INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXIMADOS EM ENGENHARIA: Álgebra Linear, Geometria Analítica, Cálculo e Equações Diferenciais,

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1 UVERSDADE FEDERAL DO PARAÁ SETOR DE TECOLOGA/SETOR DE CÊCAS EXATAS DEPARTAMETO DE EGEHARA CVL/ DEPARTAMETO DE MATEMÁTCA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS UMÉRCOS EM EGEHARA TRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXMADOS EM EGEHARA: Álgbra Lar, Gomtra Aalítca, Cálclo Eqaçõs Dfrcas, por Lcas Mámo Alvs CURTBA PARAÁ MARÇO 7 LUCAS MÁXMO ALVES

2 TRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXMADOS EM EGEHARA: Álgbra Lar, Gomtra Aalítca, Cálclo Eqaçõs Dfrcas, CURTBA PARAÁ MARÇO 7 LUCAS MÁXMOALVES

3 TRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXMADOS EM EGEHARA: Álgbra Lar, Gomtra Aalítca, Cálclo Eqaçõs Dfrcas, Apostla orgazaa como rsltao o sto as alas para obtção crétos a Dscpla TRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXMADOS EM EGEHARA o crso Dotorao o Programa Pós-Graação m Métoos mércos o Stor Tcologa/Stor Cêcas Eatas, Dpartamto Egara Cvl/Dpartamto Matmátca a Uvrsa Fral o Paraá Ortaor: Prof. Dr. José Atoo Marqs Carrr Ortaor: Prof. Dr. CURTBA PARAÁ MARÇO 7

4 Dcatóra Dco,

5 Agracmtos Agraço a Ds plo s mso amor msrcóra rvlao as oportas q a va m tro. Qro também agracr: À ma Famíla plo apoo mocoal sprtal, ao m ortaor o Prof. Dr...., ao m Co-Ortaor o Prof. Dr...., a Marstla Bral pla amza cação com q os at, aos amgos,...,......,..., toa a galra o CESEC. 5

6 Epígraf va é m algo mltmsoal ca mprvsívl crvatra tmporal só é coca qao s prmta os fatos a caa a, msmo assm, ão s cosg prvr com atão a crvatra tmporal os fatos sgts, msmo q s paa sta a crvatra ftra ma vzaça m toro o fato o stat prst Lcas M. Alvs 6

7 Smáro Aprstação...8 Capítlo : TRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXMADOS.... Obtvos o capítlo.... troção.... Smplfcação m Problma Ral.... Emplos Aplcaçõs Dscrtzação o Problma Cosraçõs Fas o Capítlo... Capítlo : EQUAÇÕES DFERECAS...5. Obtvos o capítlo...5. troção Dfção Classfcação as qaçõs Dfrcas...6. Emplos Aplcaçõs...9 Solção:...9. Ercícos Problmas... Capítlo : MÉTODO DAS DFEREÇAS FTAS.... Obtvos o capítlo.... troção.... Drvaas orm m o prmra orm.... Drvaas orm os o sga orm Drvaas orm qalqr Emplos Aplcaçõs Cosstêca, Covrgêca Establa Ercícos Problmas...8 Capítlo V: CÁLCULO VARACOAL Obtvos o capítlo troção Problma a Braqstócroa Eqação Elr-Lagrag Prmra Varação Propras o Opraor Coçõs Cotoro Fcoas com rvaas orm spror Emplos Aplcaçõs Métoo Raylg-Rtz Emplos Aplcaçõs Ercícos Problmas...9 Capítlo V: MÉTODO DOS RESÍDUOS PODERADOS Obtvos o capítlo troção Dfção Matmátca Dsvolvmto o Métoo

8 5. Varaçõs o Métoo por Dfrts Fçõs Poração Métoo a Colocação Emplos solção sao Métoo a Colocação Métoo a Colocação por Sbomíos Mofcao Emplos solção sao Colocação por Sbomíos Mofcao Métoo a Colocação por Sbomíos Emplos solção sao Métoo a Colocação por sbomíos Métoo os Momtos Emplos solção sao o Métoo os Momtos Métoo Galrk Emplos solção sao o Métoo Galrk Métoo Galrk Mofcao Emplos solção sao o Métoo Galrk Mofcao Forma Fraca o Métoo Rsíos Poraos Emplos Solçõs a Forma Fraca o Métoo Rsíos Poraos... Solção: Ercícos Problmas...9 Capítlo V: MÉTODO DOS ELEMETOS FTOS Obtvos o capítlo troção Varaçõs o Métoo Elmtos Ftos Molo Compatívl Molo Eqlíbro Molo Híbro Molo Msto Dfção Matmátca Dsvolvmto o Métoo Apromação o Problma Cotío pla Dscrtzação o Domío Dfção os Elmtos Ftos Umsoal clsão o Métoo os Rsíos Poraos Umsoal Aplcação Prátca tlzao o Métoo Galrk Formlação Fraca os Rsíos Poraos Fçõs trpolação Local Lars As Matrzs Locas K o Vtor Local f Motagm o vtor f a Matrz Global K Rsolção o Sstma Eqaçõs Emplos Aplcaçõs Emplo satsfazo coçõs cotoro sscas: Emplo satsfazo coçõs cotoro atras Emplo satsfazo coçõs cotoro sscas: Efoq Varacoal Emplos Aplcaçõs Emplo satsfazo coçõs cotoro sscas: Um Caso Espcal Elmtos Ftos Métoo a Colocação por Sbomíos Mofcao Formlação Fraca o Métoo os Rsíos Poraos para os Elmtos... Ftos Fçõs trpolação Local Qarátcas Métoo as Dfrças Ftas Ercícos Problmas... 8

9 Capítlo V: MÉTODO DOS ELEMETOS DE COTORO Obtvos o capítlo troção Prcrsors o Métoo Elmtos Cotoro Métoo as Fçõs Gr tgração por Parts m as msõs Dfção Matmátca Dsvolvmto o Métoo Valor Prcpal Cacy Solção mérca a Eqação Laplac Dscrtzação o Cotoro Elmto Costat Dscrtzação Lar Elmto Lar Dscrtzação Lar Emplos Aplcaçõs Ercícos Problmas... Erro! caor ão fo. Capítlo V: MÉTODO DOS VOLUMES FTOS Obtvos o capítlo troção Dfção Matmátca Dsvolvmto o Métoo Emplos Aplcaçõs Ercícos Problmas...5 Apêcs...5 A. Coctos Egara...5 A.. - Problma ma Vga...5 A. mplmtaçõs para o Métoo as Dfrças Ftas sao a Plala o EXCEL Mcrosoft, com cógo cors as céllas...56 A.. Sb VrCorPr...56 A.. - SbMltcorpa...57 A.. - Sb mltcor...58 A.. - Sb graora...59 A. mplmtação mérca m FORTRA o Métoo Dfrças Ftas para a solção o Problma a Barra Egastaa...6 A.. - Arqvos comaos o Gplot...6 A. Solção Aalítca as osclaçõs m ma Mmbraa Rtaglar...6 A.. - Movmto trasvrso ma sob vloca cal prscrta...6 A. 5 mplmtação Algébrca para o Métoo Varacoal Elr-Lagrag sao o Mapl A.5. Para o fcoal o mor camo tr os potos...65 A.5. Para o fcoal L,y,z = z + z...65 A. 6 mplmtação Algébrca para o Métoo Raylg-Rtz sao o Mapl A.6. Para =...67 A.6. Para =...68 A. 7 mplmtação Algébrca para o Métoo os Rsíos Poraos sao o Mapl A.7. Métoo a Colocação para = com m parâmtro alpa...7 A.7. Métoo a Colocação para = com os parâmtros alpa alpa...7 A.7. Métoo a Colocação por Sbomíos para = com m parâmtro alpa.75 9

10 A.7. Métoo a Colocação por Sbomíos para = com os parâmtros alpa.. alpa...76 A.7.5 Métoo os Momtos para = com m parâmtro alpa...79 A.7.6 Métoo os Momtos para = com os parâmtros alpa alpa...8 A.7.7 Métoo Galrk para = com m parâmtro alpa...8 A.7.8 Métoo Galrk para = com os parâmtros alpa alpa...8 Bblografa...87

