Apresentado para: Hélio Morishita Professor Dept. de Engenharia Naval e Oceânica. Preparado por:

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1 PRINCÍPIOS FUNDAMENAIS DA RANSFERÊNCIA DE CALOR Apesentado paa: Hélio Moishita Pofesso Dept. de Engenhaia Naval e Oceânica Pepaado po: Macelo Rosáio da Baosa Aluno de Gaduação Dept. de Engenhaia Naval e Oceânica Agosto 004

2 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo ÍNDICE A. INRODUÇÃO...4 B. OBJEIVO...5 C. DEFINIÇÕES...6 a. Calo;...6 b. Condução;...8 c. Radiação;...10 D. DEDUÇÃO DAS EQUAÇÕES GERAIS...16 a. ansmissão de Calo po Convecção;...16 a.1 Coodenadas Catesianas:...17 a. Coodenadas Cilíndicas:...19 b. ansmissão de Calo po Radiação;... c. ansmissão de Calo po Convecção;...5 c.1 Métodos de Avaliação do Coeficiente de ansmissão de Calo po Convecção;...6 c.1.i Análise dimensional combinada com expeiências:...6 c.1.ii Soluções matemáticas exatas da equação da camada limite:...7 c.1.iii Análise apoximada da camada limite po métodos integais:...37 c.1.iv Analogia ente tansfeência de calo, de massa e de quantidade de movimento..41 c. Papel das Aletas na ansmissão de Calo po Convecção;...46 BIBLIOGRAFIA...48 ii

3 Macelo Rosáio da Baosa FIGURAS E ABELAS Figua 1: Elemento mateial de copo sólido, na foma de paalelepípedo, a pati do qual seão deduzidas as equações da tansmissão de calo po condução paa coodenadas catesianas Figua : Repesentação de um ponto no espaço a pati das coodenadas cilíndicas Figua 3: Gáfico de E bλmax λ,... 4 Figua 4: Gáfico E bλmax... 4 Figua 5: Gáfico E bλ /E bλmax λ... 4 Figua 6: Gáfico E 0-λ /E 0- λ... 4 Figua 7: Gáfico da solução numéica obtida paa a Eq. D.c.1.ii Figua 8: Vaiação do coeficiente de aasto em função do númeo de Reynolds... 3 Figua 9: Gáfico da azão de tempeatua em função de η, paa os divesos valoes do númeo de Pandtl, P = µc p /k Figua 10: Volume de contole paa análise apoximada da quantidade de movimento de uma camada limite Figua 11: Volume de contole paa balanço apoximado de enegia dento de uma camada limite Figua 1: Vaiação da velocidade instantânea com o tempo. Obseva-se que os valoes aqui apesentados são bastante intuitivos... 4 Figua 13: Compimento de mistua paa tansfeência de enegia iii

4 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo A. INRODUÇÃO Este tabalho destina-se pincipalmente aos alunos que iniciam suas atividades no amo de ansfeência de Calo. Poém, sua fomatação claa e concisa pemite que o mesmo siva de fonte de pesquisa ápida e elementa paa pofissionais que atuem no seto. Nele, seão apesentados e discutidos conceitos básicos da disciplina supa citada, atavés das definições dos seus temos mais comuns e do equacionamento das tês fomas em que o calo pode se tansfeido ente os copos. Pimeiamente, seão apesentadas as definições dos temos calo, condução, adiação e convecção, junto à intodução de algumas fómulas básicas que auxiliaão no entendimento destes temos. Em seguida, seão deduzidas as fómulas geais destes tês métodos de tansfeência de calo. Paa a condução, seão deduzidas as fómulas geais paa coodenadas catesianas e cilíndicas, epesentadas pelas Eq. D.a1.6 e Eq. D.b1.6, espectivamente. Paa a adiação, seá deduzida a equação geal desta foma de tansfeência de calo, epesentada pela Eq. D.b., e seá explicado como a adiação pode ocoe. Paa a convecção, seá deduzida a fómula geal de tansfeência de calo desta foma, epesentada pela Eq. C.d.1, e seão explicados os quato métodos de obtenção do coeficiente de tansmissão de calo po convecção. Po último, seá explicado o papel das aletas neste método de tansmissão de calo. 4

5 Macelo Rosáio da Baosa B. OBJEIVO O objetivo deste tabalho é intoduzi os conceitos básicos fundamentais da disciplina ansfeência de Calo, a qual é lecionada na maioia dos cusos de gaduação em engenhaia. Seu texto é dedicado pincipalmente aos alunos que estejam passando po uma pimeia abodagem sobe o tema, pois os assuntos aqui apesentados são elementaes no estudo da disciplina supa citada. Isto não diminui, poém, a impotância dos conceitos aqui apesentados, pois estes epesentam a base paa um estudo mais apofundado de ansfeência de Calo. Sendo assim, este texto pode pefeitamente sevi como fonte de consulta paa pofissionais do amo que desejem fazê-la de foma ápida e dieta. ambém é um objetivo deste texto intoduzi as infomações descitas acima de foma claa, dieta e concisa, com apenas algumas deduções matemáticas que possam esclaece a oigem de algumas das fómulas mais impotantes da ansfeência de Calo. 5

6 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo C. DEFINIÇÕES Nesta seção seão intoduzidos alguns temos de vital impotância paa o bom entendimento deste tabalho. Seão, também, explicados seus significados e suas aplicações mais usuais. Os temos aqui apesentados são: Calo, Condução, Radiação, Convecção. a. Calo; Segundo definição do dicionáio Auélio, calo é... a foma de enegia que se tansfee de um sistema paa o outo em vitude duma difeença de tempeatua existente ente os dois, e que se distingue das outas fomas de enegia poque, como o tabalho, só se manifesta num pocesso de tansfomação. 1 Desta definição de calo pode-se obseva que o calo nada mais é do que uma foma de enegia. A maneia com que esta enegia altea as popiedades (dependentes ou independentes de um sistema no estado de equilíbio é escopo do estudo da emodinâmica Clássica. Já os efeitos que ocoem duante o pocesso da tansmissão da enegia em foma de calo é escopo da ansfeência de Calo. Dente estes efeitos, exalta-se a vaiação da taxa tempoal de tansmissão de calo (vaiável não consideada na temodinâmica. Os pincipais pincípios da emodinâmica devem esta bem assimilados a fim de se absove o conteúdo deste tabalho da foma mais efetiva. 1 Feeia, Auélio Buaque de Holanda, Novo Dicionáio Auélio, Editoa Nova Fonteia, Rio de Janeio, Basil. p

7 Macelo Rosáio da Baosa Além disso, a definição supa citada sugee a Pimeia Lei da emodinâmica, que, simplificadamente, diz que a enegia (na foma de calo ou tabalho não é ciada, e sim, tansfomada. Matematicamente, consideando um sistema fechado (i.e. m =0, pode-se esceve este pincípio pela equação que segue (aplicada a um volume de contole: dqi dwj = E Eq C.a.1 dt dt i J Na equação acima, W simboliza Enegia na foma de abalho, Q simboliza a enegia na foma de calo e E simboliza a vaiação de enegia de um sistema. Como se pode nota, as duas gandezas estão aplicadas à azão d/dt. Poém, esta fomulação deve se aplicada ao estado de equilíbio do sistema temodinâmico. Seus esultados indicam somente que a somatóia das taxas de vaiação de calo e de tabalho, dento de um volume de contole em um sistema fechado, são constantes, e podem se tansfomadas de uma foma paa a outa. Os valoes da vaiação tempoal destas taxas, assim como sua dependência do tipo de meio e da supefície de absoção/emissão de calo, não são aqui consideadas. Como citado anteiomente, estes são aspectos abodados pela ansfeência de Calo. Moan, Michael J. e Howad N. Shapio, Fundamentals of Engineeing hemodynamics, 000, John Wiley & Sons Inc., New Yok City, USA. 7

