Capítulo 6 Mecânica Quântica

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1 Cíulo 6 Mecânc Quânc Nese cíulo vos enrr no undo d físc quânc coeçndo or flr ds eerêncs e ds des que levr à nov físc no níco do século XX. O nsceno d eor quânc não er cífco. Muos físcos consderv-n u berrção que desruí ron que cênc n consegudo cegr no f do século XIX no seu enendeno do undo erl. O s revolne lvez er o fco de nov eor cbr co vsão deerns do unverso enregndo-o de cero odo o cso o jogo revsível ds robblddes. Deus não jog ddos co o Unverso fo s ou enos ss que o grnde Ensen que conrbuu sgnfcvene r o desenvolveno d eor quânc eru o seu desgrdo co leoredde do undo quânco. N físc clássc o desenvolveno de odos os rocessos er revsível e uncene deerndo. Ao sber osção e velocdde de u coro nu cero nsne de eo odeos clculr su osção e velocdde no nsne segune e ss or dne. A solução é únc bs sber s forçs e qulquer ono do unverso e e qulquer nsne de eo. Flv ens coler ess nforção r clculr o oveno de odos os coros esenes ds rículs croscócs às esrels ggnes rr dese oeno é o fuuro. A descober d duldde d ér que reresen s roreddes de u ond e de u rícul o eso eo cbou co de de que osção e velocdde od ser deernds sulneene co ecdão e consequeneene co ossbldde de os rever nos nsnes s róos. Ese é o coneúdo do rncío de ncerez de Hezenberg do que vos flr n Secção. De cordo co eor quânc u rocesso coo nós o observos é ens relzção de u ds ossblddes enre us. Ms ser errdo ensr no undo quânco coo nu cos bsoluo. Ese undo e s sus les e s robblddes de relzção des ou quel óese esão sujes esss les. Por eelo osção de u elecrão no áoo de drogéno nu cero nsne de eo não esá defnd s robbldde de o enconrr nu dd regão do esço o efecuros u 135

2 edção é erfeene clculável. A ecânc quânc oferece-nos u forlso r clculr es robbldde rvés d solução d equção de Scrödnger Secção 3. As soluções des equção s funções de ond Ψ conê od nforção necessár r esse efeo. A nov físc descobre novos efeos ngnáves no undo clássco. O efeo de únel que ere vulgrene do ssr rvés de u rede é u deles. N Secção 3.6 vos osrr coo sso é ossível. Fnlene s já no Cíulo segune vos dscur lgus quesões fundens d físc quânc relconds co ossbldde de relzção de u nov for de rocesseno d nforção e de coução - nforác quânc. 1. Coo udo coeçou Tudo coeçou co u equen nuve usndo s lvrs de lord Kelvn no orzone brlne que ssobrv o edfíco sóldo lógco e conssene d físc que rec ser cz de elcr odos os fenóenos conecdos n lur. Es nuve que nclene rec nsgnfcne e ens ebrços er ossbldde de descrever eorcene o esecro de onds elecrognécs eds or u coro quecdo coo or eelo or u rego oso ns brss que cer eerur coeç er luz de cor verel rdção do coro negro coo se cosu cr ese o de fenóenos. Pr ober u descrção ssfór M Plnk u físco leão fo forçdo roer co de de connudde dos rocessos n nurez e nroduzr u eleeno desconínuo dscreo u qunu de energ u de que não er lás bsoluene le à físc lebreo-nos do esecro de frequêncs co que vbr u cord f e bs s ereddes. Ours descobers surgr e ouco ouco ornou-se clro que esávos erne u nov físc que reenc u lcun onde físc clássc dev de ser váld. U bo descrção dess descobers ode ser enconrd no lvro Inrodução à Físc uores Jorge Ds de Deus Máro Pen An Noron Teres Peñ Pedro Broguero ª edção McGrw-Hll 000. Não vos ree-l. Reresenos ens u dgr resudo e referos s resecvs secções do lvro. 136

