4 CÓDIGOS REED-SOLOMON

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1 CÓDIGO REED-OLOMON Nese cpíulo reornos os códgos de blocos lneres por eo dos códgos Reed- oloon (R. Isso se deve o fo de que os Códgos R são códgos lrgene epregdos e dversos sses de rzeneno e rnsssão de nforção, enre os qus podeos cr: grvção de úscs e CD, grvção de ddos e fs gnécs, grvção de ddos e dscos rígdos, rnsssão de sns dgs de TV nos pdrões TC, DVB-T e IDB-T, ec. o conráro dos ouros códgos de bloco e bé dos códgos convolucons, os códgos convolucons, os códgos R possue u rzoável cpcdde de correção de erros e rjd. Por sso, uo freqüeneene ele é usdo de for concend co ouros códgos, s coo os códgos convolucons. Pr fclr o enendeno dos códgos R, ese cpíulo esá dvddo e seções que bord os segunes ópcos: Cpos Fnos; Codfcção R e Decodfcção R... INTRODUÇÃO Os códgos Reed-oloon (R são códgos cíclcos não bnáros co síbolos fordos por seqüêncs de bs, onde é qulquer posvo nero endo vlor or do que. Os códgos R co síbolos de bs exse pr odo n e k pr o qul < < n < k (. onde k é o núero de síbolos de ddos que esão sendo codfcdos e n é o núero de síbolos códgos e u bloco codfcdo. s prncps crceríscs dos códgos R s couns esão presends n Tbel.. Esses códgos, lé de u noável cpcdde de correção de erros, são prculrene úes pr correção de rjd de erros. Os códgos R são exensene ulzdos e dversos sses de councções concendos, prncplene, co códgos convolucons lé de ouros sses de rzeneno de nforções. _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.

2 . Códgos Reed-oloon Tbel. - Prncps crceríscs dos códgos R s couns. Copreno do códgo: n - Núero de bs de nforção: Núero de bs de prdde: k - - n - k Dsânc ín: d n n - k Cpcdde de correção : n k probbldde de erro de síbolo, P E, e função d probbldde de erro de síbolo do cnl, p, pode ser escr coo: P E j j j p p j j ( (. onde é cpcdde de correção de erro de síbolo do códgo sendo que cd síbolo possu bs. cpcdde de correção de erro e rjd pode ser enendd prr do segune exeplo: Consdere u códgo R (n, k (, 7 onde 8 bs ( bye. cpcdde de correção de erros dese códgo é n k 7 ou sej, odos os pdrões de síbolos errdos ou enos, e u bloco de síbolos. Igne que u suro de ruído sej cpz perurbr rnsssão durne u período correspondene bs, confore presendo n Fgur.. Período de bs perurbdo por íbolo íbolo íbolo íbolo íbolo íbolo Correo Errdo Errdo Errdo Errdo Correo Fgur. - Bloco de ddos perurbdo por ruído durne períodos de b. Coo os códgos R são não bnáro, é cpcdde de correção de síbolos fordos por bs. _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.