8 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo b. Condução; 3 A condução é um pocesso pelo qual o calo flui de uma egião de tempeatua mais alta paa outa de tempeatua mais baixa, dento de um meio (sólido, líquido ou gasoso ou ente meios difeentes em contato físico dieto. 4 Essa explicação abange tanto a apesentação da Segunda Lei da emodinâmica, quando se diz que a tansmissão de calo pate de uma egião de tempeatua mais alta paa outa de tempeatua mais baixa, quanto a definição específica do pocesso de tansmissão de calo po Condução:...em contato físico dieto.. Potanto, a tansmissão de calo po Condução ocoe quando copos em difeentes tempeatuas estão litealmente encostados um no outo. A enegia (calo do copo de tempeatua mais alta agita as moléculas do copo de tempeatua mais baixa, fazendo com que a enegia cinética média das moléculas deste último se eleve, aumentando, assim, sua enegia intena. Conseqüentemente, a tempeatua do copo que está ecebendo a enegia em foma de calo se eleva até o estado de equilíbio. Paa ilusta este fenômeno, imagina-se um bule com água fevendo ao fogão. O fogo aquece o bule, o qual, po condução, aquece a pacela de líquido que está em contato dieto com o mesmo. Esta tansmissão de calo po condução é a única maneia de que o calo pode se tansmitido ente copos sólidos opacos. Já em meios líquidos, a condução também apesenta gande impotância, emboa esteja, quase sempe, elacionada com outos meios de tansmissão de calo. 3 Keith, F. e Bohn, MS., Pincípios de ansfeência de Calo, 1977, Editoa Edgad Blüche, São Paulo p. 1 a 1. 4 Keith, F. e Bohn, MS., Pincípios de ansfeência de Calo, 1977, Editoa Edgad Blüche, São Paulo p. 3. 8

9 Macelo Rosáio da Baosa Segundo definição do cientista fancês J.B.J. Fouie, em 188, a quantidade de calo tansmitida po condução segue a seguinte lei: d q k = ka Eq. C.b.1 dx Na fomulação acima, k epesenta a condutividade témica do mateial, A epesenta a áea da seção atavés da qual o calo flui po condução (medida pependiculamente à dieção do fluxo, e d/dx epesenta o gadiente de tempeatua na seção. Nesta fomulação, toma-se como convenção a dieção de aumento na coodenada x como fluxo positivo de calo. Sabendo-se que, pela segunda lei da temodinâmica, o calo flui da egião de maio tempeatua paa a egião de meno tempeatua, deve-se adota o sinal negativo paa o poduto acima, confome mosta a equação C.b.1. Como se pode obseva pelo balanço de unidades da fómula acima, q k é medido em quantidade de calo po unidade de tempo. Usualmente, esta gandeza é expessa em kilocaloias po hoa, ou kcal/h. O valo da condutividade témica vaia de apoximadamente kcal/hm o C, paa os gases, até kcal 3,6 10, paa o cobe. Os mateiais que têm alta condutibilidade o h m C témica são chamados condutoes, enquanto os de baixa condutibilidade são chamados isolantes. Aplicando a fómula acima a uma paede plana, em egime pemanente, pode-se facilmente chega ao seguinte esultado: q k = Ak Eq. C.b. L Onde L é a espessua da paede. 9

10 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo Dividindo os dois temos pelo fato A k, teemos que a quantidade de calo tansmitida po unidade de tempo seá igual à difeença de tempeatua ente os dois lados da paede, sobe o fato L A k. A este último fato, dá-se o nome de Resistência émica à Condução. Potanto, defini-se Resistência émica à Condução como segue: R k L = Eq. C.b.3 A k Potanto, a quantidade de calo po unidade de tempo tansmitida em egime pemanente po uma paede plana pode se escita simplesmente como: q k = Eq. C.b.4 R k Esta equação é bastante usada paa simplifica poblemas de ansmissão de Calo. c. Radiação; 5 A adiação é um pocesso pelo qual o calo é tansmitido de um copo a alta tempeatua paa um de mais baixa quando tais copos estão sepaados no espaço, ainda que exista vácuo ente eles. 6 Po esta definição, vê-se que não há necessidade de um contato físico ente os copos paa que a enegia (na foma de calo seja tansmitida ente eles. Ao calo tansmitido desta foma dá-se o nome de calo adiante. Esta foma de enegia se assemelha fenomenologicamente à adiação da luz, difeindo-se apenas nos compimentos de onda. A tansmissão do calo adiante ocoe na foma de quanta (poções discetamente definidas de enegia. Paa ilusta este fenômeno, tenta-se imagina como a enegia sola é tansmitida paa os demais astos (a ea, po exemplo, sendo que há paticamente vácuo ente eles. Nas nossas aplicações páticas, o calo adiante tem vital impotância no pojeto de, po exemplo, uma caldeia. Além da enegia 5 Keith, F. e Bohn, MS., Pincípios de ansfeência de Calo, 1977, Editoa Edgad Blüche, São Paulo p.1 a 1. 6 Keith, F. e Bohn, MS., Pincípios de ansfeência de Calo, 1977, Editoa Edgad Blüche, São Paulo p

11 Macelo Rosáio da Baosa que é tansmitida do combustível queimado paa as paedes da caldeia, existe também uma pacela de calo adiante que é tansmitido paa seus demais componentes. Potanto, existem peças que devem se adicionadas à caldeia de foma a potege, po exemplo, os supeheates deste calo adiante excessivo. 7 odos os copos que possuem tempeatua absoluta difeente de zeo emitem calo adiante, poém, dependendo da composição do copo e de outos equisitos, esta quantidade pode se maio ou meno. Paa os copos chamados iadiadoes pefeitos, ou copos negos, esta quantidade de calo emitida po iadiação po unidade de tempo pode se escita como segue: q k 4 = σ A Eq. C.c.1 Na equação acima, σ é chamada de constante de Stefan-Boltzmann, tendo o valo 8 kcal expeimental de σ = 4, h m K, A é a áea total da supefície em metos quadados, e é a tempeatua absoluta do copo (na áea, medida em Kelvin. Po esta fomulação, nota-se que a quantidade de calo emitida po um copo nego independe das condições dos aedoes do copo. Poém, paa nossos casos páticos, é inteessante conhece a toca de calo ente dois copos. Potanto, a enegia que um copo nego emite paa um outo copo nego que o envolve completamente pode se dada pela fomulação abaixo. q k 4 4 = σ A ( Eq. C.c. 1 1 Na fómula acima, o temo epesenta a tempeatua do copo que está posicionado extenamente, ou seja, que envolve, enquanto o temo 1 epesenta a tempeatua do copo que está posicionado intenamente, ou seja, que é envolvido. Obviamente, em casos páticos, não se utilizam muitos copos com caacteísticas de copos negos. Potanto, paa estes casos, adiciona-se um temo multiplicado que modifica 7 Li, K. W., e A. P. Piddy, Powe Plant System Design John Wiley & Sons Inc., New Yok City,USA. p. 138 a

