Mecânica Aplicada- N 2 - Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

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1 Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori Vibrações aoreidas O Aoreedor Se ão houvesse aoreedores e u arro, a ola auearia e dissiparia a eergia absorvida e u ipao verial desoroladaee e oiuaria osilado a sua freqüêia aural aé que oda a eergia origialee apliada a ela dissipasse. Ua suspesão que osise apeas de olas fiaria balaçae e, depededo do erreo, seria ipossível de orolar o arro. O aoreedor é u disposiivo que orola o desloaeo idesejado da ola pelo proesso oheido oo aoreieo. Ele reduz a agiude dos desloaeos osilaórios. Isso oorre quado o equipaeo rasfora a eergia iéia do ovieo da suspesão e alor, eergia dissipada aravés do fluido hidráulio. Para eeder oo isso fuioa, observeos sua esruura e fução. o fluido hidráulio a âara abaio. O ilo da eesão oorre quado o pisão se ove aia do ubo de pressão, opriido o fluido a âara aia. U arro ou erá aior resisêia durae o ilo da eesão do que o ilo da opressão, pois esse ilo orola o desloaeo do peso ão-suspeso do veíulo; o ilo de disesão orola o ais pesado, o suspeso. Todos os aoreedores oderos são sesíveis à veloidade: ao se ais rápido a suspesão oviear, aior a resisêia que o aoreedor foree, periido ajusare-se às odições da esrada orolado odos os ovieos idesejados que oorre u veíulo e arha, iluido balaço, osilação, ergulho a freage e agahaeo a aeleração. Coluas de suspesão e barras esabilizadoras Ua oura esruura de aoreieo basae ou é a olua de suspesão, oheida por suspesão MaPherso. É u aoreedor oado dero da olua e geralee de ua ola helioidal eera a ela. As oluas de suspesão ê duas fuções: foree ua fução de aoreieo oo os aoreedores e, apoio esruural para a suspesão do veíulo. Isso sigifia que a olua de suspesão faz ais do que os aoreedores, que ão supora o peso do veíulo - eles soee orola a veloidade a qual o peso é rasferido e u arro, as ão o peso e si. U aoreedor osise basiaee de ua boba de óleo posiioada ere o hassi do arro e as rodas. Sua pare superior fia-se ao hassi e iferior fiase ao eio, próio à roda. No aoreedor ipo de dois ubos, (ais ous), a pare de ia é fia a ua hase e esa ligada a u pisão. O aoreedor esá iserido e u ubo oedo fluido hidráulio. O ubo iero é oheido é o ubo de pressão. O eero é o ubo de reserva, que arazea o eesso do fluido hidráulio. Quado a roda do arro eora u obsáulo via, se oprie e se disede. Sua eergia rasfere-se ao aoreedor aravés da pare de ia e segue-se pela hase para dero do pisão. Os orifíios o pisão perie que o fluido passe aravés dele ovedo-se para ia e para baio o ubo de pressão. Os orifíios são relaivaee pequeos; assi, soee ua pequea quaidade de fluido passa sob grade pressão ausado desaeleração do pisão, desaelerado assi a ola. Os aoreedores opera e dois ilos: o de opressão e o de disesão. O ilo da opressão oorre quado o pisão se ove para baio, opriido Os aoreedores e as oluas de suspesão são esseiais para a esabilidade do arro e são osiderados ies de seguraça. Aoreedores e oluas gasas pode periir ua eessiva rasferêia veíulo-peso de u lado para ouro e de free para rás, reduzido a aderêia do peu ao solo, a esabilidade e o desepeho a freage. As barras ai-osilação (oheidas oo barras esabilizadoras) são usadas juo o as oluas de suspesão ou braços riagulares para foreer esabilidade adiioal ao veíulo e ovieo. É ua hase eália, que se esede sobre odo o eio e se oea a ada u dos lados da suspesão. Quado a suspesão e ua roda se ove para ia e para baio, a barra esabilizadora rasfere o ovieo para a oura roda, fazedo o que o arro ade ais ivelado laeralee e o eos iliação

2 Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori as urvas e eviado que o arro role sobre a sua suspesão as urvas. Por esse oivo, quase odos os arros possue as barras esabilizadoras isaladas oo ie de série. No eao, aso ão eseja oloadas, os is ora fáil a isalação a qualquer oeo. AMORTECIMENTO (PRESSÃO DO ÓLEO) O aoreieo (pressão do óleo) é feio o ilidro heio de óleo do aoreedor. O pisão resrige o fluo de óleo quado o aoreedor era e sai. A aa de pressão é ua obiação da visosidade do óleo (peso) e da resrição do pisão. As araerísias da visosidade do fluido e seu ipo são araerísias da osae de aoreieo do fluido eisee o pisão. A uidade da osae de aoreieo é o Newo.segudo/ero: Uidade de : Cosae de aoreieo: N.s/ Adapado de: hp://arros.hsw.uol.o.br/suspesoes-dos-arros.h As barras esabilizadoras perie que o arro eha olas ais aias, ausado aior oforo de rodage, se que sofra os efeios da iliação as urvas. Tipos de suspesão As quaro rodas de u arro fuioa juas e dois siseas idepedees - as duas rodas fiadas pelo eio diaeiro e as duas rodas fiadas pelo eio raseiro o que sigifia que o arro pode er ipos diferees de suspesão a free e arás. U úio eio rígido pode oer as duas rodas ou elas pode se over idepedeeee. O prieiro arrajo é oheido oo sisea de eio rígido, equao o segudo é oheido oo sisea idepedee. As suspesões diaeiras de eio rígido possue u rígido eio ao qual se oa as rodas da free. Basiaee, ele se paree o ua barra sólida sob a pare diaeira do arro, aida o lugar pelo feie de olas e aoreedores. Cous e piapes, as suspesões diaeiras por eio rígido ão são usadas e arros há uios aos. E u sisea idepedee de suspesão diaeira, as rodas pode se over idepedeeee. A olua MaPherso, desevolvida e 947 por Earle S. MPherso, da Geeral Moors, é o sisea de suspesão diaeira ais uilizado, espeialee e arros origiados a Europa. A olua MaPherso obia u aoreedor e ua ola helioidal ua esa peça fazedo o que o sisea de suspesão seja ais opao, leve e podedo ser usado e veíulos o ração as rodas diaeiras. Fuções dos AMORTECEDORES Os aoreedores, porao, são uio iporaes para a regulage do hassis. Eles ê rês fuções: absorver hoques (pressão do óleo) disribuir a rasferêia de peso (pressão do óleo e olas) ajusar a esão da ola (olas).