11 Lsta Fgras Fgra -.. Dagrama passos smplfcaors m problma ral... Fgra -.. Fo prftamt flívl, comprmto, l, sto sob ma tsão form, T.... Fgra -.. Dagrama sbsttção m Molo Cotío ato por m Molo Dscrto Apromao.... Fgra -.. Dagrama Trasformação Eqaçõs Dfrcas m Eqaçõs Algébrcas qvalts.... Fgra -.. Problma ma vga b-apoaa floaa sobr s própro pso...6 Fgra -.. Maça o omío cotío cooaas,y para o scrto cooraas,... Fgra -.. flêca as frts rvaas tomaas m rlação ao poto sa vzaça a rta sqra... Fgra -.. Dstrbção potos galmt spaçaos o trvalo [;]....7 Fgra -.. Vga b-apoaa sta a ma flão sob o s própro pso... Fgra Dstrbção potos galmt spaçaos o trvalo [;].... Fgra Barra gastaa a trma sqra...8 Fgra Varação a rvaa tmporal a amplt a formação a barra com o tmpo o poto A a trma sqra a barra, o sa, = Cortsa Larssa Utyama Fgra Varação a amplt osclação a formação a barra com o tmpo o poto B o ctro a barra, o sa, = L/ Cortsa Larssa Utyama Fgra Varação a amplt osclação a formação a barra taa formação com o tmpo o poto A a trma rta a barra, o sa, = L Cortsa Larssa Utyama Fgra -..Dscrtzação a mmbraa qaraa lao a,...5 Fgra -.. Varação a amplt a osclação m fção o tmpo...55 Fgra -.. Osclaçõs spacas a mmbraa qaraa smlaa o MAPLE V Cortsa Mako Fras Bzz Robrto Vazt...55 Fgra -.. Problma Grfft, rsolvo plo Métoo Dfrças Ftas sao-s a Plala o Mcrosoft Ecl, scrtzao a m ívl três cors para o campo as formaçõs...56 Fgra -.. Problma a braqstrócroa {BRAKÜS: crto, rzo; KHRÓOS: tmpo}...58 Fgra -.. Calclo Varacoal prmra orm a fção y trmzat o fcoal....6 Fgra -.. Varação y m toro fção trmzat y....6 Fgra Fgra Partclarzação o problma a braqstócroa para v = cosrao o poto =, y a orgm com o sto vrto para y...7 Fgra Crva arco ccló para m tmpo mímo Brasqstócroa...7 Fgra Gráfco a mor stâca tr os potos sgo o Cálclo Varacoal Elr-Lagrag Fgra Vga b-apoaa sta a formação plo s própro pso Fgra Vga b-apoaa sta a flão plo s própro pso....9 Fgra Ortogoala as fçõs wl Fgra R potos oas o Domío, os Sbomíos,...6

12 Fgra Maça o omío cotío cooaas,y para o scrto cooraas,...9 Fgra R potos oas o Domío, os Sbomíos,...5 Fgra trvalo aplcação o Métoo Galrk...55 Fgra Elmto Fto lar tr os potos Fgra Estrtração msoal os Elmtos Ftos...6 Fgra trvalo aplcação o Métoo Galrk...8 Fgra Fgra Fgra Elmto Fto Qarátco tr três potos... Fgra Estrtração msoal os Elmtos Ftos Qarátcos...6 Fgra Rsmo a Evolção os Métoos Apromaos basaos os Rsíos Poraos... Fgra tgral por parts m as msõs m rlação a... Fgra tgral por parts m as msõs m rlação a y...6 Fgra Emplo m omío,, com rao, r, poto fot,, cotoro = U q.... Fgra Solção gométrca para o problma o poto fot,, o qal é trasfro o tror o omío para o cotoro... Fgra Aplcação a propra a fção lta Drac sobr o poto fot, sobr o cotoro...8 Fgra Dscrtzação lar o cotoro m omío,...9 Fgra Tpos lmtos cotoro, lar o parabólco tpos ós, gométrcos fcoas, o os ós fcoas pom o ão cocr com os ós gométrcos...9 Fgra Esqmatzação ós para o problma ma barra gastaa.... Fgra Fgra Fgra Dscrrtzação o cotoro,... Fgra Cálclo o cofct C para m âglo qalqr... Fgra - A.. Vga b-apoaa sta a formação plo s própro pso....5

13 Lsta Tablas Tabla - V.. Comparação tr as solçõs as qação frcal rsolva por Rsíos Poraos plo Métoo a Colocação...7 Tabla - V.. Comparação tr as solçõs as qação frcal rsolva por Rsíos Poraos por Dfrts Métoos...8 Tabla - V.. Comparação tr as solçõs as qação frcal rsolva por Rsíos Poraos por Dfrts Métoos...8 Tabla - V.. Comparação tr as solçõs as qação frcal rsolva por Rsíos Poraos por Dfrts Métoos...8 Tabla - V. Qaro Rsmo as Dfrts Formlaçõs o Métoo Elmtos Ftos...8

14 CAPÍTULO Δ comprmto scrtzao; Δs comprmto ftsmal m fo; c costat vloca a oa; slocamto táro; ρ sa form m fo; t tmpo; TA tsão form a sção o fo m poto ao A; CAPÍTULO q c m E R carrgamto m vga; cofct amortcmto; comprmto; slocamto scrtzao; fsão o calor scrtzao; massa m corpo; mólo Yog; momto érca; rgz a mola; opraor laplacao; CAPTULO r q C pt ωm m M K Σ σ bômo wto; Lsta Sglas carrgamto strbío aplcao m ma vga; cofct amortcmto ma mola; slocamto scrto; frça tr potos scrtzaos m ma fção; força aplcaa a m sstma massa-mola; frqüêca atral; massa ma mola; momto fltor aplcao m ma vga; úmro o poto scrtzao; orm a rvaa ma fção; poto o s aplca a sér Taylor rfrca para sér progrssva, ctralzaa o rgrssva; Rgz a mola; somatóro; tsão; CAPÍTULO g aclração gravtacoal; Α cofcts fção lar o métoo Raylgt-Rtz; s comprmto ftsmal ma crva; W sforço cortat; y fção apromaa; y ў F η M ε v fção lar pt; fção q trmza o fcoal; fção camos vzos; fcoal m cálclo varacoal; fção trmzação o fcoal; fção rvávl arbtraa a prmra varação Elr-Lagrag; momto fltor; parâmtro a prmra varação Elr-Lagrag; vloca; CAPÍTULO 5 α l lta Drac; Γ Ω ε β w L S cofcts as fçõs forma; omío ma qação frcal; omío ma qação frcal; rro; fção aotaa para satsfazr as coçõs cotoro ão omogêas; fção forma; fção poração os potos colocação; opraor lar frcal; opraor lar frcal; varávl a qação frcal - solção ata o aalítca; varávl a qação frcal - solção apromaa;

15 CAPÍTULO 6 α cofcts as fçõs forma; Γ omío cotoro ma qação frcal; Ω omío ma qação frcal somatóro sbomíos; ε rro; fção apromação local o ó m lmto fto ; K matrz global o sstma qaçõs formao plos lmtos ftos; K matrz local m lmto fto; L opraor lar frcal; S opraor lar frcal; Ω sbomío ma qação frcal; varávl a qação frcal - solção ata o aalítca; varávl a qação frcal - solção apromaa; CAPÍTULO 7 α ' lta Drac; cofcts as fçõs forma; Γ omío cotoro ma qação frcal; Ω omío ma qação frcal somatóro sbomíos; ε rro; fção apromação local o ó m lmto fto ; G, fção Gr; *, X rprstação a fção Gr; K matrz global o sstma qaçõs formao plos lmtos ftos; K matrz local m lmto fto; L opraor lar frcal; S opraor lar frcal; poto campo; poto fot; Ω sbomío ma qação frcal; varávl a qação frcal - solção ata o aalítca; varávl a qação frcal - solção apromaa; vtor ormal ao cotoro Γ; 5

16 Rsmo 6

17 Abstract 7

18 Aprstação Esta apostla é rsltao a gtação as alas o prof. José Atôo Marqs Carrr. Ela compr a scpla Métoos Apromaos para a Egara o crso Mstrao Dotorao o Programa Pós-Graação Métoo mércos para a Egara PPGME a Uvrsa Fral o Paraá - UFPR. Ela fo gtaa plo stat otorao ss crso, Lcas Mámo Alvs. a sa forma fal la rcb algs formatos aprstação acréscmos cotúo q ão stavam as otas orgas o Prof. Marqs Carrr. sto porq o stat tlzo a gtação ssa apostla como ma forma ctvo para acompaar a matéra o crso, por casa sas frqüts vags a Pota Grossa-PR. El procro também clr algs mplos ss stos pssoas os colgas a sala ala. Como por mplo, algmas mplmtaçõs algébrcas o tto a apostla o Métoo Raylg-Rtz; Rotas cálclo sao o MAPLE 9. cotas o Apêc, para o Métoo Dfrças Ftas, Métoo Varacoal, Raylg-Rtz Rsíos Poraos, Elmtos Ftos, Elmtos Cotoro, tc.; A stfcatva matmátca a stça os Rsíos Porao sr la; cosa q fo proposta como safo plo prof. Marqs Carrr m sala ala, tc. Hov o acréscmo cotúo também o caso as Eqaçõs Dfrças Ftas os gráfcos vbração a barra, q fo ralzao pla stat, Larssa Ytama, o própro aamto o crso o ao 6. As smlaçõs a Mmbraa foram ralzaas plo stat Mako Bzz o ao atror 5 postrormt mloraas plo otorao Pomp. A smlação o Métoo Dfrças Ftas sao a plala o Mcrosoft-EXCEL fo craa plo stat otorao também profssor Mcâca os Flos a Uvrsa Estaal Pota Grossa, Lcas Mámo Alvs, com a aa s colga trabalo o Prof. Dr. Also Clatto. Essa últma é ma proposta para s aprstar pla prmra vz m crsos graação o Métoo Dfrças Ftas. Ela é 8

