Uma nova demonstração do Teorema de Motzkin

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1 Arigo Uma nova dmonsração do Torma d Mozkin Ronaldo Frir d Lima UFRN Aprsnamos ns arigo uma dmonsração inédia do Torma d Mozkin, qu sablc, para um dado conjuno fchado A R n, a quivalência nr as sguins afirmaçõs: - A função disância a A é difrnciávl m R n A. - Exis uma projção π : R n A m qu, para odo x R n, π(x) é o pono d A mais próximo d x. - A é convxo. 1 Inrodução No spaço R n, a noção d disância nr dois ponos é nauralmn sndida à d disância nr pono conjuno. Mais prcisamn, a disância d(x, A) d um pono x R n a um conjuno A R n é dfinida por d(x, A) = inf x a, (1.1) a A m qu dnoa a norma uclidiana d R n. Do pono d visa da opologia da anális, surgm, não, as qusõs: Para um dado conjuno A R n, qu propridads m a função disância a A, x d(x, A)? Quais são as rlaçõs das propridads opológicas méricas d A com as propridads dssa função disância? Ns conxo, quando o conjuno A é um subspaço vorial próprio d R n, consaa-s facilmn qu: A função disância a A é difrnciávl m R n A; xis uma projção1 π : R n A, al qu d(x, A) = x π(x) ; A é convxo. Em considração às duas qusõs lvanadas acima, um fao noávl é qu sas rês afirmaçõs são quivalns o são para qualqur conjuno fchado A. Es rsulado, conhcido como Torma d Mozkin, consiui uma imporan caracrização dos conjunos convxos (fchados) d spaços uclidianos dv su nom ao mamáico almão Thodor Mozkin ( ), qu o sablcu [4]. No qu s sgu, inroduzirmos alguns concios rsulados rlaivos à função disância forncrmos uma dmonsração inédia do Torma d Mozkin valndo-nos d concios ormas lmnars da opologia da anális do spaço R n. 2 Noação Dados x R n um númro ral r > 0, as bolas abra fchada d R n, com cnro m x raio r, srão rspcivamn dnoadas por B(x, r) B[x, r]. Mais prcisamn, B(x, r) = {y R n ; y x < r} B[x, r] = {y R n ; y x r}. Além disso, a sfra, com msmo cnro raio, srá indicada por S[x, r], ou sja, S[x, r] = {x R n ; x = r}. 1 Uma aplicação π : R n A R n é uma projção sobr A s π π = π. 76 Mamáica Univrsiária n os 50/51

2 Dados x, y R n, dnoarmos os sgmnos d ra abro fchado com xrmos x y por (x, y) [x, y], rspcivamn, iso é, (x, y) = {x + (y x) R n ; (0, 1)} [x, y] = {x + (y x) R n ; [0, 1]}. Admais, nos rfrirmos ao conjuno {x + (y x) R n ; [0, + )} como a smirra com origm m x qu coném y. Por fim, dados um abro U d R n uma função difrnciávl f : U R, indicarmos o vor gradin d f num pono x U por f (x) a drivada d f m x por f (x), iso é, dado h R n, scrvrmos f (x)h = f (x), h, m qu, dnoa o produo inrno canônico d R n. 3 Projçõs conjunos d Chbyshv No qu, para odo x R n, Π(x) é compaco, pois é fchado, m virud da coninuidad da função a x a,, como s pod vrificar facilmn, limiado. Proposição 1. Dado um conjuno fchado A R n, a função disância a A, dfinida por d A : R n R x d(x, A), é lipschziana. Em paricular, d A é uniformmn conínua. Dmonsração. Dados x, y R n, para quaisqur a Π(x) b Π(y), m-s d A (x) d A (y) = x a y b. Além disso, x a x b, y b y a. Logo, usando a dsigualdad riangular, x y x a y a x a y b Considrando-s a