3 Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori 3 Vibrações livres e aoreidas: E geral odos os siseas vibraes apresea aoreieo, seja por ario fluido, quado orpos rígidos se ove u fluido, seja por ario iero, ere as oléulas de u orpo apareeee elásio. U ipo de aoreieo é o aoreieo visoso, ausado pelo ario fluido a baias veloidades. Esse ario é araerizado pelo fao da força de ario ser direaee proporioal à veloidade: F a é deeriado de oefiiee de aoreieo visoso. Cosidere u orpo de assa suspeso por ua ola de osae e preso ao êbolo de u ilidro. equilíbrio é a freqüêia agular aural, depede apeas da assa da suspesão e da osae elásia da ola. A solução proposa para essa equação difereial hoogêea é do ipo e o saisfazedo a equação araerísia: (Vide Apêdie). Tereos, resolvedo a equação do º grau: Podeos esrever: Defiios oo oefiiee de aoreieo ríio o valor que ora ulo o radiado aia: 4 Podeos disiguir rês asos de aoreieo, depededo do valor do oefiiee : v es P =.g. Aoreieo superríio > : As raízes da equação araerísia são reais e disias e a solução da equação difereial hoogêea é: () A e B e Ou () e Ae Be -.v Uilizado a seguda lei de Newo, a equação de ovieo será: F P ( e) Podeos esrever: ou d d d d Co: 3 Co: Caraerísias: Movieo ão vibraório. A posição ede a zero quado vai a ifiio: li ( ) lie Ae Be O sisea, a realidade reora à sua posição de equilíbrio depois de u epo fiio. As osaes A e B depede das odições iiiais da posição da suspesão ( ) e da veloidade iiial (v ). Para aharos a veloidade isaâea, eoraos a derivada de (): d v A e B e d A aeleração isaâea será dada por:

4 () Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori 4 dv a A e B e d Assi, para aharos as osaes A e B deveos resolver o sisea: v A B A B A B Assi, podeos resuir: v v v v () e e. Aoreieo ríio = : A equação araerísia e raiz dupla: = - / A solução geral da equação difereial é: ( ) ( A B ) e Caraerísias: Movieo abé ão vibraório. Esses siseas são de ieresse desde que reore à posição de equilíbrio após u epo fiio. As osaes A e B depede das odições iiiais da posição da suspesão ( ) e da veloidade iiial (v ). Novaee, para aharos a veloidade isaâea, eoraos a derivada de (): d v ( B) e e A B d v v v() e e,,9,8,7,6,5 v v a() e e Parâeros:, Gráfio versus : Eeplo para: =.5g, = N/ e = 4 N.s/ =. e v = /s Gráfios () v() a() Series4 Series5 v e B A B A aeleração isaâea será dada por: a dv e B A B d B e a e B A B Assi, para aharos as osaes A e B deveos resolver o sisea: v B A A A B v Assi: ( ) ( v ) e,4,3,,5,,5, (s),5,3,35,4 Parâeros: A,B, = -/ Gráfio versus : Eeplo para: =.5g, = N/ e = N.s/ =. e v = /s 4

5 () () Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori,,9,8,7,6 Gráfios () v() a() Series4 Series5 Gráfio versus : Eeplo para: =.5g, = N/ e = N.s/ =. e v = /s,5,4,3,,,,8,6,4, Gráfios () v() a() +Ep(-/) -Ep(-/) 5,5,,5, (s),5,3,35,4 -, -,4 -,6 -,8 3. Aoreieo subríio < -,,,,3,4,5 (s),6,7,8,9 As raízes da equação araerísia são opleas e ojugadas. Mosraos o Apêdie, o o auílio da eria de série de poêias que a solução da equação difereial é dada por: ( ) os e A B se Co: Pode-se esrever abé: Caraerísias: Movieo vibraório de apliude deresee. Podeos esrever a solução a fora: ( ) e se( ) Chaaos de período da vibração aoreida, apesar do ovieo ão se repeir esse aso, ao valor: Parâeros: g v v 5

6 Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori Casos possíveis de aoreieo: Resuo: 6. Aoreieo superríio: > : v v () e e Parâeros:,. Aoreieo ríio: = : () v e Parâeros: 3. Aoreieo subríio: < ( ) e Aos Bse Gráfios osrado os rês ipos de aoreieo. Aalogia: Ciruio RLC alieado por ua foe de esão alerada V()=V os. q Ou ( ) ( ) e se Parâeros: q g v v q A equação difereial assoiada é: d I di I dv ( ) L R d d C d A equação difereial hoogêea é: d I R di I d L d LC Propodo ua solução do ipo e ereos: 6