3 . Códgos Reed-oloon Cd síbolo possu 8 bs, logo u período de bs fe síbolos. Coo o códgo corrge qulquer pdrão de é síbolos errdos, odos os síbolos fedos serão corrgdos. Ess crcerísc não bnár dá os códgos R u grnde vnge e eros de correção de erros e rjd e relção os ouros códgos de blocos bnáros... CMPO FINITO Pr o enendeno dos prncípos de codfcção e de decodfcção dos códgos não bnáros, s coo os códgos R, é necessár copreensão dos conceos que envolve os cpos fnos conhecdos coo Cpo de Glos (GF. Pr qulquer núero pro p exse u cpo fno denondo GF(p conendo p eleenos. É possível esender GF(p pr u cpo de p eleenos, represendo por GF(p, onde é u núero não nulo, posvo e nero. Noe que GF(p possu coo subconjuno os eleenos de GF(p. Os códgos R são consruídos prr dos cpos de exensão, GF(. E u cpo GF(, cd eleeno não zero é represendo por u poênc de. U conjuno nfno de eleenos, F, é fordo coeçndo pelos eleenos {,, } e gerndo eleenos dcons pel ulplcção progressv d úl enrd por, ou sej, F j {,,,, L,, L } {,,,, L,, L } (. j Pr obenção de u conjuno fno de eleenos de GF( prr de F, u condção deve ser pos sobre F pr que ele poss coner eleenos e sej fechdo sob ulplcção. condção que fech os eleenos de u cpo sob ulplcção é crcerzd pelo polnôo rreduível ou equvleneene, ( ( (. (. Usndo es resrção polnol, qulquer eleeno do cpo que enh gru gul ou or que - pode ser reduzdo pr u eleeno co poênc enor que - coo se segue: ( n ( n n (. ss, Equção (. pode ser usd pr forr u seqüênc fn F* prr d seqüênc fn F, d segune for: F * {,,,, L,,,, L} (.7 {,,,, L,,,,, L} _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.

4 . Códgos Reed-oloon Porno, pode-se observr prr d Equção (.7 que os eleenos do cpo fno GF( são ddos por GF( {,,,, L, } (.8... DIÇÃO NO CMPO DE ETENÃO GF( M Cd u dos eleenos do cpo fno GF( pode ser represendo coo u polnôo dsno de gru - ou enos. Cd eleeno do cpo GF( é represendo por u polnôo (, onde pelo enos u dos coefcenes de ( é não nulo. Pr,,,..., -,,,,, ( L (.9 dção de dos eleenos do cpo fno é defnd coo so ódulo- de cd coefcene do polnôo de es poênc,. e., j, j, (, j, (, j, ( L (.... DEFINIÇÃO DE UM CMPO FINITO POR UM POLINÔMIO PRIMITIVO Cpos fnos de GF( são consruídos prr de polnôos prvos que por su vez, são necessáros pr defnção dos códgos R. Enreno, é convenene defnr nclene o que são polnôos rreduíves. U polnôo rreduível, f(, de gru é do ser prvo, se o enor nero posvo n pr o qul f( dvde n é n -. Qulquer polnôo rreduível sobre GF( de gru dvde. prr d defnção e d propredde presends c, segune condção é necessár e sufcene pr grnr que u polnôo é prvo: U polnôo, f(,de gru, é do ser rreduível sobre GF( se f( não é dvsível por qulquer ouro polnôo, sobre GF(, de gru enor que, s or que zero. _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.

5 . Códgos Reed-oloon Exeplo. Bsedo n defnção de polnôo prvo presend nerorene verfque se os polnôos rreduíves segur são prvos. b olução: Pode-se verfcr se o polnôo é prvo se o enor gru de n pr o qul o polnôo é dvsor, é n -. Conseqüeneene, ele não pode dvdr nenhu n de gru n <. n Logo, o enor gru pr o n, pr o qul é dvsor é. ( ( ( ( ( ( O que confr que é rreduível. Ms, verfc-se bé que: ( ( Logo, é rreduível, s não é prvo. _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.

6 . Códgos Reed-oloon b Pr, verfc-se que: ( 8 7 ( ( ( 9 7 ( 7 ( ( ( Pode se verfcr bé que não dvde nenhu ouro n pr n <. Logo é rreduível e prvo. * * * Coo pode ser observdo, é relvene fácl verfcr se u polnôo é rreduível e prvo. Enreno obenção de u polnôo prvo de u gru pré-deerndo não é u ref fácl. Norlene esses polnôos são obdos rvés de busc copuconl. Tbel. presen lguns polnôos prvos de orde é. _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.

