Geometria Plana 2013

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1 Geometria Plana (Fuvest 013) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3,6) e a circunferência C de equação um ponto Q. Então a distância de P a Q é a) 15 b) 17 c) 18 d) 19 e) 0. (Unifesp 013) Considere o sistema de inequações x y x x 1 y 4 x 1 y 1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em a) Represente graficamente, em sistema cartesiano de eixos ortogonais, a solução desse sistema de inequações. b) Calcule a área da superfície que representa a solução gráfica do sistema de inequações. 3. (Enem PPL 013) O símbolo internacional de acesso, mostrado na figura, anuncia local acessível para o portador de necessidades especiais. Na concepção desse símbolo, foram empregados elementos gráficos geométricos elementares. Os elementos geométricos que constituem os contornos das partes claras da figura são a) retas e círculos. b) retas e circunferências. c) arcos de circunferências e retas. d) coroas circulares e segmentos de retas. e) arcos de circunferências e segmentos de retas. Página 1 de 19

2 4. (Enem 013) Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O. A imagem que representa a nova figura é: a) b) c) d) e) Página de 19

3 5. (Fuvest 013) Um teleférico transporta turistas entre os picos A e B de dois morros. A altitude do pico A é de 500 m, a altitude do pico B é de 800 m e a distância entre as retas verticais que passam por A e B é de 900 m. Na figura, T representa o teleférico em um momento de sua ascensão e x e y representam, respectivamente, os deslocamentos horizontal e vertical do teleférico, em metros, até este momento. a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o seu deslocamento vertical é igual a 0 m? b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de 1,5 m/s, quanto tempo o teleférico gasta para ir do pico A ao pico B? 6. (Enem 013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados. Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? a) 1m b) m c),4 m d) 3m e) 6 m Página 3 de 19

4 7. (Unesp 013) Uma semicircunferência de centro O e raio r está inscrita em um setor circular de centro C e raio R, conforme a figura. O ponto D é de tangência de BC com a semicircunferência. Se AB s, demonstre que R s Rr r s. 8. (Unicamp 013) Em um aparelho experimental, um feixe laser emitido no ponto P reflete internamente três vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, considere que o comprimento do segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de 3 cm, o polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são congruentes, como se indica em cada ponto da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ? a) 1 cm. b) 15 cm. c) 16 cm. d) 18 cm. 9. (Unesp 013) A figura, fora de escala, representa o terreno plano onde foi construída uma casa. Sabe-se do quadrilátero ABEF que: Seus ângulos ABE ˆ e AFE ˆ são retos. AF mede 9 m e BE mede 13 m. o lado EF é m maior que o lado AB. Nessas condições, quais são as medidas, em metros, dos lados AB e EF? Página 4 de 19

5 10. (Unesp 013) Um aluno precisa localizar o centro de uma moeda circular e, para tanto, dispõe apenas de um lápis, de uma folha de papel, de uma régua não graduada, de um compasso e da moeda. Nessas condições, o número mínimo de pontos distintos necessários de serem marcados na circunferência descrita pela moeda para localizar seu centro é a) 3. b). c) 4. d) 1. e) (Enem PPL 013) O proprietário de um terreno retangular medindo 10 m por 31,5 m deseja instalar lâmpadas nos pontos C e D, conforme ilustrado na figura: Cada lâmpada ilumina uma região circular de 5 m de raio. Os segmentos AC e BD medem,5 m. O valor em m mais aproximado da área do terreno iluminada pelas lâmpadas é (Aproxime 3 para 1,7 e π para 3.) a) 30. b) 34. c) 50. d) 61. e) Página 5 de 19

6 1. (Enem PPL 013) Em uma casa, há um espaço retangular medindo 4 m por 6 m, onde se pretende colocar um piso de cerâmica resistente e de bom preço. Em uma loja especializada, há cinco possibilidades de pisos que atendem às especificações desejadas, apresentadas no quadro: Tipo do piso I II III IV V Forma Quadrado de lado medindo 0 cm Retângulo medindo 30 cm por 0 cm Quadrado de lado medindo 5 cm Retângulo medindo 16 cm por 5 cm Quadrado de lado medindo 40 cm Preço do piso (em reais) 15,00 0,00 5,00 0,00 60,00 Levando-se em consideração que não há perda de material, dentre os pisos apresentados, aquele que implicará o menor custo para a colocação no referido espaço é o piso a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 13. (Enem 013) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada a área máxima S que pode ser coberta pelas N placas. Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse alterada. A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a: a) N 9 b) N 6 c) N 3 d) 3N e) 9N 14. (Enem 013) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até 0% nas dimensões lineares de uma peça. Disponível em: Acesso em: 3 mar. 01. Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 0%. Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em a) 4%. b) 0%. c) 36%. d) 64%. e) 96%. Página 6 de 19