12 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo a equação acima. Este temo leva em conta as emissividades (fações de emissão de iadiação do copo em elação aos copos negos e as geometias dos copos eais, sendo usualmente epesentado pelo símbolo F 1-. Potanto, paa casos eais, a Equação C.7 é escita como segue: q 4 4 = F σ A ( Eq. C.c Na maio pate das aplicações páticas, o calo tansmitido po iadiação está em conjunto com outas fomas de tansmissão de calo. Potanto, usa-se a definição de Condutância e Resistência témica paa iadiação, K e R, espectivamente. K = F 1 4 σ A1 ( 1 d ( 1 dt 4 Eq. C.c.4 As unidades comuns de condutância témica são kcal. A esistência témica é o h C simplesmente o inveso da condutância, R 1 =. Potanto, a equação C.8 pode se K eescita, como usada na maio pate dos casos páticos, como segue: q d ( 1 = dt Eq. C.c.5 R Onde é qualque tempeatua de efeência. Uma outa definição impotante na iadiação é o coeficiente médio de tansmissão de calo, dado po: h K = Eq. C.c.6 A 1 As unidades do coeficiente médio de tansmissão de calo mais comuns são h o kcal C m. 1

13 Macelo Rosáio da Baosa d. Convecção; 8 A convecção é o pocesso de tanspote de enegia pela ação combinada da condução de calo, amazenamento de enegia e movimento de mistua. A convecção é impotante pincipalmente como mecanismo de tansfeência de enegia ente uma supefície sólida e um líquido ou gás. 9 Em um fluido, onde a mobilidade das patículas é gande, as patículas aquecidas pelo contato dieto com a supefície sólida tendem a miga paa locais onde as tempeatuas são mais baixas. Esta movimentação de patículas acaeta uma tansfeência de enegia de uma posição paa a outa, caacteizando a tansmissão de calo po convecção. Paa exemplifica, toma-se novamente o exemplo do bule com água adotado paa a condução. Inicialmente, o calo do bule (supefície sólida é tansmitido paa as moléculas de água que estão em contato dieto com o mesmo, po condução. Após estas moléculas possuíem uma ceta quantidade de enegia (calo, elas migaão paa outas posições do fluido onde a tempeatua é meno, tansmitindo o calo paa outas patículas. Isto pode se visivelmente constatado ao se obseva este fenômeno. À medida que o líquido vai se esquentando, este começa a se movimenta cada vez mais ápido, tansmitido o calo paa as demais patículas. Neste caso, como o líquido se movimenta livemente devido à difeença de tempeatua, diz-se que se tata de convecção live. Em casos onde a mistua é causada po algum agente exteno, como bombas ou ventiladoes, po exemplo, diz-se que se tata de convecção foçada. O calo, po unidade de tempo, tansmitido de uma supefície sólida paa um fluido, po convecção, pode se calculado da seguinte foma: q c = h A Eq. C.d.1 c 8 Keith, F. e Bohn, MS., Pincípios de ansfeência de Calo, 1977, Editoa Edgad Blüche, São Paulo p. 1 a 1. 9 Keith, F. e Bohn, MS., Pincípios de ansfeência de Calo, 1977, Editoa Edgad Blüche, São Paulo p

14 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo Na fómula acima, h c epesenta o coeficiente médio de tansmissão de calo po convecção, o qual depende dependente da geometia da supefície, da velocidade do fluido e das popiedades físicas do fluido, incluindo sua tempeatua. Em geal, h c é medido em kcal o h Cm. A gandeza A epesenta a áea de tansmissão de Calo, em m, e é a difeença de tempeatuas ente a da supefície s e a do fluido em um local especificado. A Condutância témica po convecção é definida como segue: K c = h A Eq. C.d. c Recipocamente, a Resistência témica po convecção é dada como R c 1 =. K c Potanto, a fómula quantidade de calo tansmitida po convecção po unidade de tempo pode se escita como segue: q c = Eq. C.d.3 R c Em geal, nas aplicações eais, os pocessos de tansmissão de calo são dados não po um dos fenômenos acima, mas, como o simples exemplo do bule indica, po uma combinação destes fenômenos. Assim, a quantidade de calo total tansmitida em um pocesso eal deve se escita da seguinte foma: q = Eq. C.d.4 R + R + R +... R ( 1 3 n O temo (1/R 1 + R + R R n é usualmente substituído pelo chamado coeficiente global de tansmissão de calo, U. Este coeficiente é calculado po unidade de áea, potanto, paa se expessa a quantidade de calo tansmitida, deve-se toma a seguinte fomulação: q = U A Eq. C.d.5 14

15 Macelo Rosáio da Baosa O coeficiente U pode se baseado em qualque áea escolhida. Po último, paa se detemina o coeficiente combinado de tansmissão de calo, h, deve-se toma a seguinte elação: h = h c + h Eq. C.d.6 odas estas fomulações seão necessáias paa se da continuidade a este tabalho. 15

16 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo D. DEDUÇÃO DAS EQUAÇÕES GERAIS Aqui seão deduzidas as equações geais das tês fomas de tansmissão de calo apesentadas na seção anteio: Condução, Radiação e Convecção. Especificamente, a equação da ansmissão de Calo po Condução seá apesentada paa coodenadas catesianas e cilíndicas, a equação da ansmissão de Calo po Radiação seá deduzida mais detalhadamente, seguindo as explicações já apesentadas e a equação da ansmissão de Calo po Convecção seá deduzida junto à explicação dos modos de obtenção do coeficiente de tansmissão de calo po convecção, h c, além de se discutido o papel das aletas nesta última situação. É impotante essalta que todas as equações seão deduzidas paa o egime pemanente, tendo em vista que a maioia das situações páticas pode se apoximada desta foma. Uma abodagem mais detalhada dos poblemas de tansmissão de calo paa egimes não pemanentes pode se encontada nas efeências deste tabalho, mais especificamente nos livos de Keith e Bohn e de Chapman. a. ansmissão de Calo po Convecção; Aqui seão deduzidas analiticamente as fómulas da ansmissão de Calo po Condução nas coodenadas Catesianas e Cilíndicas: 16

17 Macelo Rosáio da Baosa a.1 Coodenadas Catesianas: 10 Considee-se um pequeno elemento mateial de um copo sólido, na foma de paalelepípedo, de volume d x d y d z, confome mosta a Figua 1. Figua 1: Elemento mateial de copo sólido, na foma de paalelepípedo, a pati do qual seão deduzidas as equações da tansmissão de calo po condução paa coodenadas catesianas. O balanço de enegia deste elemento pode se calculado da seguinte foma: Calo que enta Calo geado no Calo que Sai do Vaiação da no elemento po + elemento po = elemento po + enegia Eq. D.a1.1 unidade de tempo unidade de tempo unidade de tempo intena com o tempo Algebicamente, esta equação pode se escita da seguinte foma: dq ( qx + q y + qz + ( dx dy dz = ( qx+ dx + q y+ dy + qz+ dz + cρ( dx dy dz Eq. D.a1. dt θ dq Na equação acima, é o calo geado po unidade de tempo e po unidade de dt volume, é a tempeatua do copo, θ é o tempo, c é o calo específico do mateial e ρ é sua densidade. 10 Chapman, Alan J., Fundamentals of Heat ansfe, 1984, Macmillan Publishing Company, New Yok, p. 30 a

