Mestrado em Engenharia e Tecnologia. Espacial e Controle.

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1 INTRODUÇÃO À MECÂNICA ORBITAL -A EDIÇÃO Hélio Koiti Kuga Valdemi Caaa Kondapalli Rama Rao Tópicos de mecânica obital da disciplina de Adaptação, no Cuso de Mestado em Engenhaia e Tecnologia Espaciais, modalidade Mecânica Espacial e Contole. URL do documento oiginal: < INPE São José dos Campos 01

2 PUBLICADO POR: Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais - INPE Gabinete do Dieto (GB) Seviço de Infomação e Documentação (SID) Caixa Postal CEP São José dos Campos - SP - Basil Tel.:(01) /691 Fax: (01) pubtc@sid.inpe.b CONSELHO DE EDITORAÇÃO E PRESERVAÇÃO DA PRODUÇÃO INTELECTUAL DO INPE (RE/DIR-04): Pesidente: Maciana Leite Ribeio - Seviço de Infomação e Documentação (SID) Membos: D. Antonio Fenando Betachini de Almeida Pado - Coodenação Engenhaia e Tecnologia Espacial (ETE) D a Inez Staciaini Batista - Coodenação Ciências Espaciais e Atmosféicas (CEA) D. Geald Jean Fancis Banon - Coodenação Obsevação da Tea (OBT) D. Gemano de Souza Kienbaum - Cento de Tecnologias Especiais (CTE) D. Manoel Alonso Gan - Cento de Pevisão de Tempo e Estudos Climáticos (CPT) D a Maia do Camo de Andade Nono - Conselho de Pós-Gaduação D. Plínio Calos Alvalá - Cento de Ciência do Sistema Teeste (CST) BIBLIOTECA DIGITAL: D. Geald Jean Fancis Banon - Coodenação de Obsevação da Tea (OBT) REVISÃO E NORMALIZAÇÃO DOCUMENTÁRIA: Maciana Leite Ribeio - Seviço de Infomação e Documentação (SID) Yolanda Ribeio da Silva Souza - Seviço de Infomação e Documentação (SID) EDITORAÇÃO ELETRÔNICA: Ivone Matins - Seviço de Infomação e Documentação (SID)

3 INTRODUÇÃO À MECÂNICA ORBITAL -A EDIÇÃO Hélio Koiti Kuga Valdemi Caaa Kondapalli Rama Rao Tópicos de mecânica obital da disciplina de Adaptação, no Cuso de Mestado em Engenhaia e Tecnologia Espaciais, modalidade Mecânica Espacial e Contole. URL do documento oiginal: < INPE São José dos Campos 01

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5 RESUMO Este documento foi poduzido paa sevi como mateial de apoio à disciplina de Adaptação, ministada como pé-equisito paa o aceite de candidatos ao cuso de mestado em Engenhaia e Tecnologia Espacial, modalidade Mecânica Espacial e Contole, no Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais. Ela foi atualizada em anos ecentes e a pesente vesão constitui a segunda edição, evista e melhoada. Inicia-se o estudo das óbitas de satélites atificiais com a aplicação das leis de Newton ao movimento de copos e o estudo de tajetóias em campo de foça cental. As leis de Keple são intoduzidas a segui, bem como as elações do movimento elíptico. Mostase então que as leis de Keple oiginam-se do movimento causado pela foça gavitacional ente dois copos, apesentando-se as pincipais elações geométicas que definem a elipse obital. Estuda-se em seguida o movimento no espaço, o que pemite extai as elações geométicas que tansfomam o movimento kepleiano em espaço de estados. Como últimos tópicos de estudo são apesentados os pincipais sistemas de coodenadas e de tempo paa o estudo do movimento obital. iii

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7 ABSTRACT This document aims to suppot students in the Adaptation class of the Space Mechanics and Contol Space Engineeing and Technology post-gaduate couse at INPE. It has been updated and evised in ecent yeas, so this is the second and most ecent vesion. It intoduces the obit mechanics concepts by applying the Newton s laws to the two-body poblem and to the study of tajectoies in a cental foce field. The Keple s laws ae pesented togethe with the equations of the elliptical motion. It is shown that the Keple s laws ae deived fom the gavitational foce between two bodies, aising the geometical elations of the obital ellipse. The obital elements in space ae then studied, which allows to convet the geometic obit epesentation, o kepleian elements, to space state epesentation. It is also pesented the main coodinate system used in obit and astonomic studies, as well as seveal time and date measuing systems. v

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9 SUMÁRIO Pág. 1 INTRODUÇÃO... 1 CAMPO CENTRAL Leis de Newton Lei da gavitação univesal Foça cental Integal do momento angula Velocidade aeola Tajetóias devido à foça cental Integal da enegia Equação de Binet Execícios LEIS DE KEPLER As 3 leis de Keple Popiedades da elipse Intepetação das leis de Keple ª lei ª lei ª lei Execícios PROBLEMA DOS DOIS CORPOS Redução do poblema dos dois copos Solução do poblema dos dois copos Integal das áeas Integal da enegia Solução Enegia da óbita elíptica Equação da vis-viva Movimento elíptico Coodenadas catesianas de posição Relação ente f e u Equação de Keple Coodenadas catesianas de velocidade Óbita cicula Execícios POSICIONAMENTO DE SATÉLITES - PROBLEMA DIRETO Elementos kepleianos Tansfomação de coodenadas Resumo da tansfomação Execícios POSICIONAMENTO DE SATÉLITES-PROBLEMA INVERSO Semi-eixo maio a Excenticidade e vii

10 6.3 Anomalia média M Inclinação i Ascensão eta do nodo ascendente Ω Agumento do peigeu ω Execícios SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistemas pincipais Sistema hoizontal (topocêntico) Sistema hoáio (topocêntico ou geocêntico) Sistema equatoial (geocêntico) Sistema eclíptico Coodenadas catesianas geocênticas Sistema catesiano teeste Sistema catesiano celeste Coodenadas catesianas topocênticas Sistema topocêntico astonômico Sistema topocêntico geodésico Movimento apaente do Sol Execícios TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS Tansfomação no plano Tansfomação no espaço Popiedades das matizes de tansfomação Exemplos de tansfomações Execícios SISTEMAS DE TEMPO Tempo univesal Tempo sideal Data Juliana Cálculo do tempo sideal de Geenwich Execícios REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS viii

11 1 INTRODUÇÃO A mecânica celeste, segundo Laplace, é um conjunto de teoias que contém os esultados das leis de gavitação univesal sobe o equilíbio e o movimento dos copos sólidos e fluidos que compõem o sistema sola e sistemas semelhantes distibuídos no univeso. Atualmente, o conceito estende-se ao estudo dos fenômenos puamente mecânicos que ocoem no univeso, e dos poblemas matemáticos que sugeem os métodos utilizados em seu estudo, seja de copos celestes (planetas ao edo do Sol, as estelas na galáxia), ou mesmo de sondas e satélites atificiais. O pesente tabalho apesenta uma intodução à teoia de mecânica obital. O pincipal objetivo é o estudo da teoia da gavitação univesal, a lei do inveso do quadado das distâncias, e suas implicações no movimento de satélites atificiais teestes. O tabalho é essencialmente oientado paa aplicações páticas, com uso extensivo da mecânica newtoniana. A pecisão atual da maioia dos instumentos de medida utilizados em mecânica obital dispensa o uso da teoia da elatividade de foma a simplifica a matemática utilizada bem como possibilita o uso das hipóteses newtonianas. A bibliogafia da áea é vasta, poém poucos tabalhos abodam exclusivamente os conceitos intodutóios. Recomenda-se ao leito busca infomações adicionais em livos de astodinâmica, em especial nos de Bate et al. (1971), Bowe e Clemence (1961), Chobotov (1996), Deutsch (1963), Escobal (1965), Montenbuck e Gill (000) e Moulton (1970). A compeensão deste tabalho eque do leito conhecimentos básicos de cálculo difeencial e integal, álgeba vetoial, e familiaidade com o uso de computadoes. 1

