BUSCA HARMÔNICA DINÂMICA AUTO-AJUSTÁVEL APLICADA À PARAMETRIZAÇÃO MULTIOBJETIVO DE CONTROLADORES

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1 Aas do XX Cogresso Braslero de Automátca Belo Horzote, MG, 0 a 4 de Setembro de 04 BUSCA HARMÔNICA DINÂMICA AUTO-AJUSTÁVEL APLICADA À PARAMETRIZAÇÃO MULTIOBJETIVO DE CONTROLADORES HELON V. HULTMANN AYALA Programa de Pós-graduação em Egehara de Produção e Sstemas, Escola Poltécca, Potfíca Uversdade Católca do Paraá Edereço: R. Imaculada Coceção, 55. Prado Velho Curtba, Paraá, Brasl. E-mal: helo.ayala@pucpr.br JULIANO PIEREZAN Programa de Pós-graduação em Egehara Elétrca, Departameto de Egehara Elétrca, Uversdade Federal do Paraá Edereço: Av Cel Fracsco H dos Satos, s/, Jardm das Amércas Curtba, Paraá, Brasl. E-mal: jkpr@outlook.com LEANDRO DOS SANTOS COELHO Programa de Pós-graduação em Egehara de Produção e Sstemas, Escola Poltécca, Potfíca Uversdade Católca do Paraá R. Imaculada Coceção, 55. Prado Velho Curtba, Paraá, Brasl. Programa de Pós-graduação em Egehara Elétrca, Departameto de Egehara Elétrca, Uversdade Federal do Paraá Edereço: Av Cel Fracsco H dos Satos, s/, Jardm das Amércas Curtba, Paraá, Brasl. E-mal: leadro.coelho@pucpr.br Abstract The use of PD (proportoal-dervatve) ad PID (proportoal-tegral-dervatve) cotrollers have bee wdely spread dustry, due to ts ease of mplemetato ad reduced umber of parameters to be adjusted. However, requremets such as respose tme, eergy cosumpto ad varace the cotrol acto are ofte cluded o multvarable systems ad t caot be solved by classcal methods. Thus, the multobjectve tug of PID cotrollers s preseted as a soluto to solve these requremets cocurretly, whch makes t a wdely eplored topc lterature. Ths paper approaches the applcato of ths techque multvarable PID cotrollers. Hece, both Multobjectve Harmoy Search (MOHS) ad Dyamc Self-adaptve Harmoc Multobjectve Search (DS-MOHS) have ts performace eplored ad compared. It s show that the DS-MOHS offers better solutos tha MOHS. It stll has the advatage of a lower umber of desg parameters to be adjusted. Fally, order to valdate t uder cotrol systems, the optmzato techque s appled to robotc mapulators. Keywords Harmoc Search, Multobjectve Optmzato, PID Cotrol, Robotcs Resumo O uso de cotroladores PD (proporcoal-dervatvo) e PID (proporcoal-tegral-dervatvo) tem sdo largamete dfuddo o meo dustral, devdo a sua facldade de mplemetação e quatdade reduzda de parâmetros para serem ajustados. Etretato, requstos como o tempo de resposta, gasto eergétco e varâca a ação de cotrole ecotram-se com frequêca em sstemas multvaráves e ão podem ser resolvdos por métodos clásscos de stoa. Assm, o ajuste multobjetvo de cotroladores apreseta-se como uma solução para a mposção desses crtéros de forma cocomtate, torado-se um tema vastamete eplorado a lteratura especalzada. O presete trabalho eplora a utlzação dessa técca o projeto de cotroladores PID multvaráves. Para tato, são comparados os desempehos da busca harmôca multobjectvo (Multobjectve Harmoy Search MOHS) e da busca harmôca multobjetvo dâmca auto ajustável (Dyamc Self-adaptatve Multobjectve Harmoc Search DS-MOHS), esta pouco eplorada as lhas de pesqusa atuas. Mostra-se que o DS-MOHS oferece soluções melhores que a sua cotrapartda MOHS, tedo ada como vatagem um úmero meor de parâmetros de projeto a serem ajustados. Além dsso, a técca de otmzação é valdada o âmbto de cotrole de sstemas, através