DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES DE CONCRETO ARMADO À FLEXÃO COMPOSTA NORMAL

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL D RI GRANDE D SUL ESCLA DE ENGENHARIA DEPARTAMENT DE ENGENHARIA CIVIL DIMENSINAMENT DE SEÇÕES RETANGULARES DE CNCRET ARMAD À FLEXÃ CMPSTA NRMAL AMÉRIC CAMPS FILH 014

2 SUMÁRI 1 AS SLICITAÇÕES NRMAIS... 1 ELEMENTS LINEARES SUJEITS A SLICITAÇÕES NRMAIS ESTAD LIMITE ÚLTIM....1 Estaos limits.... Hipótss básias... 3 DIMENSINAMENT DE SEÇÕES RETANGULARES DE CNCRET ARMAD SUJEITAS À FLEXÃ CMPSTA NRMAL problma a sr rsolvio As rlaçõs quivalênia ntr sforços atuants rsistnts Dimnsionamnto sçõs rtangulars submtias à flo-omprssão normal Armauras assimétrias Armauras simétrias Dimnsionamnto sçõs rtangulars submtias à flo-tração normal Programa para imnsionamnto sçõs rtangulars onrto armao submtias à flão omposta normal... 3

3 1 AS SLICITAÇÕES NRMAIS As sçõs transvrsais um lmnto strutural stão submtias a soliitaçõs. Estas soliitaçõs são lassifiaas omo normais tangniais. As soliitaçõs normais, omo o sforço normal o momnto fltor, ão origm a tnsõs normais nas sçõs. Por outro lao, as soliitaçõs tangniais, omo o sforço ortant o momnto torção, ausam o aparimnto tnsõs tangniais nas sçõs. Traiionalmnt, o imnsionamnto as sçõs onrto armao é fito por grupo soliitaçõs. Assim, no aso uma viga onrto armao, jas sçõs transvrsais stão submtias a momnto fltor sforço ortant, têm-s ois prossos inpnnts imnsionamnto para a sção: trmina-s uma armaura longituinal para rsistir à soliitação orrsponnt ao momnto fltor, forma inpnnt, alla-s uma armaura transvrsal para rsistir ao sforço ortant. Isto é fito por s tr uma soliitação normal (momnto fltor) uma soliitação tangnial (sforço ortant) atuano na sção. Já para um pilar onrto armao, jas sçõs stão submtias a momnto fltor sforço normal, tm-s um prosso imnsionamnto únio, on s trmina uma armaura longituinal para rsistir a ação simultâna stas uas soliitaçõs. Nst aso s têm uas soliitaçõs o msmo grupo (as soliitaçõs normais). Smpr qu uma sção stivr submtia a um momnto fltor s tm uma soliitação ita flão. A soliitação flão po sr lassifiaa omo simpls ou omposta. Uma flão é ita simpls quano a únia soliitação normal atuant é o momnto fltor. Uma flão é amaa omposta quano atuam simultanamnt m uma sção um momnto fltor uma força normal ( tração ou omprssão). A soliitação flão, sja simpls ou omposta, po sr lassifiaa, aina, omo normal ou oblíqua. Uma flão é amaa normal quano o plano flão ontém um io simtria a sção. Uma flão é ita oblíqua smpr qu a irção a lina nutra não po sr trminaa a priori. A figura abaio mostra sçõs onrto armao submtias à flão omposta oblíqua. Em (a), o plano ação o momnto fltor orta a sção transvrsal sguno uma rta qu não oini om o su plano simtria. A flão também é oblíqua, aso (b), quano a sção não tm um io simtria. io simtria traço o plano flão traço o plano flão (a) (b) Figura 1.1 Situaçõs flão oblíqua Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 1

4 ELEMENTS LINEARES SUJEITS A SLICITAÇÕES NRMAIS ESTAD LIMITE ÚLTIM.1 Estaos limits Para s projtar uma strutura om um aquao grau sgurança é nssário qu s vrifiqu a não oorrênia uma séri staos limits. Ests staos limits pom sr lassifiaos m staos limits últimos (ELU) staos limits srviço (ELS). s staos limits últimos orrsponm à máima apaia portant a strutura. s staos limits srviço são aquls rlaionaos à urabilia as struturas, aparênia, onforto o usuário a boa utilização funional a msma, sja m rlação aos usuários, sja às máquinas aos quipamntos utilizaos. Nas struturas onrto armao, vm sr vrifiaos os sguints staos limits últimos: a) stao limit último a pra o quilíbrio a strutura, amitia omo orpo rígio; b) stao limit último sgotamnto a apaia rsistnt a strutura, no su too ou m part, vio às soliitaçõs normais tangniais; ) stao limit último sgotamnto a apaia rsistnt a strutura, no su too ou m part, onsirano os fitos sguna orm; ) stao limit último provoao por soliitaçõs inâmias; ) stao limit último olapso progrssivo; f) stao limit último sgotamnto a apaia rsistnt a strutura, no su too ou m part, onsirano posição ao fogo (NBR 1500); g) stao limit último sgotamnto a apaia rsistnt a strutura, onsirano açõs sísmias (NBR 1541). são: s staos limits srviço, qu vm sr vrifiaos nas struturas onrto armao, a) stao limit abrtura as fissuras; b) stao limit formaçõs ssivas; ) stao limit vibraçõs ssivas. Nst trabalo srá istio o stao limit último sgotamnto a apaia rsistnt vio às soliitaçõs normais.. Hipótss básias Na anális os sforços rsistnts uma sção onrto armao, amitm-s as sguints ipótss básias: a) as sçõs transvrsais s mantêm planas após formação; Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul

5 b) a formação as barras, m tração ou omprssão, é a msma o onrto m su ntorno; ) as tnsõs tração no onrto, normais à sção transvrsal, pom sr sprzaas; ) a istribuição tnsõs no onrto s faz aoro om o iagrama parábola-rtângulo, om tnsão pio igual a 0,85 f, onform a figura Figura.1 Diagrama parábola-rtângulo para o onrto omprimio sno f a rsistênia állo o onrto à omprssão, trminaa por fk f (.1) on f k é a rsistênia aratrístia o onrto à omprssão é o ofiint minoração a rsistênia o onrto, tomao, m gral, om o valor 1,4. Οs valors a srm aotaos para os parâmtros ε (formação spífia nrtamnto o onrto no iníio o patamar plástio) ε (formação spífia nrtamnto o onrto na ruptura) são finios a sguir: - para onrtos lasss até C50: - para onrtos lasss C50 até C90: ε =,0 ε = 3,5 ε =,0 + 0,085.(f k - 50) 0,53 ; ε =, [(90 - f k )/100] 4 Ess iagrama po sr substituío plo rtângulo profunia y = λ, on o valor o parâmtro λ po sr tomao igual a: λ = 0,8 para f k 50 MPa; ou λ = 0,8 (f k - 50)/400 para f k > 50 MPa. Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 3

6 on a tnsão onstant atuant até a profunia y po sr tomaa igual a: - α f no aso a largura a sção, mia parallamnt à lina nutra, não iminuir a partir sta para a bora omprimia; - 0,9 α f no aso ontrário. sno α finio omo: - para onrtos lasss até C50; α = 0,85 - para onrtos lasss C55 até C90: α = 0,85 [1,0 - (f k - 50) / 00] As ifrnças rsultaos obtios om sss ois iagramas são pqunas aitávis, sm nssia ofiint orrção aiional. ) a tnsão nas armauras é obtia a partir o iagrama tnsão formação, om valors állo; a rsistênia állo o aço, f y, é aa por f f yk y (.) s on f yk é a rsistênia aratrístia o aço s é o ofiint minoração a rsistênia o aço, tomao, m gral, om o valor 1,15. Figura. - Diagrama tnsão-formação para o aço f) o stao limit último é aratrizao quano a istribuição as formaçõs na sção transvrsal prtnr a um os omínios finios na Figura.3. Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 4

7 - ruptura onvnional por formação plástia ssiva: rta a: omínio 1: omínio : tração uniform tração não uniform, sm omprssão flão simpls ou omposta sm ruptura à omprssão o onrto ( < om o máimo alongamnto prmitio) - ruptura onvnional por nrtamnto limit o onrto: omínio 3: omínio 4: omínio 4a: omínio 5: rta b: flão simpls (sção subarmaa) ou omposta om ruptura à omprssão o onrto om soamnto o aço ( s > y ) flão simpls (sção suprarmaa) ou omposta om ruptura à omprssão o onrto aço traionao sm soamnto ( s < y ) flão omposta om armauras omprimias omprssão não uniform, sm tração omprssão uniform Figura.3 - Domínios formação o stao limit último m uma sção transvrsal g) as soliitaçõs são tomaas om os sus valors állo, aos por N N (.3) f M f M (.4) on N, M são as soliitaçõs srviço f é o ofiint majoração as soliitaçõs, tomao, m gral, om o valor 1,4. Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 5

