O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM E O MÁXIMO DIVISOR COMUM GENERALIZADOS

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1 O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM E O MÁXIMO DIVISOR COMUM GENERALIZADOS Cydaa C. Ripoll, Jaime B. Ripoll, Alvei A. Sant Ana 1 Intodução Na disciplina Tecnologia de Infomação e Comunicação em Educação Matemática do Mestado Po ssionalizante em Ensino de Matemática da UFRGS, os alunos foam solicitados a exploa o pogama GaphEquation, e lá calculaam o mínimo múltiplo comum ente númeos eais, obtendo, po exemplo 1, 1 lcm 2 ; 3 = : (1) Paalelamente, na disciplina de Fundamentos de Matemática B, lhes ea dito que o mínimo múltiplo comum ente dois acionais (ou eais) pode se sempe tomado igual a 1, simplesmente poque Q (ou R) é um copo. Estas duas infomações geaam, natualmente, uma confusão ente os alunos, ocasionando um debate ente estes e seus pofessoes. Consideando a polêmica ensejada po esta discussão, bem como cetas questões levantadas como, po exemplo, a da utilidade da noção do mmc ente eais, escevemos o pesente tabalho, com os seguintes objetivos: i) esclaece em que sentido as duas a mações acima estão coetas; ii) aboda questão simila com elação ao máximo diviso comum; iii) apesenta exemplos de aplicações paa o máximo diviso comum e o mínimo múltiplo comum ente númeos eais. Começamos elembando os conceitos e algumas popiedades do mínimo múltiplo comum e do máximo diviso comum ente inteios. 1 lcm =least common multiple=mínimo múltiplo comum 1

2 De nição 1.1 Dizemos que um inteio v é múltiplo de um inteio u; ou que u é um diviso de v; se v = tu (2) paa algum inteio t: Dizemos que ` é múltiplo comum de dois inteios u e v se ` é múltiplo de u e de v: Finalmente, dizemos que M é o mínimo múltiplo comum ente u e v, e escevemos M = mmc(u; v); se: i) M > 0; ii) M é múltiplo comum de u e v; iii) M é o meno dos múltiplos comuns, no sentido de que se M 0 é um múltiplo comum de u e v e M 0 > 0 então M M 0 : De nição 1.2 Dados dois inteios u e v; dizemos que um natual D é o máximo diviso comum ente u e v, e escevemos D = mdc(u; v); se: i) D é um diviso comum de u e v, isto é, D é diviso tanto de u quanto de v; ii) D é o maio dos divisoes comuns, no sentido de que se D 0 é um diviso comum de u e v então D 0 D: Popiedades do mmc e do mdc: As povas das popiedades a segui podem se encontadas em [2]: 1. Sempe existem o mmc e o mdc ente dois inteios u e v. 2. Dados dois inteios u e v; tem-se 3. Paa quaisque inteios u; v; w; uv = mmc(u; v) mdc(u; v) (3) mmc(uw; vw) = jwjmmc(u; v) (4) e mdc(uw; vw) = jwjmdc(u; v) (5) Emboa as noções de mmc e de mdc sejam intoduzidas pincipalmente paa o estudo dos númeos inteios, elas admitem uma extensão paa paes de eais comensuáveis, como mostamos a segui. 2

3 2 Númeos eais comensuáveis, mmc e mdc genealizados A noção de comensuabilidade, histoicamente, foi intoduzida e utilizada como uma foma de compaa o tamanho de dois segmentos de eta: De nição 2.1 Dizemos que dois segmentos de eta são comensuáveis quando ambos podem se obtidos atavés de um númeo inteio de emendas de um mesmo segmento de eta: Os gegos da Antigüidade aceditaam, po muito tempo, que dois quaisque segmentos de eta eam sempe comensuáveis. Ente 450 e 400 a.c., contudo, povou-se que o segmento diagonal de um quadado não ea comensuável com o seu lado. Isto geou uma fote cise na Matemática gega, chamada Cise dos Incomensuáveis, que só foi esolvida depois de muitos anos de discussão, discussão esta que levou à fomulação pecisa do poblema da comensuabilidade em temos de medida de segmentos de etas e que se enceou com a ciação dos númeos eais absolutos. Emboa sendo um conceito geomético, a comensuabilidade pode se equivalentemente de nida como uma elação ente dois númeos eais quaisque: De nição 2.2 Dois númeos eais e s são comensuáveis se existem inteios não nulos m; n tais que Exemplos: m = ns: (6) 1. Dois acionais são sempe comensuáveis. 2. Dois iacionais podem se comensuáveis: po exemplo, p 2 e 2 p Dois eais quaisque nem sempe são comensuáveis: basta toma um acional e um iacional, mas também a maioia de paes de iacionais, como, po exemplo, p 2 e p 3: De fato, se existissem natuais m e n tais que m p 2 = n p 3 (7) então, elevando ao quadado a expessão acima, teíamos 2m 2 = 3n 2 : (8) 3

