Suponha que X tem distribuição Beta com parâmetros a e b. Mostre que Y = 1- X tem distribuição Beta com parâmetros b e a.

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1 ENCE CÁLCULO DE PROBABILIDADE II Seesre 9. Prof. Monic Brros Lis de exercícios soluções Proble Suponh que X e disribuição Be co prâeros e b. Mosre que Y - X e disribuição Be co prâeros b e. Noe que X é definid no inervlo (,) e porno Y bé é. A função Y X é injeor, e podeos plicr o éodo do Jcobino. x - dx/d - J dx/d + ( + b) ( ) ( ) ( ) b Γ( + b) Γ b Γ( ) Γ( b) Γ b g ( ) ( ) que é densidde Be(b,) Γ Proble A densidde Weibull é freqüeneene usd pr odelr durção de sises elerônicos, e é dd por: x x exp se x > f ( x) do conrário onde e são consnes posiivs. ) Ache densidde de Y X b) Enconre E(X ) pr odo ineiro posiivo. Dic: Função G Γ λ λ onde λ ( ) e d ) Coo x >, função Y X é injeor pr qulquer > e ssi podeos usr o éodo do jcobino. Enão X (Y) / e dx(/)() (/)- d e densidde de é: g / ( ). ( ) exp. exp

2 ou sej, Y é Exponencil co édi. b) ( ) ( ) / / d e E Y Y E X E Fç udnç de vriáveis / e enão. e dd/. Logo: ( ) ( ) ( ) ( ) + Γ... / d e d e E Y X E Por exeplo, se : E(X) + Γ Se E(X ) + Γ Ec... Proble 3 Sej X u v.. conínu co densidde: 3 ) ( 4 > x x x f Enconre densidde de Y /X. A função invers é: x / dx/d -/ J dx/d +/ Noe que, coo X >, qundo X ende infinio, Y ende zero, e se X ende, Y bé ende. Logo, o doínio d densidde de Y é (,). se 3 3. ) ( 4 < < g

3 3 Proble 4 Sej X u v.. conínu que ede o preço por inuo (e cenvos) de chds originds de celulr nu cero plno. c f ( x) x,3 5 x ( ) Sej Y o volue de inuos fldo (consuido) por u usuário por ês, e suponh que: Y ( 3) X ) Enconre consne que fz de f(x) u densidde. b) Enconre densidde de Y. ) A consne que define densidde pode ser enconrd rvés de: 3 c c 3 c c dx x 4x 4 (3) () 4 () (3) c 8 c c c () 8() 8() 8 8 c 45 b) função que relcion X e Y é injeor, porno podeos usr o éodo do Jcobino. A rnsforção invers é: ( ) ( ) ( ) /5 X X Y ( Y ) /5 X Y Y X X 5 5 ( Y ) Noe que o inervlo de vlores possíveis pr Y é (, 343). A derivd d função invers é: dx 6/5 6 3 ( ) d 5 ( ) Noe que o Jcobino é negivo, e porno deveos uilizr seu ódulo. 6/5

4 ( Y ) 6 g( ) 5 6/5 5 6/5 3 ( Y ) 3 ( Y ) Y 43 onde < < /5 3 ( Y ) ( ) Proble 5 Sej X u v.. conínu co densidde: f ( x). x.exp( x ) onde x > Mosre que densidde de Y X é Exponencil co prâero. Podeos usr o éodo do Jcobino pois n região x > função Y X é injeor. A rnsforção invers é: x / dx d g( ). e. e pr > Ou sej, Y é u vriável Exponencil co édi. Proble 6 O epo édio de esper é que su ligção sej endid por u cenrl de endieno é u vriável Exponencil co édi 3 inuos. Dus pessos esper, de neir independene, pr sere endids pel es cenrl. Sej T o epo ol de esper ds dus pessos, ou sej, so dos epos de esper individuis. Usndo fórul d convolução enconre densidde de T e clcule: ) A probbilidde do epo ol de esper ulrpssr 6 inuos. ) A probbilidde do epo ol de esper ser enor que 4 inuos. Dic:

