RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

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1 UNVERSDADE DE ÉVORA ESCOLA DE CÊNCA E TECNOLOGA - DEPARTAENTO DE ENGENHARA RURAL RESSTÊNCA DE ATERAS OENTO FLECTOR (Apontamntos para uso dos Alunos) JOSÉ OLVERA PEÇA ÉVORA 016

2 NDCE Nota do autor Dfiniçõs Gnralidads Flão rta Flão dsviada Flão irular (N=0; = onstant; T=0; t =0) Flão irular rta Flão irular dsviada Anális d sgurança d uma viga sujita à flão irular Flão irular rta m pças mistas Problmas rsolvidos Problmas d apliação Flão irular omposta (N 0; = onstant; T=0; t =0) Problmas rsolvidos Problmas d apliação Flão simpls ( 0; N=0; T 0; t =0) Problmas rsolvidos Problmas d apliação Flão m rgim lasto-plástio (lastoplasti bnding) Problmas rsolvidos Problmas d apliação Cadrno d problmas d momnto fltor Flão irular Flão irular dsviada Flão irular rta m pças mistas Flão irular omposta Flão simpls Flão m rgim lasto-plástio Rfrênias Tto d apoio aos alunos - 016

3 Nota do autor Tndo sido intrrompido, a partir do ano ltivo d 015/016, o 1º Cilo do Curso d Engnharia Civil, o autor rsolvu runir toda a informação qu foi disponibilizada aos alunos da disiplina d Rsistênia d atriais, durant os 8 anos m qu o urso funionou na Univrsidad d Évora. O prsnt trabalho vrsa o tma do omnto fltor da Rsistênia d atriais é uma dição rvista arsntada das diçõs qu foram publiadas m 01; 010; No urso, a disiplina d Rsistênia d atriais tinha a duração d um únio smstr (4º smstr), plo qu foi nssário slionar os tmas mais rlvants a nsinar sobr omnto fltor. Nos divrsos pontos dst trabalho são aprsntados os asptos formais importants, ompltados om problmas rsolvidos não rsolvidos d apliação. No último ponto stão inluídos todos os ríios d apliação sobr omnto fltor abordados nas aulas prátias os qu foram alvo d avaliação nas provas d frquênia d am. Tto d apoio aos alunos - 016

4 1. Dfiniçõs 1.1. Gnralidads Plano da ação é o plano qu ontém as forças momntos qu soliitam a barra, omo s mostra na figura: Plano da ação Dfin-s io d ação () omo a linha rsultant da intrsção do plano da ação om o plano da sção transvrsal da pça. O io da ação é prpndiular ao vtor qu rprsnta o momnto fltor atuant na sção: Dformada é a linha qu dfin a forma do io da pça após dformação. O plano da dformada é o plano dfinido pla linha média ants dpois da dformação: Plano da dformada O prisma d sção infinitsimal parallo ao io da pça dnomina-s fibra. Tto d apoio aos alunos

5 Na flão da pça havrá fibras qu aumntam d omprimnto fibras qu nurtam. Fibra nutra é aqula qu flt sm altrar o su omprimnto. A suprfíi dfinida plas fibras nutras dnomina-s suprfíi nutra (nutral lar). Fibra qu nurta Fibra nutra Fibra qu stnd A suprfíi nutra intrsta a sção numa linha hamada io nutro (nutral ais). Eio nutro Eio nutro 1.. Flão rta A flão diz-s flão rta (dirt bnding) s o plano da ação passar por um io prinipal da sção, ou sja, quando o io da ação for oinidnt om um io prinipal da sção. Em virtud d ios d simtria duma sção srm ios prinipais, infr-s qu uma pça soliitada m flão om o io da ação oinidnt om um io d simtria da sção, stá m flão rta. Na flão rta o io nutro (.n.) da sção é parallo ao vtor momnto fltor atuant nssa sção, plo qu o io nutro é prpndiular ao io da ação. Na flão é rta o plano da dformada é oinidnt om o plano da ação. A figura sguint mostra uma pça d sção rtangular stá soliitada m flão rta..n. 1.. Flão dsviada A flão diz-s flão dsviada (obliqu bnding) s o plano da ação não passar por um io prinipal da sção, ou sja, quando o io da ação não for oinidnt om um io prinipal da sção. Na flão dsviada, o io nutro (.n.) faz um ângulo om Tto d apoio aos alunos

6 o vtor momnto fltor atuant nssa sção. Dst modo na flão dsviada não s onh a priori a dirção do io nutro rlativamnt ao io da ação. Na flão dsviada o plano da dformada não é oinidnt om o plano da ação..n.. Flão irular (N=0; = onstant; T=0; t =0) Uma pça linar (rod) diz-s sujita a uma flão irular, ou pura (pur bnding), quando stá apnas sujita a momnto fltor onstant (onstant bnding momnt), sndo nulos o sforço aial, o momnto torçor. O momnto fltor onstant implia qu o sforço transvrso sja igualmnt nulo. Vrifiqu qu as sguints barras stão, na totalidad ou m part, sujitas a flão pura. P P a a P a P Em flão irular a dformada (dfltd rod) é um aro d irunfrênia om urvatura (urvatur) 1/ρ, daí a dsignação d flão irular. φ ρ A B A B Tto d apoio aos alunos

7 A fibra nutra d omprimnto l, após a dformação, é um aro d irunfrênia d igual omprimnto, plo qu o ângulo φ, m radianos, é dado pla sguint prssão: l Cada sção da pça sofr uma rotação m torno do io nutro. Uma vz qu m flão irular T=0 t =0, ou sja não istm tnsõs tangniais na sção (τ = 0), ntão é válido afirmar qu a sção dpois d dformada s mantém plana (Hipóts d Brnoulli)..n..1. Flão irular rta Nst ponto nos sguints vamos admitir um sistma d ios ntrado no g da sção. A pça é rtilína, homogéna, fita d matrial om omportamnto lástio linar as dformaçõs são pqunas..g. Para failitar vamos admitir uma pça linar om sção rtangular (figura sguint). Por star sujita a uma flão irular rta, as suas sçõs aprsntam apnas momnto fltor onstant (flão irular) m qu o io d ação oinid om um io prinipal da sção (flão rta). Nsta flão, por sr rta, o io nutro é prpndiular ao io d ação. z Tto d apoio aos alunos

8 ρ A A B B No aso prsnt, as fibras abaio da suprfíi nutra vão alongar as fibras aima vão nurtar. Atndndo a qu a sção dpois d dformada s mantém plana, prova-s, om bas m onsidraçõs gométrias, qu a tnsão d uma fibra situada à distânia do io nutro é dada pla sguint prssão:.n. S a pça for d matrial d omportamnto lástio linar (σ =Eε), ntão: E Tnsõs σ d omprssão.n. A posição do io nutro pod sr dtrminado s atndrmos ao fato da na flão irular o sforço aial sr zro (N = 0), ou sja: E d d 0 d 0 Est intgral rprsnta o momnto státio da sção rlativamnt ao io nutro (stati momnt of th stion with rspt to th nutral ais). O fato d l sr nulo signifia qu o io nutro passa plo ntro d gravidad da sção (ntroid of th stion). Na flão irular rta o io nutro passa plo ntro d gravidad da sção transvrsal da pça (porqu a flão é irular) é prpndiular ao io d ação (porqu a flão é rta). Tnsõs σ d tração Tto d apoio aos alunos