da aplcação em um estudo de caso de mapuladores robótcos. Palavras-chave Busca Harmôca, Otmzação Multobjetvo, Cotrole PD, Robótca. Itrodução O uso de cotroladores proporcoal-dervatvo (PD), proporcoal-tegral (PI) e proporcoal- tegral-dervatvo (PID) tem sdo largamete dfuddo o meo dustral, devdo a sua facldade de mplemetação e quatdade reduzda de parâmetros. Esta estrutura de cotrole é pratcamete ubíqua a dústra estma-se que 95% dos cotroladores mplemetados hoje são do tpo PI ou PID (O Dwyer, 0). Apesar de tamaho emprego, costata-se que as malhas de cotrole são mal stozadas (Eder, 993; O Dwyer, 0), muto embora a estrutura de cotrole seja smples e poucos parâmetros precsem ser ajustados o que acaba sedo feto maualmete. Estes fatos demostram a urgêca a cração e prolferação de métodos de stoa que permtam ao projetsta especfcar de forma fleível seus requstos de projeto e obter rapdamete os parâmetros para uma vasta gama de sstemas. 5

2 Aas do XX Cogresso Braslero de Automátca Belo Horzote, MG, 0 a 4 de Setembro de 04 Por outro lado, o algortmo heurístco de otmzação deomado busca harmôca (Harmoc Search HS) calmete proposto por Geem e Logaatha (00), tem demostrado resultados promssores em uma varedade de aplcações (Majarres et. al., 03). Dversas adaptações ao algortmo orgal HS de 00 foram fetas com o tuto de obter melhores resultados. Os parâmetros de cotrole do algortmo foram aturalmete revsados e melhoras foram sugerdas, com partcular teresse em téccas de auto ajuste dâmco dos parâmetros (Katta e Abdullah, 03). Em paralelo, versões multobjetvo do algortmo HS (Multobjectve Harmoy Search MOHS) foram propostas (Rcart et. al., 0; Svasubrama e Swarup, 0a; Svasubrama e Swarup, 0b). Versões do algortmo HS para otmzação multobjetvo auto ajustáves e dâmcos (Dyamc Self-adaptve Multobjectve Harmoc Search DS-MOHS) ão têm sdo o foco de pesqusa, com eceção do trabalho de Ayala et. al. (04). O ajuste multobjetvo de cotroladores possblta a mposção de requstos que requerem compromsso de crtéros de forma cocomtate. Esses requstos, tas como tempo de resposta, gasto eergétco e varâca a ação de cotrole ecotram-se com frequêca em sstemas multvaráves e ão podem ser resolvdos por métodos clásscos de stoa. Essa é a razão pela qual esse tema é vastamete eplorado a lteratura especalzada (Lu, Yag e Whdbore, 00; Hug et. al., 008; Ayala e Coelho, 008; Coelho et. al., 00; Ayala e Coelho, 00; Reyoso-Meza et. al., 0; Ayala e Coelho, 0; Reyoso-Meza et. al., 03; Neath et. al., 04). O presete trabalho aplca a versão da busca harmôca multobjetvo dâmca auto ajustável DS-MOHS recetemete proposta por Ayala et. al. (04) a resolução do problema de stoa de cotroladores PID multvaráves. Mostra-se que o DS- MOHS oferece soluções melhores que a sua cotrapartda MOHS, tedo ada como vatagem um úmero meor de parâmetros de projeto a serem ajustados. Adcoalmete, valda-se a técca de otmzação o âmbto de cotrole de sstemas, através da aplcação em um estudo de caso de mapuladores robótcos. O restate deste artgo é orgazado da segute forma. Na seção são recaptulados os cocetos de otmzação multobjetvo. O algortmo de MOHS e sua etesão DS-MOHS são epostos a seção 3. O estudo de caso de cotrole PD multvarável aplcado a um mapulador robótco é descrto a seção 4. Na seção 5 são epostos os resultados das smulações computacoas realzadas. A seção 6, que falza o documeto, mostra as coclusões e perspectvas de pesqusa