Uilateral H 1 : A população 1 (X) está localizada à direita da população (Y) Rejeitar H 0 se Z > z Teste Uilateral H 1 : A população 1 (X) está localizada à esquerda da população (Y) Rejeitar H 0 se Z < -z H0: Distribuição Idêtica Ha: Localização Diferete =.10 1 = 4 = 5 Potos críticos: Estatística de Teste : Decisão: Coclusão: z z Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 91 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 9 Teste Ma-Whitey Exemplo Teste Ma-Whitey Exemplo Fábrica 1 Fábrica Taxa Ordem Taxa Ordem Soma das Ordes Fábrica 1 Fábrica Taxa Ordem Taxa Ordem Soma das Ordes Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 93 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 94 Teste Ma-Whitey Exemplo Teste Ma-Whitey Exemplo Fábrica 1 Fábrica Taxa Ordem Taxa Ordem Soma das Ordes Fábrica 1 Fábrica Taxa Ordem Taxa Ordem Soma das Ordes Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 95 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 96 16

17 Teste Ma-Whitey Exemplo Teste Ma-Whitey Exemplo Fábrica 1 Fábrica Taxa Ordem Taxa Ordem Soma Das Ordes Fábrica 1 Fábrica Taxa Ordem Taxa Ordem Soma Das Ordes Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 97 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 98 Teste Ma-Whitey Exemplo Teste Ma-Whitey Exemplo Fábrica 1 Fábrica Taxa Ordem Taxa Ordem Soma Das Ordes Fábrica 1 Fábrica Taxa Ordem Taxa Ordem Soma Das Ordes Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 99 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 100 Teste Ma-Whitey Exemplo Teste Ma-Whitey Exemplo Fábrica 1 Fábrica Taxa Ordem Taxa Ordem Soma das Ordes Fábrica 1 Fábrica Taxa Ordem Taxa Ordem Soma Das Ordes Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 101 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 10 17

18 Teste Ma-Whitey Exemplo Fábrica 1 Fábrica Taxa Ordem Taxa Ordem Soma Das Ordes Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 103 Teste Ma-Whitey Exemplo Supoha que é um gestor de produção e está iteressado em ivestigar se as taxas de produção de fábricas são iguais. Para a fábrica 1, as taxas (% de capacidade) são 71, 8, 77, 9, 88. Para a fábrica, as taxas são 85, 8, 94, 97. Terão as taxas de produção das fábricas a mesma distribução de probabilidade ao ível de.10? H0: Distribuição Idêtica Ha: Localização Diferete =.10 1 = 4 = 5 Estatística de Teste : T1 = = 5.5 (Amostra de dimesão mais pequea) 1( 11) 45 U1 1 T p-value= P[ U1< 4.5 ] >P[ U1< 4] =x Decisão: Não Rejeitar ao ível de = 10% Coclusão: Não existe evidêcia estatística que os permita duvidar que as Fábricas têm Taxas de Produção Idêticas, ao ível de 10%. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 104 Teste Ma-Whitey Exemplo Supoha que é um gestor de produção e está iteressado em ivestigar se as taxas de produção de fábricas são iguais. Para a fábrica 1, as taxas (% de capacidade) são 71, 8, 77, 9, 88. Para a fábrica, as taxas são 85, 8, 94, 97. Terão as taxas de produção das fábricas a mesma distribução de probabilidade ao ível de.10? H0: Distribuição Idêtica Ha: Localização Diferete =.10 1 = 4 = 5 No R: x<-c(71, 8, 77, 9, 88) y<-c(85, 8, 94, 97) wilcox.test(x, y,alterative = c("two.sided"),paired =F) Wilcoxo rak sum test with cotiuity correctio data: x ad y W = 4.5, p-value = alterative hypothesis: true locatio shift is ot equal to 0 Teste de Kruskal-Wallis Cotrapartida ão-paramétrica para ANOVA completely radomized Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 105 Teste de Kruskal-Wallis A aálise da variâcia leva em cosideração que as variáveis são idepedetes, tem uma distribuição ormal com uma variâcia comum (homogeeidade das variâcias) média costate em cada colua. O teste Kruskal-Wallis é um método ão paramétrico. Não leva em cosideração formas específicas de distribuição. Cotrapartida ão-paramétrica para ANOVA completely radomized Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 107 Teste Kruskal-Wallis Trata-se de um teste para decidir se k amostras de dimesões i, i=1,,k, (k>) idepedetes provêm de Ho: k populações com distribuições idêticas. versus H1: pelo meos duas das k populações diferem a localização. Cosiderar a amostra global das = i observações e atribua Ordes. Calcular as Somas das Ordes R i, para cada amostra i=1,,k. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010)

19 Teste Kruskal-Wallis Estatística de Teste: Sem empates k k * 1 Ri 1 H H 3( 1) i( Ri R), ( 1) ( 1) i1 i i1 Ri Ri / i e R ( 1) / Com empates( Siegel & Castella 88, pg.10) g := º de grupos de empates distitos tj := º de valores empatados o grupo j de H empates, j=1,,g 1 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 109 H * g 3 ( tj tj) j1 3 Teste Kruskal-Wallis Grades Amostras Sob a hipótese ula, Estatística de Teste H segue aproximadamete um Qui-Quadrado com g.l.= k-1 Decisão: Rejeitar Ho se o valor da ET de K-W é grade Rejeitar hipótese ula Ho se H > χ k-1, 1-α χ k-1, 1-α Deve-se usar apeas quado a mais pequea das dimesões i 5. Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 110 Teste Kruskal-Wallis Pequeas Amostras Quado k = 3 e i 5, sem empates: os Quatis w, = 0.90, 0.95, 0.99 da distribuição exacta da ET K-W estão tabelados a Tabela A8 (Coover 80) Decisão: (ao ível α) Rejeitar hipótese ula Ho se H > w 1-α Teste de Kruskal-Wallis Primeiramete, os dados são covertidos em ordes. Cosidere os 4 Tratametos seguites, A, B, C, D, cada um com cico réplicas. Tratametos A B C D Podemos dizer que esses valores são proveietes da mesma distribuição? Ou seja, ão existe uma difereça sigificativa etre os Tratametos? Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 111 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 11 Teste de Kruskal-Wallis Ordeação i i i i i i Nota: As difereças os potos médios (Ri/i) idicam difereças os grupos. Teste de Kruskal-Wallis A hipótese ula é que todos os grupos vêem da mesma população. Seja = 0, o tamaho da amostra total. A Estatística de Teste é Para osso exemplo H * k 1 Ri 3( 1) ( 1) i1 * 1 H (1) i Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010) 113 Isabel Fraga Alves FCUL/ DEIO - Estatística Aplicada: Métodos Não-Paramétricos 1ºAo/ºSem (009/010)