4 Consideando a fatoação em pimos de inteios, temos em (8) um absudo, pois é ímpa o númeo de vezes que o pimo 2 apaece na fatoação em pimos de 2m 2, enquanto que é pa o númeo de vezes que 2 apaece na fatoação em pimos de 3n 2. Assim, concluímos que não existem natuais m e n paa os quais (7) seja vedadeia. A noção de comensuabilidade de dois númeos eais motiva uma pimeia extensão da de nição de múltiplo e diviso, como segue: De nição 2.3 Dizemos que um númeo eal é um múltiplo inteio de um eal s; ou que s é um diviso inteio de ; se existe um inteio a tal que = as: Decoe das de nições de comensuabilidade e de múltiplo inteio de um eal o seguinte fato: Poposição 2.4 Sejam e s dois eais não nulos. As seguintes a mações são equivalentes: a) e s são comensuáveis; b) o quociente =s é um númeo acional; c) existe um eal t que é múltiplo inteio comum de e de s; d) existe um eal u que é diviso inteio comum de e de s: Pova. (a))(b): Se e s são comensuáveis então existem m; n 2 Z tais que m = ns: Conseqüentemente, s = n m 2 Q. (b))(c): Suponhamos que =s 2 Q, digamos, s = n m : então, multiplicando a igualdade acima po sm obtemos que t := m = ns é um múltiplo inteio comum de e de s: (c))(d): Seja t 2 R um múltiplo inteio comum de e de s; digamos, t = m = ns; com m; n 2 Z : Então o númeo u := n = s m 4

5 é um diviso inteio comum de e de s: (d))(a): Seja u um diviso inteio comum de e de s; digamos, = un e s = um;com m; n 2 Z : Então m = ns: Consideando a poposição anteio, cam natuais as seguintes de nições: De nição 2.5 Sejam e s dois eais comensuáveis não nulos. Dizemos que t é o mínimo múltiplo comum genealizado ente e s; e escevemos t = mmcg(; s); se: a) t > 0; b) t é um múltiplo inteio comum de e s; c) se t 0 é múltiplo inteio comum de e s e t> 0; então t t 0 : Dizemos que u é o máximo diviso comum genealizado ente e s; e escevemos u = mdcg(; s); se: a) u é um diviso inteio comum de e s b) se u 0 é diviso inteio comum de e de s então u 0 u: No teoema que segue obtemos uma fómula paa o mmcg e paa o mdcg ente dois eais comensuáveis quaisque. Teoema 2.6 Sejam e s dois eais comensuáveis não nulos. Então mmcg(; s) = jvj = jusj e mdcg(; s) = = s ; u v onde u=v é a foma iedutível do acional =s: Pova. Consideaemos aqui apenas o caso e s positivos. Obsevamos inicialmente que se a; b; c; d são inteios tais que a = bs e c = ds então b a = d c ; 5

6 e este númeo nada mais é do que o númeo =s: Assim, os menoes natuais a; b que satisfazem a = bs são claamente obtidos quando tomamos o numeado e o denominado da fação iedutível que epesenta o acional =s: Daí, pela De nição 2.5, se u=v é tal fação iedutível, mmcg(; s) = v = us e mdcg(; s) = u = s v ; o que completa a nossa pova. No caso de e s seem númeos acionais, as fómulas dadas no teoema acima podem se eescitas em temos das epesentações destes acionais em fações iedutíveis: Cooláio 2.7 Sejam ; s acionais não nulos e sejam a; b; c; d inteios tais que a=b e c=d são as epesentações paa e s; espectivamente, na foma de fação iedutível. Então mmcg(; s) = mmc(a; c) mdc(b; d) e mdcg(; s) = mdc(a; c) mmc(b; d) : (9) Pova. Novamente aqui povamos apenas paa o caso e s positivos. Como mdc(a; b) = 1 = mdc(b; d); temos onde a 0 = a mdc(a; c) ; b0 = s = a=b c=d = ad bc = a0 d 0 b 0 c ; 0 b mdc(b; d) ; c0 = c mdc(a; c) ; d0 = d mdc(b; d) : É clao então que a fação a 0 d 0 =b 0 c 0 é iedutível, e potanto, pelo Teoema 2.6, temos mmcg(; s) = b 0 c 0 = a b c b mdc(b; d) mdc(a; c) (3) mmc(a; c) = mdc(b; d) ; 6

