PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO DA GEODÉSIA: UMA ABORDAGEM CONCEITUAL

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1 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO DA EODÉSIA: UMA ABORDAEM CONCEITUAL eodetc Boudary Vaue Probe: A coceptua approach ABRIEL DO NASCIMENTO UIMARÃES DENIZAR BLITZKOW Departaeto de Egehara de Trasportes da Escoa Potécca da Uversdade de São Pauo - EPUSP LT - Laboratóro de Topografa e eodésa gabreguaraes@hota.co; dbtzko@usp.br RESUMO U dos probeas da eodésa é deterar o capo de gravdade extero às assas, aé da superfíce tate, be coo a varação tepora do eso. Stokes propôs o sécuo XVIII ua foruação para a soução desse probea, poré pcava e aguas dfcudades. A foruação proposta por Moodesky e eados do sécuo XX abru ua ova perspectva para a soução do probea. Ao ogo dos aos, a eodésa, a reevâca do Probea de Vaor de Cotoro da eodésa (PVC) te sdo recohecda coo base teórca para essa dscpa. Aé dsso, o PVC gahou ovo puso co a era espaca e co o passar dos aos aguas ateratvas fora eaboradas (super deterado, sto, soução de Brovar). Este trabaho te coo objetvo retratar as foruações de Stokes e Moodesky, be coo as prcpas ateratvas do PVC. Paavras-chave: eodésa; Probea de Vaor de Cotoro; Superfíce tate. ABSTRACT Oe of the eodesy s probes s to detere the asses extera gravty fed, beyod the boudary surface, as we as the tepora varato. Stokes proposed a foruato the 8 th cetury to sove ths probe, however soe probes were ped. The foruato proposed by Moodesky the dde of the -0 th cetury opeed a ew perspectve to sove ths probe. Throughout the years, eodesy, the reevace of the Boudary Vaue Probe of eodesy (BVP) has bee recogzed as a theoretca bass for that dscpe. I addto, the BVP gaed ew puse wth the spata era ad the aete, ay ateratves Bo. Cêc. eod., sec. Coucações/Trab. Téccos, Curtba, v. 7, o 4, p , out-dez, 0.

2 608 Probea de vaor de cotoro da eodésa: Ua abordage cocetua have bee deveoped (overdetered, xed, Brovar s souto). Ths paper as at presetg Stokes ad Moodesky s foruatos as we as the a BVP ateratves. Keywords: eodesy; Boudary Vaue Probe; Boudary surface.. INTRODUÇÃO A copoete atétrca sepre fo ua das preocupações da eodésa. Co efeto, o adveto da era espaca torou possíve obter as coordeadas cartesaas (X, Y, Z) que pode ser trasforadas e coordeadas geodéscas (φ, λ, h). Aterorete, as copoetes paétrcas era estabeecdas a partr da traguação e pogoação e a copoete atétrca por eo de veaeto geoétrco, o que ocasoava ua dcotoa etre as redes paétrca e atétrca. Hoje, a attude epsoda tabé pode ser deterada a partr de observações de satétes e está referecada a u odeo geoétrco utzado para os cácuos geodéscos (epsode) e que ão possu u sgfcado físco. Isso faz co que essa copoete ão ateda a ua pequea quatdade de tarefas da Egehara. Logo, percebe-se a ecessdade de ua attude adequada às exgêcas usuas. O estabeeceto de u refereca atétrco está assocado à defção e à reazação do eso. A escoha de ua superfíce de referêca adequada jutaete co u sstea de attude costtu a defção de u refereca atétrco. A reazação pode ser coduzda através da deteração do íve édo dos ares durate u deterado período a partr de observações aregráfcas. Aé dsso, deve-se efetuar correções referetes à carga oceâca e atosférca, ao oveto da crosta terrestre e às arés oceâcas. Na eodésa, as attudes se cassfca segudo a sua deteração, a apcação e o odeo ateátco ou físco cosderado a sua defção. Desse odo, eas se dstgue e attudes co característca geoétrca e attudes co característca físca. Aé do auxío das téccas espacas, a attude de u poto tabé é obtda a partr de u procedeto cohecdo coo veaeto. Esse pode ser baroétrco, trgooétrco ou geoétrco. Lstg, e 87, caracterzou a fora da Terra coo sedo u geode. A superfíce geoda é equpoteca do capo de gravdade cocdete co o íve édo dos ares ão perturbado e u dado state. Ua das preocupações da eodésa é o estudo do geode e sua deteração reazada por eo do coheceto do capo de gravdade que evove a dstrbução de assa e o efeto rotacoa da Terra e que perte deduzr a sua fora. Para se deterar a fução poteca do referdo capo é ecessáro evover o que se deoa de Probea de Vaor de Cotoro da eodésa (PVC) (FREITAS; BLITZKOW, 999). Exste ua reação dreta etre o coceto de attude e o PVC, a qua deve ser aasada tato do poto de vsta geoétrco quato físco. Cotudo, deve-se Bo. Cêc. eod., sec. Coucações/Trab. Téccos, Curtba, v. 7, o 4, p , out-dez, 0.

