Função de onda e Equação de Schrödinger

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Função de onda e Equação de Schrödinger"

Transcrição

1 Função de ond e Equção de Schrödinger A U L A 4 Met d ul Introduzir função de ond e Equção de Schrödinger. objetivos interpretr fisicmente função de ond; obter informção sobre um sistem microscópico, prtir d função de ond. Pré-requisito Pr um melhor compreensão dest ul, é preciso que você revej o conceito de equções em derivds prciis, tis como equção de onds, vist n Aul 11 de Físic B.

2 Introdução à Mecânic Quântic Função de ond e Equção de Schrödinger FUNÇÃO DE ONDA E EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER Vimos, ns uls do Módulo 1 dest disciplin, que s prtículs microscópics, como os elétrons, não se movem seguindo s leis clássics do movimento, dds pel Mecânic Newtonin. Esss prtículs, porém, seguem outrs leis que precem ser mis proprids pr propgção de onds. Isso ficou clro, de form qulittiv, n Aul, n qul vimos surgir um pdrão de interferênci, qundo um feixe de elétrons pss trvés de um fend dupl. Neste módulo, iniciremos um estudo quntittivo d dinâmic ds prtículs quântics, por meio de seus postuldos e de su formulção mtemátic precis. Afinl, quis são s leis que regem o movimento ds prtículs microscópics? Vmos considerr um prtícul microscópic (por exemplo, um elétron) que se moviment em três dimensões. Vmos ceitr, como postuldo, que o estdo dess prtícul, em um instnte de tempo t, é completmente definido por um quntidde complex chmd função de ond, e indicd pelo símbolo Ψ(x,y,z,t), em que (x,y,z) são s coordends espciis. O que queremos dizer com expressão estdo de um prtícul? N mecânic clássic, o estdo de um prtícul é conhecido por meio de su posição e de su velocidde em um determindo instnte. Este conhecimento, somdo o conhecimento d forç (ou, se preferirem, d energi potencil) que tu sobre est prtícul, permite descrição complet d su trjetóri subsequente trvés d integrção d ª Lei de Newton. Já um movimento ondultório, como vimos no Módulo 1, será totlmente conhecido, se soubermos dependênci espcil e temporl d função de ond. Por exemplo, no cso de onds n superfície d águ, vimos que um função de ond proprid er ltur do nível d águ. Note que, no cso ds prtículs quântics, descrição mtemátic é muito mis precid com ds onds do que com ds prtículs clássics. Como vimos n Aul 11 de Físic B, no cso de onds clássics, função de ond é solução de um equção em derivds prciis conhecid como equção d ond. Então, é rzoável supor que função de ond de um prtícul quântic deve tmbém stisfzer um equção de ond. Que equção é est? Veremos seguir. Suponh que prtícul quântic tenh mss m e se mov sob influênci de um energi potencil V(x,y,z,t). Postul-se, então, que função de ond stisfç à seguinte equção em derivds prciis: h ih V x,y,z,t = + + Ψ Ψ Ψ Ψ m x y z + ( ) Ψ t (4.1) 40 C E D E R J

3 em que h = h / π, sendo h constnte de Plnck. Est é fmos Equção de Schrödinger, propost pelo físico ustríco Erwin Schrödinger (Figur 4.1), em 196. Note que ess equção prece um pouco mis complicd que equção d ond clássic que conhecemos. Ms não se preocupe, em breve você estrá bstnte fmilirizdo com el. AULA 4 MÓDULO 1 Notem que estmos postulndo que o estudo de um sistem microscópico consiste em encontrr função de ond ψ, qul stisfz Equção de Schrödinger. A únic justifictiv pr descrição d Físic Quântic ser bsed nesss suposições é que els funcionm. Em outrs plvrs, Físic Quântic bsed nesss suposições descreve corretmente todos os fenômenos os quis tem sido plicd. Existem, n litertur, presentções d Equção de Schrödinger como sendo derivd d equção de ond, fzendo, com isso, diverss considerções que tentm mostrr su plusibilidde. Nós preferimos, entretnto, trtá-l como de fto el é: um postuldo. Não é possível chegr à Físic Quântic prtir d Físic Clássic pens por um rgumentção lógic! Figur 4.1: O físico ustríco Erwin Schrödinger ( ), que, por seu trblho de 196, no qul propôs equção que gnhou seu nome pr descrição d dinâmic ds prtículs quântics, foi grcido, juntmente com o físico inglês Pul Dirc, com o Prêmio Nobel de Físic de A prtir de gor, vmos nos restringir o cso unidimensionl, em que x é únic coordend. Além de levr um mior simplicidde, esse cso será suficiente pr estudr miori ds plicções que considerremos neste curso. No cso unidimensionl, Equção (4.1) se escreve: ih Ψ ( x,t) h = t m Ψ ( x,t) x + V( x,t) Ψ ( x,t). (4.) Vemos imeditmente que, pelo fto de ser solução de um equção complex em derivds prciis, função de ond será necessrimente um função complex. Este fto será discutido no próximo item. A função de ond Ψ(x,t) é um função contínu e, sempre que o potencil V(x,t) for finito, com derivd tmbém contínu. C E D E R J 41

4 Introdução à Mecânic Quântic Função de ond e Equção de Schrödinger INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA FUNÇÃO DE ONDA Figur 4.: O físico lemão Mx Born ( ), que formulou interpretção probbilístic d função de ond e, por isso, foi grcido com o Prêmio Nobel de Físic de Antes de começrmos resolver Equção de Schrödinger em situções específics, o que será feito ns próxims uls, vmos entender melhor o significdo d função de ond. Até o momento, el prece pens como um quntidde bstrt. Será mesmo ssim? Bem, vemos que, pelo fto de função de ond ser um quntidde complex, el não pode ser medid diretmente por nenhum instrumento físico. Isso signific que não há um sentido físico imedito pr ess função! Portnto, vmos deixr bem estbelecido que, de fto, função de ond de um sistem nd mis é do que um representção mtemátic bstrt do estdo do sistem. El somente tem significdo no contexto d teori quântic. Então, de que nos serve est função? Podemos utilizá-l, de lgum form, pr descrever o mundo físico? Mx Born, em 196, postulou que densidde de probbilidde p(x,t) de se encontrr prtícul n posição x, no instnte t, poderi ser obtid prtir d função de ond pel relção: p( x,t) = Ψ( x,t), (4.3) um região de modo que probbilidde de encontrrmos prtícul em x b no instnte t é dd por: b P[,b] = ( x,t) dx. (4.4) Ψ Note que est é pens um versão mtemticmente mis precis do que encontrmos em nossos experimentos de fend dupl descritos n Aul. Esse resultdo é conhecido como interpretção probbilístic d função de ond. Como tod probbilidde que se prez, P[,b] deve ser rel e positiv, qulquer que sej o intervlo considerdo. Isto é grntido pelo fto de que * Ψ( x,t) = Ψ ( x,t) Ψ( x,t) é rel e positivo. Lembre-se: é o módulo o qudrdo de um número complexo! Além disso, probbilidde deve ser normlizd, ou sej, probbilidde de se encontrr prtícul em qulquer região do espço, num ddo instnte de tempo, deve ser igul 1: + Ψ( x,t ) dx = 1. (4.5) 4 C E D E R J

