O Teorema Fundamental do Cálculo e Integrais Indefinidas

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1 Cpítulo O Teorem Fundmentl do Cálculo e Integris Indefinids. Introdução Clculr integris usndo soms de Riemnn, tl qul vimos no cpítulo nterior, é um trblho penoso e por vezes muito difícil (ou quse impossível). Felizmente, eiste um método muito eficiente e poderoso que permite clculr integris de um mneir muito mis simples. Este método, desenvolvido seprdmente por Newton e Leibniz, mostr que se um determind quntidde pode ser clculd por eustão (soms de Riemnn, por eemplo), então pode ser clculd muito mis fcilmente com o uso de ntiderivção, entendid como o processo de chr um função conhecendo-se su derivd. Este importnte resultdo é denomindo teorem fundmentl do cálculo e é um dos mis importntes de tod mtemátic. Este teorem relcion derivds e integris e mostr que els são, de um cert mneir, operções inverss. Este fto é evidencido pel seguinte situção físic. Considere um prtícul deslocndo-se em linh ret, com velocidde conhecid v(t), em cd instnte t, com t vrindo em um intervlo de tempo [, b]. Se s(t) fornece posição d prtícul em cd instnte t, o espço totl percorrido pel prtícul em um intervlo de tempo [, b] é ddo por s(b) s(). Considere gor um prtição P do intervlo [, b] em n subintervlos iguis. O espço percorrido pel prtícul, em cd subintervlo de tempo [ t i, t i ], de comprimento t, d prtição P, pode ser proimdo por v(c i ) t, onde c i é um ponto do subintervlo considerdo. Assim, o espço totl percorrido pel prtícul no intervlo de tempo [, n b], pode ser proimdo pel som v(c i ) t. Est proimção será cd vez melhor à medid que t for cd i= vez menor. Assim, temos que o vlor eto do espço percorrido será ddo pelo limite d som cim, ou sej, s(b) s() = lim n v(c i ) t = Este resultdo é o chmdo teorem fundmentl do cálculo.. O teorem fundmentl do cálculo i= b v(t) dt = b s (t) dt. A bordgem de Newton do problem do cálculo de áres prece, à primeir vist, prdol e consiste em substituir o problem do cálculo d áre de um região fi (figur à esquerd) pelo cálculo d áre de um região vriável, produzid qundo etremidde direit do intervlo é considerd móvel, de modo que áre sej um função de, como é ilustrdo no digrm d figur à direit

2 Cp.. O Teorem Fundmentl do Cálculo e Integris Indefinids É fácil descobrir qul é função que nos dá áre d região vriável, como mostr primeir prte d demonstrção do teorem fundmentl do cálculo enuncido seguir. Teorem fundmentl do cálculo: Sej f um função contínu definid no intervlo fechdo [, b].. Se função A é definid em [, b] por A() = f(t) dt, então, A () = f() pr todo em [, b]. Um função com tl propriedde é chmd de primitiv ou ntiderivd de f.. Se F é um primitiv de f em [, b], então b f() d = F (b) F (). Antes de demonstrrmos o teorem, vmos slientr lguns spectos geométricos d fórmul do item. Se f é positiv em [, b], então função A definid em, represent áre sob o gráfico de f desde t = té t = (figur seguinte à esquerd). É clro que A cresce com. Se >, diferenç A = A( + ) A() é áre sob o gráfico de f de té +, que corresponde áre d fi mostrd n figur seguinte à direit. b + b Mostrremos que A( + ) A() = f(c), onde c está entre e +. Intuitivmente percebemos que se tende zero, então c e f(c) f(), que é o resultdo que queremos provr. Este resultdo nos diz, simplesmente, que t de vrição d áre A em relção é igul o comprimento do ldo esquerdo d região. Demonstrção. Sej >. Se e + pertencem [, b] então, pel definição d função A() e pels proprieddes ds integris definids, temos que A( + ) A() = Assim, podemos escrever = + + f(t) dt f(t) dt A( + ) A() f(t) dt = = ( )( + f(t) dt + + f(t) dt). f(t) dt f(t) dt Como f é contínu, pelo teorem do vlor médio pr integris, sbemos que eiste um número c (que depende de ) no intervlo (, + ), tl que e, portnto, + f(t) dt = f(c) A( + ) A() = f(c).

