A utilização de filtros digitais em séries temporais GNSS

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1 A utlzação de fltros dgtas em séres temporas GSS José uno LIMA Laboratóro aconal de Engenhara Cvl, Avenda do Brasl, Lsboa (jnplma@lnec.pt) Palavras-chave: GSS, Montorzação, Fltros, Séres Temporas, Barragens de Betão, Geodesa Resumo: A méda móvel smples e a méda móvel exponencal são dos fltros dgtas, do tpo passa-baxo, e fáces de mplementar em séres temporas GSS. Tendo em vsta a montorzação de deslocamentos em estruturas (como, por exemplo, as barragens de betão), apresentam-se nesta comuncação as defnções e as propredades destes dos fltros e dscute-se quas as ordens mas adequadas a aplcar em função da frequênca de amostragem e dos deslocamentos.

2 . Introdução A utlzação do GSS (Global avgaton Satellte System) em contínuo para montorzar fenómenos geofíscos, nomeadamente a vglânca vulcânca, sísmca e tectónca, e as respostas dnâmcas e quase estátcas das grandes estruturas de engenhara cvl va gerar séres temporas que deverão ser convenentemente fltradas em função do tpo de snal (frequênca e ampltude) que se pretende montorzar. Com o mesmo tpo de equpamento, mas empregando modos de posconamento dferentes, com o GSS é possível montorzar numa banda muto larga. Com efeto, o GSS em modo estátco relatvo é mas adequado para vglânca de longo período porque este tpo de posconamento caracterza-se por detectar deslocamentos de baxa frequênca com exactdão mlmétrca. Por outro lado, para a montorzação de movmentos rápdos, deslocamentos de curto período e vbrações é necessáro recorrer a um posconamento GSS mas expedto, como o modo de posconamento cnemátco em tempo real ou o posconamento cnemátco pós-processado. Sendo estes últmos mas afectados pelos efetos de multpath (reflexão de snas ou mult-trajectos) e, por essa razão, menos precsos do que o modo estátco (Lma et al., 205; Lma et.al, 2009). A aplcação de fltros dgtas permte melhorar a precsão deste tpo de posconamento. os fltros dgtas há três componentes báscas, a sére temporal orgnal (sequênca de entrada) x, o operador D{} e a sére temporal fltrada (sequênca de saída) y e relaconam-se da segunte forma que se pode escrever na segunte forma Q q0 y D{ x } () P y bq xq a p y p (2) p onde b q e a p são os coefcentes para defnr os operadores lneares D{}, sendo este operador D{} consttuído por dos fltros dgtas de ordem P e Q respectvamente. Há duas classes generalzadas de fltros dgtas dependendo dos valores dos coefcentes b q e a p. A prmera é desgnada por fltro dgtal de resposta ao mpulso de duração fnta (Fnte-duraton Impulse Response, FIR dgtal flter), onde os coefcentes a p (p=, 2,,P-) são guas a zero. este caso, a sequênca de saída prevamente fltrada não terá qualquer nfluênca na sequênca de saída a ser fltrada. Assm, a equação (2) vem escrta da segunte forma Q q0 y b x q q (3) Uma vez que a sequênca de saída é smplesmente a méda pesada da sequênca de entrada, estes fltros também são desgnados por médas móves. Devda à sua smplcdade e establdade, estes fltros são muto utlzados na redução do ruído do snal e na dentfcação do modelo da sequênca de entrada. A segunda classe de fltros dgtas é desgnada por fltros de resposta ao mpulso nfnta (Infnte Impulse Response, IIR flters) que têm a forma da equação (4), onde os coefcentes b q (q=, 2,, Q-) são guas a zero, resultando da equação (2) P p y x a p y p (4) Da equação (4) é possível ver que os termos da sére já fltrados rão nfluencar, juntamente com os termos da sére orgnal, os termos da sére a serem fltrados. Comparados com os fltros do tpo FIR, os fltros IIR são menos estáves e poderão ter, em certos casos, dfculdades na redução do ruído da sequênca de entrada. Haverá, por estas razões, mas dfculdade na mplementação dos fltros IIR. Há dos tpos de fltros FIR de acordo com o tpo de coefcentes b q, os fltros FIR de coefcentes nvarantes no tempo e os fltros FIR Adaptados (Lma, 2009). Os fltros lneares e nvarantes no tempo, cuja soma dos coefcentes do fltro b q é gual a, são usados para converter uma sére temporal numa outra através de uma operação lnear. A aplcação das médas móves às séres temporas permte analsar a varação dos termos mas longos e a evolução das tendêncas. Os resíduos entre a sére temporal suavzada através da aplcação 2

