ENEM EM FASCÍCULOS MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

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1 ENEM EM FSCÍCULOS - 0 MTEMÁTIC E SUS TECNOLOGIS Fascículo CRO LUNO, Neste décimo segudo fascículo, trabalharemos com a área de Matemática e suas Tecologias, buscado mostrar a todos que o estudo dessa área pode ser muito útil e istigate para o uso cotidiao. Seguido osso raciocíio, trabalharemos, este fascículo, com três assutos bem iteressates e sempre presetes o Eem: álise Combiatória, Probabilidade e Estatística, buscado refletir sobre o sigificado desses importates coceitos e cotextualizado-os em diversos ceários e situações práticas. om estudo para você! INTRODUÇÃO Olá, querido estudate, Neste fascículo, vamos abordar os assutos de maior icidêcia a última prova do Eem: o esio da probabilidade e da estatística. Para isso, você terá acesso a uma cosistete fudametação teórica, acompahada de situações-problema detro das habilidades de Matriz de Referêcia de Matemática e suas Tecologias, matriz essa que serve de base para o Eem. OJETO DO CONHECIMENTO álise combiatória Pricípio Fudametal da Cotagem (Pricípio Multiplicativo) Detre as técicas de cotagem, a fudametal e bastate ituitiva é o pricípio fudametal da cotagem (P.F.C.), que apresetaremos através de exemplos. Eis o que diz o pricípio fudametal da cotagem: Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas, sedo que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um destes, a seguda pode ser feita de modos, etão o úmero de modos de realizar a ação é dado pelo produto m. Observação: No caso das ações com mais de duas etapas, o úmero de modos da ação ocorrer é o produto dos úmeros de possibilidades das respectivas etapas. rrajos simples e combiações simples É importate, ates de iiciarmos os estudos relativos a arrajo e combiação, etedermos que dois cojutos são iguais quado todos os elemetos de um são também elemetos do outro cojuto e vice-versa, idepedetemete da ordem dos elemetos esses cojutos. Já duas sequêcias ordeadas, somete serão iguais se elas apresetarem, ordeadamete, os mesmos elemetos. Em outras palavras, duas sequêcias ordeadas iguais, além de apresetarem os mesmos elemetos, tais elemetos devem ocupar, respectivamete, ordes (posições) iguais. Por exemplo, os seis cojutos {,, 6}, {, 6, }, {,, 6}, {, 6, }, {6,, } e {6,, } são um mesmo cojuto. ssim, se vamos cotá-los, devemos cosiderá-los apeas um cojuto (um grupo). Já as seis sequêcias ordeadas (,, 6), (, 6, ), (,, 6), (, 6, ), (6,, ) e (6,, ) são todas diferetes uma das outras. Se vamos cotá-las, devemos cosiderá-las 6 grupos ordeados distitos. Estado, por exemplo, iteressados em cotar as filas que podemos formar utilizado sempre as mesmas pessoas ou a quatidade de úmeros que podemos formar utilizado sempre os mesmos algarismos, a ordem com que as pessoas ou algarismos aparecem é relevate, isto é, muda a fila ou o úmero. O iteresse, esse caso, está em cotar sequêcias ordeadas, deve-se cotar os arrajos. Estado, por exemplo, iteressado em cotar comissões ou subcojutos, a ordem com que as pessoas ou elemetos aparecem ão é relevate, isto é, ão muda a comissão ou o subcojuto. O iteresse, esse caso, está em cotar subcojutos, deve-se cotar as combiações. Problema das filas de k pessoas escolhidas detre pessoas possíveis Cosidere 7 pessoas. Quatas são as filas distitas formadas com dessas pessoas? Para o primeiro lugar a fila, temos 7 possibilidades; para a seguda posição, 6; para a terceira, 5 e, para a quarta e última posição, possibilidades. ssim, pelo P.F.C., temos = 80 filas. Cada uma dessas filas é uma sequêcia ordeada (diferem pela ordem) e é chamada de arrajo de 7 elemetos, tomados a. Pelo exposto, o úmero de arrajos de 7 elemetos, tomados a, é igual a 80 e pode ser calculado em fução do úmero de pessoas dadas (7) e do úmero de pessoas em cada fila (). Esse úmero de arrajos é dado por: 7! 7, = = 80 ( 7 )!

2 Eem em fascículos 0 Resumido: De modo geral, dado um cojuto com elemetos distitos, qualquer sequêcia ordeada de k elemetos distitos, escolhidos detre os elemetos dados, é chamada de arrajo dos elemetos, tomados k a k, e o úmero desses arrajos é dado por:, k Leia: arrajo de, k a k.! = ( k)! Problema das comissões de k pessoas, escolhidas detre pessoas possíveis Cosidere 7 estudates de uma mesma turma. Para represetar a turma perate a direção do colégio, quatas são as comissões possíveis, formadas com desses estudates? Iicialmete, perceba que as comissões {Maria, João, Pedro, Ivo} e {Pedro, Ivo, João, Maria} são uma mesma comissão, cota-se apeas uma. Logo, queremos cotar subcojutos. S e q u i s é s s e m o s c o t a r s e q u ê c i a s o r d e a d a s (filas) de elemetos, escolhidos detre 7 possíveis, 7! ecotraríamos 7, = = 80 filas. cotece, ( 7 )! porém, que uma vez escolhidos quatro estudates detre os 7 possíveis, com esses mesmos quatro estudates pode-se formar P =! = filas distitas (sequêcias ordeadas). Isso os diz que para cada sequêcias ordeadas (as que têm os mesmos elemetos), cota-se apeas uma comissão (um subcojuto). Daí, o úmero correto de comissões com estudates, escolhidos detre 7 possíveis, que podem ser formadas é 80 = 5. gora, observe que: 7! , ( 7 )! = = =, isto é, o úmero de comissões P! (subcojutos) formadas com pessoas, escolhidas detre 7 7! pessoas possíveis, é.!( 7 )! Resumido: De modo geral, dado um cojuto com elemetos distitos, qualquer subcojuto de k elemetos distitos, escolhidos detre os elemetos dados, é chamado de combiação dos elemetos, tomados k a k e o úmero dessas combiações é dado por: C, k! = k = k!( k)! Leia: combiação de, k a k. Exemplo : Fábio, Marcos, Cleito, Érick, Joas, Lucas, Ligeiriho e Vagaroso classificaram-se para a grade fial da prova dos 00 metros rasos que está sedo disputada etre os aluos das escolas públicas e privadas de certo bairro de Fortaleza. Segudo a impresa especializada o assuto, os oito classificados são igualmete favoritos, mas como ão pode haver empate, a ordem de classificação vai ser decidida os detalhes e isso só o tempo dirá. Sabedo que somete serão premiados os três primeiros colocados, recebedo R$.000,00, R$ 600,00 e R$ 00,00, respectivamete, de quatas formas possíveis poderá ocorrer a classificação dos premiados? Dessas, em quatas Vagaroso será premiado? Em quatas Ligeiriho receberá R$.000,00? Como para um mesmo grupo de pessoas premiadas, mudado-se a ordem etre elas, muda-se a classificação, o úmero de classificações possíveis é um úmero de arrajos. I. O úmero de classificações para os três primeiros lugares é o úmero de arrajos de 8 atletas, tomados a, ou 8! seja, 8, = = = 6. ( 8 )! Esquematizado: o o o 8! lugar, lugar, lugar 8, 6 = = ( 8 )! 8, II. Supodo Vagaroso premiado, temos que decidir a sua posição: possibilidades, para cada uma dessas possibilidades, podemos usar apeas o P.F.C. para resolver este item. Veja: Vagaroso lugar lugar, o o, fixo 7 6 = ou lugar Vagaroso o,, lugar fixo 7 6 = ou lugar, lugar, Vagaroso fixo 7 6 = Total = + + = 6 classificações. III. Fixado Ligeiriho em primeiro lugar (recebedo R$.000,00), basta escolher os outros, detre os 7 7! outros atletas. ssim, temos 7, = = 7 6 = ( 7 )! classificações para os três primeiros lugares, em que Ligeiriho aparece a primeira posição. Esquematizado: o o 7! Ligeiriho, lugar, lugar 7, = = 7 6 = ( 7 )! fixo 7, Matemática e suas Tecologias