7 e mdcg(; s) = o que completa a pova. (3) = = a mdc(a; c) a 0 d 0 b a mdc(a; c) mmc(b; d) ; mdc(b; d) d Obsevação 2.8 A hipótese na foma de fação iedutível no Cooláio 2.7 é impescindível, isto é, a fómula (9) quando aplicada a fações não iedutíveis não popociona necessaiamente o mmcg(; s) e o mdcg(; s); como nos mosta o exemplo a segui. Seja = 10=6 e s = 1=7 então e Exemplos: mmc(10;1) mdc(6;7) = 10 6= 5 = mmc(5;1) mdc(3;7) mdc(10;1) mmc(6;7) = = 1 21 = mdc(5;1) mmc(3;7) = mmcg(; s) = mdcg(; s) 1) Da obsevação acima obtemos mmcg 10; = mmcg 5 ; = 5: e mdcg 10; = mdcg 5 ; = mdc(5;1) = 1 : mmc(3;7) 21 2) mmcg 1 2 ; 3 4 = mmc(1;3) mdc(2;4) = 3 2 e mdcg 1 2 ; 3 4 = mdc(1;3) mmc(2;4) = 1 4 (note que este cálculo explica o valo encontado pelo GaphEquation (1)). 3) mmcg 1 2 ; 1 = mmc(1;1) mdc(2;1) = 1 e mdcg 1 2 ; 1 = mdc(1;1) mmc(2;1) = 1 2 : 4) mmcg 2; 1 = 2 e mdcg 2; 1 = 2= pois = 1 ; =3 =4 = 8 3 ; e então = 2 = 8 4 : 5) mmcg(16 p 3; 5 p 3) = 5 16 p 3 = 80 p 3: Mostamos agoa que as identidades (3), (4) e (5) se genealizam também paa mmcg e mdcg ente eais comensuáveis: Cooláio 2.9 Sejam e s dois eais não nulos comensuáveis. Então: i) s = mdcg(; s) mmcg(; s); ii) dado qualque eal não nulo c; temos ainda c e cs comensuáveis e mmcg(c; cs) = jcj mmcg(; s) mdcg(c; cs) = jcj mdcg(; s) 7

8 Pova. Consideaemos aqui apenas o caso c; e s positivos. Suponhamos que m; n são natuais não nulos tais que Daí temos de onde segue que s = n m e mdc(n; m) = 1: mmcg(; s) = m = ns e mdcg(; s) = n = s m ; mdcg(; s) mmcg(; s) = ns = s; n o que pova (i). Além disso, como temos c cs = n m ; mmcg(c; cs) = mc = c mmcg(; s) mdcg(c; cs) = c n = c mdcg(; s); o que pova (ii). O Cooláio a segui nos mosta que as popiedades acima nos pemitem calcula o mínimo múltiplo comum genealizado ente dois acionais de expansão decimal nita de uma foma mais ápida. Não é difícil se convence que este esultado também vale quando substituímos a base 10 de numeação po uma base b qualque. Cooláio 2.10 Se e s são dois númeos acionais que podem se epesentados po uma fação decimal, digamos, e se t k e t l então = u e s = v 10 k 10 l mmcg(; s) = mmc(10t ; 10 t s) e mdcg(; s) = mdc(10t ; 10 t s) 10 t 10 t 8

9 Pova. Imediata. Exemplo: No Exemplo 2 acima, podeíamos te calculado o mmcg da seguinte foma: 1 mmcg 2 ; 3 mmc(100 0:5; 100 0:75) = mmcg(0:5 ; 0:75) = = mmc(50; 75) 100 = = Divisibilidade em anéis Relembamos que um anel é um conjunto munido de duas opeações que satisfazem cetas popiedades. Paa a de nição pecisa indicamos [3]. De nição 3.1 Seja A um anel. Dados a; b 2 A; dizemos que a é múltiplo de b; ou que b é um diviso de a; se a = tb paa algum t 2 A: Exemplos: 1) Se A = Z, então a de nição acima coincide com a De nição ) Se A é o anel de polinômios com coe cientes eais, então o polinômio 3X 3 + 4X 2 + 3X + 4 é múltiplo de X 2 + 1; pois 3X 3 + 4X 2 + 3X + 4 = (X 2 + 1)(3X + 4): 3) Se A é o anel dos inteios de Gauss Z[i] = fa + bi j a; b 2 Zg; então (1 + 2i) é diviso de 5; pois (1 + 2i)(1 2i) = 5: Note que, no caso em que o anel A é até um copo (ou seja, todo elemento não nulo de A tem inveso multiplicativo), como Q ou R po exemplo, todo elemento não nulo a de A é diviso de 1, pois 1 = a(a 1 ); e potanto 1 é múltiplo comum a quaisque dois elementos não nulos de A. Mais até: num copo, quaisque elementos não nulos a; b; c satisfazem a 9