3 W.Binchini, A.R.Sntos Como < c < +, segue que lim f(c) = lim f(c) = f() e dí, pel iguldde nterior, + c + lim + Se <, demonstr-se, nlogmente, que Os limites lteris cim implicm que A( + ) A() lim = f(). A( + ) A() = f(). o que querímos demonstrr. da d = lim A( + ) A() = f(),. Sej A() = f(t) dt como definid em. Então, A() = e A(b) = b f(t) dt. Pel prte, A () = f(). Por hipótese, temos tmbém que F () = f(). Logo, pelo corolário do teorem do vlor médio, s funções A e F diferem por um constnte, isto é, A() = F () + C. Pr =, temos = A() = F () + C, isto é, C = F (). Assim, A() = F () F (). Logo, pr = b, e o teorem está demonstrdo. Observções A(b) = b f(t) dt = F (b) F (). A iguldde A () = f() que prece n prte do teorem fundmentl do cálculo pode ser reescrit como d d f(t) dt = f() e nos mostr que derivd dest função é, simplesmente, o vlor do integrndo clculdo no limite superior d integrl. Temos tmbém que d f(t) dt = F (t) dt dt e por su vez d F (t) dt = F () F () dt Neste sentido, diz-se que s operções de derivção e integrção são inverss um d outr.. Us-se notção F () b pr representr diferenç F (b) F (). Assim, escrevemos b f() d = F () b = F (b) F ().. Qulquer primitiv de f() servirá pr o cálculo d b f() d. A vercidde dest firmção é fcilmente comprovd se lembrrmos que quisquer dus primitivs de f diferem por um constnte. Assim, se F é um primitiv de f, então qulquer outr primitiv dest função é obtid dicionndo-se um conveniente constnte C à função F pr obter F + C. Deste modo, como (F () + C) b = (F (b) + C) (F () + C) = F (b) F (), constnte rbitrári C não tem efeito sobre o resultdo, portnto, podemos sempre escolher C =, qundo estmos chndo primitivs com o propósito de clculr integris definids.

4 Cp.. O Teorem Fundmentl do Cálculo e Integris Indefinids. Este teorem torn o difícil problem de clculr integris definids por meio do cálculo do limite de soms num problem muito mis fácil de encontrr primitivs. Portnto, pr chr o vlor de b f() d não precismos mis clculr limites de soms de Riemnn; simplesmente chmos, d mneir que for possível (por inspeção, por lgum cálculo inteligente, por inspirção divin, procurndo num tbel, usndo o Mple), um primitiv F d função que queremos integrr e clculmos o número F (b) F (). 5. A tref de encontrr primitivs de funções não é trivil e, em lguns csos, é impossível determinr primitivs em termos de funções elementres polinômios, senos e cossenos, logritmos e eponenciis, ou combinções e composições dests funções. No entnto, função A() definid no teorem fundmentl do cálculo, eiste sempre que o integrndo for um função contínu no intervlo [, ], mesmo que não sibmos clculá-l eplicitmente, e é contínu, pois é derivável. Neste sentido, por eemplo, o problem de se chr um fórmul eplícit pr integrl sen( ) d está for do nosso lcnce. Entretnto, se em vez de procurrmos um fórmul eplícit pr est integrl quisermos pens um função bem definid, epressão F () = sen( ) d servirá como um bo definição pr função procurd. (Vej o Eemplo 5.) Eemplo Se n é um inteiro positivo, clcule um primitiv de n e use este resultdo pr clculr 5 d. Solução Como cálculo obtemos: d d ( (n+) n + ) = n, temos que d = 6 6 é primitiv procurd. Assim, pelo teorem fundmentl do = 6 6 ( )6 = Eemplo Clcule d. Solução: Como em (, ) e em (, ) e (, ), usndo s proprieddes d integrl definid, temos d = = [ d + = ( ( ) ] d + [ + ] d [ + ( ) ) + ( ) + [ ( )] = 6. ] Eemplo Considere função f() = +. () Clcule f() d. (b) Ache áre d região limitd pelo gráfico de f e o eio. Solução () Como função F () = f() = +, tem-se que + + d = + (b) Observe o o seguinte gráfico d função f: é um primitiv de = + (( ) + ( ) ( ) ) = 9