7 Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori 7 R L Tereos oo solução: R L Logo: R L LC R L LC R 4 4L 4 LC R R 4i L LC 4L R i L Pode-se osrar que a solução é dada por: i i L I( ) { Ae Be } e I ( ) i i L IH ( ) { Ae Be } e Aqui I H () a solução da equação difereial hoogêea, o: R LC 4L Podeos osiderar aida que A a bi B A a bi Subsiuido e I() ereos: i i i i L IH ( ) { a e e bie e } e os se Observe: e e i i e e i Aalogia Eléria i i A aalogia ere siseas elérios e eâios é válida ao para osilações rasiórias oo para o esado esaioário. Sisea Meâio Ciruio Elério Massa L Iduâia Coefiiee de R Resisêia aoreieo visoso Cosae da ola /C Iverso da Capaiâia Desloaeo q Carga v Veloidade i Corree F Força apliada E Tesão apliada Usado a Lei de Kirhhoff, a soa algébria da esão apliada e das quedas de poeial ao logo de u iruio é ula, podeos esrever a equação da arga o iruio RLC alieado por ua esão alerada E se por: di E se L R i d C q R R p R L q R q q E se C i i C R L L E E C Defiios oo ipedâia, ao ero: Z R L C Eeplos. A figura represea o odelo de u aoreedor de u auoóvel uja assa da suspesão é de 8g e é suporado por ua ola de osae elásia de 3 N/, e u aoreedor de osae de aoreieo de = 3 Ns/. O proprieário do auoóvel esqueeu-se de roar o aoreedor, porao sua osae de aoreieo orou-se eor que a osae de aoreieo ríia.o valor da osae de aoreieo ríia e a solução da equação difereial são dadas por: Dados: q ( ) e p R ; Aos q Bseq : 7

8 Caso i (N.s/) Classifiação aooreio Parâeros Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori 8 3 rad p s ; Ns rad s 8.75 ( ) e Aos6.96 Bse6.96. Para u sisea de assa = g, = 5 N.s/ e osae elásia = 4N/ a solução para a equação:, as odições P es iiiais =.5 e v =,/s é: Dados: a. Aoreieo superríio > : v v () e e, b. Aoreieo ríio = : () v e 4 Ns 4 ; 5 rad s Ns Aoreieo superríio > : 5 5,, , ; 4 v v () e e () e e ( ).7 e. e 4 3. U sisea de assa-ola aoreedor possui =.5 g e osae elásia = N/. A osae de aoreieo do sisea é, dada pela abela. 3. Eore a freqüêia agular aural do sisea. rad s.5 3. Deerie a osa de aoreieo ríia..5 Ns As odições iiiais posição iiial e veloidade iiial v são dadas a abela. Para ada aso, lassifique o aoreieo, dado a solução para: A posição (). A veloidade isaâea v(). A aeleração isaâea a(). Dado: Codições iiiais: = 5 e v = /s () () v() (/s) v() (/s). Aoreieo subríio < ( ) os e A Bse g q Ou ( ) e se( q v ; v ) Caso: = 5 > aoreieo superríio Parâeros:,

9 Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori 9, , 5 5, Posição (): 5 5 v v Hz 4Hz () e e ( ). e.7 e Veloidade isaâea v(): v 4 d d v( ) 8 e 7 e 4 Aeleração isaâea a(): a d v d a( ) 3 e 7 e Gráfios: 4 3 Caso: = = aoreieo ríio Parâeros:.5 () v e ( ).5.5 e Veloidade isaâea v(): d v d rad s v( ) e Aeleração isaâea a(): d a v d a( ) e Gráfios: 9

10 Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori 5 Caso: = 5 = suboreieo Parâeros: q 8 93 g v g.766.rad rad s.3s v.53 ( ) ( ) e se Posição (): ( ) e se( ) 5 ( ).53 e se 93. Veloidade isaâea v(): d v d 5 v( ) e.956 os se Aeleração isaâea a(): d a v d a e se 5 ( ) 9.56 os

11 Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori 4. No aso do aoreieo subríio, os desloaeos,,...,, e., ilusrados a Fig. 9., pode ser suposos iguais aos desloaeos áios. Mosre que a razão ere dois desloaeos suessivos, e +.é osae e que o logario aural desa razão, haado de dereeo logaríio, é l + e e Observado a figura: e Solução: + Tereos esse aso a osiderar: ( ) e se( ) Para dois áios oseuivos, oorredo os isaes e +, ereos, lebrado a fução seθ: 5 e se ( ) ( ) e se τ e ( ) ( ) e se e se e 5 Fazedo a razão ere e + : e Apliado o logario aural: l l e Uilizado a propriedade dos logarios: log B E: l e = l a log a Subsiuido: l l B Coo: l l

12 Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori 5. Desloa-se o bloo osrado a figura, posiioado-o abaio de seu poo de equilíbrio, quado, eão, é solo. Depois de oio ilos o desloaeo áio do bloo é. Deeriar (a) o faor de aoreieo / e (b) o valor do oefiiee do aoreieo visoso. Solução: Do eeplo aerior: l Noe que: 7 l l l l l l Mosre que, usado agora a propriedade: A l l A l B B 7 l l l l l l l l l l l l 96 l l l 8 96 l 8 l 8 96 l l 8 96 l l l l 8 96 l 8 8 8

