Física II- N 2 - Oscilações Amortecidas Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

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1 Físia II- N - Osilaçõs Aoridas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori O Aordor S ão houvss aordors u arro, a ola auaria dissiparia a rgia absorvida u ipao vrial dsorolada oiuaria osilado a sua frqüêia aural aé qu oda a rgia origial apliada a la dissipass. Ua suspsão qu osis apas d olas fiaria balaça, dpddo do rro, sria ipossívl d orolar o arro. O aordor é u disposiivo qu orola o dsloao idsjado da ola plo prosso ohido oo aorio. El rduz a agiud dos dsloaos osilaórios. Isso oorr quado o quipao rasfora a rgia iéia do ovio da suspsão alor, rgia dissipada aravés do fluido hidráulio. Para dr oo isso fuioa, obsrvos sua sruura fução. opriido o fluido a âara aia. U arro ou rá aior rsisêia dura o ilo da são do qu o ilo da oprssão, pois ss ilo orola o dsloao do pso ão-suspso do víulo; o ilo d dissão orola o ais psado, o suspso. Todos os aordors odros são ssívis à vloidad: ao s ais rápido a suspsão oviar, aior a rsisêia qu o aordor for, priido ajusar-s às odiçõs da srada orolado odos os ovios idsjados qu oorr u víulo arha, iluido balaço, osilação, rgulho a frag agahao a alração. Coluas d suspsão barras sabilizadoras Ua oura sruura d aorio basa ou é a olua d suspsão, ohida por suspsão MaPhrso. É u aordor oado dro da olua gral d ua ola hlioidal ra a la. As oluas d suspsão ê duas fuçõs: for ua fução d aorio oo os aordors, apoio sruural para a suspsão do víulo. Isso sigifia qu a olua d suspsão faz ais do qu os aordors, qu ão supora o pso do víulo - ls so orola a vloidad a qual o pso é rasfrido u arro, as ão o pso si. U aordor osis basia d ua boba d ólo posiioada r o hassi do arro as rodas. Sua par suprior fia-s ao hassi ifrior fias ao io, próio à roda. No aordor ipo d dois ubos, (ais ous), a par d ia é fia a ua has sa ligada a u pisão. O aordor sá isrido u ubo odo fluido hidráulio. O ubo iro é ohido é o ubo d prssão. O ro é o ubo d rsrva, qu araza o sso do fluido hidráulio. Quado a roda do arro ora u obsáulo via, s opri s disd. Sua rgia rasfr-s ao aordor aravés da par d ia sgu-s pla has para dro do pisão. Os orifíios o pisão pri qu o fluido pass aravés dl ovdo-s para ia para baio o ubo d prssão. Os orifíios são rlaiva pquos; assi, so ua pqua quaidad d fluido passa sob grad prssão ausado dsalração do pisão, dsalrado assi a ola. Os aordors opra dois ilos: o d oprssão o d dissão. O ilo da oprssão oorr quado o pisão s ov para baio, opriido o fluido hidráulio a âara abaio. O ilo da são oorr quado o pisão s ov aia do ubo d prssão, Os aordors as oluas d suspsão são ssiais para a sabilidad do arro são osidrados is d sguraça. Aordors oluas gasas pod priir ua ssiva rasfrêia víulo-pso d u lado para ouro d fr para rás, rduzido a adrêia do pu ao solo, a sabilidad o dspho a frag. As barras ai-osilação (ohidas oo barras sabilizadoras) são usadas juo o as oluas d suspsão ou braços riagulars para forr sabilidad adiioal ao víulo ovio. É ua has ália, qu s sd sobr odo o io s oa a ada u dos lados da suspsão. Quado a suspsão ua roda s ov para ia para baio, a barra sabilizadora rasfr o ovio para a oura roda, fazdo o qu o arro ad ais ivlado laral o os iliação as urvas viado qu o arro rol sobr a sua suspsão as urvas. Por ss oivo, quas odos os