3 uarães,. N. ; Btzkow, D. evar e cota a superfíce eeta coo orge para as edções atétrcas, aé do seu sgfcado coo superfíce de referêca do capo de gravdade. Adeas, é ecessáro cosderar os efetos secuares e peródcos sobre as observações aregráfcas a aterazação da superfíce de referêca (BLITZKOW; CAMPOS; FREITAS, 007).. A TEORIA DO POTENCIAL A atração físca que u deterado corpo exerce sobre objetos próxos a ee é o resutado da força gravtacoa. Isaac Newto foruou a Le Uversa da ravtação e sua obra Phosophae Naturas Prcpa Matheatca, pubcada e 687, que descreve tabé as Les de Newto es do oveto dos corpos ceestes, base da ecâca cássca. Duas partícuas se atrae utuaete co ua força proporcoa ao produto de suas assas e versaete proporcoa ao quadrado da dstâca que as separa: 609 F () ode é a costate uversa da gravtação, cujo vaor o Sstea Iteracoa (SI) é: (6,6784 ± 0,00080) 0 kg s É coveete, para evtar possíve abgudade, cosderar ua das partícuas coo atratva e outra coo atraída, atrbudo assa utára à úta. Desta fora: F () e expressa a atração gravtacoa, gerada pea partícua de assa, que atua sobre ua assa utára stuada a ua dstâca. O poteca gravtacoa de atração ou ewtoao é ua fução escaar defda por: No caso de u sstea dscreto de partícuas: V () V (4) Bo. Cêc. eod., sec. Coucações/Trab. Téccos, Curtba, v. 7, o 4, p , out-dez, 0.

4 Probea de vaor de cotoro da eodésa: Ua abordage cocetua Bo. Cêc. eod., sec. Coucações/Trab. Téccos, Curtba, v. 7, o 4, p , out-dez, Itroduzdo u sstea de coordeadas cartesaas, cosderado o poteca de atração V, as correspodetes dervadas parcas de prera orde são (EMAEL, 999): x x x V ' ) (, y y y V ' ) (, z z z V ' ) ( (5) e as de seguda orde: ( ) x x x V 5 ' ( ) y y y V 5 ' ( ) z z z V 5 ' (6) soado ebro a ebro a equação (6) te-se: + + z V y V x V 0 (7) ou, spesete: 0 V (8) A equação (8) é cohecda coo equação de Lapace. Ea traduz o fato de que o apacao do poteca gravtacoa é uo fora das assas atratvas. Por essa razão ea é deoada fução harôca, pos satsfaz a equação de Lapace e todos os potos o exteror do corpo.. O PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO DA EODÉSIA O coheceto de vaores de ua deterada varáve sobre ua superfíce tate e a partr daí, a deteração de ua fução que se reacoe àquea

5 uarães,. N. ; Btzkow, D. varáve, coduz ao que é chaado de probea de vaor de cotoro (BLITZKOW, 996). E sua, o PVC o que se busca deterar é ua fução para u dado corpo. O probea de vaor de cotoro é deterar o capo de gravdade extero às assas sedo que a superfíce tate é descohecda. Stokes propôs ua foruação para obter o poteca perturbador e fução da aoaa de gravdade sobre a superfíce geoda. Etretato, essa proposção pca e aguas dfcudades, pos é u probea tero às assas. Ua ova foruação do probea fudaeta da eodésa fo proposta por Moodesky. Trata-se de u probea extero às assas que utza a superfíce físca coo te. Co sso ão é ecessáro o coheceto, eso que aproxado, de u odeo de dstrbução de desdade o teror da crosta etre a superfíce físca e o geode. No etato, essa superfíce ão te o eso sgfcado físco que a superfíce geoda, pos ão é ua superfíce equpoteca. A teora do poteca apreseta três probeas de vaor de cotoro: Prero probea (Drchet): a partr do coheceto dos vaores de ua fução T sobre ua superfíce S, detera-se essa fução T de ta aera que ea seja harôca o teror ou o exteror de S quado são cohecdos os vaores que a fução assue sobre a superfíce: 6 ΔT 0 T T r > R r R (9) Segudo probea (Neua): a partr do coheceto dos vaores da dervada ora da fução T sobre a superfíce S, T / r, detera-se a fução T de odo que ea seja harôca tera ou exteraete a S: ΔT 0 T δ g r r > R r R (0) Tercero probea (Hbert): a partr dos vaores da cobação ear da fução T co sua dervada ora sobre a superfíce S, detera-se a fução T as codções aterores: ΔT 0 T + T Δg r r r > R r R () Bo. Cêc. eod., sec. Coucações/Trab. Téccos, Curtba, v. 7, o 4, p , out-dez, 0.