3 Energ é qunzd E ν M Plnk Rdção do coro negro A luz é consud or foões co energ E ν Ond rícul Alber Ensen Efeo fooelécrco A ond elecrognéc e oeno lner λ Arur H. Coon Efeo de Coon As rículs ê coreno de ond λ Prícul Ond Lous de Brogle Duldde d ér A esruur dos esecros ócos elcd co bse ns des quâncs Nels Bor Modelo do áoo 1.1 A rdção do coro negro M Plnk DD Cíulo 7 Secção ; é Fços u equeno eercíco de Físc Esísc 1. Efeo fooelécrco Alber Ensen DD Cíulo 7 Secção Efeo de Coon Arur H. Coon DD Cíulo 7 Secção Duldde ond-rícul Lous de Brogle DD Cíulo 7 Secção Modelo de áoo de Bor Nels Bor DD Cíulo 7 Secções e

4 . O rncío d ncerez Ass que o rncío d duldde d ér é enuncdo surge u ergun. Se odos os objecos n Nurez ê roreddes de u rícul e de u ond sulneene coo é que nós odeos deernr or eelo u cos ão sles e ão orne r descrção de qulquer fenóeno físco coo osção do coro? Pr u rícul.e. u rícul eso se qulquer roredde ondulór não eos ín dúvd que odeos e rncío deernr osção des no esço e qulquer nsne de eo. Ms r u ond so já não rece ser ossível ond esá de fco or odo o ldo. Be odeos colocr es ergun reórc nu ul de físc s qundo oos o equeno loço não eos dúvd nenu que o coe de lee esá e c d es d cozn e não or odo o ldo coo s roreddes ondulórs obrgr ensr Es conrdção não e solução enquno connuros ensr e eros de ond rónc e onocroác.e. co u únc frequênc. U ond desss relene não e ne níco ne f cso conráro não od ser onocroác coo já dscuos n Secção 4.3. Precsos de fzer u ond s coc lá-l no esço de lgu ner. U ulso lvez fosse u reresenção s dequd. Qundo fláos no efeo de benos n Secção 4.3 verfcáos que o dconros u ond rónc u our ond co frequênc lgerene dferene u ond urene senodl rnsforv-se nu ond ulsd. Se connuros dconr s onds co frequêncs rós s dferenes! odeos fzer co que os ulsos fque cd vez s esreos e s esçdos enre n0 n1 n n6 n X 138

5 s. É recsene ss que conseguos consrur u ulso qudrdo soldo ver c no f d Secção 4.3. Coo nese cso esos neressdos n loclzção no esço e não no eo coo no cso dos benos eos que sor s onds co corenos de ond dferenes e não frequêncs. A fgur segune osr o resuldo d sobreosção de n onds co núeros de ond π k dferenes; à ond- λ bse corresonde n 0 n fgur: n { cos[ k k ] + cos[ k + k ] } Φ cons A0 cos k + A 1 e que k1 e k núeros relvos ens r ver o efeo. A rr dese eelo se vê que quno s onds co dferenes k dconros elor se consegue loclzr ond e elor se consegue conclr os dos conceos conceo de ond e conceo de rícul. O reço gr el elor loclzção é que gor já não eos u ond co o núero de ond k be defndo s s u conjuno de onds u coe de onds e que os núeros de ond esão coreenddos nu nervlo k ± n k. Por ours lvrs so sgnfc que quno s recsão reendeos er n loclzção escl or ncerez eos no coneceno do núero de ond ou no coreno de ond orque π k. λ Os dos undos o undo de onds e o undo de rículs esão nerlgdos rvés d relção de De Brogle λ. Co us rnsforções lgébrcs sles odeos verfcr que o núero de ond é drecene roorconl o oeno lner k e que bé é consne de Plnk. Aqu cegos u π conclusão de ere orânc r od físc odern: qundo elor for o nosso coneceno d osção do objeco or será defndo o oeno lner ou velocdde dese. Ese fco fo descobero or u físco leão Werner Hesenberg e é conecdo oje coo o rncío d ncerez de Hesenberg. Ese rncío fr que é ossível conecer e sulâneo e co ecdão osção de u rícul e su velocdde. E eros fors o rncío d ncerez ere-se frequeneene coo 139