2 Físia II- N - Osilaçõs Aoridas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori arros possu as barras sabilizadoras isaladas oo i d séri. No ao, aso ão sja oloadas, os is ora fáil a isalação a qualqur oo. d prssão é ua obiação da visosidad do ólo (pso) da rsrição do pisão. As ararísias da visosidad do fluido su ipo são ararísias da osa d aorio do fluido is o pisão. A uidad da osa d aorio é o Nwo.sgudo/ro: Uidad d : Cosa d aorio: N.s/ Adapado d: hp://arros.hsw.uol.o.br/suspsos-dos-arros.h As barras sabilizadoras pri qu o arro ha olas ais aias, ausado aior oforo d rodag, s qu sofra os fios da iliação as urvas. Tipos d suspsão As quaro rodas d u arro fuioa juas dois sisas idpds - as duas rodas fiadas plo io diairo as duas rodas fiadas plo io rasiro o qu sigifia qu o arro pod r ipos difrs d suspsão a fr arás. U úio io rígido pod or as duas rodas ou las pod s ovr idpd. O priiro arrajo é ohido oo sisa d io rígido, quao o sgudo é ohido oo sisa idpd. As suspsõs diairas d io rígido possu u rígido io ao qual s oa as rodas da fr. Basia, l s par o ua barra sólida sob a par diaira do arro, aida o lugar plo fi d olas aordors. Cous piaps, as suspsõs diairas por io rígido ão são usadas arros há uios aos. E u sisa idpd d suspsão diaira, as rodas pod s ovr idpd. A olua MaPhrso, dsvolvida 947 por Earl S. MPhrso, da Gral Moors, é o sisa d suspsão diaira ais uilizado, spial arros origiados a Europa. A olua MaPhrso obia u aordor ua ola hlioidal ua sa pça fazdo o qu o sisa d suspsão sja ais opao, lv poddo sr usado víulos o ração as rodas diairas. Fuçõs dos AMOTECEDOES Os aordors, porao, são uio iporas para a rgulag do hassis. Els ê rês fuçõs: absorvr hoqus (prssão do ólo) disribuir a rasfrêia d pso (prssão do ólo olas) ajusar a são da ola (olas). AMOTECIMENTO (PESSÃO DO ÓLEO) O aorio (prssão do ólo) é fio o ilidro hio d ólo do aordor. O pisão rsrig o fluo d ólo quado o aordor ra sai. A aa

3 Físia II- N - Osilaçõs Aoridas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori 3 Vibraçõs livrs aoridas: E gral odos os sisas vibras aprsa aorio, sja por ario fluido, quado orpos rígidos s ov u fluido, sja por ario iro, r as oléulas d u orpo apar lásio. U ipo d aorio é o aorio visoso, ausado plo ario fluido a baias vloidads. Ess ario é ararizado plo fao da força d ario sr dira proporioal à vloidad: F a é driado d ofii d aorio visoso. Cosidr u orpo d assa suspso por ua ola d osa prso ao êbolo d u ilidro. quilíbrio é a frqüêia agular aural, dpd apas da assa da suspsão da osa lásia da ola. A solução proposa para ssa quação difrial hoogêa é do ipo o saisfazdo a quação ararísia: (Vid Apêdi). Tros, rsolvdo a quação do º grau: Podos srvr: Dfiios oo ofii d aorio ríio o valor qu ora ulo o radiado aia: 4 Podos disiguir rês asos d aorio, dpddo do valor do ofii :. Aorio suprríio > : v s P =.g As raízs da quação ararísia são rais disias a solução da quação difrial hoogêa é: () A B Ou () A B -.v Uilizado a sguda li d Nwo, a quação d ovio srá: F P ( ) Podos srvr: ou d d d d Co: 3 Co: Cararísias: Movio ão vibraório. A posição d a zro quado vai a ifiio: li ( ) li A B O sisa, a ralidad rora à sua posição d quilíbrio dpois d u po fiio. As osas A B dpd das odiçõs iiiais da posição da suspsão ( ) da vloidad iiial (v ). Para aharos a vloidad isaâa, oraos a drivada d (): d v A B d A alração isaâa srá dada por: dv a A B d