6 6 Probea de vaor de cotoro da eodésa: Ua abordage cocetua Tas probeas ão apreseta soução úca, pos ftas dstrbuções de assa pode gerar o eso poteca. O tercero probea te reevâca para a eodésa, ua vez que a deteração do poteca perturbador de certa fora se reacoa a ee. A aoaa de gravdade é represetada coo ua cobação ear etre o poteca perturbador e sua dervada ora e é expressa por ua equação dfereca cohecda coo equação fudaeta da eodésa : T γ Δg + T h γ h () A Fgura represeta u poto P o espaço co coordeadas geodéscas (h, φ, λ) referdos ao epsode e u poto P co coordeadas esfércas (r, φ, λ) referdos à esfera, sedo r R. Essa aproxação cosste e cacuar o poto P coo se fosse o poto P. Isso pode ser coduzdo a partr de ua earzação evovedo o poteca perturbador e quatdades sares. Segudo Mortz 980, o erro e fução do ão achataeto da esfera, que é de 0,% pode ser eggecado. Isso é usuaete pertdo, por cosequêca, a aproxação esférca é utzada a fórua de Stokes (e.g. OLDANI; QUINTAS, 00) e (e.g. TOCHO et a., 008), e souções prátcas do probea de Moodesky e tabé a coocação por íos quadrados (e.g. SOUZA; SÁ, 008). Fgura Aproxação esférca. Fote: Adaptado de Mortz (980).. A Foruação de Stokes A cocepção cássca do PVC é devda a Stokes. A fórua ou tegra de Stokes pubcada e 849 é cosderada a de aor portâca para a eodésa. O probea cássco pode ser resovdo e teros do poteca perturbador por eo da referda tegra, que ua aproxação esférca ass se expressa: (HOFMANN-WELLENHOF; MORITZ, 005). Bo. Cêc. eod., sec. Coucações/Trab. Téccos, Curtba, v. 7, o 4, p , out-dez, 0.

7 uarães,. N. ; Btzkow, D. T R 4π σ Δ gs ( ψ ) dσ 6 () ode o vetor aoaa de gravdade (Fgura ) é defdo por: g v ( P) vetor gravdade u poto P da Terra rea r γ ( Q) vetor gravdade u poto Q da Terra ora r Δ g g( P) ( Q) (4) γ r Fgura Vetores g r e γ r. Fote: Btzkow (996). e a fução de Stokes S (ψ ) é dada por: S ψ ψ ψ ψ se ( ψ ) 6se + 5cosψ cosψ se + se (5) chega-se a: Cosderado o teorea de Brus: πγ σ T N (6) γ R N gs( ψ ) dσ (7) 4 Δ Bo. Cêc. eod., sec. Coucações/Trab. Téccos, Curtba, v. 7, o 4, p , out-dez, 0.

8 64 ode N é a oduação geoda. Probea de vaor de cotoro da eodésa: Ua abordage cocetua A fórua de Stokes a sua fora orga equações () e (7) soete se apca a u epsode de referêca que () teha o poteca de gravdade U 0 sobre o epsode gua ao poteca W 0 sobre o geode; () cuja assa seja uercaete gua à assa da Terra; e () co esa veocdade aguar (ω) (HOFMANN-WELLENHOF; MORITZ, 005).. A Foruação de Moodesky O descoheceto de u odeo de dstrbução de desdade o teror da crosta terrestre evou Mkha Moodesky, e 945, a propor a superfíce físca coo superfíce tate. Neste caso, substtu-se o coceto de geode peo quasegeode. A aoaa de gravdade e as defexões da vertca refere-se à superfíce físca e ão as à superfíce geoda. Aé dsso, as aoaas de atura toa ugar ates ocupado peas oduações geodas e a superfíce tate agora ão possu u sgfcado físco, ão sedo equpoteca. A fórua de auss, equação (8), be coo as detdades de ree estão etre as equações báscas a teora do poteca e tegra a fudaetação ateátca para a foruação odera do PVC. dvfdv v S F ds (8) ode v é o voue detado pea superfíce S, F é a projeção do vetor F a superfíce extera ora e dvf é a chaada dvergêca do vetor F. A partr das segutes reações (aores detahes e HEISKANEN; MORITZ, 967): chega-se a tegra de auss para o poteca: F v V e F V (9) V Vdv ds (0) S As detdades de ree são dervadas a partr da equação 8. A tercera detdade apcada ao poteca de gravdade W, para u poto sobre a superfíce da Terra S ( p π ) e após aguas trasforações (HEISKANEN; MORITZ, 967) chega-se: Bo. Cêc. eod., sec. Coucações/Trab. Téccos, Curtba, v. 7, o 4, p , out-dez, 0.