9 O momnto fltor srá: Tnsõs σ d omprssão.n. E d E d Tnsõs σ d tração o qu implia: 1 E sndo o momnto d inéria da sção rlativamnt ao io nutro, nst aso o io dos (momnt of inrtia of th stion with rspt to th nutral ais). A quantidad E dsigna-s rigidz d flão (flural rigidit). Quanto maior a rigidz d flão, mnor a urvatura 1, para um dtrminado momnto fltor. θ tanθ = E 1/ρ A partir das prssõs antriors, dduz-s: Esta prssão prmit alular a tnsão normal dvida a um momnto fltor, m qualqur ponto qu dist do io nutro. É válida m flão irular rta d um matrial homogéno om omportamnto lástio linar. Na prssão antrior o sinal da tnsão σ (+ tnsão d tração; - tnsão d omprssão) é originado pla ombinação dos sinais d (+ na part positiva do io dos ; - na part ngativa do io dos ) dos sinais d (+ no sntido positivo do io dos ; - no sntido ngativo do io dos ) Os maiors valors d tnsão (qur d tração qur d omprssão) oorrm nos pontos mais afastados do io nutro. Em dimnsionamnto é important onhr sts valors. D uma forma pdita é possívl dtrminar o maior dsts valors m módulo, qu dnominarmos : ma Tto d apoio aos alunos

10 ma ma W W dnomina-s módulo d flão (stion modulus), o qual dpnd apnas ma da gomtria da sção transvrsal da pça. Os valors d módulo d flão m rlação aos ios prinipais d inéria, orrntmnt rprsntados por W W (m ), podm sr nontrados para sçõs mais usuais, m: - Tablas Ténias - A. Corria dos Ris,. Brazão Farinha, J.P. Brazão Farinha. Edição d 008 (ist dição antrior na Bibliota da itra). - Por vzs as firmas forndoras d prfis têm dados ténios nos sus folhtos: Flão irular dsviada Uma pça linar stá sujita a uma flão irular dsviada, quando as suas sçõs aprsntam apnas momnto fltor onstant o io da ação não é oinidnt om um io prinipal da sção. Nstas irunstânias não s onh a priori o io nutro (.n.) da sção. Sab-s apnas qu.n. passa plo ntro d gravidad da sção, uma vz qu na flão irular, N=0. A abordagm da flão dsviada faz-s dompondo o momnto fltor atuant na sção nas suas omponnts sgundo os ios prinipais ntrais d inéria..g. Tto d apoio aos alunos

11 A tnsão normal na sção é dada pla prssão: Na prssão antrior o sinal da tnsão σ (+ tnsão d tração; - tnsão d omprssão) é originado pla ombinação dos sinais d d (+ na part positiva dos rsptivos ios; - na part ngativa dos rsptivos ios) dos sinais d (+ no sntido positivo dos rsptivos ios; - no sntido ngativo dos rsptivos ios). A prssão antrior pod tomar outra forma: os sin.g. α Na prssão antrior o sinal da tnsão σ (+ tnsão d tração; - tnsão d omprssão) é originado pla ombinação dos sinais d d (+ na part positiva dos rsptivos ios; - na part ngativa dos rsptivos ios) do sinal do ângulo α (+ no sntido marado na figura; - no sntido ontrário ao marado na figura). O io nutro pod sr nontrado igualando a prssão antrior a zro (uma vz qu no io nutro σ=0). Failmnt s onlui qu o io nutro pod sr loalizado através do ângulo β, tal qu: tan tan Na prssão antrior o sinal do ângulo β rsulta do sinal do ângulo α; s o sinal do ângulo β rsultar positivo dvrá sr traçado no sntido indiado na figura sguint; s o sinal do ângulo β rsultar ngativo dvrá sr traçado no sntido ontrário. Tto d apoio aos alunos

12 .n..g. α β Rsumindo, as prssõs a sguir indiadas, prmitm alular a tnsão normal dvida a um momnto fltor, m qualqur ponto da sção om oordnadas (,). São válidas m flão irular dsviada d um matrial homogéno om omportamnto lástio linar. os sin A urvatura da pça pod sr alulada pla prssão: 1 E os sin.. Anális d sgurança d uma viga sujita à flão irular A anális d sgurança d uma viga (bam) sujita à flão irular rta (, d fato, sujita a qualqur tipo d flão), part do prssuposto qu as açõs sobr a viga (forças onntradas; argas distribuídas; momntos apliados) já stão aftados dos ofiints d majoração prvistos nos Euro-ódigos. Dito por outras palavras: aquando da anális d sgurança d uma viga sujita à flão, os valors das açõs são os valors d álulo das açõs. Os valors d álulo das açõs prmitm dtrminar o momnto fltor. A prssão, antriormnt dduzida: prmit rlaionar tnsão, momnto fltor gomtria da sção da viga. Três tipos d problmas podm sr narados: - Vrifiação da sgurança (σ é a inógnita); - Cálulo da apaidad máima ( é a inógnita); - Dimnsionamnto da viga ( são inógnitas). Notar qu o dimnsionamnto é, à partida, um problma indtrminado ( inógnitas uma únia quação) ou sja, várias sçõs d gomtria difrnt podrão satisfazr. Tto d apoio aos alunos

13 Vrifiação da sgurança No aso do matrial aprsntar valors d álulo da tnsão rsistnt, iguais m omprssão tração (aso dos aços d onstrução): Nst aso: ma Rdt No aso do matrial aprsntar valors: Rd Rd Rdt Rd W Rd Nst aso srá nssário vrifiar-s, sparadamnt, s: - o valor máimo da tnsão d tração é σ Rdt ; s: - o módulo do valor máimo da tnsão d omprssão é σ Rd. Dimnsionamnto da viga No aso do matrial aprsntar valors d álulo da tnsão rsistnt, iguais m omprssão tração: Rdt o dimnsionamnto d uma pça m flão irular rta passa por alular o módulo d flão rlativamnt ao io nutro, tal qu: Rd Rd Rd No aso d Rdt Rd W Nst aso, dtrminar por tntativas a sção d forma a vrifiar-s simultanamnt: - o valor máimo da tnsão d tração é σ Rdt. - o módulo do valor máimo da tnsão d omprssão é σ Rd. Capaidad máima No aso do matrial aprsntar valors d álulo da tnsão rsistnt, iguais m omprssão tração: Nst aso: No aso d Rdt Rd Rdt Rd W Rd Nst aso, srá o mnor dos valors d dado plas prssõs sguints: Rd Rd Rdt t ma Rd ma Tto d apoio aos alunos

14 A anális d sgurança m flão irular dsviada é fita d forma smlhant. Admita qu são momntos fltors provnints d valors d álulo das açõs sobr a viga. No aso do matrial aprsntar valors d álulo da tnsão rsistnt iguais m omprssão tração: a sção tr nvolvnt rtangular 1 io d simtria: Rdt Rd Rd Vrifiação da sgurança W W Rd Dimnsionamnto da viga Dtrminar, por tntativas, os valors d W W tais qu: Capaidad máima W W Rd Dado qu: os sn, bastará rsolvr m ordm a a sguint prssão: os W W sn.4. Flão irular rta m pças mistas Analisa-s o aso mais simpls d uma pça linar onstituída por dois matriais d omportamnto lástio linar sujita a uma flão irular rta. A anális é aproimada, introduzindo um rro quando o ofiint d Poisson dos dois matriais for difrnt. O rro é pquno não ompromtndo a apliabilidad prátia do qu s põ sguidamnt. Na flão irular rta o io nutro é prpndiular ao io d ação. Rd Tto d apoio aos alunos