futura. forma, faz-se ecessáro obter de forma dstrbuída e dversfcada um compromsso etre todos os objetvos desejados. Assm, é possível estabelecer o problema de otmzação multobjetvo rrestrto de forma geral como sedo a tarefa de ecotrar um determado vetor de varáves de decsão de modo que o vetor de fuções objetvo seja melhorado. Sem perda de geeraldade, descreve-se o problema de otmzação multobjetvo a segur restrgdo-se ao caso de mmzação de todos os objetvos (Deb, 00). ode e mmzar sujeto a ( L) ( U ) compoete, f m () ( L) ( U ), m =,,..., M; =,,...,. represeta o vetor de varáves de decsão o espaço de busca do seu -ésmo f m () represeta a m-ésma fução objetvo (o total de M objetvos). Se uma solução satsfaz os lmtes das varáves, esta é cohecda como factível. Em geral, este uma famíla de soluções ótmas de forma equvalete (segudo o coceto de otmaldade de Pareto) que são superores às demas soluções que costtuem o espaço de busca. O coceto de otmaldade de Pareto permte comparar o desempeho de soluções através dos seus objetvos. As soluções chamadas ão-ferores, ão-domadas ou Pareto-ótmas são tas que ehum dos objetvos pode ser melhorado sem degradar os outros. Formalmete, represetamos a partr de duas soluções a e b, sedo que a doma b, o coceto de domâca de Pareto como sedo: a b f ( ) f ( ), {,,..., M}. () Desta forma, coforme mostrado acma, uma solução é dta melhor que a outra, o setdo de otmaldade de Pareto, somete quado todos os objetvos evolvdos o problema de otmzação são melhores. Note que este coceto de otmaldade cotrasta com o de um problema de otmzação de objetvo smples, ode somete um objetvo é vsado e desta forma a comparação de soluções é dreto. Em otmzação multobjetvo, a meta é ecotrar um cojuto de soluções ão domadas de forma que as mesmas estejam o mas prómo possível da frotera de Pareto real e sejam o mas dversfcadas possível, de modo a oferecer ao projetsta o maor úmero possível de opções. Otmzação Multobjetvo A otmzação de um úco objetvo vsa satsfazer a mmzação ou mamzação de uma determada métrca. Por outro lado, um problema de otmzação multobjetvo busca por um cojuto de soluções que capazes de otmzar separadamete e cocomtatemete quatas métrcas forem ecessáras. Desta 3 Busca Harmôca Na presete seção são abordados os cocetos relacoados à técca de otmzação busca harmôca (Harmoy Search HS) e sua etesão para otmzação multobjetvo e dâmca auto ajustável. O algortmo HS emula o comportameto de um músco quado este busca pela melhor harmoa em 53

3 Aas do XX Cogresso Braslero de Automátca Belo Horzote, MG, 0 a 4 de Setembro de 04 um seso estétco. Assm sedo, o algortmo HS busca o melhor estado, ou seja, o ótmo global, que é determado com base a fução objetvo dada pelo problema correte em questão. Os segutes passos ( a 5) defem o algortmo HS (Coelho e Berert, 009), como proposto calmete por Geem et. al. (00). Passo. Cofguração do algortmo. O problema de otmzação é especfcado da segute forma: Mmzar f(), sujeto a X, =,..., N ode f() é a fução objetvo, X é o tervalo defdo para cada varável de decsão de modo que ( L) ( U ) X. Os parâmetros de cotrole, a saber () o tamaho da matrz de harmoas (Harmoy Memory Matr HMS), ou seja, o úmero de vetores de soluções a memóra de harmoas; () a taa de cosderação de memóra de harmoas (Harmoy Memory Cosderg Rate HMCR); () a taa de ajuste de tos (Ptch Adjustg Rate PAR); e (v) crtéro de parada (úmero mámo de mprovsações - t ma) são