MATEMÁTICA PROFESSOR: ÍNDICE
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- Marcos Nelson Abreu Figueira
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1 D MATEMÁTICA ÍNDICE GEOMETRIA ANALÍTICA PARTE...5. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL...5. ESTUDO DO PONTO...5. PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO DE RETA...5. ESTUDO DA RETA CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR E DA EQUAÇÃO DA RETA CÁLCULO DA ÁREA DE UM TRIÃNGULO NO PLANO CARTESIANO POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO...7 EXERCÍCIOS...7 SEQÜÊNCIAS SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS...8 PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) INTRODUÇÃO FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG...50 EXERCÍCIOS...5 PROFESSOR:
2 Pé Vestibul Difeecil Geometi Alític Pte A Geometi Alític foi cocebid po Reé Desctes. Alido Álgeb à Geometi, el possibilit o estudo ds figus geométics, ssocido-s um sistem de coodeds. Desse modo, s figus podem se epesetds de pes odedos, equções ou iequções.. PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO DE RETA Sejm os potos A, B, e um poto M, que divide AB o meio, podemos dize que s coodeds X M e Y M do poto médio M são obtidos po meio d médi itmétic ds bscisss e odeds, espectivmete, dos potos dos quis M é poto médio.. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Cosidee um plo dois eios e pepedicules em O. O p de eios (O), eio ds bscisss, e (O), eio ds odeds, chm-se sistem ctesio otogol, ode o plo é o plo ctesio e o poto O é oigem do sistem. X M (X A + X B ) / Y M (Y + Y ) / Aplicção Clcule s coodeds do poto médio M do segmeto AB, sedo A (6, 0) e B(, 8) X M ; Y M 9 Respost: M (, 9). ESTUDO DA RETA. ESTUDO DO PONTO DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS NO PLANO CARTESIANO Qudo cohecemos s coodeds de dois potos A e B do plo, sbemos locliz esses potos um sistem ctesio otogol e, ssim, podemos clcul distâci ete A e B po meio d seguite fómul: ( ) + ( ) d( AB) Aplicção Clcule distâci ete os potos A (9, ) e B (, - ). Substituido epessão: ( ) + ( ) d( AB) ( 9 ) + ( ( ) ) ( 8) ( 6) COEFICIENTE ANGULAR OU DECLIVIDADE DE UMA RETA Coeficiete gul (m) de um et ão pepedicul o eio ds bscisss é o úmeo el m que epess tgete tigoométic de su iclição α, ou sej: m tgα EQUAÇÃO DA RETA Equção Fudmetl d Ret Sej G um poto geéico, distito de P.O poto G petece et, se e somete se,o coeficiete gul clculdo po meio de P e G é igul m, ou sej: m m ( 0 ) Equção gel d et 5 fom: Tod et do plo possui um equção d
3 Pé Vestibul Difeecil + b + c 0, qul, b, c são costtes e e b ão simultemete ulos. Eemplos: ) b) 9 0 Equção eduzid d et É tod equção de et ode viável fic isold. N equção d et fom eduzid podemos idetific o coeficiete gul do ldo d viável e o coeficiete lie (temo idepedete d equção). Eemplos: ) 8 0 Coeficiete gul 8 Coeficiete lie - 0 b) + Coeficiete gul Coeficiete lie 5. CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR E DA EQUAÇÃO DA RETA P clcul o coeficiete gul (ão possuido o vlo d icliçãoα ) e ch equção d et, utiliz-se um úic fómul: m Impotte: A pti d fómul cim, podemos detemi o coeficiete gul e equção d et. Aplicção Clcul o coeficiete gul d et AB; sedo A(-,) e B(5,-8). PONTOS COLINEARES Sejm A(, ), B(, ) e C(, ) tês potos do plo ctesio. A codição ecessái e suficiete p que os tês potos estejm jutos mesm et (lihdos) é que: 0 Detemi o vlo de t p que os potos A (0, t), B (t, - ), C (, ) estejm lihdos. Obsevção: P potos ão coliees (vétices de um tiâgulo, po eemplo), devemos te mesm mtiz mostd teiomete, ms difeete de zeo. DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA Cosidee um et de