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13 CAMPO CENTRAL O movimento de um copo quando imeso em um campo gavitacional pode se analisado se foem adotadas algumas hipóteses. Admite-se, a pincípio, a existência de apenas um copo geado de foças, suficientemente afastado dos demais a ponto de se pode negligencia os efeitos desses. Considea-se igualmente que o as dimensões do copo sejam pequenas quando compaadas às distâncias obitais, de foma que a foça possa se consideada como sendo geada no cento de massa, ou seja, num campo cental de foças..1 Leis de Newton Recapitula-se aqui as tês leis fundamentais de Newton, que foam publicadas em seu tatado "Philosophia e Natualis Pincipia Mathematica", em Todo copo pemanece em epouso ou em movimento unifome, quando a foça execida sobe ele é nula, F = 0. A taxa de mudança do momento linea (ou quantidade de movimento) é popocional à foça e na mesma dieção da foça: ( v) d m dt = F (.1) onde m é a massa do copo, v é o veto velocidade do copo, e F é a foça execida no copo. No caso de m se constante, vêm: F = ma (.) com a = dv / dt, onde a é a aceleação do copo. A toda ação coesponde uma eação igual e oposta (Lei da ação e eação): F = F. (.3) A B. Lei da gavitação univesal Duas patículas A e B se ataem com uma foça dietamente popocional ao poduto de suas massas e invesamente popocional ao quadado da distância ente elas: mamb AB F A = G (.4) 11 onde G é a constante de gavitação univesal valendo 6, Nm /kg, m A e m B são as massas dos dois copos, é a distância ente eles, e AB é o veto distância que une os copos. 3

14 A lei se aplica em pincípio, a sistemas de patículas, não a copos de dimensões finitas. Poém, a lei ainda pode se aplicada ao assumi-se que copos com simetia esféica se ataem como se suas massas estivessem concentadas em seus centos..3 Foça cental Uma foça é dita "cental" quando a foça esultante que causa o movimento aceleado de uma patícula passa atavés de um ponto fixo, confome a Figua.1. O ponto fixo é o cento da foça. Devido a essa caacteística a foça pode se epesentada po: F = F ( ), (.5) onde F( ) é o módulo da foça que é função do veto distância. Tajetóia F Ponto fixo O.4 Integal do momento angula Figua.1 Tajetóia da foça cental Sob a ação de uma foça cental, existem quantidades que se consevam, isto é, existem as integais pimeias do movimento. Tais integais pemitem simplifica e mesmo auxilia a esolução das equações de movimento. Mosta-se-á que o momento angula é uma das quantidades consevadas. Seja a definição do momento angula: H = m v (.6) i i i i onde H é o veto momento angula, epesenta o poduto vetoial, e com O sendo o ponto fixo. = P O, i Deivando-se H em elação ao tempo têm-se: 4

15 d( mi vi) H& = & i mi vi + i dt i = v m v + F i i i i i i i i (.7) onde a pimeia pacela do lado dieito é nula devido ao poduto vetoial de vetoes paalelos. Lembando ainda que no caso de foça cental vale a Equação.5, chega-se a: H& = ( ) i i Fi i = 0, (.8) i i pois novamente têm-se um poduto vetoial de vetoes paalelos. Desta foma conclui-se que: H = C, (.9) onde C é um veto constante. Existem dois casos possíveis a seem analisados. O pimeio caso é quando a constante C é o veto nulo 0: C = 0 v = 0. (.10) Neste caso ou é paalelo a v e o movimento é etilíneo, ou v é nulo e é constante. Este é um caso sem inteesse. O segundo caso é quando a constante C não é nula. Neste caso, v 0 e o movimento é "plano". Veja-se a Figua.. H O v Figua. Movimento plano da foça cental 5

16 Em esumo, o momento angula de uma patícula que se move sob a ação de uma foça cental pemanece constante em magnitude e dieção..5 Velocidade aeola A velocidade aeola ou taxa aeola é a taxa na qual uma deteminada áea é vaida duante a tajetóia do aio veto. A Figua.3 mosta o conceito. P + d da d P Figua.3 Velocidade aeola Na Figua.3, da é a fação de áea, e d é a fação de aco pecoida. Lembando que a b é a áea do paalelogamo delimitada pelos vetoes a e b, têm-se que: 1 A, (.11) ou seja: A 1. (.1) t t No limite paa t 0 têm-se: 1 A & = v. (.13) Recapitulando que o momento angula é dado po compaando com a Equação.13, chega-se a: H = m v, constante, e H m = A &. (.14) Conclui-se potanto que o momento angula é popocional à taxa aeola e, po conseqüência, a taxa aeola é constante sob a ação de uma foça cental. 6

17 .6 Tajetóias devido à foça cental Seja o movimento plano confome mostado na Figua.4, onde x e y são o sistema de eixos catesianos no plano do movimento, ê é o veso adial, ê t é o veso tansvesal pependicula a ê, e f é o ângulo pola ente o eixo x e o copo em movimento. Nota-se que ê t não é tangente à tajetóia, mas sim pependicula a. y ê t ê O f x Figua.4 Movimento plano De maneia geal, a velocidade do copo no plano pode se descita po suas componentes adial e tansvesal na foma: v = & eˆ + f& eˆ. (.15) t A aceleação do copo é obtida deivando-se a velocidade em elação ao tempo: a = v & = && eˆ + & e& ˆ + & f & eˆ + && f eˆ + f & e& ˆ, (.16) t t t e lembando a ega de Poisson paa a deivada de veso: ê& ê& t = f& kˆ ê = f& êt, = f& kˆ êt = f& ê,,, (.17) 7

18 chega-se a: ( ) ˆ ( ) a = && f& e + & f& + && f eˆ. (.18) Sejam as coodenadas catesianas do movimento plano dadas po: t x y = = cos sen f, f. Então as componentes de velocidade são: x& = & cos f f& sen f, y& = & sen f + f& cos f. (.19) (.0) Lembando a expessão paa o momento angula H = m v, têm-se: x y 0 v = x& y& 0 = ( xy& xy & ) kˆ, (.1) iˆ ˆj kˆ onde kˆ é o veso do eixo z. Logo, catesianas vêm: H = H kˆ, e po substituição das componentes H cos f ( sen f f cos f ) sen f ( cos f f sen f ) m = & + & & &. (.) Simplificando, chega-se a H m = f& = / cte, ou seja: H = m f = & cte. (.3) Lembando a Equação.14da velocidade aeola, H / m = A &, têm-se também: A& = f& =. (.4) cte Desta foma, deivando H em elação ao tempo na Equação.3 vêm: ou dh = 0, dt d m dt f m f f = 0, ( & ) = ( & & + && ) donde se conclui que:, (.5) 8

