FECHE A CAIXA DA MULTIPLICAÇÃO

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1 FECHE A CAIXA DA MULTIPLICAÇÃO Apaecida Fancisco da SILVA* Helia Matiko Yano KODAMA * Resumo: Este atigo tem como objetivo divulga pate dos tabalhos ealizados em sala de aula de matemática da EE Otacílio Alves de Almeida, no pojeto Utilizando Jogos no ensino da Matemática. A utilização de jogos no ensino da matemática, na pespectiva da Resolução de Poblemas, seve como petexto paa a fomulação de questões que levem os alunos a uma eal compeensão dos conceitos envolvidos e desenvolvimento de habilidades necessáias paa o pocessamento das infomações. Paa tanto, o pofesso deve te um bom efeencial de jogos e atividades que possam se desenvolvidas, paa pode apoveita ao máximo os jogos utilizados e tenha seguança paa fomula questões paa os seus alunos. Em continuidade a tabalhos anteioes, vide [5], [6] e [7], apesentamos o jogo Feche a caixa da multiplicação que envolve as opeações básicas com númeos natuais, com questões e conceitos matemáticos, que podem sevi de modelo paa outas atividades que possam se desenvolvidas, inclusive com o mesmo jogo. Palavas-chave: jogos no ensino; feche a caixa da multiplicação; múltiplos; divisoes; númeos pimos e númeos compostos. INTRODUÇÃO O tabalho com jogos no ensino da matemática tem apesentado cescente inteesse po se constituíem em uma metodologia em que o aluno apende bincando e binca enquanto apende. O lúdico e o fomal se fundem paa a aquisição de novos conceitos e técnicas. Os jogos envolvendo númeos se constituem num bom instumento paa o tabalho pedagógico especialmente na pespectiva da esolução de poblemas, devido a sabida dificuldade das cianças e adolescentes de tabalhaem com os conceitos e efetuaem cálculos mentais, O jogo Feche a Caixa da Multiplicação que apesentamos, a segui, foi aplicado na EE Otacílio Alves de Almeida, de São José do Rio Peto, duante o ano de 2006, numa paceia com as Pofessoas Fátima Cistina Pontes e Suely Benado Pinto no pojeto Utilização de Jogos no Ensino da Matemática, desenvolvido pelo gupo de pesquisa coodenado pelas autoas, a pati do jogo conhecido comecialmente po Feche a Caixa. Na pimeia pate do atigo apesentamos o jogo, algumas peguntas e obsevações que podem se feitas pelo pofesso enquanto os alunos jogam e que podem ajudá-lo a avalia a compeensão dos conceitos tabalhados, bem como a habilidade com cálculos. * Depatamento de Matemática IBILCE / UNESP São José do Rio Peto 214

2 Na segunda pate, paa facilita o acesso aos conceitos matemáticos de modo peciso e conciso, apesentamos alguns conceitos matemáticos envolvidos definições, pincipais esultados e sua impotância, bem como a sugestão de outos jogos elativos ao assunto, com efeência bibliogáfica paa seu uso. O JOGO O Feche a caixa da Multiplicação foi poposto pelo gupo a pati de um jogo comecialmente conhecido po Feche a Caixa, que tabalha a adição de númeos natuais até o seis, po meio de jogo de dados. Nesse jogo, cada jogado, a sua vez, joga dois dados de seis faces, soma os pontos obtidos, cobe a casa coespondente a esta soma ou tansfoma a soma em adição de pacelas quaisque (não necessaiamente as pacelas obtidas na jogada) e cobe as casas coespondentes às pacelas assim obtidas. Ganha o jogo quem consegui fecha todas as