19 átca, smpls fácl ralzar por qalqr stat graação q ta oçõs básca o so o EXCEL, ão volv complcaçõs maors os problmas varávs cotoro. Coto, m aprmoramto ss métoo fo fto plo colga crso Eg. Orlao Olympo Lz Flo, q gasto algmas oras o s prcoso tmpo amplao o rcrso cors o Métoo Dfrças Ftas proposto, através o rcrso macros o Mcrosoft-EXCEL, como ma forma aprstar os rsltaos vsas com maor prcsão. Para tlzação ssa apostla com maor fcêca qrmos lmbrar q os trmos téccos o spcífcos o assto foram gtaos m tálco as passags matmátcas os mplos cotos sta apostla foram totalmt talaas. Agracmos a toos q cotrbíram stmlaram ssa catva. Prcpalmt ao Prof. José Marqs Carrr, q além o crso mstrao, stmlo-os a cotar até o fm com a catva gtar o crso a forma apostla ltrôca mprssa, para q toos tvssm a oporta star para as provas a scpla sm ma falta o acompaamto o cotúo mstrao o crso. Actamos qalqr crítca o as corrçõs q s fzrm cssáras para q ss matral sto possa sr caa vz mas mlorao possa aar os ovos stats o crso os aos q s sgrão. Crtba, mao 6 Lcas Mámo Alvs 9

20 Capítlo TRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXMADOS RESUMO st capítlo srá vsto como a tlzação métoos apromaos po aar a rsolvr problmas qaçõs frcas, qao a solção aalítca é acssívl. Aborarmos o tma as pótss smplfcaoras a tlzação qaçõs algébrcas a sbsttção qaçõs frcas complas.. Obtvos o capítlo Etr a problmátca os Métoos Apromaos aplcaos a Egara. Dstgr staçõs o a tlzação os Métoos Apromaos é vávl. Sabr a stêca vrsos Métoos Apromaos.. troção A partr agora starmos frts métoos smplfcação problmas ras apromação as solçõs as qaçõs frcas prsts a Egara.

21 . Smplfcação m Problma Ral a ttatva s scrvr qattatvamt m problma fômo físco, o sa, s obtr ma prssão matmátca q corrspoa ao fômo m qstão, calmt o problma físco ral é sbsttío por m problma qvalt, mas smpls. Fgra -.. Dagrama passos smplfcaors m problma ral st ovo problma são slcoaos os parâmtros cosraos famtas q pom sr scrtos matmatcamt através m sstma qaçõs frcas válo m too o omío o problma. A ss sstma são mpostas coçõs cotoro /o coçõs cas apropraas. Por mplo, a obtção a qação oa m m fo flívl tsívl.. Emplos Aplcaçõs Sa m fo prftamt flívl tsívl sa form,, sto a ma tsão form, T, tr os potos = = l. Fgra -.. Fo prftamt flívl, comprmto, l, sto sob ma tsão form, T. Hpótss aotaas:

22 O fo ão ofrc rsstêca ao s crvar sso mplca q a tsão é tagcal ao fo m caa poto, o sa, a tsão ormal ao fo é smpr la m qalqr poto o problma é strtamt msoal-d. Ocorr somt pqos slocamtos trasvrsas problma lástco lar. A força gravtacoal sobr o fo é sprzaa a qação frcal o problma é omogêa Para o sgmto AB, comprmto s sobr o fo po-s scrvr: - O qlíbro forças a rção orzotal: T A cos T cos T costat. - O qlíbro forças a rção vrtcal B s t T B s T A s. Emprgao. m. tm-s: s T t T T B B s T cos T A A s cos. O s T t T B tg T A tg. Como tg B tg vzaça A obtr cosqütmt: A po-s par m Sér Taylor B a B A A...trmos orm spror m. 5 o os trmos orm spror m q pom sr sprzaos sm problmas. Cosqütmt: tg tg A. 6

23 Como os slocamtos trasvrsas ao comprmto o fo são pqos, pomos fazr a apromação q s. Sbstto. 6 m. tomao o lmt qao, obtém-s: s T t A. 7 O, a vzaça o poto A, a Fgra -., tmos: c t. 8 Q é a qação oa o fo, o c T / O prómo passo é a bsca a solção para o problma.. 5 Dscrtzação o Problma Um sstma qaçõs frcas costt m molo cotío, q poss ftos gras lbra, ma vz q as varávs s strbm cotamt m too o omío o problma. Com cção algs casos mas smpls, m gral ão é possívl cotrar solçõs aalítcas para o problma. Rcorr-s, tão, aos molos scrtos o mércos, obtos os molos cotíos através pótss smplfcaoras: As varávs q costtm ftos gras lbra, são prssos m trmos m úmro fto gras lbra. Esss gras lbra são cógtas os molos scrtos os sstmas qvalts são trmaos a partr a solção m sstma qaçõs algébrcas. Fgra -.. Dagrama sbsttção m Molo Cotío ato por m Molo Dscrto Apromao. Rsmamt, qao o molo cotío é sbsttío por m molo scrto, o problma matmátco a solção m sstma qaçõs frcas é sbsttío plo problma a solção m sstma qaçõs algébrcas.

24 qvalts. Fgra -.. Dagrama Trasformação Eqaçõs Dfrcas m Eqaçõs Algébrcas. 6 Cosraçõs Fas o Capítlo Portato, só os rsta agora star as qaçõs frcas para s por aplcar os métoos apromaos a solção problmas físcos ras. Coclímos st capítlo lstao forma rsma algs os métoos q pom sr mprgaos a solção qaçõs frcas os qas srão vstos ao logo st crso. Etr ls trmos: Métoo as Dfrças Ftas; Métoo Varacoal; Métoo os Rsíos Poraos; Métoos os Elmtos Cotoro; Métoo os Elmtos Ftos; Métoo os Volms Ftos.

25 Capítlo EQUAÇÕES DFERECAS RESUMO st capítlo srão vsto os frts tpos qaçõs frcas sa classfcação, qato ao úmro varávs pts, orm, gra, cofcts as rvaas, tc.. Obtvos o capítlo Sabr rcocr ma qação frcal. Sabr classfcar ma qação frcal, qato ao úmro varávs pts, qato à orm, qato ao gra, tc.. troção Qas toos os problmas m cêcas físcas gara pom sr rzos a ma qação frcal. Por sta razão sabr rcocr ma qação frcal tro m problma spcífco é mto mportat, para a bsca sa solção. Da msma forma, sabr classfcar ma qação frcal é o prmro passo a bsca sa solção, pos apsar ão str m métoo úco para s rsolvr toas as qaçõs frcas, a classfcação las aa a scolr o métoo mas aqao solção... - Dfção Uma qação frcal é ma qação q volv ma fção cógta sas rvaas. 5

26 .. - Classfcação as qaçõs Dfrcas... - Qato às varávs pts a Eqação Dfrcal Orára E.D.O. A fção cógta p apas ma varávl pt: y = f. b Eqação Dfrcal Parcal E.D.P. A fção cógta p as o mas varávs pts: y = f, y, z, t. Emplo: E q. Fgra -.. Problma ma vga b-apoaa floaa sobr s própro pso Qato à orm A orm ma qação frcal é a orm a mas alta rvaa q aparc a qação. Por mplo, a qação frcal m. é qarta orm. Emplos: o t EDO ª Orm EDO ª Orm '. ' '. 6

27 EDO ª Orm m c R f t Qato ao gra orm mas alta. O gra ma qação frcal é a potêca a q s aca lvaa a rvaa Emplos: EDO ª Orm o º Gra '. 5 ' =, y, z EDP ª Orm º Gra y z O o opraor é camao Laplacao.. 8 y z... - Qato aos cofcts as Drvaas a Lars Os cofcts pm as varávs pts. b Qas-Lars Os cofcts pm as varávs pts /o as varávs pts, mas ão sas rvaas. 7

