INE 7001 ESTATÍSTICA PARA ADMINISTRADORES I NOTAS DE AULA PROF. MARCELO MENEZES REIS MANOEL DE OLIVEIRA LINO

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1 INE 7001 ESTATÍSTICA PARA ADMINISTRADORES I NOTAS DE AULA PROF. MARCELO MENEZES REIS MANOEL DE OLIVEIRA LINO

2 INE 7001 Introdução e Análse Exploratóra de Dados INTRODUÇÃO O método centífco A pesqusa centífca é um processo de aprendzado drgdo. O objetvo dos métodos estatístcos é tornar este processo o mas efcente possível. O processo de pesqusa centífca pode ser exemplfcado através da fgura abaxo: Dados (fatos, fenômenos) dedução dedução dedução ndução ndução ndução Hpóteses (conjecturas, modelo, teora) Fgura 1 - Método Centífco 1 Há dados dsponíves sobre um determnado fenômeno (natural ou não) que temos nteresse em COMPREENDER. Para tanto, através de um racocíno ndutvo, partndo do partcular para o geral, procuramos montar hpóteses sobre o fenômeno em questão, um modelo ou teora que explque o fenômeno. Uma vez estabelecdas as hpóteses estas são usadas através de um racocíno dedutvo, do geral para o partcular, para tentar explcar novas observações do fenômeno de nteresse. Se as hpóteses conseguem explcar razoavelmente os novos dados elas são consstentes e não há necessdade de modfcá-las. Mas, se os novos dados não concdrem com o que era esperado se as hpóteses fossem verdaderas, e os dados foram coletados corretamente, é necessáro repetr todo o processo e modfcar as hpóteses, ou mesmo formular novas hpóteses que explquem aqueles dados. Como pode ser observado na fgura acma o processo é teratvo, e só há uma constante nesse processo: a MUDANÇA. O conhecmento é mutável, e está em permanente evolução. Os métodos estatístcos permtrão: - garantr que os dados coletados para avalar as hpóteses sejam váldos e representatvos. - verfcar se as eventuas dscrepâncas entre o que for observado e o que era esperado (sob a condção da veracdade das hpóteses) são grandes o bastante para justfcar a mudança das hpóteses. Vamos a um rápdo exemplo. Nos tempos antgos o ser humano dspunha apenas dos seus olhos para fazer observações astronômcas. Usando apenas os dados dsponíves de suas observações vsuas os seres humanos de antgamente acredtavam pamente que a Terra era o centro do Unverso: para eles o Sol grava em 1 BOX, G. E. P., HUNTER, W. G. e HUNTER, J. S. - Statstcs for expermenters. USA: John Wley & Sons, 1978.

3 INE 7001 Introdução e Análse Exploratóra de Dados 3 torno da Terra. O astrônomo egípco de orgem grega, Cláudo Ptolomeu estabeleceu no século II D.C. a teora Geocêntrca, que explcava os movmentos dos planetas então conhecdos supondo que a Terra era o centro do Unverso. A teora Geocêntrca resstu durante 14 séculos, em parte por consderações relgosas, mas também porque os dados dsponíves não permtam contrará-la. Contudo, no século XV ou XVI surgram os prmeros telescópos ótcos (fo possível o acesso a novos dados) e homens como Copérnco e Galleu provaram que a teora Geocêntrca estava errada, e formularam a teora Helocêntrca, de que o Sol é que era o centro do Sstema Solar, pos apenas essa hpótese explcara de forma satsfatóra os novos dados que eles havam coletado. Claro que naqueles tempos de Reforma Protestante e Contra-Reforma Católca as cosas nem sempre foram tão smples: Galleu quase fo condenado à foguera por heresa... Mas o fato é que a teora Helocêntrca conseguu explcar todos os dados que foram coletados desde então, mesmo com a descoberta de novos planetas no Sstema Solar (foram fetas algumas modfcações, prncpalmente sobre as órbtas dos planetas que se julgava serem crculares quando na realdade são elíptcas). Mutos outros casos poderam ser relatados, nas mas dversas áreas do conhecmento humano: a geração espontânea (em que mutos acredtaram até o século XIX), a evolução das espéces, a teora quântca, etc. E onde entra a Estatístca nsso tudo? Defnção de Estatístca Há dezenas de defnções de Estatístca, pratcamente cada autor tem a sua, mas uma partcularmente nteressante fo apresentada pelo estatístco Paul Velleman: Estatístca é a Cênca que permte obter conclusões a partr de dados. É uma Cênca que parte de perguntas e desafos do mundo real: - centstas querem verfcar se uma nova droga consegue elmnar o vírus HIV; - uma montadora de automóves quer verfcar a qualdade de um lote ntero de peças fornecdas através de uma pequena amostra; - um polítco quer saber qual é o percentual de eletores que votarão nele nas próxmas eleções; - os pesqusadores do departamento de aqücultura da UFSC querem avalar se uma nova varedade de ostra é mas produtva do que as atualmente cradas em SC. O prncpal problema que surge ao tentar responder essas perguntas é que todas as meddas fetas para tal, por mas acurados que sejam os nstrumentos de medção, apresentarão SEMPRE uma varabldade, ou seja, NÃO HÁ RESPOSTAS PERFEITAS. Felz ou nfelzmente a natureza comporta-se de forma varável: não há dos seres humanos guas, não há dos nsetos guas, etc. Mesmo os tão comentados clones, e os gêmeos dêntcos ( clones naturas), somente apresentam um códgo genétco comum, se forem submetdos a experêncas de vda dferentes terão um desenvolvmento dstnto. A Estatístca estuda como controlar, mnmzar e observar a varabldade INEVITÁVEL em todas as meddas e observações fetas sobre qualquer fenômeno. Os dados são coletados para estudar uma ou mas característcas de uma POPULAÇÃO de nteresse. POPULAÇÃO é o conjunto de meddas da(s) característca(s) de nteresse em todos os elementos que a(s) apresenta(m). Se, por exemplo, estamos avalando as opnões de eletores sobre