casas, ou havendo tês jogadas consecutivas sem que nenhum jogado consiga da continuidade ao jogo, é feita a soma das casas cobetas po cada jogado e ganha aquele que tive o maio esultado. Na vaiação poposta, passamos a utiliza tabuleios com casas de 1 a 40 confeccionado em EVA e a joga com um dado de seis e outo de 10 faces ou com tês dados de seis faces. Ao joga os dados o jogado efetua a multiplicação dos esultados obtidos e usao paa cobi a casa coespondente ou decompõe o poduto numa adição de duas ou mais pacelas. As casas as seem cobetas coespondem, então, as pacelas escolhidas. Os modelos dos dados e do tabuleio podem se encontados em Mateial: Dois tabuleios, 40 macadoes paa cada tabuleio e dados. Regas: 1. Distibui o mateial paa as duas equipes. 2. Decidi qual das equipes iniciaá o jogo. 3. O jogado joga os dados e efetua a multiplicação dos númeos obtidos. 4. O jogado podeá cobi (fecha) a casa com o esultado obtido ou as casas coespondentes à decomposição do esultado numa adição de duas ou mais pacelas. 5. O jogado que ea os cálculos pede a vez. 6. Vence a equipe que cobi todas as casas do seu tabuleio, ou se depois de tês 215

3 jogadas de uma equipe, nenhuma casa fo cobeta, encea-se o jogo. Neste caso, ganha a equipe que tive a maio soma de casas cobetas. Obsevação: Uma altenativa paa o jogo é cobi apenas um dos lados da caixa. Exploando o Jogo Ao se tabalha com jogos, é impotante que os alunos os conheçam assimilem suas egas paa estabeleceem estatégias vencedoas. Paa acompanha o desenvolvimento de seus alunos, sugeimos ao pofesso, exploa as seguintes questões: e 1. Como é o mateial? Desceva-o. 2. Qual é o objetivo do jogo? 3. Obseva, depois de uma odada do jogo, quais foam as casas que sobaam em cada tabuleio e analisa se há algo em comum. Estas questões são de odem geal e tem como objetivo coloca o aluno em contato com o mateial, as egas, os desafios do jogo. No dize de Macedo [9], (...) Desenvolve tal hábito contibui paa o estabelecimento de atitudes que enaltecem a obsevação como um dos pincipais ecusos paa a apendizagem acontece (...). Além disso, cabe ao pofesso obseva seus alunos, a espeito de suas ações e aciocínio. Po exemplo, podem se obsevados, duante o jogo, os seguintes aspectos: - Como o aluno ealiza as opeações? - O aluno analisa todas as decomposições em somas possíveis exploando todas as possibilidades ou apenas pocua obte uma, chutando um esultado possível? - O aluno explica aos companheios de equipe a estatégia que está utilizando, ou apenas faz as contas e apesenta o esultado? - O aluno é capaz de utiliza os esultados obtidos, efetuando subtações, ou fica tentando usa apenas a adição? - Qual é o tipo de tocida que faz? Toce paa que apaeçam apenas númeos pequenos, ou pecebe a vantagem e a necessidade de númeos maioes? - O aluno consegue pecebe a simetia das somas de duas pacelas existente no tabuleio: = = = 9+17, etc? - O aluno consegue efetua os cálculos mentalmente, ou pecisa de algum tipo de ajuda? - O aluno é capaz de pecebe os eos cometidos e acetá-los em uma póxima jogada? - O aluno acompanha o desenvolvimento dos cálculos pelo(s) advesáio(s) coigindo-os e impedindo uma jogada não adequada? - O aluno é capaz de peve jogadas, antecipando-se aos poblemas futuos, especialmente a dificuldade de cetos esultados apaeceem como poduto? 216