equção gel + b + c 0, ão plel ehum dos eios, e um poto P ( 0, 0 ) ão petecete. Pssemos epeset distâci de um poto P um et pelo símbolo d (p,). Etão, se é et de equção + b + c 0 e P é o poto de coodeds ( 0, 0 ):. + b. 0 0 d p, t + b + c Aplicção Clcul distâci do poto P (, -) à et de equção + 9 0? Pel fómul pátic, temos: P, + ( + 9) ( ) d 0 0 d P, d P, 5 5 Potto, d(p,). d P, CÁLCULO DA ÁREA DE UM TRIÃNGULO NO PLANO CARTESIANO Em Geometi Alític, podemos clcul áe de um tiâgulo com o uílio d fómul: A D Aplicção 0 Detemie áe do tiâgulo ABC ode A (0, ); B (, ) e C (-, ). Clculdo-se pimeimete o vlo do detemite, temos: 0 0 D Aplicdo-se fómul, temos: A D 6
4 Pé Vestibul Difeecil 7. POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO Logo, p detemiá-ls, bst esolve o sistem fomdo pels equções ds dus ets. ) RETAS PARALELAS A codição ecessái e suficiete p que dus ets e s ão veticis sejm plels ete si é que tehm o mesmo coeficiete gul. // s m m s Aplicção Qul é posição eltiv ds ets e s? : e s: +6 0 Tomdo-se os coeficietes ds equções de e s, veificmos que: m m s 6 como m m s, etão // s Obsevção: Se, lém do mesmo coeficiete gul, dus ets possuem o mesmo coeficiete lie, s ets são coicidetes (plels iguis). b) RETAS PERPENDICULARES Se m e ms são os coeficietes gules de dus ets e s pepedicules, etão: m. m s - Dic: Os coeficietes gules de dus ets pepedicules são ivesos com o sil tocdo. Como se fz? m Dd et pepedicul s e o coeficiete gul de igul -7/8, detemie o coeficiete gul de s. Sedo e s ets pepedicules, seus coeficietes gules são ivesos com sil tocdo. Etão, temos: m s c) INTERSECÇÃO DE RETAS (iveso com o sil tocdo) Em um poblem ete dus ets, e s, do mesmo plo, que se itesectm o poto P (, b) com este último petecete às dus ets, sus coodeds devem stisfze, simultemete, às equções desss dus ets. 7 EXERCÍCIOS 0. Ddos os potos A (,5), B (,) e C (,), o vlo de p que o tiâgulo ABC sej etâgulo em B é: ) b) c) 0 d) e) 0. As ets de equções X, Y X e X + Y detemim um tiâgulo T. Qul é áe desse tiâgulo? ) /5 b) /5 c) /5 d) /5 e).d.. 0. Detemie equção d et que pss pelo poto P(,) e pelo poto O, simético de P em elção à oigem. ) + 0 b) - 0 c) + 0 d) - 0 e).d.. 0. Sej et que pss pelo poto P (,) e é pepedicul à et s, de equção +. Qul é distâci ete o poto A (,0) e et? ) b) c) d) 0 e).d Dds s ets : + 5 0, : 0 e : 0, podemos fim que: ) são plels; b) e são plels; c) é pepedicul ; d) é pepedicul ; e) s tês ets são cocoetes um mesmo poto. 06. O poto A, de itesecção ds ets e s de equções 0 e + + 0, espectivmete, e os potos B e C, de itesecção ds mesms ets com o eio O,
5 Pé Vestibul Difeecil são os vétices do tiâgulo ABC. Qul é áe d egião tigul? ) b) c) 7 d) 9 e).d. 07. As ets e s são pepedicules e iteceptmse o poto (; ). A et s pss pelo poto (0; 5). Um equção d et é: ) + 0 b) + c) 6 d) + 8 e) 08. As digois de um losgo ABCD iteceptmse o poto M(5; ). Sbedo que A(; ), equção d et supote d digol BD é: ) + 0 b) + 0 c) + 0 d) e) 0 09.( FGV-SP ) A et que pss pel oigem e pel itesecção ds ets X + Y e X Y + 0 tem como equção: ) X X b) X X c) X X d) X 6X e) X 5X 0.( UFMG ) Sejm A (,0), B (0,) e C (5,) os vétices de um tiâgulo.nesss codições, pode-se fim que equção d et que cotém ltu eltiv o ldo AB é: ) X Y + 0 b) X Y + 7 c) X + Y 0 d) 5X 9Y + 0 e) 7X 5Y Seqüêcis. DEFINIÇÃO Cojutos de objetos de qulque tuez, ogizdos ou escitos um odem bem detemid. P epeset um seqüêci, escevemos seus elemetos, ou temos, ete pêteses. É impotte destc que, o cotáio do que ocoe um cojuto, qulque lteção odem dos elemetos de um seqüêci lte pópi seqüêci. Eemplos: ) O cojuto (jeio, feveeio, mço, bil... dezembo) é chmdo seqüêci ou sucessão dos meses do o. b) O cojuto odedo (0,,,,, 5...) é chmdo seqüêci ou sucessão dos úmeos tuis. - SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS São cojutos de úmeos eis dispostos um cet odem. Um seqüêci uméic pode se fiit ou ifiit. Eemplos: ) (, 6, 9, ) é um seqüêci fiit. b) (5, 0, 5...) é um seqüêci ifiit. REPRESENTAÇÃO DE UMA SEQÜÊNCIA A epesetção mtemátic de um sucessão é dd d seguite fom: (,,,... -, ), em que: é o pimeio temo; é o segudo temo; é o eésimo temo. Aplicção Dd seqüêci (,, 6, 8, 0), clcul: ) b) + ) é o teceio temo; logo, 6. b) Pogessão itmétic (PA) - Itodução 8