5 b ( ). b x e. b + x. e dx 5 X epo de esper d. pesso, é Exponencil co édi 3 inuos, iso é, λ /3. X é o epo de esper d. pesso, que é independene de X e e es densidde. T X + X é o epo ol de esper. Pel fórul d convolução, densidde de T é: g( ) f ( x ). f ( x ) dx e. e dx e dx / 3 g( ). e onde > 9 / 3 ( ) / 3 x x /3 6 /3 /3 Pr( T > 6). e d. e d /3 e ( + 6 / 3) ) { 9 3. e } 9 (/ 3) 9 e + e ) 4 /3 T e d Pr( < 4). 9 4/3 4/3 e ( + 4 / 3) 7e 9 9 (/ 3) 9 3 4/3 7e Proble 7 O núero de clienes que enr nu loj nu di qulquer é u vriável Poisson co édi. A qunidde de dinheiro gs por u cliene é u vriável Unifore(,5). Enconre édi e vriânci d qunidde de dinheiro que loj fur nu di qulquer. Sej T qunidde ol de dinheiro furd pel loj nu di

6 T N X i i 6 onde X i é qunidde de dinheiro gs pelo i-ésio cliene e N (u vriável leóri Poisson) é o núero de clienes que enr n loj nquele di. Vos supor que os X i s são odos iid Unifore(,5). Enão, T é u so de u núero leório de vriáveis leóris. Já vios (vide ul 5) que: N E( T ) E E X i N E i N VAR( T ) VAR X i E VAR ( N. E( X )) E( N). E( X ) ( ( T N ) E VAR ( N. VAR( X )) + { E( X )}. VAR( N) ( X ). E( N) + { E( X )}. VAR( N) i + VAR( E( T N)) Assi, já que os X i s são odos iid Unifore(,5), E(X) 75 e VAR(X) (5) /. Tbé, coo N é Poisson(), E(N) VAR(N). Logo: E(T) (75) 75 e VAR(T) (5)./ + (75) 75 Logo, o desvio pdrão de T é, proxindene, TEOREMA Sej U u vriável Unifore(,). Sej X F - (U). Enão X e função de disribuição F, ou sej, Pr(X x) F(x) DEMONSTRAÇÃO Pr(X x) Pr(F - (U) x) Pr( U F(x)) F(x) pois U é Unif(,) e su função de disribuição é pens: Pr( U u) u desde que < u <. Ese eore é uio iporne n práic, pois nos perie siulr vriáveis leóris co u função de disribuição F(x) (e densidde f(x) df/dx) prir de vriáveis Unif(,), que esão disponíveis n iori dos sofwres e lingugens de progrção.

7 7 Noe que rnsforção X (-/l).ln(u) pr gerr u vriável Exponencil(l) pode ser inerpred exene nese conexo. Proble 8 Sej f(x).x --- pr x, onde é u prâero posiivo. ) Use o eore nerior pr osrr coo podeos gerr u v.. X co es densidde prir de u v.. Unifore(,). b) Gere v.. Unifore(,) no Excel. Use rnsforção do ie ) co prâero e fç o hisogr ds vriáveis gerds pelo processo. O hisogr e o eso speco d densidde eóric? c) Clcule, pr densidde co prâero, Pr( < X < ) e clcule epiricene es probbilidde, conndo quns ds vriáveis gerds, ce no inervlo (,). d) Repi o ie c) pr Pr( < X < 3). e) Nos iens c) e d), clcule o erro d proxição por usr os ddos siuldos o invés d probbilidde rel coo: ERRO _ % prob_rel - prob_proxid prob_rel O erro ds proxições é uio grnde e c) e d)? ) A função de disribuição cuuld de X é, pr qulquer : F( ) x x dx. x + Fç U F(X) -(/X ) e enão: X F - (U) /X - U X /(-U) /(-U) / Es úli é rnsforção que deve ser plicd u vriável Unif(,) pr gerr X co densidde indicd. b) Se, densidde de X é f(x) /x 3 pr x. A rnsforção pr gerr vriáveis leóris prir d Unifore(,) é: X /(-U) / onde U é Unif(,).

8 8 Hisogr - proble 8 - ie b 8 Frequênci More Inervlo c) A probbilidde rel Pr( < X < ) é pens F() pr es densidde, ou sej: 3 F ( ) x dx 3 4 Podeos clculr epiricene prir dos vlores gerdos es probbilidde, bs conr qunos deles são <. Usndo função CONT.SE do Excel econros (nes siulção) 495 dos vlores no inervlo (, ]. Porno, probbilidde desejd é proxidene 495/ d) A probbilidde verddeir é gor: 3 3 F ( 3) x dx Su esiiv prir dos ddos siuldos é novene obid pel função CONT.SE, que pon 778 vlores < 3. Logo, probbilidde esid é proxidene 778/ O erro percenul d proxição o esir Pr(< X< ) é, nese cso: ( )/.75.57% O erro percenul d proxição o esir Pr(< X< 3) é, nese cso: (8/9.8854)/(8/9).39% Proble 9 Considere densidde Weibull do proble (e os resuldos do proble ). Coo você poderi usr u v.. Unif(,) pr gerr u v.. Weibull?