19 & f& && f. (.6) + = 0 Finalmente, as componentes da aceleação, confome a Equação.18 ficam: a a t ( & & && ) = f + f eˆ, = 0, ( & ) = && f eˆ, (.7) ( ) F = 0 m t onde a t é a componente tansvesal, e a é a componente adial. Potanto, as seguintes conclusões podem se extaídas no caso da foça cental: H é constante, a taxa aeola A & é constante, e o movimento é puamente plano. A expessão final paa a aceleação devido à foça cental é: ( ) F a = ( && f& ) eˆ =. (.8) m.7 Integal da enegia Se um sistema é consevativo, então a enegia do sistema se conseva. Se o tabalho só depende dos extemos de integação, i.e., independe do caminho, o sistema é consevativo. Se o sistema é consevativo a foça deiva de um potencial. As asseções acima podem se encontadas em livos básicos de Física. Analisa-se-á o caso da foça cental. A foça cental tem como equação caacteística F = F. Logo, pela definição de tabalho vêm: ( ) / W 1 = F d, 1 = F ( ) d, = 1 1 F ( ) d. (.9) onde " " epesenta o poduto escala. Po exemplo, no caso da foça gavitacional F = G M m /, e o tabalho vale: ( ) W 1 G M m d =, (.30) 1 9

20 que só depende dos extemos 1 e. Logo, pode-se conclui que uma foça cental sob a ação de um campo cental faz pate de um sistema consevativo. A conseqüência imediata é que a foça deiva de um potencial U e pode potanto se epesentada po: U F = = U, (.31) onde é a epesentação do gadiente. Em esumo, paa um campo cental, a enegia se conseva, e o potencial só depende da posição..8 Equação de Binet A equação de Binet é impotante pois fonece a tajetóia de um copo num campo de foça cental. Define-se pimeio o opeado d/dt, lembando que H = m f& é a magnitude do momento angula. O desdobamento dessa equação leva a: H = m dt m dt = H df, df, de onde se extai o opeado: (.3) d H d =. (.33) dt m df Sua segunda deivada é simplesmente a aplicação do opeado sobe ele mesmo: =. (.34) d H d H d dt m df m df Potanto, paa se calcula a aceleação adial chega a: d dt, aplica-se este opeado paa =, (.35) d H d H d dt m df m df e lembando que && & = ( ) f F m, ou seja d df F = + H F = + 3 m m ( ) ( ) dt dt m,, (.36) 10

21 igualam-se ambas as expessões paa a aceleação: ( ) F + =, H H d H d 3 m m m df m df H 1 1 d H d F = ( ) m m H df m df m Usa-se agoa a seguinte tansfomação de vaiáveis paa simplifica a expessão: u = 1, 1 du = d, d =. du Tal tansfomação poduz o seguinte desenvolvimento:. ( ) H u u 1 d H d du = m m H df m du df m e finalmente, a foma da equação de Binet: F, (.37) (.38) (.39) ( ) H u d u F u + = m df m. (.40) Esta equação diz que paa qualque foça cental F(), pode-se detemina a tajetóia de um copo sujeito a essa foça cental..9 Execícios 1. Calcula o módulo das foças de atação do Sol, Lua e Mate sobe a Tea. Utilize os seguintes dados: Distância Lua-Tea = 60, R t 6 Distância Sol-Tea = 149, 6 10 Km 6 Distância Tea-Mate = Km Raio da Tea R t = 6378 Km 4 Massa da Tea = 5, Kg Massa do Sol = Massa da Tea Massa de Mate = 0, 1 Massa da Tea Massa da Lua = 7, Kg 11

22 . Demonsta que o sistema de equações fomado pelas integais pimeias da áea e da enegia fomam um sistema equivalente ao das equações difeenciais do movimento, isto é, se &, e ( ) ϕ = C = constante 1 constante, m & U = E = então: ( & ϕ ) = ( ) m && f, onde f du = f =. d 1

23 3 LEIS DE KEPLER O astônomo dinamaquês Tycho Bahe ( ) deu uma gande contibuição quando montou um gigantesco catálogo de obsevações dos planetas. A caacteística mais impotante de tais obsevações ea a pecisão. A pecisão ea suficiente paa discimina ente hipóteses vedadeias ou falsas sobe as váias teoias especulativas existentes na época. O pópio Tycho Bahe não conseguiu fomula um modelo que ajustasse as obsevações, contendo o movimento dos planetas ao edo do Sol. O pincipal poblema ea o planeta Mate. Óbitas ciculaes não ajustavam o movimento de Mate (Mate tem uma óbita elíptica com excenticidade igual a 0,1). Keple ( ) analisou as obsevações de Tycho Bahe e após anos de tentativas de ajuste, conseguiu conceitua o movimento de Mate. Seu tatado "Astonomia Nova" discute o movimento de Mate, bem como fomula as famosas leis de Keple. 3.1 As 3 leis de Keple 1 ª lei: "Lei das óbitas elípticas". As óbitas dos planetas são elipses com o Sol como foco. Genealizando, a óbita de um copo num campo de foça cental é uma cônica (elipse, hipébole, paábola) com o foco no cento de atação. ª lei: "Lei das áeas". O aio veto de cada planeta com elação ao Sol como oigem, vae áeas iguais em tempos iguais. Esta é de fato uma popiedade de seções cônicas, expessa po A & = cte, onde A é a áea. 3 ª lei: "Lei hamônica". A elação dos quadados dos peíodos ente planetas é igual à elação do cubo do semi-eixo maio de suas óbitas. Assim, seja o planeta p i com = peíodo T i e semi-eixo maio a i. Vale então ( T ) = ( a a ) cte 3. Popiedades da elipse T. Elipse é um luga geomético de um ponto que se move de foma a que sua distância a pati de um ponto fixo, o foco, mantém uma elação constante (<1) com sua distância a pati de uma linha fixa, a dietiz. De acodo com a Figua 3.1, valem as seguintes definições: é a distância do foco ao ponto P, f é o ângulo ente o eixo oigem e o ponto P, centado no foco, e < 1 = SP / PM é a excenticidade, S é o foco, S' é o outo foco (vitual), a é o semi-eixo maio, com AA'=a, e b é o semi-eixo meno, com BB'=b. As seguintes elações são também válidas: e = CS / CA, (3.1) a = SP + PS ' = cte, (3.) p = QQ', (3.3) ( 1 ) p = a e, (3.4) 13

24 ( 1 e ) a =, (3.5) 1 + e cos f = p 1 + e cos f, (3.6) onde p ecebe a denominação de "semi-latus ectum". B Q P M A S C S f A dietiz Q B Figua 3.1 Paâmetos da elipse 3.3 Intepetação das leis de Keple ª lei A 1 ª lei diz que o movimento planetáio é elíptico. Dada a equação da elipse: ( 1 e ) a =, (3.7) 1 + e cos f e lembando a Equação de Binet.40: ( ) H 1 ( 1/ ) F d = + m m df deiva-se 1/ atavés da equação da elipse:, (3.8) 14

25 ( ) d 1/ e sen f = df a e ( ) ( 1 ) 1/ cos = df a e d e f paa se chega a: ( 1 ),, (3.9) ( 1/ ) 1 d 1 + = df a e ( 1 ). (3.10) A pati do fato de que só existe aceleação adial num campo cental, i.e., F = F, chega-se à seguinte expessão: ( ) ( ) / H 1 F( ) =. (3.11) m a ( 1 e ) Logo se conclui que a foça está diigida paa o Sol, e é invesamente popocional ao quadado da distância Sol-planeta. Fica evidente que esta expessão edunda na lei de Newton da gavitação univesal, na foma: onde m F( ) = µ, (3.1) H µ = m a 3.3. ª lei ( 1 e ). (3.13) De fato, já foi obtido que da / dt = cte = H / m. Dado que a taxa aeola A & equivale à elação ente a áea da elipse pelo peíodo obital, têm-se que ab A& π =, (3.14) T ou seja, a ª lei decoe das leis de campo cental ª lei A 3 ª lei é de fato apenas uma deivação da ª lei. Quadando a taxa aeola têm-se: 15

