CVRM / Centro de Geo-sistemas ANÁLISE GEOESTATÍSTICA DE DADOS. António Jorge Sousa

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1 CVRM / Ctro d Go-sstmas AÁLISE GEOESTATÍSTICA DE DADOS Atóo Jorg Sosa Jaro d

2 AÁLISE GEOESTATÍSTICA DE DADOS ITRODUÇÃO as Cêcas da Trra é sal a ocorrêca d qadros mltvarados d dados q podm sr orgazados sob a forma d ma matrz d dmsão p las por p colas. A matrz d dados cotém os valors obsrvados m obctos dads statístcas o amostras. Cada m dos obctos é caractrzado plos valors rsptats a p varávs atrbtos. As varávs podm tomar valors mércos, cotíos o dscrtos, o valors qaltatvos códgos. Trata-s, portato, d qadros d dados do tpo dos tratados plos procdmtos statístcos mltvarados. o tato, aprstam, m gral, ma caractrístca clsva q advém do facto d as varávs srm mddas o obsrvadas m amostras rcoldas m potos o volms ctrados sss potos localzados o spaço gográfco. Cada ma das amostras é, assm, caratrzada também por m coto d, o 3 coordadas spacas a q pod acrscr, m dtrmado tpo problmas, coordada tmporal. Trata-s, portato, d dados rgoalzados, a mdda m q os valors tomados plas varávs dpdm da localzação spacal. Em gral, os qadros d dados são d grads dmsõs, plo q é cssáro cotrar métodos d aáls q prmtam trar a formação rlvat da massa brta d dados. st trabalo passa-s m rvsta dvrsas téccas co obctvo é a dscrção d qadros d dados. Partclar atção srá dada aos métodos factoras, d bas gométrca, q prmtm a vsalzação dos dados m spaços d dmsão rdzda, gdrada por m pqo coto d factors q sttzam os dados. a prmra part do trabalo, rlmbra-s os fdamtos tórcos da Aáls m Compots Prcpas ACP, método clído a famíla dos métodos factoras partclarmt adaptado para trar as caractrístcas strtras sscas d m qadro d dados qattatvos. o tato a ACP da scapar ma caractrístca crcal dst tpo d dados q é o s caráctr rgoalzado. As varávs aprstam, m gral, ma strtra spacal q, salvo casos partclars, ão é dtctada m toda a sa compldad por st método. A cada m dos lmtos da amostra dá-s também, vlgarmt, o om d amostra. Cada amostra é também caractrzada plo volm /o stat d tmpo od a varávl, é mdda. A sta caractrístca dá-s o om d sport da amostra.

3 Após rvsão das prcpas mddas d cotdad spacal, trodz-s as três téccas clars da Aáls Gostatístca d Dados. Em comm basam-s a gralzação da ACP por trodção da strtra spacal das varávs. A prmra, domada Aáls Factoral d Corrgoalzaçõs, é ma técca pramt dscrtva, basada a aáls das mddas d cotdad prmtal das varávs. A sgda, domada Aáls Factoral do Modlo Lar d Corrgoalzação, prsspõ a modlação préva da strtra spacal das varávs, basa-s a aáls das matrzs d corrgoalzação tórcas. Prtd dtfcar as caractrístcas strtras sscas, domados factors rgoalzados compots spacas, d m coto d dados rgoalzados. A Krgagm Factoral, ao prmtr stmar aqls factors compots dtfcados pla Aáls Factoral do Modlo Lar d Corrgoalzação, possblta a sa cartografa spacal, facltado a trprtação. As potcaldads d cada ma das téccas aprstadas são vdcadas através d casos d stdo lstratvos. A matrz d dados srá rprstada pla matrz, cas colas, rprstadas por z,,,p, corrspodm às p varávs. As coordadas spacas srão rprstadas pla matr X. As coordadas spacas da amostra srão rprstados por. O lmto gérco d, rprstado por z o z, corrspod ao valor da varávl mddo o obsrvado a amostra rcolda o poto d coordadas. AÁLISE EM COMPOETES PRICIPAIS A Aáls m Compots Prcpas fo formlada dpdtmt por Parso 9 Hottlg 933. Trata-s d ma técca d aáls d dados q pod sr trodzda rcorrdo a coctos gométrcos, m q as varávs orgas, tomadas como os dfdo m spaço od s poscoam as amostras, são sbsttídas por otras varávs os factors, obtdos à csta d m ovo sstma d os q s asta mlor à vm costtída plas amostras. Esta é ma formlação mas próma da d Parso. Em gral, as varávs d bas são mto trogéas, aprstado valors médos varâcas mto dfrts, poddo star prssas m dads d mdda d atrza dvrsa. Os rsltados da aáls dsts dados brtos podm rflctr apas o fto das dfrts dads %, ppm, Kg, m, cm, m q cada ma das varávs fo mdda.