5 W.Binchini, A.R.Sntos 5 5 R y R A região limitd pelo gráfico de f e o eio é compost de dus regiões R e R. A áre de R é dd por + d = + ( ( ) = + ) ( ) ( ) = 6 No intervlo (, ) função é negtiv, de modo que, pr obter áre (positiv) d região R, devemos mudr o sinl d integrl de f neste intervlo. Assim, áre de R será dd por [ + d = + ] = ( + ) = 5 6. Logo, áre R d região pedid será R = R + R = = 7 6. Este rciocínio é equivlente integrrmos o vlor bsoluto de f no intervlo considerdo, pois f() d = f() d f() d, e est som fornece áre que queremos clculr. Est conclusão é ilustrd pelo gráfico de y = f(), mostrdo seguir. Compre este gráfico com o de y = f() trçdo nteriormente. Eemplo Clcule dy d, se () y = f() = 5 y t sen(t) dt (b) y = h() = t sin(t) dt Solução () A primeir prte do teorem fundmentl do cálculo firm que derivd de um integrl em relção o seu limite superior é igul o vlor do integrndo nquele limite. Assim, se y() = t sen(t) dt, temos, imeditmente, que dy d = sen(). (b) Este cso é um pouco mis complicdo, pois o limite superior d integrl é um função d vriável em relção qul desejmos derivr função dd. Neste cso, sej u = g() =. Assim, se então, h() = (F g)(). Pel regr d cdei, F (u) = u t sen(t) dt dh d = df du du d = u sen(u) = 6 sen( ) = 7 sen( ) Eemplo 5 A integrl S() = ( ) sen π t dt é chmd função de Fresnel e preceu pel primeir vez no trblho do físico frncês Augustin Fresnel (788-87), fmoso por sus contribuições em ótic sobre difrção de onds de luz.

6 6 Cp.. O Teorem Fundmentl do Cálculo e Integris Indefinids () Pr que vlores de est função tem máimos locis. (b) Em que intervlos est função é côncv pr cim? Solução () A primeir prte do teorem fundmentl do Cálculo nos mostr que ( ) π S () = sen. A prtir dest informção, podemos plicr os métodos do cálculo diferencil pr nlisr est função. ( ) Como S é contínu em tod ret, os pontos críticos de S só poderão ocorrer onde S () =, ou sej, onde sen =. Dí, decorre que = ± k, pr k =,,.... Pr decidir( quis ) destes pontos são máimos locis, vmos plicr o teste d derivd segund. Assim, como S () = π cos, temos que, pr vlores ímpres de k, S ( k) será negtiv e, portnto, os pontos = k π (k ímpr) serão máimos locis d função S. A nálise é nálog pr o cso em que = k. O ponto (, ) é um ponto de infleão d função S. (Confir!) O item (b) é deido como eercício pr o leitor. Vej bio, à esquerd o gráfico dest função trçdo com jud do Mple e bio à direit um detlhe do mesmo (pr vrindo de té,5) trçdo em conjunto com su derivd. Observe que s conclusões obtids cim coincidem com os gráficos presentdos. π Integris indefinids Um integrl como b f() d é chmd integrl definid de f. Um função F, tl que F () = f() é um primitiv de f(), ssim como F () + C, onde C é um constnte rel qulquer. À medid que vrimos C, obtemos o conjunto de tods s primitivs de f. Podemos representr este conjunto por f() d = F () + C. A integrl que prece nest epressão é chmd integrl indefinid de f e é usd pr especificr primitiv mis gerl de f. Assim, f() d = F () + C se e somente se F () = f() e podemos escrever que d f() d = d (F () + C) = f() d d e f() d = d F () d = F () + C. d A constnte C é chmd de constnte de integrção. Pr cd vlor de C temos um primitiv de f. Vej figur seguir, onde trçmos o gráfico de váris primitivs d função f() = ( ), obtids pel vrição do vlor d constnte C. y c = c = c = c = c = c =