18 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo Aplicando a equação C. a este poblema, o calo tansmitido po condução paa dento do copo na dieção x, mostado na Figua 1, pode se escito como segue: q x = ( k dy dz Eq. D.a1.3 x Aplicando esta mesma equação C. ao calo que deixa o copo, po condução, na dieção x, pode-se esceve: q = k + k dx] d x x x d x+ dx [( ( y z Eq. D.a1.4 Fazendo a subtação destes dois temos, temos: ( q x ( qx+ dx = [ ( k ] d xd yd z Eq. D.a1.5 x x Aplicando, de foma análoga, a mesma equação C.b.1 paa as dieções y e z, e aplicando os esultados assim obtidos na equação D.a1., podemos facilmente chega à seguinte equação: dq ( k + ( k + ( k + = cρ Eq. D.a1.6 x x y y z z dt θ A equação D.a1.6 é a equação geal, obtida de foma analítica, paa o poblema de tansmissão de calo po condução em tês dimensões. Obseve que esta equação pode se bastante simplificada se assumido que a condutividade témica do mateial, k, é unifome, e se assumido que o calo específico, c, e a densidade, ρ, foem independentes da tempeatua. A equação esultante, nestas condições, é chamada de equação de Fouie. Se, além disto, fo admitido egime pemanente, o temo da dieita se anula. Adicionandose esta condição à equação de Fouie, chega-se na equação de Poisson. Se, ainda mais, não fo consideada a geação intena de calo, a equação D.a1.6 assume sua foma mais simplificada possível, à qual se da o nome de equação de Laplace: x + y + z = 0 Eq. D.a1.7 18

19 Macelo Rosáio da Baosa Paa o poblema unidimensional apesentado na secção C.a, sendo a segunda deivada da tempeatua em elação à posição igual a zeo, pode-se dize que a pimeia deivada da tempeatua em elação à posição é constante. Potanto, d = const., dx confome sugeido na equação C.b.1. a. Coodenadas Cilíndicas: Figua. 11 Considee-se o sistema de efeência em coodenadas Cilíndicas apesentado na Figua : Repesentação de um ponto no espaço a pati das coodenadas cilíndicas. 1 Paa este sistema de coodenadas, valem as seguintes elações, compaando-se com o sistema de coodenadas catesiano: x = cosφ Eq. D.a.1 y = sinφ Eq. D.a. z = z Eq. D.a.3 Potanto, sendo a tempeatua = (x,y,z paa as coodenadas catesianas, valeá a expessão = (cosφ, sinφ, z paa as coodenadas cilíndicas mostadas na Figua. 11 Na Figua, o sistema de coodenadas depende dos valoes aplicados às gandezas, θ e z. Como já estamos utilizando o símbolo θ paa tempo, subtituiemos o sistema de coodenadas paa, Φ, z, apenas paa mante a consistência do tabalho. 1 Figua extaída de Stewat, página

20 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo Sendo assim, pode-se dize que os temos independentes das coodenadas x e y apesentados na Eq. D.a1.6 são mantidos da mesma maneia paa coodenadas cilíndicas e catesianas. Já os dois pimeios temos desta mesma expessão, k x k y e, devem se tabalhados. Como a constante k é independente do sistema de coodenadas, ela seá desconsideada aqui. Inicialmente, seá deivada a tempeatua em elação a, no sistema de coodenadas cilíndicas. Aplicando-se a ega da cadeia a este poblema, tem-se: x y z = ( ( + ( ( + ( ( x y z Eq. D.a.4 Sendo x y z = cosφ, = sinφ e = 0, tem-se o que segue: = ( cosφ + ( sinφ x y Eq. D.a.5 Aplicando a segunda deivada de em função de, tem-se: = [( cosφ + ( sinφ] x y Eq. D.a.6 Potanto, = cos x φ + (cosφ sinφ + sin xy y φ Eq. D.a.7 Esta equação seá guadada, po enquanto, da maneia em que está apesentada. Agoa, ealizando o mesmo pocedimento paa a deivada de em elação a Φ, tem-se: x y z = ( ( + ( ( + ( ( φ x φ y φ z φ Eq. D.a.8 Sendo x y z = sinφ, = cos φ, e = 0, tem-se o que segue: φ φ φ 0

21 Macelo Rosáio da Baosa cos ( ( sin ( ( φ φ φ y x + = Eq. D.a.9 Agoa, fazendo-se a segunda deivada de em elação a φ, tem-se 13 : ] ( ( cos ( ( cos ( [( ] cos ( ( cos ( ( ( [( φ φ φ φ φ φ φ φ φ sen y sen y x y x sen y x sen x + = Eq. D.a.10 Somando-se os dois temos da dieita da Eq. D.a.10, tem-se (ve Eq. D.a.5: sen y x = + ( ( cos ( ( φ φ Eq. D.a.11 Com a Eq. D.a.11 e fazendo as devidas contas, pode-se eesceve a Eq. D.a.10 como segue: y sen y x sen x + = cos ( ( cos ( ( ( ( φ φ φ φ φ Eq. D.a.1 Dividindo-se a Eq. D.a.1 po, e somando-a à Eq. D.a.7, tem-se o que segue: y x + = + 1 ( ( 1 φ Eq. D.a.13 Então, pode-se eesceve a Eq. D.a.13 como segue: y x + = φ Eq. D.a.14 Aplicando-se a Eq. D.a.14 na Eq. D.a1.6, pode-se chega na equação geal de tansmissão de calo po condução em coodenadas cilíndicas, como segue: θ ρ φ = c dt dq z k k k k 1 ( 1 ( Eq. D.a.15 Esta equação coincide com aquela encontada na liteatua. 13 Obseve que a passagem da Eq. D.a.9 paa a Eq. D.a.10 abange uma combinação de ega da cadeia com ega do poduto, pois os dois fatoes dos temos x e y, quando epesentados em coodenadas cilíndicas, são dependentes de Φ. 1

22 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo b. ansmissão de Calo po Radiação; 14 Como citado anteiomente, a natueza da maneia com a qual o calo adiante se tansmite de um copo paa outo ainda não é totalmente conhecida. Existem hipóteses que dizem que o calo adiante é tansmitido da mesma foma das ondas eletomagnéticas, poém existem outas hipóteses que dizem que o calo adiante é tansmitido po fótons. Nenhuma das duas hipóteses está totalmente ceta, poém ambas têm seus lados coetos. Da mesma foma que podem se definidos os compimentos de onda da enegia emitida po adiação témica, ente 0,1µm e 100µm, também pode-se dize que esta foma de enegia é quantizada. Os difeentes compimentos de onda da adiação témica dependem da maneia como a enegia foi emitida. Esta faixa de compimentos citada acima abange desde a luz ultavioleta (nociva à pele, passando pela luz visível até a egião do infavemelho. De qualque maneia, sabe-se que a tansmissão de enegia po adiação existe, e que ela vaia com a tempeatua do copo. Cada copo, dependendo de sua composição química e de outos paâmetos, possui um ceto pode de adiação. Como já citado, os copos negos, ou iadiadoes pefeitos, são aqueles copos capazes de emiti a máxima quantidade de adiação paa uma dada tempeatua. Este conceito é teóico, e estabelece um limite máximo paa a adiação de calo, confome Segunda Lei da emodinâmica. A quantidade de enegia de adiação po unidade de tempo e po unidade de áea tansmitida po um copo é chamada de pode emissivo espectal (ou monocomático. Este temo sugee que a quantidade de enegia tansmitida po um copo na foma de adiação témica vaia com o compimento de onda. De fato, a elação que fonece o pode emissivo espectal de um copo nego é a seguinte: E bλ A λ ( = ( e 1 5 λ B Eq. D.b.1 14 Keith, F. e Bohn, MS. Pincípios de ansfeência de Calo, 1977, Editoa Edgad Blüche, São Paulo. p.174 a 180.

