Um Modelo de Compressão de Imagens Digitais Baseado em Codificação Fractal e Quantização Vetorial (VQ)

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1 Um Molo Comprssão Imags Dgtas Basao m Cofcação Fractal Quatzação Vtoral (VQ) João Paulo I. F. Rbas Uvrsa Fral Ubrlâa Dpartamto Eghara Elétrca Ubrlâa-MG, Brasl joaorbas@gmal.com Glbrto A. Carrjo Uvrsa Fral Ubrlâa Dpartamto Eghara Elétrca Ubrlâa-MG, Brasl glbrto@ufu.br RESUMO Durat o procsso cofcação fractal um gra úmro comparaçõs é cssáro para s cotrar o mlhor omabloc caato, bm como as rspctvas trasformaçõs, para caa um os rag-blocs a magm a sr cofcaa. Nst trabalho, é aprstao um cofcaor híbro, rfrcao como Fractal_VQ qu comba stas uas mportats téccas cofcação mags. O oma-pool o cofcaor fractal é substtuío por um coboo gérco grao plo algorítmo LBG. O prouto tro DCT é utlzao para ruzr o úmro opraçõs cssáras para assocar uma as oto somtras, caa oma-bloc scolho, a um trmao rag-bloc a sr cofcao. O bfíco o molo proposto cosst m ruzr a complxa computacoal alcaçar altas taxas comprssão, mato boa quala a magm rcostruía após a cofcação.. Itroução A cofcação fractal basa-s a tora IFS (Sstma Fuçõs Itratvas) aprstaa por Malbrot [4,5] postrormt xta para a cofcação mags por Barsly m 988 [, ], cuja éa básca é xplorar a auto-smlara xstt as mags gtas. A técca aprstaa por Barsly fo mplmtaa por Jacqu, qu utlzou um PIFS (Sstma Fuçõs Itratvas Partcoao) a comprssão mags, ao orgm ao prmro cofcaor fractal mags gtas [3,4]. Postrormt Fshr [,] svolvu um cofcaor bastat fct, muto rfrcao atualmt a maora as psqusas rlacoaas à cofcação fractal mags. A quatzação vtoral (VQ), outra técca bastat cohca a cofcação voz mags [], possu strta smlara com a cofcação fractal plo fato qu, a cofcação ambos os métoos utlzam um coboo vtors (blocos magm) qu srv como bas rprstação a magm a sr cofcaa. Na cofcação fractal, o coboo (oma-pool) é xtraío a própra magm orgal o cofcaor ão cssta cosultá-lo para rcostrur a magm cofcaa. Na VQ, o coboo prcsa star prst a cofcação, pos é cssáro cosultá-lo para ralzar o procsso. Nst artgo, é aprstao um squma comprssão qu comba a cofcação fractal a quatzação vtoral (VQ), forma qu quao comparao aos cofcaors fractas puros, proporcoa mução a complxa computacoal aumto a taxa comprssão, prsrvao boa fla a magm rcostruía m rlação à orgal. Est trabalho stá orgazao a sgut forma. Nas sçõs, 3, 4 5 é aboraa a fuamtação tórca utlzaa a psqusa. Na sção 6 é scrto o molo Fractal_VQ proposto. Falmt, a sção, são aprstaos os rsultaos obtos.. Sstma Fuçõs Itratvas (IFS) Um IFS é uma colção trasformaçõs afs cotratvas sobr um spaço métrco complto. D acoro com o torma o mapamto cotratvo (CMT-Cotracto Mappg Thorm), um fractal é o poto fxo um IFS um spaço métrco complto, spcfcamt um spaço métrco Hausorff, so qu o Fractal é chamao atrator o IFS. Dssa forma, uma magm fractal é o poto fxo (atrator) um IFS o R []. Na cofcação fractal mags tm-s o chamao problma vrso a tora as

