Adriane Prisco Petry

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ANÁLISE NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS TURBULENTOS TRIDIMENSIONAIS EMPREGANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS E SIMULAÇÃO DE GRANDES ESCALAS por Adrane Prsco Petry Tese para Obtenção do Título de Doutor em Engenhara Porto Alegre, Janero de 2002

2 ANÁLISE NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS TURBULENTOS TRIDIMENSIONAIS EMPREGANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS E SIMULAÇÃO DE GRANDES ESCALAS por Adrane Prsco Petry Mestre em Engenhara Tese submetda ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca, PROMEC, da Escola de Engenhara da Unersdade Federal do Ro Grande do Sul, como parte dos requstos para obtenção do Título de Doutor em Engenhara Área de Concentração: Fenômenos de Transporte Orentador: Prof. Dr. Armando Mguel Awruch Aproada por: Prof. Dr. Arsteu da Slera Neto Prof.ª Dr.ª Líga Damasceno Ferrera Marczak Prof. Dr. Horáco Antôno Velmo Porto Alegre, Janero de Prof. Dr. Alberto Tamagna Coordenador do PROMEC

3 AGRADECIMENTOS Mutas pessoas e nsttuções colaboraram para que este trabalho pudesse ser desenoldo, gostara de agradecer a todos. É muto dfícl não esquecer alguém no momento em que escreo esta págna, peço desculpas se cometer esta nustça. Ao Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca da Unersdade Federal do Ro Grande do Sul, aos mestres e aos funconáros. Ao Departamento de Engenhara Mecânca da Unersdade Federal do Ro Grande do Sul, especalmente aos colegas e aos funconáros que me apoaram durante o desenolmento deste trabalho. Ao Centro Naconal de Supercomputação da Unersdade Federal do Ro Grande do Sul, especalmente à equpe de suporte e atendmento ao usuáro. Ao Professor Armando Mguel Awruch, por orentar este trabalho. Aos membros da banca eamnadora, por construtas sugestões. Ao colega de doutorado Martn P. Kessler, pelo auílo ncansáel. Ao GESTE, por dsponblzar seus recursos. Ao colega de departamento Sérgo Frey, pelo apoo da equpe do LAMAC, e em especal ao bolssta de ncação centífca Cleber Spode. À Equpe da Canguru Berçáro Pré-Escola e Escola Inclusa, que com sua competênca e carnho garantu a tranqüldade de mutas horas de trabalho. À Mara Antôna, por dedcadamente cudar de mnha casa e de meus flhos, quando te que me ausentar. Aos aós, tas e tos, do Ângelo e da Isabela, por serem aós, tas e tos muto presentes, quando precsamos. À Claudne, rmã e amga, pelo apoo, especalmente por mutas manhãs com os sobrnhos. Ao Ângelo e à Isabela, meus flhos, por sua compreensão e colaboração, emprestando nosso tempo a este trabalho. Aos meus pas, Bruno e Laurete, pelo eemplo e por seu apoo durante este trabalho, e sempre. Ao Edmlson, pa do Ângelo e da Isabela, e ao Edmlson, companhero, por seu amor, por sua generosdade e pelo apoo ncondconal dante de todas as dfculdades.

4 RESUMO O presente trabalho apresenta o estudo e mplementação de um algortmo numérco para análse de escoamentos turbulentos, trdmensonas, transentes, ncompressíes e sotérmcos, atraés da Smulação de Grande Escalas, empregando o Método de Elementos Fntos. A modelagem matemátca do problema basea-se nas equações de conseração de massa e quantdade de momento de um fludo quase-ncompressíel. Adota-se um esquema de Taylor-Galerkn, com ntegração reduzda e fórmulas analítcas das funções de nterpolação, para o elemento heaédrco de oto nós, com funções lneares para as componentes de elocdade e constante no elemento para a pressão. Para abordar o problema da turbulênca, emprega-se a Smulação de Grandes Escalas, com modelo para escalas nferores à resolução da malha. Foram mplementados o modelo clássco de Smagornsky e o modelo dnâmco de scosdade turbulenta, ncalmente proposto por Germano et al, Uma noa metodologa, denomnada fltragem por elementos fntos ndependentes, é proposta e empregada, para o processo de segunda fltragem do modelo dnâmco. O esquema, que utlza elementos fntos ndependentes enolendo cada nó da malha orgnal, apresentou bons resultados com um bao custo computaconal adconal. São apresentados resultados para problemas clásscos, que demonstram a aldade do sstema desenoldo. A aplcabldade do esquema utlzado, para análse de escoamentos caracterzados por eleados números de Reynolds, é dscutda no capítulo fnal. São apresentadas sugestões para aprmorar o esquema, sando superar as dfculdades encontradas com respeto ao tempo total de processamento, para análse de escoamentos trdmensonas, turbulentos e transentes.

5 ABSTRACT Formulaton, mplementaton and applcatons of a numercal algorthm to smulate turbulent, ncompressble, sothermal flows are the man goals here. The transent trdmensonal flow s analyzed usng an eplct Taylor-Galerkn scheme and the fnte element method wth heahedrcal eght-node element. The scheme adopted for turbulence treatment s Large Eddy Smulaton. For subgrd scales two models where mplemented, the classcal Smagornsky s model and the dynamc eddy scosty model ntally proposed by Germano, For the process of second fltraton necessary n the dynamc model a new method was deeloped based on ndependent fnte elements that nole each node n the orgnal mesh. The scheme mplemented s effcent wth good results and low computatonal cost Results for classcal problems where presented, that demonstrate the system aldaton. Comments about the scheme applcablty for hgh Reynolds number flows are n the last part. Suggeston to mproe the algorthm to oercome long tme of analyss are presented.

6 ÍNDICE Págna 1. INTRODUÇÃO Apresentação Motação e Hstórco Obetos, Metodologa e Organzação do Trabalho Smulação Numérca de Escoamentos Incompressíes Empregando o Método de Elementos Fntos Smulação Numérca de Escoamentos Turbulentos Smulação Numérca de Escoamentos Turbulentos a Equações Médas de Reynolds Smulação Dreta da Turbulênca Smulação de Grandes Escalas Programação de Alto Desempenho FORMULAÇÃO MATEMÁTICA Equações que Goernam o Escoamento Equações para Smulação de Grandes Escalas de Escoamentos Turbulentos Modelos de Turbulênca Sub-malha Modelo de Smagorsky Modelo Dnâmco de Vscosdade Turbulenta Equações que Goernam o Escoamento com Modelos Sub-malha de Smagornsky e Modelo Dnâmco de Vscosdade Turbulenta MODELAGEM NUMÉRICA E ASPECTOS COMPUTACIONAIS Formulação de Elementos Fntos do problema Formulação de Resíduos Ponderados do Problema Equações de Elementos Fntos do Problema Esquema de Taylor-Galerkn Segunda Fltragem: Metodologa Proposta RESULTADOS:...66

7 4.1 Análse Escoamento sobre o degrau: Códgo Bdmensonal Valdação do Programa: Análse do Escoamento a Baos Números de Reynolds Smulação do escoamento sobre o degrau em canal aberto: Re= Análse Empregando o Códgo Trdmensonal: Escoamento Forçado em Cadade Bdmensonal Análse do Escoamento Forçado em Cadade Trdmensonal Descrção do Problema Cadade Trdmensonal - Resultados: Re= Cadade trdmensonal Resultados, Re= Análse do Escoamento Sobre um Degrau Valdação do Programa: Análse do Escoamento bdmensonal a Baos Números de Reynolds Análse do Escoamento Turbulento Bdmensonal Escoamento Sobre um Degrau Trdmensonal CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

8 LISTA DE SÍMBOLOS Caracteres Romanos C C S elocdade de propagação do som no meo [m/s] constante de Smagornsky C(,t) coefcente do modelo dnâmco C L Re termos cruzados de elocdades termos de Leonard Número de Reynolds [UL/ν] f componente das forças de campo na dreção [N/m 3 ] k SM energa cnétca sub-malha [m 2 /s 2 ] n cosseno dretor do etor normal ao contorno consderado p pressão [N/m 2 ] p pressão, componente correspondente às grandes escalas [N/m 2 ] * p p função peso para a pressão etor de alores nodas da pressão t p * etor de alores nodas da função peso de pressão tempo [s] t alores prescrtos das forças de superfíce no contorno ndcado [N/m 2 ] componente da elocdade na dreção [m/s 2 ] ˆ alores prescrtos da componente da elocdade no contorno componente, correspondente às grandes escalas, do etor de elocdade na dreção componente, correspondente às escalas sub-malha, do etor de elocdade na dreção * * função peso para a elocdade etor de alores nodas da componente da elocdade etor de alores nodas da componente da função peso de elocdade coordenada na dreção [m] Caracteres Gregos p aração da pressão [N/m 2 ]

9 t ρ nteralo de tempo [s] aração de ρ escala assocada com o fltro utlzado para defnr o campo de grandes escalas comprmento característco do segundo fltro, sendo >. Γ Γ e Ω Ωe δ φ contorno do domíno contorno do elemento domíno do problema domíno do elemento delta de Kronecker etor de funções nterpolação para a elocdade λ coefcente de scosdade olumétrca do fludo [Ns/m 2 ] η componente do sstema de coordenadas naturas µ coefcente de scosdade dnâmca do fludo [Ns/m 2 ] ν ν t scosdade cnemátca [m 2 /s] scosdade turbulenta [m 2 /s] ρ massa específca do fludo [kg/m 3 ] σ tensor de tensões [N/m 2 ] ξ ψ componente do sstema de coordenadas naturas etor de funções de nterpolação para a pressão ζ componente do sstema de coordenadas naturas

10 LISTA DE FIGURAS Fg. TÍTULO Págna 1.1 Resultados do Escoamento em Torno de um Clndro Fo, Re=1500 [Petry, ] Eemplo de elemento ndependente para uma malha 59 bdmensonal Eemplos de elementos ndependentes em malhas rregulares e 59 dstorcdas Elemento ndependente em uma malha trdmensonal Elemento heaédrco de oto nós no espaço físco e computaconal Esquema do domíno e dmensões característcas do escoamento sobre o degrau Relação entre comprmento de recolamento (X R /H) e número de Reynolds (Re):, resultados epermentas de Armaly et al., 1983;, smulação numérca de Slera Neto et al., 1993;, smulação numérca de Kaktss et al, 1991;, resultados do presente trabalho Dstrbução de ortcdade, resultados da smulação NS1 (desprezando os termos relatos a efetos às escalas nferores à resolução da malha), em dferentes nstantes de tempo: (a), $t = 15; (b), $t = 25; (c), $t = 35; (d), $t = 45; (e), $t = 55; (f), $t = 65; (g), $t = Dstrbução de ortcdade, resultados da smulação LES1 (empregando o modelo de Smagornsky, desprezando os termos de Leonard e cruzados), dferentes nstantes de tempo: (a), $t = 15; (b), $t = 25; (c), $t = 35; (d), $t = 45; (e), $t = 55; (f), $t = 65; (g), $t = Dstrbução de ortcdade, resultados da smulação LES2 (consderando todos os termos de escalas sub-malha), em dferentes nstantes de tempo: (a), $t = 15; (b), $t = 25; (c), $t = 35; (d), $t = 45; (e), $t = 55; (f), $t = 65; (g), $t = Dstrbução de ortcdade, resultados apresentados por Ortega e Azeedo, 1995; (a), $t = 15; (b), $t = 25; (c), $t = 35; (d), $t = 45; (e), $t = 55; (f), $t = 65; (g), $t = Escoamento forçado em uma cadade, geometra do problema Resultados concdentes do perfl de elocdades horzontas na lnha méda ertcal para o escoamento na cadade bdmensonal (Re=100) empregando: o programa base (lnha traceada); o programa lamnar reestruturado (lnha chea), e resultados

11 de Gha, et al., 1982 ( ) Resultados concdentes do perfl de elocdades horzontas na lnha méda ertcal para o escoamento na cadade bdmensonal (Re=400) empregando: o programa base (lnha traceada); o programa lamnar reestruturado (lnha chea), e resultados de Gha, et al., 1982 ( ) Resultados concdentes do perfl de elocdades horzontas na lnha méda ertcal para o escoamento na cadade bdmensonal (Re=1000) empregando: o programa base (lnha traceada); o programa lamnar reestruturado (lnha chea), e resultados de Gha, et al., ( ) Resultados concdentes do perfl de elocdades horzontas na lnha méda ertcal para o escoamento na cadade bdmensonal (Re=3200) empregando: o programa base (lnha traceada); o programa lamnar reestruturado (lnha chea), e resultados de Gha, et al., ( ) Resultados concdentes do perfl de elocdades horzontas na lnha méda ertcal para o escoamento na cadade bdmensonal (Re=5000) empregando: o programa base (lnha traceada); o programa lamnar reestruturado (lnha chea), e resultados de Gha, et al., ( ) Resultados do perfl de elocdades horzontas na lnha méda ertcal para o escoamento na cadade bdmensonal empregando programa lamnar reestruturado: - Re=100, -Re=400, Re=1000, Re=3200 e - 83 Re= Resultados do perfl de elocdades horzontas na lnha méda ertcal para áros números de Reynolds, para o escoamento na cadade bdmensonal apresentados por Reddy e Gartlng, Resultados concdentes do perfl de elocdades horzontas na lnha méda ertcal para o escoamento na cadade bdmensonal (Re=3200) empregando: - o programa lamnar reestruturado, - com modelo de Smagornsky e - com

12 modelo dnâmco Resultados concdentes do perfl de elocdades horzontas na lnha méda ertcal para o escoamento na cadade bdmensonal (Re=5000) empregando: - o programa lamnar reestruturado, - com modelo de Smagornsky e - com modelo dnâmco Esquema do domíno do problema: Cadade Trdmensonal Corte da malha de elementos fntos empregada no plano de smetra, cadade 3D, Re= Perfs de elocdades médas admensonalzadas nas lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra, - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989] e resultados do presente trabalho: --- 3dles,...3dlam e 3ddn Perfs de elocdades médas admensonalzadas nas lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra, e - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989]; e ---resultados numércos [Zang, Street e Koseff, 1993] Dstrbução de V1rms e V2rms sobre as lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra, - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989] e resultados do presente trabalho--- 3dles,...3dlam e 3ddn Dstrbução de Urms e Vrms sobre as lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra,, e - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989]; e --- resultados numércos [Zang, Street e Koseff, 1993] Dstrbução de UV sobre as lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra, - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989] e resultados do presente trabalho: --- 3dles,...3dlam e 3ddn Dstrbução de UV sobre as lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra,, e - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989]; e --- resultados numércos [Zang, Street e Koseff, 1993] Perfs de elocdades médas admensonalzadas nas lnhas médas da cadade bdmensonal (esquerda) e lnhas médas do plano central, para a cadade trdmensonal (dreta). por [Zang, Street e Koseff, 1994] Isolnhas de pressão no plano de smetra, Re=3200, resultados do presente trabalho (t=0.795s): (a) 3dlam, (b) 3dles e (c) 3ddn... 90

13 Regões de sso-elocdade, Re=3200, no plano de smetra, resultados do presente 92 trabalho (t=0.795s): (a) 3dlam, (b) 3dles e (c) 3ddn Isolnhas de ortcdade no plano de smetra, Re=3200, resultados do presente trabalho (t=0.795s): (a) 3dlam, (b) 3dles e (c) 3ddn Isolnhas de função de corrente no plano de smetra, Re=3200, t=0.795s: (a) 3dlam, (b) 3dles e (c) 3ddn Corte da malha de elementos fntos empregada no plano de smetra, cadade 3D, Re= Imagem da malha de elementos fntos empregada no plano de smetra, cadade 3D, Re= Perfs de elocdades médas admensonalzadas, Re=10000, nas lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra, - resultados epermentas [Prasad e 97 Koseff, 1989] e resultados do presente trabalho: --- 3dles e 3ddn Perfs de elocdades médas admensonalzadas, Re=10000, nas lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra, e - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989]; e ---resultados numércos [Zang, Street e Koseff, 1993] Dstrbução de V1rms e V2rms sobre as lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra, Re=10000: - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989] e resultados do presente trabalho--- 3dles e 3ddn Dstrbução de Urms e Vrms sobre as lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra, Re=10000: e - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989]; e ---resultados numércos [Zang, Street e Koseff, ] Dstrbução de UV sobre as lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra, - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989] e resultados do presente trabalho, Re=10000: --- 3dles e 3ddn Dstrbução de UV sobre as lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra, Re=10000, e - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989]; e ---resultados numércos [Zang, Street e Koseff, 1993] Isolnhas de pressão, Re=10000 (t=1.095s): (a) 3dles e (b) 3ddn Regões do etor de elocdades, Re=10000, no plano de smetra, (t=1.095s): (a) 100

14 3dles e (b) 3ddn Isolnhas de ortcdade no plano de smetra, Re=10000, (t=1.095s): (a) 3dles e (b) 3ddn Isolnhas de função de corrente no plano de smetra, Re=10000, (t=1.095s): (a) 3dles e (b) 3ddn Esquema do domíno e dmensões característcas do escoamento sobre o degrau Detalhe da malha de elementos fntos empregada para análse do escoamento 103 sobre o degrau a baos números de Reynolds corte em um plano perpendcular ao eo Detalhe da malha unforme com elementos na regão posteror ao degrau (step2b) Detalhe da malha com concentração de elementos prómo às paredes superor e nferor na regão posteror ao degrau (step2a) Detalhe do campo de pressões em malha com elementos muto dstorcdos Campos de pressão obtdos com o mesmo programa, malha unforme e dferentes nteralos de tempo de ntegração, para o mesmo nstante de tempo. Re= Vetores de elocdade obtdos com o mesmo programa, malha unforme e dferentes nteralos de tempo de ntegração, para o mesmo nstante de tempo. Re= Vsualzação do campo de pressões para resultados com 3dles e 3ddn, dferentes Re Isolnhas de função de corrente para resultados com 3dles e 3ddn, dferentes 111 Re Campo de ortcdade nstantâneo para resultados com 3dles e 3ddn, dferentes 112 Re Detalhe dos etores de elocdade, resultados com 3ddn, Re= Detalhe dos etores de elocdade, resultados com 3dles, Re= Detalhe dos etores de elocdade, para resultados com 3ddn, Re= Detalhe dos etores de elocdade, para resultados com 3dles, Re= Detalhe dos etores de elocdade, resultados com 3ddn, Re= Detalhe dos etores de elocdade, resultados com 3dles, Re=

15 4.58 Detalhe dos etores de elocdade, resultados obtdos com 3ddn, Re=1000, após a 114 regão de separação Detalhe dos etores de elocdade, resultados obtdos com 3dles, Re=1000, após a regão de separação Perfs da componente 1 dos etores de elocdades médas, ao longo da lnha sobre a parede nferor do degrau, Re=10000: t = ; t = Vsualzação do campo de pressões para resultados com 3ddn, Re = 10000, t=0.4s Isolnhas de função de corrente para resultados com 3ddn, Re = 10000, t=0.4s Eolução do campo de ortcdade, resultados com 3ddn, Re = Detalhes dos etores de elocdade para resultados com 3ddn Re= Detalhes do campo de ortcdade para resultados com 3ddn, Re= Esquema do domíno e dmensões característcas do escoamento sobre o degrau 3D Campo de pressões, Re=100, plano central (3=1), degrau 3D, empregando 118 3ddn Detalhe dos etores de elocdade, Re=100, degrau 3D, empregando 3ddn Detalhe: so-superfíces de ortcdade (w), Re=100, degrau 3D, empregando 3ddn w 3 = , -w 1 =410-4 e - w 1 = Campo de pressões, Re=1000, plano central ( 3 =1), degrau 3D, empregando 120 3ddn Detalhe dos etores de elocdade, plano central, Re=100, degrau 3D, empregando 121 3ddn Detalhe dos etores de elocdade, Re=1000, degrau 3D, empregando 3ddn.... Vortcdade, plano central, Re=100, degrau 3D, empregando 3ddn Detalhe da dstrbução da ortcdade, Re=1000, degrau 3D, empregando 3ddn Detalhe: so-superfíces de ortcdade (w), Re=1000, degrau 3D, empregando 122 3ddn - w 3 = , -w 1 =410-4 e - w 1 =

16 ÍNDICE DE TABELAS Tabela TÍTULO Págna 1.1 Comparação entre número de pontos necessáros para smulação dreta e número de pontos empregados [Petry, 1993] Comparação entre nteralos de tempo necessáros para smulação dreta e nteralos de tempo utlzados [Petry, 1993] Comprmento de recolamento X r /H em função do número de Reynolds, resultados com os programas 3dles e 3ddn Interalos de tempo de ntegração adotados comparados com alores estmados para smulação dreta, para solução dos escoamentos caracterzados por dferentes números de Reynolds

17 1. INTRODUÇÃO 1.1 Apresentação Neste trabalho apresenta-se um estudo sobre análse numérca de escoamentos turbulentos empregando o método de elementos fntos e a smulação de grandes escalas. Os escoamentos turbulentos são caracterzados usualmente por eleados números de Reynolds e têm um comportamento coerente nas grandes escalas e randômco nas menores escalas, sendo anda dfuso, trdmensonal e transente [Tenekes e Lumley, 1972]. As escalas enoldas nestes escoamentos são, normalmente, muto maores do que as escalas de comprmento do momento molecular [Hnze,1975], desta forma a turbulênca pode ser descrta como um fenômeno contínuo [Tenekes e Lumley, 1972]. Ao empregar, como modelo matemátco para análse de escoamentos, as equações de conseração de massa, energa e quantdade de momento da mecânca dos fludos, deradas da mecânca do contínuo, chega-se a um sstema compleo de equações dferencas parcas. Este sstema ncluí equações consttutas, condções de contorno e condções ncas, a serem resoldas em domínos de geometra aráel, aumentando a compledade do problema. A solução apromada destes sstemas compleos de equações pode ser obtda atraés de métodos numércos, sendo o Método de Elementos Fntos [Hughes, 1987; Reddy e Gartlng, 1994] um dos métodos que pode ser empregado. Apesar das equações de conseração de massa, energa e quantdade de momento consstrem um modelo matemátco completo, capaz de descreer os escoamentos turbulentos de fludos, a dscretzação espacal e temporal necessára para a smulação dreta de todas as escalas enoldas (Smulação Dreta da Turbulênca) nablza esta forma de análse para a grande maora dos problemas de nteresse em engenhara. Esta mpossbldade decorre do grande número de equações a serem processadas, que conduzem à necessdades de armazenamento de dados, bem como tempos de processamento nacetáes, mesmo nos mas aançados computadores da atualdade [Grötsbach, 1987; Km e Menon, 1999]. Como conseqüênca da nabldade da solução a smulação dreta, é necessáro o emprego de metodologas alternatas. A Smulação de Grandes Escalas é uma opção para a análse de escoamentos turbulentos, a qual consste em resoler as equações de conseração para as grandes escalas dos escoamentos e empregar modelos para representar os efetos das escalas nferores à resolução obtda pela dscretzação espacal do problema (escalas sub-malha) [Ferzger 1993, Rogallo e Mon 1984, Leseur et al, 1995]. 1