28 c ão-lars Os cofcts pm as rvaas as varávs pts Emplos: Lar: f a b f c. 9 Qas-Lar: f f b f c. ão-lar: f y f f y f, y. OBS: Uma qação lar é smpr o prmro gra, ma qação o prmro gra ão cssaramt lar Qato ao Tpo Srão cosraas qaçõs frcas parcas ª orm são as q mas aparcm a prátca. Sa a forma gral ma E.D.P. ª orm com as varávs pts. a b f g. y y y o a,, f, g, pom sr costats o fçõs as varávs y. Por aaloga com a forma ma scção côca gral: a + y +by + f +gy + =. q rprsta ma lps qao a.b >, ma parábola qao a.b =, ma pérbol qao a.b <. Uma classfcação smlat é aotaa para as E.D.P. Emplos: 8

29 Eqação oa msoal c t. Esta qação oa é o tpo prbólca porq: a = ; = ; b = -/c logo a.b = -/c < Eqação Dfsão coção o calor t. 5 Esta qação fsão é o tpo parabólca porq: a = ; = ; b = logo a.b = Eqação Laplac y. 6 Esta qação Laplac é o tpo líptca porq: a = ; = ; b = logo a.b = > Uma vz q s sab rcocr classfcar ma qação frcal, vamos ao capítlo sgt o armos íco ao prmro métoo mérco solção basao a própra fção rvaa, camao Métoo as Dfrças Ftas.. Emplos Aplcaçõs Daa a sgt qação frcal, m r, t r, t V r, t r, t,. 7 t vála para a Mcâca Qâtca. Classfq-a qato as varávs, à orm, ao gra, qato ao cofct as sas rvaas qato ao tpo. Solção: Qato as varávs: Eqação Dfrcal Parcal; 9

30 Qato a orm: Sga Orm Qato ao gra: Prmro gra v Qato aos cofcts as rvaas: Lar v Qato ao tpo: Elíptca. Ercícos Problmas

31 Capítlo MÉTODO DAS DFEREÇAS FTAS RESUMO st capítlo srá vsto a tlzação o Métoo as Dfrças Ftas a problmas Eqaçõs Dfrcas Oráras Parcas. Srá vsto como a tlzação a Drvação Progrssva, Rgrssva Ctral afta o rsltao plo Métoo as Dfrças Ftas. Aalsarmos a problmátca a Cosstêca, Covrgêca Establa o Métoo.. Obtvos o capítlo Etr sabr aplcar o Métoo as Dfrças Ftas. Sabr rcocr staçõs o o Métoo as Dfrças Ftas é aplcávl. Etr a problmátca o Métoo as Dfrças Ftas m potos trmos. v Aplcar o Métoo Dfrças Ftas a problmas acaêmcos. v Etr a problmátca a Cosstêca, Covrgêca Establa o Métoo as Dfrças Ftas.. troção o Métoo as Dfrças Ftas MDF o omío o problma, cotío, é sbsttío por ma sér potos scrtos, o ós, os qas são calclaas as cógtas o problma. Essa sbsttção o cotío plo scrto oma-s scrtzação.

32 , Fgra -.. Maça o omío cotío cooaas,y para o scrto cooraas Uma vz ftaa a scrtzação o omío o problma, aplca-s o MDF para a trmação as cógtas. As rvaas, q aparcm a qação orgal, são sbsttías o apromaas por fórmlas scrtas frças. A aplcação ssas fórmlas aos potos o omío scrtzao gra m sstma qaçõs algébrcas, ca solção forc os valors as cógtas o problma sss potos scrtos.. Drvaas orm m o prmra orm Por fção a rvaa m fção m m poto é aa por:. o =. po-s scrvr: D forma apromaa, tlzao-s m crmto pqo, porém fto,. A apromação fa pla qação. é omaa frça progrssva porq tlza m poto à frt, o poto +. D mara aáloga, po-s fr ma frça rgrssva.

33 . Fgra -.. flêca as frts rvaas tomaas m rlação ao poto sa vzaça a rta sqra. Otra mara apromação é a frça ctral:. As fórmlas apromaas,.,.,. pom sr obtas, altratvamt, através Sérs Taylor trcaas, o q prmt stmar o rro comto as apromaçõs. Dfrça progrssva A pasão m Sér Taylor o valor m = + m toro o valor m = é:...!!. 5 A prssão. 5 po sr rscrta como: 6!. 6

34 Como é pqo pomos trcar a sér o poto cao. Logo, sprzao-s os trmos rlatvos às rvaas orm gal o spror a os, obtém-s a prssão a frça progrssva. Como é m valor pqo, o maor trmo sprzao é gal ao proto por ma costat, o sa, é a orm otação O. O rro q s comt qao s sbstt a prssão. pla prssão. é O. Dfrça rgrssva Aalogamt, a prssão m sér Taylor o valor m =, m toro o valor m =, é:...!!. 7 Rsolvo-s para, obtém-s! 6. 8 Ao s sprzar os trmos rlatvos às rvaas orm os o sprors, obtém-s a prssão a frça rgrssva, q também troz m rro O, qao s sbstt.. Dfrça ctral Sbtrao-s tm-s:...! Para s obtr a prssão corrspot à frça ctral são sprzaos os trmos rlatvos às rvaas orm sprors, cosqtmt o rro comto

35 5 qao s sbstt. por. é a orm O. Est rro é mor o q aql comto plo so a frça rgrssva progrssva coform mostra a Fgra -... Drvaas orm os o sga orm As rvaas sga orm também pom sr obtas através Sérs Taylor, as prssõs pom sr somaas, rsltao m:...!. Rsolvo para tmos:.... A apromação para a rvaa sga é ma apromação o tpo frça ctral o rro comto é a orm O :.. 5 Drvaas orm qalqr As rvaas orm qalqr pom sr prssas m trmos o Bômo wto, como: r r r r. o!!! r r r. 5 Para s obtr a rvaa orm qalqr m Dfrças Ftas Progrssvas po-s tlzar a sgt fórmla:

36 6 r r r r. 6 o r r r r r!!!. 7 Para s obtr a rvaa orm qalqr m Dfrças Ftas Rgrssvas po-s tlzar a sgt fórmla: r r r r. 8 o r r r r r!!!. 9 Para s obtr a rvaa orm qalqr m Dfrças Ftas Ctras po-s tlzar a sgt fórmla: r r r r r. o r r r r r r!!!.

37 . 6 Emplos Aplcaçõs Sa a qação frcal: m. com coçõs cotoro sscas o forçaas: = ; =. Rsolvr como rcíco o problma acma por mo frças ftas rgrssvas, progrssvas frças ftas ctras, com =,, para comparação Solção: A qação frcal, calmt, rscrta forma scrta:. Agrpao os trmos smlats tmos:. Em sga, são tfcaos os potos o a qação scrta v sr aplcaa. So =, cocos os valors m = m =, os valors cógtos a fção são aqls corrspots a =,; =,; =,6; =,8. Fgra -.. Dstrbção potos galmt spaçaos o trvalo [;]. Rscrvo a qação. forma smplfcaa:. 5 Com coçõs cotoro: = 5 =. o: ;. 6 7

38 ;,,,. 7 Aplcao a qação. o. 5 os qatro potos, m sstma qatro qaçõs algébrcas é obto. A solção ss sstma forc os valors,;,;,6,8. Assm, para = =,; -, = -,., =. = =,; -,96 + = -,., = -.8 = =,; -,96 + = -,., = -.6 = =,6; -,96 + = -,.,6 = = =,8; 5 -,96 + = -,.,8 = -. = 5 =,; 6 -, = -,., = -. OBS: os valors = 5 = são cocos. Em forma matrcal, após a troção as coçõs cotoro.,96,96,96,96,8,6,,. 9 As solçõs apromaas são obtas após a solção o sstma qaçõs. Comparao sss valors com os forcos pla solção aalítca: s s. tm-s: X aalítca apromaa por frça ctral,,,,,6,6,,68,6,6,7,7,8,55,57 5,,, 8

39 Rsolvr o problma atror com a coção cotoro atral. m. Solção: O problma agora poss cco cógtas, á q o valor 5 = = ão é coco. Assm, é cssáro grar mas ma qação, além as aplcaas os qatros potos trors, para a solção o problma. Há três altratvas para a obtção a qação acoal. ª Apromação a coção cotoro atral com frça rgrssva:,8,, 5. A qação acoal rqra para a solção o problma é: 5,. Mas a partr a qta qação o Emplo, m = = 5, tmos: 5 -,96 + = -.. Sbstto a qação. m. qta qação o Emplo, obtém-s: o Do E o ovo sstma qação é:,+ -,96 + = ,96 + = -.-,. 6 -,96 + =