2 trasformaçõs tratvas [3,4], qu cosst m xtrar os parâmtros um IFS para uma aa magm a sr cofcaa, st caso, tms o atrator cssta-s chgar ao IFS. O procsso matmátco cosst m rprstar uma aa magm f, vsta como um lmto um spaço métrco Hausorff (X,h), por um mapamto cotratvo W:X X cujo poto fxo sja a magm f, ou sja, f W W(f W ) []. O mapamto é cotrao mmzao-s a stâca tr f W(f) um cojuto mapamtos caatos. Isto é fuamtao plo torma a colagm [,], o qual ( f, f ) L( W ) ( f, W ( f, o W ( ) )) L(W) [,] é o fator cotração W. A cofcação é basaa o prcípo o mapamto cotratvo, assgurao qu f W po sr obta como poto lmt a sqüêca traçõs {f },, o f + W(f ) f é uma magm cal arbtrára. 3. Sstma Fuçõs Itratvas Partcoao (PIFS) O torma a colagm, aprstao a sção, é ssêca a cofcação fractal mags, qu cosst m cotrar um U N w mapamto w, w,..., w N com W, cujo poto fxo f sja um cojuto muto próxmo uma magm f a sr cofcaa, ou sja []: f f' W( f') W( f) w ( f) w ( f) L wn ( f). A rprstação matrcal as trasformaçõs afs um PIFS sobr uma magm gtal é sgut forma: [] x a b x w + y c y f () z s z o o s rprsta o cotrast o cotrola o brlho a trasformação. Etão, é prcso obtr uma magm f W cuja stâca δ ( f ', f ) sja míma. Dssa forma, o PIFS é prcso cotrar um mapamto W para caa rag-bloc R a magm a sr cofcaa, ou sja, cotrar o mímo valor para a sgut quação []: δ ( f ( R I), w ( f )),..., N. () Isso sgfca cotrar oma-blocs D os rspctvos mapamtos w forma qu, quao aplcaos à D, rsultm m rgõs muto próxmas os rag-blocs R. Na prátca, um cofcaor fractal mags basa-s a rprstação uma rgão a magm (rag-bloc) plas trasformaçõs afs uma outra rgão (oma-bloc) a própra magm, xplorao ao máxmo a propra auto-smlara prst as mags uma forma gral. Uma aproxmação para um rag-bloc R a sr cofcao po sr xprsso pla sgut quação []: R s τ S( D ) + o (3) ( ) o: s: fator cotrast; τ: somtra; S: opraor cmação; D: oma-bloc; o: lumâca. O prmro passo o procsso é partcoar a magm a fm sgar o cojuto oma-blocs (oma-pool) jutamt com as st somtras corrspots caa bloco D. Dssa forma, o coboo vrtual (oma pool) é composto plos oma-blocs, qu são blocos sobrpostos a própra magm a sr cofcaa, mas as rspctvas somtras. Postrormt, a magm é va m blocos mors (rag-blocs) ão sobrpostos forma qu caa rag-bloc srá comparao com os lmtos o oma-pool. Ou sja, é prcso cotrar o bloco D as trasformaçõs, qu quao aplcaas m D, rsulta um bloco muto próxmo R. Para scolhr o oma-bloc D, jutamt com o fator cotrast s a lumâca o qu mlhor rprst o rag-bloc R é prcso cotrar um valor qu mmz a stâca rms tr ls, aa por []: rms ( s + o r ) (4) o r corrspom ao oma-bloc rag-bloc trasformaos m vtors NxN (msõs o rag-bloc). O mor rms ocorr quao as rvaas parcas m rlação à s o são guas à zro, para sso o cálculo s o é ao por []: r r s (5) r s o (6) st caso rms é ao por:

3 r + s s r + o + o o r rms () s, tão s o r (8) Sja R o cojuto rag-blocs, a cofcação cosst m cotrar, para caa R, um D D qu mmz ao máxmo a quação (4), qu a prátca sgfca cotrar uma rgão D a magm um mapamto w qu mas s aproxma R. Dvo ao gra umro comparaçõs ftuaas urat a cofcação, atualmt mutas téccas classfcação blocos têm so aprstaas [9]. O fucoamto um cofcaor fractal tracoal po sr lustrao pla fgura. Fgura - Cofcaor fractal tracoal Para caa rag-bloc utlza-s 8 bts para armazar as posçõs vrtcal () 8 bts para a posção horzotal ( o oma-bloc D rspctvamt, 3 bts para a somtra τ, bts para o brlho 5 bts para o fator cotrast s []. A cofcação cosst smplsmt um procsso tratvo o cógo fractal W{w, w,..., w N } (cógo IFS) sobr qualqur magm cal µ, até sr obsrvaa uma covrgêca para uma magm f cofcaa, ou sja, caa rag-bloc cofcao R é mapao através a rspctva trasformação w aplcaa tratvamt à rgão a magm µ tfcaa pla posção o oma-bloc D urat a cofcação. A sqüêca mags { µ ( ) W µ } é chamaa sqüêca rcostrução para o cógo W. 4. Classfcação plo prouto tro DCT Dao um bloco magm f,,,..., 8, o rprsta as oto rfras ortaçõs sja F a DCT f, po-s tão coclur qu [5, 8]: F (m,) (-) m F (m,) F 3 (m,) (-) F (m,) (9) F 4 (m,) (-) m+ F (m,) F 5 (m,) F (,m) F 6 (m,) F (,m) (-) F (,m) F (m,) F 3 (,m) (-) m F (,m) () F 8 (m,) F 4 (,m) (-) m+ F (,m) Obsrva-s qu para um ao oma-bloc f, as oto somtras pom sr obtas através sua DCT, vsto qu as trasformaas as oto ortaçõs frm tr s, bascamt, pla muaça cooraas. Tal propra po sr xploraa para lmar cálculos rpttvos, ruzo o tmpo procssamto cosravlmt. A cofcação fractal para uma magm moocromátca f(x,y), é rprstaa pla trasformação afm a quação (), o: a b submatrz x : cotração o plao c x-y somtra; subvtor -D (,f) : traslação o plao x-y; s: cotrast; o: brlho; O procsso cofcação rsum-s m cotrar um bloco f o oma-pool a trasformação afm w qu mas s aproxma um ao rag-bloc g, sto ocorr quao o rms a quação (4) é o mímo possívl, ou sja, para um bloco tamaho 8x8, por xmplo: (( s f (, + o) g(, ) () rms j O valor s para caa f suas oto ortaçõs também po sr calculao plo sgut prouto tro [8]: s (3), o ˆ : prouto tro ĝ ; f f m f gˆ g mg ; ; m f : valor méo o bloco f;

4 m g : valor méo o g; o m g p m f (4) Daí, a quação () po-s obtr: p rms gˆ, gˆ gˆ, gˆ, Vrfca-s qu prouto tro rms (5) srá mímo quao o ˆ for o máxmo possívl. f So Fˆ Ĝ a trasformaa DCT ĝ rspctvamt, para,,...,8, o prouto tro ˆ também po sr obto o f omío a DCT como sgu [8]: δ Fˆ, Gˆ Para, δ a F (, ) j j j j ˆ Gˆ(, ˆ( F (, G, j ˆ (6) () o F (,,. Da quação (9) a j ˆ po-s obtr qu [8]: δ j j a a j j δ ; 3 j a j j δ ; (8) δ + j 4 a j j a quação () δ Fˆ (,, 5 Fˆ o j 5 ( j, ), j j j b j b (9) F ( j, ), aa a quação ˆ () po-s obtr: δ 5 j j b 6 j b j j δ ; b j j δ ; () δ j+ 8 b j j Falmt, para cotrar a somtra (ortação) mas aquaa basta slcoar o δ máxmo, ou sja [8]: max( δ, δ,..., δ 8 ) () Obsrva-s qu o omío a frqüêca xst uma ruâca o cálculo δ,,,...,8, volvo bascamt a obtção a j b j, o qu ão acotc o omío spacal. O tmpo procssamto gasto para cotrar, através as quaçõs () a (), é bm fror ao tmpo gasto as comparaçõs tr o ragbloc as oto smtras o oma-bloc qu stá so aalsao, como é fto os algortmos fractas tracoas. 