8 3 DIMENSINAMENT DE SEÇÕES RETANGULARES DE CNCRET ARMAD SUJEITAS À FLEXÃ CMPSTA NRMAL 3.1 problma a sr rsolvio Com o propósito ilustrar o proimnto állo uma sção onrto armao submtia a soliitaçõs normais, aprsntam-s, nst apítulo, os proimntos imnsionamnto sçõs rtangulars à flão omposta normal. problma a sr rsolvio é o sguint: ' DADS: gomtria: b,,, onrto: f k aço: f yk soliitaçõs: N, M A s DETERMINAR: A s1 A s traço o plano flão oini om um io simtria a sção. A s1 b Fig. 3.1 Sção rtangular Para rsolvr st problma vm sr mprgaos três tipos rlaçõs, trminaas a partir as ipótss básias állo aprsntaas no apítulo : (a) rlaçõs tnsão-formação os matriais (b) rlaçõs ompatibilia formaçõs () rlaçõs quivalênia ntr sforços atuants rsistnts As rlaçõs tnsão-formação os matriais já foram aprsntaas no apítulo. As rlaçõs ompatibilia formaçõs são orrnts a ipóts qu as sçõs prmanm planas até a ruptura os omínios formação o stao limit último stablios pla NBR6118:014. Através stas rlaçõs, onia a posição a lina nutra, pom-s trminar os valors as formaçõs m qualqur fibra a sção transvrsal. A posição a lina nutra é finia plo valor a oornaa (istânia a fibra maior nrtamnto ou mnor alongamnto a sção até a lina nutra). As rlaçõs ompatibilia formaçõs para os ifrnts omínios formação stão aprsntaas na Fig. 3.. Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 6

9 Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 7 omínio 1: < 0 10 ' 10 ' omínio : 0 < < ' 10 ' omínios 3 4: omínio 3: 3 < < lim omínio 4: lim < < E f s y y y lim 1 1 ' ' omínio 4a: < < ' ' 1 1 omínio 5: > 1 1 ' ' onno-s, sab-s o omínio as formaçõs. Fig Rlaçõs ompatibilia formaçõs

10 3. As rlaçõs quivalênia ntr sforços atuants rsistnts As rlaçõs quivalênia ntr sforços atuants rsistnts são nssárias para o imnsionamnto as sçõs onrto armao à flão omposta normal. stablimnto stas rlaçõs srá ilustrao, nst itm, para uma situação imnsionamnto sção rtangular submtia à flão omposta normal. Ants, porém, uma obsrvação rlativa às soliitaçõs v sr fita. No quaionamnto a solução o problma é mais onvnint trabalar om o par (N, 0 ) o qu om o par (N, M), onform ilustra a Fig As uas situaçõs soliitação são statiamnt quivalnts. N M N 0 Figura Situaçõs statiamnt quivalnts A ntriia 0 o sforço normal állo po sr trminaa através a prssão M M 0 (3.1) N N A Fig. 3.4 aprsnta o iagrama para a trminação as rlaçõs quivalênia ntr sforços atuants rsistnts. ' A s1 1 a l f b A s 0 1 N a f ESFRÇS ATUANTES ESFRÇS RESISTENTES l Figura 3.4 Diagrama quivalênia ntr sforços atuants rsistnts Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 8

11 on A partir o iagrama a Fig. 3.4 po-s srvr qu N = a l f b + A s A s1 1 (3.) N 1 = a l f b ( 0,5 l ) + A s ( - ) (3.3) M M 0 N N ' 1 0 ' 0 (3.) Nstas uas prssõs aparm ino valors qu não pom sr trminaos irtamnt os aos o problma imnsionamnto: A s1, A s,, 1,. Estas sriam as inógnitas o problma. Na vra, os valors 1 são pnnts o valor não são, portanto, inógnitas aiionais. Assim, para s nontrar a solução o problma imnsionamnto, v-s rsolvr um sistma uas quaçõs 3 inógnitas. Est problma aprsnta solução intrminaa tm, portanto, infinitas soluçõs possívis. 3.3 Dimnsionamnto sçõs rtangulars submtias à flo-omprssão normal Para solr uma solução partilar, ntr as infinitas possívis, para o problma imnsionamnto sçõs rtangulars onrto armao à flo-omprssão normal, v-s arbitrar uma rlação aiional ntr as inógnitas. Srão stuaas uas soluçõs partilars: solução armauras assimétrias (A s1 +A s mínimo) a solução as armauras simétrias (A s1 =A s ) Armauras assimétrias Para stablr-s o qu vai sr arbitrao, ivim-s os problmas flo-omprssão m 3 situaçõs: (a) Flo-omprssão om gran ntriia (A s1 0 traionaa omínios ou 3) Abrang toos os asos m qu só é possívl quilibrar os sforços soliitants, utilizanos armaura simpls ( tração) ou upla ( tração omprssão). (b) Flo-omprssão om pquna ntriia (A s1 = 0 omínios 4, 4a ou 5) Corrspon a toos os asos m qu é possívl quilibrar os sforços soliitants, utilizano-s uniamnt uma armaura omprssão. () Comprssão omposta (A s1 A s omprimias omínio 5) Engloba toos os asos m qu são nssárias uas armauras omprssão. Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 9