7 . Códgos Reed-oloon Tbel. - lguns polnôos prvos. Polnôo Polnôo O CMPO DE ETENÃO GF( Consdere o cso de, ou sej, GF( e o polnôo prvo f(. U polnôo de gru possu precsene rízes. Resolvendo pr s rízes de f(, enão os vlores de pr f( deve ser enconrdos. ej, u eleeno do cpo de exensão defndo coo u rz de f(. ss, f( (. Des for, pode ser obd coo so ponderd dos eros de orde s bx. De fo, ods s poêncs de pode ser bé represends, confore osr Tbel.. Tbel. osr nd o peeno dos see eleenos { } e o eleeno zero, e eros dos eleenos bse {,, }, descros pel Equção.. _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.7

8 . Códgos Reed-oloon Tbel. - Mpeeno dos eleenos do cpo e ero de seus eleenos bse pr f(, e represenção ds poêncs de. GF( ELEMENTO BE REPREENTÇÃO D POTÊNCI DE. (. (. ( * * * prr ds equções defnds n Tbel., pode-se defnr s dus operções récs possíves sobre GF( : dção e ulplcção. bs esão presends ns Tbels. e., respecvene, e for obds do conjuno de equções d Tbel.. Tbel. - Tbel de dção pr GF( co f(. _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.8

9 . Códgos Reed-oloon Tbel. - Tbel de ulplcção pr GF( co f(. O peeno dos eleenos do cpo e eros de seus eleenos bses presendos n Tbel. pode ser deonsrdos rvés de regsrdores de desloceno, confore osrdo n Fgur.. O crcuo ger (co os ( - eleenos não nulos do cpo. Noe que s conexões de relenção do crcuo corresponde os coefcenes do polnôo, exene d es for que o crcuo gerdor de prdde pr os códgos cíclcos bnáros. Iníco o desloceno o desloceno o desloceno o desloceno o desloceno o desloceno Fgur. - Eleenos bse não nulos de gerdos por regsrdores de desloceno. Incndo por u eleeno não nulo no prero eságo do regsrdor de desloceno e proovendo segudos deslocenos cíclcos, verfc-se que odos os eleenos bse não nulos do polnôo pode ser obdos lendo-se o coneúdo dos regsrdores cd desloceno. _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.9

10 . Códgos Reed-oloon No séo desloceno, obé-se novene, pos d Equção (., obé-se ( 7... CODIFICÇÃO R Confore presendo n Tbel., e eros dos prâeros n, k,, pr for s cou dos códgos R, e-se que ( n, k (, > (. onde n - k é o núero de síbolos de prdde, e é cpcdde de correção de erro de síbolo do códgo. O polnôo gerdor pr u códgo R ssue segune for: g( g g g L g (. O gru do polnôo gerdor é gul o núero de síbolos de prdde. U vez que o gru do polnôo gerdor é gul, deve hver precsene poêncs sucessvs de que são rízes do polnôo. s rízes de g( são desgnds coo:,,...,. ss, o polnôo gerdor g( pode ser obdo fzendo g( ( (...(. (. Consdere coo exeplo o códgo R (7, co cpcdde de correção de duplo erro de síbolo. O polnôo gerdor e eros de sus n - k rízes é descro d segune for: g( ( - ( - ( - ( - ( - ( ( - ( 7 ( - ( - ( - ( ( ( Escrevendo o polnôo d orde s bx pr s l, e rocndo os sns negvos por posvos (no cpo bnáro -, g( fc: g ( (.... CODIFICÇÃO N FORM ITEMÁTIC U vez que os códgos R são códgos cíclcos, eles pode ser codfcdos n for sseác de for nálog o procedeno pr os códgos bnáros, ou sej, confore presendo no Cpíulo, _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.

11 . Códgos Reed-oloon n k ( q( g( p(. (. onde q( e p( são os polnôos quocene e reso, d dvsão d ensge deslocd de n-k posções, n-k (, pelo polnôo gerdor, g(. Noe que, n for sseác, o polnôo reso, p(, é o polnôo prdde d plvr códgo. Equção (. pode ser escr nd coo: plvr códgo polnol resul e p nk ( ( ódulo g( (.7 nk c( p( ( (.8 Exeplo.: Consdere seqüênc ensge bnár. Fç codfcção sseác d ensge co u códgo R (7,, cujo polnôo gerdor é quele obdo pel Equção.. Pr gerção dos síbolos e GF(, consdere o polnôo prvo de gru presendo n Tbel.. olução: seqüênc pode ser segend e eleenos bse do cpo gerdo por, n for, pr obenção dos eleenos do cpo, e, confore osrdo n Tbel.. Logo o polnôo ensge é, que ulplcdo por n-k, orn-se; ( O polnôo prdde é o reso d dvsão do polnôo deslocdo, n-k (, por g(. Noe que dvsão polnol deve ser fe e GF(, ou sej, s regrs de dção e de ulplcção deve obedecer s Tbels. e., respecvene, confore presendo segur. ( ( ( reso _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.