4 Paa o tabalho com os conceitos específicos, e paa facilita a pecepção das elações que queemos estabelece po todos os alunos, após, a pimeia odada, podemos completa o questionamento anteio, com as seguintes indagações: Quais casas são mais difíceis de seem cobetas? Você sabe explica po quê? Quais casas são mais fáceis de seem cobetas? Po quê? É fácil obte um esultado que pemita cobi a casa 34? E a 38? Você sabeia explica em que se baseia esta dificuldade? Em quais somas pode figua esta pacela? É fácil obte esta casa como pacela ou não? Quais os númeos você pode multiplica paa obte o númeo 10? E o 11, o 12, o 15, o 17, o 34? Você pecebe alguma elação ente os númeos 7,11,13,17,19, 23, 29, 31 e 37? Como pode se feito o cálculo da soma das casas cobetas de modo mais ápido? Conhece algum jogo paecido com este? Estas questões são fomuladas com o objetivo de leva o aluno a execita suas habilidades mentais e a busca melhoes esultados paa vence, valoizando o desenvolvimento de competências como disciplina, concentação, peseveança e flexibilidade, levando-o a coigi suas ações, po meio da análise e compaação de difeentes pontos de vista. Com isso os alunos ganham autoconfiança e descobem a impotância de efleti antes de agi. Obseva-se que, se o aluno não estabelece uma estatégia de jogo que pemita cobi deteminadas casas (pincipalmente as coespondentes aos maioes númeos), o jogo pode finaliza pelo fato de ficaem sem joga po tês odadas consecutivas. Em paticula, com qualque conjunto de dados jogados, os númeos pimos maioes que dez nunca seão o poduto dos esultados obtidos e devem então se apoveitadas as jogadas em que tais númeos possam figua como pacelas. Neste ponto vale enfatiza a difeença ente as opeações, chamando a atenção paa alguns fatos. Po exemplo, emboa o 13 não figue como fato de nenhum poduto ao se obte 4x5 = 20, podemos esceve 20 = 7+13, e assim ecobi as casas coespondente ao 13 e ao 7, numa jogada como esta. Assim, ao joga o dado paa cobi uma deteminada casa o aluno pode se questionado, depois de joga um dado, qual seá(ão) o(s) melho(es) esultado(s) no outo. 217

5 Com alunos a pati de oito ou nove anos, o tabalho deve se desenvolvido de modo a facilita o cálculo mental e a compeensão das opeações de adição e multiplicação. Já, paa alunos de onze anos ou mais, podem se tabalhados os conceitos de númeo pimo, númeo composto, teoema fundamental da aitmética, algoitmos das opeações envolvidas. Com um chute inicial e o acompanhamento do pofesso ofeecendo condições paa a eflexão, os alunos podeão chega aos conceitos de númeo pimo e composto. Também, como esultado de discussão pelo gupo, analisando as jogadas em difeentes patidas, ou de difeentes paceios, questionando quais casas ficaam descobetas pode-se chega ao teoema fundamental da aitmética e suas impotantes conseqüências. Ao sistematiza todas as fomas possíveis de obte um esultado, po exemplo, 12 = 3x4 = 2x6 = 1x12 e 12 = 1+11 = 2+10 = = 4+8 = 5+7, o aluno é levado a desenvolve um método que possibilite lista todos os esultados possíveis de foma odenada, sem pede tempo e o aciocínio. Ao joga desta foma estabelece as elações ente adição e subtação e ente multiplicação e divisão. Também está pesente neste agumento, a noção de equilíbio do esultado: se aumentamos uma unidade em uma pacela paa que o esultado não se altee é necessáio diminui uma unidade em outa pacela. Com este aciocínio estamos pepaando o aluno paa tabalha natualmente com as equações, o que nos pemite sugei a aplicação deste jogo como atividade pelimina na intodução deste tópico. Como sempe, se o aluno apenas apesenta o esultado e não sabe explica como chegou a ele, é impotante elaboa outas peguntas que pemitam a fomulação matemática do aciocínio utilizado, e que o fato sote, ou outos fatoes sejam eliminados. É comum o aluno dize que adivinhou o esultado, sem pecebe que estabeleceu um tipo de estatégia. O pofesso deve esta atento paa pode colaboa neste momento com peguntas que desfaça esta cença. Po exemplo, se um bom esultado paa cobi o 60 é o 47 e o 13 e o aluno aceta, é inteessante questioná-lo se não podeia se 29 e 31, compaando-se as chances de se cobi cada um dos númeos envolvidos. Paa finaliza, de modo a facilita o tabalho do pofesso, apesentamos, de foma sistematizada, alguns esultados matemáticos envolvidos no jogo. Obsevamos que todo o conteúdo apesentado efee-se a númeos natuais e não contempla os esultados adequados aos númeos inteios. Paa que se tabalhe com os inteios são necessáias algumas adequações. 218

6 Divisibilidade Definição 1.Se a e b são númeos natuais, dizemos que a divide b e denotamos po a b, se existi um númeo natual c tal que b = ac. Se a não divide b, indicamos a / b. Obsevação: Destaque-se que emboa não efetuemos a divisão po zeo, com esta definição o zeo divide o zeo! Quaisque que sejam a, b e c númeos natuais, seguem da definição anteio, as popiedades: 1) a a 2) Se a b, então ac bc. 3) Se ab ac e a 0, então b c. 4) 1 a. 5) a 0. 6) Se a b e b 0, então a b. 7) Se a b e b a, então a = b. 8) Se a b e b c, então a c. 9) Se c a e c b, então c (ma + nb), quaisque que sejam os númeos natuais m e n. Emboa a divisão de um númeo natual po outo nem sempe seja possível, ou exata como chamamos, é possível efetua uma "divisão com pequeno esto", chamada de divisão euclidiana ou o algoítmo da divisão, que apaece no livo VII dos "Elementos" de Euclides, escito po volta de 300 a.c.. Destacamos que mesmo que o uso de calculadoas possa dispensa o tabalho exaustivo com contas, o pocesso (ou algoitmo) pecisa se bem compeendido, especialmente se queemos um desenvolvimento tecnológico paa o país. Ao tabalha com algoitmos os alunos estão se pepaando paa seem, não apenas usuáios desinfomados da infomática, mas pontos paa entende, e quiçá desenvolve, alguns pocedimentos paa o uso de micocomputadoes. A segui, apesentamos um esultado cuja demonstação é algoítmica (i.e. um pocedimento executável), que pode se etomada a cada momento com os alunos, no pocesso de divisão longa. De fato, se constitui num teoema que fonece um algoítmo paa calcula o quociente e o esto da divisão de um númeo po outo, po meio de subtações sucessivas, fazendo com que o aluno peceba que se a multiplicação é uma adição de pacelas iguais, a divisão, como não podeia deixa de se, é uma sucessão de subtações com os subtaendos constantes. Teoema 1. Sejam a e b dois númeos natuais com 0 < a < b, então existem dois únicos númeos natuais q e tais que b = aq +, com < a. De fato, suponha que b > a e considee, enquanto fize sentido, os númeos b > b a > b 2a >... > b na >... O conjunto S fomado pelos elementos acima descitos tem um meno elemento = b qa. Vejamos que < a. 219