12 (a) Flo-omprssão om gran ntriia Na flo-omprssão om gran ntriia, é nssária uma armaura traionaa para quilibrar os sforços atuants. A situação imnsionamnto v air ntro os omínios ou 3, para qu a solução sja onômia ( 1 y 1 = f y ). Po-s tr solução om armaura simpls (A s = 0) ou om armaura upla ( = lim ). (a.1) Armaura simpls N = a l f b A s1 f y N 1 = a l f b ( 0,5 l ) N têm-s quaçõs inógnitas (A s1, ) 1 A s1 f y a l f b l a f Para assgurar qu 1 = f y, usa-s sta solução somnt para < lim ( 1 y ) [omínios ou 3], ou sja, para N 1 M lim. M lim = a l f b lim ( 0,5 l lim ) Figura 3.5 Gran ntriia - armaura simpls (a.) Armaura upla Para a situação armaura upla, fia-s qu = lim. ' N = a l f b lim + A s A s1 f y A s1 f y a l f b lim A s 1 l lim lim Figura 3.6 Gran ntriia - armaura upla N a f N 1 = M lim + A s ( - ) têm-s quaçõs inógnitas (A s1, A s ) Ants rsolvr o sistma quaçõs, v-s trminar o valor, a partir o állo lim ' lim Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 10

13 bsrvação: ntriias N (-')/ (-')/ 1 0 N ' 1 0 ' 0 (-')/ (-')/ 1 0 N ' 1 0 ' Figura 3.7 Entriias o sforço normal Transição ntr a flo-omprssão om gran ntriia a flo-omprssão om pquna ntriia quano 0 > (- )/ ' 0 N a f quilíbrio à rotação, m rlação à armaura omprimia, só é possívl s A s1 > 0 stivr traionaa, ou sja, para 0 > (- )/ smpr srá flo-omprssão om gran ntriia. A s1 f y a l f b lim A s l lim lim Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 11

14 Figura 3.8 Transição FCGE-FCPE quano 0 < (- )/ ' Fazno o quilíbrio à rotação, m rlação à armaura A s, tm-s N = a l f b lim (0,5 l lim ) A s1 f y (- ) 0 N a f A a l f b lim 0 N s1 f y,5l lim ' ' 0 A s1 f y a l f b lim A s l lim lim a l f b lim 0,5l lim N ' Figura 3.9 Transição FCGE-FCPE (b) Flo-omprssão om pquna ntriia Nsta situação, tm-s apnas uma armaura omprssão (A s1 = 0). ' N = a l f b + A s (1) N = a l f b (0,5 l ) () N a l f b A s l Figura 3.10 Pquna ntriia a f Têm-s quaçõs inógnitas (, A s ). Em primiro lugar, v-s allar o valor, usano a quação (). A sguir, vrifia-s o omínio qu orrspon a st valor. Pom sr os omínios 4, 4a ou 5. Emprgano a rlação ompatibilia formaçõs orrsponnt, alla-s o valor. Utilizano-s a rlação tnsão-formação o aço, trmina-s o valor. Finalmnt, om a quação (1), alla-s A s. Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 1

15 Transição ntr a flo-omprssão om pquna ntriia a omprssão omposta Po-s aumntar a zona om tnsão igual a a f até uma altura l = (ou = /l). A partir aí, toa a sção onrto stá submtia à tnsão a f. ' Assim, o máimo momnto N, qu a sção po rsistir, sm a armaura A s1 omprssão, é N = a f b (0,5 ) N ou a f a f b 0,5 ' N a f b A s Figura 3.11 Transição FCPE-CC Para aumntar o momnto N sria nssário arsntar A s1, qu ontribuiria om a parla aiional A s1 1 (- ). Assim, tm-s flo-omprssão om pquna ntriia quano a f b 0,5 ' N Para maior o qu st valor s tm omprssão omposta. () Comprssão omposta Nst aso, prisa-s uas armauras omprssão para quilibrar os sforços atuants. ' N 1 = a f b (-0,5 )+A s (- ) N = a f b (0,5 - )+A s1 1 (- ) A s1 1 N 1 a f b A s Figura 3.1 Comprssão omposta a f Têm-s quaçõs 3 inógnitas (, A s1, A s ). Embora não aparça pliitamnt, os valors 1 são pnnts o valor. Dntr as infinitas soluçõs possívis, a solução mais onômia é nontraa para = +. Esta solução orrspon a rta b o iagrama formaçõs o stao limit último ( 1 = = ). Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 13

16 Situação m qu não é nssário armaura toriamnt ' N a f a f b ( +') +' +' Figura 3.13 Situação m qu não é nssário armaura Não é nssário oloar armaura, toriamnt, s N a f ou b ' ' N a f b ou N a f Embora, nst aso, não ista a nssia tória a oloação armaura para quilibrar os sforços atuants, na prátia, a norma smpr ig a oloação uma armaura mínima na pça strutural. b ' Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 14