12 . Códgos Reed-oloon Logo, p( ss, d Equção.8 obé-se: c( (.9... CODIFICÇÃO N FORM ITEMÁTIC COM REGITRDORE DE DELOCMENTO DE (N-K ETÁGIO pleenção de u codfcdor R (7, ; descro pelo polnôo g( presendo n Equção., requer u cde de regsrdores de desloceno confore osrdo n Fgur.. Chve Enrd Chve íd Fgur. - Codfcdor co regsrdores de desloceno pr o códgo R (7,. ss coo no cso bnáro, no codfcdor d Fgur., o núero de eságos do regsrdor de desloceno é gul (n-k. Enreno, enquno no cso bnáro cd eságo rzen b, no codfcdor R, cd eságo rzen síbolo. No cso específco do codfcdor pr o códgo R (7, ; cd eságo rzen enão bs. Noe que no cso bnáro, cd ero do polnôo gerdor er represendo por usênc ou presenç d conexão de relenção pr cd eságo, correspondenes os coefcenes "s" e "s", respecvene. Nos codfcdores R, odos os eros do polnôo são represendos por conexões de relenção que são ulplcds pelos respecvos síbolos coefcenes. _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.

13 . Códgos Reed-oloon O processo de codfcção é slr o cso bnáro e se dá d segune for:. Inclene Chve esá fechd, perndo o crregeno d ensge no regsrdor de desloceno de (n-k eságos.. o eso epo Chve esá fechd pr bxo durne os preros k cclos de clock f de perr rnsferênc sulâne dos síbolos de ensge dreene pr síd do codfcdor.. pós rnsferênc dos k síbolos de ensge pr síd do codfcdor, Chve é ber e Chve é fechd pr c.. Os (n-k cclos de clock resnes desloc os síbolos de prdde pr for do regsrdor de desloceno.. O núero ol de cclos de clock é gul n e n síd do codfcdor obé-se plvr códgo polnol p( n-k (, onde p( represen os síbolos de prdde, e ( os síbolos de ensge n for polnol. Exeplo.: Consdere seqüênc ensge (. Fç codfcção sseác d ensge co u códgo R (7,, usndo o codfcdor d Fgur., osrndo cd cclo de clock síd e o coneúdo do regsrdor de desloceno. olução: Fl de enrd Cclos clock Coneúdo dos regsrdores Relenção Fl de síd N for polnol fl de síd pode ser escr coo: c( n u n n (.9b ou, ( ( ( ( ( ( ( _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.

14 . Códgos Reed-oloon Noe que no processo de codfcção s operções de dção e ulplcção deve resper s Tbels. e., respecvene. * * * s rízes do polnôo gerdor g( deve ser bé rízes d plvr códgo gerd por g(, porque u plvr váld é c ( ( g( (. Porno, u plvr códgo rbrár qundo clculd pr qulquer rz de g(, deve resulr e zero, ou sej, c( c( c( c(. O polnôo códgo presendo n Equção.9 resul e zero qundo clculdo pr qulquer rz de g(, confore osrdo segur, pr cd u ds rízes. c( 9 8 c( c( c( _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.