26 A& = π a b / T ( ) = π a 1 e / T = H 4 / 4m (3.15) Isolando o temo µ vem: H µ = m a 4π a = T = cte ( 1 e ) 3 (3.16) Logo chega-se a conclusão que: 3 a cte. T = (3.17) 3.4 Execícios 1. Calcula o semi-eixo maio de um satélite geocêntico, estacionáio em elação a um ponto na supefície da Tea. Supo o cento da Tea como o ponto fixo da foça 5 cental. Usa µ = Km 3 /s.. Pova que o semi-latus ectum p vale p a ( 1 e ) a excenticidade. =, onde a é o semi-eixo maio e e 3. Pova que a equação da elipse em coodenadas polaes pode se dada po: ( 1 e ) a = 1 + e cos f 4. Se a equação de um satélite teeste é dada po: x y 9 R 4 + = 1 t Rt 5 onde R t é o aio da Tea, µ = Km 3 /s, e x e y são os eixos siméticos da elipse, e dada que a enegia da óbita vale E = µ / a, obte: a) A distância da Tea a pati do eixo y, b) O semi-eixo maio, excenticidade da óbita e semi-latus ectum, c) O peíodo da óbita, d) A velocidade tangencial do satélite quando a anomalia vedadeia (ângulo pola f) é 60, 16

27 e) Analisa se o satélite foi lançado numa óbita possível. 17

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29 4 PROBLEMA DOS DOIS CORPOS Considee-se um satélite atificial em óbita kepleiana ao edo da Tea. Suponha que a massa da Tea esteja concentada em seu cento. O poblema a se estudado é o de detemina a tajetóia de um ponto mateial (satélite) de massa m sujeito à ação de uma foça diigida ao cento da Tea. 4.1 Redução do poblema dos dois copos Seja o sistema de efeência "inecial" Oxyz, com a Tea sendo o ponto P 1 de massa m 1 e aio veto 1, e com o satélite sendo P de massa m e aio veto, confome a Figua 4.1. z 1 P 1 P x O = 1 + y Figua Sistema de coodenadas no poblema dos dois copos. De acodo com a lei de gavitação univesal de Newton, a foça que m j exece sobe m i é dada po: com Pi Pj ij = G mim j, 3 F (4.1) i j e =. Pela ª lei de Newton tem-se: m m P P m && = G (4.) , m m P P m && = G (4.3) 1 1. Basicamente, a edução do poblema dos dois copos consiste em detemina o movimento de P em elação a P 1. As aceleações podem se escitas na foma: 1 = +Gm &&, (4.4) 3 = Gm &&. 1 (4.5) 3 19

30 Como o sistema de coodenadas é inecial pode-se esceve também que: && = && &&, (4.6) 1 de modo que: G ( m m && = 1 + ). (4.7) 3 Esta é a equação difeencial do movimento de um copo em elação ao outo. Na teoia de satélites atificiais, identifica-se que: m m 1 = m = m Tea Sat,, e como m1 m G m1 + m G mtea = µ. Potanto, a expessão final da aceleação é simplificada paa: >>> tem-se ( ) = G M &&, (4.8) 3 onde M é a massa da Tea, e G é a constante gavitacional univesal. O valo da 14 constante geo-gavitacional µ é 3, m 3 /s. 4. Solução do poblema dos dois copos Notou-se que a edução do poblema dos dois copos leva a uma expessão paa a aceleação, com caacteística de foça cental: ou = G M &&, (4.9) 3 G M m F =. (4.10) Potanto, o movimento de satélites ao edo da Tea pode se intepetado como uma tajetóia sob a ação de um campo cental, onde o ponto fixo é o cento da Tea. Po conseguinte, valem todas as teoias já vistas sobe o campo cental. Existem duas integais pimeias que auxiliaão na solução do poblema dos dois copos: Integal das áeas, e Integal da enegia Integal das áeas Esta integal já foi obtida anteiomente. Recapitula-se que a tajetóia de patículas sob a influência de um campo cental gea um movimento plano: 0

31 H & = = cte. (4.11) m Mostou-se que esta expessão é equivalente a: f & H = = A& = cte. (4.1) m 4.. Integal da enegia A integal da enegia, pode se deivada a pati da seguinte expessão: && & = µ &. (4.13) 3 Lembando que: 1 d 1 d & = ( & & ) = && &, dt dt 1 d & =, dt (4.14) pois =, e substituindo tais elações na Equação 4.9 têm-se: 1 d µ 1 d & =, 3 dt dt d & = µ. 3 Uma vez que se faça seguinte tansfomação de vaiáveis integal fica: u = e potanto 3 (4.15) 3 u / =, a d du 1/ = = u = / 3 3/. (4.16) u Logo a integação fonece Lembando que & = µ / + E, onde E é uma constante de integação. & = v onde v é a magnitude da velocidade, a equação final fica: v µ = E, (4.17) onde E é a enegia (constante) da óbita Solução Com o conhecimento das integais pimeias do movimento obital, qual sejam, integal da áea e integal da enegia, é possível obte a solução do movimento obital plano. Inicia-se a pati do quadado da velocidade: 1

32 v = & eˆ + f& eˆ, (4.18) t v = v v = & + f&. (4.19) Lembando da integal da áea, & = = f h H / m, têm-se: v d df H df = +, df dt m dt d H H H =, + df m m m H d H = + m df m Poém, pela integal da enegia, v ( E µ / ). = +, têm-se: (4.0) H d H ( E + µ / ) =. + m df m (4.1) Daí, isolando o temo em d / df, obtém-se: d m µ H = E +, df H m (4.) 1/ d m H E µ = +. df H m (4.3) Agoa, a solução podeá se obtida ao se nota a tansfomação de vaiáveis que simplifica a equação difeencial. Definindo: 1 µ u =, (4.4) H m tem-se que: ( / ) ( ) du d 1/ 1 = = df df df d df = du. df d, Lembando a Equação 4.1, tem-se o seguinte desenvolvimento: (4.5)

33 4 du m µ H = E +, df H m du m µ H = E +, df H m E µ 1 = +. ( H / m) ( H / m) Mas pela Equação 4.4, u vale: (4.6) u 1 µ µ = +, (4.7) ( / ) ( / ) 4 H m H m que substituída na equação difeencial paa du/df esulta: du E µ = + df H m H m u 4 ( / ) ( / ) du E µ + u = + 4 df H m H m ( / ) ( / ), (4.8). (4.9) Nota-se que os temos do lado dieito são constantes, de foma que é conveniente edefini-los paa: E µ β +, (4.30) 4 ( H / m) ( H / m) de modo que a equação difeencial a se integada é simplesmente: du df ( β u ) 1/ =, (4.31) ou seja: du ( β u ) 1/ = df. (4.3) A integal indefinida do lado esquedo tem a seguinte solução: du -1 = sen 1/. (4.33) ( β u ) u β Logo, a Equação difeencial 4.3 têm como solução final: 3