4 Físia II- N - Osilaçõs Aoridas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori 4 Assi, para aharos as osas A B dvos rsolvr o sisa: v A B A B A B Assi, podos rsuir: v v v v () v v v() v v a() Parâros:,. Aorio ríio = : A quação ararísia raiz dupla: = - / A solução gral da quação difrial é: ( ) ( A B) Cararísias: Movio abé ão vibraório. Esss sisas são d irss dsd qu ror à posição d quilíbrio após u po fiio. As osas A B dpd das odiçõs iiiais da posição da suspsão ( ) da vloidad iiial (v ). Nova, para aharos a vloidad isaâa, oraos a drivada d (): d v ( B) A B d v B A A A B v Assi: ( ) ( v ) Parâros: A,B, = -/ 3. Aorio subríio < As raízs da quação ararísia são oplas ojugadas. Mosraos o Apêdi, o o auílio da ria d séri d poêias qu a solução da quação difrial é dada por: ( ) os A B s Co: Pod-s srvr abé: Cararísias: Movio vibraório d apliud drs. Podos srvr a solução a fora: ( ) s( ) Chaaos d príodo da vibração aorida, apsar do ovio ão s rpir ss aso, ao valor: v B A B A alração isaâa srá dada por: a dv B A B d B a B A B Assi, para aharos as osas A B dvos rsolvr o sisa: 4

5 Físia II- N - Osilaçõs Aoridas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori Parâros: q g v v q 5 Casos possívis d aorio: suo:. Aorio suprríio: > : v v () Parâros:,. Aorio ríio: = : () v Gráfios osrado os rês ipos d aorio. Parâros: 3. Aorio subríio: < ( ) Aos Bs Aalogia: Ciruio LC aliado por ua fo d são alrada V()=V os. q Ou ( ) ( ) s 5

6 Físia II- N - Osilaçõs Aoridas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori i i i i L IH ( ) { a bi } os s Obsrv: S: i i i i i 6 A quação difrial assoiada é: d I di I dv ( ) L d d C d A quação difrial hoogêa é: d I di I d L d LC Propodo ua solução do ipo ros: L Tros oo solução: L Logo: L LC L LC 4 4L 4 LC 4i L LC 4L i L Pod-s osrar qu a solução é dada por: i i L I( ) { A B } I ( ) i i L IH ( ) { A B } Aqui I H () a solução da quação difrial hoogêa, o: LC 4L Podos osidrar aida qu A a bi B A a bi Subsiuido I() ros: p Algus plos d osilaçõs aoridas Eríios. O ovio do pisão o irior do oor d u arro é aproiada u MHS. (a) Sabdo qu o prurso (o dobro da apliud) é igual a. qu o oor gira a 35 rp, alul a alração do pisão o poo fial do prurso. (b) Sabdo qu a assa do pisão é.45 g, qual é a força rsula rida sobr l ss poo? () Calul a vloidad a rgia iéia do pisão o poo édio do prurso. (d) Qual é a poêia édia ssária para alrar o pisão do rpouso aé a vloidad alulada o i ()? () S o oor gira o 7 rp, quais são as rsposas dos is (b), () (d)? 6