23 Macelo Rosáio da Baosa Na equação acima, E bλ epesenta o pode emissivo monocomático de um copo nego, como função da tempeatua, em kcal/hm µm, A é uma constante que vale 3, 10 8 kcalµm 4 /hm, B é uma constante que vale 1,4388 µmk, λ é o compimento de onda emitido pelo copo, em µm, e é a tempeatua absoluta do copo, em Kelvin. Como apesentado na secção C.c.1, o calo total po unidade de tempo emitido po adiação po um copo pode se calculado da seguinte foma: q Eb ( A 4 = = σ Eq. D.b. O poduto, σ 4, desta equação pode se calculado a pati da integação da equação D.b.1 em dλ de 0 a. Paa as aplicações na engenhaia, é comum pecisa calcula a quantidade de calo adiante emitida po um copo em uma deteminada faixa de compimentos de onda. Paa tanto, basta intega a equação D.b.1 em dλ, definida ente o intevalo de compimentos de onda com o qual se deseja tabalha. Existe um valo de compimento de onda paa a qual o valo de E bλ ( é máximo, em uma dada tempeatua. A elação ente este compimento de onda, batizado de λ max, e a tempeatua do copo pode se dada pela equação empíica que segue: 898 λ max = Eq. D.b.3 Nesta equação, λ apaece em µm e em K. Paa facilita a esolução dos poblemas que envolvem tansmissão de calo po adiação, gealmente baseia-se nos seguintes gáficos: 1 E bλmax λ,; E bλmax ; 3 E bλ /E bλmax λ; 4 E 0-λ /E 0- λ. 3

24 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo As figuas 3, 4, 5 e 6, abaixo, apesentam estes gáficos, extaídos do livo de Keith e Bohn, páginas 176 a 179. Figua 3: Gáfico de E bλmax λ,. Figua 4: Gáfico E bλmax. Figua 5: Gáfico E bλ /E bλmax λ. Figua 6: Gáfico E 0-λ /E 0- λ. 4

25 Macelo Rosáio da Baosa As figuas apesentadas acima, devido à má esolução, apesentam apenas uma análise qualitativa do poblema. Paa uma análise quantitativa, sugee-se a pocuaa destes gáficos na efeência supa citada. c. ansmissão de Calo po Convecção; A ansmissão de Calo po Convecção não é puamente um modo de tansmissão de calo, mas sim uma combinação de tansmissão de calo com movimentos mecânicos de fluidos. Assim, a fim de se entende mais a fundo os conceitos abodados nesta seção, é impotante conhece bem alguns aspectos abodados em mecânica dos fluidos. Em paticula, os conceitos de escoamento em egime lamina e tubulento, assim como os conceitos de camada limite e sepaação da mesma, têm vital impotância no entendimento de ansmissão de Calo po Convecção. Os aspectos aqui abodados foam obtidos do livo de Fox e McDonald, p. 1 a 8, e 36 a 347. A equação C.d.1 apesentada anteiomente é feqüentemente usada pelos engenheios paa o cálculo da ansmissão de Calo po Convecção, poém ela nada mais é do que a definição do coeficiente de tansmissão de calo po convecção, h c. A fim de se entende melho a tansmissão de calo po convecção, seão aqui abodados os métodos de avaliação do coeficiente de tansmissão de calo po convecção e seá explicado o papel das aletas neste método de tansmissão de calo. 5

26 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo c.1 Métodos de Avaliação do Coeficiente de ansmissão de Calo po Convecção; Há quato métodos disponíveis paa avalia os coeficientes de tansmissão de calo po convecção. São eles: i. Análise dimensional combinada com expeiências; ii. Soluções matemáticas exatas da equação da camada limite; iii. Análise apoximada da camada limite po métodos integais; iv. Analogia ente tansfeência de calo, de massa e de quantidade de movimento. c.1.i Análise dimensional combinada com expeiências: 15 Pimeiamente, define-se o númeo de Nusselt, pois este é um impotante adimensional a se consideado na análise de tansmissão de calo po convecção: h L Nu = Eq. D.c.1.i.1 k c Este adimensional sugee uma elação ente o calo que é tansmitido po condução da supefície sólida paa supefície liquida em contato dieto e o calo que é tansmitido po convecção paa as demais posições do liquido. A análise dimensional consiste em defini quais são as gandezas físicas que estão dietamente ligadas com o fenômeno que desceve a tansmissão de calo po convecção em uma aplicação específica, e em detemina uma elação ente númeos adimensionais que desceva estas gandezas físicas e a elação ente elas, atavés do teoema de Buckingham ou teoema π. 15 Keith, F. e Bohn, MS. Pincípios de ansfeência de Calo, 1977, Editoa Edgad Blüche, São Paulo. p.49 a 6. 6

27 Macelo Rosáio da Baosa Uma vez definidas as gandezas que egem o fenômeno a se estudado, faz-se uma análise dimensional sobe elas, a fim de se obte uma função geal que possua apenas númeos adimensionais. Esta função seá do tipo: F π, π, π,..., π n 0 Eq. D.c.1.i. ( 1 3 = Onde π 1,π,π 3,...π n são adimensionais. Então, faz-se uma análise expeimental sobe o fenômeno, a fim de se obte a elação ente o adimensional que se deseja detemina (neste caso, Nu e os outos adimensionais. Po exemplo, aplicando-se o teoema de Buckingham paa o escoamento tansvesal de um fluido sobe um copo aquecido, enconta-se a seguinte elação: Nu = f (Re D, P Eq. D.c.1.i.3 Neste caso, calculou-se que o númeo de Nusselt é função do númeo de Reynolds e do númeo de Pandtl. Assim, aplicam-se expeimentos a fim de se obte os gáficos que egem estas funções, paa se detemina qual é o coeficiente de tansmissão de calo po convecção (lembando-se que o numeo de Nusselt ofeece esta gandeza. Feqüentemente, usam-se modelos paa se obte estes gáficos, e se aplica a lei da semelhança. A aplicação do teoema π e da lei da semelhança é feqüente em poblemas que envolvem mecânica dos fluidos. c.1.ii Soluções matemáticas exatas da equação da camada limite: 16 Nesta secção, inicia-se uma análise puamente hidodinâmica do poblema de tansmissão de calo po Convecção, tomando-se como exemplo o poblema do escoamento fluido sobe uma placa plana. Após algumas definições de vital impotância, miga-se paa um balanço enegético do poblema. Então, faz-se uma compaação ente os esultados hidodinâmicos e témicos, apesentando suas semelhanças e difeenças. Po 16 Keith, F. e Bohn, MS. Pincípios de ansfeência de Calo, 1977, Editoa Edgad Blüche, São Paulo. p.6 a 74. 7

