Praciano-Pereira, Tarcisio

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1 Produto de convolução de funções contínus Prcino-Pereir, Trcisio Sobrl Mtemátic Universidde Estdul Vle do Acrú 26 de dezembro de 2014 préprints d Sobrl Mtemátic no Editor Trcisio Prcino-Pereir trcisio@member.ms.org Resumo Neste rtigo demonstro, detlhdmente, que h = f g é um função de clsse C 1 se pens f,g forem funções contínus e suporte compcto. Além disto presento um sistem de progrms em python que podem ser usdos pr fzer simulções com convolução. A condição sobre o suporte ser compcto pode ser livid pr um dos ftores no produto por convolução, o que vou mostrr ns considerções finis. plvrs chve: convolução, diferencibilidde do produto de convolução, funções à suporte compcto. The point with this pper is to show tht the product of convolution defines continuously differentible functions from pir of continuous functions with compct support. In ddition I present collection of python progrms to produce simultions with convolution. The restriction of compctness of the support cn be dropped from one of the convolution fctors, this will be shown in lst prt. keywords: convolution, differentibilility of convolution product, compct support fuctions. trcisio@member.ms.org 1

2 1 O que é convolução Um pouco de históri pr justificr que um resultdo não tão importnte mereç lgum coinsiderção n produção de um demontrção elementr, que é o objetivo deste trblho. Entre 1932 e 1957, muito se escreveu sobre f g, confir [4] onde está registrd um troc de correspondênci entre Rudin e Dieudonné em que este último pede que Rudin lhe mostre onde estri o erro em su demonstrção respeito d álgebr L 1 (R n ). Rudin cbv de nuncir um melhor dum fmoso resultdo de Slem, [5], [6], estbelecedo que L 1 (R n ) L 1 (R n ) = L 1 (R n ) (1) e Dieudonné hvi demonstrdo um inclusão estrit em vez de iguldde presentndo um exemplo de função de L 1 (R n ) que não podi ser o produto de convolução de dus outrs funções de L 1 (R n ). A importânci d convolução pr os dis de hoje prece no que chmo de progrm de Widder,[8] em que ele esboç o projeto de representr os opercores integris como operdores de convolução sobre que flo um pouco mis em seguid. Até 1950 o produto de convolução preci nos cpítulos vnçdos dos livros de Cálculo como um método de regulrizção de funções, tornv contínus s funções descontínus, ms não pssv dum instrumento teórico porque pel definição: (f,g) h;h(x) = f(t)g(x t)dt = f g(x); (2) já er um exercício ssustdor. A convolução já teri precido nos trblhos de D Alembert em 1754, [9, Convolution], liás, tmbém nest citção,[9, Convolution], você irá encontrr um interessnte gráfico mostrndo porque convolução é lgums vezes chmd de médi vijnte, ou trvelling men. O rtigo citdo, d Wikipedi, mostr que os instrumentos computcionis que se encontrm à noss disposição hoje é que recuperrm convolução pr torná-l ferrment que que Widder e Hirschmn ntevirm como solução pr entender os operdores diferenciis n décd de 40. Tmbém mis frente, neste rtigo, estrei presentndo lguns progrms que lhe vão oferecer oportunidde de repetir s experiêncis com convolução usds qui sssim como lterá-los pr que você fç s sus própris experiêncis ou utilize modificções destes progrms como ferrments didátics em uls de Cálculo. Em vários rtigos, Widder e Hirschmn começrm montr um teori gerl d convolução com prente idei de que os operdores de convolução representrim um form generlizd de trblhr com operdores diferenciis, ver [8] pr ter um idei, é um rtigo livremente distribuido no site d Americn Mthemticl Society. Eles não estvm errdos, são os operdores de convolução que representm um grnde prte ds simulções com que os

