lim xk Álvaro Fernandes Integral dupla Considere uma superfície f x,y z definida numa região fechada e limitada R do plano xy.

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1 Álvo Fedes Cosidee um supefície f x,y Itegl dupl z defiid um egião fechd e limitd do plo xy é pojeção d supefície sobe o plo xy Tçdo-se ets plels os eixos ox e oy, espectivmete, ecobimos egião po pequeos etâgulos Cosidee somete os etâgulos que estão totlmete cotidos em, umedoos de té (figu ) Figu Figu Em cd etâgulo ode, escolh um poto iteo P x, y e fome som x,y A A x y é áe do etâgulo f Supoh que mis ets plels os eixos coodedos são tçds, todo s dimesões dos etâgulos cd vez meoes (figu ) Isso é feito de tl mei que digol máxim dos etâgulos tede zeo qudo tede o ifiito, Ness situção, se lim x,y A f x,y sobe egião f existe, ele é chmdo de itegl dupl d fução Deotmos este limite como f x, yda ou f x,ydxdy ou f x, ydydx

2 Álvo Fedes lim x,y A f = f x, yda Obsevções: A egião é deomid egião de itegção f A som x,y A é chmd de som de iem de f x,y Veemos que se z f x,y z sobe, itegl dupl pode se itepetd como um volume Itepetção geométic d itegl dupl Supoh z f x,y sobe Obseve que x, y A eto, cuj bse é o etâgulo e cuj ltu é z f x, y f epeset o volume de um pism (figu ) Figu Figu A som de iem x,y A f espço compeedid bixo do gáfico d supefície f x,y Assim, qudo x,y pel supefície z f x,y epeset um poximção do volume d poção do z e cim d egião do plo xy f, f yda os dá o volume do sólido delimitdo supeiomete, ifeiomete pel egião e ltelmete pelo cilido veticl cuj bse é o cotoo de (figu ) f, f x, yda os dá o volume do sólido, poém com o sil egtivo Obs: Se x,y

3 Álvo Fedes Popieddes d itegl dupl Sejm f x,y e x, y g fuções cotíus sobe egião, etão:, p todo el ) f x,yda f x,yda b) f x,y gx,yda f x,yda gx,yda c) Se egião é compost de dus subegiões e que ão tem potos em comum (figu 5), exceto os potos de fotei, etão: f x, yda f x, yda f x, yda Figu 5 Cálculo ds itegis dupls De codo com o tipo de egião de itegção, podemos clcul itegl dupl de dus foms: b g x dydx g x Se é um egião do tipo I, etão x, f yda f x, y Se é um egião do tipo II, etão x, f yda f x, y d h y dxdy c h y egião tipo I:, y x b e g x y g x x egião tipo II:, y c y d e h y x h x y

4 Álvo Fedes Execícios:, ode é egião etgul x,y Clcule 8xydA Poposição: Se é egião etgul x,y b d x, y dydx f x, y dxdy f c d c b / y, x / x b, c y d, etão Clcule x yda A egião está epesetd figu 6 Clcule y da A egião está epesetd figu 7 Clcule ysexyda, ode é egião etgul de vétices A,, B,,C, D, e, sedo egião delimitd po x y, y x 5 Clcule e dxdy -x e 6 Clcule xy da A egião está epesetd figu 8 figu 6 figu 7 figu 8 esposts: ) 57 ) 5/ ) (e /)-( e /)+(5/) ) +() 5) (-e -6 )/8 6)

5 Álvo Fedes Aplicções d itegl dupl Volumes de sólidos f itegl dupl f x,yda os dá o volume do sólido delimitdo supeiomete Se x,y pel supefície z f x,y bse é o cotoo de, ifeiomete pel egião e ltelmete pelo cilido veticl cuj Execícios: 7 Clcule o volume do sólido delimitdo supeiomete pelo plo z x y, ifeiomete pel egião delimitd po x, x, y e y x e ltelmete pelo cilido veticl cuj bse é o cotoo de Esboce o sólido 8 Clcule o volume do sólido o pimeio octte, delimitdo pelo plo z y e pelo cilido veticl que coto egião pl delimitd pels cuvs y x e y x Esboce o sólido 9 Clcule o volume do sólido o pimeio octte, delimitdo pelos cilidos x y 6 e x z 6 Esboce o sólido Clcule o volume do sólido delimitdo pels supefícies bixo Esboce o sólido z x (cilido pbólico) e pelos plos z, y e x y esposts: 7) 5/ 8) /5 9) 8/ ) 6/ 5