13 Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori 3 Eeríios. O ovieo do pisão o ierior do oor de u arro é aproiadaee u MHS. (a) Sabedo que o perurso (o dobro da apliude) é igual a. e que o oor gira a 35 rp, alule a aeleração do pisão o poo fial do perurso. (b) Sabedo que a assa do pisão é.45 g, qual é a força resulae eerida sobre ele esse poo? () Calule a veloidade e a eergia iéia do pisão o poo édio do perurso. (d) Qual é a poêia édia eessária para aelerar o pisão do repouso aé a veloidade alulada o ie ()? (e) Se o oor gira o 7 rp, quais são as resposas dos ies (b), () e (d)?. Ua força de aoreieo F = - v aua sobre u rao ifeliz de,3 g que se ove preso a ereidade de ua ola uja osae é =.5 N/. (a) Se a osae possui u vaior igual a.9 g/s, qual é a freqüêia da osilação do rao? (b) Para qual valor da osae o ovieo é riiaee aroreido? 3. U ovo de 5, g fervido durae uio epo esá preso a ereidade de ua ola uja osae é = 5. N/. Seu desloaeo iiial é igual a.3. Ua força de aoreieo F = - v aua sobre o ovo e a apliude do ovieo diiui de. e 5. s. Calule o ódulo da osae de aoreieo. 4. O ovieo de u osilador o subaoreieo é desrio pela Equação desria a eoria. Cosidere o âgulo de fase igual a zero. (a) De aordo o esa equação, qual é o valor de para =? (b) Qual é o ódulo, a direção e o seido da veloidade para =? O que ese resulado ifora sobre a iliação do gráfio de ora as vizihaças de =? () Obeha ua epressão para a aeleração a para = O. Para que valores ou iervalo de valores da osae de aoreieo (e eros de e de ) é a aeleração para = egaiva, ula e posiiva? Disua ada aso e eros do gráfio de versus as vizihaças de =. 5. Quaro passageiros o assa oal igual a 5 g oprie 4. as olas de u arro o aoreedores gasos. Modele o arro e os passageiros oo u úio orpo sobre ua úia ola ideal. Sabedo que o período da osilação do arro o os passageiros é igual a l.8 s, qual é o período da osilação do arro vazio? 6. U avaleiro eeua u MHS o apliude A; sobre u rilho de ar. Voê freia o avaleiro de odo que sua apliude é reduzida à eade do valor iiial. O que oorre o os valores: (a) do seu período, freqüêia e freqüêia agular? (b) da sua eergia eâia oal? () da sua veloidade áia? (d) da sua veloidade o poo = ±A/4? (e) da sua eergia poeial e eergia iéia o poo = ±A/4? 7. Voê pedura u peso desoheido a ereidade de ua ola e, segurado o peso, deia-o deser suaveee aé que ele esique a ola a ua disâia L a posição de equilíbrio. Se a ola possui assa desprezível, prove que o peso pode eeuar u MHS o o eso período de u pêdulo siples de oprieo L. 8. Ua riaça irrequiea faz deslizar e ua esa horizoal seu prao de jaar de 5 g o MHS o apliude.. E u poo siuado a.6 da posição de equilíbrio a veloidade do prao é igual a.3 /s. (a) Qual é o período? (b) Qual é o desloaeo quado a veloidade é igual a.6 /s? () No ero do prao eise u pedaço de eoura de. g. Se o pedaço de eoura esá a iiêia de esorregar o poo fial da rajeória, qual o oefiiee de ario esáio ere o pedaço de eoura e o prao? 9. U ouro eâio se ove verialee o MHS de apliude igual a.5 e freqüêia igual a l.5 Hz, que peraee as esas idepedeeee de eisir ou ão algué oado o ouro. U vaqueiro oa o ouro e diz que para u aho ão é eessário segurar e ehua pare do ouro, (a) Ele abadoa a sela quado o ouro esá se ovedo para ia. Qual é o ódulo da aeleração da sela para baio quado ele perde o oao o ela? (b) E que alura esá a sela aia de sua posição de equilíbrio quado ele perde o oao o ela pela prieira vez? () Qual é o ódulo da sua veloidade quado ele perde o oao o a sela? 3