3 2 CONDIÇÃO DE DIFERENCIABILIDADE DE F G 2 operdores são estuddos pr compreender o comportmento ds soluções ds equções diferenciis prciis que é form como tulmente se estudm este tipo de equções. A medid de Dirc com frequênci chmd erronemente de função de Dirc, é unidde reltivmente o produto de convolução presentndo o excitnte problem dum álgebr de funções cuj unidde não pertence à álgebr: (f,δ 0 ) f;f = f δ 0 ; (3) Ms f g não pode ser definid rbitrrimente porque integrl precis existir o que se resolve loclizndo teori num espço vetoril de funções proprido pr trblhr com operdores de convolução, ou se deix est questão em berto como prte do problem gurdndo que construção d teori finlmente feche questão de form hrmonios. Pr o contexto deste rtigo vou deixr convolução bem definid, sem muito mis Mtemátic do que um estudnte de Cálculo poss, com lgum esforço extr, compnhr, considerndo um álgebr de funções à suporte compcto, então convolução é um operção intern dest álgebr. As funções crcterístics são exemplos de tis funções portnto estou num contexto relístico no qul vou desenvolver o próximo prágrfo. O objetivo deste rtigo é demonstrção dum teorem bem conhecido ms cuj demontrção você terá grnde dificuldde de encontrr feit, eu procurei e não encontrei! É um clsse de resultdos que todos conhecem e usm, um resultdo que todo mundo sbe que é verddeiro, digmos, um exercício vnçdo e n verdde você vi ver que ele se enqudr n list dos teorems cuj fronteir de vlidde é difus, isto ficrá clro n seção finl do rtigo. 2 Qundo f g é de clsse C 1 O objetivo dest seção é demonstrção do teorem Teorem 1 (diferencibilidde contínu ) d convolução Se f,g forem funções reis contínus e suporte compcto então h = f g é um função de clsse C 1. Dem : Deixe-me fzer um suposição e estbelecer um notção, suporte(f) = [A,B];f(t) = 0;t / [A,B]; Este será o significdo ds vriáveis A,B prtir de gor. Por definição h(x) = h(x) = x B x A f(t)g(x t)dt = f g(x); (4) B h(x) = f(t)g(x t)dt; (5) A f(x u)g(u)du = x A x B f(x u)g(u)du; (6)

4 2 CONDIÇÃO DE DIFERENCIABILIDADE DE F G 3 em que x é um prâmetro no integrndo, um tipo de equção chmd de integrl dependendo dum prâmetro e que pel operção usulmente chmd de mudnç de vriáveis posso reescrever no formto d equção (eq. 2.6). Vou usr o lem do vlor médio ds funções contínus: Lem 1 (do vlor médio pr funções contínus) Se φ : [,b] [m,m] for um função contínu e sobrejetiv, então ddo qulquer q [m,m] existe pelo menos um p [,b] tl que φ(p) = q. Dem : Não cberi fzer um demonstrção já que é um conhecido teorem dos livros de Análise n ret, ms é instrutiv form de demonstrção que vou usr porque estrei introduzindo um lgoritmo que não é usdo ns demonstrções e que será usdo logo neste rtigo. Se φ for função contínu, é integrável à Riemnn sobre qulquer intervlo compcto [, b] e 1 b φ(x)dx [m,m] b é o vlor médio integrl de φ em [,b] e como 1 b b x [,b] m φ(x) M; (7) mdx = m 1 b b x [,b[ m 1 b x Ms ddo q [m,m] vou colocr equção: Φ(x) = 1 x x φ(x)dx 1 b b Mdx = M; (8) x φ(t)dt M; (9) φ(t)dt = q [m,m]; Suponh, por bsurdo que Φ(x) < q, pr qulquer que sej x [,b], então φ não é sobrejetiv! Suponh gor, por bsurdo, que Φ(x) > q, pr qulquer que sej x [,b] e então novmente φ não é sobrejetiv! Então, pel lei do terceiro excluso deve hver p [,b] tl que Φ(p) = q. q.e.d. Usei demonstrção clássic de que [m,m] é um conjunto conexo escondid n demonstrção por bsurdo. Observção 1 Vlor médio integrl q [m,m] é um vlor médio de φ à volt de p [,b]. Observe que q = M ou q = m são dus possibiliddes inteirmente legis pr um vlor médio. p,p+ǫ [,b) q = m(φ) p,ǫ = 1 ǫ p = b,ǫ < (b ) q = m(φ) p,ǫ = 1 ǫ p+ǫ p p p ǫ φ(t)dt; (10) φ(t)dt; (11) é um vlor médio integrl de φ à volt de p que vi interessr-me. O vlor médio integrl depende do intervlo considerdo sendo est rzão d notção q = m(φ) p,ǫ ; (12) Como consequênci do lem 1 e do Teorem Fundmentl do Cálculo Integrl, se φ for um função contínu então posso eliminr m, ǫ, n equção (2.12):

