Imersão Matemática Geometria Plana

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1 1. (Unicamp) Considere o quadrado de lado a 0 cm. exibido na figura abaixo. Seja A(x) a função que associa a cada 0 x a a área da região indicada pela cor cinza.. (Unicamp) Considere o triângulo retângulo ABD exibido na figura abaixo, em que AB cm, BC 1cm e CD 5 cm. Então, o ângulo θ é igual a O gráfico da função y A(x) dado por a) no plano cartesiano é a) 15. b) (Unesp) Uma peça circular de centro C e raio está suspensa por uma corda alaranjada, 1 cm perfeitamente esticada e fixada em P. Os pontos T e são de tangência dos segmentos retilíneos da Q corda com a peça, e a medida do ângulo agudo é 60. ˆ TPQ b). (Unesp) Na figura, o losango FGCE possui dois lados sobrepostos aos do losango ABCD e sua área é igual à área indicada em verde. Desprezando-se as espessuras da corda, da peça circular e do gancho que a sustenta, calcule a distância de P até o centro C da peça. Adotando π,1 e 1,7 nas contas finais, calcule o comprimento total da corda. 5. (Fuvest) O retângulo ABCD, representado na figura, tem lados de comprimento AB e BC. O ponto P R, S e T pertence ao lado BC pertencem aos lados AB, e BP 1. Os pontos CD e AD, respectivamente. O segmento RS é paralelo a AD e intercepta DP no ponto Q. O segmento TQ é paralelo a AB. Se o lado do losango ABCD mede 6 cm, o lado do losango FGCE mede a) 5 cm. b) 6 cm. cm. cm. 1

2 Sendo x o comprimento de AR, o maior valor da soma das áreas do retângulo ARQT, do triângulo e do triângulo DQS, para x variando no CQP intervalo aberto a) b) ,, é 6. (Fuvest) Uma bola de bilhar, inicialmente em repouso em um ponto P, situado na borda de uma mesa de bilhar com formato circular, recebe uma tacada e se desloca em um movimento retilíneo. A bola atinge a borda no ponto R e é refletida elasticamente, sem deslizar. Chame de Q o ponto da borda diametralmente oposto a P e de θ a medida do ângulo QPR. Calcule, em função de r, a) o comprimento do lado do triângulo equilátero T determinado pelas três retas que são definidas pela seguinte exigência: cada uma delas é tangente a duas das circunferências e não intersecta a terceira; b) a área do hexágono não convexo cujos lados são os segmentos ligando cada ponto e aos dois vértices do triângulo T P, 1 P P mais próximos a ele. 8. (Unicamp) A figura abaixo exibe um quadrilátero onde AB AD e BC CD cm. ABCD, a) Para qual valor de, após a primeira reflexão, a trajetória da bola será paralela ao diâmetro PQ? b) Para qual valor de após a primeira reflexão, a, trajetória da bola será perpendicular a PQ? Supondo agora que 0 60, encontre uma expressão, em função de para a medida a do ângulo agudo formado pela reta que contém P e Q e pela reta que contém a trajetória da bola após a primeira reflexão na borda., A área do quadrilátero ABCD é igual a a) cm. b) cm. cm. cm. 9. (Unesp) Renata pretende decorar parte de uma parede quadrada ABCD com dois tipos de papel de parede, um com linhas diagonais e outro com riscos horizontais. O projeto prevê que a parede seja dividida em um quadrado central, de lado x, e quatro retângulos laterais, conforme mostra a figura. 7. (Fuvest) São dadas três circunferências de raio r, duas a duas tangentes. Os pontos de tangência são P, 1 P e P.