4 INE 7001 Introdução e Análse Exploratóra de Dados 4 os canddatos a presdente, a população da pesqusa sera consttuída pelas opnões declaradas pelos eletores em questão 2. Como o nteresse maor está na população o deal sera pesqusar TODA a população, em suma realzar um CENSO (como o IBGE faz perodcamente no Brasl). Contudo, por razões econômcas ou prátcas (para obter rapdamente a nformação ou evtar a extnção ou exaustão da população) nem sempre é possível realzar um censo, torna-se então necessáro pesqusar apenas uma AMOSTRA da população, um subconjunto fnto e representatvo da população. Uma das prncpas subdvsões da Estatístca justamente é a AMOSTRAGEM, que reúne os métodos necessáros para coletar adequadamente amostras representatvas e sufcentes para que os resultados obtdos possam ser generalzados para a população de nteresse. Após a coleta dos dados, por censo ou amostragem, a ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS (nclundo ANÁLISE BIDIMENSIONAL, ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS E NÚMEROS ÍNDICES) permte apresentá-los e resum-los de manera que seja possível dentfcar padrões e elaborar as prmeras conclusões a respeto da população. Posterormente, utlzando a ESTATÍSTICA INDUTIVA (ou Inferênca Estatístca) é possível generalzar as conclusões dos dados para a população, e quando os dados forem provenentes de uma amostra utlzando a PROBABILIDADE para calcular a confabldade das conclusões obtdas 3. Geralmente estamos nteressados nos parâmetros (característcas) da população, e generalzamos os resultados das estatístcas da amostra (coletada para fazer tal generalzação). SEM A UTILIZAÇÃO DE MÉTODOS ESTATÍSTICOS OS RESULTADOS DE UMA PESQUISA NÃO TÊM VALIDADE CIENTÍFICA. Vamos ver então os dos tpos báscos de pesqusa estatístca Tpos de Pesqusa Estatístca A pesqusa estatístca pode ser conduzda bascamente de duas formas, ndependente de ser por censo ou amostragem: Levantamento e Expermento. No Levantamento, também chamado de Pesqusa Correlaconal, são apenas observadas as característcas da população, com pouco ou nenhum controle por parte do pesqusador. Esse tpo de pesqusa costuma gerar grandes volumes de dados, mas não é possível provar relações de causa e efeto com um Levantamento (nem todas as causas de varação estão sob controle), apenas afrmar que devem exstr relações entre as varáves sob análse. Como exemplo de Levantamento: o Censo do IBGE, pesqusas de opnão públca, etc. 2 É muto comum defnr População como sendo um conjunto de elementos com pelo menos uma característca em comum, assm no exemplo a população sera formada pelos pacentes que apresentam a característca em comum, a suspeta de dabetes. Embora mas smples, essa defnção não é totalmente correta, pos o nteresse maor está nas meddas do nível de glcose que permtrão classfcar os pacentes como dabétcos ou não. 3 Quando toda a população é pesqusada por CENSO (corretamente executado) teorcamente não há ncerteza, portanto não há necessdade de calcular a confabldade das conclusões obtdas, e o estudo resume-se à Análse Exploratóra de Dados. Contudo, o censo mas bem conduzdo não mpede que sejam cometdos erros de medção ou que os respondentes mntam ou omtam dados mportantes.

5 INE 7001 Introdução e Análse Exploratóra de Dados 5 O segundo tpo de pesqusa é o Expermento, ou Pesqusa Expermental. Neste caso o pesqusador tem um grande controle sobre as condções de pesqusa, pratcamente elmnado todas as fontes ndesejáves de varação através de um PLANEJAMENTO DO EXPERIMENTO. Sendo assm é o únco tpo de pesqusa que permte provar conclusvamente relações de causa e efeto. Devdo ao maor controle sobre as causas de varação não há necessdade de gerar um volume de dados tão grande como no caso do Levantamento. O Expermento é largamente empregado em farmacologa (para testar a efcáca de novos remédos e vacnas), e no ambente ndustral, e em todas as stuações em que é necessáro provar relações de causa e efeto e seja possível controlar as causas de varação. No Expermento é muto comum testar se dos ou mas tratamentos em amostras representatvas da população: Tratamento antgo (ou sem tratamento) Amostra 1 Dados observados Tratamento novo Amostra 2 Dados observados Fgura 2 - Expermento Arredondamento Estatístco X Y Casa a arredondar. Casa a partr da qual os valores serão desprezados. Fgura 3 - Casas envolvdas em arredondamento estatístco - Se Y estver entre 0 e 4 dexar X como está. - Se Y estver entre 6 e 9, X deve ser acrescdo de uma undade. - Se Y for gual a 5: - Se após Y houver outros números (dferentes de zero), X deve ser acrescdo de uma undade. - Se após Y não houver números dferentes de zero: - Se X for par, deve ser dexado como está. - Se X for ímpar, deve ser acrescdo de uma undade. Arredondar para resultado 1,1213 mlésmo 1,121 6,586 centésmo 6,59 12,57585 centésmo 12,58 6,23515 centésmo 6,24 9,65 décmo 9,6 9,75 décmo 9,8

6 1.5 - Estrutura de um arquvo de dados INE 7001 Introdução e Análse Exploratóra de Dados 6 Nos Capítulos 6 e 7 aprenderemos como obter os dados para a realzação de análses, estudando o Planejamento de Pesqusa e Técncas de Amostragem. Contudo, uma vez dsponíves os dados precsam ser tabulados, para possbltar sua análse. Atualmente os dados costumam ser armazenados em meo computaconal, seja em grandes bases de dados, programas estatístcos ou mesmo planlhas eletrôncas, sejam orundos de pesqusa de campo, ou apenas regstros de operações fnanceras, arquvos de recursos humanos, entre outros. Unversalmente os dados costumam ser armazenados em uma estrutura fxa, que possblta a aplcação de váras técncas para extrar as nformações de nteresse. As varáves são regstradas nas colunas, e os casos nas lnhas. As varáves são as característcas pesqusadas ou regstradas. Imagne a base de dados do DAE da UFSC, que armazena as nformações dos acadêmcos, contendo as varáves nome do aluno, data de nascmento, número de matrícula, IAA, IAP, e outras nformações, ou uma operadora de cartão de crédto, que armazena as transações efetuadas, contendo o número do cartão, nome do ttular, hora da transação, valor do crédto, bem ou servço adqurdo. Os casos consttuem cada ndvíduo ou regstro, para a base do DAE, João Nnguém, nasceu em 20 de feverero de 1985, matrícula 02xxxxxxx-01, IAA = 3,5, IAP = 6,0. Para a operadora de cartão de crédto, cartão número xxxxxxxxx-84, José Nenhum, R$200, 14h28mn - 11 de dezembro de 2003, supermercado. Imagne uma organzação que regstre os dados dos seus funconáros, como sexo, dade, anos de educação, função, saláro anual, saláro ncal, tempo de servço na organzação, experênca préva, e naconaldade. Veja a Fgura 4. Fgura 4 - Dados dos funconáros Veja que cada uma das varáves é regstrada em uma coluna específca, e que nas lnhas encontram-se os regstros de cada funconáro. Por exemplo, o funconáro 1 é do sexo masculno, tem 49 anos, 15 anos de educação, exerce função de gerênca, ganha ao ano, ncou na empresa ganhando 27000, tem 8,17 anos de servço, 12 anos de experênca préva e é braslero. A esmagadora maora dos programas estatístcos, gerencadores de bases de dados e planlhas eletrôncas com capacdade estatístca exge que os dados sejam estruturados de acordo com o formato da Fgura 4. Pode-se ter tantas colunas e lnhas quantas se quser, respetando porém as capacdades dos programas, o Mcrosoft Excel 2003, por exemplo, admte apenas lnhas, o que porém é o sufcente para mutas aplcações.