7 Se a b, então = 0 e nada mais temos a pova. Caso contáio, basta mosta que não pode ocoe > a. De fato, se isto ocoesse, existiia um númeo natual c, c <, tal que = c + a. Assim, sendo = c + a = b qa, teíamos c = b - (q+1)a S, com c <, o que contaia a escolha de como o meno elemento de S. Potanto, temos que b = aq +, com < a, o que pova a existência de q e. Agoa, povemos a unicidade. Note que, dados dois elementos distintos de S, a difeença ente o maio e o meno desses elementos, é um múltiplo de a, e é, potanto, pelo menos a. Logo, se = b aq e = b aq, então '- = a(q q). Como < a e < a, então = 0 e daí, = ' e q = q. Uma conseqüência impotante deste esultado, que é o pincípio que ege o chute inicial numa divisão, é o seguinte: Cooláio: Dados a e b númeos natuais com 1 < a < b, então existe um númeo natual n tal que: na < b < (n+1)b. Paa um tabalho que efoça o algoitmo, sugeimos o jogo Avançando com o Resto, confome descito em [8]. Obseve que os dois jogos pepaam o aluno paa o estudo de mudança de base e a explicação de como o computado executa as contas, o que, a nosso ve, constitui-se em inteessante tópico a se exploado em aulas de matemática. Além disso, efoçam os conceitos de múltiplo, diviso e númeo pimo. temos duas possibilidades: Agoa, se n é um elemento qualque de N(conjunto dos númeos natuais), i) o esto da divisão de n po 2 é 0, isto é, existe q N tal que n = 2q; ou ii) o esto da divisão de n po 2 é 1, ou seja, existe q N tal que n = 2q + 1. Potanto, os númeos natuais se dividem em duas classes, a dos númeos da foma 2q paa algum q N, chamados de númeos paes, e a dos númeos da foma 2q + 1, chamados númeos ímpaes. Os númeos natuais são classificados em paes ou ímpaes, pelo menos, desde Pitágoas, 500 anos a.c. Vale essalta que o esultado o númeo é pa se o algaismo das unidades fo 0, 2, 4, 6 ou 8, ou que temina com esses algaismos, deve se tatado com devido cuidado, caso sejam exploadas outas bases. Usa a base 5 é um bom começo paa mosta que um númeo se pa ou ímpa não depende de sua epesentação, mas da divisibilidade, ou não, po 2. Po exemplo, o númeo 6 na base 5 é epesentado po (11) 5 e temina com 1 sem, contudo deixa de se pa! De uma foma geal, dado m N, m > 2, pode-se esceve n N, de maneia única, na foma n = mk +, onde k, N e < m. Po exemplo, todo númeo natual n pode se escito, de maneia única, numa das seguintes fomas: 3k, 3k+1 ou 3k+2. Uma outa aplicação paa o esultado, que, po sinal é bastante utilizada no comécio, pode se taduzida na seguinte pegunta: Quais são todos os múltiplos de 5 que estão ente 1 e 253? 220

8 Pelo algoítmo da divisão, temos que 253 = , onde 50 é o quociente da divisão de 253 po 5. Potanto, os múltiplos de 5 ente 5 e 253 são: 1.5, 2.5, 3.5,..., 50.5, e consequentemente, são em númeo de 50. Mais gealmente, dados os númeos natuais a e b, com a < b, o númeo de múltiplos não nulos de a menoes ou iguais a b é igual ao quociente da divisão de b po a. Máximo Diviso Comum, Mínimo Múltiplo Comum: definições, popiedades e Intepetação geomética. Definição 2: Se a, b e d são númeos natuais, dizemos que d é máximo diviso comum (mdc) de a e b se possui as seguintes popiedades: i) d é um diviso comum de a e b, isto é, d a e d b. ii) Se o númeo natual c é um diviso comum de a e b, então c d. Obsevações: Sejam a, b, c e d númeos natuais, então: 1) Se d é mdc de a e b, e c é um diviso comum desses númeos, então c d, de onde segue que o mdc de dois númeos natuais é único. 