7 W.Binchini, A.R.Sntos 7 Em gerl, não se eplicit o domínio de F. Supõe-se sempre escolhido um intervlo em que f sej integrável. Tl como no cso de integris definids, qui tmbém é irrelevnte o símbolo dotdo pr vriável de integrção, por eemplo, f(t) dt, f(u) du, etc. originm sempre mesm função F. Como integrl indefinid de f é um primitiv dest função, o teorem fundmentl do cálculo nos dá seguinte relção entre integris definids e indefinids: b [ f() d = ] b f() d Assim, conhecid integrl indefinid de um função f, podemos clculr qulquer integrl definid dest mesm função. Além disso, prtir ds proprieddes opertóris de derivção, podemos estbelecer lgums regrs básics pr s integris indefinids. Por eemplo, propriedde opertóri pr derivr soms de funções pode ser trduzid em termos de integris indefinids como (f() + g()) d = f() d + g() d D mesm form, se C é um constnte rbitrári, C f() d = C f() d Assim, tl como no cso de integris definids, tod regr de derivção pode ser trnsformd em um regr de integrção. Por eemplo, como d ( + 5) = d d = C Est observção nos permite construir um tbel de integris invertendo um tbel de derivds, como é feito nos eemplos seguir. Eemplo A regr d potênci pr integris definids é dd por n d = (n+) + C, pr todo rcionl n. n + Eemplo D mesm mneir, vlem s regrs sen() d = cos() + C cos() d = sen() + C sec () d = tg() + C cossec () d = cotg() + C d = rctg() + C + d = rcsen() + C Como já dissemos, tref de encontrr primitivs e, portnto, de clculr integris indefinids, não é trivil. Nos próimos cpítulos, desenvolveremos métodos que serão úteis no cálculo de integris indefinids.. Eercícios. Clcule s integris bio usndo o teorem fundmentl do cálculo: () (b) π d sen() d (c) (d) π cos() d 5 + d (e) π sec d. Use o teorem fundmentl do cálculo e s proprieddes de integrl pr clculr s integris bio: () sen( ) d (d) d π + π (g) d (b) sen() cos() d (e) cos(5 ) d π 9 5 (c) d (f) (h) cos( ) d d

8 8 Cp.. O Teorem Fundmentl do Cálculo e Integris Indefinids. Usndo s proprieddes ds integris definids e o teorem fundmentl do cálculo, prove que integrl de um polinômio de gru n é dd por:. Sej f() = b n c i i d = i= { + < cos(). Clcule f() d. n i= ( ) ci b (i+) i + 5. Em cd um dos itens bio, determine um número c que stisfç conclusão do teorem do vlor médio pr integris definids: () (b) + d ( + ) d (c) (d) 9 + d d 6. () Se f() = +, determine áre d região sob o gráfico de f de. (b) Se f() =, determine áre d região sob o gráfico de f de. 7. Use integrção pr clculr áre do triângulo delimitdo pel ret y =, pelo eio e pel ret =. Confir su respost usndo geometri. 8. Use um integrl definid pr provr que áre de um triângulo retângulo de bse b e ltur é dd por b.. 9. Cd um ds curvs seguir tem um rco cim do eio. Clcule áre d região sob o rco. () y = + (b) y = 9 (c) y = (d) y = Ache fórmul gerl pr F () = t + t + 5 dt. Idem pr t5 t + dt.. Ache primeir e segund derivd de cd um ds funções dds bio () f() = t dt (c) h() = + t8 dt 5 (e) f() = (b) g() = t + dt (d) g() = ( + t ) dt.5 Problems π. Ache áre sob o gráfico de y = + desde = té =. (A menos que você consig se lembrr de lgum função cuj derivd sej + 5 dt, pr >. t, você não terá como resolver este problem. O rdicl no denomindor sugere que, de lgum form, você deve tentr usr fórmul ( f) = f f.. Clcule t dt. Sugestão: Esboce o gráfico dest função e eplique por que o vlor dest integrl pode t + ser determindo sem ser necessário fzer nenhum cálculo!. Clcule π π sen() (cos() + sen()) d. (Se você chou este problem difícil, use o Mple pr trçr o gráfico do integrndo e conclu porque não é necessário nenhum cálculo pr resolver est integrl!). () Se f() é um função ímpr, isto é, f( ) = f(), mostre, geométric e nliticmente, que f() d =. (b) Se f() é um função pr, isto é f( ) = f(), mostre geometric e nliticmente, que f() d = f() d 5. O gráfico de y =,, pode ser considerdo como sendo o gráfico de = y, y. Mostre, por geometri, que isto implic vlidde d equção d + y dy =, >. Confir este resultdo clculndo s integris.