3 Se o total da área decorada com cada um dos dois tipos de papel é a mesma, então x, em metros, é igual a a) 1 b) (Unesp) Uma mesa de passar roupa possui pernas articuladas AB e CD, conforme indica a figura. Sabe-se que AB CD 1m, e que M é ponto médio dos segmentos coplanares AB e CD. Quando a mesa está armada, o tampo fica paralelo ao plano do chão e a medida do ângulo é ˆ AMC 60. A área do triângulo AEF a) 5 b) é igual a 1. (Fuvest) Dois aviões vão de Brasília a Moscou. O primeiro voa diretamente para o norte, até atingir o paralelo de Moscou, quando então muda o rumo para o leste, seguindo para o seu destino final. O segundo voa para o leste até atingir o meridiano de Moscou, tomando então o rumo norte até chegar a esta cidade. Considerando-se desprezíveis as medidas dos pés e da espessura do tampo e adotando 1,7, a altura do tampo dessa mesa armada em relação ao plano do chão, em centímetros, está entre a) 96 e 99. b) 8 e e 8. 9 e e (Fuvest) Os pontos A, B e C são colineares, AB 5, BC e B está entre A e C. Os pontos C e D pertencem a uma circunferência com centro em Traça-se uma reta r perpendicular ao segmento A. BD passando pelo seu ponto médio. Chama-se de P a interseção de r com AD. Então, AP BP vale a) b) (Fuvest) Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento AB e BC. Sejam M o ponto médio do lado BC e N o ponto médio do lado CD. Os segmentos AM e AC interceptam o segmento BN nos pontos E e F, respectivamente. a) Desprezando as variações de altitude, qual avião terá percorrido a maior distância em relação ao solo? Justifique sua resposta. b) Calcule a diferença entre as distâncias percorridas, supondo que a Terra seja esférica. Note e adote: cos 56 0,56; sen 56 0,8; cos 16 0,96; sen 16 0,8 Latitude e longitude de Brasília: 16 S e 8 W Latitude e longitude de Moscou: 56 N e 7 E Raio da Terra: 6.00 km 1. (Unicamp) Considere o triângulo exibido na figura abaixo, com lados de comprimentos a, e c e ângulos e α, β γ. a) Suponha que a sequência (,, ) α β γ é uma progressão aritmética (PA). Determine a medida do b

4 ângulo 15. b) Suponha que a sequência (a, b, é uma 150. β. progressão geométrica (PG) de razão q. Determine o valor de tan 15. (Fuvest) Na figura abaixo, a circunferência de centro em O e raio r tangencia o lado BC do triângulo ABC no ponto D e tangencia a reta AB no ponto E. Os pontos A, são colineares, e o ângulo ACO é reto. Determine, em função de r, AD r β. D e O 18. (Unicamp) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a a),0 m. b),0 m. 1,5 m.,5 m. 19. (Fuvest) Uma circunferência de raio cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB AC. A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto, igual a a) cm b) 1 cm 1 cm 9 cm 7 cm a) a medida do lado AB do triângulo ABC; b) a medida do segmento CO. 0. (Unicamp) Considere um hexágono, como o exibido na figura abaixo, com cinco lados com comprimento de 1cm e um lado com comprimento de x cm. 16. (Unicamp) A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um setor circular de raio R e ângulo central θ. a) Para θ 60, determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular. b) Determine o valor de cosθ no caso em que R r. 17. (Unicamp) A figura a seguir exibe um pentágono com todos os lados de mesmo comprimento. a) Encontre o valor de x. b) Mostre que a medida do ângulo α é inferior a (Fuvest) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 5 metros. A medida do ângulo θ é igual a a) 105. b) 10.

5 Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina. a) m b) m.000 m.00 m.00 m. (Unesp) Uma semicircunferência de centro O e raio r está inscrita em um setor circular de centro C raio R, conforme a figura. O ponto D é de tangência de BC com a semicircunferência. Se AB s, demonstre que R s R r r s.. (Fuvest) e a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que BD e traça-se o segmento DE paralelo ao lado AC. Ache a razão entre a altura H do triângulo ABC relativa ao lado AC e a altura h do triângulo EBD relativa ao lado ED, sem explicitar os valores de h e H. b) Calcule o valor explícito da altura do triângulo ABC em relação ao lado AC. 5. (Unicamp) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de bases a e a, respectivamente, e o ângulo Portanto, o comprimento do segmento CE é: CAB ˆ 0. a) b) 5 a 8 a Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido antihorário. A partir de cada vértice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por A, B, C e D, de modo que os novos segmentos sejam, então, AA, e DD. Dado que AB e que a distância de D à reta determinada por A e B é, calcule a área do a) paralelogramo ABCD; b) triângulo BB C ; quadrilátero A B C D. BB, CC 7 a a 6. (Unicamp) Um satélite orbita a 6.00 km da superfície da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede 6.00 km.. (Unicamp) Os lados do triângulo ABC da figura abaixo têm as seguintes medidas: AB 0, BC 15 e AC 10. 5