7 INE 7001 Introdução e Análse Exploratóra de Dados ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS A Análse Exploratóra de Dados, antgamente chamada apenas de Estatístca Descrtva, consttu o que a maora das pessoas entende como Estatístca, e nconscentemente usa no da a da. Consste em RESUMIR E ORGANIZAR os dados coletados através de tabelas, gráfcos ou meddas numércas, e a partr dos dados resumdos procurar alguma regulardade ou padrão nas observações (INTERPRETAR os dados). A partr dessa nterpretação ncal é possível dentfcar se os dados seguem algum modelo conhecdo, que permta estudar o fenômeno sob análse, ou se é necessáro sugerr um novo modelo Varáves Quando um determnado fenômeno é estudado determnadas característcas são analsadas: as varáves. É através das varáves que se torna possível descrever o fenômeno. As varáves são característcas que podem ser observadas ou meddas em cada elemento pesqusado (seja por censo ou amostragem, levantamento ou expermento), sob as mesmas condções. Para cada varável, para cada elemento pesqusado, em um dado momento, há um e apenas um resultado possível. As varáves podem bascamente ser classfcadas de acordo com o seu nível de mensuração (o quanto de nformação cada varável apresenta) e seu nível de manpulação (como uma varável relacona-se com as outras no estudo), Veja a Fgura 5 e Fgura 6. NÍVEL DE MENSURAÇÃO QUALITATIVAS: suas realzações são atrbutos dos elementos pesqusados. QUANTITATIVAS (ntervalares): suas realzações são números resultantes de contagem ou mensuração Nomnas: apenas dentfcar as categoras Ordnas: é possível ordenar as categoras Dscretas: podem assumr apenas alguns valores Contínuas: podem assumr nfntos valores Sexo, Naturaldade Classe socal Número de flhos Temperatura, velocdade Fgura 5 - Classfcação das varáves por nível de mensuração NÍVEL DE MANIPULAÇÃO INDEPENDENTES: seus valores são manpulados para causar um efeto em outras DEPENDENTES: são apenas meddas ou regstradas (supõe-se que PODEM ser nfluencadas pelas INDEPENDENTES) Fgura 6 - Classfcação das varáves por nível de manpulação

8 Classfcação por nível de mensuração INE 7001 Introdução e Análse Exploratóra de Dados 8 A prmera classfcação dvde as varáves em QUALITATIVAS e QUANTITATIVAS. As varáves QUALITATIVAS ou categórcas são aquelas cujas realzações são atrbutos (categoras) do elemento pesqusado, como o sexo, grau de nstrução, espéce. As varáves QUALITATIVAS podem ser NOMINAIS ou ORDINAIS. As varáves NOMINAIS podem ser meddas apenas em termos de quas tens pertencem a dferentes categoras, mas não se pode quantfcar nem mesmo ordenar tas categoras. Por exemplo, pode-se dzer que 2 ndvíduos são dferentes em termos da varável A (sexo, por exemplo), mas não se pode dzer qual deles tem mas da qualdade representada pela varável. Exemplos típcos de varáves nomnas são sexo, naturaldade, etc. As varáves ORDINAIS permtem ordenar os tens meddos em termos de qual tem menos e qual tem mas da qualdade representada pela varável, mas anda não permtem que se dga o quanto mas. Um exemplo típco de uma varável ordnal é o status sóco-econômco das famílas resdentes em uma localdade: sabe-se que médaalta é mas alta do que méda, mas não se pode dzer, por exemplo, que é 18% mas alta. A própra dstnção entre mensuração nomnal, ordnal e ntervalar representa um bom exemplo de uma varável ordnal: pode-se dzer que uma medda nomnal provê menos nformação do que uma medda ordnal, mas não se pode dzer quanto menos ou como esta dferença se compara à dferença entre mensuração ordnal e quanttatva. Já as varáves QUANTITATIVAS são aquelas cujas realzações são números resultantes de contagem ou mensuração, como número de flhos, número de clentes, velocdade em km/h, peso em kg, etc. As varáves quanttatvas também costumam ser dvddas em DISCRETAS e CONTÍNUAS. As varáves QUANTITATIVAS DISCRETAS são aquelas que podem assumr apenas alguns valores numércos que geralmente podem ser lstados (número de flhos, número de acdentes). As VARIÁVEIS QUANTITATIVAS CONTÍNUAS são aquelas que podem assumr teorcamente qualquer valor em um ntervalo (velocdade, peso). A predleção dos pesqusadores em geral por varáves quanttatvas explca-se porque elas costumam conter mas nformação do que as qualtatvas. Quando a varável peso de um ndvíduo é descrta em termos de magro e gordo sabemos que o gordo é mas pesado do que o magro, mas não temos déa de quão mas pesado. Se, contudo, descreve-se o peso de forma numérca, meddo em qulogramas, e um ndvíduo pesa 60 kg e outro pesa 90 kg, não somente sabemos que o segundo é mas pesado, mas que é 30 kg mas pesado do que o prmero 4. É mportante ressaltar que a forma como a varável está sendo medda defnrá o seu nível de mensuração. Por exemplo, a varável velocdade de um carro. Se defnrmos velocdade como resultado de uma medção por meo de radar resultando em um valor em km/h trata-se de uma varável quanttatva contínua. Se, porém, defnrmos a velocdade como resultado de uma medção em que alguém declara a velocdade como "baxa", "méda" ou "alta", ela passa a ser qualtatva ordnal Classfcação pelo nível de manpulação Outra forma de classfcar as varáves refere-se à sua manpulação: varáves INDEPENDENTES e DEPENDENTES. 4 Nem sempre, porém uma varável pode ser descrta em termos quanttatvos, mutas pesqusas foram prejudcadas pela tentatva de quantfcar todas as varáves envolvdas, por exemplo, ntelgênca e cratvdade.