5 2 CONDIÇÃO DE DIFERENCIABILIDADE DE F G 4 Lem 2 (Primitiv e derivd) Sej φ um função contínu definid em [,b]. A função x h (x) = φ(t)dt é de clsse C 1 com h (q) = lim m(φ) q,ǫ = m(φ) q = φ(q); (13) ǫ=0 A leitor deve reconhecer que notção h tem objetivo de fzer referênci à primitiv com condição inicil e n sequênci vou omitir est referênci pr simplificr simbologi ficndo implícito d integrl que se trt dum primitiv com condição inicil indicd. Sendo preciso observr que pr x = b é derivd à esquerd que se tem, pr x; < x < b pel definição do limite no (lem 2) está definid derivd à direit pr x = se tem pens derivd à direit. Quero plicr o (lem 2) o produto de convolução ds dus funções contínus f,g que estou supondo que são à suporte compcto. Pr proveitr notção do (lem 2 ) vou usr o intervlo [, b] como som de conjuntos dos suportes de f e de g, que é o suporte d função f g e os cálculos seguintes nos conduzem à conclusão do nosso objetivo imedito, demonstrção do teorem 1: h(x) = h(x) = h(x+ǫ) h(x) = + f(t)g(x t)dt = f g(x) = x b x f(x u)g(u)du = x x b b f(t)g(x t)dt; (14) f(x u)g(u)du; (15) Considere x [,b[ então ǫ > 0; (16) x +ǫ x b+ǫ x x b+ǫ h (x) = lim = + f(x+ǫ u)g(u)du x b+ǫ x b x x b f(x u)g(u)du;= (17) f(x u)g(u)du+ (18) (f(x+ǫ u) f(x u))g(u)du+ (19) x +ǫ x x 1 ǫ=0 ǫ x b+ǫ f(x+ǫ u)g(u)du; (20) (f(x+ǫ u) f(x u))g(u)du (21) O limite ns equções (eq. 2.18) e (eq. 2.20), sob divisão por ǫ, é um cálculo de vlor médio e qundo ǫ = 0 vle zero, rest clculr o limite n equção (eq. 2.21). Ms é mis simples retomr equção (eq. 2.14) e reclculr h(x+ǫ) h(x). Observe-se, en psnt, que se eu tivesse hipótese de diferencibilidde de f, que não tenho, poderi deduzir d equção (eq. 2.21) conhecid fórmul de diferencição d convolução h 1 (x) = lim ǫ=0 ǫ x x b+ǫ (f(x+ǫ u) f(x u))g(u)du = ( f g ) (x) = ( f g ) (x) (22) vlendo o termo à direit com hipótese de diferencibilidde de g. Aqui vle um comentário que põe em evidênci dificuldde dest demonstrção, o que liás justific que el sej feit detlhdmente. O vlor de h (x) não é óbvio e nem existe como um expressão simples e isto é bem conhecido o longo dos 300 nos de uso dest operção intrignte.