14 Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori 4 (d) Ele esá e queda livre aé reoar para a sela. Mosre que iso oorre.538 s ais arde. (e) Qual é a veloidade relaiva ere ele e a sela o oeo e que ele reoa?. U bloo de assa M repousa sobre ua superfíie se ario e esá preso a ua ola horizoal uja osae é, a oura ereidade da ola esá presa a ua parede. U segudo bloo de assa repousa sobre o prieiro. O oefiiee de ario esáio ere os bloos é s. Ahe a apliude áia da osilação para que o bloo superior ão deslize sobre o bloo iferior.. U bloo de assa igual a. g esá subeido a ua força resauradora elásia e a osae da força é igual a. N/. (a) Faça u gráfio da eergia poeial U e fução do desloaeo o iervalo de = -.3 aé = +.3. E seu gráfio adoe a esala l =.5 J o eio verial e l ~,5 o eio horizoal. O bloo iiia o ovieo osilaório o ua eergia poeial igual a.4 J e ua eergia iéia igual a.6 J. Eaiado o gráfio, respoda às perguas seguies: (b) Qual é a apliude da osilação? () Qual é a eergia poeial quado o desloaeo é igual à eade da apliude? (d) Para qual desloaeo a eergia poeial é igual à eergia iéia? (e) Qual é o valor do âgulo de fase sabedo que a veloidade iiial é posiiva e o desloaeo iiial é egaivo?. A Figura idia u orpo de assa suspeso a ua ola verial uja osae é. O seido posiivo do eio O esá orieado de baio para ia e = é a posição de equilíbrio do orpo. (a) Mosre que quado o orpo esá a oordeada, a eergia poeial elásia da ola é dada por: Uel l (b) Seja = a oordeada para a qual a eergia poeial graviaioal é igual a zero. Mosre que a eergia poeial oal é dada por: (b) é da fora dada por Uel l g () A epressão para a eergia poeial da pare U C, ode a osae C é C l g. Eplique por que o oporaeo do sisea ão depede do valor desa osae, de odo que o MHS verial ão é fudaealee diferee do que o MHS horizoal para o qual U. 3. U fio de l.8 de oprieo é suspeso verialee. Quado ua bola de aço de 6. g é suspesa a ereidade do fio, ese se dilaa.. Se a bola for puada para a baio a ua disâia adiioal e liberada, o que freqüêia ela osilará? Supoha que a esão o fio seja eor do que o liie de proporioalidade. 4. Ua perdiz de 5. g esá pedurada e ua pereira presa a ereidade de ua ola ideal o assa desprezível. Quado a perdiz é puada para baio a ua disâia de. abaio da sua posição de equilíbrio e liberada, ela osila o u período igual a 4. s. (a) Qual é sua veloidade quado ela passa pela posição de equilíbrio? (b) Qual é sua aeleração quado ela esá a.5 aia da posição de equilíbrio? () Quado ela esá se ovedo para ia, quao epo é eessário para que ela se ova de u poo.5 abaio da posição de equilíbrio aé u poo.5 aia do equilíbrio? (d) O ovieo da perdiz é ierropido e ela é reovida da ola. De quao a ola se eura? 4. U prego de. g eeua u MHS o apliude igual a.4 e período igual a l.5 s. O desloaeo do prego é igual a +.4 quado =. Calule: (a) o desloaeo do prego quado =.5 s; (b) o ódulo, a direção e o seido da força que aua sobre o prego quado =,5 s; () o epo íio eessário para que o prego se desloque da posição iiial aé u poo = -.8 ; (d) a veloidade do prego quado = Ua ola de assa desprezível e osae = 4 N/ esá suspesa verialee e u prao de. g esá suspeso e sua ereidade ierior. U açougueiro deia air sobre o prao de ua alura de.4 ua posa de are de. g. A posa de 4

15 Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori 5 are produz ua olisão oalee ielásia o o prao e faz o sisea eeuar u MHS. Calule: (a) a veloidade do prao e da are logo após a olisão; (b) a apliude da osilação subsequee; () o período do ovieo. 5. Ua força de 4, N esia,5 ua ola verial. (a) Qual é o valor da assa que deve ser suspesa da ola para que o sisea osile o u período igual a l. s? (b) Se a apliude do ovieo for igual a.5 e o período for o espeifiado a pare (a), ode esará o objeo e e qual seido ele esará se ovedo.35 s depois de ele aravessar a posição de equilíbrio de ia para baio? () Qual é o ódulo, a direção e o seido da força que a ola eere sobre o objeo quado ele esa.3 abaio da posição de equilíbrio, ovedo-se para ia? 6. U pequeo baro de eursão o u ovés largo osila verialee o MHS e virude das odas de u lago. A apliude do ovieo é de. e o período é igual a.8 s. Ua doa esável esá próia do baro e u ível igual ao ível ais elevado da osilação do ovés. As pessoas deseja deser do baro para a doa, as iso só pode ser feio oforavelee quado o ível do ovés esiver a ua disâia eor do que. do ível da doa. Quao epo as pessoas dispõe para deser oforavelee do baro durae ada período do MHS? 7. U eeplo ieressae de osilação, ebora foreee ipraiável, é o ovieo de u objeo laçado e u furo que passa aravés do ero da Terra, osilado de u lado aé o ouro da Terra. Usado a hipóese (que ão é realisa) de que a Terra seja ua esfera o desidade uifore, prove que a osilação osiui u MHS e deerie seu período. 8. Seja, o epo eessário para que u orpo que eeuar MHS se desloque de = (para = ) aé = A. Obeha ua equação para do seguie odo. Na Equação, subsiua v por d/d. Separe as variáveis deiado odas as gradezas oedo e u dos ebros da equação e odas as gradezas oedo o ouro ebro. Iegre a equação ere os liies de desde aé, e os liies de desde aé A e, a parir daí, obeha ua epressão para. Coo se opara o o período T? 9. Para u ero osilador a força resulae sobre u orpo de assa é dada por F = - 3. (a) Qual é a fução eergia poeial dese osilador se osideraros U = O para =? (b) U quaro do período é o epo eessário para o orpo se desloar de = aé = A. Deerie ese epo e, porao, o período. () De aordo o o resulado obido a pare (b), verifique se o período depede da apliude do ovieo. Ese ovieo osiui u MHS?. Para edir o valor de g de odo ão orodoo, ua esudae oloa ua bola de bilha sobre o lado ôavo de ua lee. Ela oloa a lee sobre u osilador harôio siples (foreido efeivaee por u pequeo (alo-falae eséreo) uja apliude A e uja freqüêia f pode variar. Ela pode edir A usado a luz de u esrobosópio. (a) Se a bola possui assa, ahe a força oral eerida pela lee sobre a bola de bilha e fução do epo. Seu resulado deve ser dado e fução de A, f,, g e do âgulo de fase. (b) A freqüêia é aueada leaee. Quado ela aige u valor f b, sua osilação pode ser ouvida. Qual é o valor de g e eros de A e de f b?. Dois ilidros hoogêeos de raio R e assa oal M são oeados ao logo de seu eio ou por ua barra leve e ura e esão e repouso sobre o opo de ua esa horizoal. Ua ola uja osae é possui ua ereidade presa a esa por ua braçadeira e sua oura ereidade é ligada a u ael se ario o ero de assa dos ilidros (Figura 3.3). Os ilidros são puados para a esquerda esiado a ola aé ua disâia. e a seguir são liberados. Eise ere o opo da esa e os ilidros u ario sufiiee para fazer os 5