9 W.Binchini, A.R.Sntos 9 6. Pr clculr integrl d, um luno de Cálculo I rciocinou d seguinte mneir: Sej F () =. Como F () =, temos que d = F () F ( ) = ( ) =. O resultdo cim represent, geometricmente, áre sob o gráfico d curv y =, de = té = que, evidentemente, não pode ser negtiv. Qul flh no rciocínio deste luno? 7. () Sej um ponto P que se move com velocidde contínu v num ret coordend. Mostre que velocidde médi deste ponto, no intervlo [, b], é igul à médi de v em [, b]. (b) Se f tem derivd contínu em [, b], mostre que t médi de vrição de f() em relção em [,b], é igul o vlor médio de f em [,b]. 8. Um pedr ci de um edifício de metros de ltur. Ache velocidde médi d pedr se el demor 8 segundos pr tingir o solo. 9. A tempertur médi d pri de Copcbn em um di de verão ds 8 d mnhã às 6 d trde é dd, proimdmente, por T (t) = sen( π t ). Considerndo t = às oito d mnhã, clcule tempertur médi d rei no período de hors discrimindo cim.. Os itens bio se referem à função F () = +t dt, qulquer que sej rel. () Ache F () e F (). (b) Justifique por que F () F () <. (c) Justifique por que F () + F ( ) =, qulquer que sej o número rel. (d) Mostre que F é invertível em tod ret e clcule ( d F d )().. () Ache áre A, como um função de k, d região no primeiro qudrnte limitd pelo eio y, pel ret y = k, k >, e pelo gráfico d função y =. (b) Qul o vlor de A qundo k =? (c) Se ret y = k está se movendo pr cim um t constnte de uniddes de comprimento por segundo, qul t de vrição de A qundo k =?. Sej g() = f(t) dt, onde f é função cujo gráfico é mostrdo seguir. () Clcule g(), g( ), g( ), g() e g(). (b) Em que intervlos g é crescente? (c) Em que ponto g tinge o seu vlor máimo? (d) Esboce o gráfico de g. (e) Use o gráfico obtido no item nterior pr esboçr o gráfico de g. Compre o gráfico ssim obtido com o gráfico de g Suponh que g () < pr todo e sej F () = t g (t) dt, pr todo. Justifique vercidde ou flsidde ds firmções: () F é negtiv pr todo. (b) F é contínu pr todo. (c) F () eiste pr todo >. (d) F é um função crescente.

10 Cp.. O Teorem Fundmentl do Cálculo e Integris Indefinids. Sej f() um função dus vezes diferenciável tl que f é contínu em tod ret. Sbendo que f() =, f() =, f () = 5, f () =, f () = e f () =, clcule f () d e f () d. 5. Mostre que ( d d t dt ( ) d u() ( ) ( d u d u f(t) dt = f(u ()) f(u ()) d u () d d ) ). Use este resultdo pr clculr.6 Um pouco de históri: A integrl de Lebesgue O método de clculr áres e volumes de figurs geométrics complicds por meio de áres e volumes de figurs mis simples, já er usdo por Arquimedes (87- A.C.). Tl idéi foi o germe do que se convencionou chmr de cálculo infinitesiml. Embor est idéi sej tão ntig, su formlizção mtemátic, denomind teori d integrção, teve seu pogeu no século tul. Podemos firmr que o conceito de integrl prece, de fto, em form embrionári, nos trblhos de Arquimedes, o utilizr o Método d Eustão crido por Eudoo (8-55 A.C.), no cálculo de comprimento de curvs, de áres e de volumes de figurs geométrics. Um dos resultdos obtidos por Arquimedes com o emprego deste método é descrito no projeto Arquimedes e qudrtur d prábol. Aind que os conceitos de derivd como coeficiente ngulr d tngente e d integrl definid como áre sob um curv fossem fmilires muitos pensdores desde Antiguidde, dizemos que Newton e Leibniz lnçrm s bses do cálculo diferencil e integrl porque eles, trblhndo quse o mesmo tempo e independentemente um do outro, form os principis descobridores do teorem fundmentl do cálculo e queles que primeiro compreenderm su importânci, começndo construir necessári teori pr o estbelecimento dests noções em bses sólids, plicndo os seus resultdos, com sucesso espetculr, problems de mecânic e geometri. Entretnto, Newton e Leibniz não possuím com clrez noção de limite, deindo duvidosos e obscuros vários pontos de seus trblhos, com introdução do conceito de infinitésimo. Posteriormente, com os trblhos de Cuchy ( ) e Riemnn (86-866), o conceito de integrl foi estbelecido em bses mtemátics rigoross, tornndo-se pr époc um instrumento poderoso n resolução de inúmeros problems. Durnte muito tempo foi desenvolvid