6 a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura? b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos( θ) /. Determine a distância d entre o ponto C e o satélite. 7. (Unesp) Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e 160km. Um dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa. Na figura, a circunferência de centro 0 é tangente à reta CD no ponto D, o qual pertence à reta AO. Além disso, A e B são pontos da circunferência, AB 6 e BC. Nessas condições, determine a) a medida do segmento CD ; b) o raio da circunferência; a área do triângulo AOB; a área da região hachurada na figura. 0. (Unesp) No dia 11 de março de 011, o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 60 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 0 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 1 minutos. (O Estado de S.Paulo, Adaptado.) Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de a) 80 5 b) (Fuvest) O segmento AB é lado de um hexágono regular de área. O ponto P pertence à mediatriz de AB de tal modo que a área do triângulo PAB vale. Então, a distância de P ao segmento AB é igual a a) b) 9. (Fuvest) Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cos 0,9, onde é o ângulo Epicentro-Tóquio- 8 Sendai, e que 9, , a velocidade média, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: a) 10. b) (Fuvest) As circunferências C1 e C estão centradas em O1 e O, têm raios r1 = e r = 1, respectivamente, e tangenciam-se externamente. Uma 6

7 reta t é tangente a C1 no ponto P1, tangente a C no ponto P e intercepta a reta no ponto Q. Sendo OO 1 assim, determine a) o comprimento P1P; b) a área do quadrilátero O1O PP1; a área do triângulo QOP.. (Fuvest) Na figura, o triângulo ABC é equilátero de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados. A área do polígono DEFGHI vale a) b) 5 a) 1 b). (Unesp) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e valem 0, e o vale 105, como mostra a figura: a) 1,5. b) 1,5. 5,0. 5,0. 5,0. 5. (Fuvest) No triangulo ABC AM, relativa ao lado BC, da figura, a mediana e perpendicular ao lado AB. Sabe-se também que BC e AM 1. Se α é a medida do ângulo ABC, determine a) sen α. b) o comprimento AC. a altura do triangulo ABC relativa ao lado AB. a área do triangulo AMC. 6. (Fuvest) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC e AB. Além disso, o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE, então a área do paralelogramo DECF vale. (Fuvest) No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB, N é o ponto médio de BC e MN 1.Então, DM é igual a a) 6 5 7

8 b) (Fuvest) Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola branca na posição B e uma bola vermelha na posição V, conforme o esquema a seguir. Imersão Matemática Geometria Plana a) 88,6. b) 81,. 7,8. 66,.,0. 9. (Fuvest) Na figura, os pontos A, B, C α pertencem à circunferência de centro O e BC. A reta OC é perpendicular ao segmento AB e o ângulo AOB mede vale: π radianos. Então, a área do triângulo ABC Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha. Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e de reflexão são iguais, a que distância x do vértice Q deve-se jogar a bola branca? 8. (Unesp) A figura representa uma chapa de alumínio de formato triangular de massa 1.50 gramas. Deseja-se cortá-la por uma reta r paralela ao lado BC e, que intercepta o lado AB em D e o lado AC em E, de modo que o trapézio BCED tenha 700 gramas de massa. A espessura e a densidade do material da chapa são uniformes. Determine o valor percentual da razão de AD por AB. a) b) α 8 α α α α 0. (Fuvest) Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a ela. Além disso, (1) A, B, C, e A, O, D, são colineares; () AB = OB; () CÔD mede б radianos. Dado: 11,. Nessas condições, a medida de A ˆB O, em radianos, é igual a: a) ð - (á/) b) ð - (á/) 8