15 ρ B A B atrial b.n. atrial a No aso prsnt, as fibras abaio da suprfíi nutra vão alongar as fibras aima vão nurtar. Prova-s, om bas m onsidraçõs gométrias, qu a tnsão d uma fibra situada à distânia do io nutro é dada pla sguint prssão: 1 Admitindo o omportamnto lástio linar dos matriais a b, ntão: E a a E b b A posição do io nutro pod sr dtrminado s atndrmos ao fato da na flão irular o sforço aial sr zro, ou sja: ou sja: d E a a a d a d E b b b d 0 b d 0 Est intgral rprsnta a soma do momnto státio das sçõs d matrial a b, pondradas om os rsptivos módulos d lastiidad dos matriais qu as onstitum, rlativamnt ao io nutro. O fato d l sr nulo signifia qu o io nutro passa plo ntro d gravidad da sção pondrada om os módulos d lastiidad dos matriais qu onstitum a pça. O momnto fltor srá: o qu implia: Ea d 1 E a a Eb d an E b bn b d Tto d apoio aos alunos

16 sndo an bn o momnto d inéria das sçõs d matrial a b, rlativamnt ao io nutro. A partir das prssõs antriors, dduz-s: a Eb an bn E As tnsõs máimas oorrm nos pontos mais afastados do io nutro..5. Problmas rsolvidos b bn E E P.1) O troço da viga d sção rtangular stá sujito à ação d momntos omo s mostra na figura. a b a an 1.5kNm 1.5kNm 5m.5m a) Esrva a prssão qu prmit alular a tnsão m qualqur ponto da sção; b) Dtrmin a tnsão máima na sção. ) Tra o diagrama das tnsõs normais na sção. Rsolução: a) Trata-s d uma flão irular (= onstant) rta ( oinid om um io prinipal d inéria). O.n. é prpndiular ao (porqu a flão é rta) passa plo.g. da sção (porqu é flão irular)..n. A prssão gral da flão: Tto d apoio aos alunos

17 Uma vz qu α=0º, fia: os sin.5 5 Sndo, 1 Obtém-s: b) ma m Pa ( tração ) ma ( ) 19.6Pa ( omprssão) ) σ = -19.6Pa.n. σ = 19.6Pa P.) A viga tm apliada açõs ujos valors d álulo stão indiados na figura: 89kN 89kN 0.7m m 0.7m Admita: E=00GPa Valor d álulo da tnsão rsistnt do matrial (igual m omprssão tração): σ Rd =5Pa Dimnsion a viga omo um prfil NP. Rsolução A figura sguint mostra o diagrama d sforços na viga: Tto d apoio aos alunos

18 T(kN) 89 z 0.7m -89 m 0.7m (knm) m m 0.7m z A figura sguint mostra os sforços numa sção loalizada ntr os apoios. Nsta sção a viga stá sujita a flão irular (uma vz qu =onstant; T=0; N=0; t =0) rta (uma vz qu o é um io d simtria da sção). O.n. passa no.g. da sção (por sr flão irular) é prpndiular ao (por sr flão rta). Tração σ ma.n. Comprssão Uma vz qu: W Rd W m Solução: NP0, o qual aprsnta W 65m W 78m P.) Para a viga dimnsionada no P., dtrmin a apaidad máima. Rsolução W Rd F F F 1 - = 0 F 0.7m 1m = 0.7F = 0.7 F Tto d apoio aos alunos

19 F W Rd 9. kn P.4) A viga têm apliadas açõs ujos valors d álulo stão indiados na figura: 160kN 160kN 100kN/m 100kN/m 0.m 1m 0.5m 1.5m 0.5m 1m 0.m 0.m 0.m 0.4m Admita o valor d álulo da tnsão rsistnt do matrial: σ Rd = 10Pa σ Rdt = 1.8Pa Vrifiqu a sgurança a mio vão da viga. Rsolução A figura sguint mostra o diagrama d sforços na viga: T(kN) z 1.0m m 1.5m 0.5m 1.0m (knm) z 1.0m 0.5m 1.5m 0.5m 1.0m Dtrminação do.g. da sção para oloação do rfrnial z: d 1 d 1 +d = 0.5 d - d d 0.08 = 0 Tto d apoio aos alunos

20 d 1 = m; d = 0.65m Cálulo do d 1 d m A mio vão da viga tmos flão irular rta: 0kNm 0.75m 0.465m Pa 0.697Pa Pa ma 10 4 ma Pa 1. Pa ma 8 t 4 Conlusão: VERFCA A SEGURANÇA P.5) Na barra indiada na figura sguint sujita a flão irular dsviada, alul o stado d tnsão na sção posiion o io nutro. b b Tto d apoio aos alunos

21 Rsolução α Da gomtria dduz-s o ângulo α=15.4º indiado na figura antrior. Atndndo a qu: 15.4 sin 0.447; os os sin b(b) 1 b( b) b b b No io nutro σ=0, plo qu a prssão antrior rqur: = 0 d ond s onlui qu o io nutro é a rta d quação: = - O io nutro passa pla origm dfinindo um ângulo β, tal qu: tan tan 4tan 6.4 Tto d apoio aos alunos

22 A -6.4º A tnsão máima d tração vrifia-s no ponto A ( b ; b). A tnsão máima d omprssão vrifia-s no ponto B ( b ; b). Substituindo na quação da tnsão: b obtm-s: ma. 68 Comp ma. 68 b Tração b Nos asos m qu a sção tm nvolvnt rtangular 1 io d simtria: α B.n. a tnsão máima pod sr alulada pla sguint prssão: ma W W sndo W W os valors d módulo d flão m rlação aos ios prinipais d inéria. Apliando ao aso prsnt: b 1 W W b b b ma 1 W W b b sndo d tração na part suprior d omprssão na part infrior. b Tto d apoio aos alunos - 016

23 Tração.n. Comprssão P.6) O momnto fltor =5kNm é apliado a uma viga om a sção transvrsal indiada na figura sguint: 9m 5kNm 15º.g. 8m 8m m a) Dtrmin dsnh o diagrama das tnsõs normais. (4 valors) Dtrminação do.g.:.g. d 1 d 7m 4m 7 d 1-4 d = 0 d 1 + d = 8 d 1 = m; d = 6m Dtrminação dos momntos d inéria m rlação aos ios: Tto d apoio aos alunos - 016

24 m m 4 Dtrminação do io nutro: 1664 tan tan sn Pa os B sn Pa os D kNm -41.5º.g. B * σ B = Pa D *.n. σ D = 164.8Pa P.7) A barra da figura é onstituída por dois matriais a b, om módulos d lastiidad rsptivamnt: E a =10GPa E b =1GPa. atrial b atrial a.n. Suponha qu stá sujita a um momnto d 00kNm, onform o vtor momnto rprsntado na figura. A sção d matrial b tm 150m 10m a sção do matrial a é um PE00. PE00 Tto d apoio aos alunos

25 b h = 856m 4 = 604m 4 W = 557m W = 80.5m A = 5.8m b = 150mm h = 00mm a) Loaliz o io nutro na sção da pça; b) Dtrmin a distribuição d tnsõs normais na pça; ) Calul a tnsão máima. Rsolução a) atrial b atrial a.n. d b d a O io nutro passa plo ntro d gravidad da sção pondrada om os módulos d lastiidad dos matriais qu onstitum a pça: ( ) d b = d a Por outro lado, por razõs gométrias: d b + d a = 0. Rsolvndo: d b = 0.05m d a = 0.147m b) a b Eb 0.1 E an bn a 10 bn an an bn bn an E E a an = = m 4 bn = ( /1) + ( ) 0.05 = m a b ) O valor d σ ama obtém-s no ponto d oordnada = = 0.97m σ ama = =.4Pa O valor d σ bma obtém-s no ponto d oordnada = -( ) = m σ bma = (- 0.10) = - 8.1Pa b Tto d apoio aos alunos

