ENG 1714 Métodos Numéricos para Engenharia Mecânica
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- Ivan Paranhos das Neves
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1 ENG 74 Métodos Nuéros pr Egehr Meâ z =
2 ENG 74 Métodos Nuéros pr Egehr Meâ roessor: Máro Crvlho, Sl -L, Tel: 7-74 ou 7-. el: Horáro: : : 7: Sl 8L : : 7: Sl 8L Atedeto: O luo deve e prourr sepre que tver lgu dúvd. G G G G Crtéro de Aprovção: M. Se G, M. G e G são 4 luldos d segute or: Se 4, G Med Lsts Se 4, G Oetvo: Itroduzr os oetos ásos de étodos uéros pr solução de proles e egehr. Eet: Itrodução; Itegrção uér; Cálulo de rz de equção trsedetl; Iterpolção e Auste de Curvs; Solução de sstes de equções lgéros; Sstes ão-leres; Equções Deres Ordárs; role de Vlor Il; role de Vlor de Cotoro; Equções Deres rs; Otzção. Blogr: Métodos Nuéros pr Egehr,S. C. Chpr e R.. Cle; MGrw Hll,. Aálse Nuér, R. L. Burde e J. Dougls Fres, Thoso,. Nuerl Repes, W. H. ress, B.. Flery, S. A. Teuolsy e W. T. Vetterlg; Crdge Uversty ress, 98. Nuerl Methods, G. Dhlqust, A. Bor e N. Aderso; rete Hll, 974. Mul do Sl
3 Deprteto de Egehr Meâ ENG 74- Métodos Nuéros pr Eg. Meâ ro. Mro S. Crvlho el: Sl: -L Tel: 7-74 ou 7- ALICAÇÕES DE MÉTODOS NUMÉRICOS Trteto de Ddos Esttístos INTRODUÇÃO Aálse de ss Cálulr de éd, desvo pdrão, vrâ, et Deterr equção d urv que elhor desreve os resultdos de u epereto y? Sulção de sstes revsão de oporteto de u sste roeto s rto e de elhor desepeho Verção
4 MODELAGEM E SIMULAÇÃO ROBLEMA REAL MODELO FÍSICO MODELO MATEMÁTICO MODELO EXERIMENTAL MÉTODOS NUMÉRICOS TÉCNICAS EXERIMENTAIS REVISÕES REVISÕES MODELO MATEMÁTICO Couto de equções que desreve u deterdo eôeo íso Modelo é desevolvdo prtr de hpóteses spldors Hpóteses spldors são porttes pr tlr solução Hpóteses deve ser oeretes o o eôeo ser desrto Egehr: Uso orreto de hpóteses spldors Hpóteses errds levrão predções orrets Quldde ds predções está dretete lgd o odelo usdo Coprosso etre usto pr solução ds equções e quldde dos resultdos Modelo pode ser DIFERENCIAL ou INTEGRAL Modelos deres gerlete lev equções se solução lít Neessdde de desevolveto de errets pr resolver s equções
5 IMORTÂNCIA DE REDIÇÃO roeto de egehr s eoôo Otzção de proetos Aálse de stuções se ddos eperets Deterção de desepeho e sos ltes Modelo Eperetl MÉTODOS DE REDIÇÃO E esl ou esl reduzd Custo ero e de tepo elevdo Díl de lsr eetos de odções solds Fudetl pr vldr odelos teóros Modelo Mteáto Coetáros Bo usto ossldde de lsr dversos sos e otzr proeto Velodde de oter respost Hldde de sulr odções res e des Neessdde de vldr odelos teátos Idel: Coção de eperetos e odelos teátos
6 MÉTODOS NUMÉRICOS ROBLEMA REAL: TRANSFERÊNCIA DE CALOR MODELO: CONSERVAÇÃO DE ENERGIA + LEI DE FOURIER d dt EQUAÇÃO DIFERENCIAL T G d d T? DETERMINAR TEMERATURA AENAS EM ALGUNS ONTOS DO DOMÍNIO DISCRETIZAR O ROBLEMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL EQUAÇÃO ALGÉBRICA DIFERENTES MÉTODOS NUMÉRICOS DIFERENÇAS FINITAS ELEMENTOS FINITOS VOLUMES FINITOS ELEMENTOS DE CONTORNO ELEMENTOS ESECTRAIS OUTROS...