15 . Códgos Reed-oloon.. DECODIFICÇÃO R Pr u códgo R o pdrão de erro pode ser descro n for polnol coo: n e( e. (. Pr u códgo R (7,, Equção. orn-se: e( e e e e e e e e gor, ssu que durne u rnsssão o polnôo códgo represendo pel Equção.9 enh sdo corropdo por ruído e síbolos for recebdos co erro, de cordo co o pdrão de duplo erro presendo segur. e( (. Ou ( ( ( ( ( ( (. Iso é, ( nroduz b errdo no síbolo d posção e ( nroduz bs errdos no síbolo d posção. Conseqüeneene, o polnôo códgo pode ser obdo prr de: r( c( e( (. que resul e c( e( r( (. Nese exeplo exse quro ncógns: dus posções de erro e dos vlores errdos. Noe que dferenç fundenl enre codfcção bnár e não bnár é que n prer bs denfcr s posções de erro e nverer os bs, enquno que n segund lé de denfcr s posção dos síbolos errdos é necessáro subsur o síbolo errdo pelo síbolo correo, que é u eleeno do cpo GF(. U vez que exse quro ncógns nese exeplo, são necessárs quro equções pr su solução _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.

16 . Códgos Reed-oloon... CÁLCULO D ÍNDROME Pr o códgo R (7, qu consderdo, cd veor síndroe possu quro síbolos. Confore já presendo, s rízes de g( bé são rízes de c(, ou sej, qundo c( é clculdo pr s rízes de g(, os vlores resulnes são gus zero. Qulquer erro nroduzdo e u polnôo códgo resulrá e u polnôo que não erá s ess rízes de g(. Des for síndroe,, pode ser deernd clculndo-se r( pr s rízes de g(, ou sej, r( ; (. r( ;, L, n k e r( não conver erros enão cd u ds síndroes será gul zero. Pr o polnôo recebdo r( presendo n Equção. os quro síbolos d síndroe são: Exeplo.: Mosre que s síndroes do pdrão de erro represendo pel Equção. são gus às síndroes clculds pr o polnôo recebdo represendo pel Equção.. olução: r( ; r( ;, L, n k [c( e( ]; [c( e( ] e( e( _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.

17 . Códgos Reed-oloon D Equção.: ss: e( e( e( e( 9 e( Eses resuldos confr que s síndroes de e( e r(, qundo clculds pr s rízes de g(, são exene s ess. * * *... LOCLIZÇÃO DE ERRO De cordo co Equção., pr odo e, enão exse n posção u erro cujo vlor é e. Isso pode ser observdo por eo d Equção., reped segur por convenênc, que osr clrene os vlores dos erros e sus posções. e( e( Noe que exse dos erros: u n posção e ouro n posção, cujos vlores são respecvene e. ss, pr corrgr u plvr recebd, cd vlor de erro e e su loclzção, deve ser deernd. Confore defndo e deonsrdo nerorene, s síndroes pode ser deernds no prr do polnôo recebdo quno por eo do polnôo de erro. Des for, pode-se generlzr o sse de equções que deern os vlores d síndroe fzendo: r( e r( r( e L e e ( e ( e ( M e ( n n L e n L e ( n n ( n (. _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.7

18 . Códgos Reed-oloon _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.8 Nese sse de equções exse ncógns ( vlores de erros e posções de erros, e equções sulânes que não pode ser resolvds pel for usul por sere não lner. Qulquer écnc que resolv ese sse de equções é u lgoro de decodfcção Reed- oloon. Qundo u veor síndroe dferene de zero é clculdo, sgnfc que u erro fo recebdo. Inclene é necessáro deernr posção do erro ou erros. Isso pode ser feo por eo de u polnôo loclzdor de erros pode ser defndo coo: ( L (.7 Os recíprocos ds rízes de ( revel s posções de erros do pdrão de erro e(. Enão usndo écnc de odelge uo-regressv, pode-se forr u rz prr ds síndroes, onde s prers síndroes são ulzds pr deernr s próxs síndroes. Iso é, - M M L L M L L. (.8 plc-se o odelo uo-regressvo d Equção.8 pelo uso d rz de or densão que e deernne não nulo. Pr o códgo R (7, que esá sendo consderdo qu, es rz é u rz, e o odelo é escro coo (.9 (. Confore presendo no nexo., no fnl dese cpíulo, o nverso de u rz dgonl é rz ford pelo nverso de seus eleenos. Porno, (. Verfcção: e nversão fo fe correene, enão ulplcção d rz orgnl pel rz nverd deve resulr e u rz dendde. (.