10 popiedade de que qualque um deles é um multiplo comum e também um diviso comum dos demais. Po exemplo, e b(b 1 c) = c = a(a 1 c) b = c(c 1 b) e a = c(c 1 a): Potanto, não faz sentido fala em mmc e mdc em copos, se pensamos em múltiplos e divisoes como dados pela De nição 3.1, cando assim justi cada a segunda a mação feita na intodução deste tabalho. 4 Voltando à motivação deste tabalho As justi cativas paa as duas a mações mencionadas na Intodução foam explicadas po duas genealizações difeentes da idéia de múltiplo e de diviso de inteios (compae as De nições 1.1, 2.3 e 3.1). Tais genealizações dependeam da maneia como encaamos o poduto na igualdade (2): po um lado, concentando-nos na soma de inteios, v = tu signi ca, supondo t > 0; que v = u + ::: + u {z } t vezes (paa t < 0 encaamos tu como a soma de t pacelas iguais a u ); po outo lado, concentando-nos no poduto de inteios, v = tu signi ca que v é o poduto de dois elementos do anel Z. A pimeia maneia de encaa a igualdade (2) nos pemite considea a idéia de múltiplo inteio em qualque conjunto que possua a estutua de Z módulo. Já a segunda maneia nos pemite considea a idéia de múltiplo e diviso em qualque conjunto que possua a estutua de anel. Assim, as duas a mações do início deste tabalho, que foam apesentadas aos alunos em contextos distintos, estão coetas. No entanto, a simples nomenclatua lcm (mínimo múltiplo comum) utilizada pelo GaphEquation em luga de glcm - Mínimo Múltiplo Comum Genealizado é que causou, ao nosso ve, a maio confusão po pate dos alunos, pois não popocionou a e exão sobe o assunto. O temo genealizado, se utilizado, 10

11 teia instigado o aluno a e eti: Po que genealizado? Como o conceito tadicional de mmc ente inteios está sendo genealizado?. Antes de passamos às aplicações, um último comentáio sobe a utilização da nomenclatua mínimo múltiplo comum : é comum nos depaamos no Ensino Médio com cálculos do tipo 3 2 p p 3 = 6 p p 2 4 p 6 (10) e, impensadamente, chamamos o denominado 4 p 6 de mmc ente 2 p 2 e 4 p 3: Esta nomenclatua não está adequada, mesmo segundo a de niçã que demos aqui de mínimo múltiplo comum genealizado, pois 2 p 2 e 4 p 3 não são eais comensuáveis. No entanto, salientamos que o cálculo é válido. De fato, num copo podemos também utiliza a notação de fação, com o seguinte signi cado: dados ; s elementos de um copo K; com s 6= 0; denotamos po =s o elemento s 1. Desta maneia, utilizando as popiedades das opeações + e de nidas em K, temos ainda válida em K a ega de soma fações: dados ; s; u; v 2 K com s 6= 0 6= v; temos s + u v = s 1 + uv 1 = s 1 v 1 (v + su) = (sv) 1 (v + su) = Ainda, dado a 2 K, a 6= 0; tal que s = as 0 s = 1 a s 0 e u v = 1 u a v ; 0 e v = av 0 ; temos daí, podeíamos também opea em K da seguinte maneia: s + u v = 1 a s + 1 u = 1 0 a v 0 a s + u = 1 v 0 + us 0 : 0 v 0 a s 0 v 0 v + su : (11) sv Oa, no caso em que s = m p p e v = n p q; com m; n inteios e p p; p q não comensuáveis, podemos esceve onde m 0 = m p p + s = mdc(m; n)m 0p p e v = mdc(m; n)n 0p q; m mdc(m; n) e n0 = u n p q = 1 mdc(m; n) n. Potanto, temos mdc(m; n) m 0p p + s (11) n 0p = q 11 1 mdc(m; n) n 0 + sm 0 m 0 n 0p pq :

