Elementos Finitos. são perpendiculares à aresta comum às duas facetas, são iguais e têm sentidos tais que

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1 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos Elmntos Fntos I. Estaos Planos nsão Dformação.. Estátca Cnmátca Pças Lamnars on são as forças o corpo o lgação (massa, prssão fnação, tc.) σ σ ma vz q as componnts as tnsõs tangncas, q actam m as factas ortogonas são prpnclars à arsta comm às as factas, são gas têm sntos tas q convrgm amas para a arsta comm o vrgm amas a msma. É o q chamamos rcproca as tnsõs tangncas. Estas qaçõs aplcam-s a strtras lamnars, lgaas spssas. CIEMÁIC Samos q a formaa fnal m corpo po sr rprsntaa como a acção conjnta formaçõs pras (xtnsõs storçõs) movmntos corpo rígo (translaçõs rotaçõs). ssm,

2 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos ESÁIC x x x x O : é a xtnsão cort saa m cálclo tnsoral γ é a xtnsão cort saa m ngnhara (tamém chamaa storção)

3 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos σ x x σ + σ + x x σ. Rlaçõs Constttvas Elastca para Pças Lamnars Como hpóts as, sponha-s q o matral é sotrópco, sto é, tm as msmas caractrístcas m toas as rcçõs q tmos lastca lnar. σ D ; C σ on D é a matrz lastca (tnsõs ntrnas rlaconaas com xtnsõs) C é a matrz rcproca (xtnsõs rlaconaas com tnsõs ntrnas). ( ) Estaos Planos nsão Consramos ma strtra lamnar não vamos consrar tnsõs na rcção z. σ σ σ Pomos ctar como xmplo placas fnas q srgm m prolmas Engnhara Estrtras. E - υ D υ υ ( υ) on υ é o cofcnt Posson E é o mólo lastca.

4 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos ( ) Estaos Planos Dformação Spõm-s q o matral não po alongar na rcção z. amém aq, pomos ctar como xmplo fnaçõs, arragns, tnsõs m túns contas. ( υ) E D υ (- υ)( υ) υ ( υ) ( υ) on, mas ma vz, υ é o cofcnt Posson E é o mólo lastca. té agora convrtmos slocamntos m xtnsõs (cnmátca), xtnsõs m tnsõs (rlaçõs constttvas) as tnsõs m forças (státca).há a ncssa passar o contíno para ma scrtzação fnta (aproxmaa), para o q s tm fnr o molo aproxmação a aoptar.. Molos proxmação O molo mas smpls é o corrsponnt à ntrpolação lnar, no qal o polnómo é fno por os pontos. Os valors a fnção f(x) para x comprno ntr x x são aproxmaos para, f(x) (x)f + (x)f 4

5 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos FUÇÕES BÁSICS + st caso, pomos ntrozr m sstma coornaas homogénas,. Caso (x), Caso (x), Como vamos consrar ma únca coornaa ntro o ntrvalo, (x) ; (x) 5

6 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos Para o molo lnar o polnómo tm ma forma caractrístca mto smpls, rlaconano as coornaas o sstma. m molo ntrpolação qarátco sram ncssáros três pontos para fnr o polnómo. Caso foss xprsso m trmos as coornaas homogénas, vrfcar-s-a q ra qarátco m trmos. Vamos spor q a formaa caa lmnto po sr rprsntaa por m polnómo o º gra. Já samos q qano s consram os ftos as cargas axas sta formaa não é ma aproxmação corrcta. lém sso, vamos tr ncssa fctar ntrpolaçõs na fnção f(x) ao q só a conhcmos m algns pontos spcífcos prtnmos prvr qal o s valor notros pontos. o caso a aproxmação por m polnómo º gra, por-s-a passar ma paráola por três pontos. Qano não for possívl calclar os ntgras através as xprssõs analítcas pom tlzar-s métoos nmércos como, por xmplo, a qaratra Gass, q xg a ntgração nmérca pontos ntrors. 6

7 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos S além os valors as fnçõs m os pontos, tamém poríamos trmnar os valors as rvaas nsss pontos, vamos tr qatro lmntos para fnr m molo cúco. st capítlo, o sto strtras lamnars sjtas a staos planos srá fto ma forma analógca à o comportamnto as vgas à flxão : O ntrvalo varação a fnção corrspon a caa lmnto o mmro; Os pontos vão sgnfcar os nós o xtrmas as arras a scrção consraa. 4. plcação aos Elmntos Planos ma placa m lgar s consrar apnas m xo, tal como no sto pças lnars, vamos tr ma ára. Consra-s q os slocamntos o lmnto s vrfcam no própro plano. st caso m lgar ma acssa tmos as coornaas q tm sr rprsntaas no spaço. 7

8 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos S a fgra gométrca a consrar for m trânglo o m qarlátro m q os nós corrsponm aos vértcs, pos o carrgamnto os nós slocam-s para ma nova posção. o molo ntrpolação lnar os laos mantém-s rctos a matrz B é lnar. o molo formação qarátco, to s va passar o msmo moo. gora vão sr acrscntaos pontos corrsponnts ao mo os laos a matrz B xa sr lnar. 4.. Molo ranglar para Dslocamntos Lnars Consram-s ss gras lra corrsponnts aos slocamntos horzontas vrtcas os vértcs. 8