17 Emplos: b = 5 m; = 50 m; = 45 m; = 5 m C5: f k = 5 MPa =,5 kn/m ; f =,5 /1,4 = 1,786 kn/m CA-50: f y = 50/1,15 = 43,48 kn/m ; y = f y / E s =,07 M lim = a l f b lim ( 0,5 l lim ) = 0,85.0,8.1, ,6(45-0,5.0,8.8,6) = 89,1 kn.m a l f b lim 0,5 l lim ' 0,85.0,8.1, ,6(0,5.0,8.8,6 5) N N f b 0,5 ' 0,85.1, (0,5.50 5) 37953kN. m a N N N N N N ' 5 5m a f b.0,85.1, ,91kN/ m GP PC 0 Emplo 1: M = 70 kn.m N = 100 kn N = 1,4.100 = 140 kn M m N 100 ' m ' m omo < 0 flo-omprssão om gran ntriia 3, 5 lim 0, 68 8, 6m ε y,07 3, prisa armaura 75, ,16 m N. 1 = (140kN) (0,90m) = 16,0 kn.m < M lim = 89,1 kn.m armaura simpls N = a l f b A s1 f y (1) N 1 = a l f b ( 0,5 l ) () (): -0,85.0,8.1, ,5.0,8 + 0,85.0,8,1, = 0-1, , = 0 = 10,14 m < lim = 8,6 m ou = 10,36 m (absuro) 0,85.0,8.1, , (1): As1 3,86 m 43, kN. m N Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 15

18 Emplo : M = 150 kn.m N = 800 kn N = 1,4.800 = 110 kn 0 1 M , 75m N 800 ' , 75 38, 75m ' , 75 1,5 m , 75m 75,91 prisa armaura GP ,83m flo-omprssão om gran ntriia 110 N. 1 = (110kN) (0,3875m) = 434,0 kn.m > M lim = 89,1 kn.m armaura upla N = a l f b lim + A s A s1 f y (1) N 1 = M lim + A s ( - ) () : lim = 8,6 m lim ' 8,6 5 3,5,881 > y =,07 = f y = 43,48 kn/m 8,6 lim (): 8,33 As m 43,48(45-5) 0,85.0,8.1, ,6 8,33.43, (1): As1,30m 43,48 Emplo 3: M = 30 kn.m N = 630 kn N = 1,4.630 = 88 kn 0 1 M , 76 m N 630 ' , 76 4, 76 m ' , 76 15,4 m , 6m 75, 91 não prisa armaura toriamnt Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 16

19 Emplo 4: M = 100 kn.m N = 150 kn N = 1,4.150 = 1750 kn 0 1 M m N 150 ' m ' m ,05m 75,91 prisa armaura GP ,09 m PC N = a l f b + A s (1) N = a l f b (0,5 l ) () (): 0,85.0,8.1, ,5.0,8 0,85.0,8.1, = 0 1, , = 0 = -35,80 m (absuro) ou = 48,30 m = 45 m; = 50 m; < < omínio 4a 1,69m flo-omprssão om pquna ntriia ' 48,30 5 3,5 3,138 > y =,07 = f y = 43,48 kn/m 48, ,85.0,8.1, ,30 (1): As 6,5m 43,48 Emplo 5: M = 100 kn.m N = 000 kn N = 1,4.000 = 800 kn 0 1 M m N 000 ' m ' m ,89 m 75,91 prisa armaura Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 17

20 GP ,93m; PC 13,55m; N 1 = a f b (-0,5 )+A s (- ) (1) N = a f b (0,5 - )+A s1 1 (- ) () PC omprssão omposta Fiar = 1 = = /1000 = 4 kn/m < y =, ,85.1, (0,5.50-5) ():,41 As1 m 4(45-5) ,85.1, (45-0,5.50) (1): 19,08 As m 4(45-5) Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 18

21 Armauras simétrias Vantagns a utilização a solução armauras simétrias: vitar a invrsão as armauras solução mais onômia nos asos soliitaçõs altrnaas ' A s1 1 a l f b A s 0 1 N a f ESFRÇS ATUANTES ESFRÇS RESISTENTES l Figura 3.14 Diagrama sforços atuants rsistnts problma flo-omprssão normal: N = a l f b + A s A s1 1 N 1 = a l f b ( 0,5 l ) + A s ( - ) têm-s quaçõs 3 inógnitas (A s1, A s, ) infinitas soluçõs possívis Na solução armauras simétrias, fia-s qu A s1 =A s =A s. A ifila s nontrar a solução st problma é qu 1, aparm nas quaçõs sus valors pnm. Por sta razão, não é possívl rsolvr pliitamnt o sistma s tm qu rorrr a um prosso itrativo. Para fitos quaionamnto, ivi-s o problma flo-omprssão normal, solução armauras simétrias, m quatro asos: aso 1 0 > (- )/ 0 sforço normal atua fora as uas armauras aso aso 3 aso 4 0 < (- )/ 0 /l /l A s1 - traionaa A s - omprimia A s1, A s omprimias part a sção submtia a tnsão a f A s1, A s omprimias toa a sção submtia a tnsão a f Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 19