9 uarães,. N. ; Btzkow, D. 65 W dv W ds + πω ( x + y ) + ω π W + 0 () S ' v ode S é a superfíce físca da Terra; é a dstâca etre o poto fxo P e o eeeto da superfíce ds; a ora à superfíce, oretada para fora de S; (ω) é a veocdade aguar; é a dstâca etre o poto P e o eeeto do voue dv; W / a copoete do vetor g r ora a S. Esse coceto retrata a deteração da fora da Terra S a partr de eddas de g e W. A cobação do veaeto co eddas de gravdade e u poto P resuta o poteca de gravdade W, a eos de ua costate W 0. P W 0 gd () W 0 As cógtas a sere deteradas são S e W, já que a copoete ora W / do vetor gravdade g r é deterada por eddas de gravetra e sua dreção estabeecda por coordeadas astroôcas. A equação (8) caracterza-se por ua fora tegra ão-ear, podo sua earzação para ua soução. Detahes acerca da earzação pode ser ecotrados e (HEISKANEN; MORITZ, 967) e (BLITZKOW, 996). Após o processo de earzação te-se a segute equação (HEISKANEN; MORITZ, 967): T π Σ γ cos β TdΣ γ h π [ Δg γ ( ξ ta β + η ta β )] cos βdσ () Σ sedo T a cógta, ξ eη as copoetes do desvo da vertca e β e β os âguos de cação do terreo e reação à horzota respectvaete segudo u perf orte-su e este-oeste. O âguo β represeta a cação áxa. A equação () retrata o PVC segudo a cocepção de Moodesky. Para tato, aguas cosderações deve ser efatzadas para a copreesão do probea. A Fgura ustra as quatdades evovdas o espaço rea e de Heert, ode SIE (Secodary Idrect Effects) são os efetos dretos secudáros e PIE (Prary Idrect Effects) os efetos dretos práros. Bo. Cêc. eod., sec. Coucações/Trab. Téccos, Curtba, v. 7, o 4, p , out-dez, 0.

10 66 Probea de vaor de cotoro da eodésa: Ua abordage cocetua Fgura Quatdades evovdas o espaço rea e de Heert. Fote: SHEO software package (005). A aoaa de atura ζ pode ser cosderada coo a dstâca etre a superfíce físca e a superfíce do teurode. Ea é obtda por eo da segute equação: T ζ (4) γ A attude ora H or substtu a attude ortoétrca H e a aoaa de atura ζ a oduação geoda N. h H or + ζ (5) Aé dsso, a superfíce de referêca utzada passa a ser o teurode (HIRVONEN 960, 96). Trata-se de ua superfíce cujo poteca ora U e u dado poto Q é gua ao poteca de gravdade W e todos os potos P da superfíce físca, W P U. Sedo ass o referdo teurode passa a ser Q deoado de teurode de Maruss. A attude ora H or é obtda a partr do úero geopoteca C: H or C γq 0 + ( + f + fse ϕ ) C a γ Q 0 C + a γ Q 0 (6) ode o poteca perturbador T é obtdo pea soução da equação () e a aoaa de gravdade pea (4). No caso da ζ ser potada a partr do epsode, resutará e ua superfíce deoada por Moodesky de quase-geode. A partr da Fgura Bo. Cêc. eod., sec. Coucações/Trab. Téccos, Curtba, v. 7, o 4, p , out-dez, 0.

11 uarães,. N. ; Btzkow, D. obtê-se as segutes reações após cosderar as curvaturas das dferetes has de capo: h H or h H + N N ζ H + ζ or H A equação () pode ser apcada ao geode desde que u adequado processo de reguarzação cude da reoção das assas exteras do eso. Nestas codções, ao vés do teurode adota-se coo superfíce aproxada a do epsode. Por outro ado, β β β 0 e / / h. Ass a equação (6) reduz-se a: 67 γ T TdE π h γ h π Σ Σ Δg de (7) O fato de ão coter as copoetes da defexão ξ e η, faz co que a equação (7) se tore as spes que a (). No caso de ua aproxação esférca, a soução da (7) é dada spesete pea tegra de Stokes. Ta fato é verdadero, ua vez que a fórua de Stokes expressa T e teros de Δ g. 4. IMPORTANTES CONSIDERAÇÕES DO PVC É sabdo que a deteração do capo de gravdade da Terra a partr de dados terrestres está reacoada co a foruação dos probeas de vaor de cotoro. Váras versões do PVC pode ser foruadas. Isso depederá do tpo de dados, aé do tpo e da quatdade de fuções descohecdas. Adeas, os dados dtos cásscos, tas coo, poteca de gravdade e coordeadas astroôcas cobados co dados de satétes, cotrbue para ovas versões do PVC, coo: sto, super deterado (HECK, 997) e a soução de Brovar (HECK, 0). Vae saetar que atuaete o PVC ada é fote de estudos a eodésa (VAL KO, et a. 008), (ARDALAN; KARIMI; BILKER-KOIVULA, 00) e (FERREIRA, 00). Nos próxos parágrafos será apresetada ua revsão cocetua dos três probeas cásscos: vre ou vetora vre, escaar vre e fxo, aé do PVC gravétrco fxo. O odeo físco-ateátco do PVC pode ser foruado da segute fora (HECK, 988), (BLITZKOW 996), (HECK, 997): () A Terra é assuda coo u corpo rígdo, ão deforáve, co veocdade ufore ao redor de u exo fxo o espaço. Toda a assa de atração está ocazada o teror da superfíce de cotoro, o caso, a superfíce físca. O poteca gravtacoa ewtoao é gerado a partr da atração dos eeetos de Bo. Cêc. eod., sec. Coucações/Trab. Téccos, Curtba, v. 7, o 4, p , out-dez, 0.