9 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos Dao m ponto no plano ntror, vamos trmnar as fnçõs coornaas m trmos, a partr os valors f, f f. f(x, x ) (x, x )f + (x, x )f + (x, x )f Para otrmos a fnção ásca vamos fazr f f. sprfíc graa va sr, Dao ma orgm o snto os xos coornaos, as fnçõs áscas vão varar m trmos x x, plo q não nos ntrssa. S consrarmos m ponto ntror fnrmos as áras parcas m q s v o trânglo lmntar, opostas ao nó corrsponnt, vamos otr m novo sstma coornaas homogénas. : ára parcal ; : ára total (o trânglo )! Σ ; 9

10 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos Osrvaçõs : ) Qano o ponto ntror P s sloca m rcção ao nó,!!. P (,, ) (,,) qalqr ponto o trânglo po sr rprsntao m trmos as coornaas cartsanas o homogénas. ) posção o cntro grava G corrspon a,, ) Est sstma coornaas áscas não vara com x x, pnno apnas a localzação P f α + α + α m q vamos trmnar os valors α, α α acoro com os valors conhcos f. o ntror o trânglo os slocamntos horzontas vrtcas são, rspctvamnt, Então, vamos tr x x x x x x

11 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos + + x x x x on, x x + x + x Mas, x as xtnsõs são constants ntro o trânglo lmntar. x x x x x x x x Da xprssão antror, a a x a x on, ára() x x x x ; a x x ; x x ára() x x x x ; a x x ; x x ára() x x x x ; a x x ; x x

12 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos, Um molo slocamntos lnar po sr ao rctamnt m trmos, O molo ntrpolação lnar conz a [ ] tnno ao sstma qaçõs q rlacona as coornaas cartsanas as homogénas frncano m orm a x x, rspctvamnt, vamos tr x x + x + x + + x x + x + x a + a + a a 4.. Rlaçõs Compatla O vctor as xtnsõs é ao por, B

13 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos a a a a a a x x x x Rarranjano st sstma qaçõs para scrvr as qaçõs caa nó a a a a a a 4.. Rlaçõs Eqlíro Elmntos Enrga Dformação otal é aa por, ( ) ( ) V D U

14 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos on V é o volm caa lmnto nfntsmal Enrga Dformação é, portanto, aa pla ára lmtaa sprormnt pla lnha ncaa. Como m caa lmnto tranglar, vamos tr xtnsõs tnsõs. Enrga otal Potncal é aa por, V U W on W é o traalho ralzao plas forças lgação, forças sprfícs as forças noas (caa lmnto fnto stá lgao aos otros por ntrméo nós, sno apnas sts q transmtm as forças noas, F ). O traalho ralzao é ao pla soma os trmos o tpo,. V D V D V + D V V p s F Introzno o molo lmntos fntos, ; B V B D B V D B V + D V V p s F 4

15 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos 5 Dst moo, V torna-s ma fnção algérca os slocamntos noas, ao q toos os ntgras rprsntam valors constants. Das rlaçõs qlíro caa lmnto, tmos q V tm sr staconára m rlação a (qval à aplcação a Dala Estátco-Cnmátca), sto é : F s p V V D B V D B B V s p V V D B V D B B F o caso consrarmos os ftos nâmcos para o cálclo lmntos fntos, pomos rprsntar as qaçõs movmnto rlatvas aos nós a strtra, a partr a Enrga Cnétca otal, J. ρ V J on ρ é a nsa o matral. Spono q no molo lmntar vlocas a matrz é npnnt o tmpo t, tmos, ρ V J Usano as qaçõs Lagrang, J J t + V o q á, + s p V V D B V D B B V F

16 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos Comntáros :. Estamos a tlzar técncas lmntos fntos, scrtzano a strtra lamnar m trânglos lmntars aos qas stamos a trmnar as propras;. É possívl tr molos lmntars asaos m sforços ntrnos não m slocamntos noas;. O slocamnto fnal a strtra é gal a soma as contrçõs os lmntos tranglars. Vamos ssttr o prolma no contíno, ncalmnt ao por qaçõs frncas parcas, por m conjnto qaçõs lnars; 4. o caso o Métoo as Dfrnças Fntas vão-s ntgrar as qaçõs frncas nma grlha rglar por m métoo nmérco aproxmao; Pomos scrvr, V t,sno t a spssra a laj s t l matrz rgz srá, K B D B t B D B t 4.4. Vctor as Cargas plcaas Vctor as cargas aplcaas (consstnt com a formlação m lmntos fntos) : ( ) Extnsõs ncas : F B D t B D t ( ) Forças lgação : F t t sno valors constants. Para fctar a ntgração tlzano a scrtzação antrormnt ncaa, 6

17 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos 7 t t F Como, a fórmla a q corrspon o ntgral r q p srá, )! (!!! r q p r q p Exmplo : (ao q! ) ssm, F t, o sja, a força lgação total va para caa nó.