22 Equaionamnto a solução: ' Caso 1: 0 > (- )/ 0 (omínios, 3 ou 4) sforço normal atua fora as uas armauras 1 N N = a l f b + A s ( - 1 ) (1) 0 N 1 = a l f b (-0,5 l )+A s (- ) () a f N =- a l f b (0,5 l - )+A s1 1 (- )(3) A s1 1 a l f b A s l Figura 3.15 Caso 1 ' Caso : 0 < (- )/ 0 (omínios, 3 ou 4) N = a l f b + A s ( - 1 ) (1) 1 N N 1 = a l f b (-0,5 l )+A s (- ) () 0 N = a l f b (0,5 l - ) -A s1 1 (- ) (3) a f A s1 1 a l f b A s l Figura 3.16 Caso Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 0

23 ' Caso 3: 0 < (- )/ /l (omínios 4a ou 5) N = a l f b + A s ( + 1 ) (1) 1 0 N a f N 1 =a l f b (-0,5 l )+A s (- ) () N =a l f b (0,5 l - ) +A s1 1 (- ) (3) A s1 1 a l f b A s l Figura 3.17 Caso 3 Prosso itrativo para a solução os asos 1, ou 3: (a) Arbitra-s ( arb ); (b) Callam-s 1, ; () Callam-s 1, ; () Callam-s A s1, A s om () (3); () Calla-s um novo valor ( al ) om (1), usano omo A s, a armaura qu tivr mnor variação m rlação à itração antrior (na primira itração, v-s allar uas vzs o valor utilizar aqul qu variar mnos m rlação ao valor arbitrao). A onvrgênia o prosso oorr quano A s1 = A s arb = al (as uas oniçõs são vrifiaas simultanamnt). Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 1

24 ' Caso 4: 0 < (- )/ /l (omínio 5) N = a f b + A s ( + 1 ) (1) 1 0 N a f N 1 =a f b (-0,5)+A s (- ) () N =a f b (0,5- ) +A s1 1 (- ) (3) A s1 1 a f b A s Figura 3.18 Caso 4 Prosso itrativo para a solução o aso 4: (a) Arbitra-s A s1 ; (b) Calla-s 1, utilizano a quação (3); () Calla-s 1, utilizano a rlação tnsão-formação o aço; () Calla-s, utilizano uma rlação ompatibilia formaçõs o omínio 5; () Calla-s, utilizano outra rlação ompatibilia formaçõs o omínio 5; (f) Calla-s, utilizano a rlação tnsão-formação o aço; (g) Calla-s A s, utilizano a quação (); A onvrgênia o prosso oorr quano A s1 = A s. Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul

25 Transiçõs: aso 1 orrspon às situaçõs on o sforço normal stá atuano fora as uas armauras. Por quilíbrio, a armaura As1 obrigatoriamnt tm qu star traionaa (<). aso 1 é intifiao para um valor 0 > (- )/ ou <0. Nos asos, 3 4, o sforço normal stá atuano ntr as uas armauras. u sja, nsts asos, tm-s 0 < (- )/. É nssário utilizar uma rlação aiional para intifiar qual é atamnt a situação imnsionamnto. ' Transição -3: = 1 = 0 a q.(3), aso ou 3, om 1 =0 = fia 1 N N,3 a l f b (0,5 l ) 0 a f,3 a l f b (0,5l ) N 0 a l f b A s = l Figura 3.19 Transição -3 ' Transição 3-4: = /l 1 N por quilíbrio, tm-s * ( * N R As * 1 ) (1) 3,4 ' ( * * N 0 As 1 ) () * * * A s1 A s 1 R = a f b ' 0 ' Figura 3.0 Transição 3-4 a f isolano-s A s m (1), fia * N R As * * substituino-s m (), vm * * * 3,4 R ' * N * 1 1, finalmnt, tm-s ' R 1 N * 3,4 ' 3,4 0 1 * * 1 * * 1 Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 3

26 Emplos: b = 5 m; = 50 m; = 45 m; = 5 m C5: f k = 5 MPa =,5 kn/m ; f =,5 /1,4 = 1,786 kn/m CA-50: f y = 50/1,15 = 43,48 kn/m ; y = f y / E s =,07 3, 5 0, 59 11, 66m , , 5 lim 0, 68 8, 6m ε y,07 3, 5 a l f b (0,5l ') 0,85.0,8.1, (0,5.0,8.45 5) N N ' * * * 3,4 ' R * N * 1,3 3,4 1 * R a f b0,85.1, , 6kN = /l = 50/0,8 = 6,5 m 1776kN. m N * 6,5 45 * 1 0, , 90kN/ m 3,5 6,5 50 3,5 * ' 6,5 5 *,800 43, 48kN / m 3,5 6,5 50 3,5 3, ,6 43,4817, , , N 43,4817,90 N 3, ,5 kn.m 11,665m N 0 N N N ' 5 5m a f b.0,85.1, ,91kN/ m Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 4