6 Pé Vestibul Difeecil Em osso di--di é bstte comum ecotmos seqüêcis cujos elemetos estão dispostos em um detemid odem. Qudo ests seqüêcis pesetm um cescimeto ou decescimeto costte itmeticmete dizemos que são P.A s. As P.A s estão sempe pesetes em povs de vestibules e de lgus cocusos. São questões ode mio dificuldde é itepetção dos ddos e escolh coet d fómul. Nest ul veemos lgums dics de como escolhe coetmete fómul e se el é ou ão ecessái. Vmos coside s seqüêcis uméics ) (,, 6, 8, 0, ). Vej que pti do º temo difeeç ete cd temo e o seu tecesso, é costte: - ; b) (, /, -/, -, -0/0) 0 5 Qudo obsevmos que esss difeeçs ete cd temo e o seu tecesso, é costte, dmos o ome de pogessão itmétic (P.A.) À costte dmos o ome de zão (). Obs.: 0 P.A. é costte. >0 P.A. é cescete. <0 P.A. é decescete. De um modo gel temos: Chm-se de pogessão itmétic (P.A.), tod sucessão de úmeos que, pti do segudo, difeeç ete cd temo e o seu tecesso é costte. Isto é: Sucessão: (,,,, 5, 6, 7,...,,...) Fómul do temo gel de um P.A. Vmos coside seqüêci (,,,, 5, 6, 7,..., ) de zão, podemos esceve: Somdo membo membo esss - igulddes, obtemos: (-). Após simplificção temos fómul do temo gel de um P.A.: + ( - ) Pof. Júlio Olivei Not Impotte: Qudo pocumos um P.A. com, ou 5 temos, podemos utiliz um ecuso bstte útil. P temos: (, +, +) ou (-,, +) P temos: (, +, +, +) ou (-, -, +, +). Ode P 5 temos: (, +, +, +, +) ou (-, -,, +, +) Pof. Júlio Olivei. Itepolção itmétic Itepol ou isei k meios itméticos ete dois úmeos e, sigific obte um P.A. de k+ temos, cujos os etemos são e. Pode-se dize que todo poblem que evolve itepolção se esume em clculmos zão d P.A. E.: Vej est P.A. (,..., 0), vmos isei 8 meios itméticos, logo P.A. teá 8+ temos, ode: ; 0 ; k 8 e k + 0 temos. + (-). 0 ( ) 0 P.A. ficou ssim: (,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0). Som dos temos de um P.A.(S) Vmos coside P.A. (,,,..., -, -, ) () Ago vmos escevê-l de um out fom: (, -, -,...,,, ) () 9
7 Pé Vestibul Difeecil Vmos epeset po S som de todos os membos de () e tmbém po S som de todos os membos de (), já que são iguis. Somdo () + (), vem: S S S ( + ) + ( + -) + ( + -)... + (- + ) + ( + ) Obseve que cd pêteses epeset som dos etemos d P.A., potto epeset som de quisque temos eqüidisttes dos etemos. Etão: S ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) - vezes S. ( + ) S. ( + )/ que é som dos temos de um P.A. Eecícios - (PUC RS) P que pogessão itmétic de zão 5 sej decescete, deve ssumi vloes o itevlo: ) -, -5/ b) ]-, 5/[ c) -5/,5/ d) ]-5/,+ [ e) ]5/,,+ [ - (CESGRANRIO) A zão d P.A. que se obtém iseido ove meios itméticos ete / e /, ess odem, é: ) /0 b) /0 c) /60 d) /80 e) /00 - (UNIUFOR CE) Em um estute, os peços de tês ptos estão em pogessão itmétic de zão R$,00. Se o pimeio e o segudo ptos custm jutos R$,00, etão o segudo e o teceio custm jutos: ) R$ 5,00 b) R$ 60,00 c) R$ 66,00 d) R$ 68,00 e) R$ 70,00 - (UFAM 00) A som dos múltiplos de compeedidos ete 78 e 59 é: ) 85 b) 60 c) 60 d) 9 e) (MACK SP) Num pogessão itmétic de 7 temos, o sétimo temo é tiplo do pimeio temo e o temo cetl é 6. A zão d pogessão é: ) b) / c) d) / e) 6- (OSEC