18 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos Molo Dformação Qarátco O molo formaçõs qarátco (consrano pontos ntrméos) va ar, a) Para m lmnto lnar (arra) : on 4 ) Para m molo tranglar : ) ( ) ( ) (

19 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos ( ) Forças sprfíc : Fp p l t l p t on p é m valor constant. Estas pom sr strías ao longo a sprfíc, pono varar qr a sa ntnsa, qr o ânglo aplcação. Exprmm-s m na força por na ára são gralmnt tracção. força total é pos aa pla ntnsa força vzs a ára a q corrspon. F p l p l p t p q Como a fórmla a q corrspon o ntgral l srá, p! q! l ( p + q + )! Exmplo : l l ssm, F caa nó. p l p p t, o sja, a força aplcaa à sprfíc va para p p 9

20 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos 4.6. Matrz Massa (análs nâmca) o caso xstrm ftos nâmcos, tmos ntrozr os trmos rlatvos ao snvolvmnto a Enrga Cnétca, ρ + V V D B B Forças noas os frnts tpos on ρ é a nsa o lmnto tranglar. Otmos assm m prolma consttío por m conjnto qaçõs frncas, fnas para os lmntos m q s vão scrtzar a strtra. s forças massa corrsponm ao trmo ρ V são proporconas à aclração os slocamntos noas. aclração fn-s como a sgna rvaa m orm ao tmpo os slocamntos noas. matrz a massa srá, ρ ρ t t M ρ ρ M t t Mas,

21 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos Da fórmla gral, 6 ρ M t s Forças Rsttção assocaas à rgz a strtra tm m comportamnto smlhant a ma mola : a força xrca na mola amnta proporconalmnt ao slocamnto prozo. Osrvaçõs :. Para as forças lgação, consro-s q s for aoptao st racocíno para a trmnação a matrz massa otnham-s q as cargas aplcaas no lmnto tranglar stá aplcaa m caa nó). st caso, vamos otr solçõs mas nxactas, mora a matrz ota sja agonal tlzação técncas nmércas mas smpls m L ρ

22 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos. o caso trmos cargas horzontas a par star smplsmnt apoaa na fnação, consra-s a strtra lrtaa sr o tpo portcao rotlao na as. 5. Exmplos 5.. plcação a m prolma Estaos Planos nsão Consr a par rprsntaa na fgra sjta ao carrgamnto ncao lgaa ao solo. Como os gras lra são slocamntos horzontas vrtcas (não s consram rotaçõs) consra-s a strtra sno a as conttía por apoos plos. Como a strtra é smétrca, o comportamnto os os laos o xo smtra é êntco, plo q pomos sprmr os slocamntos vrtcas horzontas ao longo st xo. strtra stá sjta à m Estao Plano nsão.

23 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos Dscrtzano a strtra vm, Para rsolvr o prolma vamos prozr ma formação no sstma vo a vamos trmnar qas os sforços q mantém o sstma nma posção slocaa. ssm a Matrz Rgz vm, ( ) E K.... t otas :. Caa ponto ntror po fazr a lgação 6 trânglos;. S tlzarmos m sstma coornaas locas, l v sr transformao nm sstma coornaas gloas. lmntos 6 gras lra

24 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos Cargas aplcaas : Pso própro, F γ t Carrgamnto, Fp p Caso a strção cargas sja mto complcaa, po-s aproxmar colocano part a carga aplcaa m caa nó (por xmplo, no caso a carga stría vamos manar mta para caa lao). Rsolção o sstma K F maor vantagm m tlzar a nvrsa K é a pormos trmnar matamnt os slocamntos corrsponnts às vrsas conçõs carrgamnto. K - F O : Vamos consrar q no caso havr m om contacto ntr a fnação a par, s snvolv m fto arco.. Dpos s otrm os slocamntos noas, é possívl otr os 6 slocamntos Com sts valors pomos trmnar as xtnsõs,, através a qação, B s tnsõs no ntror a pça são otas à csta a matrz lastca D, σ D 4

25 ora as Estrtras II Métoo os Elmntos Fntos Osrvaçõs :. o caso o comportamnto o matral sr lásto-plástco, a qação q nos á as tnsõs é mofcaa, ma vz q a matrz as rlaçõs constttvas xa sr constant. σ D() st tpo comportamnto tmos ncssa calclar a tangnt m caa ponto a crva tnsõs-xtnsõs o momntos-crvatras.. o caso acrscntarmos pontos ntrméos (nós ntrméos) para o cálclo m molo formaçõs qarátco, caa lmnto tranglar stara assocao a gras lra;. O molo fno aplca-s aos casos cargas axas q actam no plano méo a placa q provoqm galmnt slocamntos sgno o plano ntrméo a placa o caso havr cargas prpnclars ao plano méo a laj, o molo q stamos não é corrcto porq ntra com o movmnto prpnclar ao plano méo a placa, não satsfazno a conção compatla a strtra. Para sso v snvolvr-s m lmnto para flxão m placas. Em sga aprsnta-s m molo st tpo com 5 gras lra. 5