9 INE 7001 Introdução e Análse Exploratóra de Dados 9 Varáves INDEPENDENTES são aquelas que são manpuladas enquanto que varáves DEPENDENTES são apenas meddas ou regstradas (como resultado da manpulação das varáves ndependentes). Esta dstnção confunde mutas pessoas que dzem que todas as varáves dependem de alguma cosa. Entretanto, uma vez que se esteja acostumado a esta dstnção ela se torna ndspensável. "As varáves ndependentes são aquelas que PODEM INFLUENCIAR os valores das varáves dependentes". Somente a realzação do estudo va permtr verfcar se há realmente tal nfluênca: e somente poderemos afrmar que a varável ndependente é a CAUSA da varável dependente assumr determnado resultado se o estudo for um expermento (pesqusa expermental). Os termos varável dependente e ndependente aplcam-se prncpalmente à pesqusa expermental, onde algumas varáves são manpuladas, e, neste sentdo, são ndependentes dos padrões de reação ncal, ntenções e característcas das undades expermentas. Espera-se que outras varáves sejam dependentes da manpulação ou das condções expermentas. Ou seja, elas dependem do que as undades expermentas farão em resposta. Contrarando um pouco a natureza da dstnção, esses termos também são usados em estudos em que não se manpulam varáves ndependentes, lteralmente falando, mas apenas se desgnam sujetos a grupos expermentas (blocos) baseados em propredades pré-exstentes dos própros sujetos. Exemplo A empresa Escolástca Ltda. quer conhecer o perfl dos seus 474 funconáros, para responder às seguntes perguntas: - Identfcar se há predomnânca masculna ou femnna. - Mensurar a qualfcação do pessoal (pelos anos de escolardade). - Verfcar se como está o turnover : avalando as dades, tempo de servço e experênca préva do pessoal. Para tanto, dspõe da segunte base de dados, parcalmente mostrada na Fgura 7. Fgura 7 - Dados dos funconáros (parcal) a) Identfcar os níves de mensuração das 9 varáves? Sexo, Idade em anos completos, Anos de educação completos (ANOSEDUC), Função (servços geras, escrtóro, gerênca), Saláro atual anual em reas (SALARIOA), Saláro Incal anual em reas (SALARIOI), Anos de servço em anos (ANOSSERV), Experênca préva em anos (EXPERPR), Naconaldade (NACIONAL). b) Há nteresse em obter sumáros descrevendo: - as funções exercdas de acordo com o sexo do funconáro. - os saláros atuas em função do sexo do funconáro.

10 - os saláros atuas em função dos anos de educação do funconáro. Quas são as varáves ndependente e dependente em cada caso? INE 7001 Introdução e Análse Exploratóra de Dados 10 a) Para dentfcar os níves de mensuração é precso avalar como a varável está sendo medda. Com sso teremos: - sexo e naconaldade: apresentam duas categoras (masculno e femnno; braslero e estrangero); são varáves qualtatvas (pos suas realzações são atrbutos) nomnas (porque não é possível ordenar seus atrbutos, masculno não é "menos" do que femnno e vce-versa). - dade e anos de educação: meddas em anos completos (observe na fgura 6 que não há valores decmas); são varáves quanttatvas (pos suas realzações são números) dscretas (porque somente podem assumr alguns valores 5 ). - saláro atual, saláro ncal, anos de servço e experênca préva: podem assumr uma nfndade de valores (por serem meddas em mlhares, como os saláros, ou por permtrem a exstênca de valores decmas); são varáves quanttatvas (pos suas realzações são números) contínuas (porque podem assumr mutos valores). - função: apresenta três categoras; é uma varável qualtatva (pos suas realzações são atrbutos) ordnal (pos podemos estabelecer uma ordenação dos seus atrbutos, quem exerce função de gerênca é "mas mportante" do que quem exerce função de escrtóro, ao menos no que tange à tomada de decsões). b) Para dentfcar as varáves ndependente e dependente devemos observar o objetvo de cada relatóro. - Relatóro da função de acordo com o sexo do funconáro. O sexo "podera nfluencar" a função exercda (ou mas rgorosamente, havera alguma assocação 6 entre a função exercda e o sexo do funconáro). Então sexo sera a varável ndependente e função sera a dependente. - Relatóro do saláro atual em função do sexo do funconáro. Novamente, o sexo "podera nfluencar" o valor do saláro atual (ou mas rgorosamente, havera alguma assocação entre o saláro atual e o sexo do funconáro). Então sexo sera a varável ndependente e saláro atual sera a dependente. - Relatóro do saláro atual em função dos anos de educação. Os anos de educação "poderam nfluencar" no saláro atual (ou mas rgorosamente, havera alguma correlação 7 entre o saláro atual e o número de anos de educação do funconáro). Então anos de educação sera a varável ndependente e saláro atual a dependente Pré-análse dos Dados Todas as técncas estatístcas apresentadas na lteratura, para varáves qualtatvas ou quanttatvas, tem duas suposções báscas: 1) Os dados obtdos são confáves, o planejamento da pesqusa garante que eles permtrão responder as perguntas formuladas ncalmente. 2) A base de dados, provavelmente armazenada em computador está lmpa, podendo ser analsada medatamente. Infelzmente, em mutas stuações reas nenhuma das duas suposções é satsfeta... A prmera é obvamente mas mportante, mas vamos nos ater a segunda neste texto. Antes de aplcar técncas estatístcas como tabelas, gráfcos e meddas de síntese, é precso realzar uma pré-análse dos dados. 5 Sem esquecer, porém, que pode haver uma grande dspardade entre as dades, o que talvez confgurara uma varável contínua. 6 Quando estamos avalando o relaconamento entre duas varáves qualtatvas, ou entre uma qualtatva e uma quanttatva, chamamos tal relaconamento de assocação. 7 Quando estamos avalando o relaconamento entre duas varáves quanttatvas, tal relaconamento é chamado correlação.

11 INE 7001 Introdução e Análse Exploratóra de Dados 11 Usando ferramentas computaconas de fltragem, dsponíves em planlhas eletrôncas e programas estatístcos, é possível dentfcar os dferentes valores que as varáves qualtatvas e quanttatvas podem assumr. O objetvo é dentfcar os dados perddos, erros de regstro, valores dscrepantes e nconsstêncas. A exstênca de tas problemas pode afetar seramente as conclusões porventura obtdas a partr dos dados, e, portanto pôr em rsco a qualdade das decsões decorrentes Dados perddos (mssng data) Dados perddos são valores de uma varável que não estão dsponíves no conjunto de dados, estão "em branco". Por exemplo, em uma pesqusa de opnão eletoral algumas pessoas podem não declarar seu voto, resultando em dados perddos, ou o famoso "não respondeu". Mutos estatístcos afrmam que é vrtualmente mpossível obter um conjunto de dados sem dados perddos, especalmente aqueles orundos de pesqusas de opnão (eletoral, de mercado, socoeconômca) e mesmo pesqusas médcas. Aceta-se até cerca de 5% de dados perddos em uma base de dados, mas do que sso o processo de pesqusa, e/ou de regstro dos dados, pode ter sdo prejudcado de tal forma que os resultados podem não ser confáves. Os dados perddos podem ter váras causas. No caso das pesqusas de opnão, as questões (ou as opções de resposta) podem não ser compreenddas pelos respondentes, que preferem não responder, ou nenhuma das opções contempla sua verdadera opnão. Ou anda, as questões (ou as opções) foram omtdas pelos entrevstadores, delberadamente ou não, o que fez com que não houvesse respostas... Há anda os casos em que os respondentes, embora compreendendo as questões e opções resolve não expressar sua opnão (seja por medo de represálas, especalmente em pesqusas de opnão eletoral ou em ambentes de trabalho, ou por querer resguardar sua prvacdade). Em estudos com anmas, plantas, e mesmo seres humanos, os dados perddos costumam também ocorrer devdo à morte dos sujetos, ou especalmente no acompanhamento de doenças em seres humanos, porque o sujeto decde não mas fornecer os dados aos pesqusadores 8. É possível também que smplesmente alguém se esqueceu de regstrar os dados, pelas mas dversas razões. Veja um conjunto com dados perddos: Na Fgura 8 podemos ver que algumas células estão vazas, na coluna D, lnha 131, o valor de renda não fo regstrado, e na coluna E, lnha 109 uma opnão sobre preço de um produto também não. Fgura 8 - Conjunto com dados perddos O que fazer nestas crcunstâncas? Há bascamente cnco cursos de ação possíves: a elmnação completa do regstro, a elmnação parcal do regstro, o preenchmento com base na méda da varável, o preenchmento por nterpolação, ou a cração da categora "não respondeu". 8 Mutas pessoas durante estudos médcos, envolvendo alguma espéce de terapa, passam a sentrem-se melhor, e decdem não mas comparecer às vstas peródcas de acompanhamento, que podem se estender por muto tempo, causando a exstênca de dados perddos.