4 Para rdzr st fto é covt trasformar a matrz d dados ma otra T, co lmto gérco t é dado por: od t z z s são, rspctvamt, a méda artmétca o dsvo padrão dos valors tomados pla varávl. As ovas varávs t são admsoas com méda la varâca tára. A matrz T pod sr assmlada a das vs d potos dsttas coform o spaço scoldo: - Cada la d T é m vctor q rprsta a posção d m dvído o spaço das varávs R p. - Cada cola d T é m vctor q rprsta a posção d ma varávl o spaço dos dvídos R Como á rfrdo, o obctvo gérco dos métodos factoras d aáls d dados, m gral, da Aáls m Compots Prcpas, m partclar, é o d cotrar m ovo sstma d os q s ast o mlor possívl, d acordo com dtrmado crtéro, a stas vs d potos. o caso da aáls m R p, o crtéro dos mímos qadrados codz, a q os os factoras sam dados plos vctors própros da camada matrz d érca da vm das amostras, dada por T T Prra & Sosa, 988. Ests ovos os stão rarqzados plos valors própros λ da matrz d érca. Aalogamt, o caso da aáls m R, o crtéro dos mímos qadrados codz, a q os os factoras sam dados plos vctors própros v da camada matrz d érca das varávs dada por TT Prra & Sosa, 988. Ests ovos os stão rarqzados plos valors própros µ da matrz d érca. Mostra-s q, admtdo q p<, os p prmros valors própros d TT são gas aos valors própros d T T z s qato os rstats -p são los. Por otro lado, prova-s Prra & Sosa, 988 q os p prmros os factoras são colars stão rlacoados plas rlaçõs d trasção sgts: v λ λ T T v 3

5 Os prmros os factoras, co úmro scoldo d acordo com dtrmados crtéros, dv plcar ma proporção mportat da érca total Prra & Sosa, 988, rprstam os traços prcpas prsts o qadro d dados. A aáls da procção das amostras das varávs os plaos formados plos prmros os factoras, prmt vdcar, através das promdads oposçõs tr varávs tr amostras, as prcpas strtras prsts. É d otar q as rlaçõs d trasção prmtm a procção smltâa das amostras das varávs os msmos plaos factoras. Esta possbldad, q aprsta vatags vdts a trprtação dos rsltados, m smpr é aprovtada dvdamt. Cocl-s, portato, q a Aáls m Compots Prcpas s basa a tracção dos vctors valors própros da matrz d érca gérco é dado por: r t t z z z z s s T T A matrz d érca cosst, portato, a matrz d corrlação tr varávs. co lmto A Aáls m Compots Prcpas fo tlzada para dscrvr a strtra d m coto d 49 amostras do azgo d Moo, od são cocdas os tors d 6 lmtos qímcos: S, F, C,, Pb, As Sosa, 989a. as fgras aprsta-s, rspctvamt, as procçõs das varávs das amostras o prmro plao factoral.5 8. % CP 8. %.5 C Pb As S F.5. C S F %.5.5 Fgra Procção das varávs o º plao factoral -. CP 44.6 % Fgra - Procção das amostras o º plao factoral Vrfca-s q o o Pb aparcm tos, rflctdo a lvada corrlação stt tr ls, o msmo acotcdo com o S o F. A oposção tr stas varávs, plcam o o qalqr ma dstas varávs aprsta coordadas 4