6 Álvo Fedes Áes de egiões pls Se expessão f x,y da de itegção fzemos x,y f, obtemos da que os dá áe d egião Áe () = da Clcule áe d egião mostd figu bixo: Clcule áe d egião pl limitd pels cuvs bixo Esboce os gáficos e idetifique egião x y l, x e y x, x x y e, x e e x e, y e esposts: ) 6/9 ) e e (5/),65 6

7 Álvo Fedes Itegl dupl em coodeds poles Descição de egiões pls em coodeds poles (evisão) Itegl dupl em coodeds poles Descição de egiões pls em coodeds poles (evisão) e defiem s elções de coodeds do sistem pol p o sistem ctesio P o estudo ds itegis dupls em coodeds poles, bst cosidemos, As equções x cos y se e De x cos y se, obtemos s elções x y (ou x y ) e ctgy x A descição de um poto P x, y o sistem pol é P,, sedo distâci de P o ceto e o âgulo que o segmeto PO fom com o eixo x positivo Po exemplo, o poto P, em coodeds ctesis é epesetdo po P, o sistem pol Veifique! No sistem ctesio s ets veticis e hoizotis têm equções d fom x xo ( x o costte) e y yo ( y o costte), espectivmete Já o sistem pol, o ( o costte) epeset um et que pss pel oigem e o ( o costte) epeset um cicufeêci de ceto oigem e io o Pove estes esultdos Execício: Descev s egiões cicules bixo em coodeds poles 7

8 Álvo Fedes Itegl dupl em coodeds poles Algums itegis são mis fáceis de seem clculds se egião de itegção fo expess em coodeds poles Po exemplo, o seto cicul d figu tem descição mis simples em coodeds poles do que em coodeds ctesis Figu Est egião é descit em coodeds poles como, e Chmmos este tipo de egião de etâgulo pol A descição dos etâgulos poles em coodeds ctesis ão é tão simples como descit cim Além disso, s itegis dupls cujos itegdos evolvem x y tmbém tedem se mis fáceis de seem clculds em coodeds poles, pois est som é igul, qudo plicds s fómuls de covesão cos y se x e Cosidee f x, y z um supefície defiid um egião fechd e limitd do plo xy = Sbemos que f x,yda lim x, y A f, ode A x y epeset áe do -ézimo etâgulo obtido ptição d egião em coodeds ctesis e x, y é um poto iteo deste etâgulo Este limite expess som de iemm que defie itegl dupl d fução f sobe egião Vmos clcul est som um sistem de coodeds poles P isso, dividiemos egião em pequeos etâgulos poles (ve figu ) 8

9 Álvo Fedes 9 Figu Cosidee pes os etâgulos poles iteos egião Vmos destc o pequeo etâgulo pol d figu e clcul su áe Figu Sej e Vmos escolhe o poto bitáio * *, P como sedo o ceto deste -ézimo etâgulo pol Etão: * e * Cosidedo A áe desse etâgulo pol como difeeç de áes ete dois setoes cicules, obtemos: A * Assim, * A

10 Álvo Fedes Dest fom, o limite d som de iemm que defie itegl dupl o sistem pol é lim f x, y A * * * * * lim f cos, se Est som sugee etão que f x,yda f cosθ, seθ d dθ Coclusão: P clculmos um itegl dupl o sistem de coodeds poles devemos desceve egião em coodeds poles, plic s fómuls de covesão x cos e se z f x, y e lemb que dxdy ddθ, isto é: y equção d supefície x,ydxdy f cosθ, seθ d dθ f Exemplo: Moste que áe de um cicufeêci de io é coodeds ctesis e poles usdo itegl dupl em Usdo itegl dupl em coodeds ctesis: x, y / x, x y x é descição d egião em coodeds ctesis Áe = dydx x dx = * = x x x x x cse π x * Clcule est itegl usdo substituição tigoométic se t, t, Usdo itegl dupl em coodeds poles:, /, é descição d egião em coodeds poles Áe = dd d d elmete s coodeds poles simplificm bstte este cálculo!!!

11 Álvo Fedes Execícios: Clcule sex y dxdy, ode é egião d figu bixo Clcule e x y dxdy x y e x y, ode é egião do plo xy delimitd po 5 Clcule dxdy, ode é egião sombed d figu bixo 6 Clcule x y dxdy y y Esboce egião de itegção Use, se ecessáio, s itegis se cos u du se u cosu cosu seu 8 8 u du cos u seu cosu seu u C 8 u C 8 7 Clcule o volume do sólido delimitdo pels supefícies bixo Esboce s supefícies ) x y ( cilido) z 9 x y ( pbolóide) z ( plo) b) z x y ( pbolóide) z x y ( pbolóide) esp: ) cos ) e e 5) 6 6) 7) uv 8 7b) uv Bibliogfi utilizd: Cálculo B, Div Flemmig e Cálculo Vol, Jmes Stewt