9 ð - (á/) ð - (á/) ð - (á/) 1. (Fuvest) A figura a seguir representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a: Imersão Matemática Geometria Plana medida, em km, do lado YZ que fica à margem do rio é: a) 7,5. b) 5,7.,7.,.,7.. (Fuvest) O triângulo ACD é isósceles de base CD e o segmento OA é perpendicular ao plano que contém o triângulo OCD, conforme a figura: a) b). (Fuvest) Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma PA. Sabendo-se também que o perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo  mede 10, então o produto dos comprimentos dos lados é igual a: a) 5 b) (Unesp) Uma certa propriedade rural tem o formato de um trapézio como na figura. As bases WZ e XY do trapézio medem 9, km e 5,7 km, respectivamente, e o lado YZ margeia um rio. Sabendo-se que OA =, AC = 5 e senocd = 1/, então a área do triângulo OCD vale a) 16 ( ) 9 b) ( ) 9 8 ( ) 9 6 ( ) 9 80 ( ) 9 5. (Fuvest) No retângulo ABCD da figura tem-se CD e AD. Além disso, o ponto E pertence à diagonal BD, o ponto F pertence ao lado BC e EF é perpendicular a BD. Sabendo que a área do retângulo ABCD é cinco vezes a área do triângulo BEF, então mede BF a). 8 b). Se o ângulo X YZ é o dobro do ângulo X WZ, a 9

10 (Unifesp) Tem-se um triângulo equilátero em que cada lado mede 6 cm. O raio do círculo circunscrito a esse triângulo, em centímetros, mede a) b) Imersão Matemática Geometria Plana a) b) π π π 5π 7π 9. (Fuvest) A figura representa um retângulo ABCD, com AB = 5 e AD =. O ponto E está no segmento CD de maneira que CE = 1, e F é o ponto de interseção da diagonal AC com o segmento BE. 7. (Unesp) A figura representa um triângulo retângulo de vértices A, B e C, onde o segmento de reta DE é paralelo ao lado AB do triângulo. Então a área do triângulo BCF vale a) 6 5 Se AB = 15 cm, AC = 0 cm e AD = 8 cm, a área do trapézio ABED, em cm, é a) 8. b) (Fuvest) Na figura, OAB é um setor circular com centro em O, ABCD é um retângulo e o segmento CD é tangente em X ao arco de extremos A e B do setor circular. b) (Fuvest) Na figura a seguir, a reta s passa pelo ponto P e pelo centro da circunferência de raio R, interceptando-a no ponto Q, entre P e o centro. Além disso, a reta t passa por P, é tangente à circunferência e forma um ângulo α com a reta s. Se PQ = R, então cos(α) vale Se AB = igual a e AD = 1, então a área do setor OAB é 10

11 a) b) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) (Fuvest) No paralelogramo ABCD a seguir, tem-se que AD = e DAB = 0. Além disso, sabe-se que o ponto P pertence ao lado DC e à bissetriz do ângulo DAB. Imersão Matemática Geometria Plana a) b) a) Calcule AP. b) Determine AB sabendo que a área do quadrilátero ABCP é (Fuvest) Na figura a seguir, o triângulo ABC inscrito na circunferência tem AB = AC. O ângulo entre o lado AB e a altura do triângulo ABC em relação a BC α. é Nestas condições, o quociente entre a área do triângulo ABC e a área do círculo da figura é dado, em função de pela expressão: α, 5. (Fuvest) Na figura a seguir, O é o centro da circunferência de raio 1, a reta AB é secante a ela, o ângulo â mede 60 e sen á = ( ). a) cos α. π b) sen α. π sen α cos α. π senα cos α. π sen α cos α. π a) Determine sen OAB em função de AB. b) Calcule AB. 55. (Fuvest) Na figura, ABC e CDE são triângulos retângulos, AB = 1, BC = medida de AE é e BE = DE. Logo, a 5. (Fuvest) Na figura a seguir, tem-se AC =, AB = e CB = 6. O valor de CD é 11