40 ,96,96,96,96,8,6,,. 8 As solçõs apromaas são obtas após a solção o sstma qaçõs. Comparao sss valors com os forcos pla solção aalítca: s cos. 9 tm-s: aalítca apromaa por frça rgrssva,,,,,55,5,,5,857,6,9,9,8,855,555 5,,8,755 +, 6,,5 - ª Apromação a coção cotoro atral com frça progrssva: 6 5,,,,. A qação acoal rqra para a solção o problma é: 6,. 5 Mas a partr a sta qação o Emplo, m =, = 6 tmos: 6 -, =,., = -.. Sbstto a qação. m. sta qação o Emplo, obtém-s:,+ 5 -, = -.. o

41 -, = -.-,. Do E o ovo sstma qação é: -, = -.. 5,96,96,96,8,6,,96,,96, 5. 6 As solçõs apromaas são obtas após a solção o sstma qaçõs. Comparao sss valors com os forcos pla solção aalítca: s. 7 cos tm-s: aalítca apromaa por frça progrssva,,,,,55,6869,,5,599,6,9,99,8,855,7859 5,,8, ,,5, , ª Apromação a coção cotoro atral com frça ctral: Esta trcra altratva, cosst m aplcar a qação apromaa. 5 o poto =, o q gra a qta qação rqra para a solção o problma, mas volv o valor m m poto fctíco 6 fora o omío o q é otro problma a sr rsolvo, o poto =,. A rlação tr o valor fctíco, = 6 algm otro valor o

42 omío q costt ma sta qação po sr obta apromao a coção cotoro atral com frça ctral.,,8.,, 6. 8 A qação acoal rqra para a solção o problma é:, 6. 9 Mas a partr a qta qação o Emplo, m = = 5 tmos: 6 -, = -,., = o 6 -, = Sbstto a qação. 9 m. 5 sta qação o Emplo, obtém-s: Obtém-s: Do E o ovo sstma qação é:,+ -, = , = -.-,. 5 -, = -.. 5,96,96,96,96,96 5,8,6,,,. 55 As solçõs apromaas pom sr comparaas com a solção aalítca:

43 s cos. 56 Comparao os rsltaos obtos frts formas tmos: aalítca apromaa por frça rgrssva ª Hpóts apromaa por frça progrssva apromaa por frça ctral ª Hpóts ª Hpóts,,,,,,,55,5,6869,5,,5,857,599,55,6,9,9,99,59,8,855,555,7859,879 5,,8,755 +,,77699, 6,,5 -, ,,79 +, Dtrmação os momtos fltors m ma vga msoal b-apoaa. Fgra -.. Vga b-apoaa sta a ma flão sob o s própro pso. O problma é rgo pla qação M q. 57 plas coçõs cotoro: Aotar = = l/ M M. 58 l Solção:

44 Fgra Dstrbção potos galmt spaçaos o trvalo [;]. Para = = l/: As cógtas são M, M M com coçõs cotoro M = M =. M M l / M q. 59 = = l/: M M l / M q. 6 = =l/: M M l / M q. 6 Em forma matrcal, após a mposção as coçõs cotoro tm=s: M M M ql 6. 6 Rsolvo: M M ql. 6 M ql. 6 8 Prgta: Porq a solção apromaa corrspo a solção aalítca ata?

45 Rsposta: A solção apromaa paa m Sér Taylor é gal a solção ata, porq, plas coçõs cotoro o problma, os trmos orm sprors a pasão são too los. Sstma Massa-Mola sta a ação ma força pt o tmpo. O problma é scrto pla qação gral: m C K pt. 65 o m é a massa, C é o cofct amortcmto K é a rgz a mola. A força pt po tr ma varação qalqr o tmpo. A solção aalítca é aa por: mt o mo t o cos w t s t m t p s t m t. 66 O o C, m m o são as coçõs cas m m K m é a frqüêca atral o sstma, Para rsolvr o problma mrcamt, tlzao as apromaçõs frça ctral para as rvaas sga orm aclração prmra orm vloca, são ftas as sbsttçõs:. 67 t t o íc rfr-s ao tmpo t t, t é o passo crmto tmpo. A vrsão scrtzaa a qação frcal, após a sbsttção as rvaas plas sas apromaçõs, é aa por: 5

46 m t c t p *. 68 o p* é ao por: m m c p * p K t t t. 69 Para =,,,..., os valors + são obtos a partr os valors á cocos -. Para s car o procsso marca o tmpo = é cssáro trmar o valor ; as fórmlas apromação, po-s scrvr: Rsolvo-s para -, obtém-s:. 7 t t t t t. 7 o t t. 7 Os valors são cocos coçõs cas, a própra qação frcal, po-s trmar o valor : o m. 7 Ct K p p C t K. 7 m 6

47 . 7 Cosstêca, Covrgêca Establa Para s garatr q a solção mérca forca por m sqma mérco rprst ma apromação razoávl a solção ata o problma matmátco, é cssáro q o sqma tlzao aprst propras cosstêca, covrgêca stabla. Essas propras stão tr-rlacoaas a solção mérca são fçõs os rros volvos. Cosstêca: Um sqma frças ftas é to cosstt qao, ao rfarm-s as apromaçõs por frças ftas, o lmt, as qaçõs apromaas s toram matmatcamt qvalts às qaçõs frcas orgas. Assm, s, y, t, o é o rro trcamto a qação apromaa. Covrgêca: A solção mérca t para a solção ata à ma q os crmtos spacas tmporal mm. S f é a solção ata a qação frcal f é a solção apromaa, tão: f f. 75 S, o poto =, rprsta a solção ata a qação frcal rprsta a solção apromaa, o sqma é covrgt qao o rro scrtzação t para zro, m qalqr poto, à ma q s rfa a scrtzação. Establa: É ma propra rlacoaa bascamt com o sqma tgração o tmpo. Qao m sqma mérco qalqr é stávl, ma pqa prtrbação m rro trcamto, por mplo, t a crscr a ma m q o procsso cálclo avaça o tmpo, cozo a rros acma os valors tolrávs compromto a solção mérca. Por mplo, o métoo a frça ctral tlzao o qarto mplo, para o avaço o tmpo, só é stávl para valors passo tmpo t a m valor crítco fo pla prssão. t t Crtco. 76 m 7

48 D acoro com a tora a stabla, a solção as qaçõs frcas Lyapov, ssa amplfcação o rro o tmpo, assocaa à stabla as qaçõs frcas é, m gral, pocal o tmpo v capítlo L. Esgoltz, Ecacos Dfrcals y Cálclo Varacoas, Etora MR, Ercícos Problmas Rsolvr plo Métoo as Dfrças Ftas a sgt qação frcal: c t. 77 para a barra a Fgra Us a frça ctral também para as coçõs cotoro. Com coçõs cas:, t, t ;. 78 t o ;. 79 E coçõs cotoro L, t, t ; o ; L Fazr os gráfcos A t B t gráfcos c Fgra Barra gastaa a trma sqra coorspot ao poto A. Solção: Sa a sgt qação frcal: 8

49 9 t c. 8 Com as sgts coçõs cas:, t, t t. 8 E coçõs cotoro:, t, t L. 8 o L é o comprmto a barra. a scrtzação tmpo posção comptacoalmt qval a :, J t J loops m,. 85 Vamos sar a frça ctral para calclar as rvaas. Para rsolvr por frças ftas é prcso m prmro lgar scrtzar a qação, a sgt forma:.. t c k k k k k k. 86 o... k k k k k k t c. 87 solao k, a qação acma fca a sgt forma:... k k k k k k t c. 88 Camao. t c. 89 tmos:. k k k k k. 9 a Solcoao problmas comptacoas para as coçõs cas

50 trmo fca: Um problma q st m trmos mplmtação mérca rfr-s ao k, q para o tmpo k=, k-, gra m tmpo gatvo, o sa, a qação Para rsolvr ss problma samos a sgt coção:, t,. 9 t t t q scrtzao sao frça ctral, fca a sgt forma: k k k t k,. 9 q rslta m, vo sr sbsttía a Eqação. 86 qao =. o t,. 9,. 95 Rtorao a qação. 9 tmos:.. 96 b Solcoao problmas comptacoas para as coçõs cotoro Um otro problma o trmo k, pos para a ltma tração spacal o, q é +, csstamos calclar m valor stt a barra, sto é, além a barra. Para rsolvr ss problma samos a sgt coção: L, t,. 97 q scrtzao sao frça ctral, fca a sgt forma: q rslta m: k k,. 98 5