ecessaramete especfcados esta altura do processo. Passo. Icalzação radômca da memóra de harmoas. A memóra de harmoas (Harmoy Memory HM) matém todos os vetores de varáves de decsão ecotradas durate o procedmeto de busca. A HM é calzada de forma aleatóra e uforme detro do espaço de busca e toma a forma como mostra a Eq. (). Nesta equação, cada lha represeta uma possível solução (a últma lha é a solução de úmero HMS) e em cada lha há compoetes (o úmero de varáves de decsão). HM HMS- HMS HMS- HMS N- N- HMS- N HMS N HMS- HMS () Passo 3. Improvsação de uma ova harmoa. Este é o passo em que uma ova solução é crada de forma a eplorar o espaço de busca. Desta forma, crase um vetor (,,..., N ) que é gerado segudo spra a atuação dos múscos quado acotece uma mprovsação. Esta é emulada segudo as regras de lembraça de memóra de harmoas, ajuste de tos e seleção aleatóra. A prmera regra mecoada, lembraça da memóra de harmoas, depede do parâmetro de projeto HMCR (que pertece ao tervalo [0, ]). Desta forma, cada compoete de é tomada da HM ou gerada aleatoramete detro da regão de busca de acordo com HMCR, da segute forma: HMS,,..., se rad HMCR (3) X, caso cotráro, ode rad é um úmero aleatóro uforme detro do tervalo [0, ]. Após a cosderação da memóra de harmoas, ajusta-se o tom de acordo com o parâmetro PAR: Ajustar o tom, se rad PAR Não ajustar, caso cotráro. Se o tom da ova solução mprovsada é ajustado, etão cada compoete da ova solução é modfcada da segute forma: rad bw, ode bw é uma dstâca arbtrára de largura de bada a -ésma dmesão. Passo 4. Atualzar a HM. Sedo melhor que qualquer uma das HMS harmoas presetes a HM, substtu a por solução (em termos de f()) e passa a costtur HM. Passo 5. Repetr os Passos 3 e 4 até que o crtéro de parada (úmero mámo de mprovsações) seja satsfeto. Nas duas subseções segutes são abordadas as adaptações do algortmo HS para otmzação multobjetvo e sua adaptação auto ajustável. 3. Busca Harmôca Multobjetvo Com o objetvo de ldar com problemas de otmzação multobjetvo coforme eposto a seção, o algortmo HS é adaptado para o MOHS (Multobjectve Harmoy Search MOHS). Para este fm, os Passos e 4 são alterados coforme abao: Passo : Icalzação do Algortmo. Para um problema de otmzação multobjetvo (coforme seção ) a tarefa é mmzar f m(), sujeto a X, m =,, M; =,...,. Os parâmetros de cotrole HMS, HMCR, PAR e t ma também são ajustados. Passos e 3: Idem ao HS. Passo 4: Atualzar a HM. Sempre que uma ova harmoa é melhor que qualquer outra que esteja cotda a HM, é adcoada a HM e a por harmoa é ecluída. O coceto de domâca e dstâca de multdão são utlzados para ordear a memóra de harmoas, da mesma forma como o algortmo NSGA-II (Deb et. al., 00) ao fal de cada mprovsação. Desta forma, o algortmo MOHS vsa ão somete a permaêca de harmoas ão-domadas em HM, mas também de soluções dversfcadas que represetem a maor varedade possível o espaço de objetvos (uma das premssas em otmzação multobjetvo). Passo 5: Idem ao HS. (4) (5) 54