27 Emplo 1: M = 70 kn.m N = 100 kn N = 1,4.100 = 140 kn M m N 100 ' m ' m omo < 0 aso 1 (0<<=45m) , 16m prisa armaura 75,91 N = a l f b + A s ( - 1 ) (1) N 1 =a l f b (-0,5 l )+A s (- ) () N =-a l f b (0,5 l - )+A s1 1 (- )(3) (3): A s1. 1 = [ ,85.0,8.1,786.5(0,5.0,8-5)]/(45-5) =0,3036-3, não tm raízs rais (): A s. = [ ,85.0,8.1,786.5(45-0,5.0,8)]/(45-5) =0, , raízs: 1 =10,14 m; = 10,37 m <10,14m ou >10,37m (1): al As σ σ As σ σ 0,85.0,8.1, ,36 onlusão 0<<10,14m arb = 5,07 m arb (m) omínio 1 ( ) 1 (kn/m ) ( ) (kn/m ) A s1 (m ) A s (m ) 5, ,48 0,0175 0,3675 3,76 407,15 9,95 7, ,48 0, ,06 3,76 5,38 8,5 7, ,48 0, ,9 3,77 3,97 7,99 7, ,48 0, ,66 3,77 3,78 7,94 A s1 = A s = 3,78 m al (m) Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 5

28 Emplo : M = 150 kn.m N = 900 kn N = 1,4.900 = 160 kn M ,67m N 900 ' ,67 36,67 m ' ,67 3,33 m ,60 m prisa armaura 75, ,3 14,10 m aso (0<<=45m) 160,3 N = a l f b + A s ( - 1 ) (1) N 1 =a l f b (-0,5 l )+A s (- ) () N =a l f b (0,5 l - )-A s1 1 (- )(3) (3): A s1. 1 = [0,85.0,8.1,786.5(0,5.0,8-5)-1603,33]/(45-5) =0,3036-3, ,90 raízs: 1 =-13,36 m; = 5,86 m <-13,36m ou >5,86m (): A s. = [160.36,67-0,85.0,8.1,786.5(45-0,5.0,8)]/(45-5) =0, , ,1 não tm raízs rais (1): al As σ σ As σ σ 0,85.0,8.1, ,36 onlusão 5,86m<<45m arb = 35,43 m arb (m) omínio 1 ( ) 1 (kn/m ) ( ) (kn/m ) A s1 (m ) A s (m ) 35,43 4 0, ,85 3,006 43,48 7,14 7,50 35,66 35,55 4 0, ,54 3,008 43,48 7,36 7,46 35,6 35,59 4 0,954 19,43 3,008 43,48 7,44 7,45 35,60 A s1 = A s = 7,45 m al (m) Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 6

29 Emplo 3: M = 150 kn.m N = 000 kn N = 1,4.000 = 800 kn M ,5m 0 N 000 ' ,5 7,5m ' ,5 1,5 m ,89 m prisa armaura 75,91, , ,5 6,34 m; 11,66517,31m aso 3 (=45m<</l=50/0,8=6,5m),3 N = a l f b + A s ( + 1 ) (1) N 1 =a l f b (-0,5 l )+A s (- ) () N =a l f b (0,5 l- )+A s1 1 (- )(3) (3): A s1. 1 = [800.1,5-0,85.0,8.1,786.5(0,5.0,8-5)]/(45-5) =-0, , raízs: 1 =-47,80 m; = 60,30 m -47,80 < <60,30 m (): A s. = [800.7,5-0,85.0,8.1,786.5(45-0,5.0,8)]/(45-5) =0, , não tm raízs rais 3,4 (1): al As σ σ As σ σ 0,85.0,8.1, ,36 onlusão 45m<<60,3m arb = 5,65 m arb (m) omínio 1 ( ) 1 (kn/m ) ( ) (kn/m ) A s1 (m ) A s (m ) 5,65 5 0, ,9 3,05 43,48,66,7 5,78 5,7 5 0, ,36 3,050 43,48,3,7 5,73 5,73 5 0, ,37 3,050 43,48,7,7 5,7 A s1 = A s =,7 m al (m) Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 7

30 Emplo 4: M = 60 kn.m N = 500 kn N = 1,4.500 = 3500 kn M 6000,4m 0 N 500 ' ,4,4 m ' ,4 17,6 m ,11m prisa armaura 75, ,07 m; ,5 11,665 16,18 m 3500,3 3,4 N = a f b + A s ( + 1 ) (1) N 1 = a f b (-0,5)+A s (- ) () N = a f b (0,5- )+A s1 1 (- )(3) 3,4 aso 4 (>/l=50/0,8=6,5m) (3): 1 = [ ,6-0,85.1, (0,5.50-5)]/[A s1 (45-5)] =591,19/A s1 (): A s = [3500.,4-0,85.1, (45-0,5.50)]/[ (45-5)] = 1011,19/ 1 ' ; iníio o prosso: arbitrar = f y = 43,48 kn/m a prssão (): A s = 1011,19/ = 1011,10/43,48 = 3,6 m omo A s1 = A s arbitra-s A s1 = 3,6 m A s1 (m ) A s1 = A s = 3,6 m 1 (kn/m ) 1 ( ) (m) ( ) (kn/m ) A s (m ) 3,6 5,4 1,10 81,13,550 43,48 3,6 Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 8