34 ( ) -1 sen / u β = θ θ, (4.34) onde θ é uma constante de integação. Coloca-se-á a solução em temos do co-seno o po conveniência, po exemplo, fazendo θ = θ o 90 : u cos θ =, (4.35) β onde θ = θ θ o. A substituição das definições de u e β, Equações 4.4 e 4.30, junto com h=h/m (momento angula específico), leva a: 1 µ E µ cos θ = u/ β = / + 4 h h h 1/, (4.36) 1/ 1 µ 1 µ = + E + cos θ, h h h 1/ µ h µ = 1 + E cos θ, + h µ h e finalmente: (4.37) ( Eh ) 1/ 1 1+ / µ + 1 cos θ =. (4.38) h / µ Pecebe-se que esta equação é a pópia equação da elipse disfaçada. Recapitulando a equação da elipse: 1 1+ ecos f =, (4.39) p pode-se extai as seguintes igualdades: 1/ h e = E + 1, µ (4.40) h p =, (4.41) µ onde e é a excenticidade da elipse, e p é o "semi-latus ectum". Identifica-se ainda cos θ = cosf, onde f é o ângulo pola desde o peigeu. O valo e sinal da enegia E define o tipo de cônica da óbita, como mostado na Tabela

35 Tabela 4.1 Excenticidade obital Enegia Excenticidade Cônica E < 0 0 e < 1 elipse E = 0 e = 1 paábola E > 0 e > 1 Hipébole Obsevou-se que em óbitas elípticas, o "semi-latus ectum" p vale p a ( 1 e ) Potanto a ( 1 e ) = h / µ. Pela integal das áeas H / m = h = A &, ou seja: ( e ) 1/ =. ab π a 1 A& π = =. (4.4) T T Potanto, vale: ( ) ( 1 e ) 4π a 1 e / T a µ = = π a T que é novamente a já familia expessão da 3 ª lei de Keple Enegia da óbita elíptica, (4.43) O valo da enegia paa óbitas elípticas pode agoa se deduzido a pati da expessão paa a excenticidade. Dada a Equação 4.40, obtém-se: e Eh = 1 +, µ p = 1+ E. µ Isolando E chega-se a: µ e 1 E =, p e potanto: µ e = a(1 e ) ( 1), (4.44) (4.45) µ E =. (4.46) a 5

36 4..5 Equação da vis-viva A chamada equação da "vis-viva" (enegia viva) é uma expessão que pemite cálculo imediato da velocidade obital. Ela é deduzida a pati do conhecimento do valo da enegia obital. Obteve-se anteiomente que: v / µ / = E. (4.47) Agoa, com o valo da enegia calculada pela Equação 4. chega-se a: v µ µ =, a 1 = µ, a que é a equação da "vis-viva". (4.48) 4.3 Movimento elíptico Mosta-se aqui as elações geométicas do movimento elíptico. Seja a Figua 4., com as seguintes definições: f é a anomalia vedadeia, u é a anomalia excêntica, p é o peiapse, peihélio, ou peigeu; a é o apoapse, afélio, ou apogeu; a é o semi-eixo maio, b é o semi-eixo meno, e p é o "semi-latus ectum". Como + = a e = c tem-se: p a a p e = c / a = a a p + p. (4.49) B y P a b a a p Q P S a a C u a e S p f x Figua 4. - Elipse do movimento obital 6

37 A pati da equação da elipse = p / (1 + e cos f ) deduz-se que quando está no ponto da tajetóia mais póxima da Tea (peigeu) onde o f = 0 o satélite = p, e quando o f = 180 o satélite está mais distante (apogeu), onde = a. Daí vêm que o "semi-latus ectum" vale: p = (1 + e) = (1 e). (4.50) p a Coodenadas catesianas de posição A pati da Figua 4. pode-se calcula as coodenadas catesianas de posição efeidas ao sistema Oxy, com a oigem O no foco da elipse, o eixo Ox apontando paa o peigeu, e o eixo Oy a 90 de Ox no sentido anti-hoáio. A coodenada x vale: x = cos f = a cosu c, (4.51) x = a (cos u e). (4.5) Em seguida, calcula-se o aio em temos da anomalia excêntica u. A pati da equação da elipse = p / (1 + e cos f ) tem-se que: p = + e cos f, = + ex, a e e a u e (1 ) = + (cos ), = a a e a e cos u + a e, (4.53) (4.54) ou seja, = a (1 ecos u). (4.55) Paa a coodenada y pate-se de y = x, e daí: y = a (1 ecos u) a (cos u e), = a (1 ecosu + e cos u cos u + e cos u e ), = a (1 e )(1 cos u). (4.56) Logo, y sen f a sen u (1 e ) 1/ = =. (4.57) 4.3. Relação ente f e u Dado x = cos f = a (cos u e), e = a (1 ecos u), têm-se: 7

38 cosu e cos f = x / =. (4.58) 1 e cosu Mas, lembando a elação tigonomética do aco metade vem: 1 cos f tan ( f / ) =, (4.59) 1 + cos f 1 (cos u e) / (1 ecos u) tan ( f / ) =, 1 + (cos u e) / (1 ecos u) e potanto f 1 e cosu cosu + e =, 1 e cosu + cosu e (1 + e)(1 cos u) =, (1 e)(1 + cos u) tan ( / ) tan ( / ) Equação de Keple, (4.60) 1+ e = u. (4.61) 1 e A equação de Keple fonece uma elação ente a anomalia excêntica e o tempo. Atavés dela é possível localiza onde o satélite se enconta em deteminado instante. A dedução da equação de Keple se inicia com a equação da elipse: 1 1+ ecos f =, p 1 e cos f = + a e a e (1 ) (1 ). (4.6) Deivando 1 / em elação a f vem: d(1/ ) e sen f =, (4.63) df a (1 e ) e como d(1/ ) 1 d =, (4.64) df df vem 8

39 a(1 e ) df = d. (4.65) e sen f Lembando que: = a (1 ecos u), (4.66) d = a e sen u du, (4.67) e lembando a Equação 4.57, com sen f = y /, tem-se: 1/ asen u (1 e ) sen f =, a (1 e cos u) sen u (1 e ) = 1 e cosu 1/. Substituindo este esultado na Equação 4.65, junto com 4.67 chega-se a: a e e u e sen u (1 e ) (1 ) 1 cos df = a e u du 1/ 1/ = a (1 e ) (1 e cos u) du. sen, (4.68) (4.69) Dividindo ambos os membos po dt, e lembando da integal da áea, df 1/ = h = ( µ p), (4.70) dt vem du µ p a e e u dt 1/ 1/ ( ) = (1 ) (1 cos ) 1/ 1/ ( ) = (1 ) (1 cos ) µ p dt a e e u du 1/ 1/ µ a(1 e ) dt = a (1 e ) (1 e cos u) du µ a dt = a e u du 1/ ( ) (1 cos ) µ a dt = e u du 3 1/ ( / ) (1 cos ) (4.71) Supondo a constante de integação T, de tal modo que paa t = T (passagem pelo peigeu), u = 0, a integação da equação fonece: 3 1/ ( µ a ) t T = ( e u du) u / ( ) 1 cos ), 0 [ u e u] = sen, = u e sen u. u 0 (4.7) 9