7 15. (Unicamp 013) O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo isósceles ABC, conforme a figura abaixo. Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por Sφ e φ podemos afirmar que a razão Sφ T φ, quando φ π radianos, é a) π. b) π. c) π. d) π 4. T, 16. (Fuvest 013) O mapa de uma região utiliza a escala de 1: A porção desse mapa, contendo uma Área de Preservação Permanente (APP), está representada na figura, na qual AF e DF são segmentos de reta, o ponto G está no segmento AF, o ponto E está no segmento DF, ABEG é um retângulo e BCDE é um trapézio. Se AF 15, AG 1, AB 6, CD 3 e DF 5 5 indicam valores em centímetros no mapa real, então a área da APP é a) 100 km b) 108 km c) 10 km d) 40 km e) 444 km Página 7 de 19

8 17. (Fuvest 013) Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por A, B, C e D, de modo que os novos segmentos sejam, então, AA, BB, CC e DD. Dado que AB 4 e que a distância de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a área do a) paralelogramo ABCD; b) triângulo BB C ; c) quadrilátero A B C D. 18. (Unicamp 013) Os lados do triângulo ABC da figura abaixo têm as seguintes medidas: AB 0, BC 15 e AC 10. a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que BD 3 e traça-se o segmento DE paralelo ao lado AC. Ache a razão entre a altura H do triângulo ABC relativa ao lado AC e a altura h do triângulo EBD relativa ao lado ED, sem explicitar os valores de h e H. b) Calcule o valor explícito da altura do triângulo ABC em relação ao lado AC. Página 8 de 19

9 19. (Enem 013) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura: Utilize 1,7 como aproximação para 3. O valor de R, em centímetros, é igual a a) 64,0. b) 65,5. c) 74,0. d) 81,0. e) 91,0. 0. (Enem 013) Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com base quadradas. Todos os copos desse restaurante têm o formato representado na figura: Considere que 7 AC BD e que é a medida de um dos lados da base da bandeja. 5 Qual deve ser o menor valor da razão BD para que uma bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez? a) b) 14 5 c) 4 d) 4 5 e) Página 9 de 19

10 Gabarito: Resposta da questão 1: [D] A circunferência C tem centro no ponto A(1, ) e raio igual a 1. Logo, de acordo com as informações, considere a figura abaixo. Como PQ PQ' e AQ AQ' 1, vem PA (3 1) (6 ) 0 e, portanto, PQ PA AQ PQ 0 1 PQ 19 u.c. Resposta da questão : a) Reescrevendo o sistema, obtemos x y x 0 (x 1) (y 0) (x 1) y (x 1) y 4, ou seja, a solução do sistema é a região do plano limitada pelas circunferências de centros 3 em (1, 0) e 1,, com raios respectivamente iguais a 1 e 1. Página 10 de 19

11 b) Considere a figura. A área pedida corresponde à área do semicírculo de centro O e raio igual a 1, área do segmento circular OBDC, ou seja, subtraída da π 1 1 π π π π 3 sen Resposta da questão 3: [E] 6 3 π u.a. 4 É fácil ver que os elementos geométricos que constituem os contornos das partes claras da figura são arcos de circunferências e segmentos de retas. Resposta da questão 4: [E] Como o simétrico de um ponto P do plano, em relação ao ponto O, é o ponto P' tal que PO P'O e P' pertence à reta PO, segue-se que a alternativa correta é a alternativa [E]. Página 11 de 19

12 Resposta da questão 5: x 0 a) ΔATD ~ ΔABC : x 60 m AB b) Sendo t o tempo para o televérico ir de A até B, temos: ,5.t t Resposta da questão 6: [C] É fácil ver que os triângulos AEC e BED são semelhantes. Logo, AF AC AF 4 BF BD BF 6 AF BF 3 AF AF. AF BF 5 Além disso, como os triângulos AEF e ABD também são semelhantes, vem AF EF AF EF AB BD AF BF 6 EF 6 5 EF,4 m. Página 1 de 19

13 Resposta da questão 7: Considere a figura. Os triângulos retângulos ODC e BAC são semelhantes. Logo, OC OD R r r BC BA R s R s r s R r R s R r r s. c.q.d. Resposta da questão 8: [B] ΔHPQ ΔFQP(L.A.A ) HP FQ K e PF HQ o 3 ΔBHG ΔAFG(L.A.A o ) AG BG e HG = GF 3 6 K ΔAGF~ ΔQPF K 4 3 K 3 5 No ΔGBH : GH GH No Δ HPQ: HQ 4 3 HQ 5 Logo, a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ é PF + FG + GH + HQ = 5 + 5/ + 5/ + 5 = 15 cm. Página 13 de 19