12 68 Probea de vaor de cotoro da eodésa: Ua abordage cocetua assa atuado sobre ua partícua teste, sedo este reguar o fto e que satsfaça a equação de Lapace o exteror às assas e a equação de Posso o teror. () A f de descrever as posções o espaço, aé de quatdades coo o vetor gravdade, troduz-se à Terra u refereca fxo, co orge O o seu cetro de assa. O exo x adjacete o pao do Merdao Iteracoa de Referêca, o exo z a dreção do exo de rotação oretado para o orte e por f o exo y jacete o pao do equador copeta o sstea dextrógro. O vetor de gravdade g r é represetado pea equação: W r g x (8) () A superfíce de cotoro S é sufceteete suave. Aé dsso, assue-se que tato W quato g seja cohecdos sobre o cotoro de fora cotíua. (4) Coo cógtas tê-se o poteca de gravdade W o exteror das assas e a geoetra da superfíce de cotoro S. 4. O PVC Lvre Ates do adveto das téccas espacas, era possíve deterar coo u todo a geoetra da superfíce terrestre co ata precsão. O estabeeceto de redes gobas tr-desoas a partr de eddas de dstâcas, âguos horzotas, azutes e dstâcas zetas ão era possíve devdo à dfcudade da refração vertca. Perate essa stuação orgou-se a foruação do PVC Lvre, tabé cohecdo coo probea de Moodesky. Trata-se de u probea de vaor de cotoro ão ear vre ou vetora vre, ode a quafcação vre está gada ao fato do vetor posção ser ua cógta. Não exste foração co reação à superfíce de cotoro. As observações que se tê são: W, g, Φ eλ. Etretato, a apcação do PVC vre possu a restrção de que o vetor posção está reacoado às observações que são bascaete coordeadas astroôcas; estas ão possue ua dstrbução requerda e ão atede a precsão exgda (o erro é da orde de ~ 0, 0). 4. O PVC Escaar vre No passado a dfcudade a deteração das copoetes horzotas do vetor posção evou ao desevoveto de u PVC escaar vre. De fato, a foração proveete da posção horzota a superfíce ão pode ser extraída a partr de souções do chaado PVC cássco. Nos evataetos geodéscos, as coordeadas geográfcas ( ϕ, λ) era dervadas dos étodos de pogoação e traguação, a partr de eddas de âguos e dstâcas. A coordeada atétrca (attude epsoda), geraete ão era cohecda. Ta fato se deve à razão de ão Bo. Cêc. eod., sec. Coucações/Trab. Téccos, Curtba, v. 7, o 4, p , out-dez, 0.

13 uarães,. N. ; Btzkow, D. se reazar reguarete o veaeto geoétrco as traguações e pogoações. O que se executa é o veaeto trgooétrco, obtedo ass a attude ortoétrca. Cotudo, para se obter a attude epsoda era ecessáro cohecer a atura geoda, sedo que esta ão fgura o probea de Moodesky. Co sto a opção fo de se utzar o PVC escaar vre, ua vez que se cohece as coordeadas geográfcas e todos os potos P S. Ressatado a dfereça deste co o probea vre: este, as coordeadas paétrcas da posção de P são cohecdas sobre a ora e Q, sedo soete ecessáro cohecer ( h ( ϕ, λ)) para fxar a superfíce descohecda. Aé dsso, para suprr a fata de foração, duas quatdades do capo de gravdade são eddas: (W,g). Ao passo que o outro, ão se cohece ada sobre a posção P, sedo que 4 gradezas são eddas: W, g, Φ e Λ. As codções para a soução do PVC escaar vre são ass eucadas (HECK, 989a): Cobado as forças, gravtacoa e cetrífuga, o poteca de gravdade W é deterado o exteror de S. Bo. Cêc. eod., sec. Coucações/Trab. Téccos, Curtba, v. 7, o 4, p , out-dez, W ω (9) E, aé dsso, deve-se adtr que W (a eos de ua costate W 0 ) e o óduo do vetor gravdade g seja forecdos a fora de ua fução cotíua, que seja sufceteete suave sobre a superfíce S. Adte-se tabé que as coordeadas geográfcas esteja vcuadas a u epsode de referêca. Seja u epsode, co esa veocdade aguar e esa assa da terra rea, a qua, o poteca U 0, costate sobre a superfíce, seja gua ao poteca W 0 sobre a superfíce geoda e co seu cetro o cetro de assa da terra. Esta fgura de referêca é deoada de terra ora. A esta vcua-se o poteca de gravdade ora U e o vetor gravdade ora γ. Logo, esse PVC pode ser reforuado e teros de pequeas quatdades eegedo o poteca ora U e ua superfíce te coveete Σ co Q Σ. Os potos P S e Q Σ deve satsfazer ua correspodêca buívoca. Ua defção do teurode cosstete co a foração que é serda o PVC escaar vre é dada fxado P e Q ao ogo da esa ora passado por P (HECK, 989a). Cosequeteete, o vetor da posção é expresso pea dfereça de attudes epsodas, chaada de aoaa de atura. ζ h H or (0)