28 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo último, demonsta-se o método de obtenção do coeficiente de tansmissão de calo po condução paa este mesmo poblema, o qual pode se extapolado paa divesas situações páticas. a Equação da Continuidade: 17 Segue abaixo a Equação da Continuidade: u v w ρ ρ + ρ + ρ = Eq. D.c.1.ii.1 x y z t Esta equação também é conhecida como equação da consevação da massa. Nela, sugee-se que o gadiente de velocidade multiplicado pela massa especifica do fluido se iguala à vaiação da massa especifica com elação ao tempo. Paa fluidos em escoamento pemanente (i.e. ρ = ρ(x,y,z, o temo do lado dieito desta fomulação se anula. Paa fluidos incompessíveis (i.e. ρ(x,y,z = constante, pode-se simplifica esta equação ainda mais, estando apenas que o gadiente da velocidade do fluido é nulo. Se o escoamento, assumindo todas as hipóteses acima, é bidimensional, esta fomulação pode se escita como segue: u v + x y = 0 Eq. D.c.1.ii. Esta situação é bem simplificada, poém sua análise pode se extapolada paa inúmeas situações eais. Sendo assim, paa se obte a solução matemática da camada limite, consideaemos fluidos escoando nas condições citadas acima. 17 Fox, Robet W. e Alan. McDonald, Intodução à Mecânica dos Fluidos, 1998, LC, Rio de Janeio, Basil. p. 151 a

29 Macelo Rosáio da Baosa b Equação da Foça de Cisalhamento: 18 A definição de um fluido Newtoniano segue abaixo: du τ = µ Eq. D.c.1.ii.3 dy Esta elação sugee que a foça de cisalhamento causada pelo escoamento de um fluido é dietamente popocional à deivada da sua velocidade em elação à posição pependicula ao escoamento. A constante de popocionalidade, µ, é uma popiedade do kgf fluido, chamada viscosidade dinâmica, de unidades comumente usadas m s. c Equação da Quantidade de Movimento aplicada a uma Placa Plana: 19 Aplicando-se as elações acima sobe uma placa plana e usando-se um pouco de álgeba, pode-se facilmente chega na seguinte elação: u u u p ρ ( u + v = µ Eq. D.c.1.ii.4 x y y x Onde p é a pessão execida pelo fluido. Resolvendo-se esta equação simultaneamente à equação da continuidade, pode-se obte a espessua da camada limite e a foça de atito na paede da placa plana. Paa tal, defini-se a função de coente. 18 Fox, Robet W. e Alan. McDonald, Intodução à Mecânica dos Fluidos, 1998, LC, Rio de Janeio, Basil. p. 19 e Keith, F. e Bohn, MS. Pincípios de ansfeência de Calo, 1977, Editoa Edgad Blüche, São Paulo. p.65 a 69. 9

30 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo d Função de Coente: A função de coente, ψ (x,y é definida de foma que sejam válidas as duas elações abaixo: u = ψ y Eq. D.c.1.ii.5 ψ v = x Eq. D.c.1.ii.6 Obseve que esta equação satisfaz automaticamente a equação da continuidade. Paa da seqüência ao estudo, intoduz-se uma nova vaiável, η, como segue: u η = y ( Eq. D.c.1.ii.7 vx Então, pode-se dize o seguinte: u ψ = f (η Eq. D.c.1.ii.8 vx Onde f(η designa uma função de coente adimensional. Obtendo-se as componentes de velocidade em função de f(η, e expimindo u/x, u/y, u/y, podemos facilmente chega à equação difeencial odináia, de teceia odem e não-linea, como segue: 3 ( d [ f ( η] d [ f ( η] f η + = 0 Eq. D.c.1.ii.9 dη dη 3 Sujeita a tês condições de contono em η = 0 e η =. A solução numéica paa esta equação é apesentada na figua 7. 30

31 Macelo Rosáio da Baosa Figua 7: Gáfico da solução numéica obtida paa a Eq. D.c.1.ii.9. 0 e Obtenção da Espessua da Camada Limite e da Velocidade de Escoamento: Atavés da Figua 7, pode-se obseva que a velocidade do fluido atinge 99% de y ρu x seu valo máximo paa ( = 5, 0. Potanto, pode-se apoxima o valo da x µ espessua da camada limite como segue: 5x δ = Eq. D.c.1.ii.10 Re x Onde x é a distância ente o bodo de ataque da placa plana e a posição onde se deseja detemina a espessua da camada, e ρvx Re x = é o númeo de Reynolds aplicado à µ velocidade do fluido longe da placa, u. Paa se detemina a foça de cisalhamento do fluido sobe a placa plana, deve-se pimeiamente defini o coeficiente de aasto, como segue: 0 Figua extaída de Keith, 1977, página

32 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo C fx = τ ρu = g 0,664 Re x Eq. D.c.1.ii.11 de Reynolds. A figua 8 apesenta a vaiação deste coeficiente de aasto como função do númeo Figua 8: Vaiação do coeficiente de aasto em função do númeo de Reynolds. 1 1 Figua extaída de Keith, 1977, página 68. 3

33 Macelo Rosáio da Baosa f Equação da Enegia: Analisando o escoamento sob as hipóteses simplificadoas apesentadas anteiomente (fluido incompessível, escoamento em egime pemanente e escoamento bidimensional, podemos assumi um volume de contole dento da camada limite, po onde se pode faze o balanço enegético. Semanticamente, podemos expessa a equação de enegia paa o sistema como segue: Fluxo de entada de Entalpia e de Enegia Cinética + Calo, po unidade de tempo, que enta po condução + abalho, po un. de tempo, efetuado po cisalhamento de atito sobe o fluido no VC = Fluxo de saída de entalpia e de enegia cinética + Calo, po um. de tempo, que sai po condução + abalho, po unidade de tempo, efetuado po cisalhamento de atito pelo fluido do VC Eq. D.c.1.ii.1 ( u + v ρ u ( h + gj ( u + v ρu( h + gj Simbolicamente, esta equação pode se escita como segue; ( u + v dy + ρ v ( h + gj ( u + v dy + [ ρu( h + x gj ( u + v dy] dx + ρv( h + gj 1 uµ u k dx + [ k dx] dy + dx x y y J g y Eq. D.c.1.ii.13 1 µ u µ u dx k + [ u dx + ( u dx dy] = y J g y y g y ( u + v dx + [ ρv( h + y gj dx] dy Obseve que o temo compaado com k. y k foi despezado, pois seu valo é insignificante quando x 33