12 Mas, po (3), 1 1 = mdc(m; n) m 0 n 0 1 [mdc(m; n)] 2 mdc(m; n) mn = mdc(m; n) mn = mmc(m; n) e, conseqüentemente, m p p + s n p q = 1 n 0 + sm 0 mdc(m; n) m 0 n 0p = pq que nada mais é do que a fómula aplicada em (10). n 0 + sm 0 mmc(m; n) p pq 5 Aplicações: Apesentamos a segui duas aplicações dos conceitos de mínimo múltiplo comum e máximo diviso comum genealizados: I) Paa o mmcg: De nição 5.1 Uma função f : R! R é dita peiódica quando existe um númeo eal p 6= 0 tal que f(x + p) = f(x), paa todo x 2 R. (12) Dizemos que p é um peíodo de f; ou também que f é uma função peiódica de peíodo p: Note que se f é uma função peiódica de peíodo p; então kp também é um peíodo paa f; paa todo k 2 Znf0g: Podemos então pova: Teoema 5.2 Sejam f : R! R e g : R! R funções peiódicas de peíodos p f e p g espectivamente. Se p f e p g são númeos comensuáveis então as funções: f + g e f:g são peiódicas de peíodo mmcg(p f ; p g ). Pova. Faemos aqui apenas a demonstação paa o caso f + g. Sendo p f e p g po hipótese comensuáveis, está bem de nido M = mmcg(p f ; p g ): Existem então m; n 2 Znf0g tais que mp f = np g = M: (13) 12

13 Obviamente, como m; n; p f ; p g são todos não nulos, temos que M é também não nulo. Agoa, dado x 2 R, temos: (f + g)(x + M) = f(x + M) + g(x + M) = f(x + np f ) + g(x + mp g ) = f(x) + g(x) = (f + g)(x); o que pova que f + g é peiódica de peíodo mmcg(p f ; p g ). Exemplo 5.3 f(x) = sen3x e g(x) = cos7x são funções peiódicas de peíodos fundmentais p f = 2 3 e p g = 2 7, espectivamente. Como p f e p g são comensuáveis, temos que a função h dada po h(x) = sen3x + cos 7x é peiódica, admitindo 2 paa peíodo, pois 2 mmcg 3 ; 2 = = 2; já que 2=3 2=7 = 7 3 : II) Paa o mdc: Geometicamente, se dois segmentos AB e CD têm medidas comensuáveis e s; espectivamente, então o mdcg(; s) é a medida do maio segmento OU que, quando escolhido paa nova unidade de medida paa medi segmentos de eta, popociona medidas inteias paa AB e CD. Podemos aplica esta idéia ao ajuste de engenagens: suponhamos que queiamos ajusta duas odas num sistema de engenagens, fezando dentes nas mesmas, todos de mesmo tamanho. Oa, cada oda deve te um númeo inteio de dentes paa que o desgaste sobe as odas seja mínimo. E isto ocoe quando os compimentos das cicunfeências (ou equivalentemente, seus aios) são comensuáveis. 13

14 De fato, denotando po o aco compeendido po um dente e um espaço ente dentes (veja gua), e denotando po 1 e 2 os aios das odas, temos que existem m; n natuais tais que 2 1 = m e 2 2 = n se e só se 2 1 = m 2 2 n ; ou ainda, se e só se 1 e 2 foem comensuáveis: n 1 = m 2 : Potanto, o maio valo de é pecisamente mdcg(2 1 ; 2 2 ) Co.2.9 = 2 mdcg( 1 ; 2 ); e se, na pática, este compimento se evela inviável (po se, po exemplo, muito cuvo um aco de compimento ), então, paa minimiza o desgaste, teemos que toma compimentos iguais a =k com k natual. Salientamos que, no caso de aios incomensuáveis, teemos inevitavelmente um desgaste sobe as odas dentadas, mas este é tonado mínimo quando utilizamos a teoia das fações contínuas paa calcula o valo de (veja [1] e [4]). Refeências [1] Beskin, N., Fações Contínuas, Coleção Iniciação à Matemática, Ed. MIR, [2] Coelho, S.P. - Millies, C.P., Númeos: Uma intodução à Matemática, EDUSP, 3 a edição,

15 [3] Gonçalves, A., Intodução à Álgeba, Pojeto Euclides, IMPA, 3 a edição, [4] Lequain, Y., Apoximação de um númeo eal po númeos acionais, 19 o Colóquio Basileio de Matemática, IMPA, [5] [6] ou Cydaa Cavedon Ripoll, Jaime Buck Ripoll, Alvei Alves Sant Ana Instituto de Matemática Univesidade Fedeal do Rio Gande do Sul Avenida Bento Gonçalves Poto Alege - RS Basil cydaa@mat.ufgs.b, ipoll@mat.ufgs.b, alvei@mat.ufgs.b 15