um teori de integrção bsed ns idéis de Riemnn. Est teori, entretnto, contém certos inconvenientes que tornm indequd o estudo de vários problems d nálise mtemátic. N seção Pr você Meditr, deste cpítulo, foclizmos um desses inconvenientes. Como noção de integrl de Riemnn present certs deficiêncis que tornm ineficz pr resolução de um grnde número de problems, fez-se necessári reformulção de tl conceito, com o objetivo de se obter um integrl sem s deficiêncis d integrl de Riemnn e contendo como um cso prticulr. Dito de outro modo, dever-se-i obter um integrl tl que nov clsse de funções integráveis contivesse clsse de funções integráveis Riemnn (onde s dus integris deverim coincidir) e n qul os inconvenientes d integrl de Riemnn desprecessem ou, pelo menos, fosse minimizdos. O psso decisivo no sentido de se obter um definição de integrl que eliminsse s deficiêncis eistentes n integrl de Riemnn foi ddo por Henri Lebesgue (875-9), qundo em 9 publicou su fmos tese de doutormento, intituld Intégrle, longuer, ire, que tulmente está contid no livro Leçons sur l Integrtion et l Recherche des Fonctions Primitives. O conceito de integrl originlmente proposto por Lebesgue bsei-se n noção de medid de conjuntos, e s sus idéis se fstrm tnto dos cânones d époc que form, em princípio, refutds e severmente criticds. Todvi, originlidde de sus idéis encontrou crescente reconhecimento, vindo completr definitivmente certs lcuns inerentes à integrl de Riemnn. A integrl de Lebesgue foi primeir tenttiv frutífer de orgnizção mtemátic d noção de integrl. Neste sentido, costum-se dizer que teori de integrção foi crid no século XX..7 Pr você meditr: Um conclusão intuitiv ou um erro teórico? Dizemos que um função u:(, b) R é um função escd qundo eiste um prtição do intervlo (, b) tl que u é constnte em cd subintervlo dest prtição. No cpítulo nterior, utilizmos áres de retângulos inscritos (ou circunscritos) um região pr obter proimções pr áres sob gráficos de funções f positivs. Observe o gráfico seguir e conclu que, se m i é o menor vlor d função f em cd subintervlo d prtição, áre dos retângulos inscritos é áre sob o gráfico de um função escd que ssume o vlor m i em cd subintervlo considerdo.

11 W.Binchini, A.R.Sntos No cpítulo nterior concluímos, tmbém, que o vlor eto d áre sob um curv poderi ser obtido tomndo-se o limite ds áres desses retângulos. Seguindo o mesmo rciocínio, podemos observr que à medid que o número de intervlos considerdos n prtição ument, seqüênci de funções escds u n ssocids, d mneir descrit cim, cd subintervlo ds prtições, converge pr função f, isto é, lim u n = f e desse modo, lim b Ests firmções são ilustrds no digrm: u n () d = b lim u n() d = b f() d. Considere gor seqüênci de funções g n definids por n, n g n () = n n, n n, n Observe os gráficos de g () e g (): É fácil ver que, à medid que n cresce, pr cd fido, seqüênci g n () converge pr zero. Assim, podemos dizer que lim g n() =. No entnto, pr cd n, temos que g n() d = (por quê?) e, portnto b lim g n () d = = lim g n() d E gor, será que noss definição de áre sob um curv está errd, pois não é verdde que lim b u n () d = lim u n() d? Se conclusão no primeiro eemplo presentdo cim é corret, qul diferenç entre os dois eemplos ddos? Por que no primeiro cso vle iguldde lim b u n () d = b lim u n() d

12 Cp.. O Teorem Fundmentl do Cálculo e Integris Indefinids e no segundo este resultdo não se plic? (Sugestão: O cerne deste problem está n definição de convergênci pr seqüênci de funções. O modo como s seqüêncis cim convergem pr função limite é diferente nos dois csos presentdos. Tente entender onde está est diferenç!).8 Projetos.8. Arquimedes e qudrtur d prábol Vmos eminr o procedimento utilizdo por Arquimedes pr clculr áre de um segmento prbólico, isto é, áre d região limitd por um prábol e pel ret AB como mostr figur à esquerd. Pr clculr áre dest região, Arquimedes utilizou triângulos d mneir descrit seguir. Su primeir proimção foi o triângulo ABC, onde o vértice C é escolhido como o ponto em que tngente à prábol é prlel à ret AB. (Vej figur à direit). 