26 - 8.1Pa atrial b atrial a.4pa Na figura antrior as tnsõs d omprssão têm valors muito infriors às tnsõs d tração. No ntanto, as primiras distribum-s numa ára maior do qu as sgundas. Dsta forma as forças d omprssão quilibram as d tração, om a onsqunt rsultant nula (N=0). P.8) Duas barras d madira stão unidas firmmnt a uma barra d aço (sção T), formando a sção omposta ilustrada: 0mm 00mm 106mm.g. 00mm 75mm 00mm 0mm A barra stá soliitada om = 50kNm omo indiado na figura sguint:.a. Aço adira ódulo d lastiidad 00GPa 1.5GPa Calul a tnsão máima na madira no aço. (4 valors) Ω E d d A Ω A E A Ω = = 450m Tto d apoio aos alunos

27 Ω A = = 100m Ω E d = Ω A E A d A d A + d = = 6.4m o sistma antrior prmit dtrminar d A = 1.405m d = 4.995m n m na m A kPa 4. Pa ma Ama kPa 4. 9Pa.6. Problmas d apliação P.9) Para a barra quadrada d arsta h, qual é a orintação mais vantajosa sob o ponto d vista d flão? Admita qu na hipóts (a): = =h 4 /1 Solução: Uma vz qu a tnsão máima m (b) é 41.4% suprior à da hipóts (a), ntão a hipóts (a) é prfrívl. P.10) Dtrmin o valor do dsloamnto na vrtial (flha) a mio vão da viga da figura, admitindo qu é uma barra d sção quadrada om 5m d arsta, fita d (a) (b) Tto d apoio aos alunos

28 matrial om E = 06GPa 4kN 4kN 1m m 1m 4kN δ 4kN ρ Uma vz qu as dformaçõs são infinitsimais, admita qu o omprimnto do aro ntr os apoios é d m. Solução: δ = 1.86m d P.11) Admita as sçõs da figura. Sabndo qu na sção tubular 0. 9 D d D 1 D Dtrmin a rlação ntr as áras das sçõs das duas pças para qu a apaidad d rsistir à flão irular rta sja igual m ambas as pças. Rlmbra-s: omntos prinipais d inéria d uma sção irular d diâmtro D: D 64 4 Os momntos prinipais d inéria d uma sção m oroa irular é a difrnça ntr os momntos prinipais d inéria das sçõs dfinidas pla irunfrênia trior irunfrênia intrior. Solução: Ω 0.9Ω 1 Tto d apoio aos alunos

29 P.1) 5kN 5kN 1m A barra m onsola (antilvr) da figura é um prfil TNP100 a) Tra o diagrama d distribuição das tnsõs normais na sção junto ao nastramnto; b) Para o prfil oloado m posição invrtida (rodando 180º m torno do su io) tra d novo o diagrama d distribuição das tnsõs normais na sção; ) Com bas na rsposta m b) onlua qual a posição aonslhada s o matrial qu onstitui a barra tivr mnor apaidad d rsistir à tração do qu à omprssão. Solução a) Comprssão: σ ma = 0Pa Tração: σ ma = 76.5Pa P.1) A viga simplsmnt apoiada (simpl supportd bam) tm apliadas açõs ujos valors d álulo stão indiados na figura: 0kN 1m 0kN 1m Admita um matrial om valor d álulo da tnsão rsistnt do matrial, σ Rd =150Pa a) Dimnsion a viga omo um prfil NP. b) Tra o diagrama d distribuição das tnsõs normais na sção a mio vão. Solução a) PN180; b) σ ma =14Pa P.14) A figura rprsnta a sção transvrsal d uma madr d uma obrtura, à qual stá apliado um momnto fltor d 1.5kNm. Admita qu s trata d um NP100 A 5º Tto d apoio aos alunos

30 a) Posiion na figura o io nutro; b) Tra o diagrama das tnsõs normais na sção; ) Calul a tnsão normal no ponto A. Solução: b) Tração σ ma = 169.6Pa Comprssão σ ma = 169.6Pa ) Comprssão σ = 90Pa P.15) Uma viga tm a sção transvrsal onstituída por dois UNP65. Supondo sujita a dois momntos fltors, rsptivamnt om os sguints módulos: = 4kNm = knm dtrmin: a) O io nutro; b) As tnsõs normais máimas. Nota: Rlmbrar da Gomtria d assas o torma d Stinr os omntos d inéria d áras ompostas. Solução: a) = 1.7 b) Tração σ ma = Pa Comprssão σ ma = Pa P.16) Para a viga mista d madira rforçada om uma plaa d aço, dtrmin a tnsão máima a tnsão mínima. Admita qu o módulo d lastiidad do aço é 0 vzs o módulo d lastiidad da madira.75knm.75knm m adira 15m Aço 1.5m.5m 10m Solução: σ ma = 8.Pa; σ min = 6.47Pa Tto d apoio aos alunos

31 P..17) Para a viga mista d madira rforçada om uma plaa d aço, dtrmin o momnto fltor máimo qu pod suportar. Admita os valors indiados para o módulo d lastiidad para o valor d álulo da tnsão rsistnt do matrial. adira Aço 0m 1.5m E m = 10GPa E a = 10GPa σ Rd = 8Pa (adira) σ Rd = 110Pa (Aço) 15m Solução: 14.61kNm P.18) Uma viga d btão stá rforçada om três varõs d aço. Nsta viga são apliadas açõs ujos valors d álulo induzm na sção um momnto fltor d 55kNm. 400mm 50mm 00mm Admitindo: - Diâmtro dos varõs = mm - módulo d lastiidad do btão = 5GPa; - módulo d lastiidad do aço = 00GPa; Calul o máimo valor da tnsão no btão no aço. Solução: Btão σ ma = 1.04Pa; Aço σ ma = 158.8Pa P.19) No projto d uma viga d btão rforçada om varõs d aço, prtnd-s qu as tnsõs qu s atinjam m ambos os matriais sjam os rsptivos valors d álulo da tnsão rsistnt. Admitindo: σ Rda Valor d álulo da tnsão rsistnt do aço; σ Rdb Valor d álulo da tnsão rsistnt do btão; E a ódulo d lastiidad longitudinal do aço; E b ódulo d lastiidad longitudinal do btão; d distânia da suprfíi suprior do btão aos varõs d aço. Tto d apoio aos alunos

32 d Dmonstr qu nstas ondiçõs a distânia da suprfíi suprior da viga até ao io nutro é: d Rda Eb 1 E. Flão irular omposta (N 0; = onstant; T=0; t =0) No apítulo d Esforço Aial abordou-s lusivamnt a situação d sforço aial puro (tração ou omprssão), o qual orrspondia ao aso m qu o io da pça s mantinha rtilíno durant a dformação. O sforço aial puro m pças linars d io rtilíno d matrial homogéno rqur qu a rsultant das forças triors normais à sção pass plo ntro d gravidad da sção. A flão irular omposta (ntri tnsion-omprssion) é prisamnt o qu aont m pças linars d io rtilíno d matrial homogéno sob ação d forças triors parallas ao su io uja rsultant não passa plo ntro d gravidad da sção. Um mplo d flão irular omposta stá ilustrado na figura sguint: Rdb a N Esta situação é quivalnt à figura sguint: N Assim a flão irular omposta quival à sobrposição (vr.1) d um sforço aial puro (N) uma flão irular, rta ou dsviada, (): Tto d apoio aos alunos - 016