40 3 Agoa, definindo-se a velocidade angula n ( / a ) 1/ = µ, também chamada de movimento médio ("mean mean motion"), po se a velocidade angula média do movimento obital, tem-se: n( t T ) = u e sen u. (4.73) O lado esquedo da equação é um ângulo M denominado de anomalia média: M = n( t T ). (4.74) Potanto a foma final da equação de Keple é: M = u e sen u. (4.75) É impotante lemba que dada a anomalia vedadeia f, pode-se calcula a anomalia excêntica u e daí, pela equação de Keple, calcula a anomalia média. O caminho contáio também é válido. A equação de Keple é uma equação tanscendental que pode se esolvida de váias maneias. A mais comum é a utilização do método de Newton-Raphson, com o auxílio de computado Coodenadas catesianas de velocidade Anteiomente obteve-se as coodenadas catesianas de posição pelas seguintes expessões: x = cos f = a (cos u e), (4.76) y sen f a sen u (1 e ) 1/ = =, (4.77) a (1 e ) = = a (1 ecos u). (4.78) 1+ e cos f Paa se obte as coodenadas de velocidade, basta deivá-las em elação ao tempo: x& = a sen u u&, (4.79) & = cos (1 ) &, (4.80) 1/ y a u e u v = x& + y&. (4.81) A vaiação tempoal da anomalia excêntica u& pode se obtida a pati da equação de Keple: M = n( t T ) = u e sen u. (4.8) Deivando-se em elação ao tempo, obtém-se: n = u& (1 e cos u), (4.83) donde se conclui que: 30

41 n u& =. (4.84) 1 e cos u Lembando que / a = 1 e cosu, vem: na u& =, (4.85) na x& = senu, (4.86) na y = cos u (1 e ) 1/ &. (4.87) 4.4 Óbita cicula Uma óbita cicula é um caso paticula da óbita elíptica. Na óbita cicula a excenticidade é nula, e, como conseqüência, não há como identifica o peigeu. Impondo a condição de que a excenticidade seja nula na equação de Keple, pecebe-se que a anomalia média coincide com a anomalia excêntica em óbitas ciculaes, isto é, M = u. Da mesma foma, a Equação 4.61 mosta que a anomalia excêntica fica igual à anomalia vedadeia nesta óbita, e assim M = u = f. A Equação 4.55 indica, po sua vez, que na óbita cicula o aio é constante e igual ao semi-eixo maio a em qualque local dela. A velocidade, calculada po meio da equação da vis-viva (Equação 4.48), esulta, na óbita cicula, um valo também constante que independe da posição: v µ =. (4.88) a Decoe disto que a foça gavitacional é também constante em toda a óbita e pependicula à velocidade. Investiga-se agoa a elação ente o módulo da velocidade em óbitas que se tocam no peigeu ou no apogeu, como mostado na Figua 4.3. As óbitas H e L são ciculaes, enquanto que E é uma óbita elíptica cujo aio do peigeu coincide com o aio da óbita baixa L e cujo aio do apogeu é igual ao aio da óbita alta H. Da equação da vis-viva tia-se que as velocidades no peigeu e apogeu da óbita elíptica são dadas espectivamente po: v p = µ 1+ e a 1 e e (4.89) e 31

42 v a = µ 1 e a 1+ e e (4.90) Po outo lado, da imposição dos pontos de contacto na óbita, tia-se que a h = a = a e (1 + e). Igualmente, a l = p = a e (1 e), de onde tem-se: a l < a e < a h. E v p H L v l a h = a a l = p v a v h Figua 4.3 Geometia com tês óbitas co-planaes. Com base na expessão da velocidade paa a óbita cicula, as velocidades nas óbitas L e H em função dos elementos da óbita elíptica ficam, espectivamente: v l = µ a e 1 1 e (4.91) e v h = µ a e 1 1+ e (4.9) Po meio destas expessões pecebe-se que a velocidade no peigeu v p é a maio delas. A velocidade na óbita L pode se posta em função da velocidade no peigeu, esultando: vp vl = < v 1+ e p (4.93) Faz-se agoa o mesmo pocedimento, e calcula-se a velocidade da óbita H em função de v l : 3

43 1 e vh = vl < vl, (4.94) 1+ e e a velocidade no apogeu em função da velocidade v h : v = v 1 e < v (4.95) a h h Pecebe-se que as elações envolvendo a excenticidade no segundo membo são todas menoes do que a unidade, o que leva à seguinte desigualdade: va < vh < vl < vp. Isto mosta que paa tansfei um satélite de uma óbita mais baixa L paa uma óbita mais alta H deve-se impulsioná-lo de foma a tansfoma a óbita cicula inicial numa óbita elíptica, e, em seguida, aumenta novamente a velocidade no apogeu de foma a tansfoma a óbita elíptica em cicula. Apesa destes dois impulsos a óbita final tem velocidade meno do que a óbita inicial, pois va < vl. 4.5 Execícios 1. Demonsta a equação da "vis-viva" v = µ ( / 1 / a), a pati das coodenadas de velocidade do movimento plano em temos da anomalia excêntica: na x& = sen u, na 1/ y& = u e. cos (1 ) 5. Dados µ = 3, Km 3 /s, P (peíodo da óbita) = 7000 seg., e (excenticidade) = 0,08, e T (tempo de passagem pelo peigeu) = 1987-fev-1 00:00:00 hoas, a) calcula as coodenadas de posição e velocidade no plano obital paa o instante t = 1987-fev-1 00:30:00 hoas; b) acha as anomalias excêntica, vedadeia e média; c) faze um esboço da elipse e dos ângulos envolvidos. 3. Dada a anomalia excêntica π / às 07h57min, quando foi a última passagem pelo peigeu de um satélite com semi-eixo maio de 4R t (aios teestes) e excenticidade 5 de π / 4? (Dados R t =6378 Km e µ = 3, Km 3 /s ) 4. Um satélite é lançado no peigeu com altua de 6 Km sobe a Tea (R t = 6378 Km), e cujo apogeu atinge 36 Km de altua. Detemine: a) a constante da velocidade aeola; b) a velocidade no apogeu; c) o peíodo da óbita. 33

44 5. Se a anomalia excêntica de uma óbita geocêntica desconhecida é 30, e 0 minutos após é 60, quais são a excenticidade e o semi-eixo maio se em outos 0 5 minutos a anomalia excêntica é de 90? ( µ = 3, Km 3 /s ) 6. Um satélite tem sua óbita com excenticidade 0,3 e altua do peigeu de 380 Km. Detemina a altua do apogeu, a enegia total, o momento angula específico e o 5 peíodo. (Raio da Tea = 6378 Km, µ = 3, Km 3 /s ) 7. Calcule os incementos de velocidades necessáios paa tansfoma uma óbita cicula a 00 km de altua numa óbita também cicula a km de altua. Admita que estes incementos ocoam apidamente, e considee o Raio da Tea = Km e µ = 3, Km 3 /s 34

45 5 POSICIONAMENTO DE SATÉLITES - PROBLEMA DIRETO O movimento plano obital, ou seja, o movimento no plano da óbita já foi discutido no capítulo anteio. Passa-se agoa a analisa o movimento do satélite no espaço, em elação à Tea. 5.1 Elementos kepleianos Os elementos kepleianos ou clássicos constituem coodenadas que posicionam completamente o satélite e sua óbita. No movimento plano, foam definidos 3 dos elementos kepleianos: o semi-eixo maio a, a excenticidade e, e a anomalia média M, que definem a elipse e localizam o satélite no plano da elipse. Entetanto, paa se defini completamente a óbita necessita-se localizá-la espacialmente. Paa tanto se deve defini os chamados ângulos de Eule da óbita, que ecebem nomes bastante específicos. Assim, seja o sistema OXYZ centado no cento da Tea e cujo plano fundamental OXY é o plano do Equado. O eixo OX aponta paa o chamado ponto venal γ, e o sistema OXYZ é potanto consideado inecial. Pela Figua 5.1, pode-se defini alguns pontos notáveis da geometia obital: Ω é o nodo ascendente, ponto onde a óbita cuza o plano do Equado, a pati do hemisféio sul paa o note, Π é o peigeu, ponto da elipse mais póximo do foco, cento da Tea. Pela mesma figua pode-se nota os ângulos de Eule i, Ω, ω, denominados: i : é a inclinação da óbita em elação ao Equado, 0 i 180, Ω: é ascensão eta do nodo ascendente, ângulo ente a oigem do eixo OX e o OΩ, 0 Ω 360 o, e o ω: é o agumento do peigeu, ângulo ente OX e OΠ, 0 ω 360 o. Nota-se que ω e f são ângulos medidos no plano da elipse obital, ao passo que Ω é medido no plano do Equado. Os elementos a, e, i, Ω, ω, e M definem a óbita no espaço, e são chamados de elementos kepleianos. 5. Tansfomação de coodenadas O poblema aqui é o de se obte as coodenadas catesianas X, Y, Z, X &, Y &, e Z &, a pati dos elementos kepleianos. Inicialmente, deve-se calcula as coodenadas no plano obital Oxy, confome visto no capítulo anteio. Recapitulando: o o 35