2) Denotando o mdc de a e b po mdc(a,b), temos mdc(a,b) = mdc(b,a). 3) mdc(0,a) = a, mdc(1,a) = 1 e mdc(a,a) = a, a N. 4) a b se, e somente se, mdc(a,b) = a. Paa justifica a existência do máximo diviso comum, Euclides utiliza, essencialmente, o seguinte esultado: Lema de Euclides: Sejam a, b e n númeos natuais, com a < na < b. Se existe mdc(a,b - na), então existe mdc(a,b) e mdc(a,b) = mdc(a,b - na). De fato, se d = mdc(a,b na), temos d a e d (b na), então d b = b na + na. Logo, d é um diviso comum de a e b. Suponha agoa que c seja um diviso comum de a e b, então, c a e c b - na e, potanto, c d. Nessas condições, d = mdc(a,b). O método, a segui, também chamado Algoítmo de Euclides, nos dá a existência do mdc e é apesentada po Euclides. (Os Elementos, Livo VII, Poposição 2). Dados os númeos natuais a e b, podemos supo a b. Se a = 1 ou a = b ou a b, então mdc (a,b) = a. Suponhamos então que 1 < a < b e que a / b. Pelo algoítmo da divisão, existem q 1, 1 N, tais que b = aq 1 + 1, com 1 < a. Daí, temos 1 a ou 1 / a. Se 1 a, então 1 = mdc(a, 1 ) = mdc(a, b q 1 a) = mdc(a,b) e temina o algoítmo. Se 1 / a, efetuamos a divisão de a po 1, obtendo a = 1 q 2 + 2, com 2 < 1. Novamente, temos duas possibilidades: 2 1 ou 2 /

9 Se 2 1, então 2 = mdc( 1, 2 ) = mdc( 1,a - q 2 1 ) = mdc( 1,a) = mdc(b - q 1 a,a) = mdc(b,a) = mdc(a,b). E assim temina o algoítmo. Se 2 / 1, efetuamos a divisão de 1 po 2, obtendo 1 = 2 q 3 + 3, com 3 < 2. Esse pocedimento não pode continua indefinidamente, pois teíamos uma sequência de númeos natuais a > 1 > 2 >... que não possui meno elemento, o que não é possível. Logo, paa algum n, temos que n n-1, o que implica que mdc(a,b) = n. O algoítmo de Euclides pode se sintetizado e ealizado na pática, como mostamos a segui. Inicialmente, efetuamos a divisão de b po a e colocamos os númeos envolvidos no seguinte diagama: b 1 q 1 a A segui, continuamos o pocesso dividindo a po 1 e colocamos os númeos envolvidos no diagama: q 1 q 2 b a Posseguindo, enquanto fo possível, teemos: q 1 q 2 q 3... q n-1 q n q n+1 B a n-2 n-1 n R n Obseve que esta maneia de dispo os númeos pemite oganiza as sucessivas divisões e, conhecê-la leva o aluno a tabalha com método e disciplina, também necessáios ao joga. Exemplo 6: Detemina o mdc de 1218 e 648: Deste modo temos que mdc(1218,648) = 6. Como é sabido po todos, o tabalho integado de geometia, aitmética e álgeba se constitui em impotante elemento de fomação dos alunos. Com este pincípio em mente, podemos, neste momento, tabalha a intepetação geomética do mdc, ou seja, ve o pincípio das divisões sucessivas po meio de uma imagem geomética. 222