6 2 CONDIÇÃO DE DIFERENCIABILIDADE DE F G 5 A convolução é responsável pelo fenômeno de Gibbs devido o vlor médio usndo o núcleo de Dirichlet, por exemplo, e o regulrizr um função descontínu el elimin Dirc clculndo um ponto médio do slto. Num ponto de slto trnsformd de Fourier pss no ponto médio do slto. Em sum, não é possível exibir-se um expressão simples, envolvendo vlores de f e de g no cálculo de h (x). Os progrms usdos ns simulções deste rtigo servem pr deixr isto clro, e tmbém mostrm tenttiv flh deste utor n busc dest formulção simples em lgum cso especil, por exemplo um expressão semelhnte à derivd do produto, usndo convolução como trnsformção biliner. O cálculo impossível de ser feito n equção (2.22) é ilustrtivo: h = f g; h = f g ; Nenhum dos dois resultdos cim... Pr demonstrr existênci d derivd, n impossibilidde de um cálculo rápido prtir d equção (eq. 2.21) eu vou retormr s conts prtir d equção (eq. 2.14). h(x) = h(x+ǫ) h(x) = f(t)g(x t)dt = b h(x+ǫ) h(x) (b ) f b h(x+ǫ) h(x) (b ) f b b f(t)g(x t)dt; (23) f(t)(g(x+ǫ t) g(x t)); (24) g(x+ǫ t) g(x t) dt; (25) ǧ(t x ǫ) ǧ(t x) dt; (26) h(x+ǫ) h(x) (b ) f ǧ x+ǫ ǧ x 1 ; (27) Ns equções (2.26) e (2.27) prece distânci em L 1 m (R) ds trnsltds d função contínu ǧ, por x+ǫ e x, um vez que, se g for contínu tmbém ǧ o será. O índice m, em L 1 m(r) se refere à medid de Lebesgue d ret. Em L 1 m (R) trnslção é um função liner contínu, e isto signific que ddo ρ, existe ǫ tl que ǧ x+ǫ ǧ x 1 < ρ pr números reis positivos, ρ,ǫ. Como trnslção é liner, então ρ = Cǫ, é um múltiplo de ǫ, e C é um constnte muito prticulr que é específic de cd trnsformção liner muito à mneir do que contece n Álgebr Liner dimensão finit, mis crcterístico ind no cso d Álgebr Liner de dimensão 1, x Cx;C R, em que C é própri mtriz. Em dimensão mior do que 1, ms ind finit, C é um constnte ser deduzid ds entrds d mtriz d trnsformção liner. Aqui estou usndo um conhecido teorem que estbelece que s funções lineres são Lipschitz-contínus e C é constnte de Lipschitz d trnslção. C é chmd comumente de módulo de continuidde porque corresponde à norm d trnsformção liner como elemento dum espço vetoril normdo de funções, no cso d trnslção C = 1, qundo medid for invrinte por trnslção, e é o cso d medid de Lebesgue. Assim tenho h(x+ǫ) h(x) ǫ (b ) f ǧ x+ǫ ǧ x 1 (b ) f ρ; (28) h(x+ǫ) h(x) ǫ = (b ) f ǫ = O(ǫ); (29) implicndo que h(x+ǫ) h(x) lim = h (x) (30) ǫ=0 ǫ existe pr cd x [,b[. Pr x = b se obtem derivd à esquerd bstndo pens usr h(x ǫ) h(x) em lugr de h(x+ǫ) h(x). No ponto x = tmbém o que obtive foi derivd à direit.

7 2 CONDIÇÃO DE DIFERENCIABILIDADE DE F G 6 Pr terminr pens um observção, h (x) nd mis é do que o vlor médio integrl d função t f(t)g(x t), à volt do ponto x, que é um função contínu portnto h é contínu sendo h = f g C 1 (R), pelo lem 2. q.e.d. 2.1 Simulções com um progrm em Python Fiz lgums simulções com um progrm em Python presentdo num pêndice o finl do rtigo que pode ser bixdo de [3, Convoluco02 py]. Ele foi usdo pr pr conseguir evidêncis computcionis dos resultdos, n verdde tenttivs pr encontrr um fórmul simples, n lgum cso, pr h (x). Eu estv com tentndo encontrr um fórmul que se ssemelhsse à do produto pr derivds, usndo gor o produto por convolução como um trnsformção biliner, e minhs tenttivs flhrm. As tbels (tb. 1), (tb. 2), (tb. 3) que tmbém se encontrm o finl, no pêndice, que form tmbém gerds pelo progrm em Python, mostrm três simulções d equção (2.21) feits com o progrm com tres vlores pr ǫ indicdos no cbeçlho de cd um ds tbels. A tbel 4, que tmbém está presentd no pêndice, mostr o resultdo d simulção usndo f,g = χ [ 1 2,1 2 ] n qul podemos ver lguns resultdos curiosos pelo fto de serem produzidos por um progrm, n terceir colun, usndo ǫ = 1 10 prece o número ± pr o qul não consegui um explicção. 5 Usndo ǫ = 1 10 o vlor que prece é ±0.95 qundo minh expecttiv seri de que precessem vlores grndes em vlor bsoluto pens nos pontos de slto, mostrndo presenç d Dirc. O progrm, [3, Convoluco02 py], está disponível pr quem desejr nlisr lgum erro no lgoritmo, eu grdeceri um retorno. A figur (1) págin 6, mostr o produto d função triângulo com suporte Convol Tri*qud 0.0 "ddos1" "ddos2" Figur 1: produto de convolução Tri qud