5 Est condição é conhecid como normlizção d função de ond. Tod função de ond que se prez deve estr devidmente normlizd. Em três dimensões, relção correspondente é dx dy dz x,y,z,t. Ψ( ) = 1 V AULA 4 MÓDULO 1 ψ(x,0) / / x Figur 4.3: Energi potencil e função de ond em t = 0 do estdo de mis bix energi do poço infinito. ATIVIDADE 1. Vmos exercitr lguns conceitos ssocidos à interpretção probbilístic d função de ond? A Figur 4.3 mostr, em t = 0, função de ond do chmdo estdo fundmentl (o estdo de energi mis bix) do poço de potencil infinito. O poço infinito é quele em que energi potencil é zero num cert região (no cso mostrdo n Figur 4.3, em / < x < / ) e infinit em todo o resto do espço. Trt-se de um idelizção, ms é muito útil pr estudr os poços de potencil encontrdos n nturez. Veremos, ns próxims uls, como resolver Equção de Schrödinger pr o poço infinito, ms este não é o nosso foco no momento. Conhecemos solução e vmos trblhr um pouco com el. A função de ond do estdo fundmentl é seguinte: πx / Acos e iet h, < x < Ψ( x,t) = 0, x ou x. em que E é energi d prtícul no referido estdo e A é um número rel chmdo de constnte de normlizção, ser determindo. C E D E R J 43

6 Introdução à Mecânic Quântic Função de ond e Equção de Schrödinger. Usndo o postuldo de Born, obtenh densidde de probbilidde p(x,t) de se encontrr prtícul em um ponto qulquer do eixo x, no instnte t. Verifique que est densidde é rel e positiv. b. Imponh condição de normlizção e encontre constnte A. c. Ache probbilidde de se encontrr prtícul n metde direit do poço (x > 0). RESPOSTA COMENTADA. Pr clculr densidde de probbilidde, bst usr o postuldo de Born. Assim, obtemos πx. Ψ * ( ) Ψ ( ) Acos cos cos, x,t x,t e iet/ h A πx e -iet/ h A πx = < x < = 0, x ou x Como um cosseno o qudrdo é sempre rel e positivo, densidde de probbilidde tmbém é rel e positiv. Note ind que densidde é máxim n origem. b. A condição de normlizção é impost d seguinte form:. Ψ( x,t ) dx = 1 Assim, podemos obter constnte A: x Ψ( x,t) dx A cos. dx A π 1 A 1 = = = = c. A probbilidde de encontrrmos prtícul n metde direit do poço é dd pel Equção (4.5): πx P[ 0, ] ( x,t) dx cos dx 1 = Ψ = = = 50%. 0 Ou sej, prtícul pode estr com igul probbilidde do ldo direito e do ldo esquerdo do poço. Isto é esperdo, visto que o potencil é simétrico com relção à origem! 0 OPERADORES E VALORES ESPERADOS A est ltur, você já deve estr convencido d nturez probbilístic do mundo quântico (ou, o menos, deve ter se conformdo com el). Vimos, n experiênci de fend dupl (Aul ), que não podemos prever o resultdo de um único evento (como posição do impcto de um elétron no ntepro). Podemos, porém, fzer um nálise esttístic 44 C E D E R J

7 de um número muito grnde de eventos. Por exemplo, se fizermos váris medids d posição x do elétron no ntepro, que vlor médio ou vlor esperdo d posição x iremos obter? O resultdo importntíssimo descrito no item nterior nos permite fzer este cálculo. Um vez que temos distribuição de probbiliddes, isto se torn simples, bst usr um resultdo bem conhecido de esttístic elementr: x = x Ψ( x,t) dx. (4.6) AULA 4 MÓDULO 1 Seguindo ess receit, podemos clculr outrs quntiddes de interesse, tis como o vlor esperdo f de um função qulquer d posição x, f(x). Ess quntidde é dd pel expressão usul pr o vlor esperdo: ms que escreveremos n form f = f ( x ) Ψ( x,t ) dx, (4.7) f = Ψ * ( x,t) f ( x) Ψ ( x,t) dx. (4.8) A Equção (4.8) é completmente equivlente à Equção (4.7). Ms, então, qul é vntgem de escrevê-l dest form? N verdde, Equção (4.8) é pens um cso prticulr do seguinte resultdo mis gerl: O Ψ * ( x,t) O Ψ ( x,t) dx, = [ ] (4.9) em que O é um operdor quântico e O é seu vlor esperdo. Um operdor quântico oper ou tu sobre um função de ond, e o resultdo é um outr função. Indicmos por O o resultdo d operção do operdor O sobre função de ond Ψ. No cso mis simples, um operdor pode ser um função f(x). Qundo isso contece, o resultdo d operção é simplesmente o produto d função f pel [ ] = [ Ψ( x,t) ] função de ond Ψ, ou sej, O Ψ( x,t) f ( x) Ψ( x,t). Neste cso, expressão (4.9) se reduz à (4.8). Porém, no cso mis gerl, um operdor quântico pode envolver operções mis complicds, como, por exemplo, diferencição. Veremos exemplos desse tipo n Aul 5. C E D E R J 45

8 Introdução à Mecânic Quântic Função de ond e Equção de Schrödinger Afinl, pr que servem os operdores quânticos e Equção (4.9)? Certmente não são pens um curiosidde mtemátic, muito pelo contrário. Os operdores desempenhm um ppel centrl no formlismo d Físic Quântic. Este ppel é definido pelo seguinte postuldo: A cd grndez físic corresponde um operdor quântico. E mis: supondo um prtícul no estdo quântico definido pel função de ond Ψ, o vlor esperdo d medid d grndez físic correspondente o operdor O (ou sej, o vlor médio esttístico de muits medids dest grndez) é ddo pel Equção (4.9). Vle pen meditr sobre importânci desse resultdo. N Aul, prendemos que n Físic Quântic é impossível prever, com certez, o resultdo de um únic medid. N ocsião, você pode ter sentido um limitção repentin em sus possibiliddes de conhecer dinâmic de um sistem físico, lgo que não existi n Físic Clássic. Agor, observmos que o menos o vlor médio de um número muito grnde de medids pode ser predito pel teori. Recupermos, ind que prcilmente, nosso poder preditivo. N próxim ul, conheceremos dois operdores bstnte importntes, ssocidos à energi e o momento liner. Veremos que eles não podem ser definidos por um simples função d posição f(x). Ms, ntes, que tl trblhrmos um pouco com lguns operdores mis simples? ATIVIDADE FINAL Considere mis um vez função de ond do estdo fundmentl do poço infinito Equção (4.6).. Clcule o vlor esperdo d posição x e interprete seu resultdo. b. Além do vlor esperdo de um conjunto de muits medids, podemos clculr o desvio-pdrão. O desvio-pdrão mede fix de vlores em que probbilidde de medid é lt. Dess form, ele dá um idéi d incertez d medid. Clcule o desvio-pdrão d posição pr o estdo fundmentl do poço infinito. x = x x 46 C E D E R J