31 3.4 - Dimnsionamnto sçõs rtangulars onrto armao submtias à flo-tração normal Em gral, é utilizaa a solução armauras assimétrias. As situaçõs imnsionamnto são iviias m ois asos: (a) flo-tração om gran ntriia: quano o sforço normal stá atuano fora as uas armauras; (b) flo-tração om pquna ntriia: quano o sforço normal stá atuano ntr as uas armauras. (a) flo-tração om gran ntriia ' s N 1 M lim (a.1) armaura simpls A s = 0 N 1 N = A s1 f y a l f b (1) 0 N 1 = a l f b (-0,5l) () a f A s1 f y a l f b () (1) A s1 l Fig. 3. Gran ntriia armaura simpls ' s N 1 > M lim (a.) armaura upla = lim N N = A s1 f y A s - a l f b lim (1) 1 0 N 1 = M lim + A s (- ) () a f A s1 f y a l f b lim l l im A s = lim () A s (1) A s1 lim Fig. 3.3 Gran ntriia armaura upla Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 9

32 (b) flo-tração om pquna ntriia ' N 1 = A s (- ) (1) N = A s1 1 (- ) () 1 N arbitra-s = - 1 = = 10 A s1 1 Fig. 3.4 Pquna ntriia A s Emplos: b = 0 m; = 60 m; = 55 m; = 5 m C5: f k = 5 MPa =,5 kn/m ; f =,5 /1,4 = 1,786 kn/m CA-50: f y = 50/1,15 = 43,48 kn/m ; y = f y / E s =,07 3, 5 lim 0, 68 34, 54m ε y,07 3, 5 M lim = a l f b lim ( 0,5 l lim ) = 0,85.0,8.1, ,54(55-0,5.0,8.34,54) = 345,5 kn.m Emplo 1: M = 00 kn.m N = 500 kn N = 1,4.100 = 700 kn 0 M N m 500 ' m flo-tração om gran ntriia 0 ' m N. 1 = (700kN) (0,15m) = 105,0 kn.m < M lim = 345,5 kn.m armaura simpls N = A s1 f y - a l f b (1) N 1 = a l f b ( 0,5 l ) () Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 30

33 (): -0,85.0,8.1, ,5.0,8 + 0,85.0,8,1, = 0-9, , = 0 = 8,37 m < lim = 34,54 m ou = 19,13 m (absuro) 700 0,85.0,8.1, ,37 (1): As1 0,78m 43,48 Emplo : M = 500 kn.m N = 600 kn N = 1,4.600 = 840 kn 0 M N ,33m 600 ' m flo-tração om gran ntriia 0 ' , ,33m N. 1 = (840kN) (0,5833m) = 489,97 kn.m > M lim = 345,5 kn.m armaura upla N = A s1 f y - A s a l f b lim (1) N 1 = M lim + A s ( - ) () : lim = 34,54 m lim ' 34,54 5 3,5,993 > y =,07 = f y = 43,48 kn/m 34,54 lim (): 6,64 As m 43,48(55-5) 840 6,64.43,48 0,85.0,8.1, ,54 (1): As1 45,5m 43,48 Emplo 3: M = 100 kn.m N = 500 kn N = 1,4.500 = 700 kn 0 M N m 500 ' m flo-tração om pquna ntriia 1 ' m ' m N 1 = A s (- ) (1) N = A s1 1 (- ) () Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 31

34 Fiar = - > y =,07 1 = = f y = 43,38 kn/m (): 14,49 As1 m 43,48(55-5) (1): 1,61 As m 43,48(55-5) 3.5 Programa para imnsionamnto sçõs rtangulars onrto armao submtias à flão omposta normal s proimntos imnsionamnto, aminaos nos itns antriors, pom sr ftuaos automatiamnt através o programa omputaional aprsntao nas figuras sguints. Figura 3.5 Dimnsionamnto sçõs rtangulars onrto armao à flo-omprssão normal solução armauras assimétrias Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 3

35 Figura 3.6 Dimnsionamnto sçõs rtangulars onrto armao à flo-omprssão normal solução armauras simétrias Figura 3.7 Vrifiação sçõs rtangulars onrto armao à flo-omprssão normal solução armauras simétrias Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 33

36 Figura 3.8 Dimnsionamnto sçõs rtangulars onrto armao à flo-tração normal solução armauras assimétrias Dpartamnto Engnaria Civil Univrsia Fral o Rio Gran o Sul 34

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