10 Po exemplo, paa detemina o mdc(55,15), desenhe um etângulo e coloque suas medidas: 55 e 15. Cuba esse etângulo com os maioes quadados possíveis. São 3 quadados de lado 15, um quadado de lado 10 e dois quadados de lado 5. Isso que dize que mdc(55,15) = 5. (RPM 29) Uma outa foma bastante inteessante de se obte o mdc(a,b) e mmc(a,b), paa a e b númeos natuais, é apesentada em [4], nela usa-se apenas contagem. Definição 3: Se a, b e m são númeos natuais, dizemos que m é mínimo múltiplo comum (mmc) de a e b, se possui as seguintes popiedades: i) m é um múltiplo comum de a e b, isto é, a m e b m. ii) Se o númeo natual c é um múltiplo comum de a e b, então m c. Como conseqüência natual desta definição, temos: Poposição 1: Dados dois númeos natuais a e b, temos que mmc(a,b).mdc(a,b)= ab. Definição 4: Um númeo natual maio do que 1 é chamado de númeo pimo se só é divisível po 1 e po si pópio. Um númeo maio do que 1 e que não é pimo é chamado númeo composto. A discussão da exclusão do númeo 1 como pimo é impotante e pode se justificada a pati do teoema fundamental da aitmética, estabelecendo um paalelo ente as definições (impotância e adequação) e as egas de um jogo. Destacamos, a segui, duas popiedades impotantes sobe os númeos pimos: Sejam p e q númeos pimos e a um númeo natual qualque, então: 1. Se p q, então p = q. 2. De fato, se p q e q é pimo, temos que p = 1 ou p = q. Mas p > 1 pois p é pimo, logo p = q. 3. Se p / a, então mdc(p,a) = 1. De fato, se mdc(p,a) = d, temos que d p e d a. Como p é pimo, então d = p ou d = 1. Mas, p / a, então d p e dessa foma temos que d =

11 Obsevamos que se um númeo natual n é composto, então existem n 1 de n tal que n 1 e n 2 em N tais que n = n 1.n 2, com 1 < n 1 < n e 1 < n 2 < n. Segue das definições apesentadas que o 1 não é pimo nem composto. É uma exceção a ega! A segui, estabelecemos um esultado fundamental de Euclides (Os Elementos, Poposição 30, Livo VII), cuja demonstação, o leito inteessado, pode ve [1]. Destacamos que antes de chega a esta conclusão, usando o jogo Feche a Caixa, o pofesso pode questiona os alunos, ecoendo, novamente, aos númeos 38 e 34, po exemplo. Também é impotante obseva que 4 divide 12 = 2.6, mas o 4 não divide o 2, nem o 6. Neste momento, sugeimos compaa este exemplo com a poposição a segui: Poposição 2: Sejam a, b, p númeos natuais não nulos, com p: pimo. Se p ab, então p a ou p b. Cooláio: Se p, p 1, p 2,..., p n são númeos pimos e, se p p 1. p 2... p n, então p = p i, paa algum i =1,2,..., n. Teoema 2: (Teoema Fundamental da Aitmética). Todo númeo natual maio que 1 ou é pimo ou se esceve de modo único (a menos da odem dos fatoes) como um poduto de númeos pimos. Agupando, no teoema 2, os fatoes pimos epetidos, se necessáio, e odenando os pimos em odem cescente, podemos e-esceve o teoema anteio da seguinte foma: Teoema 3: Dado um númeo natual n > 1, existem pimos p 1 <... < p e 1, 2,..., 1 2 númeos natuais não nulos, univocamente deteminados, tais que n = p.p.... Obsevação: Dados m e n em N, com m > 1 e n > 1, podemos esceve n = p p 1.p2... p e m = p 1.p2... p., usando o mesmo conjunto de pimos p 1, p 2,..., p, desde que pemitamos que os expoentes 1, 2,...,, 1, 2,..., vaiem em N e não apenas em N *, isto é, admitindo o expoente zeo paa os pimos que não figuem efetivamente na decomposição. Obseve que desta foma pedemos a unicidade da epesentação. Exemplo: Os númeos e , podem se escitos espectivamente, e Poposição 3: Sejam n = p 1.p2... p e m = 1 p 1.p2... p, onde p 1, p 2,..., p são númeos pimos e i 0, i 0 paa i = 1, 2,...,. Então, m é um diviso de n se, e somente se i i, paa i = 1,2,