6 st o com valors absoltos mto prómo d, tradzdo portato corrlaçõs mto lvadas com st o. O C é o rsposávl plo º o factoral, vdcado m comportamto dpdt fac aos pars d varávs rfrdos atrormt. Rlatvamt ao As, mal rprstado st plao, ada s pod coclr. o caso das amostras vrfca-s q stas formam ma vm cotía d potos, dsa o 4º qadrat, corrspoddo a valors lvados d S F a procção smltâa das varávs faclta a ltra do gráfco, dsprsado-s ao logo do o do o. MEDIDAS DE COTIUIDADE ESPACIAL DAS VARIÁVEIS Salvo m casos mto partclars raros, a corrlação tr pars d varávs, porq ão toma m atção a sa strtra spacal, é m parâmtro dmasado pobr para mdr a dpdêca spacal tr ssas varávs. É cssáro trodzr otras mddas q tomm m cota o caráctr rgoalzado das varávs. Usalmt, é costm dfr três fçõs q prmtm qatfcar a varação cota d varávs rgoalzadas: a covarâca spacal crzada, a corrlação spacal crzada o varograma crzado. Estas mddas basam-s os valors das varávs mddos m pars d amostras sparadas gografcamt plo vctor vr fgra 3. Y X Fgra 3 Rprstação sqmátca d pars d amostras sparadas plo vctor. Para os valors da varávl mddos as amostras cas d cada par, pod-s calclar os valors médos m as varâcas s : m s [ m ] 5

7 6 Aalogamt, pod-s calclar os valors médos m as varâcas σ dos valors da varávl mddos as amostras fas d cada par: m [ ] m s A partr dsts parâmtros pod-s dfr as mddas d cotdad spacal 3 rfrdas atrormt: Covarâca Espacal Crzada m m C od é o úmro d pars d potos sparados d. Corrlação Espacal Crzada Corrlograma crzado s s C r Varograma Crzado [ ][ ] γ Vrfca-s q, ao cotráro do varograma q é smpr ma fção smétrca, as das prmras fçõs são, m gral, assmétrcas, sto é: C C r r. ot-s q, fazdo, cotra-s as mddas d cotdad spacal smpls moovaradas. st caso, é fácl vrfcar q as três fçõs são smétrcas. As mddas d cotdad spacal smpls crzadas são podrosos strmtos d dtcção das strtras spacas vdcados plos dados. Assm, é possívl vrfcar a prsça o asêca d asotropas drccoas, a omogdad spacal o gra d cotdad spacal das varávs Sosa & Mg, 99; Goovarts, 997. O cofct d corrlação clássco corrspod à corrlação crzada qado. Estrtralmt é, portato, ma mdda bastat mas pobr, como s lstra o mplo sgt. Em dtrmada stação md-s, daramt ao logo d aos, os valors da plvosdad da pzomtra d m dtrmado aqífro. atralmt a 3 Utlza-s o sal para smbolzar q as mddas rfrdas são amostras prmtas.

8 pzomtra é flcada pla plvosdad, o tato o cofct d corrlação calclado é d apas.344. a fgra 4 aprsta-s o corrlograma crzado das das varávs. Vrfca-s q st m atraso d apromadamt das o mpacto da plvosdad sobr a pzomtra. O valor da corrlação é mámo para, atgdo o valor d.843. Vrfca-s ada q a fção ão é smétrca m toro da orgm, mbora sa apart ma smtra rlatvamt a. r das Fgra 4 Corrlograma das varávs pzomtra plvosdad. Em goqímca é vlgar cotrar staçõs smlats, provocada pla dfrt mobldad dos lmtos qímcos o mo. Vrfca-s, portato, q a Aáls m Compots Prcpas, porq basada a corrlação a passo zro tr as varávs é sfct para sttzar a strtra spacal das varávs, dvdo sr complmtada com a aáls das matrzs d corrlação spacal para dfrts passos. A sta técca dá-s o om d Aáls Factoral d Corrgoalzaçõs. A Aáls Factoral d Corrgoalzaçõs fo tlzada para dscrvr a strtra spacal do coto d dados d Moo á rfrdos. a fgra 5 aprsta-s os rsltados obtdos para. Vrfca-s q os rsltados são smlats tr s aos da Aáls m Compots Prcpas. A prcpal dfrça rsd o facto d qado amta o C tdr a s opor ao par formado plas varávs Pb para sta oposção é rsposávl plo formação do º o, qato o par S, F plca o o. Para, ota-s q o º o factoral é plcado plo As, qato o C stá mal rprstado st plao. Vrfca-s, portato, q a strtra das varávs vara, sgfcatvamt, com. 7