9 RESPOSTA COMENTADA. O vlor esperdo d posição é obtido d seguinte form: x x x,t x,t x x,t dx e iet/h x x = Ψ * Ψ * Ψ π π ( ) ( ) ( ) = cos cos e πx = x cos dx = 0. iet/h dx = AULA 4 MÓDULO 1 Podemos entender este resultdo por simetri: prtícul tem igul probbilidde de ser encontrd do ldo direito e do ldo esquerdo do poço, de modo que o vlor mis provável é x = 0. b. Clculr incertez x = x x x πx x dx π = cos = 1 = 0, 033 π 6 x = x = 0, 18. R E S U M O O estdo quântico de um prtícul é descrito por su função de ond, que stisfz à Equção de Schrödinger. O módulo o qudrdo d função de ond nos dá mplitude de probbilidde de encontrrmos prtícul num cert posição. A cd grndez físic corresponde um operdor quântico. Assim, com o conhecimento d função de ond, é possível obter o vlor esperdo ds medids dess grndez. INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA N próxim ul, vmos conhecer os operdores energi e momento liner e descreveremos o Princípio d Incertez de Heisenberg. C E D E R J 47

Operadores momento e energia e o Princípio da Incerteza

Operadores momento e energia e o Princípio da Incerteza Operdores momento e energi e o Princípio d Incertez A U L A 5 Mets d ul Definir os operdores quânticos do momento liner e d energi e enuncir o Princípio d Incertez de Heisenberg. objetivos clculr grndezs

Leia mais

Transporte de solvente através de membranas: estado estacionário

Transporte de solvente através de membranas: estado estacionário Trnsporte de solvente trvés de membrns: estdo estcionário Estudos experimentis mostrm que o fluxo de solvente (águ) em respost pressão hidráulic, em um meio homogêneo e poroso, é nálogo o fluxo difusivo

Leia mais

Apoio à Decisão. Aula 3. Aula 3. Mônica Barros, D.Sc.

Apoio à Decisão. Aula 3. Aula 3. Mônica Barros, D.Sc. Aul Métodos Esttísticos sticos de Apoio à Decisão Aul Mônic Brros, D.Sc. Vriáveis Aletóris Contínus e Discrets Função de Probbilidde Função Densidde Função de Distribuição Momentos de um vriável letóri

Leia mais

Simbolicamente, para. e 1. a tem-se

Simbolicamente, para. e 1. a tem-se . Logritmos Inicilmente vmos trtr dos ritmos, um ferrment crid pr uilir no desenvolvimento de cálculos e que o longo do tempo mostrou-se um modelo dequdo pr vários fenômenos ns ciêncis em gerl. Os ritmos

Leia mais

Semelhança e áreas 1,5

Semelhança e áreas 1,5 A UA UL LA Semelhnç e áres Introdução N Aul 17, estudmos o Teorem de Tles e semelhnç de triângulos. Nest ul, vmos tornr mis gerl o conceito de semelhnç e ver como se comportm s áres de figurs semelhntes.

Leia mais

Vestibular UFRGS 2013 Resolução da Prova de Matemática

Vestibular UFRGS 2013 Resolução da Prova de Matemática Vestibulr UFRG 0 Resolução d Prov de Mtemátic 6. Alterntiv (C) 00 bilhões 00. ( 000 000 000) 00 000 000 000 0 7. Alterntiv (B) Qundo multiplicmos dois números com o lgrismo ds uniddes igul 4, o lgrismo

Leia mais

1 Fórmulas de Newton-Cotes

1 Fórmulas de Newton-Cotes As nots de ul que se seguem são um compilção dos textos relciondos n bibliogrfi e não têm intenção de substitui o livro-texto, nem qulquer outr bibliogrfi. Integrção Numéric Exemplos de problems: ) Como

Leia mais

CPV O cursinho que mais aprova na GV

CPV O cursinho que mais aprova na GV O cursinho que mis prov n GV FGV Administrção 04/junho/006 MATEMÁTICA 0. Pulo comprou um utomóvel fle que pode ser bstecido com álcool ou com gsolin. O mnul d montdor inform que o consumo médio do veículo

Leia mais

POLINÔMIOS. Definição: Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma. n em que cada a i é um número complexo (ou

POLINÔMIOS. Definição: Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma. n em que cada a i é um número complexo (ou POLINÔMIOS Definição: Um polinômio de gru n é um função que pode ser escrit n form P() n n i 0... n i em que cd i é um número compleo (ou i 0 rel) tl que n é um número nturl e n 0. Os números i são denomindos

Leia mais

Programação Linear Introdução

Programação Linear Introdução Progrmção Liner Introdução Prof. Msc. Fernndo M. A. Nogueir EPD - Deprtmento de Engenhri de Produção FE - Fculdde de Engenhri UFJF - Universidde Federl de Juiz de For Progrmção Liner - Modelgem Progrmção

Leia mais

1º semestre de Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 1 Profa Olga (1º sem de 2015) Função Exponencial

1º semestre de Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 1 Profa Olga (1º sem de 2015) Função Exponencial º semestre de Engenhri Civil/Mecânic Cálculo Prof Olg (º sem de 05) Função Eponencil Definição: É tod função f: R R d form =, com R >0 e. Eemplos: = ; = ( ) ; = 3 ; = e Gráfico: ) Construir o gráfico d

Leia mais

Recordando produtos notáveis

Recordando produtos notáveis Recordndo produtos notáveis A UUL AL A Desde ul 3 estmos usndo letrs pr representr números desconhecidos. Hoje você sbe, por exemplo, que solução d equção 2x + 3 = 19 é x = 8, ou sej, o número 8 é o único

Leia mais

b 2 = 1: (resp. R2 e ab) 8.1B Calcule a área da região delimitada pelo eixo x, pelas retas x = B; B > 0; e pelo grá co da função y = x 2 exp

b 2 = 1: (resp. R2 e ab) 8.1B Calcule a área da região delimitada pelo eixo x, pelas retas x = B; B > 0; e pelo grá co da função y = x 2 exp 8.1 Áres Plns Suponh que cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região D é