3 Eem em fascículos 0 Permutação simples e permutação com repetição Teoricamete, todo problema de aálise combiatória pode ser resolvido usado-se apeas o pricípio fudametal da cotagem. Etretato, o cohecimeto atecipado dos resultados de algus problemas que surgirão com relativa frequêcia será providecial, facilitado as resoluções de outros problemas mais sofisticados. Vejamos, agora, algus problemas que vale a pea cohecer seus resultados: Problema das filas formadas por objetos distitos De quatos modos podemos colocar em fila pessoas? Para ocupar o primeiro lugar a fila, temos possibilidades; para o segudo lugar, possibilidades; para o terceiro, e, para o quarto e último lugar, possibilidade. Daí, usado o P.F.C., temos: =! filas ( filas) De modo aálogo, com objetos distitos, podemos formar ( ) ( )... =! filas diferetes. s filas formadas são agrupametos ordeados (diferem pela ordem) e são chamadas de permutações simples dos objetos. O úmero total de permutações (de filas) é idicado por: P =! (lê-se: permutação de ) Saiba: permutar objetos, a prática, sigifica colocá-los em fila e fazer todas as trocas possíveis as posições, sigifica obter todas as filas possíveis. Com o cohecimeto do resultado do úmero de permutações simples, podemos resolver facilmete problemas, tais como: Exemplo : Quatas filas diferetes podemos formar com 8 pessoas, se três delas, Raquel, Júlia e Tomás, ão podem ficar jutas (os três)? Temos um total de P 8 = 8! filas, os três ficado jutos ou ão. gora, supodo o grupo Raquel, Júlia e Tomás (RJT) uma só pessoa, o úmero de maeiras delas ficarem jutas é P =! e o úmero de modos de acomodar os seis elemetos (o grupo RJT e as outras 5 pessoas) a fila é P 6 = 6!. Pelo P.F.C., temos! 6! filas, em que os três ficam jutos. Daí, temos 8!! 6! = 00 0 = 6000 filas, em que os três ão ficam jutos. Esquematizado: R, J, T, E, E, E, E, E5 P8 8! 00 ( total de filas) = = P8 P RJT E E E E E5 P P6 6 0,,,,, =!! = (filas com P6 os três jutos) 00 0 = 6000 (filas em que os três ão ficam jutos) Problema das filas formadas por objetos, sedo algus repetidos De quatos modos podemos colocar 7 bolas de siuca em fila, sedo todas distitas, exceto três delas que são idêticas? Se as bolas fossem todas diferetes, teríamos 7! filas. Para qualquer uma dessas filas, se permutarmos apeas as bolas idêticas, temos! filas repetidas, ou seja, para cada! filas, devemos cotar apeas uma. Daí, o úmero correto de filas é 7! 80! =. solução desse problema é uma permutação de 7 7 objetos, com repetição de, cuja represetação é P 7 =!!. Se fossem 0 bolas diferetes apeas as cores, sedo azuis, vermelhas, verdes e amarela, a solução seria uma permutação de 0 objetos, com repetição de, e,,, 0 cuja represetação é P 0 = (ote que! = ão é!!! ecessário usar). Em geral, o úmero de permutações de objetos, dos quais α são iguais a X, α são iguais a X, α são iguais a X,..., α K são iguais a X k, é dado por: P = α! α! α!... α! α, α, α,..., α k! Com o cohecimeto do resultado do úmero de permutações de objetos, com repetição, podemos resolver facilmete problemas, tais como: Exemplo : Quatos são os aagramas da palavra Papagaio que apresetam as vogais em ordem alfabética?, 8! O úmero total de aagramas é P 8 = = 60.!! Para cada um desses aagramas, permutado só as vogais (, 5!,, I, O), temosp 5 = = 0 sequêcias diferetes de vogais, ou! seja, para cada 0 aagramas da palavra Papagaio somete um tem as vogais em ordem alfabética. Daí, o úmero procurado 8! de aagramas é: P, 8!! 60 = = = 68. P 5! 5 0! Permutação circular e o uso da permutação com repetição a resolução de problemas diversos De quatos modos distitos podemos formar uma mesa de buraco com quatro pessoas? k Matemática e suas Tecologias

4 Eem em fascículos 0 Se fossem filas, teríamos! = filas distitas. Na mesa de buraco, o etato, o que importa é a posição relativa dos jogadores D etre si. Na mesa formada ao lado, por exemplo, saido de qualquer C jogador (letra) e escolhedo um setido para girar (horário), temos filas: (CD), (CD), (CD) e (DC). Note que, essas filas, existem possibilidades para começar, mas uma vez começada a fila, as outras letras já ficam determiadas. Portato, para cada filas diferetes, devemos cotar uma úica formação para se jogar buraco. Sedo assim, o úmero de mesas formadas é! =! = 6. Observação: Cada uma das 6 formações obtidas é chamada de permutação circular de elemetos e o úmero de permutações circulares de elemetos, quado cotadas em um só setido, é dado por:! ( PC) = =! Resumido: De modo geral, o úmero de permutações circulares de objetos, se cosideradas equivaletes disposições que possam coicidir por rotação, é dado por:! ( PC) = = ( )! Exemplo : De quatos modos podemos formar uma roda de cirada com meios e meias, de modo que os meios e as meias se alterem? Colocado primeiramete as mulheres (M, M, M, M ) a roda, temos (PC) = ( )! = 6 modos de fazer isto. Etre cada duas mulheres, agora, devemos colocar um homem. Para colocar o primeiro homem (H ) a roda, existem possibilidades; para o segudo, ; para o terceiro, e, para o quarto,, ou seja, existem P =! = maeiras de dispor os homes etre as mulheres. Note que colocado-se os homes uma certa posição possível etre as mulheres já dispostas, qualquer permutação que se faça etre os homes muda-se a posição relativa etre os elemetos do grupo, muda-se a roda. ssim, pelo P.F.C., existem (PC) P =!! = 6 = rodas de cirada possíveis. QUESTÃO COMENTD Idetificar padrões uméricos ou pricípios de cotagem. C- H- Em uma classe de 9 aluos, todos se dão bem, com exceção de dréia, que vive brigado com Maoel e lberto. Nessa classe, será costituída uma comissão de cico aluos, com a exigêcia de que cada membro se relacioe bem com todos os outros. Quatas comissões podem ser formadas? a) 7 b) 80 c) 9 d) 05 e) 0 Cometário Primeiramete, vamos descosiderar que dréia vive brigado com Maoel e lberto, assim, teremos 9 aluos e formaremos comissões com 5 aluos. Temos um total de C 9,5 maeiras de formar estas comissões, ou seja, todas as possíveis maeiras. gora ateção! Temos uma restrição, como dréia vive brigado com Maoel e lberto, estamos iteressados apeas as comissões em que dréia e lberto ão estão jutos, as comissões em que dréia e Maoel ão estão jutos e também apeas as comissões em que dréia, Maoel e lberto ão estão jutos. ssim, quatas comissões podemos formar com dréia e Maoel excluido lberto? Observe você que teremos um total de C 6, = 0 maeiras. Justificativa: temos 9 aluos, como dréia e Maoel estarão a comissão, ficamos com 9 = 7 aluos, o etato, excluímos lberto, logo 7 = 6 aluos. Como queremos dréia e Maoel a comissão, etão escolheremos apeas mais compoetes da comissão. Etedido? Espero que sim. Seguido o raciocíio, quatas comissões podemos formar com dréia e lberto excluido Maoel? Raciocíio aálogo ao aterior. Observe você que teremos um total de C 6, = 0 maeiras. Justificativa: temos 9 aluos, como dréia e lberto estarão a comissão, ficamos com 9 = 7 aluos, o etato, excluímos Maoel, logo 7 = 6 aluos. Como queremos dréia e lberto a comissão, etão escolheremos apeas mais compoetes da comissão. Quatas comissões temos em que estão presetes dréia, lberto e Maoel? Teremos um total de C 6, = 5 comissões. ssim, observado o que estamos iteressados, teremos: To t a l d e c o m i s s õ e s p o s s í v e i s r e s t r i ç õ e s = C 9,5 C 6, C 6, C 6, = = 7 Resposta correta: a Matemática e suas Tecologias