9 % % As As Pb C S F -.5 Pb C - - S F % %.5.5 Fgra 5 - Aáls Factoral das Corrlaçõs Espacas Moo para ITRODUÇÃO À TEORIA DAS VARIÁVEIS REGIOALIADAS Raramt a dscrção dos dados rgoalzados costt o obctvo fal d m stdo statístco. Habtalmt, prtd-s caractrzar a poplação d q o coto d dados costt ma amostra. Tora-s, tão, cssáro cotrar m modlo q rprodza as prcpas caractrístcas dssa poplação. É abtal cosdrar as varávs rgoalzadas como ma ralzaçõs d ma fçõs alatóras. Sa m coto d p varávs rgoalzadas cocdas m potos amostras, com coordadas : { ;,... ;,..., p} Cocptalmt, pod tomar-s as p varávs rgoalzadas z como ma ralzação d ma Fção Alatóra p-dmsoal. Esta ralzação é, abtalmt, úca, plo q a frêca statístca só é possívl s a Fção Alatóra vrfcar algmas pótss d stacoardad. st trabalo cosdra-s apas dos tpos d stacoardad: stacoardads d ª ordm trísca Sosa & Mg, 99; Goovarts, 997. a póts d stacoardad d ª ordm os dos prmros momtos são costats, ão dpddo da localzação spacal: E { } m {[ m ][ m ]} C E 8

10 E { } m C A fção C é a covarâca spacal da varávl, q dpd apas do vctor. A stacoardad da covarâca spacal mplca a stacoardad da varâca: Var { } C ot-s q a stacoardad da covarâca crzada é mas fort do q a stacoardad da covarâca smpls, sto é, msmo q cada ma das varávs sa stacoára d sgda ordm, ada garat q a corrgoalzação o sa, pos a covarâca crzada C pod ão dpdr apas do vctor. A póts trísca mpõ a stacoardad dos dos prmros momtos dos acréscmos spacas. Assm, sdo os acréscmos a passo dados por: ε - aqlas das codçõs d stacoardad são prssas por: E { ε } E { ε ε } γ E [ ε ] γ { } O varograma crzado tr as varávs é dado por: γ E { ε ε } o caso d stacoardad d ª ordm, o varograma as covarâcas vrfcam a sgt rlação, q s obtém dsvolvdo : γ [ C C ] C - Vrfca-s assm q o varograma é ma fção mas pobr do q a covarâca sdo qvalts apas o caso frqt m q stas são smétrcas. o tato, o varograma 4 põ problmas d stmação mos dlcados do q as covarâcas smpls crzadas, pos stas ão podm sr stmadas sm vzamto provocado plo dscocmto da méda a passo, q tm d sr, também, stmada. 4 O varograma é também ma fção mas gral do q a covarâca o a corrlação spacas, a mdda m q stas das só têm stêca a póts d stacoardad d ª ordm, qato o varograma é também dfdo a póts trísca. Jstfca-s, assm, o so gralzado do varograma m gostatístca. 9

11 O cálclo do varograma crzado prmtal pod fazr-s plo stmador sgt, m q a spraça do prodto dos acréscmos é sbsttída pla méda spacal: γ [ ][ ] od é o úmro d pars d potos sparados d. AÁLISE FACTORIAL DO MODELO LIEAR DE CORREGIOALIAÇÃO São frqts as corrgoalzaçõs q podm sr modladas pla soma d váras strtras mbrcadas, rvlado ma scssão d fómos d trasção a dfrts scalas spacas q actam d modo aálogo para as p varávs. Etão cada m dos varogramas smpls crzados pod rdzr-s à sobrposção d strtras mbrcadas, cada ma dlas modlada por m sqma tórco sférco, gassao, lar, tc.. Cada varograma é dado por: γ b γ o qadro do modlo lar d corrgoalzaçõs Goovarts, 997 para cada scala, a forma a ampltd dos varogramas são as msmas para todas as varávs. st modlo, os varogramas smpls crzados γ são dados por: γ b γ od b é o patamar do varograma crzado para as varávs para a strtra. Em gral, é da ordm d o 3, o q prmt rdzr o problma da dscrção strtral das varávs corrlacoadas spacalmt através d o 3 matrzs B, dfdas postvas, d dmsão p p, ca soma, o caso d stacoardad d ª ordm, rprodz a matrz varâca-covarâca dos dados: σ b st caso, as varávs podm sr prssas como combaçõs lars d factors ortogoas y : p l l y l