6 onde e são ncerezs e e e coonene do oeno lner resecvene e eros nd s rgorosos deveríos escrever σ σ σ e σ ê sgnfcdo do desvo drão d resecv grndez. onde Ns consderções nerores o rncío d ncerez surgu coo u roredde eác r que já esver budo à nálse de Fourer odeos dnr que é ss eso so é u ds roreddes d rnsford de Fourer!. Pr erceberos elor coo o rncío d ncerez se revel n rác consdereos segune eerênc bé já or nós conecd: ssge ds rículs elecrões or óese rvés de u fend de lrgur. Coo os elecrões bé ossue roreddes ondulórs deve esr o efeo de dfrcção ver Secção 7.3. A dfrcção resul e que os elecrões não serão rojecdos no ecrã geoercene s vão sofrer u desvo d su rjecór ncl e roduzr u ge seelne à roduzd or u ond de luz ver fgur. A lrgur ngulr do áo cenrl é crcerzd or u ângulo θ relcondo co o coreno de ond d rdção ncdene λ r os elecrões λ rvés d eressão e co densão d fend λ sn θ coo é sbdo Secção 7.3. Es equção osr clrene que quno elor coneceros osção z dos elecrões que roduze ge.e. quno enor for berur d fend s lrg será ge ou e eros s físcos or será ndefnção no coonene z do vecor de velocdde dos elecrões que ssr fend ou nd no oeno lner z. Podeos fclene relconr z co o oeno ncl e o ângulo θ : snθ Co z eos e λ λ sn θ z. Coo recsão co que odeos conecer coordend z ds rículs não ode eceder cegos à eressão equvlene à do rncío d ncerez z. z fee de elecrões nes d fend z snθ λ θ θ z deos d fend 140

7 O rncío d ncerez esbelece u le físco d recsão co que s grndezs físcs ode ser edds. Ese le não e nd ver co s écncs e nsruenos de edção ulzdos e que obvene ode sere ser elordos. O rncío d ncerez reflece s roreddes báscs d Nurez e não é ulrssável qulquer que sej s ecnologs de edção dsoníves. Ese rncío é u consequênc drec d duldde d ér ond-rícul. O rncío d ncerez eve u co dráco n noss vsão do undo físco. A de deerns que donv cênc no níco do Século XX e que se bsev no fco de de cordo co ecânc Newonn o coneceno eco d osção e d velocdde dos coros nu ddo nsne de eo ser sufcene r redzer o fuuro desenvolveno do sse. Ms coo fr o rncío de Hesenberg são recsene esses dos râeros osção e velocdde que não ode ser eddos co ecdão o eso eo. Se ne sequer eses ode ser conecdos co ecdão o fuuro bé não ode ser conecdo o cero. 3. A equção de Scrödnger Es equção fos que Ervn Scrödnger u físco usríco coôs e 196 e que e n físc quânc u el seelne à segund le de Newon n ecânc clássc: Aqu 1 π + U Ψ Ψ J s é consne de Plnk é ss d rícul U - energ oencl e função Ψ é função de ond d rícul. A função Ψ crcerz dsrbução de robblddes de enconrr rícul nu cer regão do esço. É recsene o sgnfcdo des função que esá n orge do desgrdo de uos físcos que gosr de connur vver nu undo que segue u cno deerndo. De cordo co defnção d Ψ robbldde o efecur u edção de se enconrr rícul nu nervlo do esço +d é dp Ψ d. Pr u regão de b resecv robbldde é Ψ P d. Coo robbldde de se edr rícul b 141