dfinição (1.1), m-s, para odo conjuno A R n odo pono x R n, qu xis uma squência (a k ) m A, al qu x a k inf x a = d(x, A). a A iso é, x b y b x y, d A (x) d A (y) x y, Logo, uma vz qu a k a k x + x, m-s qu (a k ) é limiada possui, dsa forma, uma subsquência convrgn, (a ki ). Daí da coninuidad da função norma, sgu-s qu d(x, A) = lim x a k = lim x a ki = x a, m qu a = lim a ki. Dsas considraçõs, infr-s qu s A R n é fchado, não, para odo x R n, xis a A, al qu d(x, A) = x a. Ns caso, o pono a não é, ncssariamn, único. Tomando-s uma sfra S[x, r] d R n, por xmplo, m-s qu odo pono a S[x, r] cumpr d(x, S[x, r]) = x a = r. Dados, não, um conjuno fchado A R n x R n, dsignarmos por Π(x) o conjuno formado por odos os ponos d A qu ralizam a disância d x a A, iso é, Π(x) = {a A; x a = d(x, A)}. dond d A é lipschziana. Diz-s qu um subconjuno fchado A R n é um conjuno d Chbyshv2 s, para odo x R n, Π(x) coném um único lmno a A, qu dsignarmos por π(x). Ns caso, fica bm dfinida a aplicação projção sobr A, π : R n A x π(x), a qual, para odo pono x R n, saisfaz d A (x) = x π(x). Proposição 2. A projção sobr um conjuno d Chbyshv A R n é uma aplicação conínua. 2 Em considração ao mamáico russo Pafnuy Chbyshv ( ), um dos fundadors da oria da aproximação, cujos mas nvolvm qusõs rlaivas a projçõs convxidad. Mamáica Univrsiária n os 50/51 77

3 Dmonsração. Tommos a projção sobr A, π : R n A, uma squência (x k ) m R n, al qu x k x 0. Uma vz qu, para odo x R n, π(x) π(x) x + x = d A (x) + x, mos qu a squência (π(x k )) é limiada, pois, pla coninuidad d d A, bm como da função norma, as squências (d A (x k )) ( x k ) são convrgns, dond, limiadas. Logo, (π(x k )) possui uma subsquência convrgn, (π(x ki )). Fazndo-s, não, a = lim π(x ki ), m-s x 0 a = lim x ki π(x ki ) = lim d A (x ki ) = d A (x 0 ), dond s infr qu a = π(x 0 ), porano, qu π é conínua. 4 O Torma d Mozkin Torma d Mozkin. As sguins afirmaçõs a rspio d um subconjuno fchado A d R n são quivalns: i) d A é difrnciávl m R n A. ii) A é um conjuno d Chbyshv. iii) A é convxo. Aprsnarmos agora uma dmonsração do Torma d Mozkin qu rá como bas os dois lmas sguins, os quais, por sua vz, sablcm propridads inrssans da função disância d A da projção π, rspcivamn. As dmonsraçõs dos msmos são d nossa auoria, assim como o é a d qu, no Torma d Mozkin, (ii) implica (iii). O Lma 1 é ciado m [3]. No nano, sua dmonsração não é forncida a rfrência a la dada não nos foi acssívl. Quano ao Lma 2, s é dmonsrado m [8] como aplicação do Torma do Pono Fixo d Brouwr, nquano a nossa dmonsração val-s d um corolário do Lma 1. Uma dmonsração ssncialmn gomérica da quivalência nr (ii) (iii) pod sr nconrada m [7]. Lma 1. Sjam A R n um conjuno fchado f : R n R a função disância a A ao quadrado, iso é, f (x) = d 2 A (x). Enão, dado x R n, a função T(h) = min a Π(x) 2 x a, h, h Rn, cumpr as sguins condiçõs: f (x + h) f (x) T(h) i) lim = 0; h 0 h ii) lim 0+ f (x + h) f (x) = T(h). Cab-nos obsrvar qu, no lma acima, a função T sá bm dfinida (pois, conform assinalamos na sção anrior, para odo x A, o conjuno Π(x) é compaco) é sugrida