3 duma méda móvel e a sére temporal orgnal representam as varações locas, ou seja, aquelas que têm frequêncas mas elevadas. Alguns dos fltros dgtas mas utlzados são as médas móves que servem para detectar tendêncas, elmnar snas ndesejáves (ruído), fazer predções, etc. 2. Médas Móves 2. Méda Móvel Smples (MMS) Teorcamente, há uma nfndade de possbldades de médas móves se bem que, em termos prátcos, reduzem-se a dos tpos: a méda móvel smples (MMS) e a méda móvel exponencalmente pesada (MMEP). A MMS é forma convenconal da méda móvel e pode ser defnda por y ( x x x 2 x ) xk (5) onde x são os termos da sére temporal orgnal, y são os termos da sére temporal fltrada pela méda móvel smples e é a ordem da méda móvel. Por construção, este tpo de méda móvel é afectado por um atraso da sem-ampltude da ordem. Para elmnar este atraso, é costume utlzar médas móves smples centradas e smétrcas. Sendo um número ímpar, são defndas da segunte forma y ( x ( ) / 2 k0 ( ) / 2 x x( ) / 2 ) x (6) k k ( ) / 2 onde x são os termos da sére temporal orgnal, y são os termos da sére temporal fltrada pela méda móvel centrada e é a ordem da méda móvel, sendo um número ímpar. Uma vez que os pesos nas médas móves smples são todos guas, não há observações anterores ou posterores mas relevantes do que outras. Isto leva-nos às médas móves pesadas, onde cada observação x terá o seu peso específco e será defnda por y h0 x h x x2 h x hk xk (7) onde x são os termos da sére temporal orgnal, y são os termos da sére temporal fltrada pela méda móvel centrada, h k é o peso assocado à observação de ordem k (é obrgatóro que a soma de todos os pesos seja gual a e que sejam todos maores ou guas a zero) e é a ordem da méda móvel, sendo um número natural. Os h descrevem completamente o tpo de méda móvel e frequentemente são desgnados pelas respostas ao mpulso. Faclmente se compreende que as médas móves smples são um caso partcular das médas móves pesadas, onde todos os pesos são guas e constantes. Ou seja, para uma méda móvel smples de ordem a resposta ao mpulso é dada por h k = /, para k=0,, -. k0 2.2 Méda Móvel Exponencalmente Pesada (MMEP) a predção das séres temporas é frequente utlzarem-se médas móves pesadas cujos pesos vão crescendo gradualmente com a entrada de novas observações, segundo o pressuposto de que as observações mas relevantes são as mas recentes para a predção de um valor para um futuro próxmo. Ou seja, os h k vão crescendo de tal forma que h k h k+. Uma méda móvel muto famosa e largamente utlzada (e.g., para estudar a tendênca e fazer predções no índce bolssta nova-orquno Dow Jones Industral Average) é a Méda Móvel Exponencalmente Pesada, com os pesos a crescerem exponencalmente, defnda por y x ( ) y (8) onde λ é um valor constante e compreenddo entre ]0,]. Prova-se faclmente que λ=/ o que dá uma dea do valor a escolher para λ para que a MMEP tenha uma efcáca smlar a uma MMS de ordem. 3