51 k k,. 99 o qal v sr sbsttío a Eqação. 86 qao for a ltma tração o. Para = = 6: A coção cotoro fca: logo Rtorao a qação. tmos: Obsrv q para: k = - : o k = = k > -: v k > = : k. L, t L k k k k. k k k k. 5. k. 6 k k k k k k k k.. 7 k.. 8 k k k com ct. 5

52 grafcao-s: A t B t Rsltaos:, t Grafcao t tmos: A t. 9 Fgra Varação a rvaa tmporal a amplt a formação a barra com o tmpo o poto A a trma sqra a barra, o sa, = Cortsa Larssa Utyama- 6. Grafcao L /, t t, tmos: B.8 t,.5l X t "t,.5l.tt".6 slocamto tmpo Fgra Varação a amplt osclação a formação a barra com o tmpo o poto B o ctro a barra, o sa, = L/ Cortsa Larssa Utyama- 6. 5

53 Grafcao L, t t tmos: C.8.6. t,l X t "t,l.tt" slocamto tmpo Fgra Varação a amplt osclação a formação a barra taa formação com o tmpo o poto C a trma rta a barra, o sa, = L Cortsa Larssa Utyama- 6. Rsolvr plo Métoo as Dfrças Ftas a sgt qação y,. c t Com as sgts coçõs cas: Para toa a mmbraa Para as boras: Para o ctro: v Fora o ctro: coform mostra a Fgra -.., y, t,., y, t,. V, t c,. t, t,. t 5

54 Fgra -..Dscrtzação a mmbraa qaraa lao a. o caso gral, tmos: k tmpo k a scrtzação comptacoalmt qval a : posção, J, K loops m y t K tmpo J coor. y coor.,. 5 Solção: Dscrtzao, a qação frcal,... y c t t t t t t t t t t, y, y, y, y, y, y, y, y, y. 6 solao o trmo t, y t t t t t. t t t t, y c t, y., y, y, y, y, y, y, y, y. 7 Para rsolvr o problma o trmo t, y para t= o ctro scrtzamos a coção, t c, fcao t t, y t t, y coclo q t, y tc t, y, para fora o ctro também sao frça ctral, cocl-s q t, t y, y, para os trmos t, y t, y, ão avrá problma, pos para os valors mámos y, a coção garat q srá. 5

55 Fgra -.. Varação a amplt a osclação m fção o tmpo. Fgra -.. Osclaçõs spacas a mmbraa qaraa smlaa o MAPLE V Cortsa Mako Fras Bzz Robrto Vazt 55

56 56 Usao frças ftas, rsolva o problma Grfft para ma placa plaa fta, sta a ma tsão costat,, as boras spror fror, m tal plao o ctro a placa, ca qação frcal bqaraa para o problma é aa plas fçõs Ary:,. 8 Com coçõs cotoro: as boras spror fror,, B A A B A A L y L L L y L L,. 9 as boras latras,, B B A B B A L y L L L y L L,. as trmas a trca f f y L y L,,,. Solção: Fgra -.. Problma Grfft, rsolvo plo Métoo Dfrças Ftas sao-s a Plala o Mcrosoft Ecl, scrtzao a m ívl três cors para o campo as formaçõs.

57 Capítlo V CÁLCULO VARACOAL RESUMO st capítlo srá vsto a orgm o Métoo Varacoal a partr o problma a braqstócroa, o srá zo as Eqaçõs Elr-Lagrag. Em sga tlzarmos sta qação para svolvr o Métoo Varacoal para rvaas sprors. Coclrmos st capítlo com mplos trmzação fcoas para trmação a qação frcal o problma.. Obtvos o capítlo Etr o Métoo Varacoal Elr-Lagrag Comprr a orgm as Eqaçõs Elr-Lagrag prmra orm orm sprors. Sabr tlzar a Eqação Elr-Lagrag m problmas para trmação as qaçõs frcas. Etr sabr aplcar o Métoo Raylg-Rtz acoplao ao problma o Cáclo Varacoal.. troção O Métoo Varacoal tm orgm a Mcâca Clássca wto. Est métoo fo svolvo como ma gralzação os problmas âmcos a Mcâca Aalítca o Racoal. Estm frts aborags matmátcas para s cgar as Eqaçõs Elr-Lagrag. Coto, o problma a braqstócroa é o mas rto, pos lma a 57

58 cssa s cocr too o svolvmto a Mcâca Aalítca volva. Ess métoo é prcrsor os mas métoos q s sgrão, vsto q l trma a qação frcal o problma através as Eqaçõs Elr-Lagrag. As qaçõs frcas cotraas plo Métoo Varacoal porão sr rsolvas aalítca o mrcamt plos mas métoos q srão apros st crso.. Problma a Braqstócroa Uma partícla ca o poto para o poto, slzao sm atrto sobr ma crva y = y. Dtrm a crva corrspot ao tmpo mímo qa. Fgra -.. Problma a braqstrócroa {BRAKÜS: crto, rzo; KHRÓOS: tmpo} Solção: Tmpo qa: vloca: o o comprmto a crva scrta é ao por: t. s v. t s y. logo 58

59 y s y'. Plo Prcípo a Cosrvação a Erga Sstma Cosrvatvo mv mgy mv mgy mv mgy. 5 o a vloca qa é aa por: Assm: logo. 6 v v g y y s t. 7 v y' v g y y. 8 Em. 8 é ma fção spcal omaa fcoal. O fcoal o problma a Braqstócroa p ma varávl pt, ma varávl pt y, a rvaa prmra y, sto é, y. Grcamt: F, y, y' : fcoal. 9 O problma coto aa ão fo solcoao, pos a prssão a fção y = y ão é coca. Ess é o problma o cálclo varacoal, q cosst m trmar as fçõs q trmzam o fcoal para o problma a braqstócroa, a tratóra y q proz m tmpo mímo qa. Essas fçõs são obtas após s stablcrm as coçõs cssáras à trmzação o fcoal, sgo m procmto aálogo ao a procra os potos trmos trmats ma fção. Assm, aa ma fção y = y, a sa pasão m Sér Taylor, a vzaça = a, é aa por amto q f ta rvaas cotías m = a: 59

60 a f f a f ' a a f '' a....! portato: a f f a f ' a a f ' ' a....! Para q fa sa m valor mímo rlatvo à fção, f fa > para toos os valors ma vzaça a, o sa, para toos os valors amssívs a. O o poto a é m poto trmo o trmzat a fção. Da msma mara, para q fa sa m mámo rlatvo, f fa <. Como a aqr valors postvos gatvos, mpõs-s a coção q f a =, a fm q o trmo promat o svolvmto m sér ta valors ão gatvos, sto é: a > a > a.... A coção f a = é a coção cssára para q o poto = a sa poto trmo a fção. Como a >, s f a > tm-s m poto mímo m = a; s f a < tm-s m poto mámo m = a. S f a =, o trmo promat passa a sr o trcro, q altra o sal para valors amssívs à rta à sqra a, caractrzao m poto flão s f a. A trmzação o fcoal stá smpr lgaa a algm crtéro matmátco o prcpo físco mposto ao problma, coform ma cssa prátca, como o caso a crva tmpo mímo Braqstócroa, o o Prcpo a Míma Erga Potcal.. Eqação Elr-Lagrag Prmra Varação O valor o fcoal p a fção scola, fção sta q corrspo ao camo tr. Amt-s a stêca crto camo, y, q trmza o fcoal m rlação aos camos vzos varaos, y. Uma famíla camos varaos, pts m parâmtro é fa como: y y. 6

61 O é ma fção rvávl, arbtraramt scola, q s ala m = = : =. ota-s aa q, qalqr q sa a scola, qao = os camos varaos cocm com o camo trmzat. Fgra -.. Calclo Varacoal prmra orm a fção y trmzat o fcoal. Cosrao os camos varaos, o fcoal: F, y, y '. tm o s valor trmo ao por á q por póts, y trmza o fcoal: sbstto. m. : o F, y, y'. 5 F, y, y '. 6 F, y, y' '. 7 Em. 7, o fcoal stá scrto como fção o parâmtro po sr pao m Sér Taylor a vzaça = porq m = tmos y y : 6

62 6...!. 8 o...!. 9 Aalogamt ao caso a fção y = f, a coção cssára para q sa trmo m = é aa por:,, ' y y. O: ',, y y F. Logo ',, ' ' F y F y F y y y y.. o sa. Logo ' ' y y F y y F. 5 D. 7:

63 F F ' y y '. 6 Como m =, y y y' y ', a prssão. 6 po sr scrta como: F F '.. 7 y y' Agora vamos procrar lmar o sgo trmo a tgral. tgrao por parts, po-s lmar : F F y ' y ' '. 8 Logo F F F ' Como tmos:. 9 y' y' y' F F. y' y' ' Sbstto. m. 7: F y F. y' Usao o LEMA FUDAMETAL DO CÁLCULO DAS VARAÇÕES. S f, com f cotía cotamt rvávl o frcávl alao-s m, tão f = o trvalo cosrao. Assm tm-s. q: 6