12 a) b) ( ) ( 5) ( 7) ( 11) ( 1) 56. (Fuvest) Imersão Matemática Geometria Plana a) 1 - b) π 6 π π 6 π π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Na figura acima, as 1 circunferências têm todas o mesmo raio r; cada uma é tangente a duas outras e ao quadrado. Sabendo-se que cada uma das retas suporte das diagonais do quadrado tangencia quatro das circunferências (ver figura), e que o quadrado tem lado 7, determine r. 59. (Fuvest) Na figura a seguir A, B e D são colineares e o valor da abscissa m do ponto C é positivo. Sabendo-se que a área do triângulo retângulo ABC é 5, determine o valor de m. 57. (Fuvest) A figura representa duas circunferências de raios R e r com centros nos pontos A e B, respectivamente, tangenciando-se externamente no ponto D. Suponha que: a) As retas t1 e t são tangentes a ambas as circunferências e interceptam-se no ponto C. b) A reta t é tangente às circunferências no ponto D. Calcule a área do triângulo ABC, em função dos raios R e r. 58. (Fuvest) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1. Logo, a área da região hachurada é 1

13 Gabarito: Resposta da questão 1: [D] Calculando: a a x A(x) a a a ax A(x) ax O único gráfico que apresenta uma função linear é o mostrado na alternativa [D]. Resposta da questão : [E] Imersão Matemática Geometria Plana 0 0 Arco QT πr π 16π Ccorda PQ PT ArcoQT π 90, cm Resposta da questão 5: [A] Diante do exposto, pode-se desenhar: Desde que os losangos FGCE semelhantes, temos e ABCD são (FGCE) 1 k, com k sendo a razão de (ABCD) semelhança. Por conseguinte, dado que AB 6cm, vem FG 1 FG cm. AB Resposta da questão : [C] Calculando: AC 1 AC 5 AD 6 AD cosθ 00 cosθ 0 10 cosθ cosθ θ 5 10 Resposta da questão : A soma das áreas hachuradas será: x ( x) x 9 x 8x x S(x) x ( x) 1 S(x) x 5x ( 1) 9 61 Smáx ymáx Smáx ( 1) 8 Resposta da questão 6: a) Como a bola atinge a borda no ponto R e é refletida elasticamente, sem deslizar, pode-se concluir que o ângulo PRO ORZ α. Pelos fundamentos da geometria plana, sabe-se que o ângulo POR também é igual a Como os segmentos OP e OR são iguais (raio da circunferência), pode-se concluir que o ângulo θ também será igual a α. Assim, todos os ângulos do triângulo PRO são igual, fazendo deste um triângulo equilátero. Logo, α θ 60. Caso θ 0, após a primeira reflexão a trajetória também será paralela ao diâmetro PQ. α. a) Calculando: CQ 1 1 sen 0 PC CP CP PQ PQ tg 60 PQ PT 1 0, cm CQ 1 b) Calculando: b) Analisando a figura a seguir, como PO e OZ são segmentos iguais (ambos são iguais ao raio da circunferência), pode-se concluir que o ângulo θ será igual a α. Assim, pode-se escrever sobre o triângulo retângulo: α α 90 α θ 0 1

14 Resposta da questão 8: Considere a figura. Analisando a figura a seguir, pode-se escrever: α θ 180 α 180 θ, para 0 θ 60 Resposta da questão 7: a) O triângulo equilátero descrito é o externo que contém as três esferas. Assim, seu lado será igual a: Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo BCD, temos BD BC CD BC CD cosbcd BD BD cm. Como AC é bissetriz de BAD e BCD, segue que os triângulos retângulos ABE e ADE são congruentes. Logo, podemos concluir que AE cm. A resposta é dada por Ou seja: r lado r r r lado r 1 tg 0 b) Considerando como A, B e C os vértices do triângulo equilátero externo pode-se desenhar: 1 1 (ABD) (BCD) BD AE BC CD senbcd 1 cm. Resposta da questão 9: Observando que cada retângulo decorado tem dimensões medindo (x ) metros e metros, vem x (x ) x x 8 0 x ( ) m. Resposta da questão 10: Assim, percebe-se que a área destacada em azul se dá por: Sazul S Samarelo lado r lado r 1 r r 1 Sazul r 1 r 1 r 1 r 1 r 6r r r r r r Sazul r Se M é o ponto médio dos segmentos e se AMC é 60, então os triângulos formados ( AMC e DMB) são equiláteros com lado igual a 0,5. Logo, a altura da mesa em relação ao chão será igual a h, sendo h a altura de um dos triângulos equiláteros. Ou seja: 0,5 1,7 h 0,5 h 0,85 m 85 cm Resposta da questão 11: [D] 1