Leia mais

Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução

Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução (9) - www.elitecmpins.com.br O ELITE RESOLVE MATEMÁTICA QUESTÃO Se Améli der R$, Lúci, então mbs ficrão com mesm qunti. Se Mri der um terço do que tem Lúci, então est ficrá com R$, mis do que Améli. Se

Leia mais

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes

Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes 1 Equções de Segundo Gru Bhskr e su turm Cícero Thigo B Mglh~es Um equção do segundo gru é um equção do tipo x + bx + c = 0, em que, b e c são números reis ddos, com 0 Dd um equção do segundo gru como

Leia mais

1. VARIÁVEL ALEATÓRIA 2. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

1. VARIÁVEL ALEATÓRIA 2. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Vriáveis Aletóris 1. VARIÁVEL ALEATÓRIA Suponhmos um espço mostrl S e que cd ponto mostrl sej triuído um número. Fic, então, definid um função chmd vriável letóri 1, com vlores x i2. Assim, se o espço

Leia mais

Gabarito - Matemática Grupo G

Gabarito - Matemática Grupo G 1 QUESTÃO: (1,0 ponto) Avlidor Revisor Um resturnte cobr, no lmoço, té s 16 h, o preço fixo de R$ 1,00 por pesso. Após s 16h, esse vlor ci pr R$ 1,00. Em determindo di, 0 pessos lmoçrm no resturnte, sendo

Leia mais

Incertezas e Propagação de Incertezas. Biologia Marinha

Incertezas e Propagação de Incertezas. Biologia Marinha Incertezs e Propgção de Incertezs Cursos: Disciplin: Docente: Biologi Biologi Mrinh Físic Crl Silv Nos cálculos deve: Ser coerente ns uniddes (converter tudo pr S.I. e tender às potêncis de 10). Fzer um

Leia mais

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?

INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x? Cálculo II Prof. Adrin Cherri 1 INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região

Leia mais

Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0

Função Modular. x, se x < 0. x, se x 0 Módulo de um Número Rel Ddo um número rel, o módulo de é definido por:, se 0 = `, se < 0 Observção: O módulo de um número rel nunc é negtivo. Eemplo : = Eemplo : 0 = ( 0) = 0 Eemplo : 0 = 0 Geometricmente,

Leia mais

AULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática

AULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Lingugem Mtemátic AULA 1 1 1.2 Conjuntos Numéricos Chm-se conjunto o grupmento num todo de objetos, bem definidos e discerníveis, de noss percepção ou de nosso entendimento, chmdos

Leia mais

TRIGONOMETRIA. A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações trigonométricas num triângulo retângulo.

TRIGONOMETRIA. A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações trigonométricas num triângulo retângulo. TRIGONOMETRIA A trigonometri é um prte importnte d Mtemátic. Começremos lembrndo s relções trigonométrics num triângulo retângulo. Num triângulo ABC, retângulo em A, indicremos por Bˆ e por Ĉ s medids

Leia mais

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana

Interpretação Geométrica. Área de um figura plana Integrl Definid Interpretção Geométric Áre de um figur pln Interpretção Geométric Áre de um figur pln Sej f(x) contínu e não negtiv em um intervlo [,]. Vmos clculr áre d região S. Interpretção Geométric

Leia mais

Potencial Elétrico. Evandro Bastos dos Santos. 14 de Março de 2017

Potencial Elétrico. Evandro Bastos dos Santos. 14 de Março de 2017 Potencil Elétrico Evndro Bstos dos Sntos 14 de Mrço de 2017 1 Energi Potencil Elétric Vmos começr fzendo um nlogi mecânic. Pr um corpo cindo em um cmpo grvitcionl g, prtir de um ltur h i té um ltur h f,

Leia mais

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral

Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral www.engenhrifcil.weely.com Resumo com exercícios resolvidos do ssunto: Aplicções d Integrl (I) (II) (III) Áre Volume de sólidos de Revolução Comprimento de Arco (I) Áre Dd um função positiv f(x), áre A

Leia mais

Física 1 Capítulo 3 2. Acelerado v aumenta com o tempo. Se progressivo ( v positivo ) a m positiva Se retrógrado ( v negativo ) a m negativa

Física 1 Capítulo 3 2. Acelerado v aumenta com o tempo. Se progressivo ( v positivo ) a m positiva Se retrógrado ( v negativo ) a m negativa Físic 1 - Cpítulo 3 Movimento Uniformemente Vrido (m.u.v.) Acelerção Esclr Médi v 1 v 2 Movimento Vrido: é o que tem vrições no vlor d velocidde. Uniddes de celerção: m/s 2 ; cm/s 2 ; km/h 2 1 2 Acelerção

Leia mais

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS Um dos grndes problems de mtemátic n ntiguidde er resolução de equções polinomiis. Encontrr um fórmul ou um método pr resolver tis equções er um grnde desfio. E ind hoje

Leia mais

2.4 Integração de funções complexas e espaço

2.4 Integração de funções complexas e espaço 2.4 Integrção de funções complexs e espço L 1 (µ) Sej µ um medid no espço mensurável (, F). A teori de integrção pr funções complexs é um generlizção imedit d teori de integrção de funções não negtivs.

Leia mais

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Cálculo Numérico Fculdde de Enenhri, Arquiteturs e Urnismo FEAU Pro. Dr. Serio Pillin IPD/ Físic e Astronomi V Ajuste de curvs pelo método dos mínimos qudrdos Ojetivos: O ojetivo dest ul é presentr o método

Leia mais

COLÉGIO NAVAL 2016 (1º dia)

COLÉGIO NAVAL 2016 (1º dia) COLÉGIO NAVAL 016 (1º di) MATEMÁTICA PROVA AMARELA Nº 01 PROVA ROSA Nº 0 ( 5 40) 01) Sej S som dos vlores inteiros que stisfzem inequção 10 1 0. Sendo ssim, pode-se firmr que + ) S é um número divisíel

Leia mais

Fluxo Gênico. Desvios de Hardy-Weinberg. Estimativas de Fluxo gênico podem ser feitas através de dois tipos de métodos:

Fluxo Gênico. Desvios de Hardy-Weinberg. Estimativas de Fluxo gênico podem ser feitas através de dois tipos de métodos: Desvios de Hrdy-Weinberg cslmento preferencil Mutção Recombinção Deriv Genétic Fluo gênico Fluo Gênico O modelo de Hrdy-Weinberg consider pens um únic populção miori ds espécies tem váris populções locis

Leia mais

Cálculo III-A Módulo 8

Cálculo III-A Módulo 8 Universidde Federl Fluminense Instituto de Mtemátic e Esttístic Deprtmento de Mtemátic Aplicd álculo III-A Módulo 8 Aul 15 Integrl de Linh de mpo Vetoril Objetivo Definir integris de linh. Estudr lgums