64 F y F y'. q é a qação Elr-Lagrag é a coção a q y v obcr para q sa trmzat o fcoal. Da qação. po-s fr o opraor : y y y ; y y. Por fção, y rprsta ma varação arbtrára troza a varávl pt y para m valor fo a varávl pt. Grafcamt tmos: Fgra -.. Varação y m toro fção trmzat y... - Propras o Opraor y y : comtatva com o opraor frcal. y Vamos a varação a fção : y y. logo 6

65 y y y y y y y y y. 5 y : comtatvo com o opraor tgral y Vamos a varação a fção y co camo varávl é ao por: tão y y y y y y y y y y y Sbstto. 7 o sgo trmo à rta m. 8: F F ' y y' F F ' y y' F F y y' y y'. 8 tgrao por parts: F F y ' y ' y ' y ' y ' y. 9 Logo F F F y ' y y y ' y ' y '. Mas y y y porq são gas m. Sbstto. m. 8: 65

66 66 ' y y F y F. A prssão. é omaa prmra varação o fcoal. Portato, a coção cssára à trmzação rqr q a prmra varação o fcoal sa gal a zro. ' y y F y F. ot-s q:... A aaloga tr a prmra varação m fcoal o frcal total ma fção é vt s: ' ', ',, y y F y y F y y F F. y y f f f y f f,,. 5.. Coçõs Cotoro Fo cosrao, até agora, o caso o qal são aos os potos,y,y por o v passar a fção trmzat = = : ssas coçõs cotoro são omaas cmátcas o forçaas.

67 Fgra -.. Spõs-s, agora, q são aos apas ; assm, os camos varaos, algs passarão por y y otros ão. coz a: Para F, y, y', o svolvmto a coção trmzação F F F F y y y,. 6 y y' y y o caa m sss trmos é lo valmt, porq ls são larmt pts. A fção y q trmza o fcoal vrá atr, além a qação Elr-Lagrag, qação., às sgts coçõs cotoro: Coçõs Cotoro Esscas Cmátcas Coçõs Cotoro atras F y o y y prscrto o. 7 y Coçõs Cotoro Esscas Cmátcas Coçõs Cotoro atras F y o y y prscrto o. 8 y Em. 7. 8, as coçõs volvo os valors y m são as coçõs cotoro cmátcas o forçaas, as coçõs cotoro volvo rvaas são as coçõs cotoro atras. 67

68 . 5 Fcoas com rvaas orm spror Sa o fcoal: F, y, y', y'', y'''. 9 A coção trmzação s scrv como: F F F F y y' y'' y'''. 5 y y' y'' y''' tgrao por parts: a b F F F y' y y. 5 y' y' y' F F y' ' y' y' ' y' ' F y' y' ' F y y' ' F y' y' ' F y y' '. 5 c F F F y ''' y" y" y ''' y ''' y ''' F F F y ''' y ''' y ''' y '' y ' y ' F F F y '' y ' y ' y ''' y ''' y ''' F y y '''. 5 A coção trmzação é: 68

69 F F F F y y y ' y '' y ''' F F F F F F y y y y ' y" y ''' y '' y ''' y ''' ' ''. 5 A fção y q trmza o fcoal vrá atr à qação Elr- Lagrag orm sprors: F y' '' F y' ' F y' F y. 55 E às coçõs cotoro: Cmátcas / atras são: F y '' prscrto y '' o y '''. 56 F F y ' prscrto y ' o y ''' y ''. 57 ' F F F y prscrto y o y ''' y '' y '

70 . 6 Emplos Aplcaçõs Voltao ao problma a Braqstócroa: y' v g y y. 59 Solção: Partclarzao o problma para v = cosrao o poto =, y a orgm com o sto vrto para y, coform mostra a Fgra Fgra Partclarzação o problma a braqstócroa para v = cosrao o poto =, y a orgm com o sto vrto para y A qação. 59 fca: y' y' gy g y. 6 Com sto vrto para y. Logo o fcoal a sr trmzao é: E y' F, y, y'. 6 y F, y, y ' F, y, y ' y ' y. 6 Sbstto. 6 a qação Elr-Lagrag., tmos: 7

71 F, y, y' y' y' y' y. 6 logo F, y, y ' y '' y '' y ' y ' y ' y ' y y ' y y ' y. 6 F, y, y' y Logo tao to m. tmos: y' y. 65 y '' y '' y ' y ' y ' y ' y ' y ' y y y y. 66 Mltplcao to por ' y y Mltplcao to por y, tmos: O, tmos: y' y'' y' y' y ''. 67 y' y y yy'' y' yy '' y' y'. 68 y' yy' y'' yy ''. 69 y' yy '' y' yy' y'' y'. 7 Smplfcao os trmos smlats, yy '' yy' y'' yy' y'' y'. 7 7

72 obtém-s a sgt qação frcal: ' Fazo-s ma maça varávs tmos: yy '' y. 7 y'. 7 y y' ' y'' y y y y y' y. 7 Logo y. 75 y o y y. 76 Logo [ y ]. 77 Eftao a tgração tmos: y a. 78 o y y' a. 79 q fca: a y '. 8 y Logo 7

73 a y y y'. 8 y o y y y y. 8 a y a y Etão: y y. 8 a y Fazo: y a. s t /. 8 logo y a. s t / cos t / t / as t / cos t / t. 85 a. s t / as t / cos t / t. 86 a cos t / o a s t / t.. 87 Como: s cos / t /. 88 t Fcamos com: a cost t. 89 Portato 7

74 t st a. 9 Para. A solção fal fca: y a t st a y as t / cost. 9 Esta qação é a qação a ccló. Portato, a Braqstócroa é m arco ccló s o poto com =, y = até o poto com =, y = y. Fgra Crva arco ccló para m tmpo mímo Brasqstócroa. Etrmzar o sgt fcoal y' y'. 9 Solção: A partr a qação Elr-Lagrag tmos q: F y F y'. 9 So F / y tmos: 7

75 F y '. 9 O q mplca q: F C y'. 95 Logo, F F, y'.. 96 Rtorao a qação Elr-Lagrag tmos: F y' y' y' y' y'. 97 o C y' C y'.. 98 Portato, y C D.. 99 Provar q a mor stâca tr os potos é ma la rta, o sa: stâca s y'. Solção: Lagrag tmos: So o fcoal F F y' y' aplcao a qação Elr- F F y y '. So F / y tmos: 75

76 F y'. O q mplca q: F C y'. Logo, F F, y'.. Rtorao a qação Elr-Lagrag tmos: F F / ' y ' y ' y y ' y ' y '. 5 logo y' y' C y' C y'.. 6 O y' C y'.. 7 Logo tgrao m tmos: Portato, Q é a qação rza ma rta C y' y' A y' A.. 8 C y A y A.. 9 y A B.. 76

77 Fgra Gráfco a mor stâca tr os potos sgo o Cálclo Varacoal Elr-Lagrag. Aplcar o cálclo varacoal ao problma flão ma vga b-apoaa. Fgra Vga b-apoaa sta a formação plo s própro pso. Solção: A rga potcal total o sstma é: p l E w qw.. 77

78 O E: é o mólo Elastca; : o momto érca a scção trasvrsal a vga; E w : é a Erga Potcal Dformação; qw: é a Erga Potcal a carga Atat. So F ao por: F E w F, w, w'' qw. Plo Prcpo a Erga Potcal míma, a cofgração qlíbro corrspo à trmzação o fcoal. Da qação Elr-Lagrag: F w' '' F w'' F F w' w. como F w''' F w'. Tmos: F w'' F w. 5 Logo F Ew'' w' ' ; F w Ew''. 6 F E w'' w F w q. 7 Etão sbstto m. 5 tmos: w A qação frcal a la lástca. q E. 8 78

79 Cosrao as coçõs cotoro = = l F F w' : w prscrto cmátca w' o w'' w'' atral. 9 F w : w prscrto cmátca w o F atral. w'' w'' As coçõs atras pom sr scrtas como: F Ew'' w'' o M Momto Fltor. Ew' ' Ew'' oq Q: Esforço cortat. Em Para o mplo, á as coçõs cotoro cmátcas as atras: ; l ; w w'' w w''. 79

