ELECTROMAGNETISMO Curso de Electrotecnia e de Computadores. 1º Ano 2º Semestre Capítulo IV Potencial Eléctrico

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1 LCTROMGNTISMO Cuso de lectoteci e de Computdoes º o º Semeste - Cpítulo IV Potecil léctico 4. Tblho e Potecil léctico 4.. Tblho e egi Potecil léctic Cosideemos um cg eléctic potul positi fix (Q > C) e cmpo eléctico po el poduzid o Uieso. Se um cg eléctic de po tmbém positi ( > C) ij desde o ifiito té um posição distte de d cg Q, sobe el foi elizdo um tblho (egtio), pois cg de po estee sujeit um foç eléctic de itecção e deslocou-se o espço, o logo de um pecuso. Figu 4. Tjectói de um cg potul positi, sob cção de um cmpo eléctico. ste tblho elizdo (expessão 4.) é idepedete d tjectói seguid (o cmpo eléctico é cosetio). Como esultdo eegi ssim tsfeid é mzed o sistem de dus cgs, ficdo ssim dispoíel. eegi epesetd expessão depede uicmete ds sus cgs e d distâci ue s sep é um eegi de posição, eegi potecil egi Potecil léctic. F d e F d e Q [ ] (4.) O tblho egtio elizdo pel foç eléctic de itecção, sigific efectimete ue ão foi deido ess foç ue cg positi foi tzid p juto d cg positi gedo do cmpo. Tiemos ue plic um foç exte, p psso psso, euilibdo foç eléctic, tze cg desde o ifiito té à distâci d cg Q. ssim, foç exte plicd é F ext Fe, e é o tblho elizdo po ess foç ue é tsfeido p o sistem de dus cgs sob fom de egi Potecil léctic. lectomgetismo gehi lectotécic e de Computdoes - 39

2 P d d Q (4.) 4.. Tblho e Potecil léctico Se diidimos go est eegi potecil pelo lo d cg, obtemos um utidde ue é eegi po uidde de cg, ul chmmos de: Potecil léctico de Q à distâci. Q V(x, y,z) d (4.3) O Potecil léctico oigido o espço, po um cg Q um distâci é: lisdo expessão (4.4), cocluímos ue fução Potecil; Q Q V ( ) k (4.4) 4 πε É um lo escl e utificmo-lo uidde de V (Volt) (JC - ). Sigificdo físico: O Potecil léctico um ulue poto é igul o tblho ecessáio, po uidde de cg, p desloc um cg de po positi desde o ifiito té o poto cosidedo. Figu 4. Repesetção (o plo d folh) de lihs do cmpo eléctico e lihs de potecil eléctico, de um cg eléctic potul positi. º - tem simeti dil (esféic) (fig. 4.), º - tom o lo ulo o ifiito (fig. 4.3), 3º - tem um sigulidde o locl d cg (Q) cido do cmpo (fig. 4.3), 4º - é positio se cg Q é positi e é egtio se cg Q é egti (fig. 4.3). Fução Potecil léctico Potecil (V) Distâci (m) ) b) Figu 4.3 ) Potecil eléctico de cg potul positi e egti (de igul módulo), em fução d distâci. b) Fom d fução potecil de um cg potul. lectomgetismo gehi lectotécic e de Computdoes - 4

3 4..3 Potecil léctico de um sistem de cgs potuis Se tiemos um distibuição discet de cgs potuis ( i ), etão o potecil eléctico (V) poduzido um ulue poto P do espço de coodeds (x,y,z), seá (po plicção do picipio d sobeposição): V( x, y, z) i i i i ( x xi ) + ( y yi ) + ( z zi ) i (4.5) O potecil eléctico um poto do espço é som lgébic do potecil oigido po cd um ds cgs, esse poto do espço Figu 4.4 feito (potecil eléctico) de cgs eléctics potuis um poto P do espço. Qul o lo do potecil eléctico o poto P? xecício 4. Clcule o potecil eléctico o poto (,,) m, oigido pels seguites cgs o zio; +µc em (,,) m, -3µC em (,-,) m e 3 +3µC em (,3,) m. lectomgetismo gehi lectotécic e de Computdoes - 4