18 1.2 Motação e Hstórco A análse de escoamentos tem aplcações em dersos campos da engenhara, assm como em outras áreas do conhecmento, tas como medcna, meteorologa e esportes. Compreender e ser capaz de preer o comportamento do momento dos fludos, ou de corpos em momento mersos em fludos, é mportante para tópcos tão dersos como o proeto de uma aeronae [Reuther et al.,1999] ou a dstrbução de medcamentos no organsmo atraés das as respratóras [Lange et al., 2001]. Uma grande parte dos problemas de nteresse são caracterzados por escoamento turbulentos. Na engenhara cl o estudo da ação dos entos sobre as edfcações [Blessmann, 1990; Rocha e Souza, 2000] é um eemplo. Os modelos empregados em meteorologa, ou para preer o potencal de energa eólca de uma regão, assm como a aalação de dspersão de poluentes atmosfércos também enolem a análse de escoamentos turbulentos. No esporte, o escoamento do ar em torno de uma bola de golfe é um eemplo clássco de aplcação da dnâmca dos fludos, onde emprega-se a técnca de aumentar a rugosdade da superfíce da bola, precptando o descolamento da camada lmte turbulenta e reduzndo a força de arrasto, aumentando a dstânca que a bola percorre para a mesma tacada [Fo e McDonald, 1995]. O proeto aerodnâmco consste uma mportante aplcação da análse de escoamentos turbulentos [Mohammad,1997, Jansen,1999], tendo sdo em grande parte o tema motador deste trabalho. A otmzação de formas para obter, ou aprmorar, determnadas característcas aerodnâmcas é uma aplcação da dnâmca dos fludos que requer a determnação precsa do escoamento. Quanto mas corretamente forem defndos os campos de pressão e elocdades em torno de um obeto merso em um escoamento, mas otmzado poderá ser o proeto. O desenolmento de métodos de proeto aerodnâmco efcentes é de grande mportânca. As característcas aerodnâmcas de máqunas e equpamentos operando em contato com escoamentos têm nfluênca dreta na qualdade com que estes desempenham as funções para as quas foram proetados. Como eemplo destacam-se o proeto de perfs de alta sustentação e a redução do arrasto em eículos, com conseqüente redução no consumo de combustíes. Cosentno e Holst, 1986, afrmam que uma redução de 5% no arrasto de cruzero em um aão tpo DC-10, podem representar uma economa de US $ ,00, por aão-ano, em custo de combustíel. 2

19 O proeto de máqunas de fluo [Stow, 1989] é outra área de grande aplcação da otmzação de formas aerodnâmcas, pos a efcênca das máqunas depende essencalmente do proeto aerodnâmco. Um bom proeto conduz à economa da energa consumda para realzar o trabalho deseado em bombas, compressores e entladores, ou maor produção de energa a partr dos mesmos recursos em turbnas. No desenolmento das turbnas eólcas [Sadhu, 1990], tem sdo essencal o aprmoramento do proeto aerodnâmco. Um estudo específco sobre smulação numérca de escoamentos aplcada ao proeto de turbomáqunas fo desenoldo por Petry e Awruch, 1997a. Neste trabalho foram destacados tópcos de pesqusa mportantes para desenoler a dnâmca dos fludos computaconal, sando as necessdades da análse e proeto de turbomáqunas. Dentre estes, encontram-se temas que fazem parte dos obetos propostos nesta tese, tas como, o aprmoramento dos métodos de smulação de escoamentos turbulentos (modelos numércos para representar problemas com separação e recolamento) e o desenolmento de programas mas efcentes do ponto de sta de tempo de análse e recursos computaconas requerdos. Escoamentos de fludos têm sdo estudado há séculos. Whte, 1974, apresenta um pequeno resumo sobre o desenolmento da análse de fludos scosos, onde relata a estênca de regstros pré-hstórcos de nteresse no tema. Anda segundo Whte, uma abordagem centífca tee níco quase 300 anos antes de Crsto, quando Arqumedes desenoleu uma ersão prelmnar do cálculo dferencal para análse de escoamentos. No ano de 1500, Leonardo da Vnc deduzu a equação da conseração de massa para escoamentos undmensonas e scosos. Outros grandes nomes da cênca dedcaram-se a esse tema, tas como Newton, Euler e Laplace nos anos 1600 e 1700; Naer, Posson e Stokes nos anos 1800 e Prandtl, que formulou a teora de camada lmte em Durante um longo período a compledade das equações deduzdas e conseqüente dfculdade em obter soluções, resultaram em duas lnhas de nestgação quase paralelas. A teora da camada lmte fo um marco para apromar as correntes epermental e teórca em Mecânca dos Fludos. Nas últmas décadas, o desenolmento dos computadores permtu o surgmento e consoldação de uma noa lnha de estudo, a Dnâmca dos Fludos Computaconal, que emprega métodos numércos para a solução das equações que goernam os escoamentos. A análse numérca de escoamentos tee o seu desenolmento ncalmente baseado no método de Dferenças Fntas. Atualmente o emprego dos métodos de Volumes Fntos [Patankar, 1980] e Elementos Fntos tem se generalzado. Malska, 1995, apresenta uma nteressante resão sobre aspectos que learam a aplcação e os camnhos do desenolmento 3

20 dos dferentes métodos na análse de problemas de mecânca dos fludos e transferênca de calor, dscutndo dferenças e semelhanças entre os métodos. O método de elementos fntos tee o níco de seu desenolmento baseado na análse de problemas estruturas. Apenas mas recentemente passou a ser aplcado a problemas de dnâmca dos fludos e transferênca de calor. Este método apresenta característcas que o tornam adequado a problemas com geometras compleas, análse com malhas não estruturadas e adaptação de malhas. Permte também a formulação e solução elemento a elemento, um esquema aproprado para o processamento de casos com um número muto eleado de elementos, como os que serão abordados. Outras característcas do método, ressaltadas por Reddy e Gartlng, 1994, são a smplcdade e rgor em estabelecer condções de contorno e o níel de desenolmento do método e sstemas de pré e pós processamento resultantes de sua ampla utlzação na análse estrutural. Atualmente os métodos epermentas e teórcos (nclundo os métodos numércos) êm sendo empregados de forma ntegrada e complementar. Os estudos epermentas, além de apresentarem mportantes resultados sobre o comportamento do escoamento, são essencas para aldar os resultados dos métodos analítcos e numércos desenoldos. A smulação numérca de escoamentos tem sdo aprmorada. O aanço dos métodos de solução de equações, untamente com o desenolmento dos equpamentos computaconas, com crescente capacdade de armazenamento e elocdade de processamento, têm permtdo smulações com alto grau de realsmo. Além da análse para aplcações prátcas em engenhara, a qualdade dos resultados obtdos permte o emprego da Dnâmca dos Fludos Computaconal na nestgação das característcas de escoamentos, ou sea, a realzação de epermentos numércos [Leseur et al, 1995; Slera Neto et al, 1993]. Contrbuíram também para o maor realsmo e dssemnação da análse numérca, o desenolmento dos programas de sualzação e análse de resultados, bem como os algortmos de geração e adaptação de malhas. Dentre as antagens do emprego desta técnca, destaca-se a solução de problemas compleos, em termos de geometra e condções de contorno (que não possuem solução analítca) e a facldade de redefnção dos dados do problema, além do custo reduzdo, quando comparada à construção, ou reconstrução, de modelos epermentas. Apesar do grande desenolmento dos sstemas computaconas, dersos problemas de análse de escoamento anda não podem ser resoldos de forma completa atraés de métodos numércos. Um eemplo desta lmtação é o tema deste trabalho, a smulação de escoamentos 4

21 turbulentos, cua abordagem numérca para dersas aplcações, anda requer grande trabalho de pesqusa e desenolmento. 1.3 Obetos, Metodologa e Organzação do Trabalho Como obetos do trabalho destacam-se: (a) a mplementação de um sstema de análse numérca de escoamentos scosos, sotérmcos, ncompressíes, trdmensonas, transentes e turbulentos; (b) o estudo e aplcação da smulação de grandes escalas no âmbto do método de elementos fntos. No programa de smulação numérca de escoamentos desenoldo emprega-se o método de elementos fntos para resoler as equações de Naer-Stokes para escoamentos ncompressíes, adotando um modelo baseado na hpótese de quase-ncompressbldade [Kawahara e Hrano, 1983]. A solução é processada atraés de um esquema eplícto de Taylor- Galerkn [Donea, 1984; Azeedo, 1999], com ntegração reduzda [Engelman et al, 1982; Shultz, 1997]. O elemento mplementado é o elemento heaédrco de 8 nós, empregando fórmulas analítcas para ntegração das matrzes de elementos [Gresho, et al, 1984; Burbrdge, 1999]. O problema da turbulênca é abordado atraés da Smulação de Grandes Escalas (referda na lteratura nternaconal como Large Eddy Smulaton). Para representar os efetos das escalas sub-malha foram mplementados dos modelos: o modelo de Smagornsky, de 1963, [Leonard, 1974; Leseur et al, 1995] e um modelo dnâmco de scosdade turbulenta [Germano et al.,1991; Llly, 1992]. Esta abordagem permte a smulação de problemas transentes, preserando uma mportante característca da turbulênca. Neste trabalho adota-se o método de elementos fntos em rtude da adequação do método ao problema e de suas característcas postas, tas como as apresentadas acma. Consderou-se anda o a cultura do grupo de pesqusa que deu orgem ao trabalho, assm como da autora, e o enquadramento deste em proetos futuros. A análse de problemas transentes e trdmensonas, com o emprego de um método adequado a problemas de geometra complea, sa possbltar resultados com grande realsmo, mportantes para o desenolmento de estudos futuros ou em andamento, nas áreas de nteração fludo-estrutura e otmzação de formas aerodnâmcas. Este tpo de análse conduz a um problema computaconal de grande porte, por esta razão é necessáro o uso de técncas computaconas de alto desempenho, [Petry et al., 1994]. Os problemas foram processados no computador CRAY T-94 do Centro Naconal de 5

22 Supercomputação/UFRGS, com programação adequada a esta plataforma. A lnguagem de programação utlzada fo o FORTRAN. Outras técncas empregadas para reduzr o tempo de processamento foram o uso de ntegração reduzda e fórmulas analítcas das funções de nterpolação dos elementos. Os prómos parágrafos deste prmero capítulo apresentam uma resão bblográfca dos prncpas tópcos relaconados à tese. Estudos desenoldos durante o doutorado resultaram em publcações de crculação restrta contendo resões mas etensas sobre os temas: smulação de escoamentos turbulentos [Petry e Awruch, 1995], smulação de escoamentos ncompressíes empregando o método de elementos fntos [Awruch e Petry, 1997] e smulação numérca de escoamentos em turbomáqunas [Petry e Awruch 1997a]. Os capítulos seguntes à ntrodução apresentam a modelagem matemátca, a modelagem numérca, os resultados obtdos e fnalmente conclusões e consderações fnas sobre a contnudade do trabalho. No aneo 1 estão nformações sobre o códgo bdmensonal mplementado em estudos prelmnares ao desenolmento do códgo trdmensonal [Petry e Awruch, 1997b] Smulação Numérca de Escoamentos Incompressíes Empregando o Método de Elementos Fntos O método de elementos fntos é uma técnca computaconal de solução de equações dferencas e ntegras. Reddy e Gartlng, 1994, apresentam uma boa descrção do método de elementos fntos, defnndo-o como uma generalzação dos métodos araconas clásscos e de resíduos ponderados, onde o domíno completo é dddo em sub-domínos (elementos fntos), permtndo que as funções de apromação necessáras para a solução do problema araconal ou de resíduos ponderados seam obtdas de forma sstemátca. As equações de elementos fntos são deduzdas a partr das formulações araconas ou de resíduos ponderados do problema. O problema de smulação de escoamentos ncompressíes e sotérmcos consste na solução das equações de conseração de massa e de quantdade de momento. A formulação pode ser desenolda em termos de aráes prmáras, elocdade e pressão, ou em termos de função de corrente e ortcdade. Esta segunda formulação conduz a uma redução no número de aráes para o problema bdmensonal, não ocorrendo o mesmo no problema trdmensonal [Carey e Oden, 1984; Gunzburger, 1989]. A formulação em aráes prmáras apresenta mas facldade para a mposção de condções de contorno e uma compreensão físca mas dreta 6

23 [Reddy e Gartlng, 1994; Carey e Oden, 1984; Gunzburger, 1989]. Neste trabalho emprega-se a formulação em aráes prmáras. O problema de escoamentos ncompressíes apresenta algumas dfculdades no desenolmento da solução numérca, como surgmento de modos espúros de pressão, dfculdades de conergênca e a ausênca da aráel de pressão na equação de conseração de massa (dergente nulo do campo de elocdades), resultando no aparecmento de zeros na dagonal prncpal da matrz de massa. Estem dersos modelos matemátcos para a smulação de escoamentos ncompressíes empregando o método de elementos fntos, na resão publcada sobre o tema [Awruch e Petry, 1997] apresentam os métodos mas releantes, descrtos a segur. No enfoque msto de análse de escoamentos ncompressíes e scosos, as aráes de elocdade e pressão são mantdas na formulação. Esta pode ser obtda dretamente da aplcação do método de elementos fntos nas equações de resíduos ponderados para conseração de massa e de quantdade de momento, ou aplcando-se o método dos multplcadores de Lagrange para ncorporar a equação de conseração de massa como uma restrção às equações de Naer-Stokes. O método de função de penaldade consdera a equação de conseração de massa como uma restrção de ncompressbldade, satsfeta de forma apromada atraés da nclusão do termo de penaldade, resultando em um sstema onde a pressão é elmnada da formulação, restando como ncógntas as componentes de elocdade. A pressão pode ser calculada posterormente com base no campo de elocdade obtdo. A restrção de ncompressbldade nbe a conergênca dos algortmos teratos, como Gradentes Conugados ou Gauss-Sedel, para solução de problemas com enfoque msto ou de função de penaldade [Reddy e Gartlng, 1994]. Os métodos de análse de escoamentos ncompressíes empregando a equação de Posson sam superar esta dfculdade de conergênca. ablzando o uso deste tpo de algortmo adequado para a solução de problemas de grandes dmensões. O esquema empregando a equação de Posson para a pressão é também denomnado de correção de pressão ou de proeção de pressão. No conteto de olumes fntos, este esquema corresponde a algortmos como SIMPLE ou SIMPLER [Patankar, 1980]. O sstema de equações acoplado da formulação msta é alterado, substtundo-se a equação de conseração de massa pela equação de Posson da pressão, desacoplada. A equação de Posson é deduzda das equações de conseração de quantdade de momento. Para a solução do sstema nclundo a equação de 7

24 Posson para pressão podem ser empregados os esquemas sem-mplíctos de solução (mplíctos para pressão e eplíctos para elocdades). O últmo enfoque abordado é o método de pseudo-compressbldade, baseado nas déas apresentadas orgnalmente por Chorn em 1980, que resulta em um sstema de equações onde a equação de conseração de massa mantém um termo de derada da pressão no tempo. Esta apromação eta a ocorrênca de zeros na dagonal da matrz de massa da formulação de elementos fntos, a custa da nclusão de um parâmetro de pseudo-compressbldade. Uma equação de conseração de massa, semelhante ao método de pseudocompressbldade, pode ser obtda consderando uma elocdade do som fnta em um enfoque denomnado quase-ncompressíel por Kawahara e Hrano, Uma nterpretação físca para esta proposta consste em consderar que a condção de ncompressbldade é uma condção deal, ou sea, escoamentos reas sempre apresentam algum níel de compressbldade (resultando em uma elocdade de propagação do som real, não nfnta). Este enfoque fo empregado em Petry, 1993, apresentando bons resultados (fgura 1.1). O sstema de smulação de escoamentos proposto neste trabalho também está baseado nesta formulação. No enfoque msto, a utlzação de polnômos de gual ordem para elocdade e pressão orgna osclações espúras de pressão. Uma solução é o emprego de funções de nterpolação uma ordem nferor para a pressão em relação às funções das componentes da elocdade [Reddy e Gartlng, 1994, Carey e Oden, 1984 e Gunzburger, 1989], contudo esta solução nem sempre produz bons resultados [Huyakorn et al.,1978]. Uma garanta da qualdade dos resultados pode ser obtda empregando elementos que satsfaçam a condção de consstênca de Ladyzhenskaya-Brezz-Babushka [Carey e Oden, 1984], porém nem sempre a olação desta condção mplca em problemas nas smulações numércas. Estudos desenoldos sobre os modos espúros de pressão [San et al. 1981a, 1981b], concluíram que estes não dependem apenas da escolha das funções de nterpolação, sendo fatores mportantes as condções de contorno e a dstrbução de elementos. 8

25 Fgura Resultados do Escoamento em Torno de um Clndro Fo, Re=1500 [Petry, 1993]. Quando as equações de Naer-Stokes para escoamentos ncompressíels são resoldas pelo método da penaldade, é necessáro utlzar um esquema de ntegração reduzda seleta. Este esquema mplca em resoler numercamente em forma eata a ntegral que contém as tensões desadoras, dmnundo a ordem da ntegração numérca para o termo de penaldade, que contém os termos olumétrcos. Neste caso a ntegração reduzda equale a uma nterpolação de ordem nferor da pressão nos métodos mstos [San et al. 1981a; Engelman et al.1982]. Um outro aspecto que merece atenção é o tratamento de problemas com adecção domnante. Dersas alternatas são apresentadas, tas como os métodos establzados SUPG (Streamlne Upwnd/ Petro-Galerkn [Hughes e Tezduyar, 1984; Tezduyar e Park, 1986] e GLS (Galerkn/Least-Squares). O emprego de métodos establzados para escoamentos ncompressíes é abordado por Franca e Hughes, 1993 e Franca e Frey, No trabalho de Jansen, 1999, é apresentado o uso destes em smulação de grandes escalas. O esquema de Taylor-Galerkn [Donea, 1984] é outra possbldade de esquema de establzação. Uma nteressante comparação sobre estes métodos e os métodos empregados em olumes fntos pode ser encontrada em Codna, O processo de dscretzação espacal e temporal das equações para análse de escoamentos resulta em um sstema de equações algébrcas a serem resoldas. Em problemas transentes é necessáro ntegrar as equações no tempo para obter a solução. Os métodos dretos de solução, empregados com esquemas mplíctos, têm um papel mportante, em partcular nos casos em que a matrz dos coefcentes permanece constante e pode ser armazenada na memóra central. Em problemas de grandes dmensões estes esquemas apresentam nconenentes, por ser mpossíel armazenar na memóra prncpal as matrzes completas do sstema, smultaneamente. Estem formas de resoler esta dfculdade, mas usualmente os algortmos propostos para manpulação das matrzes tem um alto custo em termos de tempo de processamento e acesso à memóra secundára. Desta forma é reduzda a antagem obtda com o eleado passo de tempo de ntegração, possíel de empregar nestes esquemas ncondconalmente estáes. Uma solução 9

26 normalmente mas efcente é obtda com o emprego de esquemas teratos, como o Método de Gradentes Conugados [Reddy e Gartlng, 1994]. Outra forma de resoler o problema é atraés do emprego de esquemas eplíctos, que permtem manter apenas os dados de um elemento na memóra central, usando uma solução elemento por elemento. Neste caso a necessdade de memóra é mínma. Contudo a solução por métodos eplíctos mplca em um reduzdo passo de tempo de ntegração a ser empregado, como conseqüênca da condção de establdade. Esta restrção pode não ser muto releante para a análse de problemas com altos números de Reynolds, pos nestes estem restrções físcas ao passo de tempo de ntegração, tendo em sta que os fenômenos analsados enolem altas freqüêncas e para capturá-los é necessáro obter dados em nteralos de tempo reduzdos. Este fato é anda mas edente quando emprega-se uma metodologa de smulação de grandes escalas da turbulênca, como o proposto neste trabalho. Uma grande antagem do método eplícto é a smplcdade do algortmo, que lea a uma compensação para o reduzdo passo de tempo a ser empregado, em termos de tempo de processamento. Para melhorar a performance computaconal do esquema eplícto, sando aproetar as característcas de processamento etoral do super-computador CRAY do CESUP, propõem-se o emprego de um algortmo de solução onde blocos de elementos são mantdos na memóra smultaneamente [Petry et al., 1994]. Outra solução é o emprego de algortmos que permtam estabelecer o passo de tempo por sub-domínos, de acordo com as dmensões do elemento, resultando em passos de tempo superores para regões de menor densdade de malha Smulação Numérca de Escoamentos Turbulentos Conforme descrto anterormente, os escoamentos turbulentos caracterzam-se por um comportamento dfuso, dsspato, randômco, trdmensonal e transente [Hnze, 1975], [Tenekes e Lumley, 1972] e [Whte, 1974]. Segundo Rod, 1980, a turbulênca prealece usualmente a eleados números de Reynolds, tem um largo espectro de tamanhos de estruturas e um espectro correspondente de frequêncas de flutuações de elocdades e pressões. Os maores estruturas, assocadas às frequêncas de flutuações mas baas, são determnadas por condções de contorno do escoamento, e sua dmensão é da mesma ordem de grandeza do domíno do escoamento. Os órtces menores, assocados às fequêncas mas altas de flutuações, são determnados pelas forças scosas. A largura do espectro de frequêncas, ou sea, a relação entre as dmensões dos maores e menores órtces cresce com o número de Reynolds. 10

27 O momento turbulento de grande escala é o prncpal responsáel pelo transporte da quantdade de momento, calor e contamnantes, assm como pela defnção das correlações da turbulênca. Portanto é o momento de grandes escalas que dee ser smulado para determnar estas correlações, e as escalas de comprmento e elocdade ntroduzdas nos modelos clásscos de turbulênca são parâmetros que caracterzam este momento. As grandes estruturas nteragem com o escoamento prncpal, pos têm a mesma escala, etrando energa cnétca deste, as menores estruturas estão contdas nas estruturas maores. Dedo a esta característca do momento turbulento, a energa etraída do momento prncpal é transferda para as escalas medatamente nferores, destas para a próma escala, sucessamente, até que as forças scosas tornem-se atas e dsspem a energa. Este processo é chamado "cascata de energa". A taa com que a energa do escoamento prncpal é almentada para o momento turbulento é determnada pelo momento de grandes escalas, somente esta energa pode ser fornecda às escalas menores de órtces, e ser dsspada pela scosdade. A cascata de energa é muto bem descrta por L.F.Rchardson, atraés dos seguntes ersos: "Grandes órtces contém pequenos órtces, que se almentam da elocdade e pequenos órtces, órtces anda menores, assm até a scosdade." É mportante ressaltar que, apesar de o momento de grandes escalas determnar a quantdade de energa a ser dsspada, a dsspação é um fenômeno scoso e ocorre nas menores escalas. Portanto, a scosdade não determna a quantdade de energa a ser dsspada, apenas a escala dos órtces em que esta dsspação a ocorrer. Desta forma, quanto mas eleado o número de Reynolds, menores são os órtces de dsspação de energa com relação às grandes escala da turbulênca. Esta característca do fenômeno físco da turbulênca é determnante na lmtação do emprego da smulação dreta da turbulênca, como será descrto a segur. Dedo à nteração com o escoamento prncpal, o momento turbulento de grandes escalas é altamente nfluencado pelas condções de contorno do escoamento. O escoamento prncpal tem mutas ezes uma dreção preferencal, que é mposta ao momento turbulento de grande escala. Esta característca torna o fenômeno turbulento altamente ansotrópco, sendo a ntensdade das flutuações e as escalas de comprmento assocadas dependentes da dreção. No processo de cascata de energa, a sensbldade à dreção é reduzda. As grandes escalas de turbulênca se dstancam das pequenas escalas nos escoamentos em que o número de Reynolds é sufcentemente eleado e a sensbldade dreconal torna-se menos mportante nas pequenas escalas, tornando o momento turbulento de menor escala mas sotrópco. Este fenômeno, denomnado sotropa local, onde o momento das grandes escalas da turbulênca é ansotrópco e o 11