14 60 Probea de vaor de cotoro da eodésa: Ua abordage cocetua Aaogaete, pode-se trasforar a observação sobre a superfíce físca e aoaa de poteca ΔC e aoaa de gravdade Δ γ. Para tato, é ecessáro earzar, pos abas as aoaas depede de fuções ão-eares. A sére de Tayor coduz à fora earzada (HECK, 989a). Outros detahes acerca deste probea pode ser ecotrados e (SACERDOTE; SANSÒ, 986). 4. O PVC Fxo Essa ateratva do PVC possu ua estreta reação co a era espaca. O adveto da esa propcou a deteração de coordeadas e u refereca trdesoa geocêtrco. O surgeto de váras téccas, aado ao desevoveto tecoógco, coaborara para que se acaçasse ata precsão o poscoaeto. São aguas destas téccas: LLR, SLR e NSS. O copeto coheceto da geoetra da superfíce te ( ϕ, λ, h) faz co que soete ua cógta peraeça deterada, o poteca de gravdade extero às assas atratvas. Para tato, assue-se que o óduo do vetor gravdade g seja cohecdo de fora cotíua e sufceteete suave sobre toda a superfíce S. O probea cotua sedo ão ear, sedo que a ão eardade se deve excusvaete da ora a ser apcada o vetor g. A escoha de u poteca de referêca U perte earzar e fução do poteca perturbador (HECK, 99). U aspecto reevate tato a escoha do PVC escaar vre quato o fxo é que, e abos, a attude epregada H or ão possu setdo físco e s ateátco. Isso pcará a deteração do quase-geode e ão do geode. E teros geoétrcos, a dfereça etre geode e quase-geode é que o prero é ua superfíce equpoteca do capo de gravdade, equato o segudo ão. Ta escoha pode afetar trabahos reacoados ao fuxo de água, coo a trasposção de ros, costrução de hdreétrcas, etc. 4.4 O PVC ravétrco Fxo O açaeto de satétes co o objetvo de exporar o coportaeto dos oceaos, sobretudo aquees co tecooga por radar, cotrbuu de fora sgfcatva para o estudo de as u PVC, o chaado probea gravétrco fxo. A atetra por radar te auxado as pesqusas sobre crcuação oceâca e suas varações espaços-teporas, sedo que város satétes tê coaborado para sso. Os as recetes, JASON-, JASON- e ENVISAT (Evroeta Satete), possue ua precsão da edda de, e c, respectvaete (CHELTON et a., 00). O prcípo da edda está assocado e deterar ua dstâca R (Rage) etre o satéte e a superfíce do oceao. Para tato, u puso curto de radação de croodas é trastdo do satéte até a superfíce por u apareho deoado de atíetro, sedo que parte dessa radação é refetda de vota para o Bo. Cêc. eod., sec. Coucações/Trab. Téccos, Curtba, v. 7, o 4, p , out-dez, 0.

15 uarães,. N. ; Btzkow, D. sesor. A dstâca é cacuada a partr do tepo de percurso do puso () (CHELTON et a., 00). 6 R Rˆ Δ j R j () ode R ˆ ct / é a dstâca cacuada baseada a veocdade da uz o vácuo c e t é o tepo de propagação (da e vota); Δ R, (co j,...) são as correções para as j váras copoetes da refração atosférca. Desta fora, a atura da superfíce do ar (Sea Surface Hegh) é deterada pea segute expressão: SSH h R () e que h é a attude da órbta e reação a u epsode de referêca específco do satéte atétrco e R é a dstâca etre o satéte e a superfíce do ar. É evdete que váras correções precsa ser reazadas até obter o vaor de ua edda fa. Mas detahes pode ser ecotrados e (CHELTON et a., 00). A SSH está reacoada ao geode por eo da segute expressão: SSH + DT () sedo o geode e DT a dâca da topografa. Co as recetes ssões espacas de baxa órbta, CHAMP (CHAegg Msatete Payoad), RACE (ravty Recovery ad Cate Experet) e receteete o OCE (ravty fed ad steady-state Ocea Crcuato Exporer), a deteração do odeo geoda os oceaos te sdo cada vez as precsa. A ssão do satéte OCE te coo objetvo deterar o geode goba co acuráca de - c para ua resoução ehor que 00 k. A dfereça deste para o PVC fxo é a superfíce de cotoro. Aé dsso, a úca cógta é o poteca de gravdade extero às assas atratvas, que pode ser deterado por eo de eddas gravétrcas a partr do auxío de avos ou aeroaves adaptados para esse tpo de evataeto. De fato, esse tabé é u probea ão-ear. Após a earzação (ČUNDERLÍK et a., 008), o resutado é u PVC gravétrco fxo de dervada obíqua, sedo a dreção da dervada a superfíce de cotoro dêtca co a dreção ora do vetor de gravdade ora γ gradu (HECK,989b). 5 SÍNTESE DO PVC Apresetadas as duas foruações do PVC e os aspectos reevates do eso, a dagação que surge é saber qua a foruação a ser utzada, ou ehor, Bo. Cêc. eod., sec. Coucações/Trab. Téccos, Curtba, v. 7, o 4, p , out-dez, 0.