8 8 A 6 A 6 B B C Su segund proimção foi obtid juntndo-se o triângulo ABC os dois triângulos ACD e BCE, onde o vértice D é o ponto em que tngente é prlel à ret AC e o vértice E é o ponto em que tngente é prlel à ret BC, continundo com este processo, té eurir áre do segmento prbólico. Dest mneir, Arquimedes clculou áre do segmento prbólico e mostrou que eiste um relção entre est áre e áre do primeiro triângulo utilizdo pr este cálculo. O objetivo deste projeto é utilizr conhecimentos de cálculo, pr descobrir no procedimento descrito cim relção eistente entre s áres do segmento prbólico e do primeiro triângulo utilizdo por Arquimedes em um cso prticulr.. Considere ret y = m + b e prábol y =. Determine o ponto P no rco AOB d prábol que mimize áre do triângulo APB, onde A e B são os pontos de interseção d ret e d prábol e O é origem do sistem de coordends.. Relcione áre deste triângulo ótimo com áre d região delimitd pel ret e pel prábol.. Usndo o teorem do vlor médio, mostre que no ponto P ret tngente à prábol é prlel à ret AB.. Use os itens nteriores pr concluir qul relção estbelecid por Arquimedes no seu trblho sobre qudrtur d prábol..8. Seprção de vriáveis, velocidde de escpe e burcos negros Grnde prte d inspirção originl pr o desenvolvimento do Cálculo veio d Físic, mis especificmente, d Mecânic e ests ciêncis continum ligds té hoje. A Mecânic é bsed em certos princípios básicos que form formuldos por Newton. O enuncido destes princípios requer o conceito de derivd, e sus inúmers plicções dependem do conceito de integrl plicdo à resolução de equções diferenciis: equções que envolvem um função e sus derivds. Resolver um equção diferencil signific encontrr um função incógnit prtir de informções dds respeito de su t de vrição. Esss equções precem tão freqüentemente em problems físicos, biológicos e químicos que seu estudo, hoje, constitui-se num dos principis rmos d mtemátic. No projeto Estudndo qued dos corpos - Movimento uniformemente celerdo, vimos, como prtir de leis físics (no cso segund Lei de Newton), foi possível obter um equção diferencil que model qued livre de corpos e então deduzir váris fórmuls pr este movimento que usmos desde o segundo gru, sem um justifictiv mis profund. Nos eemplos estuddos nquele projeto, trtmos celerção d grvidde como se for um constnte e vimos que est hipótese é rzoável pr corpos que se movem próimos à superfície d Terr. No entnto, pr estudr o

13 W.Binchini, A.R.Sntos movimento de um corpo que se move pr for d Terr, no espço, devemos levr em cont que forç d grvidde vri inversmente com o qudrdo d distânci do corpo à Terr. Est lei, conhecid como lei d grvitção de Newton, em homengem o grnde mtemático e físico que estbeleceu, firm que dus prtículs quisquer de mtéri no universo se trem com um forç proporcionl sus msss e inversmente proporcionl o qudrdo d distânci entre els. O objetivo deste projeto é utilizr est lei e nossos conhecimentos sobre integris pr estbelecer velocidde necessári pr que um foguete escpe d trção grvitcionl d Terr. Equções diferenciis e seprção de vriáveis Vimos que equção f() d = F () é equivlente F () = f(). Est firmção pode ser interpretd de dus mneirs. () Podemos pensr no símbolo. d operndo sobre função f() pr produzir su primitiv. Dess mneir, o sinl de integrl e o símbolo d são, juntos, prte de um mesmo símbolo. O sinl de integrl especific operção, e o único ppel de d é ssinlr qul é vriável de integrção. (b) Um segund interpretção pr equivlênci cim é bsed n notção e no conceito de diferencil de um função introduzido no Cp.. Usndo diferenciis, iguldde F () = f() pode ser escrit como df () = f() d, onde f() d é encrd como diferencil d função F (). Segundo este ponto de vist, o sinl de integrl pode ser entendido como um operdor que ge sobre diferencil de um função, ou sej, sobre f() d, retornndo, como resultdo, própri função. Assim, o símbolo de integrl signific operção que é invers d diferencição. Est segund interpretção é prticulrmente conveniente pr resolução de certs equções diferenciis simples. Como dissemos n introdução, um equção diferencil é um equção que envolve