33 .g..g. d 0, 0 N α d 0, 0 N 90+α α.g. 0, 0 90+α Admitamos na figura antrior qu a barra stá sujita a um sforço aial d tração uja rsultant stá apliada no ponto d oordnadas ( 0, 0 ), a qu orrspond a uma distânia d do ntro d gravidad da sção. Esta ação é quivalnt a um sforço aial d tração N (positivo), ntrado no ntro d gravidad da sção, a um momnto = N d = N d D aordo om o rfrnial da figura, tmos: 0 = d sn (α+90º) = d osα 0 = d os (α+90º) = - d sinα A tnsão provoada num ponto gnério d oordnadas (,) pod sr alulada adiionando à tnsão provoada plo momnto fltor, a tnsão originada nss ponto plo sforço aial N (positivo): N os sin N os sin Nd N d os d sin N Tto d apoio aos alunos - 016

34 N N N (q. 1) Esta prssão prmit alular a tnsão normal m qualqur ponto da sção om oordnadas (,), dvida a uma força aial d tração N (positivo), apliada num ponto d oordnadas ( 0, 0 ) (flão irular omposta). É válida para um matrial homogéno om omportamnto lástio linar. No aso d uma força d omprssão numa barra não sujita a nurvadura (a studar m apítulo próprio),.g. d 0, 0 N Admitamos na figura antrior qu a barra stá sujita a um sforço aial d omprssão uja rsultant stá apliada no ponto d oordnadas ( 0, 0 ), a qu orrspond a uma distânia d do ntro d gravidad da sção. Esta ação é quivalnt a um sforço aial d omprssão N (ngativo), ntrado no ntro d gravidad da sção, a um momnto = N d = -N d D aordo om o rfrnial da figura, tmos:.g. 0, 0 α α = d os (α-180º) = - d osα 0 = d sn (α-180º) = d sinα Tto d apoio aos alunos

35 Tto d apoio aos alunos A tnsão provoada num ponto gnério d oordnadas (,) pod sr alulada adiionando à tnsão provoada plo momnto fltor, a tnsão originada nss ponto plo sforço aial N (ngativo): N sin os d N N sin os d d N N sin os N N 0 0 N N 0 0 N (q. ) Esta prssão prmit alular a tnsão normal m qualqur ponto da sção om oordnadas (,), dvida a uma força aial d omprssão N (ngativo), apliada num ponto d oordnadas ( 0, 0 ) (flão irular omposta). É válida para um matrial homogéno om omportamnto lástio linar. Comparando as quaçõs 1, aima dduzidas, onluímos qu são a msma, onstituindo a fórmula gral da flão irular omposta: omprssão s N ngativo s tração N positivo N ; Na flão irular omposta, o io nutro não passa plo ntro d gravidad. O io nutro é uma rta qu, no rfrnial adoptado trá a sguint quação: Prova-s qu s o ponto ( 0, 0 ) prtnr a um quadrant, ntão o io nutro dsnvolv-s nos outros quadrants dista do ntro d gravidad da sção a distânia OC:

36 OC n..n..g. d.g. 0, 0 0, 0 N A prssão antrior mostra qu à mdida qu a ntriidad da força N diminui, isto é o ponto ( 0, 0 ) s aproima do ntro d gravidad, a distânia OC aumnta, isto é o io nutro afasta-s do ntro d gravidad. O io nutro pod tr msmo uma loalização qu não intrsta a sção da pça; nstas ondiçõs as tnsõs instaladas na pça trão, todas, o msmo sinal. Assim, m ada sção, havrá um lugar gométrio sobr o qual o ponto d apliação d um sforço aial êntrio provoa uma flão ujo io nutro é tangnt à sção. O lugar gométrio dsts pontos dnomina-s núlo ntral (or or krn of th stion). O onhimnto do núlo ntral prmit, por mplo limitar a ntriidad para a apliação d um sforço aial d omprssão, vitando o aparimnto d tnsõs d tração. Est aspto é muito rlvant sabndo qu muitos dos matriais mprgus na ngnharia ivil (btão, pdra, ligaçõs d alvnaria) têm muito mnor rsistênia à tração do qu à omprssão..1. Problmas rsolvidos P.1) O sólido parallipipédio mostrado na figura nontra-s sujito a uma força d omprssão d 50kN indiada na figura: Tto d apoio aos alunos

37 A B 6m D C 50kN m Admita qu o omprimnto da barra é sufiintmnt pquno para liminar qualqur possibilidad d nurvadura. Dtrmin a tnsão normal no ponto A no ponto C. Rsolução 1 N m m Ponto A( , ): Ponto C( , 10 - ): σ = 18.89Pa σ = Pa P.) Dtrmin o núlo ntral d uma barra d sção irular d raio R Rsolução Tndo m onsidração qu por razõs d simtria o núlo ntral srá um írulo ntrado na sção da pça, bastará dtrminar o su raio. Para qu numa situação d flão irular omposta a sção da pça stja sujita a tnsõs do msmo sinal, é nssário qu o io nutro sja, plo mnos tangnt ao ontorno da pça: Tto d apoio aos alunos

38 (0,0).n. N Sja r o raio da irunfrênia qu dfin o núlo ntral. Atndndo à prssão: m qu: OC R OC = R 0 = -r 0 = 0 R 4 Substituindo rsolvndo fia: R r 4 Assim a omprssão d uma pça d sção irular, dsd qu o ponto d apliação da força não ultrapass ¼ do raio, não srão gradas tnsõs d tração na sção da pça. Est aspto é rlvant m situaçõs d matérias qu não suportam sforços d tração. P.) Admita qu troço da viga d sção rtangular do problma 1 stá agora, igualmnt, sujito a uma força aial d tração (ntrado no.g. da sção) omo s mostra na figura kNm 1.5kNm 60kN 60kN 5m a) Esrva a prssão qu prmit alular a tnsão m qualqur ponto da sção; b) Dtrmin a tnsão máima na sção. ) Tra o diagrama das tnsõs normais na sção. Rsolução a) Utilizando o prinípio da sobrposição dos fitos: 60kN 1.5kNm 1.5kNm 1.5kNm 1.5kNm + 60kN 60kN =.5m 60kN Tto d apoio aos alunos

39 N b) ) ma ma σ = -19.6Pa pa pa 4 σ = 48Pa σ = Pa.n. + = σ = 19.6Pa σ = 177.6Pa P.4) O sólido parallipipédio mostrado na figura nontra-s sujito a uma força d omprssão d 50kN indiada na figura: A B 6m D C 50kN m Admita qu o omprimnto da barra é sufiintmnt pquno para liminar qualqur possibilidad d nurvadura. a) Utilizando o prinípio da sobrposição dtrmin a tnsão normal no ponto A no ponto C. b) Rsolva a alína a), utilizando a prssão dsnvolvida para a força aial êntria. Rsolução a) Utilizando o prinípio da sobrposição dos fitos N N os sin Tto d apoio aos alunos

40 α θ.a. α = 180º º = 06.56º 1.5 tan kNm m m Ponto A( , ): Ponto C( , 10 - ): σ = 19.17Pa σ = Pa b) 1 N Ponto A( , ): Ponto C( , 10 - ): σ = 18.89Pa σ = Pa As difrnças m rlação à alína a) dvm-s às aproimaçõs nos álulos. Tto d apoio aos alunos

41 P.5) A barra tm apliadas açõs (força momnto) ujos valors d álulo stão indiados na figura: 0kN 5m 7m Admita um matrial om valor d álulo da tnsão rsistnt do matrial σ Rd =180Pa, qur m tração, qur m omprssão. a) Esrva a prssão qu prmit alular a tnsão m qualqur ponto da sção; b) Para o momnto apliado (), dtrmin a apaidad máima. Rsolução a) Utilizando o prinípio da sobrposição dos fitos N N os sin α α=70º N O valor máimo d tnsão srá obtido m omprssão quando = -.5m ma ma ma Tto d apoio aos alunos