7 Físia II- N - Osilaçõs Aoridas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori (d) da sua vloidad o poo = ±A/4? () da sua rgia poial rgia iéia o poo = ±A/4? 7. Voê pdura u pso dsohido a ridad d ua ola, sgurado o pso, dia-o dsr suav aé qu l siqu a ola a ua disâia L a posição d quilíbrio. S a ola possui assa dsprzívl, prov qu o pso pod uar u MHS o o so príodo d u pêdulo sipls d oprio L. 7. Ua força d aorio F = - v aua sobr u rao ifliz d,3 g qu s ov prso a ridad d ua ola uja osa é =.5 N/. (a) S a osa possui u vaior igual a.9 g/s, qual é a frqüêia da osilação do rao? (b) Para qual valor da osa o ovio é riia arorido? 3. U ovo d 5, g frvido dura uio po sá prso a ridad d ua ola uja osa é = 5. N/. Su dsloao iiial é igual a.3. Ua força d aorio F = - v aua sobr o ovo a apliud do ovio diiui d. 5. s. Calul o ódulo da osa d aorio. 4. O ovio d u osilador o subaorio é dsrio pla Equação dsria a oria. Cosidr o âgulo d fas igual a zro. (a) D aordo o sa quação, qual é o valor d para =? (b) Qual é o ódulo, a dirção o sido da vloidad para =? O qu s rsulado ifora sobr a iliação do gráfio d ora as vizihaças d =? () Obha ua prssão para a alração a para = O. Para qu valors ou irvalo d valors da osa d aorio ( ros d d ) é a alração para = gaiva, ula posiiva? Disua ada aso ros do gráfio d vrsus as vizihaças d =. 5. Quaro passagiros o assa oal igual a 5 g opri 4. as olas d u arro o aordors gasos. Modl o arro os passagiros oo u úio orpo sobr ua úia ola idal. Sabdo qu o príodo da osilação do arro o os passagiros é igual a l.8 s, qual é o príodo da osilação do arro vazio? 6. U avaliro ua u MHS o apliud A; sobr u rilho d ar. Voê fria o avaliro d odo qu sua apliud é rduzida à ad do valor iiial. O qu oorr o os valors: (a) do su príodo, frqüêia frqüêia agular? (b) da sua rgia âia oal? () da sua vloidad áia? 7 8. Ua riaça irrquia faz dslizar ua sa horizoal su prao d jaar d 5 g o MHS o apliud.. E u poo siuado a.6 da posição d quilíbrio a vloidad do prao é igual a.3 /s. (a) Qual é o príodo? (b) Qual é o dsloao quado a vloidad é igual a.6 /s? () No ro do prao is u pdaço d oura d. g. S o pdaço d oura sá a iiêia d sorrgar o poo fial da rajória, qual o ofii d ario sáio r o pdaço d oura o prao? 9. U ouro âio s ov vrial o MHS d apliud igual a.5 frqüêia igual a l.5 Hz, qu pra as sas idpd d isir ou ão algué oado o ouro. U vaquiro oa o ouro diz qu para u aho ão é ssário sgurar hua par do ouro, (a) El abadoa a sla quado o ouro sá s ovdo para ia. Qual é o ódulo da alração da sla para baio quado l prd o oao o la? (b) E qu alura sá a sla aia d sua posição d quilíbrio quado l prd o oao o la pla priira vz? () Qual é o ódulo da sua vloidad quado l prd o oao o a sla? (d) El sá quda livr aé roar para a sla. Mosr qu iso oorr.538 s ais ard. () Qual é a vloidad rlaiva r l a sla o oo qu l roa?. U bloo d assa M rpousa sobr ua suprfíi s ario sá prso a ua ola horizoal uja osa é, a oura ridad da ola sá prsa a ua pard. U sgudo bloo d assa rpousa sobr o priiro. O ofii d ario sáio r os bloos é s. Ah a apliud áia da osilação para qu o bloo suprior ão dsliz sobr o bloo ifrior.