19 . Códgos Reed-oloon _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.9 ubsundo enão o resuldo de (. e (. e efeundo ulplcção, obé-se. (. ubsundo gor os resuldos de (. e (.7, obé-se: (. (. Coo s rízes de ( são os recíprocos ds posções de erros, o próxo psso é deernção ds rízes de (.. Isso pode ser feo por eo de eses exusvos do polnôo (, co cd u dos eleenos do cpo, confore osrdo segur. Qulquer eleeno que resul e ( é u rz, e pere loclzr u erro. 8 ( ( ( ( ( ( ( De cordo co esses resuldos verfc-se que ( possu coo rízes os eleenos de cpo e. s posções de erros são revelds pelo recíproco ds rízes enconrds. Ou sej, Posção Posção. Conseqüeneene, o polnôo pdrão de erro já pode ser escro co s posções de erros revelds, so é: ( ê e e. (. onde ê( deno o polnôo de erro esdo. Noe que dus ds quro ncógns for deernds, ou sej, s dus posções de erros. Res gor deernr s ours dus ncógns que são os vlores dos erros.

20 . Códgos Reed-oloon... VLORE DO ERRO Pr deernção dos vlores dos erros e e e qusquer dus ds quro equções de síndroe pode ser usds. De (. pr s síndroes e obé-se: Escrevendo s equções c n for rcl, obé-se: r( e e. (. r( e e e e (.7 que pode ser reescr coo e e (.8 f de fclr deernção dos vlores de e e de e. gor rz ser nverd não é u rz dgonl e requer u solução u pouco s rblhos, confore presendo no nexo., ou sej, pr u rz [] o seu nverso pode ser deerndo coo: Inv[ ] [ cofor[ ] ] de[ ] T Inv cofor de T T Verfcção: e nversão fo fe correene, enão ulplcção d rz orgnl pel rz nverd deve resulr e u rz dendde. Resolvendo (.8 pr os vlores de erros, obé-se: _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.

21 . Códgos Reed-oloon e e (.9 Fnlene, o polnôo pdrão de erro pode ser escro co s posções de erros e os vlores dos erros defndos, so é: ê(. (.... CORREÇÃO DO POLINÔMIO RECEBIDO COM O POLINÔMIO DE ERRO ETIMDO O polnôo rnsdo esdo é obdo fzendo: ĉ( r( ê( ĉ( e( ê( (. r( ê( ĉ ( (. U vez que os síbolos ensge consue os k síbolos s dre do polnôo, enão ensge decodfcd é (. * * * _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.

22 . Códgos Reed-oloon.. EERCÍCIO. Desej-se ober u códgo Reed-oloon (n, k prvo prr de u GF( co cpcdde de correção gul síbolos. Pergun-se: Qus são os vlores de n e de k pr ese códgo? b Qul é o gru do polnôo gerdor pr ese códgo?. Consdere u Códgo R (7, 97. Respond: Qul é cpcdde de correção de síbolos dese códgo? b Qul é o or copreno d rjd de bs que pode ser corrgd pelo códgo? c Qul é o gru do polnôo gerdor dese códgo?. Consdere u Códgo Reed-oloon (,. Respond: Qunos são os bs por síbolo do códgo? b Qul é o copreno do bloco e bs? c Qunos síbolos errdos pode ser corrgdos? d Qul é or copreno de rjd de erros que pode ser corrgd?. Consdere o cpo de Glos GF( gerdo por p( presendo n bel segur. Enconre os polnôos gerdores pr os códgos: R (,. R (,. b R (, 9. c R (, 7. Represenção por poênc Represenção polnol Represenção por poênc Represenção polnol _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.