8 3 UM EXEMPLO 7 [ 1,1] e um 2-splines que tem o mesmo suporte [ 1,1] e figur (2) págin 7, mostr o produto de convolução d função triângulo por el mesm. O Convol Tri*Tri 0.0 "ddos1" "ddos2" Figur 2: produto de convolução Tri Tri progrm em Python, presentdo o finl no pêndice, [3, Convoluco02 py] us os módulos scipy, system, os que são distribuidos com lingugem, e os módulos produzidos por este utor, gnuplot, operdores, nucleo, mbiente, funcoes que estão descritos qui, [2]. Você pode bixr o progrm que foi usdo neste rtigo de [3, Convoluco02 py], e ltere Convoluco02 py pr Convoluco02.py pr que o interpretdor Python o reconheç. Este resultdo é muito forte ms inteirmente esperdo, ver [1], em que potênci de convolução de funções crcterístics é clculd sendo um função contínu, prtir d segund potênci. N próxim seção vou considerr um hipótese mis frc e dr um exemplo mostrndo que hipótese de continuidde não pode ser retird o desejrmos continuidde d derivd de f g. 3 Os ftores têm que ser contínuos Considere H 0 função de Heviside que é descontínu com um slto unitário n origem, constnte zero n semiret negtiv constnte 1 n semiret positiv. Su derivd é medid de Dirc δ 0, confir [7, págin 36] consequentemente (H 0 H 0 ) = H 0 δ 0 = H 0 (31) então o produto de convolução H 0 H 0 é um função contínu ms su derivd é descontínu, mis extmente, H 0 H 0 é nul pr x 0 e coincide com

9 3 UM EXEMPLO 8 primeir bissetriz pr x 0: (H 0 H 0 )(x) = { 0 x 0; x x > 0; (32) A derivd tem um slto no ponto zero. 3.1 Visão gerl do domínio d convolução Um desiguldde resolve especificção dum domínio pr convolução: Teorem 2 (convolução) norm e desiguldde Usndo o símbolo p pr representr s norms dos espços de Lebesgue, e nturlmente, sob suposição de que f p exist n expressão bixo, temos seguinte cópi d desiguldde de Hölder pr funções reis de vriáveis reis f g 1 f p g q ; 1 p = 1 (33) Dem : Se f p, g q forem números, então h(x) = = f(t)g(x t)dt = (34) f(t)g x ( t)dt (35) f p ǧ x q f p g q (36) N equção (3.36) prece notção ǧ(x) = g(x t), e estou usndo o fto de que s trnsltds de qulquer função em L q tem mesm norm pel invriânci de trnslção d medid de Lebesgue. q.e.d. Com est desiguldde convolução pode ser definid como um operdor no dul dequdo dum espço de Lebesgue de cordo com desiguldde de Hölder. Em prticulr s funções do prágrfo inicil pertencem qulquer espço de Lebesgue que se deseje. O exemplo d função de Heviside mostr que continuidde não pode ser elimind pr que f g tenh um derivd contínu, e o teorem 2 mostr que é preciso hver um condição tipo desiguldde de Hölder pr que um produto de funções sej integrável. Ms se desejrmos pens grntir que o produto sej de clsse C 1 o teorem 2 é excessivo como condição pr s dus funções. Com isto chegmos à hipótese cert: um dos ftores precis estr num espço de Lebesgue, que é o que nos permite o uso d norm de L p n desiguldde finl d demontrção do teorem 1.

10 REFERÊNCIAS 9 e outro é suficiente que sej um função integrável e limitd em qulquer intervlocompcto[,b]oquenosvipermitirdeusrnormdosupremo n desiguldde finl d demontrção do teorem 1. Teorem 3 (diferencibilidde) d convolução Se um d ftores f,g, for um elemento dum espço L p (R) e outro for um função integrável e limitd em qulquer intervlo compcto, então f g é de clsse C 1 (R). Dem : A demonstrção do teorem 1 se plic com um modificção: uso d norm de L p (R) onde está sendo usd norm de L 1 (R). q.e.d. Observe que há um gnho significtivo neste teorem finl, eliminei condição sobre o suporte de mbos os ftores ssim como d continuidde, ficou pens condição de integrbilidde forte, pertencer um espço L p (R), pr um dos ftores, e pr o outro ser integrável e ter supremo em qulquer intervlo compcto. Consequentemente se f = χ [A,B] e g L p (R) então f g C 1 (R) pens não sbemos escrever de form simples o vlor d derivd nos pontos A,B, ms você tem um progrm qui, à su disposição, pr lhe informr um vlor proximdo de (f g) (A),(f g) (B). Referêncis [1] A.J. Neves nd T. Prcino-Pereir. Convolutions power of chrcteristic function. rxiv.org, 2012, April, 22:16, [2] T Prcino-Pereir. Python progrm to solve ordinry differentil equtions. Technicl report, Sobrl Mtemtic [3] Trcisio Prcino-Pereir. Progrms pr cálculo numérico. Technicl report, [4] Kenneth A. Ross. A trip from clssicl to bstrct fourier nlysis. Notices of AMS, Vol 61 (9):6, [5] Rphël Slem. Sur les trnsformtions des séries de fourier. Fund. Mth, 33:6, [6] Rphël Slem. Oeuvres Mthémtiques. Hermn - Pris, [7] Lurent Schwrtz. Théorie des Distribution. Hermnn, [8] D V. Widder. The convolution trnsform. Bulletin of Americn Mthemticl Society, 60,5: , 1954.