34 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo O temo ( u + v h + pode se substituído po c p o paa fluidos que têm calo gj específico constante, sendo o a tempeatua de estagnação (tempeatua do fluido quando este é desaceleado isentopicamente até a velocidade nula. Resolvendo-se a equação Eq. D.c.1.ii.13, assumindo a simplificação sugeida, e despezando os temos de odem supeio, chegamos na simplificação abaixo: o o µ u ρ c pu + ρ c pv = k + [ u( ( ] Eq. D.c.1.ii.14 x y y y g y O último temo à dieita desta expessão epesenta o tabalho líquido po unidade de temo efetuado pelas foças de cisalhamento sobe o fluido do VC. Paa altas velocidades, a potência de atito aumenta significativamente a enegia intena do fluido, poém, paa velocidades subsônicas, seu valo é despezível quando compaado com as outas gandezas desta fomulação. Com esta simplificação, a equação Eq. D.c.1.ii.14 pode se eescita como segue: u x + v y = a y Eq. D.c.1.ii.15 Onde k a = a = k/ρc p. ρ c p Obseve que a equação apesentada acima é semelhante à equação Eq. C.1.ii.4. Fixando-se a tempeatua da supefície e assumindo que a vaiável da equação Eq. C.1.ii.15 seja ( ( s s temos as seguintes condições de contono: Paa y = 0, ( ( s s = 0 e u u = 0 ; Paa y, ( ( s s = 1 e u u = 1. 34

35 Macelo Rosáio da Baosa A Figua 9 apesenta um gáfico da azão de tempeatua em função de η, paa os divesos valoes do númeo de Pandtl, P = µ k c p. Pelos pefis de tempeatua, pode-se obseva que a camada limite témica é maio que a camada limite hidodinâmica paa númeos de Pandtl infeioes a 1. Paa P > 1, a situação se invete. Figua 9: Gáfico da azão de tempeatua em função de η, paa os divesos valoes do númeo de Pandtl, P = µc p /k. A elação ente a espessua da camada-limite témica e a hidodinâmica segue abaixo: 3 δ δ th = Eq. D.c.1.ii.16 3 P g Avaliação do Coeficiente de ansmissão de Calo po Convecção: O gadiete de tempeatua adimensional na supeficie de contato ente o copo sólido e o fluido (i.e. y = 0 é dada pela seguinte elação (ve Eq. C.1.ii.11: Figua extaída de Keith, 1977, página 7. 3 Pohlhausen, E., De Wämeaustausch swischen festen Köpen und Flüssigkeiten mit kleine Reibung und Kleine Wämeleitung, 191, ZAMM, Vol. 1. p

36 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo ( s ( s y 3 Re P x = 0,33 Eq. D.c.1.ii.17 Potanto, paa qualque x, ainda sobe a supefície de contato, vale o seguinte: y = 0,33 Re x 3 P ( s Eq. D.c.1.ii.18 Já que, no contato da supeficie sólida com a supefície líquida, o fluido é tansmitido po condução, podemos substitui a Eq. C.b.1 na Eq. D.c.1.ii.18, temos os seguinte: Integando-se a Eq. D.c.1.ii.19 paa uma placa de lagua b e compimento L, temse: q A 3 Re P = k = 0,33 ( s Eq. D.c.1.ii.19 y x q 3 = 0,664 k Re P b ( Eq. D.c.1.ii.0 L s Onde u L Re L =. ν O coeficiente de ansmissão de Calo po Convecção é: q k h = ( = 0,33 Re 3 cx s L P Eq. D.c.1.ii.1 A x E assim extai-se o valo do coeficiente de Convecção. Na pática, as popiedades físicas usadas na fomulação acima vaiam com a empeatua. Entetanto, nesta análise, as popiedades foam tomadas como contantes. Os esultados da Eq. D.c.1.ii.1 são satisfatóios se consideado o valo da tempeatua média ente a tempeatua da paede sólida e do fluido ao longe. 36

37 Macelo Rosáio da Baosa c.1.iii Análise apoximada da camada limite po métodos integais: 4 A fim de se evita toda a manipulação matemática apesentada na secção c.1.ii, pode-se faze uma apoximação da camada limite po métodos integais. A expeiência mosta que os esultados assim obtidos apesentam valoes satisfatóios quando compaados com os esultados obtidos analiticamente. A pincípio, considea-se o volume de contole apesentado na Figua 10. Figua 10: Volume de contole paa análise apoximada da quantidade de movimento de uma camada limite. 5 Obseva-se que uma das faces do VC é a pópia paede do copo sólido, enquanto a paede paalela a esta é tomada ao longe. As duas paedes pependiculaes ao copo sólido são sepaadas pela distância dx. 4 Keith, F. e Bohn, MS. Pincípios de ansfeência de Calo, 1977, Editoa Edgad Blüche, São Paulo. p.75 a 8. 5 Figua extaída de Keith, 1977, página

38 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo A equação da quantidade de movimento das patículas fluidas que atavessam as paedes deste VC, em sua foma integal, é conhecida como Equação da Quantidade de Movimento de Von Kaman, e está epesentada abaixo: L L L + d d ρ du s pdy u u u dy udy dx = dx g dx ρ τ ( Eq. D.c.1.iii.1 g 0 0 Como a camada limite é muito fina, pode-se admiti que a pessão seja constante ao longo da dieção x (fato que pode se povado pela aplicação da equação de Benoulli. Potanto, vale a seguinte elação: 0 L 0 dp dy dx = L 0 dp ρ du dy = dx g dx L 0 u dy Eq. D.c.1.iii. Substituindo a Eq. D.c.1.iii. na Eq. D.c.1.iii.1, temos o seguinte: τ s = d dx L 0 ρ u ( u u dy + g ρ du g dx L 0 u dy Eq. D.c.1.iii.3 Paa y > δ, o limite supeio das integais ao lado dieito da Eq. D.c.1.iii.3 é igual a δ, pois ambas as integais são nulas nestas posições. Potanto, pode-se assumi o que segue: du dx = 0 Eq. D.c.1.iii.4 como segue: Paa a condição de pessão constante, podemos, então, eesceve a Eq. D.c.1.iii.1 g τ d s = u u u dy dx ( ρ Eq. D.c.1.iii.5 Com esta equação, pode-se detemina a espessua da camada limite e o atito ente o escoamento e a paede sólida. Paa tanto, é necessáio que se admita uma distibuição de velocidade dento da camada limite. Quanto mais póxima esta distibuição fo da 38

39 Macelo Rosáio da Baosa ealidade, mais pecisos seão os esultados. Assumindo-se uma distibuição paabólica cúbica, pode-se chega a seguinte solução: 4,64x δ = Eq. D.c.1.iii.6 Re x Paa se detemina o calo que é tansmitido po convecção, adiciona-se, como na secção c.1.ii, o calo que é tasmitido po condução ente a placa sólida e a supefície fluida. A Figua 11 mosta um balanço enegético dento do VC. Figua 11: Volume de contole paa balanço apoximado de enegia dento de uma camada limite. 6 O fluxo de calo que enta no VC po condução deve se igual ao fluxo que sai po convecção. Assim, podemos toma a seguinte elação. L k udy = x ( 0 0 Eq. D.c.1.iii.7 ρ c x 0 p Paa y > δ th, o valo da integal é nulo. Potanto, o limite supeio da integal, L, pode se substituído po δ th. Paa escoamentos com velocidade lenta, a enegia cinética passa a se despezível. Potanto, as tempeatuas da Eq. D.c.1.iii.7 podem se tomadas como as tempeatua estáticas (i.e. 0 =, e 0- =. 6 Figua extaída de Keith, 1977, página