5 Eem em fascículos 0 C- H- EXERCÍCIOS DE FIXÇÃO Resolver situação-problema evolvedo cohecimetos uméricos. 0. Dez policiais federais dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agetes foram desigados para cumprir madado de busca e apreesão em duas localidades próximas à superitedêcia regioal. O grupo será dividido em duas equipes. Para tato, exige-se que cada uma seja composta, ecessariamete, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agetes. Cosiderado essa situação hipotética, de quatas maeiras diferetes podemos compor as referidas equipes. a) 0 b) c) d) 6 e) 8 C- H- H- Idetificar padrões uméricos ou pricípios de cotagem. valiar a razoabilidade de um resultado umérico a costrução de argumetos sobre afirmações quatitativas. 0. Detre moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo meos, moça e rapaz. De quatas formas distitas tal comissão poderá ser formada? a) 5 b) 0 c) 5 d) 0 e) 5 DE OLHO NO ENEM MÍDI E MEG-SEN CUMULD Etre todas as loterias existetes o rasil, a Mega-Sea é, ao meos em determiadas ocasiões, a que desperta o maior iteresse a população. Isso se deve ao fato de as regras do jogo possibilitarem, de vez em quado, que as quatias oferecidas como prêmio sejam bastate respeitáveis. Quado isso ocorre, formam-se filas gigatescas as casas lotéricas e os jorais, o rádio e a televisão fazem matérias sobre o assuto, que tratam desde as chaces de que alguém gahe o prêmio máximo até o que o felizardo poderá fazer com todo aquele diheiro. Os professores que dão aulas de Probabilidade e de álise Combiatória são cosultados sobre o fucioameto do jogo e especialmete sobre a evetual existêcia de alguma estratégia que melhore as chaces de vitória do apostador. Este artigo é um relato sobre as pergutas que me fizeram e sobre as respostas que eu fui capaz de dar. Embora eu acredite que a maioria dos leitores assim como eu, já teha tetado a sorte a Mega-Sea, vamos dar uma breve descrição do jogo para ateder aos leitores que, ou por pricípio, ou por serem mais iteligetes do que ós jogadores, uca arriscaram. Para apostar, você escolhe um míimo de seis e um máximo de quize dezeas o cojuto { 0, 0,..., 60}. Cada aposta simples de seis dezeas custa dois reais e, portato, se você marca oito dezeas, estará 8 cocorredo com 8 6 = jogos simples e essa aposta custará ciqueta e seis reais. Caixa Ecoômica Federal, que admiistra o jogo, sorteia seis dezeas distitas e são premiadas as apostas que cotêm (quadra), 5 (quia) ou todas as 6 (sea) dezeas sorteadas. Como é difícil que alguém acerte as seis dezeas sorteadas, o prêmio é geralmete dividido etre poucos acertadores. Se um dado cocurso iguém acerta as seis dezeas, o prêmio fica acumulado para o cocurso seguite. Existem 60 6 resultados possíveis para um sorteio da Mega-Sea. Esse úmero é maior que 50 milhões (mais precisamete, ele é igual a ) e creio que o leitor cocordará comigo que só mesmo um grade otimista pode acreditar que vai gahar com uma úica aposta. s probabilidades de sucesso a Mega-Sea perguta mais frequete:. Ituitivamete, o que sigifica ter uma chace em ciqueta milhões? Com o objetivo de fazer com que seus leitores etedam o que sigifica essa probabilidade tão pequea, os joralistas pedem que façamos comparações com a possibilidade da ocorrêcia de outros evetos. É curioso que as comparações solicitadas quase sempre evolvem um eveto auspicioso (gahar o prêmio máximo da Mega-Sea) com tragédias tais como morrer em desastre de avião, ser atigido por um raio ou morrer de câcer. maior dificuldade em fazer essas comparações está o fato de que em todos os idivíduos da população têm a mesma probabilidade de sofrer uma dessas desgraças, equato todos os que apostam 6 dezeas têm a mesma chace de acertar a Mega-Sea. Eu acredito que a maeira mais fácil de fazer as pessoas etederem é usado um outro exemplo puramete aleatório. O úmero de habitates do rasil é quase igual a três vezes o úmero de resultados possíveis do sorteio. Se fosse realizado um sorteio de três prêmios etre toda a população brasileira, a sua chace de gahar um deles seria igual à de gahar o prêmio máximo da Mega-Sea com um jogo de seis dezeas. Flávio Wager Rodrigues. IME-USP. Matemática e suas Tecologias 5