15 Considere a figura, em que M é o ponto médio de BD. Os triângulos BPM e DPM são congruentes por LAL, pois MB MD, temos BP DP Resposta da questão 1: [D] De acordo com o enunciado: NFC AFB x y x y x x y x x y MEN MAN 1 a b a b a 1 5 a b 1 a a 1 b 5 MP é lado comum e BMP DMP. Daí, e, portanto, AP BP AC 5 7. Assim, a área do triângulo AEF será: S S S AEF ABF ABE y b SAEF SAEF 5 15 Considerando a Terra como uma esfera, sabe-se que os arcos BA e CM são iguais e delimitados pelo raio R da terra e um ângulo de 7 (56 16 ). Assim, pode-se calcular a distância vertical percorrida por ambos os aviões: 7 R R BA CM π π Para calcular a distância horizontal BC basta considerar um arco de circunferência delimitado pela distância de B até o eixo da terra e por um ângulo de 85 (8 7 ). Assim, pode-se escrever: distbeixo distbeixo cos16 0,96 distbeixo 0,96R R R 85π 0,96R 16,πR BC BC Para calcular a distância horizontal AM basta considerar um arco de circunferência delimitado pela distância de A até o eixo da terra e por um ângulo de 85 (8 7 ). Assim, pode-se escrever: distaeixo distaeixo cos56 0,56 distaeixo 0,56R R R 85π 0,56R 9,5πR AM AM Por fim, pode-se calcular a distância percorrida por cada um dos aviões: πr 9,5πR 119,6πR Avião 1 BA AM ,πR πr 15,6πR Avião BC CM Logo, conclui-se que o segundo avião percorreu a maior distância. b) A diferença das distâncias percorridas será igual a: 15,6 πr 119,6 πr πr π 600 Avião Avião 1 108,9 π km Resposta da questão 1: a) Com os dados do enunciado, pode-se desenhar a figura a seguir, sendo o ponto O o centro da Terra, o ponto B a localização de Brasília e o ponto M a localização de Moscou: Resposta da questão 1: a) Se ( α, β, γ ) é uma PA, então a soma de seus termos será 180, pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180. Assim, pode-se escrever: PA ( α, β, γ) ( β r, β, β r) β r β r S β β 60 15

16 b) Se (a, b, é uma PG de raiz q, então podese escrever: PG (a, b, (a, a, a) Imersão Matemática Geometria Plana OB r senbao sen0 AO R r r 1 R Pela lei dos cossenos, tem-se: a a a a a cosβ a 5a a cosβ cosβ Pela relação fundamental: sen β cos β 1 sen β 1 sen β senβ Por fim, calculando a tangente: 7 senβ 7 7 tg β tg β cosβ Resposta da questão 15: Em consequência, a razão pedida é igual a πr r R πr 60 b) Se R r, então, do triângulo ABO, obtemos θ r θ 1 sen sen. R r Por conseguinte, vem θ cosθ 1sen Resposta da questão 17: a) No Δ AOE : AE r r AE 8r AE r AB r r r ΔADB ~ ΔAEO AB AB r r Considere o pentágono equilátero ABCDE de lado da figura. b) No Δ ACO, temos: CO (r r) r CO r CO r Resposta da questão 16: a) Considere a figura. É fácil ver que o triângulo CDE é isósceles, com CD ED. Sabendo que BAE 90, tem-se que o triângulo ABE é retângulo isósceles, com BE. Em consequência, sendo ABC 15, concluímos que o triângulo ABC é retângulo em B. Como o círculo e o setor são tangentes internamente, temos AC R, OB OC r e BAO 0. Logo, segue que AO AC OC R r. Portanto, do triângulo ABO, vem Agora, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo BCE, encontramos CE. Finalmente, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo CDE, vem 16