40 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo Paa a deteminação do coeficiente de tasmissão de calo po, deve-se seleciona uma foma apopiada paa distibuição de tempeatua, satisfazendo as condições de contono (i.e. paa y=0 a tempeatua deve se iguala à tempeatua da placa sólida, e paa y= δ th a tempeatua deve se iguala à tempeatua do fluido ao longe. oma-se, então, uma paábola cúbica, confome a equação abaixo: s = C + Eq. D.c.1.iii y C y As condições de contono paa y = 0 são satisfeitas automaticamente, paa qualque C 1 e C (i.e. = 0 y e s = 0. Paa, y = δ th temos: s = C 3 1δ th + Cδ th ( y s = C + 3C δ 1 th Calculando-se os coeficientes chega-se, então, na seguinte expessão: s s = 3y δ th 1 y ( δ th 3 Eq. D.c.1.iii.9 Efetuando-se a integal da Eq. D.c.1.iii.7, aplicando-se os cálculos devidos e δ th definindo-se ξ =, chega-se na seguinte solução: δ δ th 0 ( udy = ( s 3 u δ ( ξ ξ 80 Eq. D.c.1.iii.10 Paa fluidos que têm o númeo de Pandtl maio ou igual a 1, tem-se ξ com valo igual ou infeio a 1, potanto o temo ente paêntesis da expessão acima pode se ignoado. Substituindo esta apoximação na equação Eq. D.c.1.iii.7, tem-se o seguinte: 1 10 δ k u ξ 3 δ = x ρ c p Eq. D.c.1.iii.11 40

41 Macelo Rosáio da Baosa Usando-se a equação Eq. D.c.1.iii.6, tem-se o que segue: 1 3 δ th = 0,9δ P Eq. D.c.1.iii.1 Pelas Eq. C.b.1 e Eq. D.c.1.iii.9, e usando-se as Eq. D.c.1.iii.6 e Eq. D.c.1.iii.1, podemos chega no seguinte esultado: q x Nu = ( = 0,33 Re 3 x s x P Eq. D.c.1.iii.1 A k Sendo hc L Nu =, calcula-se o coeficiente de tansmissão de calo po convecção k h c. Os esultados assim obtidos concodam com os esultados da análise exata. c.1.iv Analogia ente tansfeência de calo, de massa e de quantidade de movimento. 7 Nesta secção estudaemos a tansfeência de calo po convecção em escoamentos em egime tubulento. Devido à existência de tubilhões e ao complexo movimento das patículas líquidas em escoamentos tubulentos (que se sobepõe e se mistuam com facilidade, tanto o coeficiente de tansmissão de calo quanto o coeficiente de atito são maioes nesta situação, quando compaada com o egime lamina. Ainda devido à complexidade do escoamento em egime tubulento, é de comum pática se usa as popiedades e velocidades médias em um ponto qualque do escoamento, a fim de se faze um estudo mais detalhado. No nosso caso, usaemos a velocidade em temos de um valo médio, contante com o tempo, e de uma componente flutuante, a qual vaia com o tempo. Po simplicidade, consideaemos o escoamento bi-dimensional, onde a velocidade média de escoamento é paalela à dieção x. em-se, então: 7 Keith, F. e Bohn, MS. Pincípios de ansfeência de Calo, 1977, Editoa Edgad Blüche, São Paulo. p.8 a

42 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo du u = u + Eq. D.c.1.iv.1 dt dv v = Eq. D.c.1.iv. dt Onde u é a velocidade na dieção x, v é a velocidade na dieção y e u é a velocidade média do escoamento em x. A Figua 1 mosta, gaficamente o significado da Eq. D.c.1.iv.1. Estes esultados paecem bastante intuitivos. Figua 1: Vaiação da velocidade instantânea com o tempo. Obseva-se que os valoes aqui apesentados são bastante intuitivos. 8 A Figua 1 mosta nitidamente que a deivada da velocidade média com elação ao tempo é nula. Analogamente, pode-se dize que a deivada da velocidade média na dieção y, com elação ao tempo, também é nula, assim como assim como a quantidade de movimento média nesta mesma dieção. As componentes flutuantes da velocidade tanspotam continuamente massa e, consequentemente, quantidade de movimento, atavés de um plano nomal à dieção y. O fluxo instantâneo da quantidade de movimento, segundo x, na dieção y, em qualque ponto, é: d v du ρ ( u + dt dt A tansfeência média, em elação ao tempo, da quantidade de movimento segundo x oigina uma tensão de cisalhamento tubulenta apaente, definida como segue: 8 Figua extaída de Keith, 1977, página 83. 4

43 Macelo Rosáio da Baosa θ * 1 dρv du gτ t = ( u + dθ θ * Eq. D.c.1.iv.3 dt dt 0 Resolvendo esta integal, assumindo que a média de (ρv é nula em elação ao tempo, e que u m é uma constante, temos, paa ρ constante: du dv τ = ρ( Eq. D.c.1.iv.4 dt dt g t Não se deve confundi a tensão de cisalhamento apaente (apesentada acima, que é nada mais que um conceito intoduzido paa se considea efeitos de quantidade de movimento pelas flutuações tubulentas, com a tensão de cisalhamento lamina, que é um valo eal de tensão. O conceito de tensão apaente pemite expimi a tensão total de cisalhamento no escoamento tubulento como segue: FoçaVis cos a 1 τ = + FluxoQ Eq. D.c.1.iv.5 UnidadedeÁea g Onde Q é a quantidade de movimento. Segundo postulado po Pandtl, as flutuações macoscópicas de fluido no escoamento tubulento são, em média, semelhantes ao movimento de moléculas num gás. Ou seja, elas pecoem, em média, uma distância pependicula à sua velocidade média antes de atingi o epouso em outo plano y. Essa distância é conhecida como compimento de mistua de Pandtl, e é comumente denotada po l. Esta postulado elaciona a quantidade de movimento tubulento ao gadiente de velocidade média com elação ao tempo. Além disso, Pandtl sugeiu que as patículas etinham suas popiedades duante o movimento cuzado, e que a flutuação tubulenta esulta das difeenças nas popiedades médias. Assim, se uma patícula de movimenta da uma camada y paa uma camada y + l, tem-se: du du = l Eq. D.c.1.iv.6 dt dy 43

44 Pincípios Fundamentais da ansfeência de Calo Potanto, pode-se eesceve a Eq. D.c.1.iv.4 numa fómula análoga à da tensão de cisalhamento lamina, com segue abaixo: du dv du gτ t = ρ = ρε M Eq. D.c.1.iv.7 dt dt dy Onde ε M é chamado coeficiente de toba tubulenta da quantidade de movimento. Esta gandeza é análoga à viscosidade cinemática, poém, enquanto esta última é uma popiedade física, a pimeia depende da dinâmica do escoamento. Combinando a Eq. D.c.1.iv.6 com a Eq. D.c.1.iv.7, temos que ε M = -(v l m. Substituindo a Eq. D.c.1.ii.3 e a Eq. D.c.1.iv.7 na Eq. D.c.1.iv.5, temos o que segue: ρ du τ = g ( υ + ε M Eq. D.c.1.iv.8 dy No escoamento tubulento, o temo viscoso, υ, pode se despezado. A tansfeência de calo po unidade de tempo, no escoamento tubulento, pode se ilustada de maneia análoga. Consideemos a distibuição bi-dimensional segundo a Figua 13. Figua 13: Compimento de mistua paa tansfeência de enegia. 9 segue: O fluxo instantâneo de enegia, em qualque ponto na dieção y, é dado como 9 Figua extaída de Keith, 1977, página