28 momento das pequenas escalas é sotrópco, é um conceto muto mportante na modelagem da turbulênca. O sstema de equações resultantes da modelagem matemátca baseada nas les de conseração de massa, energa e quantdade de momento do meo contínuo, possu solução eata apenas para um número reduzdo de escoamentos smples. Tornando-se necessáro o emprego de métodos numércos para a análse de problemas reas de nteresse em engenhara, enolendo escoamentos lamnares ou turbulentos. No caso de escoamentos turbulentos sabe-se que é possíel obter uma solução unersal e ndependente de parâmetros empírcos atraés da solução dreta das equações de Naer-Stokes para todas as escalas da turbulênca. Contudo, a smulação dreta da turbulênca ege o emprego de malhas muto refnadas no processamento numérco. Conforme á fo destacado na seção de apresentação do problema, para a maora dos escoamentos de nteresse em engenhara, a resolução requerda conduz a um número de pontos na malha, bem como o número de nteralos de tempo necessáros, mpossíes de processar nos melhores computadores da atualdade Smulação Numérca de Escoamentos Turbulentos a Equações Médas de Reynolds Para a análse de problemas prátcos de engenhara enolendo escoamentos turbulentos tem se empregado o modelo baseado nas equações médas de Reynolds. Neste enfoque as equações de conseração da massa, quantdade de momento e energa são aaladas consderando a méda sobre nteralos de tempo sufcentemente grandes para o estudo da turbulênca. Dedo a este processo de méda no tempo aparecem ncógntas de tensões turbulentas e fluos de calor nestas equações. Introduz-se modelos para representar os efetos totas da turbulênca no escoamento. A solução obtda consste em alores médos das aráes do escoamento, sendo adequada para escoamentos médos estaconáros, como a nestgação de escoamentos em canas. Os modelos representam os efetos da turbulênca tratando do transporte conecto e dfuso dos parâmetros da turbulênca, como energa turbulenta, ortcdade turbulenta, scosdade turbulenta e tensões de Reynolds, estes deem ser austados para cada tpo de escoamento atraés da determnação de parâmetros do modelo. Resões a respeto dos modelos de turbulênca podem ser encontradas nas referêncas [Launder e Spaldng, 1972], [Rod, 1980], [Markatos, 1986] e [Marn, 1990]. A aplcação dos modelos de turbulênca não é unersal, pos 12

29 estes somente podem ser aplcados aos casos para os quas tenham sdo calbrados, contudo o custo computaconal (tempo de processamento e armazenamento de dados) é muto reduzdo quando comparado ao custo enoldo na smulação dreta ou mesmo na smulação de grandes escalas. O processo de méda no tempo lea ao aparecmento de correlações estatístcas enolendo as flutuações de elocdades, pressão e temperatura, nas equações de conseração. Estas correlações, conhecdas como tensões de Reynolds, consttuem noas ncógntas, e não este uma forma dreta de obter os alores destas. Os termos desconhecdos representam o transporte da quantdade de momento méda, de calor e massa dedo ao momento turbulento. Equações eatas de transporte turbulento podem ser desenoldas, gerando como noas ncógntas correlações de mas alta ordem. Este processo ocorre de manera sucessa. Para o fechamento das equações é necessáro empregar um modelo de turbulênca. O sstema é fechado com a adção de nformações empírcas, sendo os métodos de cálculo baseados em apromações estatístcas sem-empírcos. Estas nformações empírcas são adconadas ao sstema por métodos ntegras ou por métodos de campo. Os métodos ntegras são adequados para escoamentos como o de camada lmte de pequena espessura. Estes ntroduzem formas de perfl empírcas para reduzr as equações dferencas parcas orgnas à equações ordnáras. Dados adconas são necessáros para descreer o efeto global da turbulênca, como as les de frcção ou dsspação de energa para a camada lmte de parede. Os métodos de campo empregam as equações dferencas orgnas e requerem a especfcação dos termos de transporte turbulentos em cada ponto do escoamento. Esta defnção é feta atraés de modelos matemátcos do processo de transporte turbulento chamado modelo de turbulênca. O níco das pesqusas sobre modelos de turbulênca se deu com Prandtl em 1925, amplando-se a partr de O prmero modelo de turbulênca, a hpótese do comprmento de mstura de Prandtl, relacona os termos de transporte turbulento com os alores locas das quantdades do escoamento médo. Mesmo este modelo smplfcado, durante muto tempo fo utlzado somente para análse de escoamentos smlares, para os quas as equações dferencas parcas de conseração de massa e quantdade de momento podem ser reduzdas à equações ordnáras. As equações dferencas parcas que goernam os escoamentos não podam ser resoldas naquela época. A partr dos anos 40, desencadeou-se o desenolmento de modelos mas compleos. Estes modelos mostraram o sentdo a ser segudo, ou sea, a lgação algébrca entre os termos de transporte turbulento e as quantdades do escoamento médo, e desenoleram equações dferencas 13

30 de transporte das quantdades turbulentas, como a energa cnétca do momento turbulento. Nos anos 60 os computadores se tornaram sufcentemente rápdos e as técncas numércas desenoldas para calcular as equações dferencas parcas para o escoamento médo, permtndo o emprego de modelos de turbulênca compleos. As equações para alores médos do escoamento são obtdas aplcando-se a hpótese de Reynolds às equações de Naer-Stokes. Esta descree os alores nstantâneos das aráes do momento turbulento como uma aração randômca em torno dos alores médos: = p = p p (1.1) φ = φ φ onde a barra sobre a ncógnta ndca o alor médo e a aspa ndca a flutuação nstantânea em torno da méda. Defne-se o operador de méda como: φ = 1 t t t 1 t 1 φdt (1.2) Sendo a méda das flutuações nula, ou sea: φ = 0 (1.3) As equações de Reynolds (equações de Naer-Stokes com méda de Reynolds) são obtdas a partr das equações de Naer-Stokes, substtundo os alores nstantâneos das aráes pelos alores médos mas suas flutuações. As equações assm obtdas são: Conseração da massa: 14

31 15 Conseração da quantdade de momento: onde: Conseração de quantdades escalares: A equação de estado (gás homogêneo): = 0 ] [ t ρ ρ ρ (1.4) f t - )S 3 2 ( S p - = t ll b ρ ρ ρ ρ δ µ µ µ ρ ρ ρ (1.5) = 0 ; = S ; = S l l l ll (1.6) ( ) S t - Dt Dp = t φ φ φ ρ φ ρ ρ φ ρ φ φ Γ φ ρ ρ φ ρ φ (1.7) T ) T T = R( R p ρ ρ ρ (1.8)

32 Os modelos de turbulênca são conuntos de equações adconados às equações (1)-(8), que essencalmente sam modelar as tensões de Reynolds a partr de quantdades conhecdas ou calculadas, soluconando o problema de fechamento. Os processos turbulentos são altamente dependentes do problema, a níel de grandes escalas dependem da geometra, enquanto as pequenas escalas dependem de efetos scosos, rotaconas e de flutuações. Somente as equações eatas formam um modelo matemátco capaz de descreer o escoamento em detalhes com precsão, em qualquer stuação. Os modelos de turbulênca descreem apromadamente o escoamento, e com um determnado conunto de constantes empírcas, são áldos somente para determnado escoamento, ou na melhor das hpóteses, para um conunto de escoamentos. O deal é que o modelo proposto possa descreer com boa apromação um grande número de escoamentos com um únco conunto de constantes. O modelo mas unersal pode não ser o mas adequado para determnado problema. Na prátca o custo computaconal e smplcdade de uso de um modelo são fatores mportantes, e os modelos mas unersas são geralmente os mas compleos e requerem mas tempo de processamento. A qualdade da smulação da turbulênca necessára para obter uma smulação precsa do escoamento médo, depende da mportânca dos termos do transporte turbulento nas equações do escoamento. Conclundo, o melhor modelo depende do problema a ser tratado. prncpas: Launder e Spaldng, 1972, classfcaram os modelos de turbulênca em três grupos Reynolds. - modelos algébrcos de scosdade turbulenta; - modelos dferencas de scosdade turbulenta - modelos empregando equações dferencas para modelar dretamente as tensões de Os dos prmeros baseam-se na hpótese de Boussnesq (1877) de scosdade turbulenta, descrta a segur. O tercero emprega equações de transporte das quantdades turbulentas dretamente. Eemplos de cada grupo de modelos são [Launder e Spaldng, 1972]: Modelos algébrcos para a scosdade turbulenta: 1.- Hpótese do comprmento de mstura de Prandtl; 2.- Hpótese de Smlardade de on Kármán 3.- Equações para scosdade turbulenta (Eddy-Vscosty) 16

33 Modelos dferencas para scosdade turbulenta: 1. Modelo de Prandtl 2. Nee e Koasznay 3. Kolmogoro Modelos de transporte de tensões: 1. Bradshaw 2. Hanalé (1970)/Rotta (1971) Rod, 1980, agrupa os modelos pelo número de equações dferencas empregadas. Assm os modelos algébrcos são classfcados como modelos de nenhuma equação, ou zero equações. Os modelos de uma equação empregam uma equação dferencal que dee ser resolda para obter os alores das quantdades turbulentas. Enquanto os modelos de duas equações, como o modelo k-ε, largamente empregado, enolem duas equações dferencas. Os modelos também são sub-dddos em modelos baseados na proposta de scosdade turbulenta de Boussnesq, modelando esta quantdade; e modelos que tratam dretamente as tensões turbulentas. Uma classfcação apresentada por Rod, 1980, com modelos característcos de cada grupo: Modelos de 0 equações: 1-Vscosdade e dfusdade turbulenta constante 2-Modelos de comprmento de mstura 3-Modelo de camadas czalhantes lres de Prandtl Modelos de uma equação: 1-Baseados na scosdade turbulenta 2-Modelo de Bradshaw Modelos de duas equações: 1-Equações de comprmento de mstura 2-Modelo k-ε 3-Vscosdade turbulenta não sotrópca 17

34 Modelos das tensões de Reynolds/ 6 equações de transporte. O conceto de scosdade turbulenta, proposto por Boussnesq em 1877, [Hnze, 1975], basea-se em uma analoga com as tensões scosas do escoamento lamnar. Este consdera que as tensões turbulentas são proporconas ao gradente de elocdades do escoamento prncpal, onde o coefcente de proporconaldade é chamado de scosdade turbulenta. Para uma stuação geral de escoamento, este conceto pode ser epresso por: 2 - ρ µ = t - ρk δ (1.9) 3 τ Ao contráro da scosdade molecular, a scosdade turbulenta é uma propredade do escoamento, não do fludo. Seu alor ara ponto a ponto no escoamento, de acordo com o estado local. Esta sugestão não consttu um modelo de turbulênca. Os modelos propostos rão determnar o alor da scosdade turbulenta em função de alores calculados do escoamento médo. O termo contendo o delta de Kronecker fo adconado a epressão orgnal da scosdade turbulenta (este termo não é encontrado na referênca [Launder e Spaldn, 1972]). O obeto é tornar a epressão aplcáel para escoamentos ncompressíes. O prmero termo da equação (1.9) conduz às tensões normas: 2 1 = -2ν t 1 1, 2 2 = -2ν t 2 2, 2 3 = -2ν t 3 3 (1.10) cua soma é zero, segundo a le de conseração de massa. Contudo as tensões normas são sempre postas, e sua soma equale ao dobro da energa cnétca do momento de flutuações: 1 = ( 1 2 ) k 3 (1.11) As tensões normas atuam como uma força de pressão, e por ser a energa cnétca uma quantdade escalar como a pressão, este segundo termo da equação (1.9) consttu uma pressão. Neste conteto, quando a equação (1.9) é empregada para substtur o termo na equação de quantdade de momento, esta segunda parte é ncluída no termo de gradente de pressão. 18

35 Em analoga com o transporte turbulento da quantdade de momento, assume-se que o transporte turbulento de massa e calor é proporconal ao gradente da quantdade transportada: φ - φ = Γ (1.12) onde Γ é a dfusdade turbulenta de calor ou massa. Da mesma forma que a scosdade turbulenta, esta é um propredade do escoamento. A dfusdade turbulenta relacona-se com a scosdade turbulenta atraés da epressão: νt Pr t = (1.13) Γ onde Pr t é o número de Prandtl turbulento ou número de Schmdt. Epermentalmente erfca-se que o número de Prandtl turbulento ara pouco ponto a ponto no escoamento, bem como de escoamento para escoamento. Por esta razão mutos modelos empregam este parâmetro como uma constante. O conceto de scosdade turbulenta basea-se em uma analoga entre o momento molecular e o momento turbulento. Pesqusadores como Bradshaw [Launder, 1972] ncalmente postulam que o prncípo desta analoga não é correto, pos os órtces turbulentos não consttuem corpos rígdos que retêm sua dentdade. Além dsto os grandes órtces são as estruturas responsáes pelo transporte da quantdade de momento e, consequentemente, o "camnho lre médo" não pode ser consderado de dmensões reduzdas se comparadas ao olume de controle. Tendo em sta estas consderações, fo proposto um noo enfoque para os modelos de turbulênca, o modelamento dreto das tensões turbulentas. Vsando consderar o desenolmento dferencado das tensões de Reynolds e obter alores própros para seu transporte, desenoleram-se modelos que empregam equações de transporte ndduas para cada termo do tensor de Reynolds, ' '. Equações de transporte são ntroduzdas para o transporte de massa e quantdades escalares, os modelos deste tpo são referencados como esquemas de fechamento de segunda ordem. As equações para o transporte de ' ' e ' φ ' podem ser deradas de forma eata, mas estes têm que ser modelados para obter um sstema fechado. A deração das equações eatas automatcamente ntroduz termos que consderam efetos de flutuações, rotaconas e outros. 19

36 Este enfoque tem atualmente larga aplcação em problemas prátcos de engenhara, pos permte soluções com recursos computaconas bastante reduzdos quando comparado à análse atraés da solução dreta ou da smulação de grandes escalas. Resultados mportantes têm sdo obtdos a partr da solução numérca das equações com médas de Reynolds para o escoamento turbulento [Hnze, 1975; Tenekes e Lumley, 1972; Rod, 1980]. Esta abordagem apresenta bons resultados para o estudo de escoamentos médos estaconáros, porém têm um alto grau de dependênca do problema em conseqüênca dos modelos serem austados para cada tpo de escoamento atraés da determnação de parâmetros empírcos. Para a análse de forças estaconáras médas agndo sobre corpos, como resultado da ação dos escoamentos, os modelos de turbulênca baseados nas equações médas de Reynolds- Naer-Stokes, como o k-ε, são adequados. Por outro lado, a ntensdade e freqüênca das forças transentes são dfíces de preer com estes modelos. Este método permte obter correlações de freqüênca do tpo número de Strouhal, mas correlações para a ntensdade de flutuações de pressão, por eemplo, são pratcamente náes em geometras compleas. Para abordar problemas altamente transentes e nos quas os alores médos do campo de pressões, temperaturas e elocdades não são sufcentes, é necessáro o desenolmento de noas metodologas Smulação Dreta da Turbulênca A eolução dos equpamentos e métodos computaconas em permtndo o desenolmento de sstemas de análse de escoamentos turbulentos mas realstas e ndependentes do auste de parâmetros. A Smulação Dreta, solução das equações de Naer-Stokes para todas as escalas da turbulênca, é uma realdade. Epermentos numércos desenoldos atraés da smulação dreta da turbulênca á consttuem uma fonte de nformações para a compreensão deste fenômeno. Atualmente, a smulação dreta tem sdo empregada para estudos de escoamentos com baos ou moderados números de Reynolds, para a nestgação acadêmca do escoamento turbulento, fornecendo dados para os métodos baseados em modelos e como forma de aldação dos demas sstemas de análse [Leseur et al., 1995; Kessler e Yang, 1996; Verstappen e Veldman, 1997]. Para proceder a smulação dreta é necessáro o emprego de uma dscretzação espacal e temporal que garantam a captura de todas as estruturas da turbulênca. Em outras palaras, é necessáro que o menor elemento, em uma malha de elementos fntos, tenha dmensões nferores aos órtces relatos à menor escala do processo turbulento. Além dsto, o nteralo de tempo de ntegração dee ser sufcentemente pequeno para garantr a captura das mas altas freqüêncas 20

37 enoldas. Garantdas estas característcas do modelo computaconal, emprega-se um método para a solução das equações de Naer-Stokes para efetuar a smulação dreta. Dos campos de escoamento resultantes, trdmensonas e transentes, pode-se deduzr quasquer dados de nteresse. Apesar da aparente smplcdade deste enfoque, o problema computaconal resultante é bastante compleo. Para garantr a dscretzação necessára, o número de graus de lberdade (número de nós da malha de elementos fntos multplcado pelo número de aráes por nó) e de nteralos de tempo a ser processado conduz a um total de operações eleado. O número de graus de lberdade do problema computaconal cresce com o aumento do número de Reynolds, pos nos escoamentos com eleados Reynolds este um dstancamento das maores e menores escalas releantes. Consderando o tempo de processamento por operação, chega-se a tempos totas de processamento que tornam náel esta abordagem em escoamentos de nteresse em engenhara, dante da capacdade computaconal estente. A relação entre as maores e menores escalas enoldas, determna o número de graus de lberdade necessáros para a modelagem numérca do escoamento, em cada uma das três dmensões enoldas na descrção. Uma característca da turbulênca é a mensa dferença entre estas escalas, prncpalmente a eleados número de Reynolds. Além dsto, mutos autores destacam como característca essencal do escoamento turbulento a trdmensonaldade, portanto não consderam smulação dreta da turbulênca análses baseadas em modelos bdmensonas. A segur apresenta-se uma análse [Grotzbach, 1987], sobre a dscretzação necessára para a smulação dreta da turbulênca. As maores escalas, L, são da ordem das dmensões geométrcas do escoamento em contornos fechados ou da dmensão dos grandes órtces. A menor escala releante, l, pode ser tomada como a espessura da subcamada scosa próma às paredes ou ao dâmetro dos órtces nos quas ocorre a maor parte da dsspação da energa. A segunte estmata é álda para calcular o número de graus de lberdade necessáros para modelar com smulação dreta da turbulênca escoamentos a eleados números de Reynolds: L N = = Re l n n = 3/4 turbulênca homogênea (1.14) 7/8 n 1 escoamento em canas 21

38 consderando que a análse da turbulênca dee ser feta com modelos trdmensonas, o número total de graus de lberdade fca da ordem de: 3 9/4 N = Re. (1.15) Por outro lado, para obter uma smulação representata do fenômeno em estudo, o tempo total a ser smulado dee ser da ordem de: L T =, (1.16) U enquanto o nteralo de tempo a ser empregado dee ser da ordem de: l t =, (1.17) U onde U é uma elocdade de referênca, Grotzbach,1987 utlza a elocdade máma no escoamento em canas. O número total de passos de tempo requerdo para a análse fca da ordem de Re n. Multplcando o número total de graus de lberdade pelo número de passos de tempo necessáros chega-se ao número total de operações a processar para obter uma smulação dreta de escoamentos turbulentos da ordem de: 4n 3 Re Re (1.18) Grotzbach, 1987, lustra esta análse atraés do segunte eemplo: Para um escoamento com número de Reynolds da ordem de 10 4, tem-se uma presão de operações. O tempo de processamento por nteralo de tempo por grau de lberdade, referdo por Grotzbach, é de 10-4 s. Por tanto, o tempo de processamento para um problema deste tpo sera de 10 8 segundos, ou sea, 3 anos. Para eemplfcar foram fetas algumas consderações a respeto de problemas processados em outros trabalhos, [Petry e Awruch, 1992; Petry, 1993]. Nestes trabalhos resolem-se dretamente as equações de conseração da massa e quantdade de momento, empregando o método de elementos fntos, com uma modelagem bdmensonal e transente. O escoamento em 22

39 torno de um clndro fo com números de Reynolds entre 100 e é smulado, bem como o escoamento em torno de um clndro osclante, com número de Reynolds em torno de A smulação desenolda não pode ser defnda como uma smulação dreta da turbulênca, tendo em sta o caráter trdmensonal da turbulênca não ser consderado e a baa resolução da malha para os escoamentos com número de Reynolds eleados. Os resultados obtdos foram comparados com resultados epermentas e de outras smulações numércas, estando de acordo com estes em sua maora. As obserações que seguem permtem erfcar a promdade da modelagem empregada com a smulação dreta da turbulênca, sando fornecer subsídos para compreender as grandezas enoldas neste tpo de processamento. Segundo a equação (14) podese calcular o número de graus de lberdade necessáros para modelar o escoamento para os dferentes números de Reynolds, sando a smulação dreta (N(sd)). Estes alores estão na tabela 1.1, untamente com o número de graus de lberdade utlzado (N(u)) no trabalho [Petry, 1993]. O tempo de processamento necessáro para uma smulação dreta (t(sd)) é de (L/U), para um nteralo de tempo (dt(sd)) de (l/u), leando a um número total de passos de tempo (ndt) apresentados na tabela 1.2, untamente com os alores utlzados no processamento: Re N(sd) N 2 (sd) N 3 (sd) N 2 (u) Tabela 1.1 Comparação entre número de pontos necessáros para smulação dreta e número de pontos empregados [Petry, 1993]. Re t(sd) t(u) ndt(sd) ndt(u) dt(sd) dt(u) X

40 Tabela 1.2 Comparação entre nteralos de tempo necessáros para smulação dreta e nteralos de tempo utlzados [Petry, 1993]. Quando foram efetuadas as smulações destes problemas, o tempo de processamento no super-computador CRAY-YMP2E estee entre 8 a 12 horas. Calculando o tempo de processamento por nteralo de tempo por grau de lberdade do modelo, conforme dados do relatóro de pesqusa [Petry, 1994], chega-se a um alor em torno de s, enquanto Grotzbach anunca um alor semelhante, em O que conduz a conclusão de que nestas condções, com um modelo bdmensonal, o tempo necessáro para este programa smular o eemplo com smulação dreta da turbulênca e Re = sera de 511 das ( horas). Para a smulação trdmensonal, consderando o mesmo tempo de processamento por grau de lberdade, por nteralo de tempo conclu-se que o tempo necessáro sera de das (em torno de anos). O programa mplementado em [Petry,1993] fo otmzado para a plataforma etoral do super-computador, sto que este haa sdo desenoldo para processamento em estações SUN. O processo de etorzação deste programa está descrto em [Petry, 1994]. Como resultado deste trabalho, o tempo de processamento para a solução dos referdos problemas reduzu-se de 8 a 12 horas orgnas para alores em torno de 30 mnutos. O tempo de processamento por grau de lberdade (nó da malha de elementos fntos), por nteralo de tempo de ntegração passou a s, contra orgnas s. Com base nestes alores, o tempo para smulação dreta da turbulênca no problema bdmensonal do escoamento em torno do clndro fo, Re= , sera da ordem de 65 das (1560 horas). Etrapolando estes resultados, para uma smulação trdmensonal, teramos das (1.377 anos), tempo total de processamento. Analsando o mesmo caso com o emprego do programa de análse trdmensonal mplementado no presente trabalho, processado no CRAY T94, com uma performance da ordem de s por grau de lberdade por nteralo de tempo de ntegração, chega-se a um tempo estmado de 542 anos para processar a smulação dreta do clndro trdmensonal. As consderações acma edencam a lmtação prátca do emprego da smulação dreta da turbulênca como ferramenta para análse de engenhara, na atualdade. É possíel empregar a smulação dreta para análse de escoamentos com baos números de Reynolds e obter nformações mportantes para a compreensão da turbulênca. Mutas propredades da turbulênca podem ser estudadas a partr de escoamentos a baos números de Reynolds. Esta consderação é erdadera prncpalmente quanto ao decamento da turbulênca. Constatou-se também que utlzando malhas mas grosseras é possíel smular propredades mportantes das grandes escalas de turbulênca. Estas permanecem nalteradas quando modelos smplfcados são ntroduzdos para representar os 24