6 Eem em fascículos 0 Probabilidade Probabilidade I OJETO DO CONHECIMENTO Probabilidade o fazer o seguro de um automóvel, o corretor de seguros traça o perfil do cliete. utomóveis cujo codutor pricipal é homem, tem etre 8 e 5 aos e deixa o carro fora de estacioameto fechado têm seguro bem mais caro, embora ão seja certo, mas com esse perfil a chace de ocorrer siistro ou furto do veículo é cosiderável. Um dado hoesto foi laçado ove vezes e em todas elas ocorreu o úmero 5. João apostou que o décimo laçameto também daria o úmero cico. Embora laçado as mesmas codições, ada garate que João gahará a aposta. ecessidade de se quatificar os riscos de um seguro e de avaliar as chaces de gahar em jogos de azar deram origem ao ramo da Matemática que cria, desevolve e, em geral, pesquisa modelos que podem ser utilizados para estudar experimetos (ou feômeos) aleatórios. Tal ramo da Matemática recebe o ome de teoria das probabilidades. Experimetos aleatórios são experimetos que repetidos sob as mesmas codições podem produzir, por força do acaso, resultados diferetes. Espaço amostral e eveto Espaço amostral é o cojuto de todos os resultados possíveis de um experimeto aleatório e é idicado pela letra grega Ω (lê-se ômega ). Já eveto é qualquer subcojuto do espaço amostral. Por exemplo, um casal pretede ter três filhos, sedo dois homes e uma mulher. Cosiderado H para filho e M para filha, temos: I. cojuto de todos os resultados possíveis para os três ascimetos (espaço amostral): Ω = {(H,H,H); (H,H,M); (H,M,H); (M,H,H); (H,M,M); (M,H,M); (M,M,H); (M,M,M)}, cujo úmero de elemetos é (Ω) = 8; II. subcojuto de Ω desejado (eveto): E = {(H,H,M); (H,M,H); (M,H,H)}, cujo úmero de elemetos é (E) =. Se o exemplo aterior o espaço amostral é equiprovável, a chace de cada eveto elemetar ocorrer é de uma em oito, isto é, 8. Já a chace do eveto (E) ocorrer é = 8 (três possibilidades em oito possíveis). Ituitivamete, quado o espaço amostral é equiprovável, a probabilidade de um eveto E ocorrer, P(E), é dada pela razão etre o úmero de casos favoráveis e o úmero de casos possíveis: ( ) = P E ( ) ( ) = E Ω úmero de casos favoráveis úmero de casos possíveis ( E) No exemplo citado, P( E) = = ( Ω) 8. Probabilidade é um úmero que mede a chace de um eveto acotecer, é um úmero associado a um eveto. Para a defiição da probabilidade de um eveto (E) qualquer do espaço amostral Ω = {a, a,..., a ), associaremos a cada eveto elemetar {a}, um úmero real, idicado por P(a ), chamado de probabilidade do eveto elemetar {a }, tal que: 0 P{a }, para todo i {,,..., }; Exemplo : Um dado, cujas faces estão umeradas de a 6, respectivamete, foi cofeccioado de maeira que a probabilidade de uma face de úmero par ocorrer é duas vezes mais provável que uma face de úmero ímpar. Determie a probabilidade de ocorrer: a) cada face. b) um úmero primo. O espaço amostral desse experimeto aleatório é Ω = {,,,, 5, 6}, ão sedo equiprovável. Chamado a probabilidade de cada face de úmero ímpar de k, a probabilidade de cada face de úmero par será k. Daí: I. P({}) = P({}) = P({5}) = k e P({}) = P({}) = P({6}) = k; II. P({}) + P({}) P({6}) = k + (k) = k = 9. a) Portato, P({}) = P ({}) = P({5}) = 9 e P({}) = P({}) = P({6})= 9. b) Ocorrer úmero primo é o eveto E = {,, 5}. Daí: P(E) = P({}) + P({}) + P({5}) = k + k + k = k = 9. Eveto certo, eveto impossível e evetos complemetares I. O eveto C, que coicide com o espaço amostral, é dito eveto certo e a sua probabilidade é igual a. Veja: ( C) P( C) = = =, ou seja, a probabilidade do eveto ( Ω) certo ocorrer é 00%. II. O eveto D = { } = (cojuto vazio) é dito impossível e a sua probabilidade é igual a zero, veja: ( D) 0 P( D) = = = 0, ou seja, a probabilidade do eveto ( Ω) impossível ocorrer é 0%. III. Os evetos e, tais que = (a iterseção é o cojuto vazio) e = Ω (a uião é o espaço amostral), são ditos evetos complemetares e suas probabilidades são tais que P() + P() =. Iterseção de evetos idepedetes Dois evetos e são ditos idepedetes quado o fato de ter ocorrido um deles ão alterar a probabilidade do outro ocorrer. Em outras palavras, a probabilidade do eveto (ou ) ocorrer é a mesma, idepedetemete de (ou ) ser tomado como subcojuto do uiverso Ω ou como subcojuto do uiverso. Por exemplo, se um casal plaeja ter três filhos, o eveto : o primeiro filho é homem e o eveto : o terceiro filho é mulher são evetos idepedetes. 6 Matemática e suas Tecologias

7 Eem em fascículos 0 é o eveto que ocorre se, e somete se, os evetos e ocorrerem simultaeamete. No exemplo aterior, é o eveto o primeiro filho é homem e o terceiro filho é mulher, isto é, para ocorrer o eveto, o primeiro filho tem que ser homem e (e ao mesmo tempo) o terceiro tem que ser mulher. Etão, podemos calcular a probabilidade de ocorrer. Veja: Note: Ω = {(H,H,H); (H,H,M); (H, M, H); (M,H,H); (H,M,M); (M,H,M); (M,M,H); (M,M,M)} ( ) = {(H,H,H); (H,H,M); (H,M,H); (H,M,M)} P( ) = = = ( Ω) 8 ( ) = {(H,H,M); (H,M,M); (M,H,M); (M,M,M)} P( ) = = = ( Ω) 8 ( ) = {(H,H,M); (H,M,M)} P( ) = = = ( Ω) 8 Observação: Quado dois evetos e são idepedetes, uma outra maeira de se calcular a probabilidade deles ocorrerem simultaeamete (ou sucessivamete) é P( ) = P() P(). No exemplo aterior, P( ) =, P( ) = e e são idepedetes. Etão: P( ) P( ). = P( ) =. =. Exemplo : Um juiz de futebol possui três cartões o bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determiado lace, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra a um jogador. Qual a probabilidade de a face que o juiz ver ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela? Para o eveto V escolha do cartão vermelho e amarelo, a probabilidade é P( V) =. Uma vez escolhido o cartão V, o eveto juiz ver a face V e o jogador, a face tem probabilidade P( ) =. Daí, P V ( ) =. = 6 é a probabilidade procurada. Uião de evetos Sedo e dois evetos de um mesmo espaço amostral Ω ão vazio, ( uião ) é o eveto que ocorre quado há ocorrêcia de ou de, isto é, quado ocorre apeas ou ocorre apeas ou, aida, ocorrem e ao mesmo tempo. Temos dois casos a cosiderar para o cálculo da probabilidade de ocorrer : ) =. Nesse caso, P( ) = P() + P() e os evetos e são ditos mutuamete exclusivos. Veja: Uma vez que e são cojutos disjutos ( = ), temos: ( ) = () + () ). Nesse caso, há ocorrêcia simultâea dos evetos e e a probabilidade de ocorrer ( ) é dada por P( ) = P() + P ( ) P ( ). Ve j a : D a t e o r i a d o s cojutos, temos que: ( ) = () + () ( ) Como (Ω) 0, podemos escrever: ( ) ( ) ( ) ( ) = + ( Ω) ( Ω) ( Ω) ( Ω) P( ) = P( ) + P( ) P( ) Exemplo : Realizada uma pesquisa sobre o cosumo dos refrigerates e, em certo bairro de Fortaleza, costatou-se que detre as 0 pessoas etrevistadas, 50 cosomem o refrigerate ; 80, o refrigerate e 0 cosomem os dois refrigerates. Com o objetivo de checar a veracidade das iformações apresetadas, quem ecomedou a pesquisa escolheu, aleatoriamete, um dos etrevistados. Qual a probabilidade da pessoa escolhida cosumir a marca ou a marca, segudo a pesquisa apresetada? Como os 0 etrevistados ((Ω)= 0) são igualmete prováveis, temos: ( ) 50 5 I. P( ) = P( ) = = ( Ω) 0 8 ( ) 80 II. P( ) = P( ) = = ( Ω) 0 ( ) 0 III. P( ) = P( ) = = ( Ω) 0 8 Logo, P( ) = P() + P() P( ) P( ) = P( ) = QUESTÃO COMENTD Resolver situação-problema que evolva cohecimetos de estatística e probabilidade. Ω C-7 H-8 s etrevistas e as aálises dos currículos dos cadidatos Carlos e Sérgio, realizadas pelo setor de recursos humaos de uma empresa, revelaram que a probabilidade de Sérgio ser cotratado é igual a ; que a probabilidade de apeas Carlos ser cotratado é igual a ; que a probabilidade de 7 Carlos ão ser cotratado é igual a. Nessa situação hipotética, a probabilidade de os dois cadidatos serem cotratados e a probabilidade de ehum dos dois cadidatos ser cotratado são, respectivamete, iguais a: a) /6 e / b) /6 e / c) / e / d) / e / e) /6 e /6 Matemática e suas Tecologias 7