5. Quatzação Vtoral (VQ) D acoro com o prmro torma Shao (torma a cofcação sm ruío) [3], m toos os aspctos, obtém-s uma prformac mlhor cofcao-s os vtors ao vés scalars. A quatzação vtoral ão cosra caa lmto solaamt, como é fto a quatzação scalar, mas os agrupa m pquos vtors, através um lvatamto statístco, trma quas vtors aos são mas apropraos para formar a bas quatzação. Um quatzaor vtoral -msoal (VQ) é a combação uas fuçõs []: um cofcaor γ qu assoca a caa vtor traa x (x, x,..., x - ) um símbolo γ(x) prst m um cojuto símbolos M, um cofcaor β qu, por sua vz, assoca a caa símbolo v m M um valor xstt o alfabto Â, o, o cojuto símbolos, por covêca, é um spaço vtors báros, cosqutmt, M é o cojuto toos os R vtors báros R-msoal. O alfabto  po ou ão sr êtco ao spaço vtors traa. S M possur m lmtos, tão, calculao-s Rlog m obtém-s a taxa o quatzaor m bts para caa vtor, vo-s R por (R/) é obta a taxa m bts por símbolo, ou, quao a traa for uma amostra um sal voz ou magm, por xmplo, obtém-s a taxa m bts por amostra. Objtvamt, po-s fr a quatzação vtoral a sgut forma [6]: um quatzaor -msoal N ívs é uma fução, q, qu assoca a caa vtor traa, x (x, x,..., x - ), um vtor saía spcfcao, x ) q(x), xtraío um alfabto rprouzo fto,  {y ;,,..., N}. O quatzaor q é scrto compltamt plo alfabto (ou coboo)  jutamt com a partção, S {S ;,,..., N}, o spaço vtoral traa m cojutos

5 S {x: q(x) y } vtors traa, os quas são mapaos plo -ésmo vtor rprouzo (ou cowor). Basao st cocto, tal técca é chamaa quatzação vtoral ou quatzação m blocos. O maor sforço a técca quatzação vtoral é a obtção um coboo al. Um algortmo para o svolvmto um coboo ótmo para aos mpírcos fo proposto por L, Buzo Gray [6], costatmt rfrcao como algortmo LBG. brlho cotrast é fto aalogamt ao scrto a sção 3 st trabalho. Na cofcação, o procsso é smlhat ao um cofcaor fractal puro, trtato a magm cal é o própro coboo, qu forc o vtor caato scolho a cofcação. Após a slção o vtor, é fta a cotração m sgua a aplcação a somtra ajust o cotrast brlho, obto-s o vtor cofcao, qu é part tgrat a magm rcostruía. A fgura 3 mostra uma rprstação a cofcação Fractal_VQ. 6. Molo Cofcação Fractal_VQ Proposto Na cofcação fractal pura, o cojuto oma-blocs (oma-pool), é composto por blocos a própra magm a sr cofcaa, so uma spéc um coboo vrtual, forma qu, obvamt, é prcso sgar um oma-pool para caa magm a sr cofcaa. No molo proposto, uma bas mags tro é utlzaa para grar um coboo gérco através o algortmo LBG, mcoao a sção 5, com sso, o omapool s rstrg a um coboo tamaho ruzo, po a quata ívs scolha urat a xcução o LBG. Nst trabalho foram utlzaos as smulaçõs coboos 56, 5 4 lmtos. O procsso cofcação, para qualqur magm, é fto smlhat à cofcação fractal pura, com a frça qu o oma-pool é o coboo sgao plo algortmo