pla ransformação linar Th = 2 x π(x), h, qu é a drivada d da 2 m x Rn quando A é um subspaço vorial d R n. Dv-s noar ambém qu a igualdad (i) não assgura qu f sja difrnciávl m x, a mnos qu T sja linar. Dmonsração do Lma 1. Tommos x R n obsrvmos qu, dvido à compacidad d Π(x) à coninuidad da função a 2 x a, h, para cada h R n, o conjuno é não-vazio. Π h (x) = {a Π(x); T(h) = 2 x a, h } Assim, dados h 0, h R n, para quaisqur a h Π h0 +h(x) a Π h0 (x), m-s T(h 0 + h) T(h 0 ) = 2 x a h, h 0 + h 2 x a, h 0. Porém, Logo, x a h, h 0 + h x a, h 0 + h x a, h 0 x a h, h 0. 2 x a h, h T(h 0 + h) T(h 0 ) 2 x a, h. (4.1) Uma vz qu x a h, h x a h h = d A (x) h (no qu a h Π(x)), m-s lim h 0 x a h, h = 0. Sgus, porano, d (4.1), qu dond T é conínua. lim T(h 0 + h) = T(h 0 ), h 0 Agora, omando-s h R n {0}, a h Π(x + h) a Π(x), valm as dsigualdads x + h a h x + h a, x a x a h. 78 Mamáica Univrsiária n os 50/51

4 Logo, 2 x a h, h + h 2 f (x + h) f (x) 2 x a, h + h 2. (4.2) Assim, omando-s a Π h (x) Π(x) obsrvando-s qu, para odo ral > 0, T(h) = T(h), obém-s, d (4.2), as dsigualdads ( ) h h 2 x a h, T + h h h f (x + h) f (x) T(h) h Em paricular, ( ) h h 2 x a h, T 0, h h a h Π(x + h). h. (4.3) (4.4) Provmos, não, qu o primiro mmbro d (4.4) m limi nulo quando h nd a zro. Para ano, ommos uma squência (h k ) m R n {0}, al qu h k 0. Passando-s a uma subsquência, s ncssário, podmos supor qu u k = h k u, u = 1. h k Tomando-s uma squência (a k ) m R n saisfazndo Π(x + h k ) para cada k N, m-s, para odo a k b A, qu a k x + h k x + h k a k x + h k b. (4.5) Considrando-s a primira úlima xprssõs dsas dsigualdads, obém-s a k x + h k b + x + h k. Uma vz qu as squências qu êm como rmos grais x + h k b x + h k são limiadas (por srm convrgns), sgu-s dsa dsigualdad qu val o msmo para a squência (a k ). Assim, passando-s novamn a uma subsquência, podmos supor qu a k a 0 Π(x), pois, omando-s os limis d ambos os mmbros na sgunda dsigualdad (4.5), obém-s x a 0 x b, b A. Sgu-s, porano, dsas úlimas considraçõs, da coninuidad d T d (4.4), qu 2 x a 0, u = lim 2 x a k, u k lim T(u k ) = T(u) = min 2 x a, u, a Π(x) dond 2 x a 0, u = T(u). Dsa forma, [ ( )] h lim 2 x a k, k hk T h k h k = 2 x a 0, u T(u) = 0. Dsa igualdad da arbiraridad das squências (h k ) (a k ), obém-s [ ( )] h h lim 2 x a h, T = 0, h 0 h h qu, junamn com a dsigualdad (4.3), nos dá f (x + h) f (x) T(h) lim = 0 h 0 h conclui a dmonsração d (i). Quano a (ii), basa obsrvarmos qu, para odo ral > 0, f (x + h) f (x) T(h) = dond, valndo-s d (i), obém-s lim 0 + como dsjado. f (x + h) f (x) T(h) h, h f (x + h) f (x) = T(h), Corolário 1. Nas condiçõs do Lma 1, s A é um conjuno d Chbyshv, não d 2 A é difrnciávl, para odo x Rn, da 2 (x) = 2(x π(x)). Dmonsração. Com fio, sndo A um conjuno d Chbyshv, m-s, para quaisqur x, h R n, qu T(h) = min 2 x a, h = 2 x π(x), h, a Π(x) dond T é linar. O rsulado sgu-s, não, do im (i) do Lma 1. Mamáica Univrsiária n os 50/51 79