9 9 Pelos resuldos do proble : Y X é Expo(/). Logo, podeos fcilene gerr Y prir de u v.. Unifore(,). N verdde: Y -.ln(u) e enão X -.ln(u) e ssi X (-.ln(u)) /. Proble Sej X u vriável Unifore(-,). Mosre que Y X é Unifore (,). A função que relcion X e Y não é injeor e ssi não podeos usr o éodo do jcobino, eos que usr o éodo d função de disribuição. A função de disribuição de Y é G() Pr(Y ) Pr( X ) Pr( - X +) F() F(-), onde F(.) é função de disribuição cuuld de X. Ms, que é F? Ds proprieddes de u v.. Unifore sbeos que: se x < - x - (-) x + F ( x) ( ) se x > + se - x + Enão, olhndo só pr pre que ineress (denro do inervlo [-,+]) eos: G ( ) pr Es é função de disribuição cuuld de u v.. Unif(,). Logo, Y é Unifore(,). Proble A velocidde de u olécul de gás é u vriável leóri conínu V co densidde dd por: f ( v). v. e bv,onde b é u consne que depende do gás e v > Onde > é u consne deerind prir do fo de f(v) inegrr no inervlo (, + ). Sej Z energi cinéic d olécul de gás, dd por:

10 V Z Enconre densidde de Z (você pode usr o éodo do Jcobino ou o d função de disribuição) Coo V é posiiv, rnsforção que relcion V e Z é injeor. A rnsforção invers é: V Z dv dz Z Z A densidde de Z é: z b(z) g( z) exp z bs cerr os prâeros. bz z / / e, ou sej, é u densidde G, 3 Proble A durção (Y) de coponenes elerônicos é às vezes odeld pel densidde Rleigh, osrd seguir. f ( ) exp onde > Enconre densidde de U Y. Use o resuldo ci pr chr édi e vriânci de U. θ Noe que função que relcion Y e U é injeor pois >. A densidde de U é: θ u u u u u g ( u) exp. exp.exp pr u > θ θ u θ θ u θ θ Enão U é Exponencil co édi θ.

11 Proble 3 Sej Y o núero de clienes que enr nu loj de roups nu shopping nu di. Y é u v.. Poisson co édi M onde M é, por su vez, u v.. G, pois depende de coiss coo: loclizção do shopping, ividde econôic do pís, rend do consuidor, ec... Suponh que, nu deerind loclidde, M sej u vriável G co édi 6 e desvio pdrão 8. ) Clcule função de probbilidde rginl de Y. b) Clcule densidde condicionl de M ddo Y. Suponh gor que, nour loclidde, M é u vriável G co édi 6 e desvio pdrão 4. c) Clcule função de probbilidde rginl de Y. d) Clcule densidde condicionl de M ddo Y. e) Fç os gráficos ds densiddes de M nos dois csos presendos. Ese é bsicene o exeplo 4 d ul 7. O prieiro psso é descobrir quis os prâeros ds densiddes G que esão sendo encionds no proble. Nos iens ) e b), M é G co édi 6 e desvio pdrão 8 (vriânci 64). Sej e b os prâeros des densidde. Enão: 6 b b b b b Enão / ( 6) 64 64b 6 b 6 / 64 / 4.5 D ul 7 segue que função de probbilidde rginl de Y é:

12 f Y b ( ) Pr( Y )! Γ( ) b! Γ( ) b + b! Γ( ) b + b! Γ( ) b Γ e ( ) d b + + e ( + ) u + d e b Γ! Γ( ) ( b+ ) u du ( + ) + ( b + ) E subsiuindo os vlores de e b ci lev : f Y ( ) Pr( Y 56 ( )( 6) )! Γ( ) ( + 3)( + )( + ) 4 6(65) 5 b Γ ( + ) ( b + ) + ( + 3)( + )( + )! 4! 5 pr,,,3,... 4 ( / 4) Γ( + 4) + 4! Γ(4) ( 5/ 4) ( 56)( 6) ( + 3)! 4! O gráfico des função de probbilidde pr,,..., 6 é osrdo seguir. Proble 3 - ie - Função de Probbilidde Mrginl de Y (pr,,, 6) Pr(Y) ie b) A densidde condicionl de M ddo Y é, pelos resuldos d ul 7, G( +, b+). Ou sej, nese cso, M ddo Y é G(+4, 5/4).