12 O Teoema fundamental da Aitmética, evela toda a estutua multiplicativa dos númeos natuais e pemite, ente muitas coisas, detemina facilmente o mdc e o mmc de um conjunto qualque deles. Teoema 4: Sejam a = 1.p2... p p e b = 1 p.p.... Tomando, 1 2 p i = min { i, i } e i = max { i, i }, i = 0, 1,..., tem-se mdc(a,b) = 1.p2... p p 1 2 p e mmc(a,b) = p.p... Exemplo: Dados os númeos a = 1980 = e b = 2028 = , então mdc(a,b) = 3.5 e mmc(a,b) = Obsevação: Utilizando o teoema 4, podemos calcula o mdc de dois ou mais númeos usando o pocesso da fatoação simultânea. Exemplo 9: Calcula o mdc(30, 60, 80, 120) Já sabemos, mmc(30, 60, 80, 120) = Paa o mdc(30, 60, 80, 120) localizamos na decomposição simultânea as ocasiões em que a divisão alcançou todos os númeos, sem exceção, que são 2 e 5, e então mdc(30,60,80,120) = 2.5 = 10. (RPM 61) Com o advento do computado e os múltiplos usos da infomática, o estudo dos númeos pimos, tonou-se mais impotante, havendo váios gupos de pesquisadoes buscando númeos pimos gandes o suficiente paa seem usados em códigos (os códigos são baseados em númeos pimos e quanto maio o pimo, mais difícil se tona quebá-lo). Po isso, entendemos se impotante tabalha com a infinitude do conjunto dos númeos pimos. O leito inteessado, pode se delicia com a bela demonstação apesentada em [1] ou [2], po exemplo. Civo de Eastóstenes: método que pemite detemina todos os númeos pimos até a odem que se deseja, mas não é muito eficiente, no sentido que demanda muitos cálculos e hoas de computação, paa odens muito elevadas. A azão do nome dado ao método é que, paa detemina os pimos de 1 até um ceto númeo natual n, pate-se de um quado fomado pelos númeos natuais de 1 a n do qual se vão eliminando, po etapas, os númeos que não são pimos. (Eastóstenes de Ciene: apox a.c.) 225

13 Assim, se desejamos obte a lista de todos os pimos menoes do que 60, devemos exclui dente os númeos de 2 a 60 aqueles que são compostos. Veja a tabela abaixo: 2 3 4/ 5 6/ 7 8/ 9/ 1/ 0/ 11 1/ 2/ 13 1/ 4/ 1/ 5/ 1/ 6/ 17 1/ 8/ 19 2/ 0/ 2/ 1/ 2/ 2/ 23 2/ 4/ 2/ 5/ 2/ 6/ 2/ 7/ 2/ 8/ 29 3/ 0/ 31 3/ 2/ 3/ 3/ 3/ 4/ 3/ 5/ 3/ 6/ 37 3/ 8/ 3/ 9/ 4/ 0/ 41 4/ 2/ 43 4/ 4/ 4/ 5/ 4/ 6/ 47 4/ 8/ 4/ 9/ 5/ 0/ 5/ 1/ 5/ 2/ 53 54/ 5/ 5/ 5/ 6/ 5/ 7/ 5/ 8/ 59 6/ 0/ Excluindo aqueles númeos que foam eliminados pelo pocesso, temos que os pimos ente 2 e 60 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59. Paa maioes detalhes sobe este impotante tópico de matemática, sugeimos a consulta de [10] BIBLIOGRAFIA [1] Domingues, H. H. Fundamentos de Aitmética. Atual Editoa, São Paulo, [2] Hefez, A. Elementos de Aitmética. Textos Univesitáios - SBM, [3] Santos, J. P. O. Intodução à Teoia dos Númeos. Coleção Matemática Univesitáia - SBM, [4] Exploando o Ensino de Matemática. Ministéio da Educação. Secetaia da Educação Básica Basília, [5] Silva, A. F. e Kodama, H. M. Y. Poliminós. Núcleos de Ensino da UNESP. Publicação [6] Silva, A. F. e Kodama, H. M. Y. Dominó das Quato Coes. Núcleos de Ensino da UNESP. Publicação [7] Silva, A. F. e Kodama, H. M. Y. Xadez Chinês. Núcleos de Ensino da UNESP. Publicação [8] Boin, J. Jogos e Resolução de Poblemas: uma estatégia paa as aulas de matemática IME/USP, 1996 [9] Macedo, L. e outos. Apende com Jogos e Situações-Poblema. Atmed Editoa, Poto Alege, [10] Coutinho, S. C. Númeos inteios e Ciptogafia RSA IMPA,