17 1 ( ) cosθ cosθ θ 10. Resposta da questão 18: [C] Imersão Matemática Geometria Plana Sejam x, x r e x r lados do triângulo, com x, r 0. x r. as medidas, em metros, dos Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos Logo, os lados do triângulo medem r, r e 5r. Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, vem 1 r r 5r 6 r. Portanto, a área do triângulo é igual a r r 1 6 1,5 m. Resposta da questão 19: [C] Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre BC, e D é o ponto em que o lado AC tangencia a circunferência de centro em O. Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos e AEF, vem ABC, ACD, ADE AC AB BC 1 1, AD AC CD 1, AE AD DE 1 e AF AE EF x 1 x b) É imediato que BAC 5. Do triângulo ACD, temos 5 cm. CD 1 tgcad CAD arctg 5. AC Do triângulo ADE, vem DE 1 tgd AE D AE arctg 0. AD Do triângulo AEF, segue Como OH OD cm e AH 8cm, segue que AO 5cm. Logo, AD cm. Além disso, os triângulos AHC e ADO são semelhantes por AA assim, AD DO AH HC 8 HC HC 6cm. e, EF 1 tge AF E AF arctg 0. AE Portanto, tem-se α BAC CAD DAE EAF Portanto, como H é o ponto médio de BC, segue-se que BC 1cm. Resposta da questão 0: a) Considere a figura. Resposta da questão 1: [A] Seja a medida, em metros, dos lados dos hexágonos que constituem a piscina. 17

18 Sabendo que a distância entre lados paralelos de um hexágono regular é igual ao dobro do apótema do Considerando que senθ sen(180 θ). x hexágono, obtemos 5 5 tg0 m. Desse modo, a área da piscina é dada por S(A B C D ) = S(A DD ) + S(AA B ) + S(BB C ) + S(C C D ) + S(ABCD) S(A B C D ) = x..sen( θ)..x.sen(180 θ).x..sen( θ)..x.sen(180 θ) ,8 m S(A B C D ) = S(A B C D ) = m e, portanto, da área da piscina. é o valor que mais se aproxima Resposta da questão : Considere a figura. Resposta da questão : Os triângulos retângulos ODC semelhantes. Logo, e BAC são OC OD R r r BC BA R s R s r s R r R s R r r s. Resposta da questão : a) A = b) No triângulo ADE, sen θ. x = 1. c.q.d. a) Como o segmento DE é paralelo ao segmento AD, podemos utilizar o teorema de Tales: H h b) H é a altura relativa ao lado AC. Calculando a área do triângulo ABC pela fórmula de Herão, temos: p = ( )/ = 5/ Logo, a área do triângulo BB C será dada por: 1 1 A x senθ x 1. x 18

19 A A Imersão Matemática Geometria Plana A A = AC.H H H Resposta da questão 5: [C] b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos: d R (R).R.R.cos θ d 5R.R.(/) d.r d R d 600. km a a a No ΔCMB : cos0 x x x a a a No ΔENB : cos0 y y y CBE ˆ Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo CBE, temos: CE x y.x.y.cos10 a a a a 1 CE 5a a CE 7a CE 7 CE a. Resposta da questão 6: a) No triângulo assinalado: R é a medida do raio da terra. R 1 cosα α 60 R R Portanto, o arco AB mede 10 e seu comprimento será dado por: π R π π km. Resposta da questão 7: Sejam S,P, G e C, respectivamente, os pontos que representam as cidades de Sorocaba, São Paulo, Guaratinguetá e Campinas. Sabendo que SPC 60 e CPG 90, vem SPG 150. Logo, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo SPG, encontramos SG SP PG SP PG cosspg cos (5 ) Portanto, SG 80 5 km. Resposta da questão 8: [E] 19