8 Eem em fascículos 0 Cometário Colocado todos os deomiadores iguais a : Probabilidade de apeas Carlos ser cotratado = C- C-7 H- H-8 EXERCÍCIOS DE FIXÇÃO Idetificar padrões uméricos ou pricípios de cotagem. Resolver situação-problema que evolva cohecimetos de estatística e probabilidade. Probabilidade de Sérgio = 6 Probabilidade de Carlos ão ser cotratado = 7 Probabilidade de Carlos ser cotratado = = = Probabilidade dos dois serem cotratados = 5 5 = = Probabilidade de apeas Sérgio ser cotratado = 6 6 = = Probabilidade de ehum dos dois serem cotratados = = = I) Os dois cadidatos serem cotratados: Carlos Sérgio II) Nehum dos dois cadidatos ser cotratado: Carlos Resposta correta: a Sérgio 0. Dez policiais federais dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agetes foram desigados para cumprir madado de busca e apreesão em duas localidades próximas à superitedêcia regioal. O grupo será dividido em duas equipes. Para tato, exige-se que cada uma seja composta, ecessariamete, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agetes. Cosiderado essa situação hipotética, se cico dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamete e idepedetemete dos cargos, etão a probabilidade de que esses escolhidos costituam uma equipe com a exigêcia iicial será aproximadamete igual a: a) % b) 9% c) % d) 8% e) % C-7 H-9 Utilizar cohecimetos de estatística e probabilidade como recurso para a costrução de argumetação. 0. Um grupo de pacietes com Hepatite C foi submetido a um tratameto tradicioal em que 0% desses pacietes foram completamete curados. Os pacietes que ão obtiveram cura foram distribuídos em dois grupos de mesma quatidade e submetidos a dois tratametos iovadores. No primeiro tratameto iovador, 5% dos pacietes foram curados e, o segudo, 5%. Em relação aos pacietes submetidos iicialmete, os tratametos iovadores proporcioaram cura de: a) 6% b) % c) % d) 8% e) 6% DE OLHO NO ENEM OS DOIS ODES Em um programa de televisão, o cadidato é solicitado a escolher uma etre três portas fechadas. trás de uma delas, há um prêmio, mais precisamete um carro, e atrás de cada uma das outras duas, há um bode. Se você está pesado que esse é um programa domiical de alguma estação de televisão brasileira, vamos logo avisado que está egaado, trata-se de um programa de televisão italiaa. Depois de o cadidato ter escolhido a porta que deseja, mas ates de abri-la, o aimador do programa, que sabe ode estão os bodes, abre uma das portas que ão foram escolhidas e mostra que há um bode atrás dela. 8 Matemática e suas Tecologias

9 Eem em fascículos 0 É claro que ele sempre pode fazer isso, pois, se atrás da porta que o cadidato escolheu há um bode, aida há outro bode atrás de uma das outras portas e, se atrás da porta escolhida pelo cadidato estiver o prêmio, atrás das outras portas há bodes e, esse caso, o aimador escolhe ao acaso uma dessas portas para abrir. Etão, esse mometo, o cadidato está com a mão a maçaeta de uma porta fechada, rezado para que ali esteja o carro; há uma outra porta fechada e há uma porta aberta que mostra um bode. í etão se faz uma crueldade com o cadidato. O aimador perguta ao cadidato se ele deseja trocar a porta que ele havia escolhido pela outra porta que aida permaece fechada. O que você acha que o cadidato deve fazer visado maximizar a probabilidade de gahar o carro? Você acha que ele deve permaecer com a porta que escolhera iicialmete, deve trocar de porta, ou tato faz? Covidamos você a pesar um pouco mais. Fizemos etão uma simulação. No computador, realizamos uma série de 000 experiêcias, arrumado os bodes ao acaso e fazedo com que o aimador, o caso de haver dois bodes as portas ão escolhidas pelo cadidato, selecioasse ao acaso a porta para abrir. Determiamos etão quatas vezes o cadidato gaharia o prêmio se adotasse a estratégia de sempre trocar de porta. resposta, para surpresa de muitos, foi 667, o que fez com que o grupo do deve trocar exclamasse ão disse? Chamemos os bodes de e e chamemos o carro de C. árvore de probabilidades a seguir mostra, o primeiro estágio, a escolha iicial do cadidato e, o segudo, o bode exibido pelo aimador. O terceiro estágio mostra a seguda escolha do cadidato. / / / C / / / / / / / / / / C C C C /6 /6 /6 /6 / / / / Observe que o cadidato gaha trocado de porta os casos () e (), portato, com probabilidade igual a 6. O cadidato gaha sem trocar de porta os casos (6) e (8), com probabilidade igual a 6. Logo, a probabilidade de gahar trocado de porta é o dobro da probabilidade de gahar sem trocar. Etão, a melhor estratégia é sempre trocar de porta! árvore mostra também que, depois de exibido o bode, a probabilidade de gahar o o carro é igual a, soma das probabilidades dos casos (), (), (6) e (8). probabilidade de gahar o carro ates de ser exibido o bode é igual a. () () () () (5) (6) (7) (8) OJETO DO CONHECIMENTO Estatística Estatística é uma área do cohecimeto que utiliza teorias probabilísticas para explicação de evetos, estudos e experimetos. Tem por objetivo obter, orgaizar e aalisar dados, determiar as correlações que apresetem, tirado delas suas cosequêcias para descrição e explicação do que passou e previsão e orgaização do futuro. Estatística é também uma ciêcia e prática de desevolvimeto de cohecimeto humao através do uso de dados empíricos. aseia-se a teoria estatística, um ramo da Matemática aplicada. Na teoria estatística, a aleatoriedade e icerteza são modeladas pela teoria da probabilidade. lgumas práticas estatísticas icluem, por exemplo, o plaejameto, a sumarização e a iterpretação de observações, porque o objetivo da Estatística é a produção da melhor iformação possível a partir dos dados dispoíveis. lgus autores sugerem que a Estatística é um ramo da teoria da decisão. Estuda-se Estatística para aplicar seus coceitos como auxílio as tomadas de decisão diate de icertezas, justificado cietificamete as decisões. Os pricípios estatísticos são utilizados em uma grade variedade de situações o govero, os egócios e a idústria, bem como o âmbito das ciêcias sociais, biológicas e físicas. Estatística presta-se a aplicações operacioais e de pesquisas, sedo efetiva ão só em experimetos de laboratório, mas também em estudos fora dele. Estatística compreede o plaejameto e a execução de pesquisas, a descrição e a aálise dos resultados e a formulação de predições com base esses resultados. Estatística é o campo do cohecimeto cietífico que trata da coleta e aálise de dados com o fim de se obter coclusões para tomada de decisões. Estatística pode ser dividida em: Estatística Descritiva ou Dedutiva; Iferêcia Estatística ou Idutiva. Tipos de Variáveis lgumas variáveis como sexo, grau de istrução e estado civil apresetam como possíveis realizações uma qualidade (ou atributo) do idivíduo pesquisado. São deomiadas de Variáveis Qualitativas. Outras variáveis tais como tempo a empresa, idade e salário apresetam como possíveis valores, úmeros resultates de uma cotagem ou mesuração. Estas são chamadas Variáveis Quatitativas. Matemática e suas Tecologias 9