12 m q os cofcts vrfcam a rlação sgt: b p l Ests cofcts podm sr obtdos por dagoalzação das matrzs d corrgoalzação B : l l l µ v l l m q µ é o valor própro d ordm l da matrz B v l é a coordada d ordm l do vctor própro q l stá assocado. O modlo lar codz à dcomposção da corrgoalzação ma sér d strtras assocadas a dfrts scalas. Para cada scala, obtv-s ma matrz varâca-covarâca, d trmo gral b, q dá cota do sstma d trdpdêcas tr as p varávs para a scala. o caso d stacoardad d ª ordm, pod-s, também, dfr a matrz d corrlação R, rlatva a cada scala. Em parallo com a Aáls m Compots Prcpas basada a matrz das corrlaçõs prmtas, pod agora factorzar-s cada ma das matrzs R, obtdo-s assm ma síts da strtra das varávs, rlacoada agora com a scala spacal do fómo. A sta técca, trodzda por Wackragl 988, dás o om d Aáls Factoral do Modlo Lar d Corrgoalzação. Spodo q cada ma das strtras spacas mbrcadas fo trprtada com bas os ss varogramas, o q codz à dcomposção da varâca total m trmos - o fto d ppta, o patamar da strtra, o patamar da strtra, tc. - pod agora trprtar-s cada ma das strtras spacas pr s, do poto d vsta da Aáls d Dados. Assm os factors rsltats da strtra ppítca stão rlacoados com dtrmado coto d varávs, os q s obtêm a partr da ª strtra com otro coto d varávs, tc. Erqc-s dst modo a aáls factoral global através da cosdração da factorzação das strtras dfrts, cada ma dlas lgada a ma scala do fómo rgoalzado. o caso d stdo do azgo d Moo aprstado atrormt, os varogramas smpls crzados foram modlados por m modlo lar d corrgoalzção costtído pla sobrposção d 3 strtras: ma ppítca das sfércas, com ampltds d 36 mtros, rspctvamt Sosa, 989a. as fgras 6 a 9 aprsta-s os rsltados da Aáls Factoral do Modlo Lar d Corrgoalzação a fgra, para comparação, rpt-s os rsltados da Aáls m Compots Prcpas.

13 % %.5 As.5 As C -.5 Pb C S F -.5 Pb S F %.5.5 Fgra 6 - Procção das varávs o º plao factoral fto d ppta %.5.5 Fgra 7 - Procção das varávs o º plao factoral ªstrtra.5 3. %.5 8. %.5 As.5 C Pb -.5 C F S -.5 Pb As S F %.5.5 Fgra 9 - Procção das varávs o º plao factoral ªstrtra %.5.5 Fgra - Procção das varávs o º plao factoral ACP Os rsltados obtdos para cada ma das strtras mostram, o caso do fto d ppta da ª strtra, os msmos traços gras vdcados pla Aáls m Compots Prcpas Sosa, 989a. As procçõs das varávs o º plao factoral da ª strtra aprsta, o tato, ma rlação ova: O C passa a mostrar, a sta scala, ma lvada corrlação gatva com o par costtído plo Pb, sto é, a strtra mas cotía os tors m cobr sgm, d forma vrsa, os tors m zco cmbo: o comportamto coto dstas três varávs dpd da scala cosdrada. Esta coclsão, q ão pod sr rtrada dos rsltados da ACP, stá d acordo com a da gralzada d q, o azgo d Moo, o C s coctro prfrcalmt a mro qato o Pb ocorrm prdomatmt a tcto da massa. o tato, localmt, o C tm m comportamto q é dpdt dos valors d Pb.