LBG. Outra frça é qu a posção o bloco, qu ats ra rprstaa por os campos, agora é substtuía apas plo íc o vtor o coboo qu aprsta mor rms m rlação ao vtor magm qu stá so cofcao. Uma lustração a tapa cofcação o cofcaor proposto é aprstaa a fgura. Fgura - Cofcação Fractal_VQ Um outro poto bastat mportat o molo m qustão rfr-s à slção a somtra corrspot a caa vtor o momto a cofcação, o s utlza um métoo aclração basao o prouto tro DCT, scrto a sção 4. O cálculo o Fgura 3- Dcofcação Fractal_VQ Por tratar-s um molo híbro, qu globa caractrístcas a cofcação fractal a quatzação vtoral, o procsso cofcação ão é tratvo, como ocorr os molos comprssão fractas puros, apas uma tração é cssára para rcostrur a magm cofcaa. A taxa bts é calculaa a sgut forma, cosrao-s um coboo composto por 56 vtors: Íc o vtor caato: 8 bts; Isomtra t: 8 bts; Fator cotrast s: 5 bts; Lumâca o: bts.. Rsultaos obtos Nsta sção srão aprstaos os rsultaos obtos a cofcação algumas mags 5 x 5 pxls 8 bpp. As fguras 4, 5 6 lustram as mags cofcaas três cofcaors: cofcaor fractal puro, quatzaor vtoral o cofcaor fractal_vq proposto. Comparao-s subjtvamt as mags rcostruías os três cofcaors, vrfca-s qu toas las aprstam uma boa quala vsual, cosrao-s as taxas bts corrspots. Vrfca-s qu o cofcaor Fractal_VQ a,36 bpp atgu valors PSNR próxmos aos obtos plo cofcaor fractal puro a,48 bpp. Costata-s aa, qu o cofcaor Fractal_VQ a uma taxa.39 bpp pratcamt qupara-s aos valors PSNR atgos plo cofcaor fractal a,48 bpp, poo-s coclur qu o cofcaor proposto, m trmos fla, proporcoa rsultaos quparaos ao

6 cofcaor fractal puro, porém a uma taxa comprssão mas atratva. PSNR: 8,4 B a,48 bpp (a) PSNR: 6,6 B a,5 bpp (b) PSNR: 3,33 B a,48 bpp (a) PSNR: 3, B a,5 bpp (b) PSNR: 3,64 B a,36 bpp (c) PSNR: 3,9 B a,39 bpp () Fgura 4- Imagm La cofcaa: (a) Cofcaor fractal puro (b) Quatzaor vtoral (c) Cofcaor fractal_vq a,36 bpp () Cofcaor fractal_vq a,39 bpp PSNR: 6,4 B a,48 bpp (a) PSNR: 5,68 B a,36 bpp (c) PSNR: 6,5 B a,5 bpp (b) PSNR: 6, B a,39 bpp () Fgura 5- Imagm Swa cofcaa: (a) Cofcaor fractal puro (b) Quatzaor vtoral (c) Cofcaor fractal_vq a,36 bpp () Cofcaor fractal_vq a,39 bpp PSNR:,6 B a,36 bpp (c) PSNR: 8,3 B a,39 bpp () Fgura 6- Imagm Coupl cofcaa: (a) Cofcaor fractal puro (b) Quatzaor vtoral (c) Cofcaor fractal_vq a,36 bpp () Cofcaor fractal_vq a,39 bpp Em rlação ao tmpo procssamto, o quatzaor vtoral aprsta o mor tmpo utlzao para cofcar cofcar as mags, haja vsta qu a cofcação, para caa bloco a sr procssao, basta psqusar o coboo trasmtr o íc o vtor com mor stâca. Já a cofcação volv apas opraçõs xação, sto é, rcuprar os vtors (blocos a magm) com uma smpls busca o coboo através os ícs trasmtos. O cofcaor Fractal_VQ, coform lustra o gráfco a Fgura, aprsta mor tmpo procssamto m rlação ao cofcaor fractal puro vo a os fators: ) O oma-pool é um coboo composto por um úmro bastat ruzo vtors, mmzao cosravlmt o úmro opraçõs cssáras para s cotrar o mlhor vtor caato; ) A cofcação é uma opração xação, smlhat ao a quatzação vtoral, so qu o coboo também po sr vsto como a magm cal o procsso cofcação, porém, apas uma tração é sufct para rcupração a magm cofcaa. Obsrva-s através os rsultaos comparaçõs obtos as smulaçõs rsultats as mplmtaçõs os três cofcaors, qu os mcasmos utlzaos a cofcação Fractal_VQ, tas como a utlzação a DCT a scolha a trasformação gométrca mas