42 kNm P.6) A toria dsnvolvida para a flão irular omposta prmit ainda vrifiar as tnsõs na bas d um muro d suport d trras, omo o indiado na figura sguint. 1m 10kN/m 5m 1m 4m 40kN/m O objtivo srá smpr a prsnça d tnsõs d omprssão na sção orrspondnt à bas do muro. Os álulos srão ralizados para um mtro d omprimnto d muro. Admita qu o muro é fito d matrial um pso volúmio γ b =5kN/m. Rsolução Pso próprio do muro d P 1 P 5 V m P kN P P t V 51 5m P 15kN 1 V 11 4m P 100kN 4 P t 41. 5kN 1 P t d P1 1 P 0.5 P d m A figura sguint mostra a sção da bas do muro: Tto d apoio aos alunos

43 4m Força d omprssão (41.5kN ) prpndiular à sção 1m = 0.455m A ação antrior é quivalnt a uma força + momnto: 1 = = kNm Força d omprssão (41.5kN ) aial na sção Prssão das trras F 1 F R 60 F kN F 1 90kN R F1 F 150kN 6 R F1 F. 4m A figura sguint mostra a sção da bas do muro om as açõs nssa sção dvido à força R: Força tangnial (150kN ) na sção =150.4 = 60kNm Conjugando a soliitação dvido ao pso próprio a soliitação dvido à prssão das trras: Tto d apoio aos alunos

44 Força d omprssão (41.5kN) aial na sção α = 90º 150kN T = = 17.1kNm gnorando as tnsõs tangniais provoadas pla força d 150kN utilizando o prinípio da sobrposição dos fitos N N N os sin O valor d tnsão, quando = -m, é σ = -8.47kPa O valor d tnsão, quando = m, é σ = kPa Conlui-s qu o muro trá smpr uma tnsão d omprssão sobr o solo ond s apoia. A prsnça lusiva d tnsõs do msmo sinal (nst aso d omprssão) na sção, prmit-nos onluir qu a rsultant da força aial d omprssão (41.5kN) do momnto fltor (17.1kNm) orrspond a uma força êntria (ntriidad ), a qual passa plo núlo ntral da sção. Força d omprssão (41.5kN) êntria na sção 41.5 = 17.1kNm Das tablas ténias é posívl onhr as dimnsõs do núlo ntral: b/6 h/6 h b Tto d apoio aos alunos

45 17.1 b m m P.7 - A força P é apliada numa plaa rígida suportada por um tubo d btão om 60m d diâmtro trior 50m d diâmtro intrior. A dirção da força P é paralla ao io do tubo. d a) Calul a máima ntriidad, d, admissívl por forma a não havr tração na sção: m 4.n. d * 1 N d P 1 d d P 0 d 1. m b) Calul o máimo valor para a arga P, admitindo uma ntriidad d 10m um valor d álulo para a tnsão (d omprssão) rsistnt do matrial σ Rd =.94Pa. 010 kpa P 940 Tto d apoio aos alunos

46 940 P kN Rsposta: P kN.. Problmas d apliação P.8) Uma barra d aço om a sção transvrsal indiada na figura stá omprimida ntriamnt por uma força F = 100kN (prpndiular à sção) apliada m P. Dados: Ω = 10.7m = 578m 4 = 15050m 4 a) Calular as tnsõs nas fibras trmas A, B, C D; b) A loalização do io nutro. 6m P (-18m, -40m) B * * A 6m D * * Solução: a) σ A = Pa; σ B = 1.49Pa; σ C = Pa; σ D = 70.60Pa b) = (/ as distânias m m) P.9) Duas forças são apliadas numa plaa rígida suportada por um tubo d aço om 160mm d diâmtro trior 10mm d diâmtro intrior. Admitindo qu a tnsão máima d omprssão no tubo não pod ultrapassar 75Pa, alul ntr qu valors admissívis tm d star a arga P. C 00kN 90mm 90mm P ø i ø i Tto d apoio aos alunos

47 Solução: 14kN P 0kN P.10) Considr o diqu rprsntado na figura. O impulso qu a água r é triangular na bas val 9.8 h (kn/m ). O pso do diqu por mtro d omprimnto N=00kN/m h a) Calul o diagrama d tnsõs na bas do diqu para uma altura d água d h=1.5m. b) Calul a altura máima d água tal qu toda a bas do muro stja a trabalhar à omprssão. ) Considrando uma tnsão admissívl no trrno σ adm =0.45Pa, vrifiqu s a água pod hgar, m sgurança, até uma altura h da alína antrior. Soluçõs: a) σ ma = -158.kPa; σ min = kPa; b) h =.94m; ) Sim, porqu: σ ma = 00kPa 450kPa m P.11) Para uma tnsão admissívl no solo d 0.Pa, vrifiqu a fundação do pilar indiado. 50kN 1.8m 0kNm 45kNm 1.4m Soluçõs: Sgurança vrifiada: σ ma = 0.19Pa 0.Pa; Não há qualqur ponto da bas à tração. 4. Flão simpls ( 0; N=0; T 0; t =0) O ponto. foi ddiado ao studo da flão irular (=onst; N=0; T=0; t =0). A anális ftuada antriormnt prmitiu a ddução d prssõs para as tnsõs normais na sção, bm omo onhr a sua urvatura, admitindo um omportamnto lástio linar do matrial. Contudo as prssõs dduzidas para a flão irular podm sr usadas m situaçõs d flão simpls (transvrs bnding) m qu ist um sforço transvrso difrnt d zro (T 0), omo nos asos sguints: Tto d apoio aos alunos

48 Univrsidad d Évora Esola d Ciênia Tnologia - Dpartamnto d Engnharia Rural F P (kn/m) (=variávl; N=0; T=onstant 0; t=0) (=variávl; N=0; T=variávl; t=0) Em situaçõs m qu ist um sforço transvrso variávl a utilização das prssõs dduzidas para a flão irular inorrm num rro o qual é tolrávl s a pça tivr um omprimnto muito suprior à sua altura; st é o aso das situaçõs da maioria das apliaçõs prátias 4.1. Problmas rsolvidos P4.1) A viga da figura sguint é onstituída por um prfil om as aratrístias indiadas. 1.4kN 5m a h = 1170m 4 W = 15.9m Ω = 9.8m h = 15mm a) Dtrmin as tnsõs máimas a qu a viga stá soliitada. Rsolução: Em primiro lugar há qu onhr a sção mais soliitada à flão, a qual s obtém traçando o diagrama d momnto fltor. 1.4kN 1.4kN 7.1kNm -7.1kNm z Tto d apoio aos alunos

49 A sção do nastramnto é a sção mais soliitada..n. Trata-s d uma viga soliitada om flão simpls ( 0; N=0; T 0; t =0). Uma vz qu o su omprimnto é muito suprior a qualqur das outras dimnsõs, srá tolrávl a aproimação d s utilizar as prssõs dduzidas para a flão irular: Uma vz qu α=180º, fia: Obtém-s: b) ma os sin Pa 8 ( omprssão) ma ( ) 46.1Pa ( tração ) P4.) A antonira d abas iguais (qual-lg angl stion) , nastrada, stá sujita à flão provoada plo su pso próprio. Admita qu a barra tm m d omprimnto. Dtrmin a posição do io nutro o diagrama das tnsõs normais na sção junto do nastramnto. p (kn/m) Rsolução: Nas ondiçõs do problma tmos: 0; N=0; T 0; t = dsprzávl. O momnto fltor máimo oorr no nastramnto, m módulo, tm o Tto d apoio aos alunos