8 Físia II- N - Osilaçõs Aoridas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori 8. U bloo d assa igual a. g sá subido a ua força rsauradora lásia a osa da força é igual a. N/. (a) Faça u gráfio da rgia poial U fução do dsloao o irvalo d = -.3 aé = +.3. E su gráfio ado a sala l =.5 J o io vrial l ~,5 o io horizoal. O bloo iiia o ovio osilaório o ua rgia poial igual a.4 J ua rgia iéia igual a.6 J. Eaiado o gráfio, rspoda às prguas sguis: (b) Qual é a apliud da osilação? () Qual é a rgia poial quado o dsloao é igual à ad da apliud? (d) Para qual dsloao a rgia poial é igual à rgia iéia? () Qual é o valor do âgulo d fas sabdo qu a vloidad iiial é posiiva o dsloao iiial é gaivo?. A Figura idia u orpo d assa suspso a ua ola vrial uja osa é. O sido posiivo do io O sá oriado d baio para ia = é a posição d quilíbrio do orpo. 3. U fio d l.8 d oprio é suspso vrial. Quado ua bola d aço d 6. g é suspsa a ridad do fio, s s dilaa.. S a bola for puada para a baio a ua disâia adiioal librada, o qu frqüêia la osilará? Supoha qu a são o fio sja or do qu o lii d proporioalidad. 4. Ua prdiz d 5. g sá pdurada ua prira prsa a ridad d ua ola idal o assa dsprzívl. Quado a prdiz é puada para baio a ua disâia d. abaio da sua posição d quilíbrio librada, la osila o u príodo igual a 4. s. (a) Qual é sua vloidad quado la passa pla posição d quilíbrio? (b) Qual é sua alração quado la sá a.5 aia da posição d quilíbrio? () Quado la sá s ovdo para ia, quao po é ssário para qu la s ova d u poo.5 abaio da posição d quilíbrio aé u poo.5 aia do quilíbrio? (d) O ovio da prdiz é irropido la é rovida da ola. D quao a ola s ura? 4. U prgo d. g ua u MHS o apliud igual a.4 príodo igual a l.5 s. O dsloao do prgo é igual a +.4 quado =. Calul: (a) o dsloao do prgo quado =.5 s; (b) o ódulo, a dirção o sido da força qu aua sobr o prgo quado =,5 s; () o po íio ssário para qu o prgo s dsloqu da posição iiial aé u poo = -.8 ; (d) a vloidad do prgo quado = -.8. (a) Mosr qu quado o orpo sá a oordada, a rgia poial lásia da ola é dada por: Ul l (b) Sja = a oordada para a qual a rgia poial graviaioal é igual a zro. Mosr qu a rgia poial oal é dada por: (b) é da fora dada por Ul l g () A prssão para a rgia poial da par U C, od a osa C é C l g. Epliqu por qu o oporao do sisa ão dpd do valor dsa osa, d odo qu o MHS vrial ão é fudaal difr do qu o MHS horizoal para o qual U Ua ola d assa dsprzívl osa = 4 N/ sá suspsa vrial u prao d. g sá suspso sua ridad irior. U açouguiro dia air sobr o prao d ua alura d.4 ua posa d ar d. g. A posa d ar produz ua olisão oal ilásia o o prao faz o sisa uar u MHS. Calul: (a) a vloidad do prao da ar logo após a olisão; (b) a apliud da osilação subsqu; () o príodo do ovio. 5. Ua força d 4, N sia,5 ua ola vrial. (a) Qual é o valor da assa qu dv sr suspsa da ola para qu o sisa osil o u príodo igual a l. s? (b) S a apliud do ovio for igual a.5 o príodo for o spifiado a par (a), od sará o objo qual sido l sará s ovdo.35 s dpois d l aravssar a posição d quilíbrio d ia para baio? () Qual é o ódulo, a dirção o sido da força qu a ola r sobr o objo quado l sa.3 abaio da posição d quilíbrio, ovdo-s para ia?