11 REFERÊNCIAS 10 [9] the free enciclopedi in the Internet Wikipedi. Wikipedi, the free enciclopedi in the internet.

12 REFERÊNCIAS 11 Tbels e o progrm em Python Tbel 1: derivd e equção (0.24) ǫ = x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) Tbel 2: derivd e equção (0.24) ǫ = x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14)

13 REFERÊNCIAS 12 Tbel 3: derivd e equção (0.24) ǫ = x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) #! /usr/bin/python # -*- coding: utf-8 -*- ## distribuido sob GPL n vers~o que lhe melhor convier. ## seç~o incluindo módulos externos from mth import * import scipy s sp from scipy import specil from os import system, remove from gnuplot import * ## grfunn nd friends N=1...5 from operdores import * ## operdores from nucleo import * ## funçoes e núcleos from mbiente import * from funcoes import * ### fim d importç~o ######################### ################################################## ## tiv clsse mbiente mbi = mbiente(); ############### definiç~o de funç~oes ############### ############### ltere Convol(x,Tri,Tri) pr Convol(x,f,g); def h(x): return Convol(x,Tri,Tri); ## pr núcleo com suporte [-1,1] def dh(x): return Dif(x,h); ## clcul equç~o (2.17) - ## rtigo: Produto de convoluç~o de funç~oes contínus def teste(x,epsilon,lph, bet,f,g): return (1.0/epsilon)*RiemSpl( lmbd u:(tri(x+epsilon-u)-tri(x-u))*qud(u),x-bet+ep

14 REFERÊNCIAS 13 Tbel 4: derivd e equção (0.24) ǫ = x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) x= h ( ) = = equção (eq. 0.14) ## Clcul s tbels do rtigo Produto de convoluç~o de funç~oes contínus def cri_tbel(lph, bet, delt_x, referenci,f,g): x = lph; slto = 0.1; ## é slto d tbel, grnulridde d tbel tbel = open("convoluco_tbel.tex", "w"); tbel.write(" %% tbel crid por progrm escrito em Python \n"); tbel.write(" \\begin{tble}[h] \n"); tbel.write(" \\centering \n"); tbel.write(" \\cption{derivd e equç~o\ \\ddtocounter{equcocinco}{10}\ (\\rbic{section}.\\rbic{equcocinco})$ \\epsilon = %f$}\ \n"\ %(delt_x) ); referenci = "DerivdSimulco"+referenci; tbel.write(" \\lbel{"+referenci+"}\n"); tbel.write(" \\begin{tbulr}{ l r r } \\hline \n"); while(x <= bet): C= teste(x,delt_x,lph, bet,f,g); ## chm funç~o teste com os pr^metros x,d tbel.write("x= %f & h (%f) = %f & %f = equç~o\ (\\rbic{section}.\\rbic{equcocinco}) \\\\ \\hline \n"\ %( x, x, dh(x), C ));

15 REFERÊNCIAS 14 x += slto; ## slto d tbel no LTeX tbel.write(" \\end{tbulr} \n"); tbel.write(" \\end{tble} \\ddtocounter{equcocinco}{-10} \n"); tbel.close(); lph, bet, delt_x = -2, 2, ; ## selecione qui ddos d tbel referenci="tres"; ## refer^enci d tbel no LTeX cri_tbel(lph, bet, delt_x, referenci,f,g); ## elimine comentário pr crir t ## quit(); ## se eliminr este comentário o progrm pr qui ## ltere mensgem indicndo qul é convoluç~o inicio =-2;fim =2;mensgem="Convoluç~o Tri*qud ";n=3000; grfun2(h, dh, inicio, fim, n, mensgem); mbi.peteco2(); quit();