12 INE 7001 Introdução e Análse Exploratóra de Dados 12 A elmnação completa ("casewse deleton"), consste em smplesmente elmnar todos os casos (lnhas) que apresentem pelo menos um dado perddo. Para o arquvo da Fgura 8 - Conjunto com dados perddos, seram elmnados os regstros (lnhas) 109 e 131. Realza-se então a análse dos outros dados. Já a elmnação parcal ("parwse deleton") elmna os casos apenas nas operações que envolvem as varáves que apresentam dados perddos. Para o caso da Fgura 8 - Conjunto com dados perddos, nas operações envolvendo as colunas D e E os dados das lnhas 131 e 109 (respectvamente) não seram computados, mas não seram removdos do arquvo. Tanto a elmnação completa quanto a parcal estão dsponíves em mutos programas estatístcos, mas em planlhas eletrôncas a mplementação da parcal é mas complexa. Ambas apresentam também o nconvenente, maor na elmnação total, de causar perda de nformação. O preenchmento dos valores perddos permte mtgar o efeto da perda de nformação. Há duas possbldades. Em uma delas no lugar dos dados perddos são postos os valores da méda 9 da varável, supondo que a méda seja representatva dos valores que a varável pode assumr. Na outra possbldade utlza-se uma nterpolação para estmar os dados perddos: projeta-se uma curva dos dados para nferr os perddos (o que exge o estudo do relaconamento com outras varáves). Ambas as possbldades são mas ndcadas para varáves quanttatvas, pos para varáves qualtatvas calcular médas e realzar nterpolações não faz sentdo, mesmo que os dados tenham sdo codfcados numercamente eles são ntrnsecamente qualtatvos. O grande problema do preenchmento dos valores perddos é a cração de nformação, mesmo que a méda seja um bom representante dos valores da varável, ou a nterpolação seja acurada. Outra solução para os dados perddos é smplesmente acetar a sua exstênca. Para uma varável qualtatva consdera-se que os dados perddos consttuem mas um dos valores, por exemplo, não respondeu (bastante comum em pesqusas de opnão) ou não dsponível, e prossegue-se com a análse dos dados. Na análse de varáves quanttatvas a maora dos programas estatístcos e planlhas eletrôncas desconsderam os valores perddos ao calcular as meddas de síntese, e ao construr dstrbuções de frequênca pode-se colocar como nota de rodapé a quantdade de dados perddos encontrada Erros de regstro Os erros de regstro são valores que foram armazenados ncorretamente na base de dados, geralmente são erros grosseros, fáces de dentfcar e corrgr. Nas varáves qualtatvas os erros de regstro costumam ser resultado da falta de unformdade no armazenamento dos valores. Por exemplo, magne a varável qualtatva turno, que podera assumr os valores Matutno, Vespertno e Noturno: algum dgtador descudado podera regstrar Mat, ou Matut ao nvés de Matutno, o que cra novos valores para a varável turno. Erros ortográfcos (por exemplo, Maututno, ou Mattutno) também costumam ser fonte de erros de regstro. A dentfcação dos erros pode ser feta através da construção de uma dstrbução de frequêncas (preferencalmente através de uma ferramenta computaconal), que relaconará os dferentes valores que a varável apresenta no conjunto de dados. Para corrgr os erros de regstro basta varrer a base de dados, geralmente usando uma ferramenta de substtução (dsponível em pratcamente todos os programas estatístcos, planlhas eletrôncas e gerencadores de bases de dados) para unformzar os valores. Nas varáves quanttatvas é necessáro cudado para não confundr erros de regstro com valores dscrepantes. Os erros seram valores mpossíves para a varável, por exemplo, altura e 9 Maores detalhes sobre como calcular a méda na seção 2.4.

13 INE 7001 Introdução e Análse Exploratóra de Dados 13 peso de uma pessoa com valores negatvos (...), ou alguma crança em ensno pré-escolar que apresente dade gual a 400 anos (admte-se que seja 4 anos)... É precso um exame cudadoso para evtar a confusão entre valor dscrepante (por exemplo, uma renda de 200 saláros mínmos) com erro de regstro (por exemplo, uma renda de 200 saláros mínmos) Valores dscrepantes Mas aplcável às varáves quanttatvas. Valores dscrepantes são aqueles que estão muto acma, ou muto abaxo da maora dos valores do conjunto de dados. Por exemplo, houve um contrbunte no Brasl que em certo ano chegou a pagar 63 mlhões de reas de mposto de renda... Se for descartada a hpótese de erro de regstro (ver seção 2.2.2) os valores dscrepantes devem ter uma atenção especal, pos podem ndcar stuações nesperadas 10. Imagne que a varável Renda (em saláros mínmos) está sendo avalada em um grupo de 5000 pessoas. A maora apresenta renda de 1 a 8 saláros mínmos, e alguns poucos apresentam valores de 25, 30 e 40 saláros mínmos valores dscrepantes superores. Outro caso sera a varável Receta Mensal (em reas) de um rede de lojas: a maora apresenta valores em torno de 500 ou 600 ml reas, e surgem lojas com 10 ml ou 20 ml reas dscrepantes nferores. A dentfcação de valores dscrepantes pode ser feta através de dstrbuções de frequêncas (agrupadas em classes ou não), e pela dentfcação de valores máxmos e mínmos das varáves. Na seção 2.6 aprenderemos métodos numércos para dentfcar valores dscrepantes Inconsstêncas As nconsstêncas nos conjuntos de dados nem sempre são fáces de dentfcar. Por exemplo, magne uma pesqusa de perfl socoeconômco que regstre váras nformações sobre chefes de famíla, tas como renda famlar em saláros mínmos, posse de casa própra, posse de automóvel, posse de eletrodoméstcos, entre outras. Imagne que um chefe de famíla tenha responddo o segunte: Renda Casa própra Número de Vagem ao exteror Quantos flhos? Flhos estudam? automóves 2 s.m. Sm 3 2 vezes por ano 3 Escola partcular Isoladamente não há nconsstênca ou erro, ou dado perddo, em cada uma das varáves. Contudo ao comparar Renda às outras varáves a exstênca de, no mínmo, um erro de regstro é flagrante. Se, porém, não houve erro de regstro (e o nformante não for um megalômano mentroso...), a renda realmente vale 2 saláros mínmos, há uma nconsstênca entre esta varável e todas as outras, pos não é possível 11 que alguém com tal renda consga manter casa própra, 3 automóves, 2 vagens por ano ao exteror, e 3 flhos estudando em escola partcular. No exemplo acma, a nconsstênca até que fo faclmente dentfcada, em outros, porém, são necessáras até mesmo técncas avançadas de mneração de dados 12 para descobr-las. Para dentfcar nconsstêncas, especalmente aquelas dervadas de dados delberadamente deturpados por um respondente, as pesqusas de opnão costumam nclur váras questões extras, que possbltem cruzar respostas. No caso do exemplo acma, não se regstra apenas a renda, mas outros aspectos que possbltam caracterzar o padrão de vda do respondente, e, portanto, estmar 10 Especalmente útl na detecção de fraudes, por exemplo, em telefona celular um valor de conta muto acma do normal para certo usuáro pode ndcar a exstênca de clonagem. 11 A não ser que tenha perddo a sua prncpal fonte de renda recentemente. 12 Como análse multvarada.