SP) Eiste um tiâgulo etâgulo cujs medids dos ldos são úmeos pes em P.A. de zão 6? ) ão eiste; b) eiste e os ldos medem, 0 e 6; c) eiste e os ldos medem 0, 5 e 0; d) eiste e os ldos medem 8, e (UEPB) Devido à su fom tigul, o efeitóio de um idústi tem 0 mess pimei fil, segud fil, 8 tecei fil, e ssim sucessivmete. Se dispomos de 800 mess, o úmeo de fileis de mess esse efeitóio seá de: ) b) c) d) 7 e) 6 8 (ITA SP) O vlo de que to seqüêci +, - 5, um pogessão itmétic petece o itevlo: ) [, ] b) [, 0] c) [0, ] d) [, ] e) [, ] - PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) Um outo tipo de seqüêci muito comum em ossos desfios são s P.G. s. Els ttm de seqüêcis que podem epeset cescimeto de populções, cálculos de juos compostos, scimeto de ovos glhos em um ávoe e tudo que umete ou dimiu segudo um costte, zão. Veemos que est seqüêci é mis ápid que P.A tto o cescimeto como o decescimeto, pois su zão é obtid pel divisão do temo pelo seu tecesso. Assim sedo Chmmos Pogessão Geométic (P.G.) um seqüêci de úmeos eis, fomd po temos, que pti do º, é igul o poduto do teio po um costte q dd, chmd de zão d P.G. Dd um seqüêci (,,,,...,,...), etão se el fo um P.G. -. q, com e IN, ode: º temo 50
8 Pé Vestibul Difeecil q q q q q q q q. Clssificção ds P.G' S.. Cescete: q > e seus temos são positivos ou 0 < q < e seus temos são egtivos. Decescete: q > e seus temos são egtivos ou 0 < q < e seus temos são positivos. Altete ou Oscilte: qudo q < 0.. Costte: qudo q 5. Estcioái ou Sigul: qudo q 0. Fómul do temo gel Vmos coside um P.G. (,,,,...,,...). Pel defiição temos: q q q q q q q Depois de multiplicmos os dois membos ds igulddes e simplificmos, vem:.q.q.q...q.q (- ftoes) Temo Gel d P.A.. Itepolção geometic q Itepol, Isei ou Itecl m meios geométicos ete dois úmeos eis e b sigific obte um P.G. de etemos e b, com m+ elemetos. Podemos esumi que poblems evolvedo itepolção se eduzem em clculmos zão d P.G. Mis à fete esolveemos lgus poblems evolvedo Itepolção.. Som dos temos de um P.G. fiit Dd P.G. (,,,,..., -,...), de zão q 0 e q e som S de seus temos pode se epess po: S (Eq.) Multiplicdo mbos os membos po q, vem: q.s ( ).q q.s.q+.q q (Eq.). Ecotdo difeeç ete (Eq.) e (Eq.), temos: q.s.q +.q q +.q - S q.s - S. q - q q S (q - ). q - S S ( q ) q, com q ou Obs.: Se P.G. fo costte, isto é, q som S seá: S Som dos temos de um P.G. ifiit Dd P.G. ifiit: (,,,,...), de zão q e S su som, devemos lis csos p clculmos som S.. Se 0 S 0, pois. Se q < ou q >, isto é q > e 0, S tede - ou +. Neste cso é impossível clcul som S dos temos d P.G.. Se < q <, isto é, q < e 0, S covege p um vlo fiito. Assim pti d Fómul d som dos temos de um P.G., vem: Qudo tede +, q tede zeo, logo: (q - ) (0 - ) S S q - q - - ou q - 5
9 Pé Vestibul Difeecil S q um P.G. Ifiit. que é fómul d som dos temos de Obs.: S d mis é do que o limite d Som dos temos d P.G., qudo tede p É epesetd dest fom: S lim S.6 Podutos dos temos de um P.G. fiit. Dd P.G. fiit: (,,,... -, ), de zão q e P seu poduto, que é ddo po: P... - ou... P - - Multiplicdo membo membo, vem: P ( ) ( - ) ( - )... ( - ) ( - ) ( ) ( ) P ± Est é fómul do poduto dos temos de um P.G. fiit. Podemos tmbém esceve est fómul de out fom, pois: P (q q Logo: P ftoes q... q ( ) P q, poém que é som dos temos deum P.A.Etão : ( ) q Olivei EXERCÍCIOS que tmbém epeset o poduto de um P.G.fiit. ) - A seqüêci ( +,, 6,...) é um P.G. Clcule seu º temo. Resp: 0 ou 5 - Detemie qutos temos tem P.G. (6, 8, 58). Resp: 6 - (ITA-SP) Dd P.G. fiit ( ), ode e 6. Detemi se é coet iguldde: 0 ) ( ) 8 ( 8 Resp: Não são iguis. - Num P.G. o 5º temo é igul. Clcule seu º temo sbedo que ele é igul zão.resp 5
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