16 Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori 6 Vibrações Forçadas e aoreidas: Se o sisea osiderado aerioree é subeido a ua força periódia F F se, a equação de ovieo ora-se: F se A solução da equação difereial aia é dada pela soa da solução da orrespodee hoogêea ( H (), já disuida aerioree) o a solução pariular p (). ( ) ( ) ( ) A solução pariular pode ser dada por: ( se p ) Subsiuido a equação difereial, ( ), ( ), ( ) ereos: p se se p se p ( ) ( ) p p os os se H p se Reagrupado os eros, ereos: os Coo: os Uilizado as relações: se ( ) se os se os e: os( ) os os se se se os se os os os se se se Reagrupado os eros, ereos: os se F F F se F se se se os se os F se Para a equação aia validar-se e qualquer isae de epo, ereos: g Fazedo suessivaee ser igual a e a /, e [] ereos: F se F os Elevado ao quadrado abos os eros: Ou: Chaado de: F F Esa equação pode ser usada para deeriar a apliude do esado esaioário produzido por ua força eiadora de iesidade F F se. Os gráfios abaio ilusra esse oporaeo, para.;.5;.5;.5; (de baio para ia). os se os se F [] se os Podeos aida esrever: g Observe que a apliude de ua osilação forçada pode ser aida pequea esolhedo u oefiiee de aoreieo visoso grade ou aedo be diferees as freqüêia aural e forçada. 6

17 Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori Eeplos. U oor de M = 4g é suporado por 8 olas, ada ua o osae elásia de = N/, e possui u aoreedor de osae de aoreieo de = 8 Ns/, e pode-se over verialee. O desbalaeaeo do roor é ausado por ua assa de = g a r = 3 do eio de roação. Nua freqüêia de vibração de f =5 rp, qual a deforação áia? 7 Dados: F F r ; f e M = 4g; e = 8.=6N/ 6 rad p s Ns =.g; r =.3 5 f F r N 6 F e rad s 7

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19 Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori Eeríios Osilações aoreidas, e aoreidas e forçadas: 9.7 Mosre que, o aso do aoreieo superríio ( > ); u orpo ua passa por sua posição de equilíbrio O (a) se é liberado o veloidade iiial ula de ua posição arbirária ou (b) se pare de O o ua veloidade iiial arbirária. = N/ 4 g Mosre que, o aso do aoreieo superríio (> ), u orpo liberado de ua posição arbirária ão pode passar ais de ua vez por sua posição de equilíbrio. 9.9 No aso do aoreieo subríio, os desloaeos,,...,, e., ilusrados a Fig. 9., pode ser suposos iguais aos desloaeos áios. Mosre que a razão ere dois desloaeos suessivos, e +.é osae e que o logario aural desa razão, haado de dereeo logaríio, é l 9. Na práia é uias vazes difíil deeriar o dereeo logaríio defiido o Problea 9.9 edido-se dois desaaeos áios suessivos. Mosre que o dereeo logaríio pode ser epresso oo ( / ) l ( / + ), ode é o úero de ilos ere as leiuras do desloaeo áio. 9. Nu sisea o aoreieo subríio ( < ), o período de vibração é ouee defiido oo o iervalo de epo = /q que orrespode a dois poos suessivos ode a urva desloaeo-epo oa ua das urvas-liies ilusradas a Fig. 9.. Mosre que u iervalo de epo (a) ere u desloaeo áio posiivo e o desloaeo áio egaivo seguie é /, (b) ere dois desloaeos ulos suessivos é / e () ere u desloaeo áio posiivo e o desloaeo ulo seguie é aior que /4. 9. Desloaeos áios suessivos de u sisea assa-ola-aoreedor, seelhae àquele ilusrado a Fig. 9., são 5, 4, 3 e 5,6. Sabedo-se que = g e = 5 N/, deerie (a) o faor de aoreieo / e (b) o valor do oefiiee do aoreieo visoso (Sugesão: Ver os Probleas 9.9 e 9.). 9.3 Desloa-se o bloo osrado a figura, posiioado-o abaio de seu poo de equilíbrio, quado, eão, é solo. Depois de oio ilos o desloaeo áio do bloo é. Deeriar (a) o faor de aoreieo / e (b) o valor do oefiiee do aoreieo visoso. (Sugesão: ver os Probleas 9.9 e 9.) O ao de u ahão de apaha peso 6,3 N e reora à posição de iro, após reuar, graças a u reuperador de osae =,75 6 N/. (a) Deerie o valor do oefiiee de aoreieo do eaiso de reuo que fez o ao reorar à posição de iro, o eor epo possível, se osilação, (b) Calule o epo gaso pelo ao para overse da sua posição e áio reuo aé o poo édio de seu perurso oal. 9.5 Supodo-se que se efeuou ua aleração do ao do ahão raado o Problea.4, resulado u aueo de peso de,78 N, deerie (a) a osae que deve ser epregada para aer o ao riiaee aoreido e (b) o epo gaso pelo ao odifiado para desloar-se de sua posição de áio reuo ao poo édio de seu perurso oal. 9.6 No aso da vibração forçada o u dado faor de aoreieo /, deerie a razão ere as freqüêias /p para que a apliude de vibração seja áia. 9.7 Mosre que, para u valor pequeo do faor de aoreieo / (a) a apliude áia de ua vibração forçada quado = p, e (b) o valor orrespodee o faor de apliação é aproiadaee ( /)/. 9.8 U oor de 3,6 g é suseado por ua viga leve horizoal que apresea ua defleão esáia de,7 ausada pelo peso do oor. Sabedose que o desbalaeaeo do roor é equivalee a ua assa de 8,3 g loalizada a,9 do eio de roação, deerie a apliude das vibrações do oor a ua veloidade de 9 rp, supodo (a) ausêia de aoreieo e (b) que o faor de aoreieo é / =, U oor de,7 g é suseado por quaro olas, ada ua possuido ua e de,75. l 5 N/. O desbalaeaeo do roor é equivalee a ua assa de 8,3g siuada a 7 do eio de roação. Sabedo-se que o oor é obrigado a se over verialee,