8 lgures é gul 1 se es ese clro o negrl do qudrdo do ódulo d função de ond d rícul sobre odo o esço deve ser gul 1: Ψ d 1. Es condção c-se norlzção d função de ond. Anes de connuros convé fzer u observção eác cerc d for coo equção esá escr. E rero lugr ode recer esrno segune escr: e. Fz lebrr s dervds rcs de segund e de rer orde resecvene s fl função Iso não é or cso. A nov físc necess de u novo relo eáco. No forlso d ecânc quânc s enddes eács que corresonde lgus grndezs físcs s coo energ oeno lner e oeno ngulr já não são funções s s oerdores que cu sobre função de ond ver c. Ass o oerdor do ldo dreo d equção de Scrödnger é o oerdor d energ. N rác qulo que esá escro do ldo dreo é ens Ψ. O ero do ldo esquerdo corresonde à energ cnéc e U é o oerdor d energ oencl que sendo lcdo à função de ond resul nu sles roduo U Ψ. Dese odo equção de Scrödnger n for eác s bul s fscene lvez enos rnsrene é Ψ Ψ + U Ψ. função oerdor vrável vrável função função Eelo: função seno y sn Eelo: oerdor dervd e f g f 14

9 3.1 Análse d equção de Scrödnger O cno elo qul Scrödnger cegou à su equção é u ssuno que e s erece u nvesgção. Ms elo enos dus coss são clrs: fuur equção dever conservr energ e qulquer função que descrevesse u ond dever ssfzê-l. Prero orque e odo o conjuno de eerêncs que es n lur e que ese é gor não se enconrv nenu rzão r duvdr que energ se conservv e odos os rocessos conecdos. A segund condção é sequênc de duldde d ér que de fco esá n bse d od ecânc quânc. Alás o rero noe que fo ddo à nov físc er wve ecncs - ecânc ds onds. Pr elor coreensão d equção de Scrödnger e d for coo el funcon vos fzer u equeno eercíco e rovr que u ond é relene u solução d equção e que le de conservção d energ esá ssfe. Consdereos u ond ln.e. undensonl rogr-se no sendo osvo. A equção é cole e orno for cole r função de ond ser s dequd: k ω Ψ Ae. Lebrndo que defnção do núero de ond é u rícul coreno de ond de De Brogle é π k e o coreno de ond de λ λ eos k π. Por ouro ldo frequênc d ond esá relcond co energ d rícul coo E ω. Porno odeos reescrever eressão r função de ond d segune ner E Ψ Ae. Agor só fl subsur Ψ n equção de Scrödnger or es eressão e verfcr se equção se ornrá u guldde. Ao clculros s dervds eos 143

10 144 E e E A Ae E E Ψ Ψ e A e A E E Ψ Ψ Ψ Subsundo s dervds rcs n equção elos vlores clculdos cegos Ψ Ψ + Ψ E U ou fzendo ullcção e ondo Ψ e evdênc E U Ψ Ψ + o que é nd s nd enos que le de conservção d energ E U T + orque T v v é energ cnéc.e. equção ornou-se u guldde u uolog o que rov que ond ln é u solução d equção de Scrödnger s bé á ours soluções. Dqu orn-se clro o sgnfcdo de cd ero n equção de Scrödnger: De cero odo equção de Scrödnger e n ecânc quânc u el seelne o d segund le de Newon n ecânc clássc. D es ner que segund le de Newon descreve odos os fenóenos ecâncos no undo clássco bs conecer s forçs que cu no sse e resolver equção dferencl coo fzeos or eelo o descreveros s osclções róncs equção de Scrödnger descreve odos os fenóenos quâncos desde que velocdde sej U Ψ Ψ + Energ ol Energ oencl Energ cnéc U Ψ Ψ + Energ ol Energ oencl Energ cnéc Oerdor d energ cnéc Oerdor d energ oencl U Oerdor d energ ol