7 ESCOLHA DE SOFTWARE Sotwres oers pr deretes plções Aálse estruturl: ANSYS, ADINA,... Esoeto de Fludos: FLUENT, FIDA, FLOWD,... Feôeos de Trserê: FLUENT,... Sotwres oers ou desevolvdos Treeto Verstldde X desepeho Desevolvdos: Novos odelos Coers: Ms userredly, tere grá Fudetos ísos Uso do sotwre EMENTA Cálulo de rz de equção Iterpolção e uste de urv Itegrção uér Solução de sste de equções lgérs Solução de sste ão-ler Desrção teát de eôeos ísos Equção derel ordár - role de Vlor de Cotoro role de Vlor Il Equção derel prl Método de dereçs ts, eleetos tos e volues tos Otzção
8 INTRODUÇÃO o MATLAB Sotwre e lguge e ete de progrção pr álulos teátos MATLAB = Mtr Lortory ossu dverss rots de álulo teáto á progrds e testds ossldde de rr progrs e ovs rots de ordo o eessdde do usuáro Istlção: JANELA DE COMANDO - COMMAND WINDOW Jel prpl. Modo oo o usuáro se ou o o prog MATLAB Os odos e hds de progr são ddos o propt d el JANELA DE COMANDO - COMMAND WINDOW Dretoro de trlho Jel de odo Jel de vrves
9 VARIÁVEL TIO VETOR - ARRAY CRIAÇÃO DE GRÁFICOS
10 JANELA DE ROGRAMAÇÃO / EDIÇÃO Crr u ov el de progrção Edção do progr. O rquvo deve ser slvo oo.
11 r eeutr o progr, deve-se prero tror o dretóro de trlho Dgtr o oe do rquvo. o propt JANELA DE VARIAVEIS
12 rps odos pr gereeto d sessão Codo sese l ler who qut Desrção Cotrol sestvdde de rteres úsulos e úsulos Lp el de odo Reove s vráves d eór Lst s vráves orretes eór r eeução do MATLAB rps odos do sste e de otrole de rquvos Codo d dretoro pwd dte delete lee dr lod lod lee sve sve lee Desrção Mud o dretóro orrete pr dretoro Ipre o dretóro orrete Ipre dt Reove o rquvo lee Lst os rquvos presete o dretóro orrete Crreg tods s vráves do rquvo tl.t Crreg tods s vráves do rquvo lee.t Grv s vráves d sessão o rquvo tl.t Grv s vráves d sessão o rquvo lee.t ESTRUTURAS DE ROGRAMAÇÃO For Whle
13 / else SCRIT X FUNCTION Srpt: Não trlh o rguetos. Vráves glos. rogr prpl
14 Futo: Trlh o rguetos. Vráves los. rogr prpl
15 Eeríos Esrev u progr e MtL pr eetur ultplção etre dus trzes. O progr deve prero ler o úero de lhs e olus de d trz e o vlor de d etrd ds trzes. Ates de eetur operção, o progr deve verr se es é possível,.e. se o úero de olus de u trz é gul o úero de lhs d outr. Esrev u progr que lule s rízes res de u polôo do o gru. O progr deve segur os segutes pssos: ler os oeetes do polôo; Clulr s rízes, todo o uddo pr evtr dvsão por zero e rízes oples; Mostrr s soluções otds; v ergutr o usuáro se ele quer voltr o psso.
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17 AJUSTE DE CURVAS E INTEROLAÇÃO OBJETIVO Coheedo-se os vlores de u ução e potos dsretos de u tervlo, dese-se deterr u urv que represete est ução este tervlo. ALICAÇÕES Auste de ddos eperets - Estes rreg ertezs. Auste dos ddos de ordo o u odelo Est ordge perte oteção de prâetros que possu terpretção ís. E. :. Neessdde de tegrção d ução e questão. Deseo de se oheer o vlor d ução e potos espeíos ão ddos. Apror u ução por outr eos ople, de ál plção. TIOS DE ROCESSOS AJUSTE DE CURVAS Te-se u outo de potos e dese-se u urv que psse pró destes potos. A equção d urv ustd deve possur u úero de prâetros eor que o úero de potos ddos. AC Ddos potos, o tervlo, oté-se tl que - < INTEROLAÇÃO ADRÃO Te-se u outo de potos e dese-se oter u urv que psse suveete trvés de todos os potos. A equção d urv terpoldor deve possur o eso úero de prâetros que o úero de potos ddos. I Ddos potos, o tervlo, oté-se tl que =
18 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS É o étodo s utlzdo pr uste de urvs. A odção que deter urv ser otd é zção d so dos qudrdos ds dereçs etre os vlores d ução ser deterd e d ução orgl luldos os potos ddos. potos QUANTIDADE MINIMIZADA E= [ - ] = - EXEMLO SIMLES Dd tel de potos o ldo, deterr ret que se ust estes potos utlzdo o étodo de íos qudrdos 4 7 -, -,9 -,,,9 SOLUÇÃO lotdo-se os potos ddos, ote-se o gráo dsreto o ldo. A ução esolhd pr represetr estes potos é do prero gru, portto A plção do étodo, este so, resultrá deterção dos vlores dos oeetes gulr e ler d ret que se ust estes potos, segudo o rtéro d zção d so dos qudrdos dos desvos.