41 efetos de escalas nferores à menor escala possíel de ser analsada pela representação computaconal. Esta constatação deu orgem à chamada smulação de grandes escalas Smulação de Grandes Escalas A smulação de grandes escalas, com modelos submalha, é uma alternata ntermedára à solução dreta de todas as escalas e aos modelos baseados na méda de Reynolds [Clark et al., 1979; Leseur et al., 1995]. Esta apromação permte desenoler a solução transente das equações do escoamento em malhas com refnamento nferor ao necessáro para a smulação dreta, ablzando a análse de escoamentos com número de Reynolds mas eleados. Consttu uma forma de análse numérca de escoamentos turbulentos na qual os grandes órtces são resoldos dretamente, enquanto os efetos das pequenas escalas são representados por modelos de fechamento aproprados. Em outras palaras, desenole-se a solução transente das equações de Naer- Stokes em malhas com refnamento nsufcente para capturar todas as escalas da turbulênca. O efeto das escalas de dmensões nferores à resolução da malha são smulados atraés dos modelos de turbulênca. Esta solução apresenta maor unersaldade do que os modelos baseados nas equações médas de Reynolds, pos enquanto as grandes escalas dependem profundamente das característcas ndduas do escoamento. Por outro lado, as pequenas escalas da turbulênca, a serem modeladas, obedecem les mas unersas. A smulação de grandes escalas é adequada para abordar escoamentos altamente transentes, quando este nteresse em aalar pcos de elocdades ou pressões. Esta é ndcada para análse de escoamentos compleos como camada de mstura, atos, escoamentos com separação e recolamento de camada lmte [Slera Neto et al, 1993; Ortega e Azeedo, 1995; Petry e Awruch, 1997b], escoamento nteragndo com corpos mersos [Jansen,1999; Lee, 1998] e com recrculação [Zang et al. 1993; Km e Menon, 1999]. No presente trabalho, o modelo proposto para a análse do escoamento emprega esta metodologa, ou sea, a smulação de grandes escalas com modelos sub-malha. Os fundamentos da smulação de grandes escalas podem ser encontrados nos trabalhos publcados por Ferzger, 1993, Rogallo e Mon, 1984 e Leseur et al, Importantes subsídos foram encontrados também no teto publcado por Grotzbach, 1987, enquanto Fndkaks e Street, 1982, e Jansen, 1999, apresentam aspectos relaconados com a smulação de grandes órtces empregando o método de elementos fntos. Outras referêncas mportantes estão ndcadas no teto. 25

42 Os modelos sub-malha buscam representar o processo físco de transferênca de energa entre as escalas resoldas e as pequenas escalas (sub-malha). Estes modelos tem propósto semelhante aos modelos empregados nos esquemas a equações médas de Reynolds, porém é sufcente o emprego de modelos smples, tendo em sta que: a) o modelo dee consderar apenas o efeto de pequenas escalas, não necessta ser áldo para todas as escalas; b) o modelo não depende da geometra, pos as pequenas escalas são de natureza muto mas unersal que a turbulênca total. As grandes escalas são defndas por Ferzger, 1993, tentando unformzar o emprego deste termo entre os autores. Nesta defnção o termo "grandes escalas" é um conceto local. As grandes escalas são aquelas que domnam a dnâmca local do escoamento. Esta categora compreende as estruturas turblhonares responsáes pela maor parte do transporte da quantdade de momento e da produção da turbulênca. Em determnados escoamentos estes podem ter pequenas dmensões. Segundo esta defnção, na smulação de grandes escalas, somente os órtces que tem pequena mportânca na determnação das propredades médas do escoamento são representados atraés de modelos. A eleados Re, estes consttuem a escala nercal de Kolmogoro [Leseur et al.,1995]. Mutos autores caracterzam o número de Reynolds em função das escalas da turbulênca. O número de Reynolds turbulento mas empregado é defndo com base na flutuação da elocdade (q) e a mcro-escala de Taylor(λ), como: qλ R λ =. (1.19) ν Este número de Reynolds é tpcamente duas ordens de magntude nferor ao número de Reynolds macroscópco, usualmente empregado em engenhara. É mportante ressaltar anda que a smulação de grandes escalas está relaconada, por defnção, a modelos trdmensonas, contudo, para aldação e desenolmento do método, têm sdo smulados escoamentos bdmensonas. Esta apromação é possíel para escoamentos nos quas as grandes escalas da turbulênca têm característcas essencalmente bdmensonas. A smulação de grande escalas basea-se no processo conhecdo da turbulênca denomnado cascata de energa (Kolmogoro, 1941, [Hnze,1975]). Para Reynolds sufcentemente 26

43 eleados, o escoamento turbulento é consttuído por uma superposção de órtces. Apenas os maores órtces são gerados dretamente da nstabldade do escoamento prncpal. Estes órtces são também nstáes e esta nstabldade gera órtces menores. Após dersas etapas deste processo de cascata de órtces, as escalas característcas, bem como o Reynolds local tornam-se tão pequenos, que as forças scosas domnam o escoamento e dsspam a energa cnétca dos órtces. A escala dsspata ndepende das escalas relaconadas à geometra do escoamento, sendo esta defnda pela scosdade do fludo e quantdade de energa fornecda pelas escalas maores, resultando na dsspação ε. De acordo com análse dmensonal (Kolmogoro, 1941) esta escala dsspata, (mcro-escala de Kolmogoro) é defnda como η=(ν 3 /ε) 1/4. A energa contda nestas escalas, em função do comprmento de onda k=η -1, é calculada atraés da epressão E(k)=αε 2/3 k -5/3. A constante de Kolmogoro, α, é conhecda epermentalmente, assumndo o alor 1,6±0,06. Uma mportante característca deste processo de cascata de energa é que, ndependente da estênca de dreções predomnantes no escoamento prncpal e no momento de grandes escalas, esta é perdda a níel de pequenas escalas, obtendo-se uma sotropa local. Baseados nestas característcas unersas da turbulênca, é possíel mplementar modelos de SGS muto smples. O únco dado empírco é a constante de Kolmogoro para o transporte da quantdade de momento. Para o transporte de quantdades escalares estem les smlares. Estas les unersas aplcam-se apenas para números de Reynolds muto eleados, por tanto a aldade dos modelos SGS baseados nestas les restrnge-se quando trata-se de Reynolds mas baos. Quando este a nterface com superfíces sóldas, as pequenas estruturas do escoamento prómo às paredes requerem uma densdade de malha ecessa, os custos computaconas podem nablzar o método como prátca em engenhara. Grotzbach, 1987, destaca esta restrção para análse do escoamento prómo à parede, onde o Reynolds local decresce, sendo necessáro adconar dados empírcos na regão próma à parede. A sub-regão nercal desaparece na regão lmte da sub-camada scosa e as escalas não são mas sotrópcas, ndependente de quão eleado sea o número de Reynolds global. Mcro-efetos como rugosdade e smlares tornam-se gualmente mportantes nesta parte do escoamento. Na regão de transção entre a sub-camada scosa e o escoamento central turbulento, este um modelo de unersaldade smlar ao modelo de Kolmogoro, o modelo de comprmento de mstura de Prandtl [Schlchtng, 1968]. Na sub-camada scosa e para paredes com rugosdade, dados empírcos tem que ser adconados [Grotzbach, 1987]. Outra forma de enfrentar este problema consste em utlzar resolução aráel da malha, densfcando o estudo sobre a znhança da parede; contudo, sto pode conduzr a problemas 27

44 numércos, tas como a restrções de establdade do esquema de ntegração, o tempo de ntegração dee assumr alores nferores ao mínmo calculado por /u ( - dmensão da malha, u- elocdade local). A smulação de escoamentos prómo à parede é uma das dfculdades apresentada por dersos autores, no que se refere ao emprego da smulação de escoamentos turbulentos. Ferzger, 1993, dscute a defnção de condções de contorno e destaca também o problema da densdade necessára para smular a regão próma a parede. Incalmente a smulação dreta e a smulação de grandes escalas foram aplcadas a problemas com turbulênca homogênea, nas três dmensões. Nestes casos os problemas relaconados a condções de contorno estão equaconados. Emprega-se condções de contorno peródcas, adequadas para estes casos e que operam bem com métodos espectras. Para superfíces de corpos mersos no escoamento emprega-se a condção de não deslzamento. Para escoamentos ao nfnto são aplcados métodos aproprados, dsponíes. Quando se pretende resoler a camada lmte próma à parede, empregando a condção de contorno de não deslzamento, a turbulênca prómo à parede contém estruturas muto pequenas, sendo necessáro empregar malhas muto refnadas para sua resolução. Conduzndo a custos computaconas ecessos. A resolução das estruturas mportantes no restante do escoamento, de maores dmensões, pode ser feta com malhas mas grosseras. Os resultados obtdos em problemas de análse de forças sobre corpos mersos, sem resoler completamente a regão da parede, são surpreendentes, tendo em sta o problema físco. Uma solução que tem sdo empregada para representar o efeto da parede no escoamento eteror a esta regão, com economa dos custos computaconas, é o uso da le da parede como condção de contorno. Esta proposta fo apresentada ncalmente por Murakam, et al, A condção de contorno do escoamento na entrada pode ser muto smples caso este sea lamnar, mas este caso é raro em problemas reas. Normalmente o escoamento entrante é turbulento, afetando profundamente o efeto sobre as estruturas em contato com o escoamento. Quando a turbulênca do escoamento de entrada não contém estruturas coerentes como um fator mportante, uma apromação empregada consste em nclur uma força flutuante na entrada, com escala e ntensdade apropradas [Lee, et al 1991]. Outra solução é o emprego de outro escoamento mas smples relaconado como condção ncal ou de entrada. A determnação de condções de contorno para o fluo de saída é mas smples, o essencal é colocar o fnal do domíno do escoamento sufcentemente dstante para não nfluencar artfcalmente a regão de nteresse. Para deduzr as equações para smulação de grandes escalas, os campos de elocdade e pressão das grandes escalas são defndos por uma operação de fltro, aplcada às equações de 28

45 Naer-Stokes. Desta operação resultam termos não resoldos pela malha, chamadas tensões de Reynolds sub-malha. (SGSRS - SubGrd Scale Reynolds Stress). Estes termos são processados a partr dos resultados dos campos de grandes escalas, empregando modelos de apromação. Esta dedução será apresentada com mas detalhes no capítulo de modelagem matemátca, tendo em sta que esta é a metodologa adotada no trabalho. A prmera etapa desta apromação é a decomposção das aráes de campo f em componentes correspondentes às grandes escalas f e às escalas nferores a resolução da malha (SGS) f ' [Fndkaks et al, 1982]. As equações para as grandes escalas são obtdas aplcando a operação de fltro sobre as equações de conseração. As equações de massa e quantdade de momento, por eemplo, podem ser escrtas como: = 0 (1.22) t 1 p ρ = ν 2 (1.23) Sendo: = As aráes são resoldas dretamente, enquanto as aráes ' deem ser modeladas. Tradconalmente empregam-se modelos de scosdade turbulenta, baseados na proposta de Boussnesq que relacona as componentes do tensor SGSRS ao tensor correspondente do campo de grandes escalas, conforme a equação (1.9). ν T é a scosdade turbulenta, defnda pelo modelo. O modelo de Smagorsky tem sdo utlzado largamente. Este apresenta bons resultados em escoamentos smples, para escoamentos mas compleos, prómo a superfíces sóldas, é necessáro fazer austes específcos para cada caso. Ferzger, 1993, apresenta dersos modelos, destacando o modelo dnâmco de scosdade turbulenta proposto por Germano et al, 1991 e modfcado por Llly, Outros modelos sub-malha têm sdo propostos; Leseur e Métas, 1992, propõem o modelo função estrutura de elocdades, Murakam, 1993, propõem um modelo Smagornsky 29

46 modfcado, além de mutos outros. Leseur et al., 1995, apresenta uma resão sobre modelos submalha. Os artgos publcado por Murakam, 1993, e Menon, et al., 1996, apresentam estudos detalhado de dersos modelos, comparando com resultados de smulação dreta e entre smulações de grandes escalas. Os modelos de pequenas escalas de Smagornsky, scosdade turbulenta dnâmco, energa cnétca turbulenta, energa cnétca turbulenta dnâmca, além de um modelo estocástco e de smlardade de escala, são apresentados e seus resultados comparados. Os modelos dnâmcos apresentam resultados que demonstram maor adaptabldade para grandes arações nos regmes encontrados em escoamentos compleos, sendo uma característca procurada nas análses propostas na contnudade deste trabalho. Em suas conclusões no artgo de 1980, Schuman, Grotzbach e Kleser, salentam as seguntes antagens da smulação dreta e smulação de grandes escalas, comparando com o uso de modelos estatístcos para turbulênca: a) a smulação dreta lea em conta efetos trdmensonas, essencas para a turbulênca; b) os modelos para escalas nferores a resolução da malha (SGS) são mas unersas; c) a smulação dreta é mas smples e compreensíel que as teoras estatístcas; d) a pressão, uma aráel mportante, é mas acessíel; f) a smulação dreta permte resoler efetos no escoamento de grandes escalas, muto dfícl de abordar atraés dos modelos estatístcos, por eemplo eplosões; g) estem alguns casos em que a resolução por smulação dreta não representa maor custo computaconal que a solução por modelo estatístco. Quando bem empregada, a smulação dreta produz resultados comparáes à qualdade dos dados epermentas. Quando comparada às técncas epermentas apresenta antagens e desantagens. Dentre as antagens está a defnção clara de todas as condções e a produção de uma massa de dados detalhados de todas as aráes de mportânca. Como desantagem destaca-se a restrção de sua aplcação, restrngndo-se a problemas com geometra smples e bao número de Reynolds, em rtude de seu custo computaconal mpratcáel em outros casos. Atualmente esta é empregada como uma ferramenta para estudar a turbulênca, demonstrando capacdade para responder mutas questões sobre o fenômeno físco da turbulênca e seu modelamento. Infelzmente anda não consttu uma ferramenta prátca em engenhara. A smulação de grandes escalas é adequada para abordar escoamentos altamente transentes, quando este nteresse em aalar pcos de elocdades ou pressões, sendo ndcada para 30

47 análse de escoamentos compleos como separação de camada lmte e escoamento nteragndo com corpos mersos. Coném destacar que o emprego de clásscos modelos de turbulênca anda é áldo e necessáro. Contudo, à medda que ocorrerem aanços nos recursos computaconas dsponíes, estes tornarão áel a smulação dreta da turbulênca e a smulação de grandes escalas. A smulação dreta não enole dados empírcos e permte uma defnção mas clara e próma da realdade dos modelos computaconas. A solução do escoamento turbulento baseado no escoamento médo, além das dfculdades em desenoler modelos e calbrá-los para dersos escoamentos, não conduz a soluções adequadas para análse de todos os casos. O fenômeno de turbulênca é de nteresse em dferentes áreas da engenhara e da cênca. Cada área possu dferentes concetos e necessdades a respeto do estudo da turbulênca. Em determnadas aplcações, são sufcentes alores médos, enquanto em outras é necessáro defnr ampltude de flutuações das aráes e freqüêncas destas flutuações. Quando se procura nformações sobre forças estaconáras médas agndo sobre corpos, como resultado da ação dos escoamentos, os modelos de turbulênca baseados nas equações médas de Reynolds- Naer-Stokes (RANS) como k-ε são adequados. Por outro lado, a ntensdade e freqüênca das forças transentes são dfíces de preer com estes modelos. É possíel obter correlações de freqüênca do tpo número de Strouhal, mas correlações para a ntensdade de flutuações de pressão, por eemplo são muto dfíces, ou mesmo náes em geometras compleas. Estas lmtações dos modelos, aladas ao alto custo de testes em túnes de ento, sugerem a necessdade de eolução da dnâmca de fludos computaconal. 1.6 Programação de Alto Desempenho Estudos mportantes em engenhara enolem problemas compleos, cua análse numérca conduz a um eleado custo computaconal. Em mutos casos, este tpo de análse torna-se mproduta, tendo em sta os tempos de processamento e o olume de dados enoldos. Com o desenolmento de plataformas computaconas de alto desempenho amplaram-se as possbldades de análse destes problemas, denomnados problemas computaconas de grande porte. A eolução dos equpamentos também tem ncentado o emprego de modelos mas detalhados e realstas. 31

48 O problema a ser abordado é compleo, e requer o emprego de malhas trdmensonas com grande número de nós e processamento de mutos passos de tempo, ou sea, alto custo computaconal, tanto em termos de memóra requerda como em tempo de processamento. Para soluconar os problemas relatos à memóra central requerda propõem-se o emprego de um esquema eplícto, pos neste esquema é necessáro dspor das matrzes de um únco elemento smultaneamente, apenas etores globas deem ser gerados. O programa desenoldo utlza a ntegração eplícta, mantendo os dados de um conunto de elementos referentes ao mámo número possíel na memóra, sando amplar as possbldades de etorzação. Este esquema lea a restrções quanto ao passo de tempo de ntegração, que fca lmtado para garantr a establdade. O crtéro para determnar o nteralo de tempo mámo está relaconado ao tamanho do elemento. Como resultado temos um pequeno passo de tempo, em prncípo agraando os problemas relatos a tempos de processamento. Contudo, a análse de escoamentos com alto número de Reynolds é obrgatoramente conduzda por um pequeno passo de tempo de ntegração dedo à elocdade dos fenômenos enoldos. A solução apresentada para reduzr o tempo de processamento consste no desenolmento de um sstema de análse baseado em uma plataforma computaconal de alta performance, o computador CRAY do centro Naconal de Supercomputação. O trabalho desenoldo até o momento empregou o computador CRAY-T94. Este equpamento tem memóra central de 2Gbytes e dos processadores de capacdade nomnal de 1.8 Gflops. A memóra central é compartlhada (shared memory) pelos processadores e o equpamento não possu memóra rtual. Uma palara equale a 64 bts, a capacdade de armazenamento em dsco é de 53 Gbytes. O sstema operaconal é o UNICOS (Un CRAY Operaton Sstem) e os compladores dsponíes são FORTRAN e C. Os programas desenoldos neste trabalho empregam o complador FORTRAN. Este equpamento tem como prncpal característca a alta performance, relaconada com o processamento etoral. Para efeto uso das potencaldades de processamento etoral e paralelo dos equpamentos, é essencal o desenolmento de programas otmzados e adequados às característcas da plataforma empregada. O termo "processamento paralelo" é empregado para referr-se ao multprocessamento, ou sea, eecução smultânea de um programa em dersos processadores. A programação para o multprocessamento ege um algortmo compleo, etremamente específco para a arqutetura do equpamento. Programar de forma otmzada para uma máquna de 4 processadores não é smlar à programação para um equpamento de 64 processadores. Esta característca é referda como a não estênca de fator de escala ("scalablty") [Less, 1990]. Além dsto, os compladores têm poucos 32

49 recursos quando se trata de paralelzação automátca. A redução do tempo de processamento com a paralelzação é determnado por um fator de ganho nferor a um, multplcado pelo número de processadores dsponíes. A paralelzação é aplcada a problemas onde o processamento etoral otmzado ao mámo não ablza a solução ou em máqunas de eleada granulardade (grande número de processadores). A programação otmzada para a etorzação é normalmente o ponto de partda para o desenolmento de algortmos de alta performance, pos, mesmo o processo de paralelzação, tem como premssa a programação otmzada para cada processador etoral. Consderando estes fatores, alados às característcas dos computadores CRAY-YMP e CRAY-T94 de baa granulardade (2 processadores) e eleada capacdade de processamento etoral, fo desenoldo um estudo sobre as técncas de etorzação [Petry et al., 1994]. Os programas foram desenoldos em FORTRAN e os eemplos foram processados no Centro Naconal de Supercomputação, em computadores CRAY-YMP2E e T94. 33

50 2. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA 2.1 Equações que Goernam o Escoamento As equações de conseração de massa, energa e quantdade de momento consstem o sstema que descree o escoamento de um fludo. Para análse de um escoamento trdmensonal, transente, sotérmco, as equações que goernam o problema são: Equações de Conseração de Quantdade de Momento Dρ Dt Equação de Conseração de Massa Dρ ρ Dt Com as condções de contorno: = ˆ ( σ pδ ) = 0 ( σ p δ ) n = t = f (,, k = 1,2,3) emω (2.1) (,, k = 1,2,3) emω (2.2) em Γ (2.3) em Γ (2.4) e condções ncas = ˆ p = pˆ 0 0 em t = 0, Ω (2.5) em t = 0, Ω (2.6) Para um fludo newtonano, é álda a segunte equação consttuta: σ = µ λ k k δ (2.7) Sendo D ( ) - derada total Dt ρ - massa específca do fludo - componente da elocdade na dreção - coordenada na dreção p - pressão 35

51 36 f - componente das forças de campo na dreção ˆ - alores prescrtos da componente da elocdade no contorno ndcado δ - delta de Kroenecker n - cosseno dretor do etor normal ao contorno t - alores prescrtos das forças de superfíce no contorno µ - coefcente de scosdade dnâmca do fludo λ - coefcente de scosdade olumétrca do fludo Reescreendo as equações (2.1) e (2.2), substtundo a equação consttuta (2.7) e epandndo a derada total, estas passam a ser: Equações de Conseração de Quantdade de Momento ( ) ( ) 0 f p t k k = δ λ µ δ ρ ρ = emω 1,2,3) k,, ( (2.8) Equação de Conseração de Massa ( ) 0 t = ρ ρ = emω 1,2,3) k,, ( (2.9) Adconadas à estas equações condções de contorno, (2.3) e (2.4), e condções ncas (2.5) e (2.6). Sendo que a condção de contorno (2.4) pode ser reescrta, consderando a equação (2.7): k k t n p = δ λ µ t em Γ (2.10) Consderando a equação (2.9), pode-se reescreer a equação (2.8) como: ( ) ( ) 0 f p t k k = δ λ µ δ ρ ρ = emω 1,2,3) k,, ( (2.11) Os escoamentos a serem analsados neste trabalho são escoamentos ncompressíes. Um escoamento totalmente ncompressíel é um escoamento deal, onde assume-se um alor constante para a massa específca. Esta hpótese é álda para abordar escoamentos

52 caracterzados por baos números de Mach (elocdades do escoamento muto nferores à elocdade de propagação do som no fludo). Consderando massa específca constante, as equações 2.9 e 2.11, para o escoamento ncompressíel podem ser escrtas como: = 0 (,, k = 1,2,3) emω (2.12) ρ t ρ p k ( ) δ µ λ δ f = 0 k (,, k = 1,2,3) emω (2.13) As equações acma são usualmente empregadas para a análse de escoamentos ncompressíes. Contudo, conforme fo dscutdo na resão bblográfca (1.4), para a análse numérca de escoamentos ncompressíes é necessáro adotar algum esquema para superar complcações dedas à ncompressbldade. Neste trabalho consdera-se um fludo quase-ncompressíel [Kawahara e Hrano, 1983], semelhante ao método de pseudo-compressbldade [Chorn, 1980]. Esta abordagem consste em assumr que as arações da massa específca são desprezíes, mas admte-se um alor fnto para a elocdade de propagação do som. Da hpótese da ncompressbldade total dera-se que a elocdade de propagação do som no escoamento é nfnta; esta é uma condção deal, pos nos escoamentos reas a propagação do som sempre ocorre com uma elocdade fnta. Por esta razão, o esquema é também referdo como ncompressbldade real. Esta consderação permte deduzr uma equação de conseração de massa que contém a derada da pressão no tempo, etando o aparecmento de zeros na dagonal prncpal da matrz de massa da formulação de elementos fntos. Para deduzr a equação de conseração de massa de um escoamento quasencompressíel consdera-se a equação (2.9), e sendo [Schlchtng, 1979]: p = p( ρ) (2.14) logo: p t p ρ = ρ t (2.15) 37