14 INE 7001 Introdução e Análse Exploratóra de Dados 14 qual é a sua renda real. A Receta Federal costuma utlzar procedmentos bastante sofstcados para dentfcar nconsstêncas, especalmente nas declarações de Imposto de Renda Dstrbução de frequêncas O processo de resumo e organzação dos dados busca bascamente regstrar as ocorrêncas dos possíves valores das varáves que caracterzam o fenômeno, em suma consste em elaborar DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIAS das varáves para que o conjunto de dados possa ser reduzdo, possbltando a sua análse. A construção da dstrbução de frequêncas exge que os possíves valores da varável sejam dscrmnados e seja contado o número de vezes em que cada valor ocorreu no conjunto de dados. Para grandes arquvos de dados tal processo somente é vável utlzando meos computaconas. Uma dstrbução de frequêncas pode ser expressa em termos de tabelas ou através de gráfcos, que terão algumas partculardades dependendo do nível de mensuração da varável Dstrbução de Frequêncas para varáves qualtatvas (nomnas e ordnas) a) Tabelas Neste caso o número de possíves realzações da varável costuma ser lmtado, como na tabela do exemplo abaxo: Exemplo Usando os dados do Exemplo 2.1, empresa Escolástca Ltda., podemos construr tabelas de frequêncas para as varáves sexo e função. Supondo que haja 258 homens e 216 mulheres, 363 funconáros em escrtóro, 27 em servços geras, e 84 em gerênca. Sexo dos funconáros da empresa Escolástca Sexo Frequênca Percentual Masculno ,43% Femnno ,57% Total % Fonte: hpotétca Funções exercdas pelos funconáros da empresa Escolástca Função Freqüênca Percentual Escrtóro ,58% Servços geras 27 5,70% Gerênca 84 17,72% Total % Fonte: hpotétca As colunas Sexo e Função apresentam os possíves valores que cada varável pode assumr, e a coluna freqüênca o número de ocorrêncas de cada um desses valores no conjunto de dados. Desta forma grandes conjuntos de dados podem ser resumdos em pequenas tabelas. Usualmente

15 Contagem INE 7001 Introdução e Análse Exploratóra de Dados 15 calculam-se os percentuas de ocorrênca de cada valor para permtr a COMPARAÇÃO COM CONJUNTOS DE DADOS DE TAMANHO DIFERENTE (onde a comparação dreta das frequêncas pode levar a conclusões errôneas). O mas mportante é nterpretar as tabelas. Percebemos que não há grande dferença entre o percentual de homens e mulheres na empresa. Poderíamos conclur que não há predomnânca masculna sgnfcatva. Já na tabela das funções percebemos que a maora esmagadora dos funconáros (76,58%) exerce atvdades de escrtóro, restando 17,72% em gerênca, e apenas 5,7% em servços geras (que talvez já estejam quase que totalmente tercerzados). Obter as frequêncas de cada valor pode ser uma tarefa tedosa para grandes conjuntos de dados. Programas estatístcos ou mesmo planlhas eletrôncas permtem fazer tal contagem rapdamente e com menor chance de erro. Um dos nconvenentes da utlzação de tabelas para resumr conjuntos de dados é a demora na apreensão da nformação: é necessáro ler cada lnha e coluna e posterormente fazer o cruzamento das nformações. Isso pode ser um problema em mutas stuações em que há nteresse em apresentar rapdamente as nformações, então talvez a melhor forma de apresentar a dstrbução de frequêncas seja através de um gráfco. b) Gráfcos Dentre os város gráfcos dsponíves os mas utlzados para varáves qualtatvas são os gráfcos de barras (bar chart) e os gráfcos em setores (pe chart). No gráfco de barras em um dos exos são colocadas as categoras da varável e no outro as frequêncas ou percentuas de cada categora. As barras podem ser horzontas ou vertcas (preferencalmente estas). Para os dados do Exemplo 2.2, usando as frequêncas, os gráfcos seram: Dstrbução dos funconáros por sexo Masculno Sex o Femnno Fonte: hpotétca Fgura 9 - Gráfco de barras da varável Sexo (Escolástca Ltda.)

16 C o n ta g e m INE 7001 Introdução e Análse Exploratóra de Dados 16 D strb u ção d o s fu n co n áro s p o r áre a E s c rtó ro S e rvç o s g e ra s G e rê n c a F u n ç ã o Fonte: hpotétca Fgura 10 - Gráfco de barras de Função (Escolástca Ltda.) Observe que a apreensão da nformação da dstrbução é bem mas fácl, percebe-se rapdamente na Fgura 10 que há muto mas funconáros em Escrtóro do que nas outras funções. Contudo, na Fgura 9 poderíamos ter a déa de que há uma grande dferença entre os números de funconáros do sexo masculno e femnno: sso ocorre por causa da escala do gráfco, que começa em 190 (para evtar tal problema devemos, sempre que possível, ncar a escala do gráfco de barras em zero). Este tpo de gráfco (para varáves qualtatvas) pode ser construído com a maora dos processadores de texto e planlhas eletrôncas dsponíves atualmente. O gráfco em setores, também chamado de gráfco crcular ou em pzza, exge uma construção mas sofstcada. Consste em dvdr um círculo (360 o ) em setores proporconas às realzações de cada categora através de uma regra de três smples, na qual a freqüênca total (ou o percentual total 100%) correspondera aos 360 o e a freqüênca ou a proporção de cada categora correspondera a um valor desconhecdo em graus. Graus de uma categora 360 o freq.(prop.) da categora freq.(prop) total Para os dados do Exemplo 2.1, para as varáves sexo e função teríamos os seguntes valores: Sexo o 216 Masculno: Graus = =195,95 Femnno: Graus = = 164,05 o Função o 27 Escrtóro: Graus = = 275,7 Servços geras: Graus = = 20,5 o