11 equen corvene co velocdde d luz.e. fenóenos não relvss. De es ner coo od grnde vredde de fenóenos clásscos esá cond n vredde ds forçs função U energ oencl do sse e denro de s odo o undo quânco. 3. A equção de Scrödnger ndeendene do eo Ese us suções rács e que deendênc eorl d função de ond não nos neress. Por eelo qundo esudos o áoo de drogéno não nos neress coo vr no eo função de ond do elecrão orque eerenlene eos cesso ens à dsrbução d robbldde éd de o enconrr nu ou nour regão do esço. N função Ψ r ond ln s vráves e ser-se fclene: Ψ A e E A e e E de odo que o eo enr n função rvés do ero ullcvo e E. Generlzndo fr-se que qulquer função Ψ ode ser desdobrd e roduo do ero escl e do ero deendene do eo E Ψ ψ e. Se subsuros Ψ n equção de Scrödnger or ese roduo eos ψ e E d e ψ E + U ψ e E E ψ e + U ψ e Eψ e d E E e deos de dvdros bs s res d equção or Scrödnger ndeendene do eo E e cegos à equção de d + U ψ Eψ. d Rere que dervd rcl e orde fo subsud el dervd cole orque função de ond gor só e u únc vrável. As soluções d equção 145

12 de Scrödnger ndeendene do eo c-se soluções esconárs. Eles corresonde os esdos esconáros.e. os que não se ler co o eo. O sse ode ernecer nu esdo deses durne u eo nfno. A condção de norlzção d função ψ obvene né-se: ψ d 1. A equção de Scrödnger ndeendene do eo ode ser escr n for Hˆ ψ Eψ e que o oerdor Ĥ é defndo coo ˆ d H + U. Do ono de vs d eáco equção de Scrödnger nes for reresen u roble sobre vlores e funções rórs: rocur-se u conjuno de funções ψ e de vlores E s que cção do oerdor Ĥ sobre cd u desss funções resule nu sles ullcção d função elo resecvo vlor E : Hˆ ψ E ψ. Ese roble é be conecdo n álgebr lner: r u dd rz A rocur-se os res de r r r s que A. A orânc dese fco consse vecores e de vlores { } n solução d equção de Scrödnger ndeendene do eo se ornr uo s fácl do que solução d equção de Scrödnger deendene do eo orque álgebr desenvolveu u conjuno de reces r ese o de robles. Ns secções segunes vos resolver equção de Scrödnger r lguns csos s sles s ornes r erceberos coo funcon ecânc quânc. 3.3 Soluções d equção de Scrödnger co Ucons Coo já fo referdo od vredde de fenóenos quâncos esá cond n função de energ oencl U. As funções dferenes corresonde às dferenes clsses de fenóenos. Prece uo sles bs resolver equção r cd o de função e eos odo o undo ns ãos. No enno não é ss ão fácl. N reldde ese oucs funções U que orn solução ec ossível. E eso co ulzção de éodos nuércos ne sere é ossível resolvê-l r os sses s coleos. Coo se dz o dbo esá nos deles O cso s sles é obvene qundo U U 0 cons. A equção de Scrödnger será nese cso 146

13 d + U 0 Eψ d ψ. Deos de fzeros lgus rnsforções sles eos d ψ + U 0ψ Eψ d d ψ E U d d ψ k ψ d 0 ψ E U 0 e que k é u consne e relção. Es equção do ono de vs eáco é dênc à que já enconráos qundo fláos ds osclções d róncs sles k ver Cíulo 3 co u dferenç: vrável d gor é e vez do e função é ψ e vez d. De reso é es equção: rocur-se u função cuj segund dervd sej gul o sérco d rór função. As funções que ssfze equção coo já sbeos são snk cosk k e k e e coo bé qulquer cobnção lner dess de fco ds quro funções só dus são ndeendenes orque coo seno no co-seno ode ser eresss rvés dos eonencs e e n for cos sn. e e sn e + e cos e vce vers e cos + sn Convé ulzros for eonencl ss solução gerl ode ser escr ψ Ae k + Be onde A e B são consnes de negrção coo equção de Scrödnger é u equção dferencl de segund orde solução des ss necessrene or dus negrções cd u ds qus dcon u consne. Pr deernr s consnes recsos de s dus equções que nese cso se c condções de froner u nálogo ds condções ncs no cso ds osclções. Nese cso rculr co energ oencl consne e odo o esço não ese froners e logo s consnes A e B são ndefnds. Do ono de vs d físc so não nos deve reocur uo orque noss suosção ncl é ouco rels s froners k 147