20 Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori deerie a apliude de vibração do esado esaioário do oor ua veloidade de, supodo (a) que ão há aoreieo, (b) que o faor de aoreieo / é igual a Resolva o Problea 9.94, supodo que se oeou ao oor e ao solo u aoreedor de oefiiee de aoreieo = Ns/. (b) a freqüêia, e rp, da força periódia orrespodee ao valor áio do faor de apliação, supodo aoreieo, e () a apliude do ovieo real da plaafora para ada ua das freqüêias eoradas os ies (a) e (b). F = F se 9. U oor de 5 g é suseado direaee por ua viga leve horizoal que a defleão esáia de 6 devida ao peso do oor. O desbalaeaeo do roor é equivalee a ua assa de g loalizada a 75 do eio de roação. A apliude das vibrações do oor é,9 a ua veloidade de 4 rp. Deerie (a) o faor de aoreieo / (b) o oefiiee de aoreieo. 9.5 Resolva o problea aerior, supodo-se que o oefiiee de aoreieo é 3 N.s/. 9. U eleeo de áquia de 4 g é suseado por duas olas, ada ua possuido ua osae de 38 N/. Ua força periódia, de valor áio igual a 35N, é apliada ao eleeo o ua freqüêia de,5 ilos por segudo. Sabedo que o oefiiee de aoreieo é 4 N.s/, deerie (a) a apliude de vibração do esado esaioário do eleeo. (b) o oefiiee de aoreieo. 9.6 A suspesão de u auoóvel pode ser represeada pelo sisea siplifiado ola oreedor oo ilusrado, (a) Esreva a equação difereial que defie o ovieo absoluo da assa, quado o sisea se desloa a ua veloidade v sobre ua esrada de seção logiudial seoidal, oo idia a figura, (b) Deduza ua epressão para a apliude do ovieo absoluo de. F = F se 9.3 No Problea 9., deerie o valor do oefiiee de aoreieo para que a apliude de vibração do esado esaioário do eleeo seja de 3, Ua plaafora de 9,7 g, suseada por duas olas, ada ua de osae = 4,38 N/, é subeida a ua força periódia de 556N de ódulo áio. Sabedo que o oefiiee de aoreieo é,75 N s/, deerie (a) a freqüêia aural, e rp, da plaafora, se ão há aoreieo,

21 Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori 9.7 Duas argas, A e B, ada ua de assa, esão suspesas, oo ilusrado, por eio de io olas de esa oao e oeadas por u aoreedor de oefiiee de aoreieo. A arga B esá subeida a ua força de iesidade F= F se. Esreva as equações difereiais que defie os desloaeos A e B das duas argas, edidos a parir das posições de equilíbrio. F = F se A A 9.3 e 9.33 Esreva as equações difereiais que defie (a) os desloaeos da assa e do poo A e (b) as orrees as alhas orrespodees do aálogo elério. B B A F = F se 9.8 Deerie a faia de valores da resisêia R, para os quais apareerão osilações o iruio ilusrado quado a have S for fehada e 9.35 Desehe o aálogo elério do sisea eâio ilusrado. 9.9 Cosidere o iruio do Problea 9.8, quado a apaiâia é igual a zero. Se a have S for fehada o isae =, deerie (a) o valor fial da orree o iruio e (b) o isae e que a orree aigirá ( - /e) de seu valor fial (ese valor de é oheido por osae de epo do iruio). 9.3 e 9.3 Desehe o aálogo elério do sisea eâio ilusrado. (Sugesão: rae as alhas orrespodees ao orpos livres).