23 . Códgos Reed-oloon. Consdere o Cpo de Glos gerdo prr do polnôo prvo p( presendo segur. Pede-se: Obenh o polnôo gerdor pr o códgo R (7, b Codfque ensge, onde o b s sgnfcvo é o b s dre. Represenção por poênc Represenção polnol Represenção por poênc Represenção polnol. Consdere o códgo Reed-oloon (7, gerdo prr de cpo presendo segur. Pede-se: Codfcr ensge (. b Clcule s síndroes pr o veor recebdo r(. c Decodfque o polnôo recebdo presendo n quesão "b". Represenção por poênc Represenção polnol Represenção por poênc Represenção polnol * * *.. REFERÊNCI BIBLIOGRÁFIC [] KLR, B., Dgl Councons: Fundenls nd pplcons nd ed., PTR Prence Hll, Upper ddle Rver, NJ,. 79 p. _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.

24 . Códgos Reed-oloon NEO. - OPERÇÕE ELEMENTRE COM MTRIZE MULTIPLICÇÃO DE MTRIZE Consdere u rz co densões n e u rz B co densões r p. O produo C B (nes orde é defndo se e soene se r n, ou sej, o núero de coluns d rz deve ser gul o núero de lnhs d rz B. O produo é enão u rz p defnd coo u rz C obd confore osrdo segur. b b B b b b b b b b b b b C B b b b b b b (. b b b b b b Exeplo : 7 9 B C B C Cuddo! Gerlene ulplcção de rzes não é couv, ou sej, B B. DETERMINNTE DE EGUND ORDEM U deernne de segund orde é represendo e defndo por D de. (. Exeplo : D de. _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.

25 . Códgos Reed-oloon DETERMINNTE DE TERCEIR ORDEM Consdere rz presend segur. U deernne de ercer orde pode ser defndo por: D de (. Noe que os sns dos eros, e são, respecvene, -. lé dsso, os deernnes de segund orde que ulplc os eros, e são obdos prr ds rzes enores pr os respecvos eros. rz enor pr u ero jl é quel que resul do pgeno d lnh j e d colun l, confore osrdo segur. Exeplo : de ( de ( ( ( ( _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.

26 . Códgos Reed-oloon INVERÃO DE UM MTRIZ DIGONL rz nvers de u rz dgonl é rz cujos eleenos são os nversos dos eleenos d rz que se desej nverer. Ou sej: / / (. / Exeplo :,, Verfcção: e u rz fo nverd correene, enão. - é gul u rz dendde.,,, ( (, INVERÃO DE UM MTRIZ NÃO INGULR Consdere rz u nvers é (. de Exeplo : ( 7 / 7 / 7 / 7 / 7 Verfcção: e u rz fo nverd correene, enão. - é gul u rz dendde. / 7 / 7 / 7 / 7 ( ( / 7 / 7 / 7 ( / 7 / 7 ( / 7 / 7 / 7 _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.

27 . Códgos Reed-oloon INVERÃO DE UM MTRIZ DE TERCEIR ORDEM OU MIOR Pode-se nverer u rz de orde qulquer por eo de seu deernne e de su rz de cofores, de cordo co segune expressão: de [ cofor ] T. (. Os cofores d rz são os deernnes ds rzes enores pr cd eleeno d rz. Pr lusrr consrução d rz de cofores, consdere rz de ercer orde e represenção de su rz de cofores presends segur e. cofor (.7 Os eleenos,,..., são os deernnes de cd u ds rzes enores pr cd eleeno,,...,, confore osrdo segur. (.8 Exeplo : de [ cofor[ ] ] [ ] T de [ ] ( ( de [ ] ( ( [ ( ] de [ ] ( ( 7 _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.7

28 . Códgos Reed-oloon cofor [ ] [ cofor[ ] ] T ,7,,,,8, 7,,7, * * * REFERÊNCI BIBLIOGRÁFIC DO NEO. KREYZIG, E., dvnced Engneerng Mhecs - 7 h ed., John Wley & ons, ngpore, 99. _Reed-oloon_V - Gerldo Gl R. Goes.8