10 Eem em fascículos 0 Classificação das variáveis em Estatística Qualitativas (atributos) Variáveis Quatitativas (uméricas) Nomiais Ordiais Discretas Cotíuas Exemplos: sexo; cor; religião. Exemplos: grau de istrução; status social. Exemplos: º de fucioários; quatidade de aluos. Exemplos: peso; altura; salário. Distribuição de frequêcias com dados agrupados Um radar, istalado um trecho de uma rodovia, registrou as velocidades de 50 veículos. s velocidades, em quilômetros por hora, estão idicadas este quadro: velocidade máxima permitida o referido trecho da estrada é 90 km/h. Como há uma tolerâcia de 0 km/h, os veículos só serão multados a partir de 00 km/h. Quatos por ceto desses veículos foram multados? Observado o quadro, temos: 7 veículos com velocidade o itervalo [00, 0[ veículos com velocidade o itervalo [0, 0[ 7 veículos com velocidade o itervalo [0, 0[ 8 veículos foram multados Observação: O poto que divide o itervalo de classe em duas partes iguais é deomiado poto médio do itervalo. Por exemplo, a velocidade dos veículos a classe 5 [90, 00[ pode ser represetada por: x5 = = 95 km / h O itervalo real [a, b[ também é represetado, em Estatística, pela otação a b Se tetássemos elaborar o quadro de distribuição de frequêcias utilizado esses dados, pouco ou ada poderíamos cocluir, pois eles são muito diferetes. Nesses casos, é iteressate agrupá-ios em classes ou iterva los, escolhedo-se coveietemete a amplitude dos itervalos. No exemplo, podemos agrupar as velocidades em i tervalos de amplitude 0. Como o meor valor é 5 km/h, a primeira classe será [50, 60[. Histograma de frequêcias Quado se trata da represetação gráfica de distribuição de frequêcias com dados agrupados, vamos utilizar um ovo tipo de gráfico, deomiado histograma de frequêcias absolutas. Histograma é um gráfico formado por um cojuto de coluas retagulares. No eixo das abscissas, marcamos as classes, cujas amplitudes correspodem às bases dos retâgulos. No eixo das ordeadas, marcamos as frequêcias abso lutas, que correspodem às alturas dos retâgulos. Os potos médios das bases dos retâgulos coicidem com os potos médios dos itervalos das classes. Cosiderado a distribuição de frequêcias das velocidades do exemplo aterior, dos 50 veículos examiados a rodovia, temos: Obtemos, assim, o seguite quadro de frequêcias: Classe Velocidade(km/h) f i f r (%) [50, 60[ 6 [60, 70[ 6 [70, 80[ 8 6 [80, 90[ 7 5 [90, 00[ [00, 0[ 7 7 [0, 0[ 8 f i Velocidade (km/h) 8 [0, 0[ 7 Total 50 00% Observe que sobre cada um dos itervalos foi costruído um retâgulo de área proporcioal à frequêcia absoluta respectiva. 0 Matemática e suas Tecologias

11 Eem em fascículos 0 Medidas de tedêcia cetral Média aritmética compahe a situação a seguir. Uma livraria vede a seguite quatidade de livros de literatura durate uma certa semaa: Seguda Terça Quarta Quita Sexta Sábado Qual foi a média diária de livros vedidos durate essa semaa? Para resolver esse problema, devemos fazer: = =. 6 6 O úmero é chamado média aritmética dos úmeros 8,,, 7, 5 e. Isso sigifica que, se a veda diária dessa semaa fosse sempre a mesma, ou seja, livros por dia, obteríamos o mesmo total de livros vedidos: 8. ssim, a quarta e o sábado, a veda da livraria foi abaixo da média, equato a seguda, quita e sexta foi acima da média. Média aritmética (x) dos valores x, x, x,..., x é o quociete etre a soma desses valores e o seu úmero total : x + x + x + + x x =... Média aritmética poderada tabela a seguir mostra a distribuição dos salários de uma empresa. Salário (em R$) Número de fucioários Total 8 Qual a média salarial dos fucioários dessa empresa? Observado a tabela, a média salarial x desses fucioários pode ser calculada da seguite forma: x = = , 00 = =. 7, 7 8 Portato, a média salarial dos fucioários dessa empresa é R$.7,7. Essa média é cohecida como média aritmética poderada e o úmero de vezes que o salário se repete é deomi ado peso. média aritmética poderada facilita o cálculo de médias quado há valores que se repetem várias vezes. Nesse caso, multiplicamos os valores pelo úmero de vezes (peso) que eles ocorrem. xf + xf xf x = ou x f + f f xifi i = = fi i= Mediaa (Md) s ove classes de ª série do esio médio de uma escola têm, respectivamete: 7, 8, 0,, 5, 7, 7, e aluos. Colocado esses dados em ordem crescete: 8, 7, 7, 7, valores 0, mediaa,,, 5, valores distribuição tem um úmero ímpar (9) de dados. Há quatro valores à esquerda de 0 e quatro valores à direita de 0. Dizemos que o valor cetral dessa distribuição, 0, é a mediaa. Idicamos: Md = 0 O valor que ocupa a posição cetral de um cojuto de valores, colocados em ordem crescete ou decrescete de gradeza, é chamado mediaa. E se o cojuto tiver um úmero par de elemetos? í a história é outra. Vejamos. Se osso cojuto for o seguite: {0, 0, 0, 0, 50, 60} Quatos elemetos há? Seis elemetos. Temos, pois: = 6. Um úmero par de elemetos! Sempre que isso ocorrer, ou seja, sempre que houver um úmero par de elemetos o cojuto, sigifica que haverá duas posições cetrais! Estas posições cetrais poderão ser ecotradas da seguite forma: ª Posição Cetral: (/) ª Posição Cetral: a viziha posterior. Nesse caso, em que = 6, teremos: ª Posição Cetral: (/) = 6/ = ª Posição! ª Posição Cetral: a viziha posterior = ª Posição! s duas posições cetrais estão, portato, idetificadas. Resta descobrir quais são os dois elemetos que as ocupam e vejam o que será feito para calcularmos a mediaa. Teremos: {0, 0, 0, 0, 50, 60} ª Posição 0 ª Posição 0 Md = (0 + 0) / Md = 5 Ou seja, se é um úmero par, descobriremos quais são os dois elemetos que ocupam as duas posições cetrais, somaremos esses elemetos e dividiremos o resultado desta soma por dois. ssim, chegaremos à mediaa do cojuto! Esse valor 5 ão é um dos elemetos! E, o etato, é a mediaa! Moda (Mo) Feita uma pesquisa para saber o úmero de irmãos que cada um dos 0 aluos de uma classe possui, obteve-se o seguite quadro: 0,,,,,,,,,,,, 0,,, 0,,,,,,,,,,, 5,,, Matemática e suas Tecologias