53 Sendo a elocdade do som defnda por: p = C ρ 2 (2.16) Logo: ρ p 1 = (2.17) 2 t t C Substtundo (2.17) em (2.9) e multplcando por C 2, obtém-se a forma fnal da equação de conseração de massa para escoamentos quase-ncompressíes: p C t 2 ( ρ ) = 0 ( = 123,, ) emω (2.18) Consderando a massa específca constante, multplcando e ddndo a equação (2.11) pela massa específca, a equação de conseração da quantdade de momento pode ser reescrta como: t p λ ρ ( ρ ) ( ρ ) δ ν ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) δ f 0 k = k (,, k = 1,2,3) emω (2.19) Onde ν=µ/ρ, é a scosdade cnemátca do fludo. A condções de contorno ( 2.10) também pode ser reapresentada como: λ µ p = δ ρ k ρ ( ρ k ) ( ρ ) ( ρ ) n t em Γ t (2.20) As equações (2.18) a (2.19), untamente com as condções de contorno (2.3) e (2.20) e condções ncas (2.5) e (2.6), descreem o escoamento de fludos scosos, transentes, trdmensonas, quase-ncompressíes e sotérmcos. Estas poderam ser empregadas para a análse de escoamentos turbulentos a smulação dreta. Contudo, como fo dscutdo anterormente, a dscretzação espacal e temporal necessáras para análse de problemas prátcos de engenhara por smulação dreta anda é superor à dscretzação possíel nos computadores atuas. Conforme fo apresentado no Capítulo 1, as alternatas à smulação dreta 38

54 para análse do escoamento turbulento são o emprego das equações médas de Reynolds ou a smulação de grandes escalas. Neste trabalho emprega-se a smulação de grandes escalas, tendo sdo mplementados dos modelos para representar os efetos das escalas nferores à resolução da malha, o modelo de Smagornsky e um modelo dnâmco de scosdade turbulenta [Germano et al., 1991; Llly, 1992]. As equações empregadas são apresentadas nos prómos parágrafos Equações Para Smulação de Grandes Escalas de Escoamentos Turbulentos As equações que goernam as grandes escalas de escoamentos turbulentos sotérmco são obtdas aplcando-se um operador fltro espacal às equações de conseração de massa (2.18) e quantdade de momento (2.19) apresentadas no tem 2.1. Desta operação resultam termos não resoldos pela malha, chamadas tensões de Reynolds de sub-malha (Sub Grd Scale Reynolds Stress). Estes termos são processados a partr dos resultados dos campos de grandes escalas, empregando modelos de apromação. A prmera etapa [Fndkaks e Street, 1982] desta apromação é a decomposção das aráes de campo em componentes correspondentes às grandes escalas (dentfcadas pela sobrebarra) e às escalas sub-malha (dentfcadas pelo apóstrofe): = (2.21) p = p p (2.22) ρ = ρ ρ (2.23) Ao assumr a hpótese de que a massa específca é constante, tem-se ρ = 0 e portanto: ρ = ρ (2.24) É mportante ressaltar que as equações (2.21),(2.23) e (2.24) não estão relaconadas com a hpótese de Reynolds dscutda na secção 1.5.1, apesar da semelhança da epressão matemátca. Leonard, 1974, defne a componente f como a conolução entre a aráel u e uma função de fltro G(): 39

55 f () = G( - ) f( )d (2.25) Sendo G uma função fltro, por eemplo a função fltro "bo", defnda como: n 1 para - ' < =1 2 G( - ) = 0 para - ' > 2 (2.26) onde é a dmensão do fltro na dreção, e n corresponde ao número de dmensões. Quando um fltro unforme é empregado, as operações matemátcas de fltro e deradas parcas são comutatas. Outras propredades da operação de fltro espacal são: ( ) obtém-se: gf gf (2.27) g f gf (2.28) gf 0 (2.29) Procedendo a fltragem das equações (2.18) e (2.19) e consderando (2.21), (2.22) e p C t 2 ( ρ ) = 0 (2.30) t ( ρ ) ( ρ ) p δ ν ( ρ ) { ρ( L C )} f = 0 λ ( ρ ) ρ k ( ρ k ) δ ( = 123,, ) emω (2.31) Sendo: -componente, correspondente às grandes escalas, do etor de elocdade na dreção p - pressão, componente correspondente às grandes escalas -componente, correspondente às escalas sub-malha, do etor de elocdade na dreção L =, termos de Leonard 40

56 C = ' ', termos cruzados ' ', tensor de Reynolds de sub-malha Obsere-se que os termos não lneares, após a aplcação da operação de fltro, podem ser escrtos como: = ' ' ' ' (2.32) Dedo aos alores das aráes fltradas não serem alores constantes no espaço, o fltro do produto de duas aráes fltradas não é gual ao produto das aráes fltradas:. Esta obseração fo feta ncalmente por Leonard, 1974, que propôs termos adconas para uma melhor apromação. Clark, et al., 1979, propõem uma apromação para os termos enolendo médas de produtos das aráes de grandes escalas e de escalas nferores. Partndo de uma epansão em sére de Taylor da aráel fltrada, em torno do centro do olume do fltro ( 0 ), obtém-se: 2 2 k u() u(0) = u(0) O( 1, 2, 3 ) 4γ k k 0 (2.33) Para u =, a epressão (2.14) lea a epressão de Leonard (1974). Para u = ', a epressão (2.14) conduz a apromação de Clark et al., Conseqüentemente, os alores fltrados dos termos não lneares podem então ser apromados por: L C ' ' (2.34) sendo C 2 k = L (2.35) 2γ k k Esta apromação também é álda quando aplcada a função fltro "bo", neste caso γ=6. Os termos L e C podem ser desprezados [Fndkaks e Street, 1982], estudos anterores [Petry e Awruch, 1997b] mostraram que a consderação destes termos alterou de forma desprezíel os resultados e aumentou sgnfcatamente o tempo de processamento (da ordem de 20% de acréscmo). A equação (2.31) fca: 41

57 t p λ ( ρ ) ( ρ ) δ ν ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) f 0 k = δ k ρ (,, k = 1,2,3) emω (2.36) resultando: O mesmo processo descrto acma é aplcado à equação de condção de contorno (2.20), ( ρ k ) ν ( ρ ) ( ρ ) n t λ p = δ ρ k em Γ (2.37) As equações (2.30) e (2.36), untamente com as condções de contorno (2.3) e (2.37) e condções ncas (2.5) e (2.6) goernam o escoamento turbulento, sotérmco e quasencompressíel, de um fludo newtonano. Os termos ' ' são resultado do momento das escalas nferores à resolução da malha, e deem ser modelados. 2.3 Modelos de Turbulênca Sub-Malha Os modelos sub-malha sam representar a transferênca de energa entre as escalas resoldas e as escalas sub-malha. Estes modelos têm o mesmo propósto dos modelos conenconas de turbulênca, porém é sufcente o emprego de modelos smples, tendo em sta que: a) no modelo dee consderar-se apenas o efeto de pequenas escalas, ou sea, não necessta ser áldo para todas as escalas; b) o modelo não depende da geometra, pos as pequenas escalas são de natureza muto mas unersal que a turbulênca total. Os dos modelos mplementados são baseados no conceto de scosdade turbulenta, baseados na hpótese de Bousnesq, sendo o tensor de Reynolds sub-malha, para escoamentos ncompressíes, usualmente modelado por: 2 3 ' ' = 2ν t S k SMδ (2.38) 42

58 43 sendo que S depende das escalas resoldas eplctamente e é defndo como: = 2 1 S (2.39) logo: SM t k 3 2 = ' ' δ ν (2.40) k SM é a energa cnétca turbulenta sub-malha, ' ' 2 1 k SM = e ν t é a scosdade turbulenta, calculada de acordo com o modelo, conforme será descrto a segur. Contudo esta epressão fo obtda da epressão orgnal de Boussnesq, que defna: ν = ' ' t. (2.41) O termo contendo a energa cnétca sub-malha fo ntroduzdo para compatblzar o modelo com a equação de conseração de massa dos escoamentos ncompressíes [Hnze, 1975], pos, empregando a equação (2.41), obtém-se a segunte epressão: = 2 ' ' t ν (2.42) Nessa equação o termo do lado dreto é nulo para um escoamento ncompressíel (equação (2.12)), enquanto o lado esquerdo somente será nulo caso não estam escalas sub-malha, pos representa o dobro da energa cnétca sub-malha (k SM ). Para compatblzar o modelo com a condção de ncompressbldade fo ncluída na epressão 2.41 o termo que nclu k SM, resultando na equação (2.38). Porém neste trabalho não é utlzada a equação (2.12) para a contnudade, mas a (2.18) que representa a conseração de massa para escoamentos quase-ncompressíes. Neste caso a epressão do lado dreto de (2.42) não se anula e não este ncompatbldade da equação (2.42) com a contnudade. Para as equações que descreem o escoamento quase-ncompressíel, o modelo de scosdade turbulenta adequado é a epressão orgnal de Boussnesq (2.41).

59 2.3.1 Modelo de Smagornsky O modelo de Smagornsky, de 1963, [Fndkaks e Street, 1983; Leseur et al, 1995] tem sdo tradconalmente empregado para representar os efetos das escalas sub-malha, em smulação de grandes escalas. É um modelo de scosdade turbulenta onde as tensões de Reynolds sub-malha são modeladas pela equação (2.41), sendo ν t a scosdade turbulenta para as escalas sub-malha, defnda como: 2 2 ν t = CS S (2.43) Sendo que, é uma escala assocada com o fltro utlzado para defnr o campo de grandes escalas, neste trabalho calculada por: 3 = 3 Π (2.44) = 1 S = 2S S (2.45) e C S é a constante de Smagornsky, assumndo alores entre 0.1 e Porém como o modelo de Smagornsky apresenta lmtações, especalmente para escoamentos em transção, estudou-se o emprego de outro modelo sub-malha. Os modelos dnâmcos são referdos por dersos autores por demonstrar maor adaptabldade para grandes arações nos regmes encontrados em escoamentos compleos, sendo uma característca procurada na análse proposta neste trabalho Modelo Dnâmco de Vscosdade Turbulenta 44

60 O modelo dnâmco de scosdade turbulenta proposto por Germano et al., 1991, e modfcado por Llly, 1992, fo mplementado. O tensor de Reynolds de sub-malha também é apromado pela equação (2.41), contudo a scosdade turbulenta é defnda como: 2 νt = C(, t) S (2.46) O coefcente dnâmco é calculado em função das característcas locas do escoamento, empregando-se um processo de dupla fltragem. O cálculo de C(,t) está baseado em nformações das menores escalas resoldas, sendo defndo como: 1 L M C(, t) = (2.47) 2 M M Sendo os tensores L e M defndos como: L 2 2 = e M S S S S = (2.48) 1 = 2 S = 2 S S S (2.49) - comprmento característco do segundo fltro, sendo >. Nas equações acma, a barra ndca a prmero processo de fltragem (fltro à níel de malha) e o símbolo refere-se ao segundo processo de fltragem (fltro teste). O processo de segunda fltragem será dscutdo no prómo capítulo (Modelagem Numérca e Aspectos Computaconas) 2.4 Equações que Goernam o Escoamento Turbulento Empregando Modelo Sub-Malha de Smagornsky e Modelo Dnâmco de Vscosdade Turbulenta 45

61 As equações que goernam o problema são escrtas em sua forma fnal nesta seção. A equação de conseração de massa, apenas repetndo a (2.30), escree-se como: p C t 2 ( ρ ) = 0 ( = 123,, ) emω (2.50) A equação de conseração de quantdade de momento, (2.36) substtundo as tensões de Reynolds sub-malha pela epressão (2.41), pode ser epressa como: t p λ ( ρ ) ( ρ ) δ ( ν ν ) ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) f 0 t k = k ρ δ (,, k = 1,2,3) emω (2.51) Com as condções de contorno (2.3) e (2.37), esta últma consderando também a equação (2.41), pode ser epressa como: λ p = δ ρ k ( ρ k ) ( ν ν t ) ( ρ ) ( ρ ) n t em Γ t (2.52) e as condções ncas estão defndas pelas equações (2.5) e (2.6). Por ter empregado a equação (2.41), adequada à formulação de escoamentos quasencompressíes, em lugar da epressão usual para escoamento ncompressíes, equação (2.40), a pressão nestas equações não é a pressão modfcada. Apenas quando a (2.40) é empregada o termo da pressão na equação de conseração da quantdade de momento é modfcado e passa a nclur a energa cnétca sub-malha, conforme a dscussão apresentada na seção ao comentar a equação (1.9). O fechamento deste sstema de equações é feto atraés dos modelos de Smagornsky, conforme a equação (2.43), ou do Modelo Dnâmco, descrto pelas equações (2.46) a (2.49). O prómo capítulo apresenta as equações acma dscretzadas no tempo e no espaço, atraés de um esquema de Taylor-Galerkn, descree anda alguns aspectos releantes do processo 46

62 computaconal, assm como a metodologa proposta e empregada para o processo de segunda fltragem do modelo dnâmco sub-malha. 47

63 3. MODELAGEM NUMÉRICA E ASPECTOS COMPUTACIONAIS Para a solução do sstema de equações apresentado no Capítulo 2 emprega-se o método de elementos fntos. Para obter o sstema de equações algébrcas a ser resoldo, procede-se a dscretzação das deradas temporas atraés da epansão destas em sére de Taylor, nclundo os termos de segunda ordem. Para a dscretzação espacal aplca-se o método de Galerkn clássco [Reddy e Gartlng, 1994]. Vsando reduzr o tempo de processamento adota-se a ntegração reduzda das matrzes de elementos, utlzando epressões analítcas das funções de nterpolação do elemento heaédrco trlnear [Burbrdge, 1999; Gresho et al., 1984]. Este esquema é conhecdo como Taylor-Galerkn, [Donea, 1984], e fo utlzado por Azeedo, 1999, para a smulação de escoamentos lamnares trdmensonas com nteração fludo-estrutura. 3.1 Formulação de Elementos Fntos do Problema O método de elementos fntos é uma técnca de solução numérca de sstemas de equações dferencas e ntegras, é uma generalzação dos métodos araconas e de resíduos ponderados clásscos [Oden e Reddy, 1983]. Os métodos clásscos apromam a solução de um sstema de equações, em todo o domíno do problema, atraés de uma combnação lnear de funções de apromação φ multplcadas por parâmetros c. Os parâmetros passam a ser as ncógntas do problema apromado e são calculados de forma que a equação sea satsfeta, ao menos de forma méda ntegral. As funções de apromação deem satsfazer as condções de contorno do problema para todo o domíno. A construção destas funções é uma grande restrção para os métodos clásscos. No método de elementos fntos o domíno do problema é apromado por um conunto de sub-domínos de geometra smples, elementos fntos, para os quas é possíel defnr de forma sstemátca as funções de apromação necessáras para a solução do problema por um método araconal ou de resíduos ponderados. Atraés de condções de contnudade das aráes prmáras e balanço das aráes secundáras nas nterfaces dos elementos é possíel estabelecer equações para todo o domíno, este processo é chamado de montagem do sstema global de equações, ablzando a solução de problemas com compleas condções de contorno e domínos. 48

64 A solução é apromada no domíno do elemento por combnações lneares das funções de elemento e os parâmetros são os alores nodas das aráes do problema. Os passos prncpas da análse por elementos fntos de um problema são resumdos por Reddy e Gartlng, 1994, como: 1- Pré-Processamento: Dscretzação do domíno em um conunto de elementos fntos, geração da malha de elementos fntos (defnr as coordenadas dos nós que compõem a malha e as conetdades que defnem os elementos, não pode haer sobreposção dos domínos dos elementos). 2- Formulação de resíduos ponderados ou forma fraca das equações dferencas a serem analsadas. 3- Desenolmento das equações de elementos fntos do problema a partr da formulação de resíduos ponderados ou forma fraca do problema. 4- Montagem (assembly) das equações a níel de elemento para obter o sstema global de equações algébrcas (sobre todo o domíno). 5- Imposção das condções de contorno 6- Solução das equações 7- Pós-processamento dos resultados. Os prómos parágrafos apresentam a dedução do modelo de elementos fntos do problema, tens 2 e 3, partndo da formulação matemátca defnda pelas equações goernantes (2.50) e (2.51); condções de contorno (2.3) e (2.52) e condções ncas (2.5) e (2.6), com fechamento atraés dos modelos sub-malha de Smagornsky (2.43) e dnâmco (2.46) Formulação de Resíduos Ponderados do Problema Para deduzr as equações de elementos fntos parte-se de uma formulação araconal ou de resíduos ponderados do problema. A formulação de resíduos ponderados do escoamento quase-ncompressíel, sotérmco, turbulento, transente pode ser obtda, partndo das equações goernantes (2.50) e (2.51), multplcando pelas funções peso de elocdade e de pressão e ntegrando sobre o domíno de um elemento, resultando nas equações (3.1) e (3.2). Conseração de Massa: 49

65 50 ( ) 0 d C p d t p p 2 * * Ω = ρ Ω Ω Ω (3.1) Conseração de Quantdade de Momento: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 d f d p d d d t * * k k t * * * Ω = Ω Ω δ ρ ρ λ ρ ρ ν ν Ω ρ Ω ρ Ω Ω Ω Ω Ω (3.2) Onde: * - função peso para a elocdade, com alor arbtráro no domíno do elemento, eceto no contorno, * p - função peso para a pressão, com alor arbtráro no domíno do elemento, eceto no contorno. Para reduzr a egênca de dferencação das funções de apromação (também referdas como funções de nterpolação) faz-se a ntegração por partes do termo scoso: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Γ ρ ρ ν ν Ω ρ ρ ν ν Ω = ρ ρ ν ν Γ Ω Ω d d d t * t * t * (3.3) Integrando por partes também o termo em λ e o termo do gradente de pressão, chega-se à forma fraca das equações para o escoamento quase-ncompressíel (3.4).

66 Ω λ ρ Γ * t Ω * * ( ρ ) dω ( ρ ) dω ( ν ν ) ( ρ ) ( ρ ) * pδ * λ ρ k Ω ( ρ ) Ω ( ρ ) ( ) ( ρ ) ( ρ ) k k k δ dω ν ν t * pdω Ω Ω * f dω = t n dγ dω (3.4) Equações de Elementos Fntos do Problema Para obter a equação de elementos fntos emprega-se a técnca clássca de Galerkn [Reddy e Gartlng,1994; Hughes, 1987] às equações (3.1) e (3.4), que representam formulação de resíduos ponderados do problema. O método de Galerkn consste em utlzar as mesmas funções de apromação para a função peso e para as aráes do problema. Consderando o domíno do elemento, substtuí-se as aráes e as funções peso por apromações, combnações lneares das funções de nterpolação do elemento multplcadas por parâmetros (alores nodas das funções a serem apromadas): ρ (, y) = φ(, y) ρ * (, y) = φ(, y) * p(, y) = ψ(, y) p * p (, y) = ψ(, y) p * (3.5) Sendo: φ - etor de funções nterpolação para a elocdade, - etor de alores nodas da componente da elocdade em Ωe * - etor de alores nodas da componente da função peso de elocdade ψ - etor de funções de nterpolação para a pressão p - etor de alores nodas da pressão * p - etor de alores nodas da função peso de pressão Ωe - domíno do elemento Obtém-se as equações a níel de elemento: 51

67 52 0 d C p d t p p e 2 * T e * T Ω = ρ φ ψ Ω ψ ψ Ω Ω (3.6) ( ) ( ) Γ Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Γ φ = Ω φ Ω ψ φ Ω δ ρ φ φ ρ λ Ω ρ φ ν ν φ Ω ρ φ ν ν φ Ω ρ φ φ φ Ω ρ φ φ e * e * T e * T e k k * T t e * T e t * T e T * T e * T S d d f pd d d d d d t (3.7) onde ( ) Γ Γ Γ φ Γ = ρ φ ρ φ ν ν ρ φ ρ λ δ ψ φ e * e t k k * S d d n p e Γ - contorno do elemento Isolando as funções peso e consderando sua arbtraredade, obtém-se: 0 d C p d e T 2 e T = Ωρ φ ψ Ω ψ ψ Ω Ω (3.8) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Γ Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Γ φ = Ω φ Ω ψ φ δ Ω ρ φ φ ρ λ ρ ν ν Ω φ φ ρ ν ν Ω φ φ Ω ρ φ φ φ Ω ρ φ φ e e T e T k e k T t e T t e T e T T e T S d f d p d d d d d d (3.9) Sendo que o ponto acma da aráel ndca derada em relação ao tempo.

68 53 A equação (3.9) pode escreer-se como: ( ) ( ) ( ) ( ) Γ Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Γ φ = Ωρ φ ν φ Ωρ φ ν φ Ω φ Ω ψ φ δ Ω ρ φ φ ρ λ Ωρ φ φ Ωρ φ φ ν Ω ρ φ φ φ Ω ρ φ φ e e t T e t T e T e T k e k T e T e T e T T e T S d d d f d p d d d d d d (3.10) Empregando as apromações dadas em (3.5), obtemos a epressão de S, para cálculo da scosdade turbulenta, em termos das aráes nodas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1/ T T T T T T 2 3 T 3 2 T 3 1 T 1 3 T 2 1 T 1 2 T T T T 2 2 S ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ = (3.11) Escree-se as equações (3.8) e (3.10) de forma compacta:

69 54 0 G p M T p = ρ (3.12) F p G D A M = ρ ρ ρ (3.13) onde as matrzes de elementos são: Γ Ω Ω Ω Ω Ω Ω Γ φ Ω φ = Ω φ ψ = Ω ψ φ = Ω φ φ φ = Ω φ φ = Ω ψ ψ = e T T T 2 T T T T T p S d d f F d C G ; d G d A ; d M ; d M e e e e e e (3.14) ( ) Ω φ φ ν ν Ω φ φ ρ λ ν ν = Ω Ω d d ) 2( D k k T e t T e t para =1, k=2,3; para =2, k=3,1 para =3, k=1,2 Ω φ φ ρ λ Ω φ φ ν ν = Ω Ω d d ) ( D T e T e t para As funções φ e ψ são funções de nterpolação, sendo usualmente ψ de ordem nferor a φ. No caso dos heaedros trlneares, φ são funções lneares e ψ é constante no domíno do elemento. 3.2 Esquema de Taylor-Galerkn

70 55 Para obter as equações dscretzadas também no tempo, faz-se a epansão em sére de Taylor das deradas temporas das equações de elementos fntos que goernam o problema (3.12) e (3.13), até os termos de segunda ordem. Este esquema fo empregado por Donea, Deduções mas detalhadas da dscretzação temporal por sére de Taylor, podem ser encontradas em Gonzalez, 1993 e Azeedo, Epandndo a p em sére de Taylor, tem-se: = = 2 2 n 1 n t p 2 t t p t p p p (3.15) Consderando (3.12) e (3.15), é possíel obter a epressão: 1 n k Dp p 1 n k T n T 1 n 1 k Dp p M M G 2 1 G t p M ρ ρ = (3.16) A matrz Dp M é a matrz de massa da pressão dscreta, ou dagonalzada, empregada para etar a nersão de uma matrz consstente. No caso de heaedros trlneares, com ψ constante no elemento, as matrzes de massa de pressão consstente e dscreta são dêntcas e se transformam no olume do elemento. Neste caso o últmo termo da equação (3.16) se anula. O mesmo processo de epansão de ρ em sére de Taylor e consderando a equação (3.13), conduz a segunte epressão: ( ) ( ) 1 n k D 2 1 n n n 1 n 1 k D M M t 2 p G D A 2 t F F 2 1 p G D A t M ρ ρ ρ ρ ρ = ρ (3.17) Onde D M é a matrz de massa de elocdade, M, dagonalzada. Nas epressões (3.15) a (3.17), o índce n refere-se ao passo de tempo, enquanto k está relaconado ao número da teração, p é a aração da pressão e ρ é a aração de ρ no nteralo de tempo t.