4 Aas do XX Cogresso Braslero de Automátca Belo Horzote, MG, 0 a 4 de Setembro de 04 PAR BtW PAR detro do tervalo [0, ]). A Fgura mostra o comportameto de PAR, de acordo com a Eq. (7), para PAR m = 0, e PAR ma =. Note que o valor de PAR depede do úmero de terações e dmu, mplcado a meor ocorrêca de mprovsações, à medda que BtW aumeta. Em outras palavras, à medda que o coefcete BtW aumeta, deotado melhor qualdade o cojuto de harmoas em HM, a probabldade de mprovsações dmu. O ajuste de largura de bada do tom é ajustado com base o desvo padrão das harmoas em cada dmesão (Katta e Abdullah, 03): bw C.StdDev(HM ) (8) Fgura. Comportameto do parâmetro de acordo com BtW, tedo PAR m = 0, e PAR ma =. 3.3 Busca Harmôca Multobjetvo Auto-ajustável Recetemete, Katta e Abdullah (03) propuseram a utlzação de auto ajuste dâmco para a defção dos parâmetros de cotrole (jutamete com um estudo sobre demas métodos para defção destes parâmetros para a HS). Neste estudo, é proposta a defção dos parâmetros PAR e bw de forma automátca. Dferetemete da maora das téccas ecotradas para auto ajuste dos parâmetros do HS, esse ajuste acotece de forma depedete do úmero atual de gerações o que foreceu bos resultados quado comparado o estudo (Katta e Abdullah, 03). Na presete seção, o algortmo de busca harmôca multobjetvo auto ajustável (Dyamc Multobjectve Harmoc Search DS- MOHS) é troduzdo. O coceto de razão do melhor para o por (Bestto-Worst rato BtW), aqu adapatado de Katta e Abdullah (03) para otmzação multobjetvo, estma a qualdade das soluções que estão cotdas a HM de forma homogêea, da segute maera: b f ( ) BtW ma w f ( ) (6) ode f ( b ) ad f ( w ) represetam o melhor e por valores para a -ésma fução objetvo (vale relembrar que o presete trabalho restrge-se à mmzação de todas as M fuções objetvo, coforme seção ). Assm, o valor de BtW é calculado a cada teração, a fm de medr a qualdade geral das soluções cotdas a memóra de soluções. A partr do coefcete BtW, o parâmetro de cotrole PAR (Eq. (4)) é defdo damcamete de acordo com a qualdade das soluções cotdas a HM (Katta e Abdullah, 03): PAR ( PAR PAR ) BtW PAR (7) m ma ma ode PAR m ad PAR ma podem ser defdos de um valor relatvamete pequeo e também grade (ambos ode o operador StdDev(HM ) represeta o desvo padrão de todas as harmoas a -ésma dmesão e o fator C é adotado segudo as lhas de Katta e Abdullah (03): com base em AccRate (úmero de harmoas acetas a HM as últmas 00 terações) e AccC th como o lmar (adotado como 0%) o qual C começa a decrescer, ou seja: AccRate C AccC th 0., se, se AccRate AccC AccRate th, se AccRate AccC th. (9) Assm sedo, com relação ao MOHS, o algortmo DS-MOHS mplemeta as Eqs. (6)-(9) a cada mprovsação (Passo 3) de forma a calcular os valores de PAR e bw com base a qualdade das soluções cotdas a HM, em cotraste com o MOHS que possu valores estátcos durate o procedmeto de busca. 4 Mapulador Robótco Um mapulador robótco seral pode ser descrto através da sua equação dâmca, a qual é costtuída por um cojuto de equações dferecas acopladas que possuem termos relacoados, por eemplo, à érca varate, torque cetrífugo e de Corols, carregameto, gravdade e atrto. Em geral, em aplcações de mapuladores, requer-se que o atuador fal do cojuto realze uma determada trajetóra e velocdade. Deste modo, faz-se ecessáro especfcar os torques aplcados aos atuadores localzados em cada uma das jutas do mapulador, a fm de que o cumprmeto das trajetóras seja realzado da melhor maera possível. O modelo matemátco utlzado para descrever o mapulador robótco, estudo de caso do presete artgo, é descrto a segur. A equação dâmca de um mapulador robótco de graus de lberdade pode ser escrta como (Ayala e Coelho, 0): M ( ) C(, ) G( ) (0) ode M( ) é a matrz de érca do sstema (defda postva), C(, ) é o vetor que represeta os 55