4 4..4 egi de um sistem de cgs eléctics Detemição d egi Potecil léctic de um cojuto de cgs eléctics potuis o zio, deido às sus posições eltis - mos começ po coside o tblho ecessáio p costui cofigução desse sistem de cgs eléctics. o tze do ifiito pimei cg eléctic ( ), como ão está sob ifluêci de ulue cmpo eléctico, o tblho elizdo é ulo ( J ). Figu 4.5 Tblho e egi de um sistem de cgs eléctics potuis. segud cg eléctic ( ), já i est sob ifluêci do cmpo eléctico cido pel pimei cg - o tblho elizdo seá (pel expessão 4.), figu 4.5; tecei cg eléctic ( 3 ), já i est sob ifluêci do cmpo eléctico cido pels dus cgs teioes o tblho elizdo seá etão; Geelizdo o pocedimeto p tods s esttes cgs eléctics, temos ue o tblho elizdo cg (deido às - cgs), iá; πε, (4.6) O tblho totl é som de todos estes temos; (4.7) + Ms podemos cheg à mesm cofigução geométic fil, tspotdo s cgs po odem ies, começdo pel, -, -, té. lectomgetismo gehi lectotécic e de Computdoes - 4

5 o tze do ifiito últim cg eléctic, como ão está sob ifluêci de ulue cmpo eléctico, o tblho elizdo é ulo ( J ). cg -, já i est sob ifluêci do cmpo eléctico cido pel cg - o tblho elizdo seá: - cg -, já i est sob ifluêci do cmpo eléctico cido pels dus cgs teioes o tblho elizdo seá:, - +,, Geelizdo o pocedimeto p tods s esttes cgs eléctics, temos ue o tblho elizdo cg (deido às - cgs teioes), iá; No fil o tblho totl (ue tem de totliz o mesmo lo) é som de todos estes temos; diciodo estes dois distitos pocessos e lisdo os temos, emos ue podo em eidêci cg e somdo etão os poteciis ue fectm, obtemos seguite expessão: egi Potecil (tblho elizdo pel foç exteio) de um sistem disceto de cgs potuis, é etão ddo po: i V i i P V i i (4.8) st sbe o poduto do lo d cg eléctic pelo lo do potecil eléctico o poto de espço po el ocupdo, p cd cg, e dicio metde desse lo, de tods s cgs, p temos egi Potecil e um sistem de cgs. i xecício 4. Detemie egi Potecil léctic do sistem de tês cgs eléctics expesso o poblem 4.. lectomgetismo gehi lectotécic e de Computdoes - 43

6 4..5 Difeeç de Potecil léctico N pátic o ue os iteess sbe (medi) é difeeç de potecil (d.d.p.). N mio pte ds situções, medimos esss d.d.p. em elção um poto de efeêci o ul bitdo um lo de potecil, po exemplo V (ue pode se pópi Te ). ste pocedimeto decoe d fução potecil se defiid meos de um costte, como mos eific mis à fete (em 4..). V V Vb d k 4 πε b πε b k b b 4 b (4.9) Figu 4.6 d.d.p. ete dois potos e b, oigid po um cg potul. Defiição: O tblho elizdo deslocção de um cg uitái ( C) ete uisue dois potos de um cmpo eléctico - é difeeç de potecil eléctico (d.d.p.). Como fução potecil é um fução cotíu, os potos com igul lo de potecil, fomm lihs (ou supefícies) o espço. esss lihs chmmos de isolihs de potecil eléctico, lihs euipoteciis ou simplesmete euipoteciis (ou supefícies euipoteciis), figu 4.7. Figu 4.7 Repesetção (o plo) de lihs euipoteciis e do cmpo eléctico, oigids po um dipolo de cg eléctic. lectomgetismo gehi lectotécic e de Computdoes - 44

7 4. Potecil léctico e Cmpo léctico Já sbemos dois impottes efeitos ds cgs eléctics; cição o espço do Cmpo léctico e tmbém do Potecil léctico. Ms ul elção ete mbos? 4.. Ciculção do Cmpo léctico m mtemátic chmmos ciculção de um cmpo ectoil, o itegl o logo d lih Γ, do poduto iteo ete o cmpo e o elemeto de lih oietdo: Γ F dl (4.9) Figu 4.8 Ciculção o logo de um lih Γ. Vmos começ po coside um cmpo eléctico ue existe uicmete o logo de X. O potecil o poto x é ddo po: x V( x) x dx (4.) sedo x o osso poto de efeêci do potecil, V(x ) V. x Ms isto sigific ue: dv( x) x u X (4.) dx No cso mis gel, em ue o cmpo eléctico existe o espço 3 dimesões, teemos ue s espectis tês compoetes, em X, Y e Z; V( x, y, z) x x u x V( x, y, z) y y u y V( x, y, z) z z u z Como o cmpo eléctico é som desss tês compoetes, em: V V V ux u y uz V (4.) x y z som dests 3 compoetes do cmpo eléctico e s sus elções com fução potecil, podem se sitetizds ecoedo o opedo gdiete ( ou gd ). lectomgetismo gehi lectotécic e de Computdoes - 45