4 3. Ensao realzado na Base do LEC o campus do LEC, foram nstaladas duas antenas GSS Leca AS0 no topo do edfíco do Departamento de Barragens de Betão (Fgura ), dstancadas uma da outra de cerca de 25 m, cada uma delas lgada a um receptor GSS Leca GMX902. Através do software da Leca Spder, as observações destes equpamentos foram processadas em modo cnemátco e em tempo real, com uma frequênca de amostragem de Hz, e processadas em modo estátco ao fm de cada hora de regstos, com a mesma frequênca de amostragem. esta comuncação apenas vão ser analsados as séres temporas geradas pelas soluções horáras desta pequena base de testes. Fgura Base de testes do LEC, defnda pela estação DBB e pela estação DBB3 (as antenas GSS não estão à escala) Partndo do pressuposto que a base é nvarante, qualquer varação nas soluções horáras obtdas deverá ser causada pelo ruído branco. A Fgura 2 mostra a sére temporal das soluções horáras na componente orte (d), lnha azul, uma méda móvel smples centrada de ordem 6, lnha a vermelho, e uma méda móvel smples centrada de ordem 24, lnha verde. Fgura 2 Sére temporal das soluções horáras na componente orte (lnha azul), e respectvas médas móves smples e centradas de ordem 6 (lnha vermelha) e 24 (lnha verde). A escala das ordenadas está em mlímetros A Fgura 3 mostra a sére temporal das soluções horáras na componente Este (de), lnha vermelha, uma méda móvel smples centrada de ordem 6, lnha azul, e uma méda móvel smples centrada de ordem 24, lnha verde. 4

5 Fgura 3 Sére temporal das soluções horáras na componente Este (lnha vermelha), e respectvas médas móves smples e centradas de ordem 6 (lnha azul) e 24 (lnha verde). A escala das ordenadas está em mlímetros O Quadro apresenta os valores médos e os desvos padrão das séres temporas d, de e dh (varações da alttude elpsodal), das respectvas médas móves smples e centradas de ordem 6 e 24 e das respectvas médas móves exponencalmente pesadas (λ= 0,08). Quadro Valores médos e desvos padrão das componentes d, de e dh e desvos padrão das médas móves Valor médo Desvo Padrão Desvo Padrão MMS-ordem6 Desvo Padrão MMS-ordem24 Desvo Padrão MMEP (λ=0,08) d -0,7 mm 0,77 mm 0,35 mm 0,8 mm 0,9 mm de 0,9 mm 0,95 mm 0,38 mm 0,9 mm 0,23 mm dh 2,3 mm,78 mm 0,7 mm 0,40 mm 0,43 mm Verfca-se que os desvos padrão vão dmnundo com a ordem da méda móvel smples centrada, conforme sera de esperar, e que o desvo padrão da MMEP (λ=0,08) é semelhante ao da MMS de ordem 24. Apesar de não estarem todos expressos no Quadro, os valores médos das séres temporas e das respectvas médas móves são guas, também conforme sera de esperar. Foram fetas análses destas séres temporas no domíno da frequênca, através das transformadas rápdas de Fourer e utlzando o programa TSOFT (Van Camp e Vautern, 2005). A Fgura 4 apresenta o espectro de potênca da sére temporal d, destacam-se város períodos como o de 24, 2, 8, 6, 4, 3 e 2,66 horas. Fgura 4 Espectro de potênca da sére temporal das soluções horáras na componente orte, as abcssas estão expressas em horas 5

6 Fgura 5 Espectro de potênca da sére temporal das soluções horáras na componente Este, as abcssas estão expressas em horas Fgura 6 Espectro de potênca da MMS de ordem 6 da sére temporal das soluções horáras na componente orte, as abcssas estão expressas em horas Fgura 7 Espectro de potênca da MMS de ordem 6 da sére temporal das soluções horáras na componente Este, as abcssas estão expressas em horas Fgura 8 Espectro de potênca da MMS de ordem 24 da sére temporal das soluções horáras na componente orte, as abcssas estão expressas em horas 6