80 . 7 Métoo Raylg-Rtz Dao o fcoal F, y, y '. com coçõs cotoro y = y =. Ca coção varacoal é aa por: F, y, y' F, y, y'.. 5 Para q a coção varacoal sa satsfta é cssáro q o tgrao satsfaça a qação Elr-Lagrag a sgt forma: Dsvolvo tmos: o F F F y y' '. 6 y y F F y y ' L F, y, y ' y y. 7 F y F y' Fcoal para a Solção Apromaa o métoo Raylg-Rtz a fção y, q trmza o fcoal é sbsttía por ma solção apromaa y, fa como: y y... y,. 9 o as fçõs,,... são cocas larmt pts o spaço vtoral fçõs os cofcts, vm sr trmaos forma a s obtr a mlor apromação possívl para a solção o problma. 8

81 Como as fçõs,,..., são cocas, rslta q tato y qato y ' prão os parâmtros. Etão: y' ' '... y' ' y'.. Sbstto y, fo m. 9, obtém-s m fcoal apromao: y ', fo m. 5, o fcoal. F, y, y '.. ca coção varacoal é aa por:.. F, y, y ' F, y, y ' Para q a coção varacoal sa satsfta é cssáro q o tgrao satsfaça a qação Elr-Lagrag a sgt forma: F F F y y ' y y '. Dsvolvo tmos: S y F F y y ' L F, y, y ' y y. ; y ' ', tão o fcoal apromao prá somt os parâmtros, o pomos scrvr: F,,, ' F,,, ' L y L.. 5 m. tmos: Eplctao to m trmos as fçõs,, sto é, sbstto-s. 8

82 8 ', ',, F F Eqaçõs Elr-Lagrag para a Solção Apromaa A coção varacoal também v sr vála para a solção apromaa, forma aáloga vmos tr: ',, ',, y y F y y F. 7 Como o fcoal ato o problma satsfaz a Eqaçõs Elr-Lagrag, para q coção varacoal apromaa sa possívl é prcso q o tgrao a solção apromaa também va satsfazr a msma qação, o sa, ' y F y F. 8 O m trmos as fçõs, tmos: y y F y y F F. 9 y y F y y F F ' ' ' ' ' ' '. E aa y y F y y F F ' ' ' ' ' ' '. Etão sbtrao. 9. tmos: y y F y y F F F ' ' ' ' '. Sabo q:

83 8 y y. Logo pomos scrvr: ' ' y F y F F F. q satsfaz a qação Elr-Lagrag também, o sa, ' F F. 5 Portato, é possívl mostrar q o Lagragao ',, y y F po sr scrto m trmos a somatóra o Lagragaos parcas F y y F ',,, ',,, o val a gala: F F y y F ',,, ',,, ',,,. 6 com a sgt coção varacoal ',,, ',,, ',, F F y y F,. 7 satsfazo caa ma las a qação Elr-Lagrag, coform mostra a qação Sstma Eqaçõs para o Métoo Raylg-Rtz Sparao a part q p os s o rstat pomos scrvr: ',, G f.. 8 Portato, como a tgral é fa, o fcoal apromao,, prá somt os parâmtros, po-s scrvr:

84 8 F. 9 Logo, a coção trmzação passa a sr aa por: O F L.. 5 Como as varaçõs são arbtráras, só s ala qao:,,, ',,,,..., F F L L. 5 o sa, ', F.. 5 A prssão. 5 gra m sstma qaçõs ca solção forc os valors q corrspom à mlor solção apromaa o tpo scrto m. 9. ',, G f.. 5 O sa: ',, G f.. 55 grao ma sér trmos m, com cofcts o tpo:

85 A L.. 56 O: A G,, '. 57 E L f.. 58 Sbstto. 56 m. 5 vmos q a coção trmzação po sr colocaa m trmos m sstma qaçõs para os,s o sa, A L.. 59 ca matrz o sstma é qaraa aa por: A L.. 6 A A : A A A A :.... :.. A A A : L L.. 6 : : L Qao as solçõs apromaas atm às coçõs covrgêca o métoo, m amto o úmro trmos proz ma mlor rprstação a solção ata o problma. As coçõs covrgêca são: As fçõs,,... são cocas larmt pts o spaço vtoral fçõs. As solçõs apromaas vm sr cotías; As rvaas as solçõs apromaas vm sr cotías até ma a a mos q a orm o opraor frcal q aparc o fcoal. 85

86 86 As solçõs apromaas vm satsfazr atamt as coçõs cotoro sscas o forçaas o problma 5 A sqüêca fçõs v sr tal q, o lmt, qao, o rro qarátco méo s ala Coçõs Covrgêca o Métoo Raylg-Rtz lm y y. 6 o sa, lm y. 6 Obsrv q sso mplca m: y y y y. 6 mas y y y. 65 O sa: y y y y y y. 66 logo y y y y y y. 67 O

87 So y, tmos: Fazo y y y y y y y y y y. 68 lm y [ y y y] y. 69 y y.. 7 Tmos: y y y y.. 7 Para arbtráros tmos cssaramt q: lm Sparao a tgral tmos: o y y y.. 7 y.. 7 y K f.. 7 Logo K f.. 75 O 87

88 88 K f.. 76 Uma matrz rza po sr graa, qao s plcta os L m trmos os,s, fcao, portato o sstma trmao m trmos os cofcts,s, a sgt forma: m mm m m C C C M M M A M M M M M : :.. : : : : O M.. 78 E y C.. 79 Obsrv q os C pm a solção ata o problma. Sbstto, y por y m. 79 tmos: C.. 8 Como as fçõs são mtamt ortogoas tmos: C.. 8 Portato, a qação. 77 fca:

89 89 mm m m M M M A M M M M M : :.. : : : : O cssáramt a matrz M é a matrz ta:.. : : : : : : : :.... mm m m M M M A M M M M M.. 8

90 . 8 Emplos Aplcaçõs Emplo: Dao o fcoal. E w p qw. 8 q rprsta a rga potcal total para a flão ma vga. Obtr ma solção apromaa para w para o caso ma vga smplsmt apoaa. Fgra Vga b-apoaa sta a flão plo s própro pso. Com coçõs cotoro: w w l. 85 ª Ttatva: Escolo ma solção o tpo: w l ; l. 86 Solção: Etão: w w w l l. 87 9

91 l E p q l l E q l. 88 tgrao aplcao os lmts tmos: p l l E q. 89 l o p l l E l q. 9 Logo p l E l q,. 9 6 o: p : coção trmzação,. 9 logo l E l q 6,. 9 Portato, Rtorao a w tmos: Q m l / tmos: ql,. 9 E ql w l,. 95 E 9

92 ql w l / 96E,. 96 O a solção ata é: w ma 5 ql, E co rro é ao por: w w ma ma Logo a solção apromaa é 8% o valor ato., ª Ttatva: Escolo ma solção o tpo: ;. 99 w l l ª Ttatva: Escolo ma solção o tpo: w l l l ;. ª Ttatva: Escolo ma solção o tpo: Com w l l l ;. ql ql E E ' ; '' ; '' ; ; w w w Calclar w m l /, com: ql ql w l l E E... 9

93 w q E w ; w'' M w9l ; w'' l M. comparar o rsltao com o w. 9

94 . 9 Ercícos Problmas Etrmzar sts otros fcoas: y y' ys. 5 y' y'. 6 y' yy' 6y. 7 car as coçõs cotoro para as vgas E = ct; l = comprmto. avga gastaa b Vga com apoo fo cvga com apoo móvl Etrmzar sts otros fcoas: 5 F, y, y ' y ' y y ' y. 8 9

95 6 y ' y ' F, y, y ' y ' y '. 9 7 F, y, y ' y y ' y y '. 8 F, y, y ' y ' y y ' y. 9. F, y, y ' s y ' s y ' 95

96 Capítlo V MÉTODO DOS RESÍDUOS PODERADOS RESUMO st capítlo srá vsto a orgm o Métoo os Rsíos Poraos. Est métoo s aprsta como ma altratva ao Métoo Varacoal por sa vz orgm ao Métoo os Elmtos Ftos ao Métoo os Elmtos Cotoro Obtvos o capítlo Etr a orgm o Métoo os Rsíos Poraos Sabr aplcar o Métoo os Rsíos Poraos as sas mas frts formas Rsolvr problmas qaçõs frcas prtts ao métoo. v Sabr tlzar o Métoo os Rsíos Poraos o coto otros métoos apromaos 5. troção O Métoo os Rsíos Poraos é m métoo apromação q srg a partr o Métoo Varacoal, mas como ma proposta s lbrtar a coção trmzação m fcoal. To apas como coção a qação frcal q po o ão sr provt ma coção varacoal m fcoal. Est métoo é mto trssat vrsátl. Fo a partr l q fo possívl ar orgm a otros métoos solção qaçõs frcas, tas como o Métoo os Elmtos Ftos o Métoo os Elmtos Cotoro. 96