Leia mais

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa

Diogo Pinheiro Fernandes Pedrosa Integrção Numéric Diogo Pinheiro Fernndes Pedros Universidde Federl do Rio Grnde do Norte Centro de Tecnologi Deprtmento de Engenhri de Computção e Automção http://www.dc.ufrn.br/ 1 Introdução O conceito

Leia mais

Aula 10 Estabilidade

Aula 10 Estabilidade Aul 0 Estbilidde input S output O sistem é estável se respost à entrd impulso 0 qundo t Ou sej, se síd do sistem stisfz lim y(t) t = 0 qundo entrd r(t) = impulso input S output Equivlentemente, pode ser

Leia mais

64 5 y e log 2. 32 5 z, então x 1 y 1 z é igual a: c) 13 e) 64 3. , respectivamente. Admitindo-se que E 1 foi equivalente à milésima parte de E 2

64 5 y e log 2. 32 5 z, então x 1 y 1 z é igual a: c) 13 e) 64 3. , respectivamente. Admitindo-se que E 1 foi equivalente à milésima parte de E 2 Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Função Logrítmic p. (UFSM-RS) Sejm log, log 6 e log z, então z é igul : ) b) c) e) 6 d) log log 6 6 log z z z z (UFMT) A mgnitude de um terremoto é medid

Leia mais

O Teorema Fundamental do Cálculo e Integrais Indefinidas

O Teorema Fundamental do Cálculo e Integrais Indefinidas Cpítulo O Teorem Fundmentl do Cálculo e Integris Indefinids. Introdução Clculr integris usndo soms de Riemnn, tl qul vimos no cpítulo nterior, é um trblho penoso e por vezes muito difícil (ou quse impossível).

Leia mais

Professores Edu Vicente e Marcos José Colégio Pedro II Departamento de Matemática Potências e Radicais

Professores Edu Vicente e Marcos José Colégio Pedro II Departamento de Matemática Potências e Radicais POTÊNCIAS A potênci de epoente n ( n nturl mior que ) do número, representd por n, é o produto de n ftores iguis. n =...... ( n ftores) é chmdo de bse n é chmdo de epoente Eemplos =... = 8 =... = PROPRIEDADES

Leia mais

Relações em triângulos retângulos semelhantes

Relações em triângulos retângulos semelhantes Observe figur o ldo. Um escd com seis degrus está poid em num muro de m de ltur. distânci entre dois degrus vizinhos é 40 cm. Logo o comprimento d escd é 80 m. distânci d bse d escd () à bse do muro ()

Leia mais

Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA

Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA pítulo III INTEGRIS DE LINH pítulo III Integris de Linh pítulo III O conceito de integrl de linh é um generlizção simples e nturl do conceito de integrl definido: f ( x) dx Neste último, integr-se o longo

Leia mais

f(x) é crescente e Im = R + Ex: 1) 3 > 81 x > 4; 2) 2 x 5 = 16 x = 9; 3) 16 x - 4 2x 1 10 = 2 2x - 1 x = 1;

f(x) é crescente e Im = R + Ex: 1) 3 > 81 x > 4; 2) 2 x 5 = 16 x = 9; 3) 16 x - 4 2x 1 10 = 2 2x - 1 x = 1; Curso Teste - Eponencil e Logritmos Apostil de Mtemátic - TOP ADP Curso Teste (ii) cso qundo 0 < < 1 EXPONENCIAL E LOGARITMO f() é decrescente e Im = R + 1. FUNÇÃO EXPONENCIAL A função f: R R + definid

Leia mais

, então ela é integrável em [ a, b] Interpretação geométrica: seja contínua e positiva em um intervalo [ a, b]

, então ela é integrável em [ a, b] Interpretação geométrica: seja contínua e positiva em um intervalo [ a, b] Interl Deinid Se é um unção de, então su interl deinid é um interl restrit à vlores em um intervlo especíico, dimos, O resultdo é um número que depende pens de e, e não de Vejmos deinição: Deinição: Sej

Leia mais

Os números racionais. Capítulo 3

Os números racionais. Capítulo 3 Cpítulo 3 Os números rcionis De modo informl, dizemos que o conjunto Q dos números rcionis é composto pels frções crids prtir de inteiros, desde que o denomindor não sej zero. Assim como fizemos nteriormente,

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT ALGEBRA LINEAR I-A PROF.: GLÓRIA MÁRCIA

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT ALGEBRA LINEAR I-A PROF.: GLÓRIA MÁRCIA UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT - ALGEBRA LINEAR I-A PROF.: GLÓRIA MÁRCIA LISTA DE EXERCÍCIOS ) Sejm A, B e C mtries inversíveis de mesm ordem, encontre epressão d mtri X,

Leia mais

a) sexto b) sétimo c) oitavo d) nono e) décimo

a) sexto b) sétimo c) oitavo d) nono e) décimo 1 INSPER 16/06/013 Seu Pé Direito ns Melhores Fculddes 1. Nos plnos seguir, estão representds dus relções entre s vriáveis x e y: y = x e y = x, pr x 0.. Em um sequênci, o terceiro termo é igul o primeiro

Leia mais

São possíveis ladrilhamentos com um único molde na forma de qualquer quadrilátero, de alguns tipos de pentágonos irregulares, etc.

São possíveis ladrilhamentos com um único molde na forma de qualquer quadrilátero, de alguns tipos de pentágonos irregulares, etc. LADRILHAMENTOS Elvi Mureb Sllum Mtemtec-IME-USP A rte do ldrilhmento consiste no preenchimento do plno, por moldes, sem superposição ou burcos. El existe desde que o homem começou usr pedrs pr cobrir o

Leia mais

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos

3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos 3. Cálculo integrl em IR 3.. Integrl Indefinido 3... Definição, Proprieddes e Exemplos A noção de integrl indefinido prece ssocid à de derivd de um função como se pode verificr prtir d su definição: Definição

Leia mais

16.4. Cálculo Vetorial. Teorema de Green

16.4. Cálculo Vetorial. Teorema de Green ÁLULO VETORIAL álculo Vetoril pítulo 6 6.4 Teorem de Green Nest seção, prenderemos sore: O Teorem de Green pr váris regiões e su plicção no cálculo de integris de linh. INTROUÇÃO O Teorem de Green fornece

Leia mais

1 Distribuições Contínuas de Probabilidade

1 Distribuições Contínuas de Probabilidade Distribuições Contínus de Probbilidde São distribuições de vriáveis letóris contínus. Um vriável letóri contínu tom um numero infinito não numerável de vlores (intervlos de números reis), os quis podem

Leia mais

Algoritmos de Busca de Palavras em Texto

Algoritmos de Busca de Palavras em Texto Revisdo 08Nov12 A busc de pdrões dentro de um conjunto de informções tem um grnde plicção em computção. São muits s vrições deste problem, desde procurr determinds plvrs ou sentençs em um texto té procurr