8 4.. Relção ete o Cmpo léctico e o Potecil léctico O gdiete mede tx máxim de ição de um gdez o espço, idicdo tmbém diecção e setido dess ição. V gd V (4.b) D álise d expessão 4., ete fução potecil e o cmpo eléctico, obtemos s seguites popieddes: º - s lihs (de foç) do cmpo eléctico são sempe omis às lihs (ou supefícies) euipoteciis (e ice-es), º - o setido do cmpo eléctico é sempe dos poteciis mis eledos p os poteciis mis bixos. Figu 4.9 Relção ete s lihs euipoteciis e s lihs de foç do cmpo eléctico. st é zão poue podemos pátic us os loes de difeeç de potecil eléctico (d.d.p.) utificção ds osss elizções. Poue existe est elção ete fução potecil eléctico e o cmpo eléctico. Cohece um é euilete cohece out. Dest elção podemos ti impottes coclusões: Como já sbemos, do picípio de Poisso (3.7), sedo o cmpo ulo o iteio de um coduto em euilíbio, em V o ue implic ue V é costte em tod su egião iteio, e po cotiuidde, supefície do coduto tmbém. Um coduto pefeito em euilíbio é ssim um egião euipotecil e como s lihs do cmpo eléctico são omis às euipoteciis, esss mesms lihs são etão pepedicules à su supefície (como ilustdo figu 3.7). Se plicmos expessão (4.) um lih fechd - ciculção fechd do cmpo eléctico, temos seguite elção; dl V. dl (4.3) Isto demost um picípio muito impotte o Picípio de Coseção d egi lectostátic e ue o Cmpo léctico é Cosetio. ce igulmete ª eução de Mxwell (p electostátic). lectomgetismo gehi lectotécic e de Computdoes - 46

9 4..3 Cmpo léctico Uifome Cosideemos go um cmpo eléctico uifome de itesidde. Vmos clcul d.d.p. ete os potos e, o logo de um lih do cmpo; V V V d ( cosº ) d d (4.4) Figu 4. d.d.p. o logo de um lih do cmpo eléctico. Como é costte, temos; V d d (4.5) Se um cg de po se desloc de p, teemos su ição de eegi potecil dd como; V d (4.6) P Se > C, etão P seá egtio. Isto sigific ue cg positi pede eegi potecil udo se desloc o setido do cmpo, em logi com ped de eegi potecil gític, udo mss (ue é sempe positi) desce o setido d Te (o setido do cmpo gítico). Cosideemos go o cso gel de um cg ue se desloc ete dois uis potos e, ão oietdos o logo do cmpo eléctico. V V V d d d (4.7) Figu 4. d.d.p. o logo de um lih do cmpo eléctico. lectomgetismo gehi lectotécic e de Computdoes - 47

10 o clculmos este poduto iteo, esult ue pojecção de d é o segmeto C, e o lo d d.d.p. e d eegi potecil eléctic é o mesmo do cso teio. V d d cosθ e P V Sigific ue P ete C e é ul, logo ue V é ul os potos C e têm o mesmo lo de potecil eléctico. Os potos C e estão o logo de um lih pepedicul o cmpo eléctico, isto é, estão situdos sobe mesm euipotecil Potecil eléctico de distibuições cotíus de cg Qudo temos um distibuição cotíu de cgs, temos de lis o poblem, escolhedo um elemeto ifiitesiml de cg d, e detemido-se o potecil dv cido po ess poção de cg um poto P (pel expessão 4.4). Depois sitetizmos cção de todos os elemetos ifiitesimis de cg esse poto P, itegdo sobe todo o domíio d distibuição de cg. V d dv(p) (4.8) C V(P) d dv(p) 4 πε d (4.9) xecício 4.3 Clcule o potecil o poto (,,5) m, oigido po um disco de io m, cetdo oigem e o plo Z m, com um cg totl de 4/3 C uifomemete distibuíd. lectomgetismo gehi lectotécic e de Computdoes - 48