9 Físia II- N - Osilaçõs Aoridas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori 6. U pquo baro d ursão o u ovés largo osila vrial o MHS virud das odas d u lago. A apliud do ovio é d. o príodo é igual a.8 s. Ua doa sávl sá próia do baro u ívl igual ao ívl ais lvado da osilação do ovés. As pssoas dsja dsr do baro para a doa, as iso só pod sr fio oforavl quado o ívl do ovés sivr a ua disâia or do qu. do ívl da doa. Quao po as pssoas dispõ para dsr oforavl do baro dura ada príodo do MHS? 9 7. U plo irssa d osilação, bora for ipraiávl, é o ovio d u objo laçado u furo qu passa aravés do ro da Trra, osilado d u lado aé o ouro da Trra. Usado a hipós (qu ão é ralisa) d qu a Trra sja ua sfra o dsidad uifor, prov qu a osilação osiui u MHS dri su príodo. 8. Sja, o po ssário para qu u orpo qu uar MHS s dsloqu d = (para = ) aé = A. Obha ua quação para do sgui odo. Na Equação, subsiua v por d/d. Spar as variávis diado odas as gradzas odo u dos bros da quação odas as gradzas odo o ouro bro. Igr a quação r os liis d dsd aé, os liis d dsd aé A, a parir daí, obha ua prssão para. Coo s opara o o príodo T? 9. Para u ro osilador a força rsula sobr u orpo d assa é dada por F = - 3. (a) Qual é a fução rgia poial ds osilador s osidraros U = O para =? (b) U quaro do príodo é o po ssário para o orpo s dsloar d = aé = A. Dri s po, porao, o príodo. () D aordo o o rsulado obido a par (b), vrifiqu s o príodo dpd da apliud do ovio. Es ovio osiui u MHS?. Para dir o valor d g d odo ão orodoo, ua suda oloa ua bola d bilha sobr o lado ôavo d ua l. Ela oloa a l sobr u osilador harôio sipls (forido fiva por u pquo (alo-fala séro) uja apliud A uja frqüêia f pod variar. Ela pod dir A usado a luz d u srobosópio. (a) S a bola possui assa, ah a força oral rida pla l sobr a bola d bilha fução do po. Su rsulado dv sr dado fução d A, f,, g do âgulo d fas. (b) A frqüêia é auada la. Quado la aig u valor f b, sua osilação pod sr ouvida. Qual é o valor d g ros d A d f b? 9

10 Caso i (N.s/) Classifiação aoorio Parâros Físia II- N - Osilaçõs Aoridas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori Trabalho Opioal. produzir laboraório d iforáia, usado o prograa iraiv physis.. Eorar para ada ipo d aorio, os valors d: p p 3. Esrvr a solução d y() para ada aso aiado. 4. Elaborar os gráfios d vloidad vrsus po alração vrsus po para ada aso. a Par: Uilizado o prograa Iraiv Physis ( fazr a liura do arquivo osh.ip osh3.ip.. Para ada aso: (a) Eor a frqüêia agular Eor o príodo T a frqüêia f. Copl a abla. Caso v T i (N/) (g) (/s) (rad/s) () (s),75,5,75,5 3,75,5 aural. f (Hz) (b) As quaçõs (), v() a() para ada aso, od =.5 v = /s. Dados: = 5N/; =,75 g. Dado o pêdulo sipls o =. (a) Faça o álulo do príodo para: l =, l =,3. (b) Eor a frqüêia agular para os valors do oprio do pdulo aia. () Ah a fução s() sabdo qu = v =. 3. U orpo d assa =.5 g sá aoplado a ua ola d osa lásia = 4N/ a u aordor d osa d aorio. Para ada valor d a abla: (a) Eor a frqüêia agular aural. (b) Dri a osa d aorio ríia. () Classifiqu o aorio força os parâros iporas para ada aso lassifiado. (d) Dri as fuçõs posição (), vloidad isaâa v() alração isaâa a(), para as odiçõs iiiais: v = = 5. () Cosrua os gráfios das fuçõs posição (), vloidad isaâa v() alração isaâa a(). Faça uilizado o prograa graphdpr : Op: Apliaçõs -> Osilaçõs âias. Copl a abla () () v() (/s) v() (/s) 4. U orpo d assa =.5 g sá aoplado a ua ola d osa lásia = 4N/ a u aordor d osa d aorio. (a) Eor a frqüêia agular aural. (b) Dri a osa d aorio ríia. Para ada valor d a abla: () Classifiqu o aorio força os parâros iporas para ada aso lassifiado. (d) Dri as fuçõs posição (), vloidad isaâa v() alração isaâa a(), para as odiçõs iiiais: v =./s =. () Cosrua os gráfios das fuçõs posição (), vloidad isaâa v() alração isaâa a(). Faça uilizado o prograa graphdpr : Op: Apliaçõs -> Osilaçõs âias.

11 Caso i (N.s/) Classifiação aoorio Parâros Físia II- N - Osilaçõs Aoridas Prof. Dr. Cláudio S. Sarori Copl a abla. () () v() (/s) a() (/s )