um função ( incógnit do problem) e sus derivds. A ordem de um equção diferencil é ordem d mior derivd que ocorre n equção. Ao integrrmos um função qulquer, estmos resolvendo um equção diferencil de primeir ordem. Assim, usndo notção diferencil, equção dy d = é equivlente dy = d. Pr resolver est equção diferencil, bst integrrmos dy = d y = + C Est solução é chmd solução gerl d equção diferencil dd, e escolhs diferentes pr constnte de integrção C fornecem soluções prticulres. De um modo gerl, se um equção diferencil pode ser escrit n form g(y) dy = f() d com s vriáveis e y seprds em diferentes membros d iguldde cim, podemos integrr mbos os ldos d identidde pr obter solução d equção. Velocidde de escpe Suponh que um foguete sej lnçdo pr cim com velocidde inicil v e depois disso se mov sem nenhum gsto posterior de energi. Pr vlores grndes de v, este foguete sobe bstnte ntes de tingir o repouso e inicir su qued de volt à Terr. O problem que propomos é o de clculr menor velocidde v pr que o foguete jmis tinj o repouso e, por cus disso, escpe d trção grvitcionl d Terr. De cordo com lei d grvitção de Newton, forç F que tri o foguete pr Terr é dd por F = G( M m s ), onde G é um constnte positiv, M e m são s msss d Terr e do foguete, respectivmente, e s é distânci do foguete o centro d Terr (neste cso tod mss d Terr está concentrd no seu centro). Como pel segund lei do movimento de Newton, F = m, temos que ( ) m( d s dt ) = G(M m s ) d s dt = G M s Est equção nos diz que o movimento do foguete não depende d su mss. Além disso, podemos determinr o vlor d constnte G se lembrrmos que, qundo s = R (rio d Terr), celerção d s é igul g (celerção dt grvidde). Então, temos que GM = gr, e como d s = dv dt dt, podemos escrever (*) como ( ) dv dt = gr s.

14 Cp.. O Teorem Fundmentl do Cálculo e Integris Indefinids Como, pel regr d cdei, dv dt = ( dv ds )( ds dt ) = ( dv ds )(v), equção (**) se trnsform em v dv ds = gr s.. Sepre s vriáveis e integre pr obter solução gerl dest equção diferencil.. Use condição inicil v = v, qundo s = R, pr determinr, dentre tods s soluções possíveis d equção, solução prticulr que nos interess, isto é, determine o vlor d constnte de integrção fim de que solução encontrd stisfç os ddos iniciis do problem em estudo.. Eminndo solução encontrd, determine velocidde de escpe d Terr. (Lembre-se de que velocidde do foguete deve ser sempre positiv, pois se velocidde se nulr, o foguete pár e, então, ci de volt à Terr.). Estime o vlor d velocidde de escpe usndo pr g o vlor de 9,8 m/s e pr R, 6, 7 6 m. 5. Como vimos n discussão cim, lei d grvitção de Newton implic que grvidde n superfície de um plnet ou qulquer outro corpo celeste é diretmente proporcionl à mss do plnet e inversmente proporcionl o qudrdo do seu rio. () Se g L denot celerção devido à grvidde d Lu, use o fto de que Lu tem, proimdmente, do rio e 8 d mss d Terr pr mostrr que g L é proimdmente igul g 6. (b) Clcule velocidde de escpe pr Lu. (c) Eplique por que se o rio de um corpo diminui e su mss se mntém constnte velocidde de escpe pr este corpo cresce. Burcos negros A miori ds estrels normis é mntid em seu estdo gsoso em virtude d pressão de rdição de dentro, que é gerd pel queim de combustível nucler. Qundo o combustível nucler se distribui, estrel sofre um colpso grvitcionl, trnsformndo-se num esfer muito menor com, essencilmente, mesm mss. A mtéri comprimid e degenerd desss estrels que círm em colpso podem lcnçr dois tipos de equilíbrio, dependendo d mss d estrel. As estrels nãs brncs são s que se formm qundo mss é menor que cerc de, msss solres, e estrels de nêutrons precem qundo mss está entre, e msss solres. Pr estrels mis pesds, o equilíbrio não é possível e o colpso continu té que velocidde de escpe n superfície tinj velocidde d luz. Estrels em colpso deste tipo são completmente invisíveis, pois não emitem nenhum rdição. Estes são os chmdos burcos negros. Se o sol pudesse ser concentrdo num esfer menor com mesm mss, qul seri um vlor proimdo do seu rio pr que velocidde de escpe em su superfície fosse igul à velocidde d luz (proimdmente km/s)?