22 Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori 9.36e9.37 Esreva as equações difereiais que defie (a) os desloaeos das assas e as orrees as alhas orrespodees do aálogo elério. (a) Mosre que o poo aerial eeuará u ovieo haróio siples de período de osilação igual ao de u pêdulo siples de oprieo igual ao raio da Terra, (b) Calule ueriaee o período, () Mosre que o resulado obido e (a) abé é igual ao período 9.4 U ursor de,5 g, preso a ua ola de osae =75 N/,, opriido a ola (a) Calule a áia veloidade que o ursor adquirirá dep (b) Deerie abé a posição e a veloidade do ursor,8 s após a sua liberação. F = F se Probleas de Reapiulaçâo 9.38 U bloo pesado 7,8 N esá preso à araça de u oor que gira a 5 rp. O roor é desbalaeado e a apliude do ovieo do bloo é de,. Sabedo-se que a osae do sisea de olas é =,6. 4 N/, deerie a apliude do ovieo do oor Ua barra delgada de oprieo l esá ariulada por u pio se ario a u ursor de assa desprezível. Deerie o período de pequeas osilações da barra, supodo que o oefiiee de ario ere o ursor e a barra horizoal (a) é sufiiee para ipedir qualquer ovieo do olar, e (b) é zero. 9.4 A barra AB de g esá presa aos disos de 4 g ada u, oo ilusrado. Sabedo que os disos rola se esorregar, defrie a frequêia de pequeas osilações do sisea Ua barra de assa e oprieo l repousa sobre duas polias gira os seidos idiados. Deoado por C, o oefiiee de ario iéio ere as barras e as polias, deerie a frequêia de vibração se for dado à barra u pequeo desloaeo para a direia, solado-a e seguida U pêdulo de orção pode ser usado para deeriar eperiealee o oeo de iéria de u dado objeo. A plaafora horizoal P é suseada por várias barras rígidas, que esão ligadas a u arae verial. O período de osilação da plaafora é igual a τ quado a plaafora esá vazia e igual a τ A quado u objeo de oeo de iéria oheido é oloado a plaafora, de odo que seu ero de assa eseja direaee aia do ero da plaa, (a) Mosre que o oeo de iéria I da plaafora e seus supores pode ser epresso por: I I A A (b) Se u período de osilação, τ B é edido quado u objeo B de iéria I B desoheido é oloado a plaafora, osre que I I B A B A 45 i. 9.4 Coloa-se u poo aerial se veloidade iiial sobre u plao agee à superfíie da Terra, 9.45 Ua viga de 5 g é suporada por dois disos hoogêeos, ada u o g de raio de

23 Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori. Sabedo que os disos rola se esorregar, deerie o período de vibração do sisea se se der à viga u pequeo desloaeo para a direia, sedo abadoada a seguir, 9.46 Resolva o Problea 9.45 supodo-se que se reoveu a ola presa à viga U ero vibrôero usado para edir apliudes de vibração osise esseialee ua aia oedo ua barra delgada que e presa ua das ereidades ubloquiho de assa. O sisea barra-bloquiho e ua frequêia aural de 8 Hz. Quado se prede rigidaee a aia à araça de u oor que gira a 96 rp, o bloquiho vibra o apliude de.3 relaivaee à aia. Deerie a apliude do ovieo verial do oor U aro fio de raio r e assa esá suspeso por eio de ua barra áspera oo ilusrado. Deerie a frequêia das pequeas osilações do aro (a) o plao do aro, e (b) ua direção perpediular ao plao do aro. Supoha que o ario é sufiieeee grade para ipedir o deslizaeo e A U volae de 8 g e u diâero de,8 e u raio de giraçâo de,356. Ua orreia é oloada ao redor da borda e presa a duas olas, ada ua de osae =.5 N/. A esão iiial a orreia é sufiiee para ipedir esorregaeo. Se a ereidade C da orreia é puada.38 para baio e liberada, deerie (a) o período de vibração e (b) a áia veloidade agular do volae. Figura.P9.49 3

24 Caso i (N.s/) Classifiação aooreio Parâeros Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori 4 Trabalho Opioal. Reproduzir e laboraório de iforáia, usado o prograa ieraive physis.. Eorar para ada ipo de aoreieo, os valores de: p p 3. Esrever a solução de y() para ada aso aiado. 4. Elaborar os gráfios de veloidade versus epo e aeleração versus epo para ada aso. a Pare: Uilizado o prograa Ieraive Physis ( fazer a leiura do arquivo osh.ip e osh3.ip.. Para ada aso: (a) Eore a freqüêia agular Eore o período T e a freqüêia f. Coplee a abela. Caso e v T i (N/) (g) (/s) (rad/s) () (s),75,5,75,5 3,75,5 aural. f (Hz) (b) As equações (), v() e a() para ada aso, ode =.5 e v = /s. Dados: = 5N/; =,75 g. Dado o pêdulo siples o =. (a) Faça o álulo do período para: l =, e l =,3. (b) Eore a freqüêia agular para os valores do oprieo do pedulo aia. () Ahe a fução s() sabedo que e = v =. 3. U orpo de assa =.5 g esá aoplado a ua ola de osae elásia = 4N/ e a u aoreedor de osae de aoreieo. Para ada valor de a abela: (a) Eore a freqüêia agular aural. (b) Deerie a osae de aoreieo ríia. () Classifique o aoreieo e foreça os parâeros iporaes para ada aso lassifiado. (d) Deerie as fuções posição (), veloidade isaâea v() e aeleração isaâea a(), para as odições iiiais: v = e = 5. (e) Cosrua os gráfios das fuções posição (), veloidade isaâea v() e aeleração isaâea a(). Faça uilizado o prograa graphdpr e: Ope: Apliações -> Osilações eâias. Coplee a abela () () v() (/s) v() (/s) 4. U orpo de assa =.5 g esá aoplado a ua ola de osae elásia = 4N/ e a u aoreedor de osae de aoreieo. Para ada valor de a abela: (a) Eore a freqüêia agular aural. (b) Deerie a osae de aoreieo ríia. () Classifique o aoreieo e foreça os parâeros iporaes para ada aso lassifiado. (d) Deerie as fuções posição (), veloidade isaâea v() e aeleração isaâea a(), para as odições iiiais: v =./s e =. (e) Cosrua os gráfios das fuções posição (), veloidade isaâea v() e aeleração isaâea a(). Faça uilizado o prograa graphdpr e: Ope: Apliações -> Osilações eâias. 4

25 Caso i (N.s/) Classifiação aooreio Parâeros Meâia Apliada- N - Osilações Aoreidas e aoreidas forçadas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori Coplee a abela. () () v() (/s) v() (/s)