5 Aas do XX Cogresso Braslero de Automátca Belo Horzote, MG, 0 a 4 de Setembro de 04 efetos do torque cetrífugo e de Corols, é o vetor relatvo ao efeto dos torques gravtacoas, é o vetor do torque das jutas, e,, represetam respectvamete a posção, velocdade e aceleração agulares das jutas. Assm sedo, ao assumr =, é possível obter o modelo dâmco de um mapulador de dos graus de lberdade (Fg. ), como a segur (Crag, 005): G( ) ml ( ) mll c( ) ( m m) l - mll s m l l s m l gc ( m m ) l gc m l l c m l l s m l gc m l ( ) () () ode s =se( ), s =se( ), c =cos( ), c =cos( ), e c =cos( + ). Utlzam-se os ídces e para deotar respectvamete os parâmetros das jutas e. De acordo com (Mtal & Ch, 995), são utlzados, para fs de smulação, os segutes parâmetros: comprmeto dos elos do mapulador l =0,8 m e l =0,4 m; massas dos elos de m =m =0, kg, e aceleração da gravdade de g=9,8 m/s. Os atuadores possuem restrções físcas e assm sedo, adota-se o presete trabalho para os torques e o lmte de [-; ] knm. O período de amostragem é selecoado como T s = 0 ms. a j(t) = j(t) - d,j(t), ode j / j={,}. (5) As meddas de erro acma serão utlzadas como métrcas a segur os crtéros do procedmeto de otmzação para a defção dos gahos do cotrolador do mapulador robótco. No presete trabalho é proposta a utlzação de um cotrolador PD dgtal multloop. A ação de cotrole é regda pelo vetor de torques aplcado em cada eo coforme a equação dâmca do mapulador. Desta forma, a equação de cotrole PD aalógco multvarável é dada por: j(t) = K p, j j(t) + K v,j j(t) (6) Após realzar o processo de dscretzação da equação do vetor de torques como em (7), a equação a dfereças (possível de se mplemetar em smulações computacoas) do cotrolador PD é dada por: j(t)=(k p, j+k v,j/t s) (t) - (K v,j/t s) (t-) (K p,j+k v,j/t s) d,j(t) + K v,j/t s d,j(t-), ode j / j={,}. (7) Os gahos do cotrolador PD são dados pelas matrzes K p,j e K v,,j (dagoas e defdas postvas). A ação de cotrole é portato proporcoal aos erros de posção e velocdade. 5 Resultados Nesta seção são epostos os resultados quado o problema de stoa de cotroladores é resolvdo através das téccas MOHS e DS-MOHS. Para tato, aplca-se a malha de cotrole composta pelo mapulador robótco regdo pela equação dâmca coforme em (0) e cotrolador PD com gahos selecoados de forma a mmzar as segutes métrcas: Fgura. Mapulador robótco de dos graus de lberdade e seus parâmetros. Os valores desejados para a posção agular, a velocdade e a aceleração da j-ésma juta do mapulador são defdas respectvamete como d,j, d,j e d,j e os seus vetores dos erros de posção, velocdade e aceleração são dados por d j(t) = j(t) - d,j(t), ode j / j={,}, v j(t) = j(t) - d,j(t), ode j / j={,} e (3) (4) tf tf ) d ( t) d ( t) t t f ( (8) tf tf ( ) v ( t) v ( t) t t f (9) O método Ruge-Kutta (4ª ordem) é usado para smular a dâmca do robô. O projeto do cotrolador PD é otmzado através dos algortmos MOHS e DS- MOHS de modo a mmzar as fuções objetvo e f ( ), cosderado os gahos do cotrolador detro do tervalo [0, 0]. A fução objetvo f ( ) vsa o segumeto da trajetóra do robô, equato a f ( ) requer que o erro do segumeto da velocdade desejada seja mmzado. A posção desejada para cada elo é dada através de um polômo de 5 a ordem, como a segur (Crag, 005): f ( ) 56