14 ese sere e orno U não ode ser consne e odo o esço. Ns secções segunes roo-nos s d reldde s r já vos rr roveo d fcldde co que equção de Scrödnger se resolveu e enr ober lgus conclusões úes. A função de ond cole Ψ obé-se ullcndo ψ or E e ou or E orque ω : e ω donde Ψ k k ω Ae + Be e ω ψ e k ω k+ω Ψ Ae + Be. É fácl de erceber que reldde físc corresonde es função: o rero ero descreve u ond rónc ln que se desenvolve no sendo osvo de enquno o segundo ero corresonde u ond rónc ln rogr-se e sendo ooso. Abs s onds reresen soluções d equção de Scrödnger co U cons. Cbe-nos nós escoler quel que se d à sução rel; ou é odeos escoler s dus que sobreoss resul nu ond esconár A e que ser gul B nese cso. Pode-se ergunr e co odo o dreo qul é nerreção dese resuldo e eros de rículs orque duldde ond-rícul d ér ere-nos ulzr bos os conceos o eso eo. Pr l voleos à defnção do núero de ond E U 0 k. Ao resolver equção de Scrödnger defnos k coo k. A rr des defnção e ulzndo o fco de que π k e λ e que é o oeno λ lner cegos k π. Connundo E U 0 E U 0 e fnlene E + U 0 e que T é energ cnéc coo é óbvo. U vez que U 0 cons bé energ cnéc o é ssuos nurlene que o sse é conservvo. Es sução corresonde u rícul lvre que se ove co u velocdde consne. Lvre quer dzer que rícul não esá suje 148

15 nenu forç - cso conráro velocdde não ser consne. Iso esá de cordo co relção d ecânc clássc enre forç e energ oencl de que já eos du coneceno F : dervd de u consne é gul 0. d Our observção orne é que não ese nenu condção que le os vlores d energ E que u rícul lvre ode er. O conjuno dos vlores d energ é nfno e conínuo. Não será ss r u rícul cujo oveno esá ldo no esço que vos consderr já segur. 3.4 U rícul nu c nfn Consdereos u rícul nu co co energ oencl descr el segune eressão U 0 r r r < 0 0 > rícul confnd nu c de lrgur co s redes nfnene ls ver fgur. Coo e cd ds rês regões energ oencl é consne u vlor nfno bé é u consne solução d equção de Scrödnger é dênc à solução obd n secção neror: ψ Ae k + Be 1 co consne k defnd coo k E e que U 0 é gul ou 0 ou nfno nese cso. Denro d c U 0 0 e orno U 0 k 1 k E. For del U 0 é nfnene grnde e osvo de odo que E U 0 < 0 ou sej k é u grndez gnár. Podeos elcr ese fco escrevendo k U 0 E e que rz qudrd já 1 e u vlor rel. Ao nroduzr u novo râero α U 0 E α é rel eos k α e ψ Ae + Be α α. 149