12 Eem em fascículos 0 Fazedo a cotagem, obtemos a tabela: Número de irmãos Frequêcia absoluta Observe que o úmero de irmãos varia etre 0 e 5 e o úmero que aparece mais vezes é o, isto é, aluos têm irmãos. Dizemos que é a moda desse cojuto de valores e idicamos: Mo = Moda de um cojuto de valores é o valor que aparece um maior úmero de vezes, ou seja, é o valor de maior frequêcia absoluta. Um cojuto de valores pode ter uma só moda, duas modas, três modas etc., ou ehuma moda. Para ilustrar, observe as otas de recuperação em Português obtidas por três classes de uma escola e suas respectivas modas: Classe Notas Moda º, 5, 6, 7, 8, 8, 9 8 º, 5, 6, 6, 7, 7, 9 6 e 7 º C,, 5, 6, 7, 8, 9, 0 ão tem Medidas de dispersão Para caracterizar um cojuto de dados em Estatística, em sempre são suficietes a média, a moda e a mediaa. Em algus casos, temos de recorrer a outros parâmetros, que são chamados medidas de dispersão. Vamos estudar três dessas medidas: desvio médio, variâcia e desvio padrão. Desvio médio (dm) Vamos cosiderar o quadro seguite, que os mostra as otas de Matemática de um aluo durate um ao letivo: imestre º º º º Notas Vamos calcular a média aritmética desse aluo: 5 x = = = 7 Calculemos, agora, as difereças etre cada uma das otas e a média. Essas difereças são chamadas desvios para a média ( xi x ) : x x = 5 7 = x x = 6 7 = x x = 8 7 = x x = 9 7 = média aritmética dos valores absolutos dos desvios para a média é uma medida de dispersão chamada desvio médio, que se idica por dm. xi x i= dm = dm x x + = x x + x x + x x = = = 5, Variâcia (Va) O valor que correspode à média aritmética dos quadrados dos desvios em relação à média recebe o ome de variâcia, valor esse que se idica por Va. No mesmo exemplo: Va = i i= f ( x x) i fi i= ( ) = = ( ) = = x x ( ) x x ( ) ( ) = = ( ) = = x x ( ) x x ( ) Desvio padrão (s) Va = = =, 5 raiz quadrada da variâcia chama-se desvio padrão do cojuto de dados, valor que represetamos por s. No mesmo exemplo: s = s =, 5 = 58, Etão, para as otas do aluo cosiderado, temos: média aritmética: x = 7 variâcia: Va =,5 desvio médio: dm =,5 desvio padrão: s =,58 Va QUESTÃO COMENTD Calcular medidas de tedêcia cetral ou de dispersão de um cojuto de dados expressos em uma tabela de frequêcias de dados agrupados (ão em classes) ou em gráficos. C-7 H-7 Seja X uma variável aleatória com média aritmética x = 0 e desvio padrão S =. Cosidere as variáveis: y = x + e z = x. úica afirmação errada é: a) as variáveis y e z tem a mesma média aritmética. b) o desvio padrão de y é 6. c) as variáveis y e z têm o mesmo desvio padrão. d) a média de y é. e) as variáveis x e z têm o mesmo coeficiete de variação. Matemática e suas Tecologias

13 Eem em fascículos 0 Cometário variável origial é a X. Neste euciado, há duas variáveis trasformadas: Y e Z, assim defiidas: y = x + e Z = x Cohecemos a média e o desvio padrão da variável origial X. Fazedo o deseho de trasformação da variável para a variável Y, teremos: ) x ) + Com isso, chegamos aos resultados: ) Variável X: Média de X = 0 Desvio Padrão de X =,0 Coeficiete de variação = (desvio padrão/média) = /0 ) Variável Y: Média de Y = Desvio Padrão de Y = 6,0 Coefi ciete de variação = (desvio padrão/média) = (6/) = /7 ) Variável Z: Média de Z = 0 Desvio Padrão de Z = 6,0 Coefi ciete de variação = (desvio padrão/média) = (6/0) = /0 Xi Yi Portato, a úica afirmação errada é: a) as variáveis y e z têm a mesma média aritmética. Resposta correta: a gora, aplicado a propriedade da média, que é iflueciada pelas quatro operações, teremos: x = 0 Xi ) x ) + Yi y = (0 ) + = plicado a propriedade do desvio padrão, que só é iflueciado por produto e divisão (multiplica-se ou divide-se pela própria costate), teremos: Xi ) x ) + Sx =,0 sy = ( ) = 6,0 Temos aida que a variável Z é defiida por: z = x Costruido o camiho de trasformação da variável e aplicado as mesmas propriedades acima, teremos que: ) x Yi C-7 H-9 EXERCÍCIOS DE FIXÇÃO Utilizar cohecimetos de estatística e probabilidade como recurso para a costrução de argumetação. 05. tabela abaixo represeta a distribuição de frequêcia dos salários de um grupo de 0 empregados de uma empresa, em certo mês. O salário médio desses empregados, esse mês, foi de: Salários (em 000 uidades) Frequêcias a) 5,7 b) 5, c) 5, d) 5,9 e) 5,0 C-7 H-8 Resolver situação-problema que evolva cohecimetos de estatística e probabilidade. x = 0 Z = (0 ) = 0 Xi Zi plicado a propriedade do desvio padrão, que só é iflueciado por produto e divisão (multiplica-se ou divide-se pela própria costate), teremos: ) x Sx =,0 Sz = ( ) = 6,0 Xi Zi 06. Em certa eleição muicipal foram obtidos os seguites resultados: Porcetagem do total Cadidato de votos 6% % C % Nulo ou em braco Número de votos 96 O úmero de votos obtidos pelo cadidato vecedor foi: a) 78 b) 8 c) 8 d) 88 e) 9 Matemática e suas Tecologias

14 Eem em fascículos 0 DE OLHO NO ENEM NORMS PR CONSTRUÇÃO DE TELS C- H- EXERCÍCIOS PROPOSTOS Resolver situação-problema evolvedo cohecimetos uméricos. Tabelas estatísticas Um dos objetivos da Estatística é sitetizar os valores que uma ou mais variáveis podem assumir para que tehamos uma visão global da variação das mesmas. Elemetos de uma tabela tabela se apreseta da seguite forma: TÍTULO D TEL 0. Neste mês ôibus de certa empresa precisarão passar por uma revisão e uma vistoria, uma por vez e ão ecessariamete essa ordem, cada uma delas demada 0 miutos de serviços em cada veículo. O doo dessa empresa coseguiu agedar ambas (revisão e vistoria) para às h, cotudo para ecoomizar tempo e diheiro ele pretede orgaizar a revisão e a vistoria em cada veículo de forma que os carros fiquem livres o máximo às 6 h. quatidade de formas possíveis em que essa situação pode ocorrer é: a) b) 6 c) d) 500 e) 576 CORPO D TEL RODPÉ C- C- H- H- Resolver situação-problema evolvedo cohecimetos uméricos. Idetificar padrões uméricos ou pricípios de cotagem. Exemplo: Tabela Produção de Café rasil 99 a 995 os Produção (000 t) IGE Título da tabela Cojuto de iformações, as mais completas possíveis, respodedo às pergutas: O quê?, Quado? e Ode?, localizado o topo da tabela, além de coter a palavra Tabela e sua respectiva umeração. Corpo da tabela É o cojuto de lihas e coluas que cotém iformações sobre a variável em estudo. a) Cabeçalho da colua: parte superior da tabela que especifica o coteúdo das coluas. b) Colua idicadora: parte da tabela que especifica o coteúdo das lihas. c) Lihas: retas imagiárias que facilitam a leitura, o setido horizotal, de dados que se iscrevem os seus cruzametos com as lihas. d) Casa ou Célula: espaço destiado a um só úmero. e) Total: deve ser sempre destacado de alguma forma. f) Laterais da tabela: ão devem ser fechadas. Caso as feche, passa a ser chamada de quadro. g) Número: preferecialmete utilizar separador de 000 (por exemplo: ao ivés de 85985). 0. Um aparelho eletrôico é composto das peças, e C, cujos preços, em reais, as lojas L, L e L estão a tabela a seguir. C- C- C L L L 50 x 900 Se a loja L ão vede a peça, etão, o úmero de maeiras para motar esse aparelho com um custo máximo de R$.90,00 é: a) 9 b) c) d) 6 e) 8 H- H- Idetificar padrões uméricos ou pricípios de cotagem. Resolver situação-problema evolvedo cohecimetos uméricos. 0. No Hall de um prédio existem lâmpadas, 5 de 5 W, 5 de 0 W e de 0 W. Uma política de coteção de despesas pretede que esse Hall o cosumo seja 60 W. quatidade de formas distitas de ilumiar esse Hall é: a) 6 b) c) d) 5 e) 6 Matemática e suas Tecologias