7 aquaa a costrução um coboo (oma-pool) gérco bastat ruzo, comparao ao oma-pool um cofcaor fractal puro, o toram um sstma comprssão tão bom quato o cofcaor fractal puro, m trmos PSNR, com mlhors taxas comprssão aa, com uma rução cosrávl o sforço computacoal cssáro para a cofcação/cofcação mags gtas. Tmpo (s) La Coupl Swa Fractal Puro Fractal_VQ a,36 bpp Fractal_VQ a,39 bpp Fgura - Gráfco comparatvo o tmpo procssamto tr o cofcaor fractal puro o cofcaor Fractal_VQ 8. Coclusão O squma cofcação aprstao st trabalho, rfrcao como Fractal_VQ, globa a comprssão fractal a quatzação vtoral cosst m um molo qu xplora a ssêca ssas uas téccas. A proposta fo svolvr um sstma cofcação qu aglomrass a habla a cofcação fractal m xplorar a propra auto-smlhaça xstt as mags gtas, alaa à prformac alta taxa comprssão proporcoaa pla quatzação vtoral. Os rsultaos aprstaos a sção mostram qu o cofcaor Fractal_VQ proporcoa bos rsultaos, mato uma boa fla, tato para mags qu possum lvao grau auto-smlara como para mags com maors ívs talhs. 9. Rfrêcas Bblográfcas [] R. M. GRAY, Vctor quatzato, IEEE ASSP Magaz., p. 4-9, apr [] Y. FISHER, Fractal Imag Comprsso, SIGGRAPH 9 cours ots, 99. [3] A. E. JACQUIN, Fractal Imag Cog : A Rvw, Procgs of th IEEE, Vol.8, No., Oct. 993 [4] A E. JACQUIN, Imag cog bas o a Fractal Thory of Itrat Cotractv Imag Trasformatos, IEEE Trasactos o Imag Procssg, pp. :8-3, Ja 99. [5] J. H. JENG, J. R. SHYU, Fractal Imag Comprsso wth Smpl Classfcato Schm Frqucy Doma, IEEE Elctrocs Lttrs, Vol. 36, No. 8, pp. 6, Apr.. [6] Y. LINDE, A. BUZO, R. M. GRAY, A Algorthm for Vctor Quatzr Dsg. IEEE Trasactos o Commucatos., vol. COM-8, p , ja. 98. [] T. N. THAO, A Hybr Fractal-DCT Cog Schm for Imag Comprsso, I Proc. ICIP-96 IEEE Itratoal Cofrc o Imag Procssg, Lausa, Sp [8] T-K. TRUONG, J-H. JENG, I. S. REED, P. C. LEE, A. Q. LI, A Fast Algorthm for Fractal Imag Comprsso Usg th DCT Ir Prouct, IEEE Trasactos o Imag Procssg, Vol 9, No 4, pp , Apr.. [9] B.WOHLBERG, G. JAGER, A Rvw of th Fractal Imag Cog Ltratur, IEEE Trasactos o Imag Procssg, Vol 8, Nº, pp.: 6-9, Dc [] M. BARNSELY, Fractals Evrywhr, Acamc Prss, Sa Dgo, 989. [] M. BARNSELY, L. HURD, Fractal Imag Comprsso, AK Ptrs, Wllsly, 993. [] Y. FISHER, Fractal Imag Comprsso: Thory a Applcato, Sprgr-Vrlag, Nw Yor, 994. [3] A. K. JAIN, Fuamtals of Dgtal Imag Procssg. Eglwoo Clffs, NJ: Prtc Hall, 989. [4] B. B. MANDELBROT, Objctos Fractas. Lsboa: Grava, p. [5] B. B. MANDELBROT, Th Fractal Gomtry of Natur. Nova Iorqu, p.