14 Resposta da questão 9: Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos AFE e ABE, obtemos AE 9 (AB ) e AE AB 13. Logo, 81 AB 4 AB 4 AB 169 AB 1m. Portanto, AB 1m e EF 3 m. Resposta da questão 10: [A] Marcando três pontos na circunferência, determinamos os vértices de um triângulo inscrito na mesma. O centro da moeda é o circuncentro do triângulo obtido. Resposta da questão 11: [D] Considere a figura. Do triângulo ACF, vem AC,5 cos ACF cos ACF CF 5 ACF 60. Logo, ECF 180 ACF 10. Portanto, como os triângulos ACF e BDG são congruentes, bem como os setores ECF e BGH, segue-se que a área pedida é dada por AC CF sena CF π CF π , m. Página 14 de 19

15 Resposta da questão 1: [B] A área do espaço é igual a Cada quadrado do tipo I tem área igual a m cm cm. Logo, o custo do piso I é R$ 9.000, Cada retângulo do tipo II tem área igual a cm. Assim, o custo do piso II é R$ 8.000, Cada quadrado do tipo III tem área igual a 5 65cm. Desse modo, o custo do piso III é R$ 9.600, Cada retângulo do tipo IV tem área igual a cm. Desse modo, o custo do piso IV é R$ 1.000, Cada quadrado do tipo V tem área igual a cm. Então, o custo do piso V é R$ 9.000, Por conseguinte, o piso que implicará o menor custo para a colocação no referido espaço é o piso II. Resposta da questão 13: [A] Seja S' a área coberta pelas placas de uma caixa nova. Como S' S, temos N X 9y N y X. 9 Resposta da questão 14: [C] S N y, S' X 9y e Sendo de 0% a redução nas medidas dos lados, tem-se que a redução na área é dada por 1 0,8 1 0,64 0,36 36%. Página 15 de 19

16 Resposta da questão 15: [A] Sejam φ π 90, R o raio do semicírculo e x o lado do triângulo isósceles. x x R x.r 1 π R S( φ) π R π R T( φ) 1 xx x R π Resposta da questão 16: [E] Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de D sobre BE. Sabendo que AF 15cm, AG 1cm e AB EG 6cm, pelo Teorema de Pitágoras, vem EF GF EG EF 3 6 EF 3 5 EF 3 5 cm. Logo, dado que DF 5 5 cm, obtemos ED cm. Assim, como os triângulos FGE e EHD são semelhantes, encontramos DH DE DH 5 EG EF DH 4cm. Página 16 de 19

17 Desse modo, a área pedida, em cm, é dada por (15 1) (1 3) (ABEF) (BCDE) Por conseguinte, se x é a área real da APP, então x x x 444km. Resposta da questão 17: a) A = 4 3 = 1. 3 b) No triângulo ADE, sen θ. x Logo, a área do triângulo BB C será dada por: 3 c) Considerando que senθ sen(180 θ). x A x 4 senθ x 4 1. x S(A B C D ) = S(A DD ) + S(AA B ) + S(BB C ) + S(C C D ) + S(ABCD) S(A B C D ) = 1.x.4.sen( θ) 1..4x.sen(180 θ) 1.x.4.sen( θ) 1..4x.sen(180 θ) 1 S(A B C D ) = S(A B C D ) = 60 Página 17 de 19

18 Resposta da questão 18: a) Como o segmento DE é paralelo ao segmento AD, podemos utilizar o teorema de Tales: H h 3 b) H é a altura relativa ao lado AC. Calculando a área do triângulo ABC pela fórmula de Herão, temos: p = ( )/ = 45/ A A A A 4 = AC.H H H 4 Página 18 de 19

19 Resposta da questão 19: [C] Considere a figura, em que O é o centro do triângulo equilátero ABC de lado 60cm, M é o ponto médio do lado BC e D é a interseção da reta OC com o círculo de raio 30cm e centro em C. Desse modo, como OC é o raio do círculo circunscrito ao triângulo ABC, segue-se que 60 3 OC 34cm. 3 Portanto, R OC CD DE cm. Resposta da questão 0: [D] Considere a figura, em que BD x e AC y. Para que a bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez, deve-se ter 7 4 (x y) x x x. 5 5 Portanto, o resultado pedido é dado por 4 x 5 4. BD x 5 Página 19 de 19