50 pl valor: Atndndo ao fato d L tr 15.1kg/m 0.148kN/m, ntão: =0.666kNm α Da figura antrior tira-s: α = 180º + 45º = 5º A distribuição das tnsõs na sção: os sin Atndndo ao fato d L tr: = 80m 4 ; = 7.m 4 σ = A posição do io nutro fia onhida pla prssão: tan tan ujo rsultado é: β = 14.7º.n. β α A Atndndo às dimnsõs aprsntadas nas tablas ténias pod dduzir-s as oordnadas, m m, dos sguints pontos: A(-7.07,.08); B(0, -4) σ A = ( ) ( ) = kpa σ B = ( ) = kpa Tto d apoio aos alunos

51 .n. 5.7Pa -1.68Pa P4.) Considr a viga ABC sujita à ação ujo valor d álulo s ilustra na figura sguint: 0kN/m A 1.5m B 1.5m C a Admita qu a sção é um NP qu o valor d álulo d rsistênia do matrial é d 5Pa, qur m tração qur m omprssão. a) Tra o diagrama d sforços; ( valors) 0kN/m A.5kN B 67.5kN C T (kn) z (knm) -.75 b) Dimnsion a viga apnas à flão. Vr tabla d NP ana. ( valors) z Tto d apoio aos alunos

52 α=180 β=0 ma ma ma W W 14.6m W NP18 ) Vrifiqu a altrnativa d utilizar o NP situado na tabla ana, na ª posição imdiatamnt aima do NP qu obtv na alína b), rforçado om hapas d 1m d spssura soldadas a toda a largura do banzo (infrior suprior). ( valors) NP14 W ma m W m 8 Uma vz qu st módulo d flão é suprior ao valor nontrado para o NP18, ntão o NP14 + rforço VERFCA. 4.. Problmas d apliação P4.4) A viga simplsmnt apoiada (simpl supportd bam) tm apliada açõs ujos valors d álulo stão indiados na figura: 80kN A B C D 1m 1.5m 1.5m 0kNm a Tto d apoio aos alunos

53 Admita qu o valor d álulo d rsistênia do matrial é d 160Pa, qur m tração qur m omprssão. a) Tra o diagrama d sforços, loaliz a sção mais soliitada à flão indiqu o valor do momnto fltor nssa sção b) Dimnsion a viga omo NP Solução: a) Sção B; = +6kNm; b) W 5m (NP0) P4.5) Considr a viga da figura sguint sujita à flão simpls: pkn/m A 6m B a a) Dtrmin as raçõs nos apoios; b) Tra o diagrama d sforços, loaliz a sção mais soliitada à flão indiqu o valor do momnto fltor nssa sção; ) Admitindo o prfil da figura um valor σ Rd = 15Pa, dtrmin o valor máimo d pkn/m. 50mm Espssura uniform nos banzos na alma = 0mm 150mm Soluçõs: a) V A = p; V B = p; b) Sção a.46m do apoio A; = +.1 p, m knm ) p 41.1kN/m P4.6) A viga simplsmnt apoiada (simpl supportd bam) tm apliadas açõs ujos valors d álulo stão indiados na figura: 6kN/m 6kN/m.6m 0.9m 1.8m Admita um matrial om valor d álulo da tnsão rsistnt do matrial, σ Rd =110Pa. Dsprz o fito do sforço transvrso do pso próprio a) Dimnsion a viga dtrminando o valor mínimo do módulo d flão da sção. Solução: 18m Tto d apoio aos alunos

54 P4.7) A viga simplsmnt apoiada (simpl supportd bam) tm apliadas açõs ujos valors d álulo stão indiados na figura: a 10 kn/m 4a m 1m 5a a Admita um matrial om valor d álulo da tnsão rsistnt do matrial, σ Rd =175Pa. Dsprz o fito do sforço transvrso do pso próprio a) Dimnsion a viga dtrminando o valor mínimo da dimnsão a da sção. Solução: a.06m 5. Flão m rgim lasto-plástio (lastoplasti bnding) Considr-s a sguint sção rtangular d uma barra m flão irular rta (N=0; = onstant; T=0; t =0) σ ma h.n. b σ ma ma ma 1 E E Dirtamnt do diagrama d distribuição das tnsõs normais: Tto d apoio aos alunos

55 h d F σ ma F σ ma b h 1 F d F b ma d h b ma h 1 h b ma h 6 Vamos supor qu o matrial da barra tm o omportamnto rológio lástio prfitamnt plástio (prft plastiit) da figura sguint, o qual rtrata o omportamnto aproimado d um matrial dútil omo o aço maio. σ σ S o momnto for sufiint (=), as fibras mais afastadas atingirão a tnsão d dênia do matrial: 1 ma E Assim o momnto orrspondnt ao limit da fas lástia a rsptiva urvatura, srão: 1 E ma No aso partiular da sção quadrangular, obtém-s: b h 1 6 he Para >, a figura sguint mostra o diagrama das tnsõs normais. Part da sção já stá m omportamnto plástio, om a part ntral d dimnsão h, ainda m omportamnto lástio. ε ma Tto d apoio aos alunos

56 Tto d apoio aos alunos A barra stá m omportamnto lasto-plástio. O momnto apliado no aso da sção quadrangular m studo, fia: h h b h h h b h h 1 4 h h b 1 h h (1) As fibras da pça para valors d ontidas no intrvalo d ±h /, ontinuam m dformação om omportamnto lástio linar, ntão: E Em partiular: h E Assim para > a pça ontinua um aro d irunfrênia om urvatura: σ σ h b h σ σ h

57 1 () h E Substituindo h da prssão (1): 1 1 h E para > () sndo 1/ρ a urvatura qu s ating no limit da fas lástia. Quando todas as fibras da sção stivrm m omportamnto plástio o qu aont quando = p, ntão: h =0. D aordo om (): 1/ρ =. Tndo m onsidração a prssão (), fia: p Tndo m onsidração o valor do momnto limit da fas lástia, antriormnt obtido: b h p 4 Dirtamnt do diagrama d distribuição das tnsõs normais: σ F d F σ Rsulta, igualmnt: h F d F b p b h 4 h d 4 O momnto máimo ( p momnto fltor d dênia ou momnto plástio último) qu uma sção rtangular suporta m rgim lasto-plástio é 1.5 vzs o momnto máimo m rgim lástio ( ). A rlação ntr o momnto fltor d dênia ( p ) o momnto máimo m rgim lástio dsigna-s por fator d forma da sção: p Tto d apoio aos alunos

58 Sção Fator d forma (φ) Rtângulo 1.5 Triângulo isósls.4 Losango Círulo 1.7 Prfil NP 1.15 Prfil UNP 1. A figura sguint rprsnta, squmatiamnt, o omportamnto d uma barra m flão até à plastifiação total. p θ tanθ=e S a dtrminado ponto da flão lasto-plástia, a barra for dsarrgada, la mantrá uma dformação rsidual, omo s mostra: 1/ρ p (1/ρ) rsidual (1/ρ) arga 1/ρ p θ d (1/ρ) rsidual (1/ρ) arga 1/ρ Da figura antrior: 1 rsidual 1 arg a d Tto d apoio aos alunos

59 Substituindo: 1 d tan rsidual 1 E arg a E A prssão antrior prmit rlaionar o valor da urvatura rsidual da barra (após tr sido dsarrgada), om a urvatura m arga Caso d pças om um únio io d simtria Admitamos a sção da figura, orrspondnt a uma viga sujita a flão irular rta. Por sr uma flão rta o io da ação oinid om o io d simtria o io nutro é prpndiular ao io da ação. Plo fato d sr uma flão irular (N=0), o io nutro passa plo.g. da sção. -σ ma Fig. 1.g..n. σ o álulo do valor d pod sr nontrado rorrndo à prssão gral: ma ma ma W Para aqulas sçõs ujo valor d, do módulo d flão W, a posição do.g. s nontram m tablas, o álulo é imdiato. Em todos os outros asos a rsolução dst problma passa por dtrminar a posição do ntro d gravidad. Cálulo do valor do momnto fltor d dênia ou momnto plástio último, p : -σ Fig. σ Uma vz qu a rsultant das tnsõs na sção tm d sr nula (N=0) d 1 d d Tto d apoio aos alunos