19 ode-se pereer que grdez ser zd, o o proedeto dotdo, é esrt oo u ução dos oeetes. E E CÁLCULO DA SOMA DO QUADRADO DOS DESVIOS A esolh dos oeetes que z E deve, portto, ser tl que: E E, E e são rzes do sste de equções su
20 CÁLCULO DO ERRO. Erro soluto. E A Erro reltvo E R.. Erro qudráto E Q Erro As. Erro Rel. Erro Qud. CASO MAIS GERAL r u so s gerl, ode ução de uste é ord por u oção ler de uções lerete depedetes, te-se: E Eeplos: ógts E equções E E E A se B os E A E B Nestes proles, re-se e u sste de equções dervdo-se E e relção d oeete e ógts os oeetes g z Kz l[ g z] l K l z K E K E
21 E Coeetes sere deterdos. e são ídes udos. Sste de equções equções:,..., ; E Oserve que E E,,..., ; ;,,, ;
22 r d oeete este u equção orrespodete, por eeplo, =: E Colodo o sste de equções or trl te-se:,,, ; EXEMLOS F Cosdere os ddos: A Detere ret que elhor represete os ddos usdo o étodo dos íos qudrdos. F X^ F So = e
23 Detere práol que elhor represete os ddos usdo o étodo dos íos qudrdos. Sste de equções: E E E 4 E E E ;.88 ; F ^4 ^ X^ ^ F F So =
24 8 7 4 Ddos Auste Ler Auste Qudrto 4 7 Ler F Auste Equd E =.4 Qudráto F Auste Equd E =. INTEROLAÇÃO LAGRANGEANA É u so prtulr portte de terpolção, ou se, de se oter u urv que psse pelos potos ddos. Ddos potos, o tervlo, ote-se tl que = Algus rterísts d Iterpolção Lgrge são lstds segur: A ução terpoldor é polol e de gru ío possível - O polôo terpoldor de gru - é ordo por u oção ler de polôos polôos-se té de eso gru -. o úero de polôosse é gul o de potos Os oeetes d oção ler são os própros vlores d ução orgl os potos ddos e portto os polôos-se possue vlor utáro e u poto e se ul os outros: y olôos de grus -
25 EXEMLO SIMLES Ddos os potos, e,, deterr ret que se ust estes potos utlzdo o étodo d Iterpolção Lgrge. SOLUÇÃO Coo são ddos dos potos,, e,, os = polôos-se são de gru -=. Alé dsso, =, pr o poto, e =, pr o poto,. Alogete, = pr o poto, e =, pr o poto,. y O polôo terpoldor de gru - é ordo por u oção ler de polôos polôos-se té de eso gru -. y Deve-se por odção = rov d d volt é álog OBS : Logo, peree-se que odção os oeetes é té u odção o tpo de polôo que or se de uções ser stset de ordo o OBS y
26 Eeplos de uções se polos que oedee odção: Ler ról Cú CÁCULO DOS OLINÔMIOS-BASE Se-se que o polôo se ssue o vlor utáro e u poto e é ulo os des. Logo, estes des potos são rízes do polôo. ortto: FUNÇÃO INTEROLADORA y
27 EXEMLO Cosdere ução =e pr <<. Utlze terpolção Lgrge o três potos =, =. e = pr represetr est urv. SOLUÇÃO. 4 4 y y y e e y y y y Serão polôos-se do o. gru e y=ep y= Erro As. Erro Rel. Erro Qud. RESULTADOS Erro soluto E A Erro reltvo E R Erro qudráto E Q
28 Eerío O ível d águ o Mr do Norte é deterdo pelo oveto de ré ohedo oo Mré M, o u período de hors. A vrção do ível o o tepo pode ser desrt pel segute órul: t t H t h A os A s, t e hors t 4 8 Hors Ht etros Detere os prâetros d urv de vrção de Ht, sto é e o étodo dos íos qudrdos. h, A e A, utlzdo os ddos
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30 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Frequeteete álulos tegrs são eessáros e egehr d I N or dos sos, tegrl ão pode ser luld ltete y I = Áre so o gráo 4 4 ] [ I I rer dé y Melhor proção Usr os potos o eo do tervlo I I 4 tervlos potos Regr do Retâgulo