16 Coo α + clro esá que o rero ero des equção é gul 0 qulquer que sej consne A e e relção o segundo ero odeos frr que B0 orque função de ond ψ deern densdde de robbldde de enconrr rícul nu cero locl do esço e robbldde não ode er u vlor nfno. Resundo solução cole d equção de Scrödnger r u rícul denro de u c co s redes nfns é 0 ψ Ae 0 k + Be k r r r < 0 0 > Fl no enno deernr s consnes de negrção A e B. Ess ode ser obds ondo e con que robbldde não se ode lerr bruene de u ono do esço r ouro.e. ψ deve ser conínu e função de de fco rer dervd ψ ' bé e que ser conínu. Iso sgnfc que D rer equção concluíos que qu A 1 é u nov consne ψ 0 0. ψ 0 A B e enão k k k e e ψ Ae Ae A A1 sn k π n A1 sn k 0 k π n n 0 ± 1 ±... k. Lebrndo que defnos k coo rícul n c k A1 A. O fco de ψ 0 sgnfc que E k odeos deernr energ d k π E n. Resundo solução d equção de Scrödnger r u rícul n c.e. conjuno de funções rórs e de vlores róros é π n π { ψ n E n } A1 sn n. 150

17 Ao defnr E1 π eos o esecro de energs dsoníves r o sse E 1 4E 1 π 9E 1 16E 1 ec. e s funções de ond corresondenes ψ1 A1 sn π 3π ψ A1 sn ψ 3 A1 sn ec. A fgur segune osr esss funções de ond e s densddes de robbldde resecvs ψ n. Coo se vê s funções de ond são onds esconárs coo se fosse vbrções de u cord de gurr ver Cíulo 6 co u frequênc fundenl no nível E 1 e róncs de resecv orde nos níves de energ suerores. 3.5 U rícul nu c fn O eelo de u rícul nu c co redes nfns consderd n secção neror é u bsrcção coo é óbvo. Ns suções res energ oencl não ode er vlor nfno. No enno es slfcção nos eru de u ner sles e ec resolver equção de Scrödnger e ober o conjuno ds funções róros ψ n e dos vlores róros E n e deonsrr qunzção d energ d rícul confnd u regão do esço. Pr nos roros suções s relss vos gor consderr u sse co u energ oencl recd co neror s fn e odo o esço: U 0 r < 0 U 0 r 0 U 0 r > 151

18 onde 0 U < ver fgur. A solução d equção de Scrödnger r es função < 0 U de fco já fo obd or nós n secção neror. Denro d c es é ψ Ae k + Be 1 co consne k defnd coo k E. For d c á dus suções ossíves: E > U 0 e E < U 0. Ineress-nos segund sução orque só nese cso o oveno d rícul esá confndo enre 0 e o que ode ser vso fclene rndo o roble clsscene ver Cíulo 3. Nese cso coo no cso neror k e u vlor gnáro. A subsução 1 k α co α U 0 E U 0 k lev-nos u solução do o α ψ Ae + n qul A 0 r < 0 e B 0 r > cso conráro ψ co e resecvene. Junndo s soluções nu únc eressão eos Be α α C1e r < 0 k ψ Ae k + Be r 0. α Ce r > For nroduzds dus consnes novs C 1 e C ns soluções for d c orque à rd ess não são necessrene gus às consnes A e B denro dess. A relção enre ods s consnes ode ser obd d condção de connudde d função de ond e 0 e. Nós vos concenrr noss enção n nálse qulv d solução obd. Vê-se que o cooreno d função de ond denro d c é seelne o do cso neror: é u função osclór. No enno for dos les d c função 15