7 Fgura 9 Espectro de potênca da MMS de ordem 24 da sére temporal das soluções horáras na componente Este, as abcssas estão expressas em horas A Fgura 5 apresenta o espectro de potênca da sére temporal de, destacam-se város períodos como o de 24, 2, 8, 6, 4, 3 e 2,66 horas. As fguras 6 e 7 apresentam o espectro de potênca das médas móves smples e centradas das séres temporas d e de. Város períodos que se destacavam nas séres temporas d e de, como são os casos de todos os períodos nferores ou guas a 6 horas, foram fltrados pela MMS de ordem 6, conforme se pode verfcar nessas fguras. As fguras 8 e 9 apresentam o espectro de potênca das médas móves smples e centradas, mas agora de ordem 24, das séres temporas d e de. Város períodos que se destacavam nas séres temporas d e de, como são os casos de todos os períodos nferores ou guas a 24 horas (ou um da), foram fltrados pela MMS de ordem 24, conforme se pode verfcar nessas fguras. Obtveram-se as temperaturas duma estação meteorológca, localzada nas vznhanças das estações GSS. A Fgura 0 mostra os valores meddos da temperatura em graus Celcus. A Fgura mostra o espectro de potênca desta sére temporal de temperaturas, cujas abcssas estão expressas em horas. Os períodos com mas potênca são o de 24 horas, o de 228 horas (9,5 das) e o de 2 horas. Fgura 0 Sére temporal de temperaturas, as abcssas estão expressas em horas e as ordenadas em graus Celcus Fgura Espectro de potênca da sére temporal de temperaturas, as abcssas estão expressas em horas 4. Consderações fnas e conclusões Este ensao mostra que a montorzação com o GSS é muto versátl e precsa. Versátl porque é possível escolher a frequênca de solução que se pretende (desde em tempo real com frequênca de amostragem de 50 Hz até soluções dáras). Precsa porque mesmo que a frequênca de solução não tenha a precsão necessára, faclmente se mplementam médas móves fltros do tpo passa-baxo, conforme se verfca neste ensao até se consegur a precsão que se pretende. 7

8 Os valores do desvo padrão expressos no Quadro mostram que as soluções horáras (não esquecer que a base é muto curta) têm uma precsão de cerca de mm nas componentes horzontas e de cerca de 2 mm na componente vertcal. Aplcando as MMS e centradas de ordem 6 a precsão nas componentes horzontas passa para valores cerca de 0,4 mm e na componente vertcal para 0,7 mm, com a desvantagem de elmnar snas com períodos nferores ou gual a 6 h. Se se optar por MMS e centradas de ordem 24 a precsão nas componentes horzontas passa para valores cerca de 0,2 mm e para 0,4 mm na componente vertcal, agora com a desvantagem de elmnar snas com períodos nferores ou gual a 24 h. A méda móvel exponencalmente pesada é muto semelhante às médas móves smples (a ordem destas últmas relacona-se com o parâmetro λ); no entanto, a prmera é muto mas fácl de mplementar, uma vez que não necessta de guardar os termos da sére temporal orgnal nem de esperar pelas observações futuras. As séres temporas GSS horáras apresentam város snas com expressão sgnfcatva no domíno da frequênca. Alguns poderão ser devdos à onda térmca durna, ou à exposção aos raos solares ou, anda, à repetção da constelação dos satéltes do GPS (cerca de 24 h). Mutos desses snas poderão ser elmnados com a mplementação das médas móves. Agradecmentos Agradece-se à Fundação para Cênca e a Tecnologa pelo fnancamento do Projeto PTDC/ECM-EST/23/202 Integração de dados GSS e de acelerómetros na montorzação de grandes estruturas, no âmbto do qual se realzaram os desenvolvmentos referdos na presente comuncação. Referêncas Bblográfcas Lma, J.. (2009). A Utlzação do Fltro Adaptado às Séres Temporas GSS. Conferênca aconal de Cartografa e Geodesa, Caldas da Ranha, Mao de Lma, J.., Conde, V., Candeas, H. (205). Qualty assessment of GSS wth short-length sesson n the dsplacement measurement of a large embankment dam, proceedngs of Dam World 205, Second nternatonal Dam World Conference, Portugal, Lsbon, LEC, Aprl Lma, J.., J. Casaca e M.J. Henrques (2009): O Ruído da Medção Relatva GSS com elevada Frequênca de Amostragem, LEC, Relatóro 43/2009 DBB/GA. Van Camp, M. e Vautern, P. (2005). Tsoft graphcal and nteractve software for analyss of tme seres and Earth tdes. Computers & GeoScences, 3 (5),