46 x = a (cos u e), (5.1) y a sen u (1 e ) 1/ =, (5.) z = 0, (5.3) na x& = senu, (5.4) na 1/ y& = u e, (5.5) cos (1 ) z& = 0, (5.6) onde z = z& = 0 espelha o fato do movimento se da no plano obital. z i Z y a equado γ X O Ω p ω Ω f Π peigeu x Y nodo ascendente óbita Figua Geometia paa definição dos elementos obitais Dados os ângulos de Eule da óbita i, Ω, e ω, existe uma matiz de otação R, função desses ângulos, que poduz a tansfomação: X = R ( i, Ω, ω) x, (5.7) onde X = ( X Y Z) T, e x = ( x y z) T. A tansfomação completa é ealizada atavés de 3 otações dos ângulos Ω, i, e ω em tono dos eixos instantâneos de otação Z, X, e Z. Em outas palavas: X = R ( Ω) R ( i) R ( ω) x. (5.8) Z X Z 36

47 Lembando que as matizes de otação R z ( θ ) e R x( θ ) são definidas po: cosθ sen θ 0 R z ( θ ) = sen cos 0 θ θ, (5.9) R x( θ ) = 0 cos sen θ θ, (5.10) 0 sen θ cosθ chega-se a: cω cω sω ci sω cω sω sω ci cω sω si R( i, Ω, ω ) = c ws s c c ci s s s c ci c c si Ω ω + Ω ω Ω ω+ Ω ω Ω, (5.11) si sω si cω ci onde c cos, s sen, paa simplifica a notação. Paa se obte as componentes de velocidade utiliza-se a mesma matiz de otação: X & = R ( i, Ω, ω) x &, (5.1) onde X & = ( X & Y & Z & ) T, e x& = ( x& y& z& ) T. 5.3 Resumo da tansfomação Dados os elementos kepleianos a, e, i, Ω, ω, e M, calcula o veto de estado x, y z, x&, y& e z&. Os seguintes passos de cálculo podem se seguidos: 1. esolve a equação de Keple M = u e sen u paa se obte u,. calcula o movimento médio n atavés de n = µ, e a distância geocêntica po meio de = a (1 ecos u). 3. calcula as coodenadas x, y, x& e y& do plano obital via: x = a (cos u e), (5.13) y a sen u (1 e ) 1/ =, (5.14) na x& = sen u, (5.15) na 1/ y& = u e, (5.16) cos (1 ) 4. monta o veto de estado no plano obital com x = ( x y 0) T e x& = ( x& y& 0) T a 3 37

48 5. calcula a matiz de otação R ( i, Ω, ω), 6. calcula o veto de estado X e X & via: X = R ( i, Ω, ω) x, (5.17) X & = R ( i, Ω, ω) x &. (5.18) 5.4 Execícios 5 1. Dados R t = 6378 km, µ = 3, km 3 /s, a = 1,5 R t, e = 0,1, i = 30, Ω = 45 o, ω = 60 o, e T (Tempo de passagem pelo peigeu) = 196-jun- 16:01:05 hoas. Calcula o veto de estado (X, Y, Z, X &, Y &, e Z & ) no sistema geocêntico paa o instante 196-jun-3 0:15:00 hoas. 38

49 6 POSICIONAMENTO DE SATÉLITES-PROBLEMA INVERSO Neste capítulo desceve-se-á o poblema inveso do posicionamento de satélites. Isto é, dadas as coodenadas catesianas (ou veto de estado) X, Y, Z, X &, Y &, e Z &, calcula os elementos kepleianos da óbita a, e, i, Ω, ω, e M. 6.1 Semi-eixo maio a Inicialmente calcula-se os módulos do veto posição e velocidade: = X + Y + Z, (6.1) v = X& + Y& + Z&. (6.) e lembando a equação da "vis-viva": 1 v = µ, a chega-se a: (6.3) 1 v =. (6.4) a µ 6. Excenticidade e Lembando a equação do aio veto: = a (1 ecos u), (6.5) vem que e cosu = 1 / a. Deivando-se em elação ao tempo obtém-se: e sen u u& = & / a. (6.6) Como na u& = vêm & e sen u =. (6.7) na O temo & pode se calculado a pati de um simples tuque. Calcula-se: & = XX& + YY& + ZZ&, (6.8) e lembando que & = v cosθ, onde v cosθ é a velocidade adial, ou seja, &, tem-se: & = & = XX& + YY& + ZZ&, (6.9) Potanto, tem-se as seguintes elações: 39

50 & e sen u =, (6.10) na ecosu = 1 (6.11) a Agoa, a excenticidade e pode se obtida quadando-se e somando-se as Equações 6.10 e 6.11: & e = + 1 na a 1/. (6.1) A anomalia excêntica u pode se obtida dividindo-se membo a membo as Equações 6.10 e 6.11: tanu = & ( ) / ( na ) 1 / a, (6.13) e ealizando análise de quadante paa defini o ângulo u. Outa maneia de se calcula a excenticidade é a pati da expessão do "semi-latus ectum": = (1 ) (6.14) p a e donde e h = v vem: = 1 p / a. Como p = h / µ, e h pode se calculado pelo poduto vetoial h e = 1. (6.15) µ a Esta expessão, apesa de simples, não é feqüentemente utilizada pois poduz eos numéicos quando e 0. Po exemplo, o temo dento da aiz quadada pode se tona negativo. 6.3 Anomalia média M A anomalia média é obtida facilmente atavés da equação de Keple: M = u e sen u. (6.16) Se a excenticidade foi obtida atavés da expessão e = 1 h / µ a, então deve-se acha u de outa maneia. Po exemplo, acha a anomalia vedadeia f, e depois utiliza a elação: 1/ 40

51 f 1+ e = u. (6.17) 1 e tan ( / ) tan ( / ) 6.4 Inclinação i A inclinação da óbita pode se obtida com o cálculo do momento angula específico h: h = v, X Y Z = X& Y& Z&, Iˆ Jˆ Kˆ ( & & ) ( & & ) ( & & ) = YZ ZY Iˆ + ZX XZ Jˆ + XY YX Kˆ, = h Iˆ + h Jˆ + h Kˆ, x y z (6.18) h = h + h + h (6.19) x y z, onde Î,Ĵ, Kˆ são os vesoes nas dieções X, Y e Z, e h x, h y, e h z são as componentes do momento angula nas mesmas dieções. Pela Figua 6.1 nota-se que o veto momento angula, que é pependicula ao plano da óbita, foma o ângulo i com o eixo Z. Potanto: cos i = h / h, (6.0) z com o 0 i 180. o Z h z h i i plano da óbita equado Figua Veto momento angula 6.5 Ascensão eta do nodo ascendente Ω A melho maneia de calcula Ω é po meio da definição de um veto Ω, com oigem no cento O e passando pela linha dos nodos, confome mosta a Figua