Leia mais

Matemática Aplicada. A Mostre que a combinação dos movimentos N e S, em qualquer ordem, é nula, isto é,

Matemática Aplicada. A Mostre que a combinação dos movimentos N e S, em qualquer ordem, é nula, isto é, Mtemátic Aplicd Considere, no espço crtesino idimensionl, os movimentos unitários N, S, L e O definidos seguir, onde (, ) R é um ponto qulquer: N(, ) (, ) S(, ) (, ) L(, ) (, ) O(, ) (, ) Considere ind

Leia mais

FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ADMINISTRAÇÃO/CIÊNCIAS CONTÁBEI /LOGISTICA ASSUNTO: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES

FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ADMINISTRAÇÃO/CIÊNCIAS CONTÁBEI /LOGISTICA ASSUNTO: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ADMINISTRAÇÃO/CIÊNCIAS CONTÁBEI /LOGISTICA ASSUNTO: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES PROFESSOR: MARCOS AGUIAR MAT. BÁSICA I. FUNÇÕES. DEFINIÇÃO Ddos

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA PRIMEIRO SEMESTRE DE 2015 13 de Fevereiro de 2015 Prte I Álgebr Liner 1 Questão: Sejm

Leia mais

Aula 4 Movimento em duas e três dimensões. Física Geral I F -128

Aula 4 Movimento em duas e três dimensões. Física Geral I F -128 Aul 4 Moimento em dus e três dimensões Físic Gerl I F -18 F18 o Semestre de 1 1 Moimento em D e 3D Cinemátic em D e 3D Eemplos de moimentos D e 3D Acelerção constnte - celerção d gridde Moimento circulr

Leia mais

A integral definida. f (x)dx P(x) P(b) P(a)

A integral definida. f (x)dx P(x) P(b) P(a) A integrl definid Prof. Méricles Thdeu Moretti MTM/CFM/UFSC. - INTEGRAL DEFINIDA - CÁLCULO DE ÁREA Já vimos como clculr áre de um tipo em específico de região pr lgums funções no intervlo [, t]. O Segundo

Leia mais

Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos. Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 a série E.M.

Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos. Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 a série E.M. Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 série E.M. Módulo de Leis dos Senos e dos Cossenos Leis dos Senos e dos Cossenos. 1 Eercícios Introdutórios Eercício 10. Três ilhs

Leia mais

Material envolvendo estudo de matrizes e determinantes

Material envolvendo estudo de matrizes e determinantes E. E. E. M. ÁREA DE CONHECIMENTO DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS PROFESSORA ALEXANDRA MARIA º TRIMESTRE/ SÉRIE º ANO NOME: Nº TURMA: Mteril envolvendo estudo de mtrizes e determinntes INSTRUÇÕES:. Este

Leia mais

Uma roda gigante tem 10m de raio e possui 12 assentos, igualmente espaçados, e gira no sentido horário.

Uma roda gigante tem 10m de raio e possui 12 assentos, igualmente espaçados, e gira no sentido horário. Questão PROVA FINAL DE MATEMÁTICA - TURMAS DO O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - OUTUBRO DE. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Um rod

Leia mais

Geometria Analítica e Álgebra Linear

Geometria Analítica e Álgebra Linear Geometri Alític e Álgebr Lier 8. Sistems Lieres Muitos problems ds ciêcis turis e sociis, como tmbém ds egehris e ds ciêcis físics, trtm de equções que relciom dois cojutos de vriáveis. Um equção do tipo,

Leia mais

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 - CAPES SISTEMAS LINEARES

Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 - CAPES SISTEMAS LINEARES Universidde Federl do Rio Grnde FURG Instituto de Mtemátic, Esttístic e Físic IMEF Editl 5 - CAPES SISTEMAS LINEARES Prof. Antônio Murício Medeiros Alves Profª Denise Mri Vrell Mrtinez Mtemátic Básic r

Leia mais

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA LOGARITMOS PROF. CARLINHOS NOME: N O :

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA LOGARITMOS PROF. CARLINHOS NOME: N O : ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA LOGARITMOS PROF. CARLINHOS NOME: N O : 1 DEFINIÇÃO LOGARITMOS = os(rzão) + rithmos(números) Sejm e números reis positivos diferentes de zero e 1. Chm-se ritmo

Leia mais

8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas

8.1 Áreas Planas. 8.2 Comprimento de Curvas 8.1 Áres Plns Suponh que um cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região

Leia mais

CDI-II. Resumo das Aulas Teóricas (Semana 12) y x 2 + y, 2. x x 2 + y 2), F 1 y = F 2

CDI-II. Resumo das Aulas Teóricas (Semana 12) y x 2 + y, 2. x x 2 + y 2), F 1 y = F 2 Instituto Superior Técnico eprtmento de Mtemátic Secção de Álgebr e Análise Prof. Gbriel Pires CI-II Resumo ds Auls Teórics (Semn 12) 1 Teorem de Green no Plno O cmpo vectoril F : R 2 \ {(, )} R 2 definido

Leia mais

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A.

Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A. MÓDULO - AULA Aul Técnics de Integrção Substituição Trigonométric Objetivo Conhecer técnic de integrção chmd substituição trigonométric. Introdução Você prendeu, no Cálculo I, que integrl de um função

Leia mais

1. Conceito de logaritmo

1. Conceito de logaritmo UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Logritmos Prof.: Rogério

Leia mais

4. Teorema de Green. F d r = A. dydx. (1) Pelas razões acima referidas, a prova deste teorema para o caso geral está longe

4. Teorema de Green. F d r = A. dydx. (1) Pelas razões acima referidas, a prova deste teorema para o caso geral está longe 4 Teorem de Green Sej U um berto de R 2 e r : [, b] U um cminho seccionlmente, fechdo e simples, isto é, r não se uto-intersect, excepto ns extremiddes Sej região interior r([, b]) prte d dificuldde n

Leia mais

Somos o que repetidamente fazemos. A excelência portanto, não é um feito, mas um hábito. Aristóteles

Somos o que repetidamente fazemos. A excelência portanto, não é um feito, mas um hábito. Aristóteles c L I S T A DE E X E R C Í C I O S CÁLCULO INTEGRAL Prof. ADRIANO PEDREIRA CATTAI Somos o que repetidmente fzemos. A ecelênci portnto, não é um feito, ms um hábito. Aristóteles Integrl Definid e Cálculo

Leia mais

9.2 Integração numérica via interpolação polinomial

9.2 Integração numérica via interpolação polinomial Cpítulo 9 Integrção Numéric 9. Introdução A integrção numéric é o processo computcionl cpz de produzir um vlor numérico pr integrl de um função sobre um determindo conjunto. El difere do processo de ntidiferencição,