16 6 Probea de vaor de cotoro da eodésa: Ua abordage cocetua qua a superfíce e que se trabahará. A resposta está vcuada à possbdade de dspor dos dados sobre a superfíce coveete. Será a partr dos esos que se poderá estabeecer subsídos para ua ehor deteração do geode ou do quasegeode. A Tabea apreseta u coparatvo etre os PVC. Tabea radezas do PVC. PVC Cohecdo Descohecdo Sup. de cotoro Lvre Φ, Λ,W, g ϕ,λ, h superfíce físca Escaar vre ϕ,λ,w, g h superfíce físca Fxo ϕ,λ, h, W, g - superfíce físca ravétrco fxo ϕ,λ, H, W, g - superfíce geoda Co reação às teoras de Stokes e Moodesky aguas cosderações deve ser ressatadas: Stokes propôs a deteração do geode, equato Moodesky o quase-geode; o prero é cacuada a atura geoda já, o segudo, a aoaa de atura. As aoaas de gravdade e as defexões da vertca estão referdas ao íve dos ares (Stokes) e a superfíce físca (Moodesky). No prero, a superfíce tate evove o capo de gravdade, equato o segudo ão é ua superfíce equpoteca. Por f, a foruação de Stokes possu o probea do poteca perturbador ão ser harôco etre o geode e a superfíce da Terra, aé da dfcudade das reduções topográfcas. Ua dscussão do PVC o cotexto brasero e su-aercao dz respeto ao datu vertca e vsta do Projeto SIRAS (grupo de trabaho TIII). Para a defção e a reazação de u sstea de referêca vertca goba ou regoa é ecessáro u odeo de gravdade da Terra baseado a cobação sateta e dados de gravetra terrestre (aríta e aérea). O EM008 atede esse pressuposto. As cosstêcas vertcas etre os data ocas provocados peas tedêcas presetes os dados de gravdade terrestre faze co que o PVC cua vaores de attudes epsodas coo ua ova observação, Aé dsso, são serdos dados de aceeração da gravdade, defexão da vertca e dfereças do geopoteca que perte a ufcação de u datu vertca goba ou regoa. Portato, u sstea ufcado deve copreeder duas copoetes: geoétrca e físca. A copoete co característca geoétrca é dada por ua superfíce de referêca (epsode) e por attudes epsodas (h). É portate que as attudes epsodas esteja de acordo co a reazação de u sstea de referêca (ITRS - Iteratoa Terrestra Referece Syste e ITRF - Iteratoa Terrestra Referece Frae). Aé dsso, o epsode utzado para dervar h a partr das coordeadas geocêtrcas X,Y,Z te que ser o eso epregado para estar as oduações geodas ou aoaas de atura. E reação à copoete físca, se a superfíce de referêca é baseada o geode (attudes ortoétrcas), deve-se Bo. Cêc. eod., sec. Coucações/Trab. Téccos, Curtba, v. 7, o 4, p , out-dez, 0.