60 O rposiionamnto do io nutro divid a ára da sção m duas áras iguais, não passando, d uma manira gral plo ntro d gravidad da sção. Ω 1 Ω Ω 1 =Ω Assim, notar qu o sistma d ios nas figuras 1 podm não oinidir. O quilíbrio d momntos na sção, obriga: p d 1 G G G G 1 1 m qu G1 G orrspondm à posição dos ntros d gravidad, rsptivamnt d Ω 1 Ω no rfrnial da figura. A quantidad: p Z G 1 G dnomina-s módulo d flão plástia, o qual só dpnd da gomtria da sção. Atndndo à noção d fator d forma: p Z W O fator d forma é o oint ntr o módulo d flão plástia o módulo d flão lástia Problmas rsolvidos P5.1) Admitamos a pça fita d matrial lástio prfitamnt plástio, uja sção stá rprsntada na figura, sujita a uma flão irular rta, omo indiado. Tto d apoio aos alunos

61 a.n. a a a a a a) Qual o valor limit para o momnto fltor m rgim lástio? Qual a urvatura da pça nst altura? b) Qual o valor d momnto fltor qu oasiona a plastifiação dos banzos? Qual a urvatura da pça nst altura? ) Qual o valor d momnto fltor qu oasiona a plastifiação omplta da sção? Qual o valor do fator d forma? d) S a pça for dsarrgada a partir do momnto fltor alulado m b), alul o valor da urvatura rsidual. Rsolução: a) -σ a.n. a a σ a a a Atndndo à prssão gral: n ma Tto d apoio aos alunos

62 Na prssão antrior, n é o momnto d inéria da sção m rlação ao io nutro, o qual pod sr alulado, atndndo aos torma das sçõs ompostas ao torma d Stinr. O rsultado é: 44 a 4 Uma vz qu ma = a, substituindo: a Not bm: o rsultado antrior também pod sr alançado a partir do diagrama d distribuição das tnsõs normais. Para tal há qu tr m onsidração as difrnts áras m qu as tnsõs stão apliadas (alma banzos). A urvatura pod sr obtida da prssão gral: 1 ma E ou sja: 1 ae b ) A partir do sguint diagrama, pod onhr-s o momnto prtndido: -σ a.n. a a σ a a a Tto d apoio aos alunos

63 V 1 -σ a V.n. V a V 1 a σ V 1 a a a V a a a V1 a V 9 a a As fibras da pça d valors d (alma) ontidas no intrvalo d ±a, ontinuam m dformação om omportamnto lástio linar. Rorrndo à prssão gral: E Para = a, ntão σ = σ : Ea Assim, a urvatura da pça quando os banzos stivrm m omportamnto plástio, srá um aro d irunfrênia om urvatura: 1 ae ) V 1 -σ a V.n. a a V 1 a a a σ Tto d apoio aos alunos

64 V a a a O fator d forma: d) p 1 V a V a a p rsidual 10a a arg a E 1 9 a 15 4 ae 44 a E 44 ae rsidual P5.) Dtrminar o fator d forma das sguints sçõs: d h Solução: Sção irular: φ = 16/(π) 1.7 Sção m losango φ = Rsolução para o aso da sção irular: Dtrminação do momnto fltor limit da fas lástia ( ) a.a σ Atndndo à fórmula gral da flão: os sin Uma vz qu α = 180º qu a tnsão nas fibras mais afastadas srá a tnsão d dênia, fia: -σ Tto d apoio aos alunos

65 ma 4 d 64 d d d Dtrminação do momnto fltor d dênia ou momnto plástio ( p ).a σ p -σ d p d 4 tablas ténias p d 16 p P5.) A viga simplsmnt apoiada (simpl supportd bam) tm apliadas açõs ujos valor d álulo é P: P P =1m L=4m =1m Admita qu a viga tm sção rtangular b=m h=9m; Admita um matrial om as sguints aratrístias: σ = 0Pa ; E = 00GPa Dsprz o fito do sforço transvrso do pso próprio a) Calular P ao qual é atingido o limit d omportamnto lástio à flão da barra; b) Dtrmin a flha (δ ) da barra quando P = P ) Dtrmin a arga limit orrspondnt à plastifiação da barra, atndndo a qu o fator d forma da sção rtangular é 1.5: d) Admita qu P=1kN, dtrmin a flha da barra. Rsolução: A barra stá sujita a flão irular rta om momnto =P. As tnsõs normais, m flão irular obdm à sguint prssão: Tto d apoio aos alunos

66 σ.n. Tnsõs σ d omprssão Tnsõs σ d tração Uma vz qu α = 180º qu a tnsão nas fibras mais afastadas srá a tnsão d dênia, fia: h ma ou sja: P h -σ Rsposta: P =9.kN P h b) L δ ρ φ Atndndo à prssão gral da urvatura m flão irular rta: 1 E Para = 1 E Substituindo plo valor nontrado para na alína antrior: 1 he A fibra nutra da barra é um aro d irunfrênia d omprimnto L raio ρ, plo qu s pod stablr a rlação gométria om o ângulo ao ntro φ (radianos): L Assim o ângulo ao ntro φ (radianos): Tto d apoio aos alunos

67 L L he Da figura pod agora onluir-s, os 1 os Not bm: para a prssão antrior o ângulo ao ntro φ nssita d sr onvrtido d radianos para graus. Rsposta δ =5.11m ) p =1.5 P p = 1.5P P p =1.5P Rsposta: P p =1.95kN d) Tmos qu dtrminar a urvatura da pça. Para tal nssitamos d onhr a faia h d sção qu ainda s nontra na fas lástia: σ h -σ Admitamos o sguint diagrama d distribuição d tnsõs normais na sção, o qual mostra qu as fibras da pça afastadas mais do qu h / do io nutro s nontram m dformação plástia: σ b h h -σ Para o aso da sção quadrangular, fia: h h b h h h b h 4 h b 1 h h Tto d apoio aos alunos

68 h h 4 b Uma vz qu o momnto = P =1kNm, substituindo valors obtém-s: h =0.041m = 4.1m As fibras da pça ontidas no intrvalo d ±h /, d valors d, ontinuam m dformação om omportamnto lástio linar, ntão: E h E Em partiular: Assim a pça ontinua um aro d irunfrênia om urvatura: 1 h E Atndndo a qu: l δ ρ φ Rptindo o raioínio da alína b): os 1 os Sndo φ dado pla prssão l l h E Rsposta δ =11.m (φ m graus) (φ m radianos) P5.4) Dtrminar o momnto fltor d dênia ou momnto plástio último, p, o módulo d flão plástia, Z, para sção T da figura sguint: Tto d apoio aos alunos

69 h a a h Rsolução: σ Ω 1=Ω a h p a h a h a h a h p ah Z ah P5.5) Admita uma pça uja sção stá rprsntada na figura sguint, sujita a uma flão irular rta. 10m -σ Sção transvrsal m m 8m m 6m Admitindo: - Pça fita d matrial lástio - prfitamnt plástio, qur à tração, qur à omprssão, om uma tnsão d dênia d 40Pa; a) Calul o momnto plástio. Tto d apoio aos alunos