5 Lma 2. Sjam A R n um conjuno d Chbyshv x 0 R n A. Enão, odo pono x da smirra σ, qu m origm m π(x 0 ) coném x 0, saisfaz π(x) = π(x 0 ). Dmonsração. Dado x R n A, odo pono y do sgmno [π(x), x] é al qu π(y) = π(x). Com fio, ns caso, mos x π(x) = x y + y π(x). Logo, x π(y) x y + y π(y) dond π(y) = π(x). x y + y π(x) = x π(x), Dsa forma, dvmos nos ocupar apnas dos ponos da smirra σ 0 σ, cuja origm é x 0. Tmos, pla coninuidad da projção π, qu o conjuno Ω = {x σ 0 ; π(x) = π(x 0 )} σ 0 é fchado m σ 0. Vjamos qu s conjuno é ambém abro m σ 0. Uma vz qu Ω = (pois x 0 Ω), o rsulado s sguirá, não, da conxidad d σ 0. Dado x Ω R n A, ommos r > 0, al qu B[x, r] A =. Façamos, não, µ = max z S[x,r] d A(z) obsrvmos qu µ > 0, pois A é fchado a sfra S[x, r] é compaca disjuna d A. Assim, podmos omar λ R saisfazndo 0 < λ < min{1, r2 µ 2 } dfinir a função m qu A 0 = {x}. ϕ : R n R z d 2 A 0 (z) λd 2 A (z), Plo Corolário 1, ϕ é difrnciávl saisfaz, para odo z R n, ϕ(z) = 2((z x) λ(z π(z))). Sgu-s qu z 0 B(x, r), porano, qu ϕ(z 0 ) = 0, iso é, z 0 x = λ(z 0 π(z 0 )). (4.6) Lmbrando-s qu 0 < λ < 1, conclui-s d (4.6) qu x (π(z 0 ), z 0 ). Logo, plas nossas considraçõs iniciais, π(z 0 ) = π(x) = π(x 0 ), ou sja, x (π(x 0 ), z 0 ) (Fig. 1). Fazndo-s, não, r 0 = z 0 x, m-s qu I 0 = B(x, r 0 ) σ 0 é um abro d σ 0 qu coném x, claramn, sá conido m [x 0, z 0 ]. Logo, odo pono y I 0 saisfaz π(y) = π(x 0 ), dond s infr qu I 0 Ω, porano, qu Ω é abro m σ 0. Dmonsração do Torma d Mozkin. Suponhamos qu d A sja difrnciávl m R n A. Enão, val o msmo para f = da 2. Logo, plo im (ii) do Lma 1, para quaisqur x R n A h R n, m-s f f (x + h) f (x) (x)h = lim 0 = lim 0+ f (x + h) f (x) dond T = f (x). Em paricular, Th = f (x), h, h R n. = T(h), Dsa forma, omando-s a = x f (x) 2, m-s, pla dfinição d T, qu x a, h x b, h, h R n, b Π(x). Daí, omando-s b Π(x) h = b a, obém-s b a 2 0, ou sja, b = a. Logo, A é um conjuno d Chbyshv. σ z 0 x B[x, r] Em paricular, ϕ é conínua. Sndo assim, a rsrição d ϕ à bola (compaca) B[x, r] assum um valor mínimo m algum pono z 0 B[x, r]. Enrano, ϕ(x) = λda 2 (x) < 0, para odo pono z da sfra S[x, r], m-s A x 0 π(x 0 ) ϕ(z) = r 2 λd 2 A (z) r2 λµ 2 > 0. Figura 1 80 Mamáica Univrsiária n os 50/51

6 Agora, s A R n é um conjuno d Chbyshv, não, plo Corolário 1, da 2 é difrnciávl m Rn, porano, d A = da 2 é difrnciávl m Rn A (no qu a função, 0, não é difrnciávl m = 0). Dsa forma, (i) (ii) são quivalns. Suponhamos agora qu A sja convxo. Ns caso, dados x R n A, a Π(x) b A, b = a, mos qu o sgmno fchado [a, b] sá conido m A. Logo, para odo x = a + (b a) [a, b], 0 1, m-s a a 0 b 0 b A Figura 2 x a 2 x x 2 = x a 2 2 x a, b a + 2 b a 2, (4.7) σ x dond, para odo (0, 1], 2 x a, b a b a 2, o qu nos dá x a, b a 0. Fazndo-s = 1 na igualdad m (4.7), obém-s, não, ξ λ x b 2 x a 2 = 2 x a, b a + b a 2 > 0, a x 0 λ 0 b iso é, x a < x b. Sgu-s qu a é o único lmno d Π(x), porano, qu A é d Chbyshv. Finalmn, suponhamos qu A sja d Chbyshv, por absurdo, qu não sja convxo. Enão, xism a, b A, ais qu [a, b] A. Além disso, podmos supor, sm prda d gnralidad, qu o sgmno abro (a, b) não inrsca A. Com fio, cada componn conxa d (R n A) (a, b) é um abro conxo d (a, b), porano, é um sgmno da forma (a 0, b 0 ), m qu a 0, b 0 A (no qu o sgmno (a, b) é homomorfo ao inrvalo abro (0, 1) R qu os únicos conjunos abros conxos d R são os inrvalos abros) (Fig. 2). Fazndo-s α() = a + (b a), [0, 1], m-s, plo Corolário 1, qu a função g() = da 2 (α()) é conínua, difrnciávl m (0, 1) saisfaz g(0) = g(1) = 0. Enão, plo Torma d Roll, xis 0 (0, 1), al qu 0 = g ( 0 ) = d 2 A (α( 0)), α ( 0 ) = 2 α( 0 ) π(α( 0 )), b a, dond a smirra σ, qu coném x 0 = α( 0 ) (a, b) m origm m π(x 0 ), é orogonal ao sgmno[a, b] (Fig. 3). Figura 3 Dfinamos ξ 0 π(x 0 ) u = x 0 π(x 0 ) x 0 π(x 0 ) considrmos x = x 0 + ξu σ. Escrvndo-s m-s ξ 0 = x 0 π(x 0 ), λ 0 = b x 0 λ = x b d(x 0, A) = ξ 0 < λ 0, x π(x 0 ) = ξ 0 + ξ λ 2 = ξ 2 + λ 2 0. Mamáica Univrsiária n os 50/51 81

7 Logo, omando-s ξ > λ2 0 ξ2 0 2ξ 0, obém-s iso é, x π(x 0 ) 2 = (ξ 0 + ξ) 2 = ξ ξ 0ξ + ξ 2 > λ ξ2 = λ 2 = x b 2, x b < x π(x 0 ). Sgu-s dsa úlima dsigualdad qu π(x) = π(x 0 ), o qu conradiz o Lma 2. Dsa forma, A é convxo, porano, as afirmaçõs (ii) (iii) são quivalns. 5 Considraçõs Finais Uma vz sablcido o Torma d Mozkin, cab-nos indagar sobr o comporamno da função disância d A, no qu diz rspio à difrnciabilidad, quando A é fchado, porém não-convxo. Ns caso, dvido ao fao d d A sr lipschziana d um rsulado conhcido como Torma d Radmachr (vid [2]), m-s qu o conjuno dos ponos ond d A é difrnciávl é nãovazio. Mais qu isso, sgu-s ds orma qu o conjuno Γ A = {x R n ; d A não é difrnciávl m x} é, num cro snido, pquno3. Es fao pod sr consaado lvando-s m considração qu, plos argumnos da primira par da dmonsração do Torma d Mozkin, o conjuno Γ A coincid com aqul formado plos ponos x R n, ais qu Π(x) coném mais d um lmno. Por xmplo, omando-s x R n, m-s qu a sfra S[x, r] d R n o cilindro S[x, r] R d R n+1 são conjunos fchados, não-convxos ais qu spaços d Hilbr. Há uma xnsa liraura concrnn a sa qusão (vid [1]). No nano, aé a prsn daa, não s sab s um conjuno d Chbyshv num spaço d Hilbr arbirário é ou não é convxo. Rfrências [1] Balaganskii, V. S.; Vlasov, L. P. Th problm of h convxiy of Chbyshv ss. Russian Mah. Survys, v. 51, n. 6, p , [2] Hinonn, J. Lcurs on analysis on mric spacs. Nw York: Springr, (Univrsix) [3] Hörmandr, L. Noions of convxiy. Rprin of h 1994 diion. Boson: Birkhäusr, (Modrn Birkhäusr Classics) [4] Mozkin, T. Sur qulqus propriéés characérisiqus ds nsmbls convxs. Ai dlla Accadmia Nazional di Linci. Rndiconi. Class di Scinz Fisich, Mamaich Naurali, v. 21, p , [5] Parkr, M. J. Convx ss and h subharmoniciy of h disanc funcion. Procdings of h Amrican Mahmaical Sociy, v. 103, n. 2, p , [6] Phlps, R. R. Convx ss and nars poins. Procdings of h Amrican Mahmaical Sociy, v. 8, p , [7] Valnin, F. A. Convx ss. Nw York: McGraw- Hill, [8] Wbsr, R. Convxiy. Oxford: Oxford Univrsiy Prss, Ronaldo Frir d Lima Dparamno d Mamáica Univrsidad Fdral do Rio Grand do Nor ronaldo@cc.ufrn.br Γ S[x,r] = {x} Γ S[x,r] R = {(0, 0, z) R 3 ; z R}. Oura qusão nauralmn associada ao Torma d Mozkin é a da validz do msmo m spaços voriais d dimnsão infinia, spcialmn spaços d Banach 3 Mais prcisamn, m mdida d Lbsgu nula. 82 Mamáica Univrsiária n os 50/51