17 Gerênca: Graus = = 63,8 474 Resultando nos seguntes gráfcos: INE 7001 Introdução e Análse Exploratóra de Dados 17 D strbução dos funconáros por se xo D strbução dos funconáros por áre a 18% 46% M a s c u ln o 54% F e m n n o 6% E s c rtó ro S ervços geras G e rê n c a 76% Fonte: hpotétca Fgura 11 - Gráfco em setores de Sexo (Escolástca Ltda.) Fonte: hpotétca Fgura 12 - Gráfco em setores de Função (Escolástca Ltda.) Tal como os gráfcos de barras os gráfcos de setores podem ser construídos por planlhas eletrôncas e mesmo processadores de texto. c) Dupla classfcação Em todos os casos anterores as dstrbuções de frequêncas referam-se apenas a uma varável. Nas cêncas econômcas e socas é muto comum avalar o comportamento conjunto de DUAS varáves, através de uma dupla classfcação. É muto comum representar essa dstrbução conjunta de frequêncas através de uma tabela de contngêncas, para estudar a sua assocação. Exemplo Utlzando os dados do Exemplo 2.1, construr uma tabela de contngêncas para as varáves Sexo e Função. Sera necessáro fazer o cruzamento das duas varáves, anotando quantas ocorrêncas são verfcadas em cada uma das combnações de valores possíves: masculno - escrtóro, masculno - servços geras, masculno - gerênca, femnno - escrtóro, femnno - servços geras, femnnogerênca. Dependendo do tamanho do conjunto de dados esta não é uma tarefa rápda. Vamos magnar que obtvemos a tabela de contngênca abaxo a partr de uma planlha eletrônca 13 (com os dados do Exemplo 2.1). Função Sexo Escrtóro Servços geras Gerênca Total Masculno Femnno Total Fonte: hpotétca Podemos perceber que na função Escrtóro não parece haver grande dferença (em termos relatvos) entre homens e mulheres. Nas outras duas funções, todava, o predomíno masculno é 13 Por exemplo, no Mcrosoft Excel é possível crar uma Tabela Dnâmca para fazer o cruzamento de varáves.

18 INE 7001 Introdução e Análse Exploratóra de Dados 18 ndscutível, sendo especalmente mportante nos cargos de gerênca, onde as decsões da empresa são tomadas. A últma coluna é o total margnal da varável Sexo (exatamente gual ao valor obtdo no Exemplo 2.2), e a últma lnha é o total margnal da varável Função (tal como no Exemplo 2.2). Sem fazer o cruzamento entre as varáves não consegumos dentfcar o predomíno masculno, o que mostra a utldade da tabela de contngêncas. Os resultados poderam ser apresentados em termos de percentuas, calculados em relação ao total geral, aos totas das lnhas (totas dos valores de Sexo) ou aos totas das colunas (totas dos valores de Função), tal como mostrado a segur: Função Sexo Escrtóro Servços geras Gerênca Total Masculno 43,25% 100% 88,10% 54% Femnno 56,75% 0% 11,90% 46% Total 100% 100% 100% 100% Fonte: hpotétca Observa-se que há apenas 11,90% de mulheres em cargos de gerênca, havendo 46% de mulheres na organzação (sem contar que há 0% de mulheres em servços geras), o que confgura desgualdade de oportundades, o que pode dar margem a dversas especulações. A tabela de contngênca podera ser expressa em um gráfco composto de barras 14, ou por gráfcos em setores apresentados conjuntamente 15 (dos gráfcos de função, um para cada sexo, ou três gráfcos de sexo, um para cada função). Vejam os gráfcos a segur: 250 Dstrbução dos funconáros por Função e Sexo Freq Masculno Femnno 50 0 Escrtóro Servços geras Gerênca Função Fonte: hpotétca Fgura 13 - Gráfco composto de barras 14 Pode ser construído em uma planlha eletrônca. 15 Construídos por um programa estatístco.

19 INE 7001 Introdução e Análse Exploratóra de Dados 19 Gráfcos em setores Dstrbução dos funconáros por sexo e área Escrtóro, 60.9 % Escrtóro, 95.4 % Servços geras, 10.5 % Gerênca, 4.6 % Gerênca, 28.7 % SEXO: Masculno SEXO: Femnno Fonte: hpotétca Fgura 14 - Gráfcos de setores Dstrbução de Frequêncas para varáves quanttatvas A construção das dstrbuções de frequêncas para varáves quanttatvas é semelhante ao caso das varáves qualtatvas: relaconar os valores da varável com as suas ocorrêncas no conjunto de dados, mas apresenta alguns detalhes dependendo se a varável é dscreta ou contínua. Há váras formas de representar uma dstrbução de frequêncas de varáves quanttatvas. a) Rol ou lsta Consste em ordenar os valores em ordem crescente ou decrescente, para que seja possível dentfcar valores extremos, mas comuns, etc. Somente é vável para pequenos conjuntos de dados. b) Ramo-e-folhas (stem-and-leaf) Trata-se de uma ferramenta exploratóra útl para descrever pequenos conjuntos de dados (até 100 elementos). As observações são ordenadas crescentemente e dvddas em duas partes para facltar sua descrção: Parte ntera parte decmal ou Centena dezena undade decmas ou Mlhar centena (desprezando os demas algarsmos) por exemplo Eventualmente alguns algarsmos podem ser desprezados para facltar a representação do conjunto. Pode ser usado tanto para varáves quanttatvas dscretas quanto contínuas. Uma das desvantagens do ramo e folhas é que ele não é únco: dependendo do crtéro utlzado para defnr os ramos e folhas a dstrbução terá um aspecto dferente, o que pode modfcar a nterpretação. Exemplo Construr o ramo e folhas das taxas de mortaldade nfantl dos muncípos do Oeste de SC em 1982: 32,3 62,2 10,3 22,0 13,1 9,9 11,9 20,0 36,4 23,5 18,0 22,6 20,3 38,3 19,6 27,2 28,9 18,4 27,3 21,7 23,7 13,9 36,3 32,9 29,7 25,4 23,8 15,7 17,0 39,2 22,7 29,9 18,3 33