6 Aas do XX Cogresso Braslero de Automátca Belo Horzote, MG, 0 a 4 de Setembro de 04 d,j(t) = a 0 + a t + a t + a 3t 3 + a 4t 4 + a 5t 5, ode j / j = {,} tedo as segutes restrções: (0) Elo Elo (a) df,j = a + a t f +3a 3t f +4a 4t 3 f +5a 5t 4 f df,j = a +6a 3t f +a 4t f +0a 5t 3 f ode j / j = {,} () Posção sedo df,j, df,j, df,j os valores fas em desejados respectvamete para a posção ( df,= rad e df,= rad em t = e df,=0,5 rad e df,=4 rad em tf = 4 s), velocdade ( df,= df,=0 rad/s em t = s e tf = 4 s) e aceleração ( df,=0 rad/s ). Os parâmetros do algortmo são defdos da segute forma. O úmero mámo de harmoas guardadas a memóra 00, mámo úmero de mprovsações 3.000, HMCR = 0,95, PAR = 0,5 (para o MOHS) e PARm = 0, e PARma = (para o DS-MOHS). Os algortmos são smulados com 30 codções cas dferetes. Para fs de comparação umérca dos algortmos, a Tabela mostra as métrcas () úmero de soluções ão-domadas (ao fal de cada smulação), () dstâca Eucldaa (méda das dstâca Eucldaas das soluções ão-domadas até a orgem) e () hpervolume (Foseca, Paquete e López-Ibáñez, 006). Para o cálculo das métrcas () e (), os valores das métrcas e são ormalzados etre [0,] de modo a ão caracterzar preferêca por algum dos objetvos. f ( ) f (erro das velocdades) df,= f ( ) f (erro das posções) MOHS DS-MOHS Fgura 3. Froteras de Pareto obtdas pelos algortmos MOHS e DS-MOHS. A solução melhor compromssada obtda pelo DS- MOHS é mostrada em verde. Tabela. Métrcas de performace para o problema de otmzação. Mímo Mámo Méda Número de soluções ão-domadas MOHS DS-MOHS Dstâca Eucldaa MOHS 3.458E E E-0 DS-MOHS 3.448E E E-0 Hpervolume MOHS 8.860E E-0 9.E-0 DS-MOHS 9.407E E E Tempo (s) (b) Fgura 4. (a) Posção e (b) velocdade desejadas (lha tracejada) e realzadas (lha chea) com a aplcação da solução mas compromssada obtda pelo algortmo DS-MOHS. Torque Velocdade Elo Elo Tempo (s) Tempo (s) Torque Torque Fgura 5. Ação de cotrole (torque) do cotrolador mas compromssado obtdo pelo algortmo DS-MOHS. É possível dzer, através da aálse dos dados umércos da Tabela, que o DS-MOHS obteve resultados superores quado comparado à versão clássca MOHS. No questo (), o DS-MOHS obteve mas soluções ão domadas ao térmo de cada smulação, forecedo soluções em maor úmero ao projetsta e mas dversfcadas a frotera estmada de Pareto (coforme também lustra a Fgura 3, que cotém todas as soluções obtdas ao fal de 30 smulações). O crtéro (), referete à méda da dstâca Eucldaa das soluções até a orgem, também é melhor para o DS- 57

7 Aas do XX Cogresso Braslero de Automátca Belo Horzote, MG, 0 a 4 de Setembro de 04 MOHS, sedo a sua frotera de Pareto mas próma em méda de um poto utópco (orgem). Falmete, o crtéro () hpervolume, que forece quattatvamete uma métrca da regão que o cojuto de Pareto apromado doma, também é melhor para o DS- MOHS. Tedo em mãos as soluções mostradas a Fgura 3, o projetsta pode escolher etão uma solução, detre o cojuto de soluções cotdas a frotera de Pareto estmada, a qual ofereça o melhor compromsso etre os objetvos vsados. Uma possbldade é defr a melhor solução compromssada como aquela que possua a meor méda harmôca etre os objetvos (ormalzados). Na Fgura 3 o círculo verde mostra a solução melhor compromssada para o algortmo DS-MOHS. Esta solução tem suas trajetóras smuladas, coforme mostram as Fguras 4 e 5. A Fgura 4 mostra as trajetóras desejadas para posção e velocdade (crtéros de custo) equato a Fgura 5 lustra o torque em cada juta. É possível ver o bom cumprmeto da trajetóra e a ação de cotrole com pouca varação, fator mportate o cotrole de atuadores para aumetar a sua vda útl. 6 Coclusão O presete trabalho apresetou a aplcação do algortmo MOHS e sua