15 Eem em fascículos 0 C-7 H-8 Resolver situação-problema que evolva cohecimetos de estatística e probabilidade. ENTRD ISC Correte de ar Cristais Correte de ar SÍD 0. Uma ura cotém todas as cartelas, do tipo da figura I, totalmete preechidas com os algarismos,, e, de forma que cada liha (horizotal) cotempla todos os quatro algarismos. C- C-7 Figura I Figura II probabilidade de se retirar dessa ura, aleatoriamete, uma cartela cotemplado a cofiguração da figura II, com a exigêcia adicioal de que cada colua (vertical) e cada um dos subquadrados destacados coteham todos os algarismos (,, e ) é: a) c) e)!!! 8 H- b) 6!!!!!! d) 0!!!!!!! H-8 Idetificar padrões uméricos ou pricípios de cotagem. Resolver situação-problema que evolva cohecimetos de estatística e probabilidade. 05. Uma lachoete prepara sucos de sabores: laraja, abacaxi e limão. Para fazer um suco de laraja, são utilizadas larajas e a probabilidade de um cliete pedir esse suco é de /. Se, a lachoete, há 5 larajas, etão a probabilidade de que somete, para o décimo cliete, ão haja mais larajas suficietes para fazer o suco dessa fruta é: a) b) c) e) d) 8 7 C-7 H-8 Resolver situação-problema que evolva cohecimetos de estatística e probabilidade. 06. O diagrama a seguir mostra uma sala do jogo Os Labiritos da Simetria. Isaac, o herói do jogo, etra a sala por um portão o extremo esquerdo da sala e precisa sair pelo portão que está o extremo direito da sala e que iicialmete está fechado. 9 No corredor etre os dois portões há sete cristais, cada um com uma cor do arco-íris: Vermelho, Laraja, marelo, Verde, zul, Ídigo e Violeta. cada partida as posições dos cristais são sorteadas, com igual probabilidade para cada uma das ordes possíveis. Para que o portão de saída se abra, Isaac precisa tocar os sete cristais exatamete a ordem acima. Na sala há uma correte de ar da esquerda para a direita. ssim, Isaac pode mover-se facilmete da esquerda para a direita, mas para mover-se da direita para a esquerda ele precisa acioar as suas Hélices Mágicas. Cada vez que ele acioa as Hélices ele gasta uma carga. Para tocar um cristal, Isaac deve desligar as Hélices e se depois de tocar um cristal ele precisar se mover ovamete para a esquerda ele precisará gastar outra carga. ssim, por exemplo, se um jogo a posição dos cristais for: marelo Laraja Ídigo Verde Violeta Vermelho zul, etão Isaac chegará gratuitamete ao cristal Vermelho, gastará uma carga para voltar até o Laraja e uma seguda para voltar até o marelo. Depois disso, ele se moverá gratuitamete até o Verde e daí até o zul. Isaac gastará uma terceira carga para voltar até o Ídigo e depois se moverá gratuitamete até o Violeta e de lá para o portão de saída, fialmete aberto. Neste exemplo, para passar pela sala, Isaac gastou três cargas. Cosiderado agora uma sala com cristais em posições sorteadas aleatoriamete, a probabilidade de que Isaac precise gastar exatamete uma carga para passar pela sala, é: a) b) 9 c) 5 d) 8 e) C-7 H-8 Resolver situação-problema que evolva cohecimetos de estatística e probabilidade. 07. Em uma população de aves, a probabilidade de um aimal estar doete é. Quado uma ave está doete, 5 a probabilidade de ser devorada por predadores é, e, quado ão está doete, a probabilidade de ser devorada por predadores é. Portato, a probabilidade de uma ave 0 dessa população, escolhida aleatoriamete, ser devorada por predadores é de: a),0% b),% c),0% d),% e),5% Matemática e suas Tecologias 5

16 Eem em fascículos 0 C-6 H Resolver problema com dados apresetados em tabelas ou gráficos. a) b) c) d) d) vida em um poto de bala Em meio à oda de baditismo, o cidadão comum efreta o dilema: Devo ter uma arma ou ão? C-6 H-6 alisar iformações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a costrução de argumetos. Pesquisa feita pelo Istituto Vox Populi, coforme tabela abaixo, costatou que existem muitas armas as mãos dos brasileiros. tem arma ão tem ão respodeu 7 usa para defesa pessoal já foi assaltado é um costume de família usa por outros motivos ão revelou QUEM TEM RM Pesquisa Vox Populi* mostra que, de cada quartoze brasileiros, um possui arma Veja os úmeros (em %) já pesou em ter uma ão pesa em ter uma ão respodeu QUEM TEM RM DIZ QUE: QUEM NÃO TEM RM DIZ QUE: 5 * Pesquisa realizada em São Paulo, Rio de Jaeiro e elo Horizote, com 65 etrevistas Sabedo que a população do rasil é de aproximadamete 50 milhões de habitates, o úmero aproximado de brasileiros que possuem arma e já foram assaltados é: Dois toreiros mecâicos, Paulo e João, cocorredo a uma vaga em uma metalúrgica, submeteram-se ao seguite teste de precisão: cada um deles costruiu quatro rodas de ferro, que deveriam ter 5 cm de diâmetro. tabela abaixo descreve o desempeho de cada um. ª roda Diâmetro (em cm) ª roda Diâmetro (em cm) ª roda Diâmetro (em cm) ª roda Diâmetro (em cm) Média dos diâmetros ( x ) Desvio médio bsoluto dos Diâmetros Paulo João,5, 5, 5, 5, 5,0 5, 5, 5,0 5,0 0,5 0, Como os diâmetros médios foram iguais, o critério de desempate será a regularidade, isto é, quem teve o desempeho mais regular merece a vaga. Com base os dados apresetados a tabela acima, coclui-se que deve ser escolhido para vaga o cadidato: a) João, pois foi o úico que coseguiu costruir uma roda do diâmetro exato. b) Paulo, por apresetar maior dispersão. c) João, por apresetar maior dispersão. d) Paulo, por apresetar meor dispersão. e) João, por apresetar meor dispersão. C-7 H-0 valiar propostas de iterveção a realidade utilizado cohecimetos de estatística e probabilidade. 0. Para decidir por um de dois modelos de lâmpada um fabricate realiza um teste, com 5 exemplares de cada modelo, medido o tempo de uso (em horas) sem que as lâmpadas queimem. Os dados obtidos foram postos a tabela abaixo. 6 Matemática e suas Tecologias

17 Eem em fascículos 0 TEMPO DE USO ININTERRUPTO, EM HORS Modelo Lâmpada Lâmpada Lâmpada Lâmpada Lâmpada Como os dois modelos apresetaram a mesma média de duração, o fabricate resolveu optar pelo modelo mais cofiável, isto é, aquele cujo desempeho foi mais regular. Comparado os dados da tabela é correto iferir que: a) o modelo de lâmpada a ser escolhido é o, pois possui meor média. b) o modelo de lâmpada a ser escolhido é o, pois possui mediaa e média mais próximas etre si. c) ambos os modelos possuem desempeho idêticos, sedo portato idiferete a escolha de qualquer modelo. d) o modelo de lâmpada a ser escolhido é o, pois possui meor desvio-médio absoluto. e) o modelo de lâmpada a ser escolhido é o, pois possui meor desvio-médio absoluto. NOTÇÕES GRITOS EXERCÍCIOS DE FIXÇÃO e c b b a b EXERCÍCIOS PROPOSTOS b d d a e a d d d d Expediete Diretor-Superitedete: Tales de Sá Cavalcate Diretora Pedagógica: Hilda Prisco Diretora Cotroller: Dayse Tavares Supervisão Pedagógica: Marcelo Pea Gerete do FEscolas: Ferada Deardi Gerete Gráfico: dréa Meescal Coordeador Gráfico: Sebastião Pereira Projeto Gráfico: Joel Rodrigues e Frakli iovai Editoração Eletrôica: Erbíio Rodrigues Ilustrações: Erbíio Rodigues e João Lima Revisão: Evelie Cuha Matemática e suas Tecologias 7