71 Desta forma tem-se: n 1 1 n 1 n 1 [ ( ρ )] k 1 = tm S R (3.18) D 2 k 2 n 1 tc n 1 n 1 p k 1 = T Q k (3.19) olume 2 [ ] (,, k = 123,, ) em Ω sendo: S R n = A n 1 k = A ( ρ ) D ρ G p n ( ρ ) D ρ G p ( M M )( ρ ) D n 1 k (3.20) (3.21) T n = G ρ T n (3.22) Q n 1 k = G ρ T n 1 k (3.23) O campo de elocdades e pressões atualzada é então obtdo calculando-se: ( ρ ) = ( ρ ) ( ρ ) k 1 n 1 n n 1 (3.24) k 1 p = p p (3.25) n 1 n n 1 para cada nó da malha de elementos fntos. O esquema é condconalmente estáel e o nteralo de tempo de ntegração dee respetar a segunte restrção: (mn) t (3.26) C V sendo (mn) a menor dmensão de elementos da malha, C é a elocdade de propagação do som e V uma elocdade de referênca. 56

72 3.3 Segunda Fltragem: Metodologa Proposta O modelo de scosdade turbulenta sub-malha de Smagornsky apresenta como maor lmtação a dfculdade de representar corretamente, com uma constante únca, dferentes campos de escoamento turbulento, tas como recrculação, recolamento, escoamento prómo à parede. Uma alternata ao modelo de Smagornsky é o modelo dnâmco de scosdade turbulenta, proposto em Germano et al., 1991, e modfcado por Llly, Nesse modelo o coefcente é calculado de acordo com a eolução do escoamento, sendo uma função do tempo e do espaço. A equação (2.47) defne o coefcente dnâmco, C(,t). Este depende do uso de dos fltros de dferentes comprmentos característcos. A prmera fltragem é consderada aplcada quando se realza a dscretzação das equações, o prmero fltro (fltro à níel de malha) têm dmensão característca relaconada às dmensões dos elementos da malha. Para o segundo processo de fltragem (fltro teste) emprega-se um fltro com dmensão característca maor que o prmero fltro. Baseado nestes dos níes de escala, os modelos dnâmcos usam nformações das menores escalas resoldas (stuadas entre os dos fltros) para calcular o coefcente dnâmco. Para o processo de segunda fltragem mutas propostas têm sdo apresentadas. Oshma, et al., 1996, apresenta um esquemas de smulação a elementos fntos, na qual o fltro teste é formulado atraés de uma epansão em sére de Taylor: u 4 ( ) 2 2 u = u O (3.27) 24 dee-se especfcar 2. Padlla e Slera Neto, 2000, mplementaram e aalaram dferentes propostas para a segunda fltragem, aplcadas no conteto de olumes fntos, médas artmétcas empregando 8 e 12 nós znhos não conduzram a bons resultados. O uso de uma função de nterpolação do tpo gaussana, função de dstrbução, apresentou os melhores resultados. Partndo da déa de que a dscretzação do problema consste na aplcação do prmero processo de fltragem, magnou-se uma sobre-malha de elementos, maores do que os da malha realmente empregada, para o processo de segunda fltragem. Desta déa ncal, resultou a proposta para a segunda fltragem apresentada neste trabalho, que será referda como segunda fltragem por elementos fntos ndependentes. 57

73 O nome faz referênca ao fato de se empregar técncas de elementos fntos, tas como a defnção de elementos por conetdades, o uso de dos sstemas de coordenadas (coordenadas globas (1,2,3) e coordenadas naturas ( ξ, η, ζ) ), transformações de coordenadas e funções de nterpolação de elementos. Contudo, os elementos ndependentes são construídos em torno de cada nó. Estes não formam uma malha de elementos fntos, pos este superposções dos domínos dos elementos, além dsto, não este solução de equações baseada neste conunto de elementos. Por este conunto não consstr uma malha de elementos fntos, mas empregar técncas do método, parece adequada a denomnação proposta de elementos fntos ndependentes. O processo consste em construr elementos em torno de cada nó da malha, defndo por nós znhos ao nó de nteresse, e empregar as funções de nterpolação lneares do elemento para efetuar o processo de segunda fltragem. Desta forma, emprega-se uma nterpolação lnear dos alores calculados nos pontos znhos da malha, para obter o alor fltrado no ponto de nteresse. A noação está na forma proposta para fazer esta nterpolação, empregando técncas de elementos fntos. O esquema resultante apresentou bons resultados (a serem apresentados), com um acréscmo de tempo de processamento em relação ao modelo de Smagornsky entre 9 e 18%. A prmera etapa é a geração dos elementos ndependentes, ou sea, crar uma lsta de conetdades de um elemento ndependente para cada nó. Em torno de cada nó da malha, defne-se um elemento de dmensões maores do que os elementos da malha localmente. Por eemplo, na malha bdmensonal da fgura 3.1, o nó I tem assocado a ele o elemento ndependente sombreado, de domíno equalente aos quatro elementos que concorrem ao nó I. As conetdades deste elemento ndependente corresponde a lsta contendo os números globas dos nós dentfcados na fgura como 1,2,3 e I 1 2 Fgura 3.1 Eemplo de elemento ndependente para uma malha bdmensonal. 58

74 Para gerar este conunto de elementos ndependentes fo desenoldo um algorítmo smples que pode ser descrto atraés dos seguntes passos prncpas: Para todos os nós da malha orgnal: a) lstar os elementos que concorrem ao nó I; b) lstar os nós que defnem estes elementos; c) da lsta obtda em (b) defnr os nós mas dstantes de I nos quatro quadrantes do plano defndo por eos (,y) I com orgem em I; d) a lsta com quatro nós obtda em (c) é a lsta de conetdades do elemento ndependente correspondente ao nó I : (I1,I2,I3,I4). Este esquema pode ser empregado para malhas rregulares ou com elementos dstorcdos, como os mostrados na fgura (3.2). 4 3 I I 1 2 Fgura 3.2 Eemplos de elementos ndependentes em malhas rregulares e dstorcdas. O algortmo mplementado é trdmensonal, neste caso a defnção das conetdades é feta da mesma forma descrta, apenas no passo (c) faz-se a busca dos oto nós mas dstantes, localzados nos oto quadrantes do espaço defndo por um sstema de coordenadas (,y,z) I, com orgem no nó I. A lsta de conetdades resultante contém oto números nteros, correspondente ao número global dos oto pontos dentfcados em (c). Um eemplo de elemento ndependente em malha trdmensonal é o elemento em ermelho apresentado na fgura

75 Fgura 3.3 Elemento ndependente em uma malha trdmensonal. O algortmo de geração de elementos ndependentes é smplfcado e se aplca apenas para geometras bem comportadas. O processo de busca dos nós para formar o elemento ndependente dee ser aprmorado para garantr maor unersaldade. Uma lmtação presta do algortmo está em nós de cantos, para os quas o elemento ndependente concde com o elemento da malha, pos este somente um elemento que concorre ao nó. Isto ola a proposta do processo de segunda fltragem em que a dmensão característca do fltro teste dee ser superor a dmensão característca do fltro à níel de malha. Deste fato decorre que os alores obtdos da segunda fltragem serão os mesmos obtdos na prmera fltragem, resultando em alores de C(,t) nulos. Contudo este problema é amenzado ao consderar-se que a scosdade turbulenta será defnda para cada elemento, sendo que no processo descrto calcula-se C(,t) para todos os nós da malha, o alor empregado para obter ν t será a méda dos alores de C(,t) correspondentes aos oto nós de cada elemento, sendo que apenas um nó do elemento será um nó de canto. Um aprmoramento deste processo pode ser mplementado de forma smples, amplando-se a busca de nós znhos em nós de canto para nclur os elementos que possuam 60

76 nterface com o elemento ao qual pertence o nó. Metodologas mas compleas do algortmo de geração de elementos ndependentes podem ser empregadas, sem conseqüêncas mportantes sobre o tempo de processamento total, tendo em sta que esta etapa pode ser concentrada na fase de préprocessamento. Esta metodologa prescnde da especfcação de um tamanho para o segundo fltro, mas não mpede que se faça alguma restrção quanto a esta dmensão. Na forma como fo mplementada, faz uso das nformações da escala acma mas próma à escala da malha na regão em estudo. A segunda etapa, também ncluída na fase de pré-processameno, é aalar as coordenadas naturas (, η ζ ) ξ do nó I no nteror do seu elemento ndependente. I I, I Consderando o elemento heaédrco de oto nós, representado no espaço físco ( 1, 2, 3 ) e no espaço computaconal ( ξ, η, ζ) na fgura (3.4), com funções de nterpolação lneares dadas por: 1 φα ( ξ, η, ζ) = (1 ξαa ξ)(1 ηαη)(1 ζ αζ) (α=1,...,8) (3.28) 8 onde ξ α, η eζ são as coordenadas do nó α do elemento no sstema de eos referencal α α ξη, e ζ, dadas por: ξ η ζ T T T = = = { 1,1,1, 1, 1,1,1, 1} { 1, 1,1,1, 1, 1,1,1 } { 1, 1, 1, 1,1,1,1,1 } (3.29) (3.30) (3.31) 61

77 Fgura 3.4 Elemento heaédrco de oto nós no espaço físco e computaconal. As coordenadas de um ponto I qualquer no nteror do elemento podem ser calculadas pela segunte transformação de coordenadas: 8 = I I I I α= 1 ( ) φα ( ξ, η, ζ ) α (3.32) onde ( ) I - coordenada de um ponto I qualquer no nteror do elemento (=1,2,3) α - coordenada do nó α que defne o elemento (α =1,2,3,4,5,6,7,8) ( ξ, η ζ ) φ α - função de nterpolação do nó α, aalada no ponto I, com coordenadas naturas I I, I ( ξ, η ζ ) I I, I Esta é a transformação usual, empregada em elementos fntos. Contudo, é necessáro resoler o problema nerso, obter as coordenadas naturas de um ponto qualquer no nteror do elemento ( ξ, η ζ ) I I, I, conhecdas as coordenadas do ponto, ( 1, 2, 3 ) I, e as coordenadas dos oto nós do elemento, ( 1, 2, 3 ) α. Na solução deste problema chega-se a um sstema não lnear de três equações e três ncógntas, um algortmo empregando um processo terato de solução (método de Newton) fo desenoldo para resoler o problema. 62

78 Noamente, por se tratar de um processo desenoldo na fase de préprocessamento, este algortmo não representou um custo adconal sgnfcato no sstema de análse das equações do escoamento. Ao fnal da segunda etapa, dspõem-se das conetdades dos elementos ndependentes e das coordenadas naturas de todos os nós da malha, relatas ao seu elemento ndependente. A etapa ncluída no algortmo prncpal de solução consste em aalar as quantdades:, e S S utlzando as funções de nterpolação do elemento e as coordenadas naturas de cada nó no nteror do elemento ndependente assocado a ele da segunte forma 2 8 = φ I α I I I α= 1 ( ξ, η, ζ ) α (3.33) 8 α= 1 α ( ξ I, ηi, ζ I ) α = φ (3.34) I 8 2 S S = φα S I α= 1 2 ( ξ I, ηi, ζ I )( S )α (3.35) Empregando esta nterpolação os alores dos nós znhos são ponderados, atraés de uma nterpolação lnear, na obtenção do alor fltrado de acordo com a dstânca dos mesmos ao nó I. Para aalar as quantdades é necessáro calcular os alores de e 2 S S para os nós que compõem o elemento ndependente. No programa mplementado, estes alores são calculados para todos os nós da malha e armazenados para utlzação na solução das equações (2.47) a (2.49). A dmensão característca do prmero fltro é aalada como a raz cúbca dos olumes dos elementos da malha: = 3 (3.36) Vol e 63

79 A dmensão característca do segundo fltro é calculada analogamente como sendo a raz cúbca dos elementos ndependentes: = 3 Volume(E I ). (3.37) I Empregando a metodologa descrta nesta secção, a relação entre as dmensões característca dos dos fltros é da ordem de 1:2. Aaladas as epressões relatas ao segundo processo de fltragem fnalmente podese calcular C(,t) segundo a equação (2.47), para cada nó da malha. Este coefcente será empregado para cálculo da scosdade turbulenta, segundo a equação (2.46). Sendo a scosdade turbulenta aalada a níel de elemento, e os alores do coefcente dnâmco defndos para os nós da malha, o alor empregado para cada elemento é a méda dos alores de C(,t) para os nós que compõem os elementos da malha orgnal. Isto equale a uma nterpolação dos alores de C para o centro do elemento. Este procedmento está de acordo com o adotado por outros autores [Oshma et al, 1996; Zang et al, 1993, Breuer e Rod, 1994], que empregam médas do coefcente dnâmco para etar que as arações bruscas, tanto espacas como temporas, seam fonte de nstabldades na solução. Outra solução, ctada por Llly, 1992, consste em proceder médas dos termos M e L antes de obter C(,t), procurando etar zeros no denomnador além de establzar o problema. Neste trabalho adotou-se um lmte para a scosdade turbulenta negata, sendo: ν ν t >= 0 (3.38) Nos eemplos processados, um pequeno número de elementos tee a ocorrênca deste corte. O mesmo lmte fo utlzado por outros autores, como Zang et al, Outra erfcação que tee de ser adotada fo que, quando o denomnador da epressão para cálculo de C(,t) se anula, assume-se C(,t)=0 (lembrando que este alor é relaconado ao nó, e que o alor empregado para cálculo da scosdade turbulenta é a méda dos alores nodas do elemento). Este esquema emprega as funções de elemento, estentes no códgo sem modelo de turbulênca, o algortmo elaborado concentrou o processamento adconal em etapas de préprocessamento e sua mplementação representou um aumento no tempo de processamento, em relação ao esquema empregando Smagornsky, entre 9 e 18%, para os problemas analsados. 64

80 4. RESULTADOS 4.1 Análse Bdmensonal do Escoamento Turbulento Sobre um Degrau Este parágrafo apresenta resultados obtdos empregando o método de elementos fntos para análse de escoamentos turbulentos, atraés de técncas de smulação de grandes escalas aplcadas a um modelo bdmensonal, publcados em Petry e Awruch, 1997b. Os epermentos descrtos aqu foram desenoldos no níco dos trabalhos, com o obeto de adqurr conhecmento acerca da smulação de grandes escalas empregando o método de elementos fntos. É mportante ressaltar que a smulação eplícta das grandes escalas da turbulênca está mplctamente relaconada a modelos trdmensonas, em rtude do caráter trdmensonal do fenômeno a ser representado. Contudo, esta nestgação desenoleu-se empregando um modelo bdmensonal, com o obeto de reduzr os recursos de programação e processamento nesta etapa ncal. Feta esta ressala, emprega-se a epressão smulação de grandes escalas no restante do parágrafo, para smplfcar a denomnação mas adequada a estas análses, ou sea, análses bdmensonas de escoamentos turbulentos empregando a metodologa de smulação de grandes escalas. As equações para análse de um escoamento ncompressíel, transente e bdmensonal, empregadas em um programa de elementos fntos [Petry, 1993 e Petry e Awruch, 1992], foram reformuladas para o conteto da smulação de grandes escalas [Petry e Awruch, 1997b]. Estas equações são semelhantes às equações apresentadas no Capítulo 2, para o caso bdmesonal. O método basea-se na hpótese de quase-ncompressbldade e emprega um esquema eplícto de ntegração de dos passos. Os elementos são quadrláteros blneares, emprega-se funções de nterpolação de gual ordem para a pressão e elocdades. Para modelar o tensor de Reynolds das escalas nferores à resolução da malha fo utlzado o modelo de Smagornsky [Fndkaks e Street, 1982]. Os termos de Leonard e cruzados, apresentados por dersos autores [Ortega e Azeedo, 1995; Slera Neto et al., 1993] como neglgencáes, foram modelados em função do campo de grandes escalas [Fndkaks e Street, 1982]. Vsando nestgar os resultados e a metodologa para mplantação do modelo, bem como a mportânca dos termos de Leonard e termos cruzados, três sstemas de smulação de escoamentos foram desenoldos. O sstema orgnal [Petry, 1993; Petry e Awruch, 1992] de solução das equações de Naer-Stokes, desprezando completamente os efetos de escalas nferores à resolução da malha, o segundo sstema empregando o modelo de Smagornsky para 66

81 efetos das estruturas de sub-malha e desprezando os termos de Leonard e termos cruzados e um tercero sstema modelando todos os termos relatos às pequenas escalas. Incalmente, com o obeto de aldar a metodologa, desenoleu-se a smulação de escoamentos sobre um degrau caracterzados por baos números de Reynolds, empregando o segundo sstema descrto anterormente. Posterormente são apresentados os resultados de smulações obtdas atraés dos três sstema para o escoamento sobre um degrau em canal aberto, com alto número de Reynolds (40000). Os resultados são comparados entre s e com dados epermentas [Armaly et al., 1983] e numércos de outros autores[ortega e Azeedo, 1995; Slera Neto et al., 1993; Kaktss et al, 1991], para problemas semelhantes. A Fgura 4.1 apresenta um esquema dos problemas processados, dentfcando as dmensões característcas que serão defndas a segur. Os problemas foram processados no supercomputador CRAY-YMP2E (Centro Naconal de Supercomputação, Unersdade Federal do Ro Grande do Sul, Brasl), fazendo uso das característca de processamento etoral do equpamento. Fgura Esquema do domíno e dmensões característcas do escoamento sobre o degrau Valdação do Programa: Análse do Escoamento a Baos Números de Reynolds Prmeramente apresenta-se resultados do escoamento sobre o degrau com baos números de Reynolds, em regme lamnar e bdmensonal. Esta análse tem por fnaldade a aldação do programa de smulação numérca desenoldo, em rtude da dsponbldade de dados epermentas [Armaly et al., 1983] e numércos [Ortega e Azeedo, 1995; Slera Neto 67

82 et al., 1993; Kaktss et al, 1991]. Neste escoamento uma mportante característca a ser erfcada é a relação entre o número de Reynolds e o comprmento de recolamento X R. As dmensões do problema (fgura 4.1) são: H=0.94, h=1, X E =1 e X T =30. Como condções de contorno, empregou-se um perfl de elocdades ( 1 =V(y), 2 =0) parabólco completamente desenoldo na entrada e ( 1 = 2 =0) elocdades nulas nas paredes superor, lateral e nferores. Como condções ncas, empregou-se, na prmera smulação, um escoamento gual a elocdade méda de entrada para todo o domíno. Nas smulações seguntes empregou-se o últmo campo de pressões e elocdades calculado para o número de Reynolds anteror. O número de Reynolds é defndo da mesma forma que nos epermentos de Armaly et al, 1995: ( 2V ma ) ρ 2h Re = 3 (4.1) µ Empregou-se uma resolução de 2010 (X E h) na entrada e (H T X T ) na regão posteror ao degrau. Os resultados foram obtdos atraés do códgo com modelo de Smagornky, desprezando os termos de Leonard e termos cruzados. Este problema é semelhante ao estudado epermentalmente por Armaly, et al., 1983, tendo sdo empregado na aldação dos resultados apresentados por Slera Neto, et al, 1993 e Kaktss et al., A Fgura 4.2 apresenta os resultados obtdos para a relação X R /H Re, untamente com os apresentados pelas referêncas [Armaly, et al., 1983; Slera Neto, et al., 1993 e Kaktss et al., 1991], é possíel obserar a concordânca dos resultados com os alores esperados. Foram analsados escoamentos caracterzados por números de Reynolds até 500, a partr desta ordem de Re, o comprmento de recolamento passa a ser subestmado por smulações bdmensonas. O afastamento da realdade físca decorre da mportânca de efetos trdmensonas nesta faa de Reynolds, como afrmam Slera Neto et al., 1993 e Kaktss et al, 1991 e confrma o trabalho de Wllams e Baker,

83 X R /H X R /H Re 18,00 16,00 14,00 12,00 10,00 8,00 6,00 4,00 Armaly et al. Slera Neto et al. Kaktss et al. Presente trabalho 2,00 0, Re Fgura Relação entre comprmento de recolamento (X R /H) e número de Reynolds (Re): resultados epermentas de Armaly et al., 1983; smulação numérca de Slera Neto et al., 1993; smulação numérca de Kaktss et al, 1991; resultados do presente trabalho Smulação do Escoamento sobre um Degrau em Canal Aberto, Re= Este segundo escoamento, degrau em um canal aberto, é caracterzado por um alto número de Reynolds, (Re=40.000). O problema é smlar ao processado por Ortega e Azeedo, 1995, sendo as dmensões apresentadas na fgura 4.1: H=3 cm h=3h, X E =3H, X T =30H, o número de Reynolds é defndo com base em H e V ma (elocdade máma do perfl de elocdades na entrada). Como condções de contorno essencas empregou-se um perfl de elocdades de camada lmte ( 1 =V(y), 2 =0) na entrada, elocdade nula nas paredes nferores e lateral e ( 1 =V ma, 2 =0) no contorno superor. A malha empregada é smlar a encontrada em [Ortega e Azeedo, 1995] (64 32 (X E h) na entrada e (H T X T ) na regão posteror ao degrau). Esta confguração fo resolda empregando os três sstemas descrtos em 4.1. Utlza-se a segunte nomenclatura para dentfcar os resultados das smulações nos prómos parágrafos: 69