13 c) Novene o prieiro psso é enconrr os prâeros que define densidde G. Anlogene o ie ): M é G co édi 6 e desvio pdrão 4 (vriânci 6). Sej e b os prâeros des densidde. Enão: 6 b 6 6 b b b b Enão 6 6 ( 6) 6 b Logo, M e u G( 6, b ) nese cso. f Y pr,,,3,... ( + ) ( b + ) ( + 6) ( + 5)! + 6 (6)( )! 5! ( ) b Γ Γ ( ) Pr( Y ) + 6! Γ( )! Γ + O gráfico des função de probbilidde é 3 Proble 3 - ie c - Função de Probbilidde Mrginl de Y (pr,,, 6) Pr(Y) ie c d) A densidde condicionl de M ddo Y é, pelos resuldos d ul 7, G( +, b+). Ou sej, nese cso, M ddo Y é G(+6, ). e) Os gráficos ds ds densiddes G(4,.5) e G(6,) são osrdos seguir:

14 4 Densiddes G(4,.5) e G(6,) G(4,.5) G(6,) Proble 4 Considere o proble nerior. Suponh ind que, ddo M, Y é Poisson(), s gor M é u vriável DISCRETA co seguine função de probbilidde: Pr(M) ) Qul função de probbilidde rginl de Y? b) Qul função de probbilidde condicionl de M ddo Y? Vej o exeplo inicil d ul 8.

15 Pr conseguir escrever de neir proprid conjun de M e Y e, e seguid, clculr o que foi pedido no proble, é ineressne lebrr noção de indicdores: 5 () I A se A se A Enão podeos escrever função de probbilidde de M coo: f M ( ).4. I +.3I +.I +. I { } { 3} { 4} { 5} Logo, função de probbilidde conjun de Y e M é dd por: f (, ) f ( ). f ( ) f (, ).4I { } pr,,,3,...e,3,4,5 M e ( ) e ( 3) e ( 4) e ( 5)! +.3I { 3}! +.I { 4}! +.I { 5}! A rginl de Y é so des conjun pr odo, ou sej, é so ponderd dess Poissons pr os 4 vlores possíveis de M. Seu gráfico esá seguir: Proble 4 - Função de Probbilidde Mrginl de Y Mrginl de Y

16 6 A bel conendo lgus probbiliddes clculds pr es rginl esá seguir. Poisson() Poisson(3) Poisson(4) Poisson(5) Mrginl de Y b) função de probbilidde condicionl de M ddo Y? Noe que função de probbilidde desejd explicirá s probbiliddes de M, 3, 4, 5 pós observr Y. El é pens conjun dividid pel rginl de Y. Por exeplo: f ( Y ) e.4.4e ( ) ( ) e ( 3) e ( 4) e ( 5)! +.3.4e!!.4e ( ) ( ) 3( ) 4.3e 3.e ( 4) e ( 5) +.! +.! Anlogene: f (3 Y ).4e 3.3e ( 3) ( ) 3 ( ) 4.3e 3.e ( 4) e ( 5) f (4 Y ).4e 4.e ( 4) ( ) 3 ( ) 4.3e 3.e ( 4) e ( 5) f (5 Y ).4e 5.e ( 5) ( ) 3( ) 4.3e 3.e ( 4) e ( 5)

17 Inuiivene, o vlor observdo de Y fornece inforções sobre M. Assi, se inicilene (se observr Y ), crediávos que função de probbilidde de M er indicd ci, es crenç udrá de cordo co os vlores observdos de Y. Por exeplo, se observos Y : Pr(M Y) Se observos Y 4: Pr(M Y) Se observos Y 8: Pr(M Y) Verifique os vlores enconrdos ns bels neriores e clcule s funções de probbilidde condicionis pr ouros vlores de. 7 Proble 5 Sej X u vriável N(µ, σ ). Ache densidde de Y e X. Y é u vriável LOGNORMAL. A densidde de X é: ( x µ ) f ( x) exp pr \R, x \R e µ σ πσ σ > Sej Y exp(x). Noe que Y >. Es rnsforção é injeor e su invers é X ln(y). dx/d d(ln())/d / > é o jcobino d rnsforção. A densidde de Y é: ( ln µ ) g( ) exp πσ σ pr >

18 8 Proble 6 Sej X u vriável Exponencil(λ). Ache densidde de Y cx, onde c é u consne posiiv. Abos X e Y são definidos nos reis posiivos. A rnsforção que os relcion é injeor e su invers é x /c e enão dx/d /c. A densidde de Y é: λ c λ c λ g( ) λ. e e, ou sej, Y e densidde Exponencil co prâero (λ/c). c c