17 uarães,. N. ; Btzkow, D. reduzr as eddas gravétrcas para a superfíce. Caso a superfíce de referêca se basee o quase-geode (attudes oras), está será úca e cosstete, poré ão será ua superfíce equpoteca, ão possurá sgfcado físco. Co o objetvo de apresetar ua defção cosstete, vre de abgudades, e correta do poto de vsta teórco, a copoete físca do sstea de attudes deve ser dada e teros do úero geopoteca,.e. a superfíce de referêca deve ter u vaor fxo para W 0 e as coordeadas vertcas deverão ter os úeros geopotecas referdos ao eso W 0. A deteração do úero geopoteca absouto é possíve a partr de restrções adequadas. Para tato, essa aproxação cosdera-se o PVC de duas aeras: o oceao adota-se o PVC gravétrco fxo, a qua o úero geopoteca estado é aquee que se ehor adapta à superfíce éda do ar. Nos cotetes eprega-se o PVC escaar vre (aproxação de Moodesky), desde que os dados esteja referecados a dferetes data vertcas. Desta fora obté-se tatos W 0,j quato ssteas de attudes. REFERÊNCIAS BIBLIORÁFICAS ARDALAN, A. A.; KARIMI, R.; BILKER-KOIVULA, M. A overdetered geodetc boudary vaue probe approach to teurod ad quas-geod coputatos. Joura of eodesy, v. 84,., p , 00. BLITZKOW, D. O probea do vaor de cotoro da geodésa: resutados prátcos para a Aérca do Su. Tese (Lvre Docêca) - Escoa Potécca da Uversdade de São Pauo, São Pauo, 996. BLITZKOW, D.; CAMPOS, I. de O.; FREITAS, S.R.C. Attude: o que teressa e coo equacoar? Iforações Espacas II Notas de aua, Laboratóro de Topografa e eodésa - Escoa Potécca de São Pauo, São Pauo, 007. CHELTON, D. B.; RIES, J. C.; HAINES, B. J.; FU, L.L.; CALLAHAN, P. S. Satete atetry ad earth sceces, A hadbook of techques ad appcatos: Satete atetry. I: FU, L.L.; CAZENAVE, A. (Ed.). Sa Dego: Acadec Press, p. -, 00. ČUNDERLÍK, R.; MIKULA, K.; MOJZEŠ, M. Nuerca souto of the earzed fxed gravetrc boudary-vaue probe. Joura of eodesy, v. 8,., p. 5-9, 008. FERREIRA, V..; FREITAS, S R. C. Aáse do tero de prera orde das séres de Moodesk para o probea de vaor de cotoro da geodésa. Boet de Cêcas eodéscas, v. 6,. 4, p , out-dez, 00. FREITAS, S. R. C.; BLITZKOW, D. Attudes e eopoteca. IeS Buet N.9 Iteratoa eod Servce, Juho 999, Mão, p. 47-6, 999. EMAEL, C. Itrodução a eodésa Físca. Curtba: Edtora UFPR, 999. OLDANI, D.; QUINTAS, M. C. L. U odeo geoda para o estado do Paraá: apcações da tegra de Stokes e de u vaor do geopoteca. Boet de Cêcas eodéscas, v. 6,., p. 05-4, ja-ar, 00. Bo. Cêc. eod., sec. Coucações/Trab. Téccos, Curtba, v. 7, o 4, p , out-dez, 0. 6

18 64 Probea de vaor de cotoro da eodésa: Ua abordage cocetua HECK, B. The o-ear geodetc boudary vaue probe quadratc approxato. Mauscrpta eodaetca, v., p. 7-48, A cotrbuto to the scaar free boudary vaue probe of physca geodesy. Mauscrpta eodaetca, v.4, p , 989a.. O the o-ear geodetc boudary vaue probe for a fxed boudary surface. Buet éodésque v.6, p , 989b.. O the earzed boudary vaue probes of physca geodesy. Oho State Uversty, Report 407. Coubus, 99.. Foruato ad earzato of boudary vaue probes: fro observabes to a atheatca ode. I: SANSÒ, F.; RUMMEL, R. (Eds.). eodetc boudary vaue probes vew of the oe ceteter geod. Ber: Sprger, (Lectures Notes Earth Sceces, v.65) p. -60, A Brovar-type souto of the fxed geodetc boudary-vaue probe. Studa eophysca et eodaetca v. 55,. p , 0. HEISKANEN, W. A.; MORITZ, H. Physca geodesy. Sa Fracsco: Freea ad Co., 967. HIRVONEN, R.A. New theory of gravetrc geodesy. Pubcatos of the Isostatc Isttute of the Iteratoa Assocato of eodesy, Hesk, v., The reforato of geodesy. Joura of eophysca Research, v. 66, p , 96. HOFMANN-WELLENHOF, B.; MORITZ, H. Physca geodesy. d Edto, New York: Sprger MORITZ, H. Advaced Physca eodesy. Karsruhe: Wcha Verag SACERDOTE, F.; SANSÒ, F. The scaar boudary vaue probe of physca geodesy. Mauscrpta eodaetca, v., p. 5-8, 986. SHEO SOFTWARE PACKAE. Referece Maua. Fredercto, New Bruswck, Caada, p. SOUZA, S. F.; SÁ, N. C. Avaação de odeos geodas gravétrcos deterados co fuções covarâcas paas e esfércas (estudo de caso: estado de São Pauo e adjacêcas). Boet de Cêcas eodéscas, v. 4,., p. -49, ju-set, 008. TOCHO, C.; MIRANDA, S.; PACINO, M. C.; FORSBER, R. Preary geod ode Sa Jua provce: a case study the Ades. Boet de Cêcas eodéscas, v. 4,., p. 6-0, ju-set, 008. VAL'KO, M.; MOJZES, M.; JANÁK, J.; PAPCO, J. Coparso of two dfferet soutos to Moodesky's ter. Studa eophysca et eodaetca, v. 5,., p. 7-86, 008. (Recebdo e agosto de 0. Aceto e outubro de 0.) Bo. Cêc. eod., sec. Coucações/Trab. Téccos, Curtba, v. 7, o 4, p , out-dez, 0.