84 NS1 - solução das equações consderando = 0, L =0 e C =0; LES1 - solução das equações, empregando o modelo de Smagornsky para representar e L =0 e C =0 LES2 - solução das equações, empregando o modelo de Smagornsky e a apromação dada pela equação (2. ) para os termos L e C. As fguras 4.3, 4.4 e 4.5 apresentam o campo de ortcdade em dferentes nstantes de tempo ( $t = tv ma /H) para as três smulações do problema, onde erfca-se a grande semelhança dos resultados obtdos nas smulações que empregam o modelo de Smagornsky (LES1 e LES2). É possíel obserar também a semelhança destes resultados com os apresentados por Ortega e Azeedo, 1995, reproduzdos na fgura 4.6. De acordo com o esperado, a smulação NS1 não conduzu a bons resultados, apesar da malha refnada. Outros parâmetro, além da topologa do escoamento apresentada nas fguras 3, 4 e 5, confrmam esta obseração. O número de Strouhal fo obtdo do hstórco de elocdades de um ponto dstante (X R H) do degrau. Para a smulação NS1 encontrou-se um alor de 0.033; bastante dstante dos alores publcados por outros autores, 0.15 [Ortega e Azeedo, 1995], 0.09 [Slera Neto et al., 1993] e 0.07 (alor epermental referdo em Slera Neto et al., 1993). Para as smulações LES1 e LES2 obtee-se St=0.077, mas condzente com os alores publcados. Nos casos LES1 e LES2, a elocdade de transporte dos turblhões formados após o degrau fo da ordem de 0,5V ma, de acordo com o esperado [Slera Neto et al., 1991]. Para a smulação NS1 obtee-se um alor de 0.15V ma. Além desta baa elocdade de deslocamento é possíel erfcar na fgura 3 que os turblhões não se mantêm. O comprmento de recolamento é conhecdo epermentalmente [Armaly et al., 1983], sendo esperado um alor prómo a 7H, para este número de Reynolds. No caso NS1, obtee-se uma regão de recrculação muto alongada, X R =10H, as smulações LES1 e LES2 apresentaram uma correta presão de X R, sendo os alores obtdos 7.3H e 7.2H, respectamente. Sendo que, X R fo calculado a partr do escoamento médo, adotando-se o alor da coordenada do prmero nó com componente horzontal do etor de elocdade posta, a partr de uma méda com um período sufcentemente longo para obter um alor constante desta coordenada. 70

85 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Fgura Dstrbução de ortcdade, resultados da smulação NS1 (desprezando os termos relatos a efetos às escalas nferores à resolução da malha), em dferentes nstantes de tempo: (a), $t = 15; (b), $t = 25; (c), $t = 35; (d), $t = 45; (e), $t = 55; (f), $t = 65; (g), $t =

86 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Fgura Dstrbução de ortcdade, resultados da smulação LES1 (empregando o modelo de Smagornsky, desprezando os termos de Leonard e cruzados), dferentes nstantes de tempo: (a), $t = 15; (b), $t = 25; (c), $t = 35; (d), $t = 45; (e), $t = 55; (f), $t = 65; (g), $t =

87 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Fgura Dstrbução de ortcdade, resultados da smulação LES2 (consderando todos os termos de escalas sub-malha), em dferentes nstantes de tempo: (a), $t = 15; (b), $t = 25; (c), $t = 35; (d), $t = 45; (e), $t = 55; (f), $t = 65; (g), $t =

88 Fgura Dstrbução de ortcdade, resultados apresentados por Ortega e Azeedo, 1995; (a), $t = 15; (b), $t = 25; (c), $t = 35; (d), $t = 45; (e), $t = 55; (f), $t = 65; (g), $t =

89 Os resultados das smulações empregando o modelo de Smagornsky para pequenas escalas estão de acordo com alores numércos e epermentas publcados por outros autores. Os termos de Leonard e termos cruzados teram pouca nfluênca nos resultados prátcos, mas aumentam (em torno de 20%) o tempo de processamento, sendo antaoso neglgencá-los. A má qualdade dos resultados das smulações desprezando os efetos das pequenas escalas confrmam a necessdade do uso de modelos para representá-los. 76

90 4.2 Análse Empregando o Códgo Trdmensonal: Escoamento Forçado em Cadade Bdmensonal Para desenoler o programa de análse de escoamentos turbulentos trdmensonas descrto neste trabalho, tee-se como base o programa de análse de escoamentos trdmensonas lamnares desenoldo por Azeedo, 1999, em sua tese de doutorado. O programa lamnar haa sdo elaborado para problemas de nteração fludo-estrutura e ncluía a possbldade de momento de malha. Por esta razão, todas as matrzes dos elementos eram calculadas a cada passo de tempo. Vsando reduzr o tempo de processamento, o programa lamnar trdmensonal fo reestruturado para armazenar as matrzes de elemento que não aram no tempo, etando recalcular os alores que dependem apenas da malha. O programa orgnal tnha uma ótma performance em termos de etorzação (800 Mflops); procurou-se preserar esta característca, com um tempo de processamento (CPUs) de 1, s por passo de tempo, por grau de lberdade da malha. O noo programa lamnar reduzu o tempo de processamento em relação ao programa base para 8, s por passo de tempo, por grau de lberdade da malha, mantendo uma boa performance neste equpamento (700 Mflops). Para erfcar a correção do noo programa desenoleram-se alguns epermentos, sando comparar os resultados entre o programa base e o noo programa lamnar. Posterormente foram processados alguns problemas lamnares com os programas lamnar reestruturado e com os dos modelos de turbulênca, sando garantr que não houe erro na mplementação dos programas. Este capítulo apresenta um dos eemplos que fo empregado durante esta etapa de desenolmento do códgo computaconal. Tendo sdo o programa lamnar aldado por Azeedo, 1999, para baos números de Reynolds. O problema empregado para erfcar a alteração do programa base lamnar e a mplementação dos modelos de turbulênca fo a smulação de um escoamento forçado em cadade bdmensonal quadrada com dmensões de 11m. Dersos autores apresentam resultados numércos para este problema [Ghua, et al, 1982; Sohn, 1988; Reddy e Gartlng, 1994]. Por ser um códgo trdmensonal empregou-se um elemento de profunddade e restrnguse a componente da elocdade na dreção perpendcular ao plano da cadade ( 3 =0, para tos os nós da malha) A malha adotada é semelhante a utlzada por Gha et al, 1982, para Re ate , contendo elementos, sendo a profunddade do elemento de 1/

91 Dados do problema (Fgura 4.7): Dmensões: 11(1/128) m V=100 m/s VL 100 Re = = ν ν t = malha unforme ( elemento) Fgura 4.7 Escoamento forçado em uma cadade, geometra do problema. Condções de Contorno e Incas 1 = 2 = 3 =0 em 2 =0, 1 =0 e 1 =1 1 =100 m/s, 2 = 3 =0 em 2 =1 3 =0 em todo o domíno 1 = 2 = 3 =p=0 em t=0 O problema processado fo o escoamento com Reynolds 100, também empregado por Azeedo, 1999 em sua aldação. Os resultados obtdos foram os mesmos empregando programa base [Azeedo,1999] e a noa ersão do programa lamnar desenolda no presente trabalho. Estes concdem com os resultados de Gha et al, O perfl de elocdades horzontas ao 77

92 longo da lnha méda ertcal da cadade está apresentado na fgura 4.8, onde é possíel obserar a total concdênca de alores. Fgura 4.8 Resultados concdentes do perfl de elocdades horzontas na lnha méda ertcal para o escoamento na cadade bdmensonal (Re=100) empregando: o programa base (lnha traceada); o programa lamnar reestruturado (lnha chea), e resultados de Gha, et al., 1982 ( ). Posterormente foram nestgados escoamentos caracterzados por números de Reynolds mas altos, Re=400,1000,3200 e Os resultados obtdos com os programas base lamnar e lamnar reestruturado concdem entre s, mas não estão completamente de acordo com Gha et al, Estes resultados para as elocdades horzontas na lnha méda da cadade estão apresentados nas fguras 4.9 a

93 Fgura 4.9 Resultados concdentes do perfl de elocdades horzontas na lnha méda ertcal para o escoamento na cadade bdmensonal (Re=400) empregando: o programa base (lnha traceada); o programa lamnar reestruturado (lnha chea), e resultados de Gha, et al., 1982 ( ). Fgura 4.10 Resultados concdentes do perfl de elocdades horzontas na lnha méda ertcal para o escoamento na cadade bdmensonal (Re=1000) empregando: o programa base 79

94 (lnha traceada); o programa lamnar reestruturado (lnha chea), e resultados de Gha, et al., 1982 ( ). Fgura 4.11 Resultados concdentes do perfl de elocdades horzontas na lnha méda ertcal para o escoamento na cadade bdmensonal (Re=3200) empregando: o programa base (lnha traceada); o programa lamnar reestruturado (lnha chea), e resultados de Gha, et al., 1982 ( ). Fgura 4.12 Resultados concdentes do perfl de elocdades horzontas na lnha méda ertcal para o escoamento na cadade bdmensonal (Re=5000) empregando: o programa base 80

95 (lnha traceada); o programa lamnar reestruturado (lnha chea), e resultados de Gha, et al., 1982 ( ). Para número de Reynolds superores a 400, os resultados obtdos demonstram dferenças com relação aos resultados, também numércos, de Gha et al, Na fgura 4.13 estão resumdos os perfs de elocdades para os dferentes casos (números de Reynolds), obtdos com o programa lamnar reestruturado. Estes podem ser comparados aos perfs apresentados por Reddy e Gartlng, 1994, que empregou uma malha não unforme de 1414 elementos em um códgo bdmensonal, reproduzdos na fguras Pode-se obserar uma boa concdênca. Estes resultados demosntram a correção na reestruturação do programa lamnar. O noo programa fo então utlzado como base para a cração dos noos códgos nclundo os modelos de turbulênca, o códgo onde fo ncluído o modelo de Smagorsky e o códgo com modelo dnâmco. Os nomes utlzados para referr aos dferentes programas estão resumdos no quadro abao. Nomes do Programas 3dlam codgo lamnar/sem modelo 3dles códgo com modelo de Smagornsky 3ddn códgo com modelo dnâmco Com o obeto de erfcar se não foram ntroduzdos erros durante o processo de nclusão dos modelos no programa lamnar e fazer uma prmera erfcação sobre a correção do comportamento dos modelos, alguns eemplos de escoamentos lamnares com Reynolds relatamente altos foram processados. Espera-se que, para escoamentos lamnares, os resultados obtdos com e sem modelos seam semelhantes. Tendo se confrmado a concdênca dos resultados aalados, conforme se apresenta nos perfs de elocdade representados nas fguras 4.15 e 4.16, passou a se estudar o comportamento da modelagem mplementada em escoamentos trdmensonas turbulentos. Os problemas analsados e resultados obtdos são apresentados a segur 81

96 Fgura 4.13 Resultados do perfl de elocdades horzontas na lnha méda ertcal para o escoamento na cadade bdmensonal empregando programa lamnar reestruturado: - Re=100, -Re=400, Re=1000, Re=3200 e -Re=5000. Fgura 4.14 Resultados de Reddy e Gartlng, 1994, para o perfl de elocdades horzontas na lnha méda ertcal para áros números de Reynolds, escoamento na cadade bdmensonal. 82

97 Fgura 4.15 Resultados concdentes do perfl de elocdades horzontas na lnha méda ertcal para o escoamento na cadade bdmensonal (Re=3200) empregando: - o programa lamnar reestruturado, - com modelo de Smagornsky e - com modelo dnâmco. Fgura 4.16 Resultados concdentes do perfl de elocdades horzontas na lnha méda ertcal para o escoamento na cadade bdmensonal (Re=5000) empregando: - o programa lamnar reestruturado, - com modelo de Smagornsky e - com modelo dnâmco. 83

98 4.3. Análse do Escoamento Forçado em Cadade Trdmensonal Neste parágrafo apresentam-se resultados obtdos na smulação do escoamento em uma cadade trdmensonal. Dersos autores têm nestgado este tpo de escoamento, por se tratar de um escoamento compleo em uma geometra smples, assm sendo, é um problema adequado para erfcar e comparar os modelos mplementados. Resultados epermentas para a cadade trdmensonal podem ser encontrados em [Prasad e Koseff, 1989], resultados numércos são apresentados por autores com dferentes métodos e modelos, [Denaro, 1996; Km e Menon, 1999; Zang et al., 1993]. Os resultados epermentas de Prasad e Koseff, 1989, foram utlzado, no presente trabalho, para orentar os epermentos numércos desenoldos a cerca da cadade trdmensonal. Os resultados obtdos estão muto prómos aos resultados epermentas e tem qualdade comparáel aos resultados numércos de Zang, Street e Koseff, 1993, e Km e Menon, 1999, que empregaram dferentes esquemas de smulação de grandes escalas Descrção do Problema O problema consste na análse do escoamento forçado em uma cadade trdmensonal, dos casos foram processados, caracterzado por Re=3200 e Re= O escoamento com Re=3200 tem fator de aspecto 1.0 (1:1:1). O escoamento com Re =10000, tem fator de aspecto de 0.5 (1:1:0.5). O número de Reynolds é calculado por U B B/ν (fgura 4.17). Este escoamento tem um comportamento lamnar até números de Reynolds da ordem de 5000, para Re a partr de 10000, o escoamento é localmente turbulento. [Zang et al., 1993]. O escoamento é nduzdo pelo momento da parede superor, com elocdade U B, sendo as demas paredes fas. Com o obeto de reduzr o número de elementos necessáros para representar o domíno, consdera-se que o escoamento tem um plano de smetra (fgura 4.17) e smula-se apenas a metade do domíno. O problema caracterzado por Re=3200 fo analsado empregando o códgo com modelo de Smagornsky (3dles) para o domíno completo e para a metade do domíno, assumndo a smetra. Os mesmos resultados parcas foram obtdos para os dferentes domínos, comparando-se os perfs médos de elocdade, assm como estatístcas da turbulênca. Confrmando que a análse do problema consderando a smetra e, consequentemente empregando apenas metade do domíno, é uma boa apromação. 84

99 Fgura Esquema do domíno do problema: Cadade Trdmensonal Condções de contorno e condções ncas 1 =U B, 2 = 3 =0 em 2 =1.0 1 = 2 = 3 =0.0, em 1 =0.0, 1 =1.0, 2 =0.0 e 3 =0 3 =0.0 (smetra), em 3 = sm 1 = 2 = 3 =p=0 em t= Cadade Trdmensonal - Resultados: Re=3200 Nesta seção, apresenta-se os resultados para o escoamento forçado da cadade trdmensonal caracterzado por Re=3200 e com fator de aspecto (1:1:1). Modelada apenas a metade do domíno, por admtr um problema com smetra (fgura 4.17). Os dados e nformações sobre a malha estão resumdos no quadro abao. Um corte da malha, bem como uma magem trdmensonal estão apresentados nas fguras 4.18 e A malha é não unforme nas dreções dos eos 1 e 2, possuí concentração prómo às paredes, sendo unforme na dreção 3. O menor elemento tem dmensões da ordem de

100 Resumo de Dados do Problema U B = 100 m/s Re = 3200 t = Fator de aspecto (B:D:H)= (1:1:1) Domíno 1=[0,1], 2=[0,1],3=[0,0.5](metros) sm =0.5m Número de Elementos da Malha (1:2:3) = (32:32:16) ( ) mn /B = C(elocdades de propagação do som) = 340 m/s Fgura 4.18 Corte da malha de elementos fntos empregada no plano de smetra, cadade 3D, Re=3200 Para obter os dados para análse estatístca da turbulênca foram armazenados os resultados das aráes nos pontos sobre as lnhas médas horzontal e ertcal do plano de smetra, a cada nteralo de tempo de ntegração. Não estem nformações precsas sobre o período de tempo adotado para análse estatístca nos resultados epermentas [Prasad e Koseff, 86

101 1989]. O presente processamento fo conduzdo até s, a análse estatístca fo processada sobre o período fnal de 0.24 s (apromadamente o últmo terço do período total processado). Fgura 4.19 Imagem da malha de elementos fntos empregada no plano de smetra, cadade 3D, Re=3200 O período total de dados acumulados do epermento [Prasad e Koseff, 1989] fo de 5.46 mn, resultando em um tempo total admensonal de 47. Redmensonalzando este tempo para o problema processado, chega-se a um alor de 0.47s. O período (admensonalzado) empregado para análse é da ordem de 50% do período total de dados, acumulados no epermento. A segur apresenta-se os resultados obtdos para os perfs das componentes da elocdade méda, nas lnhas do centro geométrco do plano de smetra da cadade, empregando os programas de análse lamnar (3dlam), com modelo de Smagornsky (3dles) e com modelo dnâmco (3ddn). Os alores epermentas apresentados unto com os resultados do presente trabalho foram nferdos das fguras publcadas pelos autores. Apresenta-se também resultados numércos e epermentas de [Zang et al., 1993] e [Prasad e Koseff, 1989]. 87

102 1V=BU 1V=2B2U 10 rms 2V= 2UV 1UV 1 2 = 2B1U 2B21U500 são calculadas como: As elocdades médas admensonalzadas representadas nas fguras por V1 e V2 (4.2) sendo que a a dupla barra ndca méda temporal. As correlações das flutuações das elocdades estão admensonalzadas da segunte forma (semelhante aos resultados epermentas e numércos de outros autores [Zang et al., 1993] e [Prasad e Koseff, 1989]): (4.3) (4.4) Sendo as flutuações defndas como: Os resultados de elocdades médas são concdentes para os três processamentos efetuados e têm boa apromação com os resultados epermentas, conforme é possíel obserar na fgura Apenas o escoamento sem modelo apresenta um alor leemente menor para o pco negato de V1. Todos os modelos mplementados não representam bem este pco nferor. As fguras 4.19, 4.21 e 4.23 apresentam os resultados obtdos no presente trabalho em conunto com os resultados epermentas publcados em Prasad e Koseff, As fgura 4.20, 4.22 e 4.24 apresentam os resultados numércos de Zang et al., 1993, comparados com os mesmos resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989]. As dstrbuções das correlações de flutuações das elocdades obtdas no presente trabalho, apresentadas nas fguras 4.21 e 4.23 são muto prómas aos resultados das referêncas, fguras 4.22 e 4.24, sendo que o pco nferor posto de UV1 (fgura4.23) fo melhor capturado pelo modelo dnâmco. 88

103 Fgura 4.19 Perfs de elocdades médas admensonalzadas nas lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra, - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989] e resultados do presente trabalho: --- 3dles,...3dlam e 3ddn. Fgura Perfs de elocdades médas admensonalzadas nas lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra, e - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989]; e ---resultados numércos [Zang et al. 1993] Fgura 4.21 Dstrbução de V1rms e V2rms sobre as lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra, - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989] e resultados do presente trabalho--- 3dles,...3dlam e 3ddn. Fgura Dstrbução de Urms e Vrms sobre as lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra,, e - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989]; e ---resultados numércos [Zang et al., 1993]. 89

104 Fgura 4.23 Dstrbução de UV sobre as lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra, - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989] e resultados do presente trabalho: --- 3dles,...3dlam e 3ddn. Fgura Dstrbução de UV sobre as lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra,, e - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989]; e ---resultados numércos [Zang et al., 1993] Os resultados apresentados nas fguras 4.19, 4.21 e 4.23 permtem a aalação quanttata das análses desenoldas, mostrando a concordânca com os resultados epermentas e numércos representados nas fguras 4.19 a A sualzação do escoamento pode ser feta atraés das magens apresentadas nas fguras 4.26 a 4.29, nas quas são publcados resultados nstantâneos de so-pressões, campo de elocdades (colordo), so-ortcdades e lnhas de corrente, no plano médo da cadade, para escoamentos obtdos com os dferentes programas (3dlam, 3dles e 3ddn). A dferença estente entre o escoamento bdmensonal e o escoamento trdmensonal é dscutda no estudo epermental apresentado por Prasad e Koseff, Uma aalação desta dferença pode ser feta comparando os perfs de elocdades médas admensonalzadas para a cadade trdmensonal e bdmensonal com número de Reynolds 3200, apresentados por [Zang, et al, 1994] e reproduzdos na fgura 4.25, é possíel obserar a alteração sgnfcata do escoamento decorrente da trdmensonaldade. 90

105 Fgura 4.25 Perfs de elocdades médas admensonalzadas nas lnhas médas da cadade bdmensonal (esquerda) e lnhas médas do plano central, para a cadade trdmensonal (dreta), resultados apresentados por Zang et al., Obserando os resultados obtdos no presente trabalho, apresentados na fgura 4.19 (3D) e na fgura 4.15 (2D), é possíel erfcar a correta representação dos efetos trdmensonas, que alteram sgnfcatamente o campo de escoamentos. Os trabalhos publcados consultados não apresentam resultados de so-pressões, campo de elocdades, so-ortcdades ou lnhas de corrente, para o caso trdmensonal, apenas resultados bdmensonas foram encontrados. Por esta razão apresenta-se apenas os resultados obtdos no presente trabalho (fguras 4.26 a 4.49), com o obeto de permtr uma aalação qualtata dos campos de elocdade, pressão e ortcdade calculados. É possíel erfcar que, qualtatamente, para este número de Reynolds, estem pequenas dferenças entre os resultados decorrentes da análse com o modelo dnâmco (3ddn) e com o modelo (3dles) de Smagornsky. Obsera-se anda uma dferença um pouco mas sgnfcata, mas anda bastante reduzda, entre os resultados das análses com modelo (3ddn e 3dles) e sem modelo submalha (3dlam). 91

106 (a) (b) (c) Fgura 4.26 Isolnhas de pressão no plano de smetra, Re=3200, resultados do presente trabalho (t=0.795s): (a) 3dlam, (b) 3dles e (c) 3ddn. 92

107 (a) (b) (c) Fgura 4.27 Regões de so-elocdade, Re=3200, no plano de smetra, resultados do presente trabalho (t=0.795s): (a) 3dlam, (b) 3dles e (c) 3ddn. 93

108 (a) (b) (c) Fgura 4.28 Isolnhas de ortcdade no plano de smetra, Re=3200, resultados do presente trabalho (t=0.795s): (a) 3dlam, (b) 3dles e (c) 3ddn. 94

109 (a) (b) (c) Fgura 4.29 Isolnhas de função de corrente no plano de smetra, Re=3200, t=0.795s: (a) 3dlam, (b) 3dles e (c) 3ddn. 95

110 4.3.2 Cadade trdmensonal Resultados, Re=10000 Nesta seção, apresentam-se os resultados para o escoamento forçado da cadade trdmensonal caracterzado por Re=10000 e com fator de aspecto (1:1:0.5). Modela-se apenas a metade do domíno, por admtr um problema com smetra (fgura 4.17). Os dados e nformações sobre a malha estão resumdos no quadro abao. Resumo de Dados do Problema- Cadade 3D Re=10000 U B = 100 m/s Re = t = Fator de aspecto (B:D:H)= (1:1:0.5) Domíno 1=[0,1], 2=[0,1],3=[0,0.25](metros) 3 sm =0.25m Número de Elementos da Malha (1:2:3) = (64:64:16) ( ) mn /B = C(elocdades de propagação do som) = 340 m/s Fgura 4.30 Corte da malha de elementos fntos empregada no plano de smetra, cadade 3D, Re=

111 Fgura 4.31 Imagem da malha de elementos fntos empregada no plano de smetra, cadade 3D, Re= Um corte da malha, bem como uma magem trdmensonal estão apresentados nas fguras 4.30 e A malha é não unforme nas dreções dos eos 1 e 2, possu concentração prómo às paredes, sendo unforme na dreção 3. O menor elemento tem dmensões da ordem de Para obter os dados para análse estatístca da turbulênca foram armazenados os resultados das aráes nos pontos sobre as lnhas médas, horzontal e ertcal, do plano de smetra, a cada nteralo de tempo de ntegração. O processamento fo conduzdo até s e a análse estatístca fo processada sobre o período fnal de s. Depos de obter-se um escoamento médo constante, defnu-se o período de tempo para análse estatístca nestgando as flutuações; fo adotado o período a partr do qual, dentro do escoamento médo constante, não ocorreram mas arações sgnfcatas das flutuações. As fguras 4.32, 4.34 e 4.36 apresentam elocdades médas admensonalzadas (V1 e V2), assm como V1rms, V2rms, UV1 e UV2, defndas nas equações (4.2) a (4.5), resultados 97