14 3 KRIGAGEM FACTORIAL D acordo com o modlo lar d corrgoalzação, as varávs rgoalzadas podm sr trprtadas como combaçõs lars d m coto d factors rgoalzados ortogoas: p l l l y Ests factors rgoalzados podm sr stmados a partr dos valors amostras plo sgt stmador Wackragl, 995: p l l z y λ tlzado o sstma d Cokrgagm Factoral Wackragl, 995:,...,,..., ;...,, l p l l p p β β β β β λ γ µ γ λ Por sa vz, vdcado os varograma a prsça d strtras, é atral modlar cada ma das varávs pla soma d compots spacas, dpdts tr s, cada ma das qas corrspod a ma dtrmada scala, a q s sobrpõ a méda: m A krgagm factoral Goovarts, 997 prmt stmar larmt aqlas compots, m cada poto : λ m q é o úmro d amostras tlzadas a stmação d. Os podradors λ são obtdos rsolvdo o sstma d krgagm factoral: λ γ µ γ λ

15 m q γ β rprsta o valor do varograma tr β. As compots spacas assm stmadas podm sr cartografadas sparadamt, prmtdo dtfcar spacalmt as zoas com maor afdad com cada ma das scalas d varabldad. A krgagm factoral, fo tlzada o tratamto dos tors m C os solos, obtdos m dvrsas campaas d prospcção fctadas plo Srvço d Fomto Mro ma ára com crca d 5 km localzada o Alto tr as vlas d Mora Fcalo. A aáls dos varogramas mostra, q podm sr modladas pla soma d fto d ppta das strtras sfércas Sosa, 995. a fgra stão rprstadas, as compots spacas corrspodts às varas strtras do do C, rspctvamt. Valors brtos Compot local Compot ppítca Compot rgoal Fgra - Cartografa do zco Vrfca-s q a cartografa da compot rgoal do marca claramt as prcpas strtras ltologas carboatadas prsts; a dstrbção rgoal do 4

16 stá rlacoada prcpalmt com as dolomas câmbrcas q aprstam fdos mto altos, cotrastado com os baos fdos da cobrtra co-atropozoca fdos trmédos d otras ltologas. As cartografas das compots local ppítca do ão vdcam rlação ítda com a ltologa dfm bm as strtras mralzadas rcas m zco cmbo Prgça, Vla Rva, Carrasca SE, Val d Gro Mrla. A mralzação d Efrmaras é assalada apas a cartografa da compot ppítca. Valors brtos Compot local Compot ppítca Compot rgoal Fgra - Cartografa do Cobr A cartografa da compot rgoal do C marca mto bm as ltologas a q o Cobr ada assocado rocas vlcâcas stos do Slúrco assm como a strtra das Efrmaras. As mas da Prgça d R Goms stão bm marcadas as cartografas da compot local ppítca. BIBLIOGRAFIA Crss, Statstcs for spatal data aalyss. Wly-Itrscc, 9 pp. Goovarts, P Gostatstcs for atral Rsorcs Evalato. Oford Uvrsty Prss, w York, 56 pp. 5

17 Prra, H. G. & Sosa, A. J Aáls d Dados para o Tratamto d Qadros Mltdmsoas. CVRMUTL, IST, 5p. Sosa, A. J. 989a - Gostatstcal Data Aalyss: A Applcato to Or Typology. M. Armstrog Ed., Gostatstcs, 85-86, Klwr Acadmc Pblsrs. Sosa, A. J. 989b - Gostatístca Mltvarada. LMPM, IST, p. Sosa, A. J. & Mg, F Elmtos d Gostatístca. LMPM, IST, 63p. Sosa, A. J Cotrbção da Krgagm Factoral para a Cartografa Goqímca. Go-Sstmas, 3, 33-4, 994. Wackragl, H Gostatstcal Tcqs for Itrprtg Mltvarat Spatal Iformato. Qattatv Aalyss of Mral ad Ergy Rsorcs, ATO ASI Srs, C 3, , Rdl, Dordrct, pp Wackragl, H Mltvarat Gostatstcs. Sprgr, p. 6