20 Ramo e folhas das taxas mortaldade nfantl no Oeste de SC em Fonte: IBGE, GAPLAN- SC, INE 7001 Introdução e Análse Exploratóra de Dados 20 Para cada valor o prmero algarsmo é colocado à esquerda do traço vertcal, no ramo, e o segundo algarsmo à dreta, nas folhas: o valor 32 passa a ser representado por 3 2. Observe também que as folhas estão ordenadas. c) Tabelas para dados não grupados Pratcamente dêntcas às das varáves qualtatvas, mas aqu as categoras são números. Basta contar quantas vezes cada valor ocorreu e regstrá-lo (o valor orgnal ou em percentual). Bastante utlzada para varáves quanttatvas DISCRETAS, para pequenos ou grandes conjuntos. Exemplo Construr a tabela de frequêncas para dados não grupados para os valores a segur: Número de pessoas resdentes no domcílo (amostra de 40 resdêncas do conjunto Monte Verde) Número de resdentes no domcílo em 40 resdêncas Número de resdentes Número de domcílos Percentual de resdêncas 1 1 (1/40) x 100 % = 2,5% 2 3 (3/40) x 100 % = 7,5% 3 6 (6/40) x 100 % = 15,0% 4 13 (13/40) x 100 % = 32,5% 5 11 (11/40) x 100 % = 27,5% 6 4 (4/40) x 100 % = 10,0% 7 0 (0/40) x 100 % = 0,0% 8 2 (2/40) x 100 % = 5,0% Total % Fonte: UFSC, A varável quanttatva (ntervalar) dscreta número de resdentes em domcílos pode assumr valores de 1 a 8: contou-se então o número de resdentes em 40 domcílos, obtendo-se 1 domcílo com 1 resdente, 3 com 2 resdentes e assm por dante. Ao lado estão regstrados os percentuas de cada valor. Observe que não há perda de nformação sobre o conjunto orgnal que fo smplesmente apresentado de forma mas compacta. A tabela do Exemplo 2.5 podera ser representada através de um Hstograma, um gráfco de barras justapostas, em que as áreas das barras são proporconas 16 às frequêncas de cada valor. 16 A maora dos programas (estatístcos ou não) que constróem hstogramas para varáves quanttatvas dscretas costuma gnorar sso.

21 Freqüênca INE 7001 Introdução e Análse Exploratóra de Dados 21 Exemplo Representar a tabela de frequêncas do Exemplo 2.5 através de um hstograma. Número de resdentes em 40 domcílos Número de resdentes em 40 domcílos Resdentes Fonte: UFSC, 1988 Fgura 15 - Hstograma para varável quanttatva dscreta d) Dagrama de pontos (dot-plot) Trata-se de uma ferramenta gráfca extremamente útl para vsualzar a dsposção de pequenos conjuntos de dados (até 100 elementos). Possblta dentfcar valores dscrepantes e avalar a dspersão e do conjunto. Consste em fazer com que cada resultado se dentfque com um ponto na reta dos números reas: se o resultado repetr-se, acrescenta-se mas um ponto no exo vertcal do gráfco, tantas vezes quantas o resultado ocorrer. É uma ferramenta mas aproprada para varáves quanttatvas CONTÍNUAS (onde os valores ocorrem apenas uma vez ou poucas vezes). Uma das vantagens do dagrama de pontos é que ele é únco para um conjunto de dados. Exemplo Construr o dagrama de pontos para as taxas percentuas de crescmento demográfco de alguns muncípos catarnenses: -0,4-1,7-1,0 0,3-0,3-0,45-0,15-1,2-0,1-0,42 0,6 0,4 7,3 3,6-0,6 3,2 6,6 3,0 2,9 2,4 É precso ordenar os dados do menor para o maor, e regstrar as ocorrêncas de cada um na reta dos reas. Observe que se trata de uma varável quanttatva CONTÍNUA: crescmento demográfco está expresso em números, e pode assumr uma nfndade de valores (negatvos, sgnfcando redução da população, zero, sgnfcando estagnação, postvos, aumento da população). Nenhum valor ocorre mas de uma vez. O gráfco resultante pode ser vsto na Fgura 16. Dagrama de pontos das taxas de crescmento demográfco de alguns muncípos catarnenses Fonte: hpotétca Fgura 16 - Dagrama de pontos para varável quanttatva contínua Analsando o gráfco da Fgura 16 podemos dentfcar claramente três grupos de muncípos. O prmero é composto por muncípos com crescmento negatvo ou pouco acma de zero, que

22 INE 7001 Introdução e Análse Exploratóra de Dados 22 consttuem a maora. Por que sso ocorre? Identfcando os muncípos, e estudando suas característcas sóco-econômcas poderíamos responder. O segundo grupo é formado por muncípos com crescmento "ntermedáro", entre 2 e 4%. E o tercero grupo é formado por valores dscrepantes, com crescmento acma de 6% (o que pode acarretar graves problemas de nfraestrutura). Todas essas nformações foram obtdas de um gráfco extremamente smples. Não obstante poucos programas estatístcos apresentam o dagrama de pontos como opção. e) Tabelas para dados grupados Quando as varáves são contínuas sua grande varação torna nútes as tabelas para dados não grupados como nstrumento de resumo do conjunto, pos pratcamente todos os valores têm freqüênca baxa, o que resultara em uma tabela enorme. É precso representar os dados através de um conjunto de classes mutuamente exclusvas (para que cada valor pertença apenas a uma classe), que contenha do menor ao maor valor do conjunto: regstram-se então quantos valores do conjunto estão em cada classe. É mas aproprada para grandes conjuntos de dados. O processo para montagem das classes é o segunte: 1) Determnar o ntervalo do conjunto (dferença entre o maor e o menor valor do conjunto). 2) Dvdr o ntervalo em um número convenente de classes, onde: de classes = No de elementos No 17 3) Estabelecer as classes com a segunte notação: L - lmte nferor Ls - lmte superor L -- Ls lmte nferor ncluído, superor excluído L -- Ls ambos ncluídos 4) Determnar as frequêncas de cada classe. 5) Determnar os pontos médos de cada classe através da méda dos 2 lmtes (serão os representantes das classes). Exemplo Construr a tabela de frequêncas agrupada em classes para os dados da mortaldade nfantl em muncípos do Oeste de SC em 1982 (abaxo): 32,3 62,2 10,3 22,0 13,1 9,9 11,9 20,0 36,4 23,5 18,0 22,6 20,3 38,3 19,6 27,2 28,9 18,4 27,3 21,7 23,7 13,9 36,3 32,9 29,7 25,4 23,8 15,7 17,0 39,2 22,7 29,9 18,3 33 Resolução: 1) Intervalo= Maor - Menor = 62,2-9,9 = 52,3 (a maor taxa fo de 62,2% e a menor de 9,9%, as classes devem englobar do menor ao maor valor). 2) No de classes = No de elementos 34 5, (usando as regras de arredondamento vstas anterormente obtém-se o número de classes). Ampltude das classes = 52,3/6 = 8,71666 = 8,72 (como há um ntervalo de 52,3 e 6 classe a ampltude arredondada será de 8,72; é mportante que neste caso o arredondamento seja feto sempre para cma). 3) Classes: 9, ,62 18, ,34 27, ,06 36, ,78 44, ,50 53, ,22 (neste caso o ponto ncal fo o própro menor valor do conjunto, podera ser outro valor convenente ABAIXO do menor valor). 4) Pontos médos de cada classe: (lmte nferor + lmte superor)/2 (os pontos médos calculados estão na tabela abaxo) 17 Alguns autores recomendam esta fórmula apenas para conjuntos com até 100 observações, para conjuntos maores o número de classes pode ser calculado por 5 log n (onde n é o número de elementos do conjunto de dados).

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