31 y Melhor proção Itepolção ler e d tervlo 4 tervlos potos Regr do Trpézo I I I y = + = De u or gerl, tegrl é luld por u so poderd dos vlores do tegrdo e potos do tervlo de tegrção w I : úero de tervlos +: úero de potos w são hdos de ESO e os potos ode ução deve ser vld são hdos de ABSCISSA As deretes óruls de tegrção uér são esolhs prtulres dos pesos e ssss Todo órul de qudrtur deve teder tegrl et qudo o úero de potos tor-se uto grde
32 Gerlete us-se ssss gulete espçds e esolhe-se pesos pr oter elhor proção O resultdo pode ser sstetete elhordo dvddo o tervlo o eo A presão do étodo pode ser vld luldo-se tegrl o potos e repetdo-se o proesso o potos. Se os resultdos odre detro de u ert tolerâ, et-se o resultdo oo preso O erro proção é sepre proporol o tho do tervlo elevdo lgu potê ter h erro : orde d proção FÓRMULA DE NEWTON-COTES Dvde-se o doío e tervlos o + potos,,, pr, ; h h Dee-se polôo de terpolção de gru pelos potos, L olôo terpoldor de Lgrge A tegrl d ução é prod pel tegrl do polôo terpoldor w d L d L d d I
33 EXEMLOS DA FÓRMULA DE NEWTON-COTES = e + = y e ode L L L L L d d L w d d L w d I Regr do Trpézo pr tervlo De u or gerl o étodo de Newto-Cotes pode ser esrto oo: C d L d d I d L C Newto - Cotes oeetes de C C C C 4 C / / / 4/ / /8 /8 /8 /8 4 7/9 /9 /9 /9 7/9 Tel de oeetes de Newto-Cotes
34 = e + = d I 4 y Regr de Spso pr tervlo A órul de Newto-Cotes é rrete pld e todo tervlo. O tervlo é sudvddo e sutervlos gus ou ão e órul é pld e d sutervlo COMENTÁRIOS y = + = Dvde-se o tervlo, e sutervlos de lrgur e órul é pld e d tervlo Eeplo: = d I I Regr do Trpézo
35 Eeplo: = O úero de tervlos deve ser pr. A órul é pld pres de tervlos d I / 4 I Regr de Spso.... y =.8889 ^.9 R= Erro % Tho do Itevlo Erro Delt X Et Trpezo Erro%
36 QUADRATURA GAUSSIANA Má presão pr u ddo úero de uções Itervlo ão uore d w otos de Guss esos de Guss Os vlores ds oordeds dos potos de Guss e os orrepodetes pesos são presetdos e tels pdrozds gerlete pr ltes de tegrção de -. r utlzr ests tels, é eessáro zer u udç de vrável w w d g d w g = = 4 = w r tegrs e dus, três ou s vráves: d, y ddy w w g, g, dd
37 Eerío Clule tegrl pelo Método do Trpézo: ep d Detere o úero de tervlos eessáros pr oter u respost o presão de ss des
38 N tervlos Itegrl
Vitamina A Vitamina B Vitamina C Alimento 1 50 30 20 Alimento 2 100 40 10 Alimento 3 40 20 30
Motvção: O prole d det Itrodução os Sstes Leres U pesso e det ecesst dgerr drete s segutes qutddes de vts: g de vt A 6 g de vt B 4 g de vt C El deve suprr sus ecessddes prtr do cosuo de três letos dferetes
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CAP. IV INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL INTRODUÇÃO Muts uções são cohecds pes um cojuto to e dscreto de potos de um tervlo [,b]. Eemplo: A tbel segute relco clor especíco d águ e tempertur: tempertur (ºC 5 5 clor
MÓDULO II POTENCIAÇÃO RADICIAÇÃO
MÓDULO II POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO MÓDULO II POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO O ódulo II é oposto por eeríios evolvedo poteição e rdiição Estos dividido-o e dus prtes pr elhor opreesão ª PARTE: POTENCIAÇÃO DEFINIÇÃO
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fatorial [ ] = A. Exercícios Resolvidos. Exercícios Resolvidos ( ) ( ) ( ) ( )! ( ).
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OSG: / ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO T MATEMÁTIA TURNO DATA ALUNO( TURMA Nº SÉRIE PROFESSOR( JUDSON SANTOS ITA-IME SEDE / / Ftorl Defção h-se ftorl de e dc-se or o úero turl defdo or: > se ou se A A A A Eercícos
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