19 de ond já não é gul 0 coo co energ oencl nfn s é reresend or u eonencl decrescene. A connudde d função de ond ns froners requer que e 0 e es sej dferene do 0. A fgur osr qulvene o cooreno ds rês rers funções de ond endo coo ono de rd s funções obds n secção neror. Ao ldo deses esá esboçdo o qudrdo do ódulo de cd u desss funções que reresen densdde de robbldde de deecr rícul nu ddo regão de esço e função do. O s noável qu é o fco de robbldde de enconrr rícul denro ds redes não ser ecene 0 coo ser de eserr do ono de vso clássco e coo er no cso neror. Lebreos que físc clássc roíbe s suções orque coo r < 0 no r > energ ecânc E < U o que ege que energ cnéc d rícul negv ver Cíulo 3. v T sej A enerção e regões do esço clsscene robds é u ds s ornes roreddes dos objecos quâncos. 3.6 Efeo de únel Ns secções nerores coeçáos or consderr u energ oencl que odel u eséce d c de redes nfnene ls. A solução d equção de Scrödnger resulou e funções rórs funções de ond e vlores róros d energ do sse. Ass descobros que energ do sse é qunzd. Deos báos lur ds redes é u vlor fno e descobros que função de ond ener s redes d c. A robbldde de enerção u cer rofunddde decresce rdene co rofunddde s coo u função eonencl só ende r 0 ssocene ese u robbldde não nul de enconrr rícul denro d rede qulquer dsânc d su suerfíce. Vos gor fzer s redes d c não só fns e lur s bé e esessur ver fgur. A função de ond erá u crácer osclóro denro d c coo nes. Ns regões clsscene robds.e. onde E < U função de ond descreve-se co u eonencl decrescene. Coo ese nunc ceg o 0 função de ond d rícul e u vlor não nulo eso n froner eeror d rede. Isso obrg-nos conclur que ns regões eerores às redes função de ond não ode ser gul zero cso conráro v u desconnudde n froner enre rede e 153

20 regão eeror. Coo s regões eerores são seelnes à regão neror d c no que oc relção enre energ ecânc E e energ oencl U E > U e bs k e u vlor rel o eoene d e n função de ond é gnáro e enão função de ond é u função osclór coo fgur osr. Há no enno u dferenç enre regão neror e s regões eerores. N regão neror ese dus froners que l o oveno. Pensndo clsscene esses são os dos onos de reorno e qus rícul nvere su rc. Iso resul e que o oveno denro d c en crácer osclóro ver Cíulo 3. Ns regões eerores só á u ono de reorno de odo que se rícul su d c r o ldo dreo or eelo v connur over-se no eso sendo se qulquer le. A energ oencl nes zon é consne; forç enão é nul; consequeneene rícul ove-se coo u rícul lvre. E eros ondulóros u rícul lvre descreve-se co u ond ln. Mecene denro d c função de ond e que ssfzer dus condções de froner o que resul e onds esconárs ver Cíulo 5. For ond esconár não se for orque só á u condção de froner. Alé dsso ond esconár é o resuldo de sobreosção de dus onds rogre-se e sendos conráros. Iso verfc-se denro d c s não for des. Iso sgnfc que u rícul nclene confnd nu dd regão do esço onde clsscene dev ernecer durne u eo nfno e lgu robbldde de ser enconrd for dess regão ou sej de fugr d c. O efeo qu consderdo é conecdo coo efeo de únel. É u efeo urene quânco se qulquer nlog no undo clássco. 154

21 A fgur segune osr enerção de u rícul que ncde nu brrer oencl de lur U 0 e lrgur b rvés dess brrer. A robbldde dese rocesso α b ode ser clculd sendo es rodene gul P e co 1 α U 0 E coo nes. O cooreno d função de ond d rícul ness crcunsâncs bé esá qulvene esboçdo. Lebreos que é o qudrdo do ódulo d função de ond que dá robbldde de descobrr rícul nu dd regão do esço. Ese é roorconl o qudrdo d lude d função de ond o que elc orque lude ds osclções d ψ é or do ldo esquerdo. A esênc do efeo de únel fo confrd eerenlene us vezes. É ese efeo que elc u dos os de deceno rdocvo dos núcleos ócos deceno α e bé descreve dnâc do rocesso de csão nucler. O efeo de únel ulz-se bé nu croscóo esecl sensível é escl óc e que elecrões são edos or u gul rvessndo deos u brrer de oencl. Ouro eelo ráco é u díodo de efeo de únel u coonene elecrónco cujo rncío de funconeno se bse nese efeo quânco. Nese cso o efeo de únel resul n esênc de u regão de ensões elécrcs co ressvdde negv.e. o uenr-se ensão lcd correne elécrc dnu e vez de uenr bé coo ser norl. 155