20 1 senα α 0 e β = 10 6 Área pedida: π.6 A A A 1π 9 ΔAOB A π AB = a 6.a a 6 Resposta da questão 0: [E] Considere a figura. Calculando a distância d pela área do triângulo assinalado: 1 a d 1 d 6 d 1 d Resposta da questão 9: Sabendo que ET cos 0,9 e que dos Cossenos, vem ES ET ST ET ST cos km, ST 0km, ES ,9 ES , ES 000 9, ES ES ES 10km. 8 9, 15100, pela Lei 1 Portanto, como 1min h, temos que a velocidade 60 média pedida é dada por a) Temos: CD 8. CD 8 CD b) No triângulo ADC, temos: (r) 8 r 19 8 r 6 r 6 h 6 h 6 7 h 9 h 6. A A km h Resposta da questão 1: a) x + 9 = 15 x = b) A y x 1 y y 1 1 Logo, A = 1.(1 ) 96 0

21 o cos e que cos ( 180 ) Resposta da questão : [C] Aplicando novamente o teorema dos cossenos no triângulo ADM, temos: 1 1 (AD) 1..1.cos 1 1 (AD) AD = AD = 1 1 Resposta da questão 5: A =.A1 + A +. A A =.1 + A = + A = sen10 Resposta da questão : o a) No ABM: 1 senα ( α 0 e β 60 ) No triângulo ABC ABC 5, aplicando o teorema dos senos, temos: 50 BC BC. 50 BC 5 o o sen5 sen0 No triângulo BDC, temos: o h 1 h sen0 h 1,5 5 5 Resposta da questão : o b) No ABM: AB 1 AB AC cosα AC AC 7 No BHC : h sen0 h AMC A 1 sen10 1 Resposta da questão 6: [A] Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo BMN, temos: cos Resolvendo, temos (AC) AC 5 x y DBE ~ ABC x 1, e y 0,9 5 A base do paralelogramo será 0,9,1 e sua altura será x 1,. Logo, sua área será: A,1 1,

22 60 ACB 0 (ângulo inscrito) 1 α A α α sen0 Resposta da questão 0: [C] Resposta da questão 7: Δ1 ~ Δ ~ Δ 1, x x 0, 0,9 y 0,8 y Aplicando a propriedade da proporção Nas duas últimas razões: 1, x x 0, 0,9 y 0,8 y 1, x x 0, 0,9 0,8 Resolvendo, temos: 6 x 17 ABD ˆ x ΔCOB é isósceles de base BC, logo OBC=OCB ˆ ˆ = π - x ˆ ˆ π - x ΔABO é isósceles de base AO, logo OAB=BOA = No triângulo AOB: π - x α π - x + (ângulo externo) α = π x π x x πα π α x α x π Portanto, ABO ˆ π α/ Resposta da questão 1: [E] Resposta da questão : [D] Resposta da questão : [E] Resposta da questão : Resposta da questão 8: [D] AD AΔADE AD AD 550 AD 11 AD, AD 0,66 66,% AB A ΔABC AB 150 AB 150 AB 5 AB 5 AB Resposta da questão 5: [E] Resposta da questão 6: Resposta da questão 9: Resposta da questão 7: π rad 60 OC AB ABC é isósceles Resposta da questão 8: [C]

23 Resposta da questão 9: Resposta da questão 50: [D] Resposta da questão 51: a) AP = ( ) b) AB = 1 Resposta da questão 5: [E] Imersão Matemática Geometria Plana Resposta da questão 57: R r. R. r. Resposta da questão 58: [C] Resposta da questão 59: m = + (5 ) Considerando o ponto O como centro e R o raio da circunferência, temos no triângulo assinalado: x senα x R sen( α) R y cosα y R cos( α) R Calculando a área do triângulo ABC, temos: x(y R) R sen( α) (R R cos( α)) A R sen( α)(1 cos( α)) R sen( α)(1 cos α sen α) R sen( α) cos α A razão entre a área do triângulo ABC e a área do círculo será dada por: R sen( α) cos α sen( α) cos α π R π Resposta da questão 5: [E] Resposta da questão 5: ( ) a) sen OAB = AB b) AB = [( 1) 1] 6 Resposta da questão 55: [C] Resposta da questão 56: r = ( 7 )[( ) - 1]