versão DS-MOHS o problema de stoa de cotroladores PD multloop, quado aplcados a malha de cotrole de um mapulador robótco de dos graus de lberdade. Mostrou-se que, para o presete problema, o algortmo DS-MOHS obteve melhores resultados de acordo com os crtéros do problema de otmzação. Vale saletar que o algortmo DS-MOHS possu meos parâmetros de projeto que a sua versão clássca MOHS, o que faclta e ecoraja a sua aplcação a outros problemas. Ao projetsta é possível forecer, através da metodologa utlzada, uma gama de soluções que oferecem um compromsso etre os objetvos de mmzar o erro de trajetóra de posção e velocdade. Futuros trabalhos vsarão () a aplcação de cotroladores PD e PID a sstemas mas compleos, () utlzação de outras estruturas de cotrole que permtam maor flebldade através do ajuste dos seus parâmetros (como redes euras) e () sequete melhora do algortmo MOHS de modo a dmur seus parâmetros de cotrole e aumetar a sua performace. Agradecmetos Este trabalho fo parcalmete facado por uma bolsa PROSUP da CAPES. Referêcas Bblográfcas Ayala, H. V. H. ad Coelho, L. S. (008). A multobjectve geetc algorthm appled to multvarable cotrol optmzato., I ABCM symposum seres mechatrocs, vol. 3, pp Ayala, H. V. H. ad Coelho, L. S. (00). Cotroller tug usg multobjectve partcle swarm optmzato appled to a quadruple-tak process, I ABCM Symposum Seres Mechatrocs, vol. 4, pp Ayala, H. V. H. ad Coelho, L. S. (0), Tug of PID cotroller based o a multobjectve geetc algorthm appled to a robotc mapulator., Epert Systems wth Applcatos, v. 39, p Ayala, H. V. H.; Cruz, L. F.; Coelho, L. S. ad Zaett, R. Z., (04), Swm velocty profle detfcato through a dyamc self-adaptve multobjectve harmoc search ad RBF eural etworks, d Europea Symposum o Artfcal Neural Networks, Computatoal Itellgece ad Mache Learg (ESANN), Bruges, Bélgca. Coelho, L.S., Berert, D. L. A. (009), A mproved harmoy search algorthm for sychrozato of dscrete-tme chaotc systems., Chaos, Soltos & Fractals, vol. 4, o. 5, pp Coelho, L. S., Ayala, H. V. H., Nedjah, N. ad Mourelle, L. M., (00), Multobjectve Gaussa partcle swarm approach appled to mult-loop PI cotroller tug of a quadrupletak system, I Mult-Objectve Swarm Itellget Systems, pp. -6, Sprger Berl Hedelberg. Crag, J. J. (005). Itroducto to robotcs mechacs & cotrol. 3rd Ed., Pearso Pretce Hall. Deb, K. (00). Mult-Objectve optmzato usg evolutoary algorthms, New York, NY, USA: Joh Wley & Sos, Ic. Deb, K., Pratap, A., Agarwal, S., Meyarva, T. A. M. T. (00), A fast ad eltst multobjectve geetc algorthm: NSGA-II, IEEE Trasactos o Evolutoary Computato, vol. 6, pp Eder, D. B. (993), Process cotrol performace: Not as good as you thk. Cotrol Egeerg, vol. 40, o. 0, Foseca, C. M., Paquete, L., López-Ibáñez, M., (006), A mproved dmeso - sweep algorthm for the hypervolume dcator., proceedgs of the 006 Cogress o Evolutoary Computato (CEC 06), pp , Pscataway, New Jersey. Geem, Z. J., Km, H. ad Logaatha, G.V. (00), A heurstc optmzato algorthm: harmoy search, Smulato, vol. 76, o., pp Hug, M. H.; Shu, L.S.; Ho, S. J.; Hwag, S.F.; Ho, S. Y., March 008, A ovel tellget multobjectve smulated aealg algorthm for desgg robust PID cotrollers, IEEE Trasactos o Systems, Ma ad Cyberetcs, Part A: Systems ad Humas, vol. 38, o., pp Katta, A., Abdullah, R. (03) A dyamc self-adaptve harmoy search algorthm for cotuous optmzato problems, Appled Mathematcs 58

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