52 Z i h Ω y Y γ X Ω Ω Y Ω x X Ω Ω Figua 6. - veto Ω Como o momento angula h é pependicula ao plano da óbita, ele também é pependicula ao veto Ω que está contido no plano da óbita. Assim, pode-se esceve: Ω = ˆK h, (6.1) onde Kˆ é o veso no eixo Z. Daí, têm-se que: Ω = Iˆ Jˆ Kˆ 0 0 1, h h h x y z (6.) = h Iˆ + h Jˆ. y x Pela mesma Figua 6., tia-se que: Ω y hx tan Ω = = Ω h x y, (6.3) onde Ω x e Ω y são as componentes do veto Ω nas dieções X e Y. O sinal negativo em h y foi mantido no denominado paa enfatiza o sinal do co-seno paa fins de análise de quadante no cálculo de Ω. 6.6 Agumento do peigeu ω O cálculo do ângulo ω denominado agumento do peigeu, eque a definição de um ângulo auxilia υ chamado de longitude vedadeia. A longitude vedadeia é simplesmente a soma do agumento do peigeu com a anomalia vedadeia: 4

53 υ = ω + f. (6.4) A anomalia vedadeia f pode se obtida atavés das expessões paa as coodenadas x e y do plano obital: x = cos f = a (cos u e), (6.5) y sen f a sen u (1 e ) 1/ = =. (6.6) Calcula-se a tangente via: tan f = sen u (1 e ) cosu e 1/, (6.7) onde u foi calculado na Equação Em seguida, deve-se analisa coetamente os quadantes paa se obte o ângulo f. A Figua 6.3 mosta os ângulos envolvidos. Nota-se que com duas otações, pode-se tansfoma coodenadas efeidas ao sistema OXYZ até o ponto onde se localiza o satélite. Z Y satélite f Π peigeu equado Ω ω i Y γ X óbita X nodo ascendente Figua Longitude vedadeia Assim, as coodenadas coespondentes a OX Y, onde X aponta paa o nodo e Y está no plano obital, a 90 de X, podem se obtidas via: X' = R ( i) R ( Ω) X, (6.8) x z Poém, as coodenadas do satélite no sistema OX Y Z são facilmente calculadas po 43

54 X ' = cosυ = cos( ω + f ), Y ' = sen υ = sen ( ω + f ), Z ' = 0. Explicitando essa tansfomação vem: (6.9) cos υ cosω sen Ω 0 X sen υ = 0 cosi sen i sen Ω cosω 0 Y, 0 0 sen i cosi Z, (6.30) cosω sen Ω 0 X = cosi sen cosi cos sen i Y Ω Ω. sen i sen Ω sen i cos Ω cosi Z e potanto: donde, cos υ = cosω X + sen Ω Y, (6.31) sen υ = cosi sen Ω X + cosi cosω Y + sen i Z, (6.3) tan υ = cosi sen Ω X + cosi cos Ω Y + sen i Z cosω X + sen Ω Y. (6.33) Finalmente, o agumento do peigeu é calculado po: ω = υ f. (6.34) 6.7 Execícios 1. Dados R t = 6378 Km, 5 µ = 3, Km 3 /s, X = 1R t, Y = R t, Z = 3R t, X & = 0,5 km/s, Y & = 1,5 km/s, e Z & = km/s no sistema geocêntico, calcula os elementos kepleianos coespondentes hoas mais tade. 44

55 7 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sabe-se que as posições na supefície da Tea são completamente especificadas com efeência ao meidiano de Geenwich e ao Equado. A especificação das posições na esfea celeste é um pocesso simila e existem váios métodos paa faze isso dependendo dos cículos maioes escolhidos como cículos pincipais. O sistema é definido de acodo com o cento de coodenadas ou a oigem da efeência escolhida: topocêntico, se o cento estive na supefície teeste; geocêntico, se o cento coincidi com o cento da Tea; heliocêntico, se o cento de coodenadas coincidi com a posição do Sol; planetocêntico, se a oigem estive coincidindo com a posição de um planeta escolhido; baicêntico se a oigem estive no cento de massa de um sistema de copos, etc. Define-se um cículo maio como a cicunfeência obtida pela inteseção de um plano com a supefície de uma esfea, e tal que o plano contenha o cento da esfea. Um cículo meno é também obtido pela inteseção do plano com a esfea, poém neste caso o plano não contém o cento da esfea. 7.1 Sistemas pincipais Existem quato sistemas pincipais paa especifica as posições de copos celestes na esfea celeste Sistema hoizontal (topocêntico) Refeindo-se a Figua 7.1, seja O' um obsevado na supefície da Tea e Z, o zênite, que é definido po um ponto na esfea celeste veticalmente em cima do obsevado. Isto é, O'Z é a continuação da eta que liga o cento da Tea ao ponto O'. O plano pependicula a O Z, e que cota a esfea celeste no cículo maio NOS, é chamado hoizonte celeste ou simplesmente hoizonte. Seja X a posição de um copo celeste. O cículo maio passando atavés dos pontos Z, X e X é chamado um cículo vetical. No plano de ZXX, o ângulo XO X ou o aco X X é denominado elevação (ou altitude), h, de X. Agoa, ZX = ZX ' X ' X, = 90 o h, (7.1) é chamada distância do zênite. Seja KXM um cículo meno paalelo ao hoizonte. Então, todos os copos celestes, cujas posições ficam no cículo meno KXM num ceto instante têm a mesma elevação e a mesma distância do zênite. Potanto, paa defini a posição do copo em questão completamente, pecisa-se especifica o cículo vetical sobe o qual ele está situado. 45

56 Seja O P paalelo ao eixo da otação da Tea. Quando a latitude do obsevado é note, a posição P é chamada pólo celestial note ou simplesmente pólo note. A posição de Polais, a estela do pólo note, é apoximadamente dada pela dieção de O'P. Z K S X h O M P X O A Hoizonte local E Figua Sistema hoizontal N O cículo vetical atavés dos pontos Z, P e N é definido como cículo vetical pincipal e o ponto N como ponto note do hoizonte. O ponto S, exatamente oposto a N, é o ponto sul, e o ponto O, o ponto oeste. Conseqüentemente, pode-se defini a segunda coodenada paa especifica a posição do copo celeste X num dado momento em elação ao cículo vetical pincipal. O ângulo NO'X' ou o aco NX' é chamado azimute, A, do X. Se X estive na pate oeste da esfea celeste, como mostado na Figua 7.1, o azimute é denominado azimute (O) e, se não, azimute (E). Assim, num dado instante, a posição de um copo celeste na esfea celeste é completamente especificada em elação ao hoizonte e ao ponto note do hoizonte em temos de elevação e azimute (O ou E), ou distância de zênite e azimute. Uma outa maneia de medi o azimute é no sistema NESO (Note-Este-Sul-Oeste), onde o azimute vaia ente 0 e 360 e é medido a pati do ponto N na dieção leste. Resumindo, as caacteísticas do sistema hoizontal são apesentadas na Tabela 7.1. Devido ao movimento de otação da Tea, a elevação e o azimute de um copo celeste (uma estela, po exemplo) vaiam com o tempo. 46