Leia mais

Capítulo 1 Introdução à Física

Capítulo 1 Introdução à Física Vetor Pré Vestiulr Comunitário Físic 1 Cpítulo 1 Introdução à Físic Antes de começrem com os conceitos práticos d Físic, é imprescindível pr os lunos de Pré-Vestiulr estrem certificdos de que dominm os

Leia mais

CINÉTICA QUÍMICA CINÉTICA QUÍMICA. Lei de Velocidade

CINÉTICA QUÍMICA CINÉTICA QUÍMICA. Lei de Velocidade CINÉTICA QUÍMICA Lei de Velocidde LEIS DE VELOCIDADE - DETERMINAÇÃO Os eperimentos em Cinétic Químic fornecem os vlores ds concentrções ds espécies em função do tempo. A lei de velocidde que govern um

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Volume. Objetivos da Aula. Aula n o 25: Volume por Casca Cilíndrica e Volume por Discos

CÁLCULO I. 1 Volume. Objetivos da Aula. Aula n o 25: Volume por Casca Cilíndrica e Volume por Discos CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Aul n o 25: Volume por Csc Cilíndric e Volume por Discos Objetivos d Aul Clculr o volume de sólidos de revolução utilizndo técnic do volume por csc

Leia mais

3 Teoria dos Conjuntos Fuzzy

3 Teoria dos Conjuntos Fuzzy 0 Teori dos Conjuntos Fuzzy presentm-se qui lguns conceitos d teori de conjuntos fuzzy que serão necessários pr o desenvolvimento e compreensão do modelo proposto (cpítulo 5). teori de conjuntos fuzzy

Leia mais

CPV conquista 70% das vagas do ibmec (junho/2007)

CPV conquista 70% das vagas do ibmec (junho/2007) conquist 70% ds vgs do ibmec (junho/007) IBME 08/Junho /008 NÁLISE QUNTITTIV E LÓGI DISURSIV 0. Num lv-rápido de crros trblhm três funcionários. tbel bio mostr qunto tempo cd um deles lev sozinho pr lvr

Leia mais

CONJUNTOS NUMÉRICOS Símbolos Matemáticos

CONJUNTOS NUMÉRICOS Símbolos Matemáticos CONJUNTOS NUMÉRICOS Símolos Mtemáticos,,... vriáveis e prâmetros igul A, B,... conjuntos diferente pertence > mior que não pertence < menor que está contido mior ou igul não está contido menor ou igul

Leia mais

Aula 29 Aplicações de integrais Áreas e comprimentos

Aula 29 Aplicações de integrais Áreas e comprimentos Aplicções de integris Áres e comprimentos MÓDULO - AULA 9 Aul 9 Aplicções de integris Áres e comprimentos Objetivo Conhecer s plicções de integris no cálculo d áre de um superfície de revolução e do comprimento

Leia mais

Análise de Variância com Dois Factores

Análise de Variância com Dois Factores Análise de Vriânci com Dois Fctores Modelo sem intercção Eemplo Neste eemplo, o testrmos hipótese de s três lojs terem volumes médios de vends iguis, estmos testr se o fctor Loj tem influênci no volume

Leia mais

Projecções Cotadas. Luís Miguel Cotrim Mateus, Assistente (2006)

Projecções Cotadas. Luís Miguel Cotrim Mateus, Assistente (2006) 1 Projecções Cotds Luís Miguel Cotrim Mteus, Assistente (2006) 2 Nestes pontmentos não se fz o desenvolvimento exustivo de tods s mtéris, focndo-se pens lguns items. Pelo indicdo, estes pontmentos não

Leia mais

Trabalhando-se com log 3 = 0,47 e log 2 = 0,30, pode-se concluir que o valor que mais se aproxima de log 146 é

Trabalhando-se com log 3 = 0,47 e log 2 = 0,30, pode-se concluir que o valor que mais se aproxima de log 146 é Questão 0) Trlhndo-se com log = 0,47 e log = 0,0, pode-se concluir que o vlor que mis se proxim de log 46 é 0),0 0),08 0),9 04),8 0),64 Questão 0) Pr se clculr intensidde luminos L, medid em lumens, um

Leia mais

Aprender o conceito de vetor e suas propriedades como instrumento apropriado para estudar movimentos não-retilíneos;

Aprender o conceito de vetor e suas propriedades como instrumento apropriado para estudar movimentos não-retilíneos; Aul 5 Objetivos dest Aul Aprender o conceito de vetor e sus proprieddes como instrumento proprido pr estudr movimentos não-retilíneos; Entender operção de dição de vetores e multiplicção de um vetor por

Leia mais

ESTÁTICA DO SISTEMA DE SÓLIDOS.

ESTÁTICA DO SISTEMA DE SÓLIDOS. Definições. Forçs Interns. Forçs Externs. ESTÁTIC DO SISTEM DE SÓLIDOS. (Nóbreg, 1980) o sistem de sólidos denomin-se estrutur cuj finlidde é suportr ou trnsferir forçs. São quels em que ção e reção, pertencem

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M13 Progressões Geométricas

Matemática. Resolução das atividades complementares. M13 Progressões Geométricas Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Progressões Geométrics p. 7 Qul é o o termo d PG (...)? q q? ( ) Qul é rzão d PG (...)? q ( )? ( ) 8 q 8 q 8 8 Três números reis formm um PG de som e produto

Leia mais

Matemática. Prova: 05/08/12. Questão 1. Questão 2. Considere os seguintes conjuntos numéricos,,,, = e considere também os seguintes conjuntos:

Matemática. Prova: 05/08/12. Questão 1. Questão 2. Considere os seguintes conjuntos numéricos,,,, = e considere também os seguintes conjuntos: Prov: 05/08/ Mtemátic Questão Considere os seguintes conjuntos numéricos,,,, = e considere tmbém os seguintes conjuntos: A= ( ) ( ) B= ( ) D= ( ) ( ) Ds lterntivs bixo, que present elementos que pertencem

Leia mais

Calculando volumes. Para pensar. Para construir um cubo cuja aresta seja o dobro de a, de quantos cubos de aresta a precisaremos?

Calculando volumes. Para pensar. Para construir um cubo cuja aresta seja o dobro de a, de quantos cubos de aresta a precisaremos? A UA UL LA 58 Clculndo volumes Pr pensr l Considere um cubo de rest : Pr construir um cubo cuj rest sej o dobro de, de quntos cubos de rest precisremos? l Pegue um cix de fósforos e um cix de sptos. Considerndo

Leia mais

Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes n n nn n n n n n n b... b... b...

Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes n n nn n n n n n n b... b... b... Cálculo Numérico Módulo V Resolução Numéric de Sistems Lineres Prte I Profs.: Bruno Correi d Nóbreg Queiroz José Eustáquio Rngel de Queiroz Mrcelo Alves de Brros Sistems Lineres Form Gerl onde: ij ij coeficientes

Leia mais

1 As grandezas A, B e C são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional a C.

1 As grandezas A, B e C são tais que A é diretamente proporcional a B e inversamente proporcional a C. As grndezs A, B e C são tis que A é diretmente proporcionl B e inversmente proporcionl C. Qundo B = 00 e C = 4 tem-se A = 5. Qul será o vlor de A qundo tivermos B = 0 e C = 5? B AC Temos, pelo enuncido,

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS #6 - ELETROMAGNETISMO I

LISTA DE EXERCÍCIOS #6 - ELETROMAGNETISMO I LIST DE EXERCÍCIOS #6 - ELETROMGNETISMO I 1. N figur temos um fio longo e retilíneo percorrido por um corrente i fio no sentido indicdo. Ess corrente é escrit pel epressão (SI) i fio = 2t 2 i fio Pr o

Leia mais

O Amplificador Operacional

O Amplificador Operacional UFSM CT DELC O Amplificdor Opercionl Prte I Giovni Brtto 6/26/2007 Introdução Neste texto, o mplificdor opercionl será considerdo como um cix pret. Estmos interessdos em compreender o seu funcionmento

Leia mais

CURSO de FÍSICA - Gabarito

CURSO de FÍSICA - Gabarito UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TRANSFERÊNCIA o semestre letivo de 010 e 1 o semestre letivo de 011 CURSO de FÍSICA - Gbrito Verifique se este cderno contém: PROVA DE REDAÇÃO com um propost; INSTRUÇÕES

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DA UNESP VESTIBULAR 2012 1 a Fase RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

PROVA DE MATEMÁTICA DA UNESP VESTIBULAR 2012 1 a Fase RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. PROVA DE MATEMÁTICA DA UNESP VESTIBULAR 01 1 Fse Prof. Mri Antôni Gouvei. QUESTÃO 83. Em 010, o Instituto Brsileiro de Geogrfi e Esttístic (IBGE) relizou o último censo populcionl brsileiro, que mostrou

Leia mais

Progressões Aritméticas

Progressões Aritméticas Segund Etp Progressões Aritmétics Definição São sequêncis numérics onde cd elemento, prtir do segundo, é obtido trvés d som de seu ntecessor com um constnte (rzão).,,,,,, 1 3 4 n 1 n 1 1º termo º termo

Leia mais

APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (II Determinntes) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Determinntes Índice 2 Determinntes 2

Leia mais

( 2 5 ) simplificando a fração. Matemática A Extensivo V. 8 GABARITO. Matemática A. Exercícios. (( ) ) trocando a base log 5 01) B 04) B.

( 2 5 ) simplificando a fração. Matemática A Extensivo V. 8 GABARITO. Matemática A. Exercícios. (( ) ) trocando a base log 5 01) B 04) B. Mtemátic A Etensivo V. Eercícios 0) B 0) B f() = I. = y = 6 6 = ftorndo 6 = = II. = y = 6 = 6 = pel propriedde N = N = De (I) e (II) podemos firmr que =, então: ) 6 = = 6 ftorndo 6 = = pel propriedde N

Leia mais

Desigualdades - Parte II. n (a1 b 1 +a 2 b a n b n ) 2.

Desigualdades - Parte II. n (a1 b 1 +a 2 b a n b n ) 2. Polos Olímpicos de Treinmento Curso de Álgebr - Nível Prof. Mrcelo Mendes Aul 9 Desigulddes - Prte II A Desiguldde de Cuchy-Schwrz Sejm,,..., n,b,b,...,b n números reis. Então: + +...+ ) n b +b +...+b

Leia mais

Ângulo completo (360 ) Agora, tente responder: que ângulos são iguais quando os palitos estão na posição da figura abaixo?

Ângulo completo (360 ) Agora, tente responder: que ângulos são iguais quando os palitos estão na posição da figura abaixo? N Aul 30, você já viu que dus rets concorrentes formm qutro ângulos. Você tmbém viu que, qundo os qutro ângulos são iguis, s rets são perpendiculres e cd ângulo é um ângulo reto, ou sej, mede 90 (90 grus),

Leia mais

4. Rede Recíproca Definição

4. Rede Recíproca Definição 4. Rede Recíproc 4.- Definição O conceito de rede recíproc é de extrem importânci pr o estudo dos sólidos cristlinos. Isto ficrá clro ind neste cpítulo, qundo nlisrmos o fenômeno de difrção de rios-x por

Leia mais

Linguagens Formais Capítulo 5: Linguagens e gramáticas livres de contexto

Linguagens Formais Capítulo 5: Linguagens e gramáticas livres de contexto Lingugens ormis Cpítulo 5: Lingugens e grmátics livres de contexto José Lucs Rngel, mio 1999 5.1 - Introdução Vimos no cpítulo 3 definição de grmátic livre de contexto (glc) e de lingugem livre de contexto

Leia mais

Se conhecemos a taxa de variação de uma quantidade em relação a outra, podemos determinar a relação entre essas quantidades?

Se conhecemos a taxa de variação de uma quantidade em relação a outra, podemos determinar a relação entre essas quantidades? UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA UNEB DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA DCET / CAMPUS I DISCIPLINA: Cálculo II (MAT 089 CH: 75 PROFESSOR: Adrino Ctti SEMESTRE: 0. ALUNO: APOSTILA 0: INTEGRAL INDEFINIDA

Leia mais

Matemática D Extensivo V. 6

Matemática D Extensivo V. 6 Mtemátic D Extensivo V. 6 Exercícios 0) ) cm Por definição temos que digonl D vle: D = D = cm. b) 6 cm² A áre d lterl é dd pel som ds áres dos qutro ldos que compõe: =. ² =. ( cm)² = 6 cm² c) 96 cm² O

Leia mais

A Mecânica Quântica Ondulatória Prof. Émerson F. Cruz. 1 - A equação de Schrödinger

A Mecânica Quântica Ondulatória Prof. Émerson F. Cruz. 1 - A equação de Schrödinger A Mecânic Quântic Ondultóri Prof. Émerson F. Cruz 1 - A equção de Schrödinger Em rtigo intituldo Sore Teori d lei d Distriuição de Energi do Espectro Norml, o renomdo cientist M Plnck deu início em 14

Leia mais

07 AVALIAÇÃO DO EFEITO DO TRATAMENTO DE

07 AVALIAÇÃO DO EFEITO DO TRATAMENTO DE 07 AVALIAÇÃO DO EFEITO DO TRATAMENTO DE SEMENTES NA QUALIDADE FISIOLOGICA DA SEMENTE E A EFICIENCIA NO CONTROLE DE PRAGAS INICIAIS NA CULTURA DA SOJA Objetivo Este trblho tem como objetivo vlir o efeito

Leia mais