112 Fgura 4.32 Perfs de elocdades médas admensonalzadas, Re=10000, nas lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra, - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989] e resultados do presente trabalho: dles e 3ddn. Fgura Perfs de elocdades médas admensonalzadas, Re=10000, nas lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra, e - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989]; e ---resultados numércos [Zang et al, 1993] Fgura 4.34 Dstrbução de V1rms e V2rms sobre as lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra, Re=10000: - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989] e resultados do presente trabalho--- 3dles e 3ddn.. Fgura 4.35 Dstrbução de Urms e Vrms sobre as lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra, Re=10000: e - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989]; e --- resultados numércos [Zang et al, 1993]. do presente trabalho comparados com resultados epermentas de Prasad e Koseff, As Fguras 4.33, 4.35 e 3.37 apresentam os resultados numércos de Zang et al., 1993 comparados com os mesmos resultados epermentas das fguras 4.32, 4.34 e

113 Fgura 4.36 Dstrbução de UV sobre as lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra, - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989] e resultados do presente trabalho, Re=10000: --- 3dles e 3ddn. Fgura Dstrbução de UV sobre as lnhas centras ertcal e horzontal do plano de smetra, Re=10000, e - resultados epermentas [Prasad e Koseff, 1989]; e --- resultados numércos [Zang et al, 1993] Os resultados obtdos para este número de Reynolds são muto prómos aos resultados epermentas, sendo as dferenças do campo médo calculado com os dferentes modelos desprezíes, conforme apresenta a fgura Nas correlações da turbulênca estem dferenças, faoráes ao modelo dnâmco, como por eemplo os pcos nferores de UV1 e V1rms. Comparando com os resultados de Zang, et al, 1993 (que também reproduzem os resultados epermentas de Prasad e Koseff, 1989), confrma-se a boa qualdade dos resultados obtdos. As fguras 4.38 a 4.41 apresentam resultados de so-pressões, campo de elocdades (colordo), so-ortcdades e função de corrente, para escoamentos obtdos com os dferentes programas (3dles e 3ddn). Da mesma forma que no problema caracterzado por Re=3200, apresentado na secção anteror, não foram encontrados estes resultados publcados para o caso trdmensonal, por esta razão, publca-se apenas os resultados do presente trabalho. 99

114 (a) Fgura 4.38 Isolnhas de pressão, Re=10000 (t=1.095s): (a) 3dles e (b) 3ddn. (b) As osclações do campo de pressões nstantâneo são um pouco menos seeras nos resultados obtdos com o modelo dnâmco, este resultado repete-se para outros nstantes de tempo. Osclações de pressão para este escoamento, no caso bdmensonal também estão presentes nos resultados de Sohn, 1989, obtdos com um esquema baseado em equações médas de Reynolds e modelo k-ε. (a) (b) Fgura 4.39 Regões de sso-elocdade, Re=10000, no plano de smetra, (t=1.095s): (a) 3dles e (b) 3ddn.. 100

115 (a) (b) Fgura 4.40 Isolnhas de ortcdade no plano de smetra, Re=10000, (t=1.095s): (a) 3dles e (b) 3ddn. (a) (b) Fgura 4.41 Isolnhas de função de corrente no plano de smetra, Re=10000, (t=1.095s): (a) 3dles e (b) 3ddn. 101

116 4.4 Análse do Escoamento Sobre um Degrau Com o obeto de aldar o códgo trdmensonal desenoleu-se a smulação de escoamentos sobre um degrau bdmensonal caracterzados por baos números de Reynolds, empregando os dos programas de smulação de grandes escalas mplementados, seam os programas com modelo de Smagornsky e com modelo dnâmco. Os resultados são comparados entre s e com dados epermentas [Armaly et al., 1983, Km et al, 1980] e numércos de outros autores[slera Neto et al., 1993; Kaktss et al, 1991], para problemas semelhantes. Este escoamento é tema de dersos trabalhos publcados, Wllams e Baker, 1997, apresentam um estudo númérco comparando resultados bdmensonas e trdmensonas em escoamentos lamnares. Sagaut et al, 1994, empregou dferenças fntas, com modelo de Smagornsky e modelo dnâmco em análse bdmensonal, Bobenreth, 1994, empregou o modelo de Smagornsky para análse bdmensonal do degrau, com eleado número de Reynolds, assm como Pran et al, 2000, que apresentam resultados para número de Reynolds e também Ortega e Azeedo, Sohn, 1989, apresenta resultados empregando elementos fntos e modelagem clássca da turbulênca. O artgo de Slera Neto et al, 1991, apresenta resultados para escoamentos não sotérmcos. Até problemas caracterzados por Reynolds 1000 fo possíel obter resultados coerentes com as referêncas e smular períodos de tempo sufcentes para obter o escoamento médo estaconáro. Problemas de osclações de pressão, desde os casos lamnares, learam a redução do nteralo de tempo de ntegração necessáro para conergênca, conduzndo a um tempo de processamento superor às estmatas ncas. Para problemas com Reynolds mas eleados, não fo possíel obter resultados satsfatóros, pos os tempos de processamento enoldos superaram os recursos e prazos dsponíes. Resultados parcas obtdos nstantaneamente são bons, mas não fo possíel a smulação de um período sufcente para apresentar resultados médos e proceder a análse estatístca, como no caso da cadade trdmensonal. Da mesma forma as smulações trdmensonas fcaram lmtadas a resultados parcas. As razões para esta dfculdade serão dscutdas no capítulo fnal da tese. O problema físco a ser estudado é o mesmo apresentado na seção 4.1.1, porém empregou-se os códgo trdmensonas para smular os problemas, as dmensões são semelhantes ao degrau do epermento de Armaly, et al, O domíno é semelhante ao apresentado na fgura 4.42, porém como o problema é bdmensonal a profunddade w é de apenas um elemento e as componentes da elocdade na dreção 3 (z), são mpostas nulas ( 3 =0) 102

117 em todo o domíno. Esta estratéga de processar um problema bdmensonal, com apenas um elemento de profunddade, sa reduzr as dmensões do problema computaconal, tendo em sta que os problemas estão prómos aos lmtes mámos do equpamento dsponíel, em termos de memóra e elocdade de processamento, que ablze a solução. 1ma = 75 1 = (y) 1 z y r 30 w Fgura Esquema do domíno e dmensões característcas do escoamento sobre o degrau Valdação do Programa: Análse do Escoamento Bdmensonal a Baos Números de Reynolds Nesta seção apresenta-se resultados do escoamento bdmensonal, sobre o degrau com baos números de Reynolds; empregando os dos códgos, com modelo de Smagornsky e modelo dnâmco. Esta análse tem por fnaldade a aldação dos programas, em rtude da dsponbldade de dados epermentas [Armaly et al., 1983] e numércos [Ortega e Azeedo, 1995; Slera Neto et al., 1993; Kaktss et al, 1991]. Neste escoamento uma mportante característca a ser erfcada é a relação entre o número de Reynolds e o comprmento de recolamento X r. Como condções de contorno, empregou-se um perfl de elocdades ( 1 =V(y), 2 =0) parabólco completamente desenoldo na entrada e elocdades nulas ( 1 = 2 = 3 =0) nas paredes superor e nferores. Na saída este a condção de contorno natural nula (t1=t2=t3=0) (equação 2.52). Como condções ncas, empregou-se, na prmera smulação, condções ncas homogêneas ( 1 = 2 = 3 =p=0), nas smulações seguntes empregou-se o últmo campo de 103

118 pressões e elocdades calculado para o número de Reynolds 100. O número de Reynolds é defndo da mesma forma que nos epermentos de Armaly et al, 1995 (repetndo 4.1): ( 2V ma ) ρ 2h Re = 3 (4.6) µ Resumo de Dados do Problema- Degrau 2D/Códgo3D V1ma= 75 m/s Número de Elementos da Malha: Entrada 1 [0,1]: (1:2:3) =(6:30:1) 1 [1,21]: (1:2:3)= (140:60:1) 1 [21,31]: (1:2:3)= (30:60:1) Número total de elementos: Número total de nós: C(elocdades de propagação do som) = 340 m/s Fgura 4.43 Detalhe da malha de elementos fntos empregada para análse do escoamento sobre o degrau a baos números de Reynolds corte em um plano perpendcular ao eo 3. Para defnr o comprmento de recolamento nestga-se a prmera camada de pontos da malha acma da parede nferor após o degrau, o ponto de recolamento é defndo como o 104

119 prmero nó da malha, após a regão de separação (fgura 4.42), onde a componente 1 da elocdade méda assume alor posto. O comprmento de recolamento admensonal é defndo como X r /H, onde H é altura do degrau (0.94m). Os resultados obtdos para a relação X r /H Re, untamente com os alores apresentados por Armaly, et al., estão na tabela 4.1. O gráfco da fgura 4.2 (seção 4.1.1) apresenta resultados semelhantes obtdos com o códgo bdmensonal e ncluí resultados de outros autores [Armaly, et al., Slera Neto, et al., 1993 e Kaktss et al., 1991] X r /H Re Re 3dles 3ddn Armaly et al epermental Tabela 4.1 Comprmento de recolamento X r /H em função do número de Reynolds, resultados com os programas 3dles e 3ddn. Os resultados para os escoamentos com Re=100 e Re = 400 são bons, com os dos modelos. Sendo escoamentos lamnares não espera-se uma dferença mportante entre os resultados. Porém como estão sendo empregados modelos para efetos das escalas sub-malha e a malha utlzada não é capaz de capturar todas as escalas enoldas, estes modelos nfluencam os resultados. O modelo dnâmco para Re=100 resultou em (95%) nós com coefcente C(,t) nulo, para o escoamento com Re=400 foram (94%) nós, nenhum elemento tee o alor da scosdade turbulenta alterado por aplcação do lmte de scosdade turbulenta negata. Para o escoamento com Re=1000, (60%) nós teram C(,t)=0, enquanto 9 (0.09%) elementos teram a scosdade turbulenta negata lmtada. Conforme fo apresentado na seção 4.1.1, em escoamentos lamnares caracterzados por números de Reynolds até 500, a smulação bdmensonal apresenta bons resultados, a partr desta ordem de Re, o comprmento de recolamento passa a ser subestmado por smulações bdmensonas. O afastamento da realdade físca decorre da mportânca de efetos trdmensonas nesta faa de Reynolds, como afrmam Slera Neto et al., 1993, e Kaktss et al, 1991 e confrma o trabalho de Wllams e Baker,

120 Resultados do comprmento de recolamento em smulações numércas bdmensonas para Re maores que 500 foram apresentados por Wllams e Baker, 1997, que encontraram um alor de Xr=10, para Reynolds 800; enquanto no processamento trdmensonal (nclundo paredes lateras) o alor passou para apromadamente X r =14, semelhante ao resultado epermental de Armaly et al, Para obter a solução correta, o nteralo de tempo de ntegração tee que ser reduzdo à medda que ocorra um acréscmo do número de Reynolds. No esquema mplementado, o lmte de tempo de ntegração, condção necessára para a conergênca, é calculado como a relação entre o menor da malha e a soma da elocdade de propagação do som com a elocdade máma de referênca, multplcado por um coefcente de segurança, usualmente adota-se um alor da ordem de Durante a análse destes problemas ocorreram nstabldades do campo de pressões, a partr de Re=400, que somente foram corrgdas com a redução do passo de tempo de ntegração. Foram estudadas dferentes malhas (fguras 4.44 e 4.45) com maor refnamento, unformes ou com concentração de elementos prómo às paredes e obserou-se que o refnamento da malha não era sufcente para soluconar o problema das nstabldades do campo de pressões. Apenas com a redução do passo de tempo de ntegração estes problemas foram superados. Fgura 4.44 Detalhe da malha unforme com elementos na regão posteror ao degrau (step2b). 106

121 Fgura 4.45 Detalhe da malha com concentração de elementos prómo às paredes superor e nferor na regão posteror ao degrau (step2a). As malhas com refnamento prómo a parede apresentaram resultados sem as osclações de pressão, mas que tnham nfluênca clara da dstorção dos elementos (fgura 4.46). Fgura 4.46 Detalhe do campo de pressões em malha com elementos muto dstorcdos. 107

122 Para etar esta dstorção sera necessáro refnar a malha na dreção perpendcular às paredes e as dmensões do problema tornam sua solução náel. Este fato fca mas edente consderando que pretende-se estender estas análse para problemas trdmensonas reas, com mutos elementos na dreção perpendcular ao plano do escoamento bdmensonal Porém este refnamento proocou a redução do passo de tempo de ntegração como conseqüênca da redução do menor da malha. Empregando o passo de tempo reduzdo à malha unforme orgnal, obtee-se bons resultados (apresentados nesta seção). A comparação dos resultados para a malha unforme orgnal, empregando dferentes nteralos de tempo de ntegração podem ser obserados nas fguras 4.47 e t = t = Fgura 4.47 Campos de pressão obtdos com o mesmo programa, malha unforme e dferentes nteralos de tempo de ntegração, para o mesmo nstante de tempo. Re=

123 Os problemas encontrados foram semelhantes para os dferentes programas mplementados. Na fgura 4.48 é possíel obserar a alteração do campo de elocdade em conseqüênca da redução do nteralo de tempo de ntegração. t = t = Fgura 4.48 Vetores de elocdade obtdos com o mesmo programa, malha unforme e dferentes nteralos de tempo de ntegração, para o mesmo nstante de tempo. Re=400 A tabela 4.2 apresenta os alores dos nteralos de tempo de ntegração adotados para obter os resultados apresentados nesta seção. A coluna da dreta apresenta, para comparação os alores de nteralos de tempo que deeram ser empregados para a smulação dreta do problema. Pode-se obserar que os alores que foram necessáros são da mesma ordem dos alores estmados para a smulação dreta. 109

124 Re Interalo de tempo de Integração t DNS Tabela 4.2 Interalos de tempo de ntegração adotados comparados com alores estmados para smulação dreta, para solução dos escoamentos caracterzados por dferentes números de Reynolds. A topologa dos escoamentos para os dferentes números de Reynolds e empregando os programas com modelo de Smagornsky (3dles) e com modelo dnâmco (3ddn), pode ser obserada nas fguras 4.49 a São apresentados, sempre para o últmo nstante de tempo resoldo, campos nstantâneos de pressões, função de corrente, ortcdade e etores de elocdade. 3ddn Re=100 3dles Re=100 3ddn Re=400 3dles Re=400 3ddn Re=1000 3dles Re =1000 Fgura Vsualzação do campo de pressões para resultados com 3dles e 3ddn, dferentes Re. 110

125 3ddn Re=100 3dles Re=100 3ddn Re=400 3dles Re=400 3ddn Re=1000 3dles Re=1000 Fgura 4.50 Isolnhas de função de corrente para resultados com 3dles e 3ddn, dferentes Re. 111

126 3ddn Re=100 3dles Re=100 3ddn Re=400 3dles Re=400 3ddn Re=1000 3dles Re=1000 Fgura 4.51 Campo de ortcdade nstantâneo para resultados com 3dles e 3ddn, dferentes Re. Fgura 4.52 Detalhe dos etores de elocdade, resultados com 3ddn, Re=

127 Fgura 4.53 Detalhe dos etores de elocdade, para resultados com 3dles, Re=100. Fgura 4.54 Detalhe dos etores de elocdade, para resultados com 3ddn, Re=400. Fgura 4.55 Detalhe dos etores de elocdade, para resultados com 3dles, Re=400. Obsera-se que os escoamentos são mudo semelhantes, tendo uma pequena nfluênca dos modelos sub-malha adotados, de acordo com o esperado em baos números de Reynolds. 113

128 Fgura 4.56 Detalhe dos etores de elocdade, resultados com 3ddn, Re=1000. Fgura 4.57 Detalhe dos etores de elocdade, resultados com 3dles, Re=1000 Fgura 4.58 Detalhe dos etores de elocdade, resultados obtdos com 3ddn, Re=1000, após a regão de separação. Fgura 4.59 Detalhe dos etores de elocdade, resultados obtdos com 3dles, Re=1000, após a regão de separação. Para este problema, escoamento bdmensonal sobre o degrau, os resultados estão corretos, confrmando a aldade do método, contudo a restrção do passo de tempo de ntegração é muto seera. 114

129 4.4.2 Análse do Escoamento Turbulento Bdmensonal O escoamento em um degrau passa ao regme turbulento em problemas caracterzados por números de Reynolds superores a Dersos autores estudaram este tpo de escoamento, Sagaut et al, 1996, empregou dferenças fntas, com modelo de Smagornsky e modelo dnâmco em análse bdmensonal. Bobenreth, 1994, também empregou o modelo de Smagornsky para análse bdmensonal do degrau, com eleado número de Reynolds. Pran et al, 2000, obteram resultados para número de Reynolds , empregando o modelo de Smagornsky, assm como Ortega e Azeedo, 1995, Slera Neto et al, 1991 e 1993, e Sohn, Resultados epermentas podem ser encontrados em Armaly, et al, 1983 e Km et al, 1980 Dante da necessdade apresentada pelo esquema mplementado, de redução do passo de tempo de ntegração à medda que cresce o número de Reynolds, o tempo de processamento para os casos de escoamentos turbulentos nablzaram a obtenção de resultados sufcentes para desenoler uma aalação estatístca. Contudo resultados parcas podem ser apresentados. O estudo do escoamento com número de Reynolds fo escolhdo, adotando-se um regme turbulento com bao Re, para mnmzar efetos da redução do passo de tempo de ntegração. Os dados do problema são os mesmos dos problemas com bao Reynolds, relatados na seção Para este número de Reynolds resultados parcas coerentes com as referêncas foram obtdos adotando-se s como nteralo de tempo de ntegração. Para este mesmo número de Reynolds não fo possíel obter bons resultados empregando nteralo de A fgura 4.60 apresenta a dferença do perfl da componente 1 dos etores de elocdades médas, ao longo da lnha sobre a parede nferor do degrau, obtdos nas smulações com dferentes nteralos de tempo de ntegração. A méda fo calculada entre os mesmos nstantes ncas e fnas. É possíel obserar os dferentes comprmentos da regão de separação, confrmando a necessdade de refnar a dscretzação. Até o nstante de tempo 0.4 s, para o problema resoldo empregando o modelo dnâmco, o comprmento de recolamento X r encontra-se em 7.3. Um ótmo resultado, tendo em sta os alores epermentas publcados de 7±1 [Km et al, 1980]. Contudo este resultado não é concluso, pos é necessáro obter resultados de um período mas longo para defnr o escoamento médo. O número de elementos onde a lmtação de scosdade turbulenta negata fo aplcada, até o nstante de tempo processado, fo de 615 (menos de 6%). 115

130 Fgura 4.60 Perfs da componente 1 dos etores de elocdades médas, ao longo da lnha sobre a parede nferor do degrau, Re=10000: t = ; t = 510. A segur são apresentadas fguras 4.61 a 4.65, contendo magens nstantâneas do campo de escoamentos para o problema resoldo com o modelo dnâmco, número de Reynolds 10000, s de nteralo de ntegração. Fgura Vsualzação do campo de pressões para resultados com 3ddn, Re = 10000, t=0.4s. Fgura 4.62 Isolnhas de função de corrente para resultados com 3ddn, Re = 10000, t=0.4s. 116

131 Fgura 4.63 Eolução do campo de ortcdade, resultados com 3ddn, Re = Fgura 4.64 Detalhes dos etores de elocdade para resultados com 3ddn Re= Fgura 4.65 Detalhes do campo de ortcdade para resultados com 3ddn, Re=

132 4.4.3 Escoamento Sobre um Degrau Trdmensonal Foram desenoldos epermentos de aplcação do programa para o escoamento trdmensonal sobre um degrau. Da mesma forma que no problema bdmensonal, empregando o códgo computaconal trdmensonal, fo necessáro utlzar reduzdos passos de tempo. Este fato lmtou o processamento do problema, em rtude do tempo de processamento superar os prazos e a dsponbldade de recursos computaconas. Por esta razão, apresenta-se apenas os resultados obtdos a partr do programa com modelo dnâmco, para o escoamento sobre o degrau trdmensonal, sem paredes lateras, para número de Reynolds 100 e 1000 (resultados parcas). Estudos sobre o degrau turbulento trdmensonal podem ser encontrados em Slera Neto et al., 1993 e Leseur, Escoamentos lamnares podem ser encontrados no artgo de Wllams e Baker, O domíno do problema está representado na fgura 4.66, a profunddade é 2m e a malha adotada é semelhante à empregada para as smulações bdmensonas descrtas nas seções a 4.4.3, sendo que na dreção de 3 estem 8 elementos. 1ma = 75 1 = (y) 1 z y r 30 2 Fgura Esquema do domíno e dmensões característcas do escoamento sobre o degrau 3D Como condções de contorno, empregou-se um perfl de elocdades ( 1 =V(y), 2 =0) parabólco completamente desenoldo na entrada e elocdades nulas ( 1 = 2 = 3 =0) nas paredes superor e nferores. Nos lmtes 3 =0 e 3 =2, é mposta a condção de elocdade 3 =0. Na saída este a condção de contorno natural nula (t1=t2=t3=0) (equação 2.52). Como 118

133 condções ncas, empregou-se, na prmera smulação, condções ncas homogêneas ( 1 = 2 = 3 =p=0), na smulação segunte utlza-se o últmo campo de pressões e elocdades calculado para o número de Reynolds 100. O número de Reynolds é defndo da mesma forma que nos epermentos de Armaly et al, 1995 (equação 4.1) Resumo de Dados do Problema- Degrau 3D V1ma= 75 m/s Número de Elementos da Malha: Entrada 1 [0,1]: (1:2:3) =(6:30:8) 1 [1,21]: (1:2:3)= (140:60:8) 1 [21,31]: (1:2:3)= (30:60:8) Número total de elementos: Número total de nós: C(elocdades de propagação do som) = 340 m/s Assm como no eemplo bdmensonal, escoamento com Re=100, o comprmento de recolamento admensonal encontrado fo de As fguras 4.67 a 4.69 apresentam sualzações do escoamento trdmensonal caracterzado por Re=100. Fgura 4.67 Campo de pressões, Re=100, plano central (3=1), degrau 3D, empregando 3ddn. O resultado apresentado em 4.67 é semelhante ao encontrado na smulação bdmensonal, fgura

134 Fgura 4.68 Detalhe dos etores de elocdade, Re=100, degrau 3D, empregando 3ddn. Fgura 4.69 Detalhe: so-superfíces de ortcdade (w), Re=100, degrau 3D, empregando 3ddn - w 3 = , -w 1 =410-4 e - w 1 = Para o escoamento com Re=1000, não fo possíel completar a smulação até permtr uma análse do ponto de recolamento, em rtude do longo tempo de processamento necessáro. Mas resultados parcas podem ser obserados nas fguras 4.70 a

135 Fgura 4.70 Campo de pressões, Re=1000, plano central ( 3 =1), degrau 3D, empregando 3ddn. Fgura 4.71 Detalhe dos etores de elocdade, plano central, Re=1000, degrau 3D, empregando 3ddn. Fgura 4.72 Detalhe dos etores de elocdade, Re=1000, degrau 3D, empregando 3ddn. 121

136 Fgura 4.73 Vortcdade, plano central, Re=1000, degrau 3D, empregando 3ddn. Fgura 4.74 Detalhe da dstrbução da ortcdade, Re=1000, degrau 3D, empregando 3ddn. Fgura 4.75 Detalhe: so-superfíces de ortcdade (w), Re=1000, degrau 3D, empregando 3ddn - w 3 = , -w 1 =410-4 e - w 1 = Apesar da pouca resolução na dreção 3, os resultados parcas obtdos estão coerentes com os resultados encontrados nas referêncas. As magens apresentadas demonstram que o escoamento está se desenolendo da forma esperada. 122